第三章 《圆的基本性质》的知识点及典型例题
知识框图
1、过一点可作 个圆。过两点可作 个圆，以这两点之间的线段的 上任意一点为圆心即可。过三点可作 个圆。过四点可作 个圆。
2、垂径定理：垂直于弦的直径 ，并且平分 垂径定理的逆定理1:平分弦（ )的直径垂直于弦,并且平分 垂径定理的逆定理2:平分弧的直径
３、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 ,所对的
圆心角定理的逆定理:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么 都相等。
注解:在由“弦相等,得出弧相等”或由“弦心距相等，得出弧相等”时,这里的“弧相等”是指对应的劣弧与劣弧相等，优弧与优弧相等。在题目中，若让你求错误!，那么所求的是弧长 4、圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的
圆周角定理推论1：半圆(或直径）所对的圆周角是 ;9０°的圆周角所对的弦是
圆
圆的相关计算 圆的相关证明
圆周角定理推论２：在同圆或等圆中, 所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的也相等
5、拓展一下:圆内接四边形的对角之和为
６、弧长公式：在半径为Ｒ的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为l=
7、扇形面积公式1：半径为R,圆心角为n°的扇形面积为。这里面涉及3个变量：
,已知其中任意两个,都可以求出第3个变量。我们中需要记住一个公式即可。
扇形面积公式2:半径为R,弧长为l的扇形面积为
8、沿圆锥的母线把圆锥剪开并展平，可得圆锥的侧面展开图是一个，圆锥的侧面积等于这个扇形的面积，其半径等于圆锥的，弧长等于圆锥的
9、圆锥的侧面积：;圆锥的全面积：
10、圆锥的母线长l,高h,底面圆半径r满足关系式
11、已知圆锥的底面圆半径r和母线长l,那么圆锥的侧面展开图的圆心角为
12、圆锥的侧面展开图的圆心角ｘ的取值范围为
考点一、与圆相关的命题的说法正确的个数,绝大多数是选择题,也有少部分是填空题（填序号)
考点二、求旋转图形中某一点移动的距离,这就要利用弧长公式
考点三、求半径、弦长、弦心距，这就要利用勾股定理和垂径定理及逆定理
考点四、求圆心角、圆周角
考点五、求阴影部分的面积
考点六、证明线段、角度、弧度之间的数量关系；证明多边形的具体形状
考点七、利用不在同一直线上的三点确定一个圆的作图题
考点八、方案设计题,求最大扇形面积
考点九、将圆锥展开，求最近距离
练习
一、选择题
1、下列命题中：①任意三点确定一个圆;②圆的两条平行弦所夹的弧相等;③任意一个三角形有且仅有一个外接圆；④平分弦的直径垂直于弦；⑤直径是圆中最长的弦,半径不是弦。正确的个数是( ）
A.2个
B.3个Ｃ.4个 D.5个
2、如图,ＡB是半圆Ｏ的直径,点P从点O出发,沿OA AB BO
--的路径运动一周.设OP为s,运动时间为t，则下列图形能大致地刻画s与t之间关系的是( )
３、如图所示,在△ABC中,∠BAC=３0°,AC=2a，BC=b，以ＡB所在直线为轴旋转一周得到一个几何体，则这个几何体的全面积是()
A. 2πa
B. πaｂ
C. 3πａ2+πaｂ
D.πａ（2a+b）
4、如图,有一圆心角为120°,半径长为6ｃｍ的扇形,若将ＯA、OB重合后围成一圆锥侧面，那么圆锥的高是
O
A．B．C．D．
G
E
D A C
F O B
( ) A. 42cm Ｂ. 35 C ． 26 D ． 23
5、如图所示，长方形ABCD 中,以A 为圆心，AD 长为半径画弧,交AB 于E 点。取BC 的中点为Ｆ,过F 作一直线
与A Ｂ平行,且交
D E 于G 点。求∠ＡGF ＝（ ） (A) 110? (B) 120? (C) １３5? (D) 150? 。
6、如图，ＡB 是⊙O 的直径,ＡD=DE,A Ｅ与BD 交于点C ，则图中与∠B ＣE 相等的角有（ ) Ａ.2个 B ．3个 Ｃ.4个 D.５个
7、如图,弧ＢD 是以等边三角形ＡBC 一边AB 为半径的四分之一圆周, Ｐ为弧ＢＤ上任意一点,若AC=５,则四边形ACBP 周长的最大值是（ )
A. １5 B ． 20 Ｃ．15+52 D.15+55 8、如图，已知⊙O 的半径为5，点到弦的距离为3，则⊙O 上到弦
所在直线的距离为２的点有( ）
A.1个? Ｂ.２个 C ．3个 ?D.4个
9、如图，C 为⊙O 直径AB 上一动点，过点C 的直线交⊙Ｏ于D 、E 两点,且∠ＡC Ｄ=45°，DF ⊥A Ｂ于点F,EG ⊥A Ｂ于点G,当点C 在ＡB 上运动时，设ＡF ＝x ，ＤE ＝y ，下列中图象中,能表示y 与x 的函数关系式的图象大致是
Ａ Ｂ C D １0、如图5，AB 是⊙Ｏ的直径，且AB=10，弦M Ｎ的长为8，若弦MN 的两端在圆
第5题 第7题 C
D A B P 第6题 第8题 A
C 第4题 第3题
上滑动时,始终与AB相交,记点A、B到MN的距离分别为ｈ1，ｈ2，则|ｈ1-h2｜等于( ）
A、5
B、6
C、7
D、８
11、如上图，Rt△AＢC中，∠ACB＝90°,∠CAＢ=30°，BC=2，O、H分别为边AB、AC的中点，将△ABC绕点B顺时针旋转１２0°到△A1B1C1的位置,则整个旋转过程中线段OＨ所扫过部分的面积(即阴影部分面积)为（）
A
．
77
π3
38
-?B.
47
π3
38
+??C．
πＤ．
4
π3
3
+
12、(2０13年温州中考题)在△ABC中,∠C为锐角，分别以AB,AC为直径作半圆，过点B，A,Ｃ作,
如图所示,若ＡB=4,ＡC=2,
4
2
1
π
=
-S
S,则
4
3
S
S-的值是（）
A．
4
29π
B.
4
23π
C.
4
11π
D.
4
5π
二、填空题
1、如图,⊙O是等腰三角形的外接圆,，,为⊙O的直径,,连结，则
，.
2、如图，为⊙O的直径，点在⊙Ｏ上，，则.
3、如图,AB、AC分别是⊙O的直径和弦，ＯD⊥ＡC于点D,连结BD、ＢＣ。AB=５,AC=4,则ＢD=
4、如图，AＢ为⊙O的直径,弦CＤ⊥AB,E为BC上一点,若∠CEA＝28，则∠ＡＢD= °．
5、在半径为5ｃm的圆中,两条平行弦的长度分别为6cm和8cm，则这两条弦之间的距离为
6、在半径为1的⊙Ｏ中,弦ＡB、ＡＣ分别是3和2，则∠BAC的度数为_＿_____＿_______＿__
７、如图,扇形ＯＡB是圆锥的侧面展开图,若小正方形方格的边长为１ｃｍ,则这个圆锥的底面半径为
E
D
A
C
O
B 第1题第2题第3题第4题
A
H
B
O
C
1
O1
H
1
A
1
C
8、如图所示是小芳学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示意图，那么围成这个灯罩的铁皮的面积为 9、如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF 长为10cm,母线O Ｅ(O Ｆ)长为10cm.在母线OF 上的点Ａ处有一块爆米花残渣，且F Ａ=2cm ，一只蚂蚁从杯口的点Ｅ处沿圆锥表面爬行到A
点，则此蚂蚁爬行的最短距离 c ｍ．
10、如图,AB 是O ⊙的直径，弦CD AB ∥．若65ABD ∠=°，则ADC ∠= .
11、如图, AB 是⊙O 的直径，点Ｃ在⊙O 上，∠B ＡＣ=30°，点P 在线段OB 上运动. 设∠ＡＣP =ｘ，则x 的取值范围是 12、、如图，AB 是O ⊙的直径，C D E 、、是O ⊙上的点，则12∠+∠=
13、以半圆Ｏ的一条弦BC(非直径）为对称轴将弧ＢＣ折叠后与直径A Ｂ交于点D 。若AD=4，DB ＝6，那么AC 的长为
1４、如图，菱形ABCD 中，AB=2,∠C ＝60°,菱形ABCD 在直线l 上向右作无滑动的翻滚,每绕着一个顶点旋转６0°叫一次操作，则经过36次这样的操作菱形中心O 所经过的路径总长为
1５、当汽车在雨天行驶时，为了看清楚道路,司机要启动前方挡风玻璃上的雨刷器。如图是某汽车的一个雨刷器的示意图,雨刷器杆ＡB 与雨刷CD 在Ｂ处固定连接（不能转动），当杆AB 绕A 点转动9０°时,雨刷CD 扫过的面积是多少呢？小明仔细观察了雨刷器的转动情况,量得CD=８0ｃm 、∠DBA=2０°,端点C 、Ｄ与点Ａ的距离分别为115ｃm 、35cm ．他经过认真思考只选用了其中的部分数据就求得了结果。也请你算一算雨刷CD 扫过的面积为
cm ２
(π取3.14)
三、解答题
１、如图所示,AB 是⊙O 的一条弦，OD ⊥A Ｂ，垂足为C ，交⊙O 于点D ，点E 在⊙O 上。 （1)若∠AOD ＝52°，求∠ＤEB 的度数； (2)若OA=５,OC=3，求AB 的长
A B C
D
E O
1
2
第12题 O B
A C
D （第10题） 第11题 D O
A B C 第13题 第14题 第15题
2、如图，在一个横截面为Rt△ABC的物体中，∠ACＢ＝90°,∠CAB=30°,ＢC＝1米.工人师傅先将AB边放在地面（直线l）上。
(1）请直接写出AＢ,ＡC的长;
(２）工人师傅要把此物体搬到墙边（如图），先按顺时针方向绕点B翻转到△A１BＣ1位置(BＣ１在l上)，最后沿ＢC1的方向平移到△A2B２C2的位置，其平移的距离为线段AＣ的长度(此时A2Ｃ2恰好靠在墙边),画出在搬动此物的整个过程A点所经过的路径,并求出该路径的长度。
(３）若没有墙，像（２）那样翻转，将△ABC按顺时针方向绕点B翻转到△A１ＢC1位置为第一次翻转,又将△A1BC １按顺时针方向绕点C1翻转到△A2B1C1(A2Ｃ1在ｌ上）为第二次翻转，求两次翻转此物的整个过程点A经过路径的长度.
3、如图，要把破残的圆片复制完整，已知弧上的三点A、B、C。
(1)用尺规作图法,找出弧ABC所在圆的圆心O(保留作图痕迹,不写作法）；
(2)设△ABC是等腰三角形，底边BC＝８,AB=5，求圆片的半径R
4、如图,△ＡBＣ是⊙O的内接三角形,AＣ＝ＢC，D为⊙O中AB上一点，延长ＤA至点E,使CE=CＤ．
（１）求证:AE＝BD（2）若AC⊥ＢＣ,求证：AＤ＋2Ｄ.
５、已知一个圆锥的高3，侧面展开图是半圆,求:
（１)圆锥的母线长与底面半径之比；
(2)锥角的大小(锥角为过圆锥高的平面上两母线的夹角);
(3）圆锥的全面积.
6、如图,AB 为⊙Ｏ的直径,CD 为弦,且ＣD ⊥ＡB ，垂足为H （1）如果⊙O 的半径为４，CD ＝43，求ＡＣ的长 (2)若点E 为为⌒ADB
的中点,连接ＯE 、CE,求证：C Ｅ平分∠OCD (3)在(1)的条件下,圆周上到直线AC 的距离为３的点有多少个？并说明理由。
7、①、如下图所示，点P 在⊙O 外,过点P 作两射线，分别与⊙O 相交于点A 、B 、C 、D ，猜想AB 的度数、CD 的度数与∠P 之间的数量关系,并进行证明。
②、当点Ｐ在圆内时，猜想AC 的度数、BD 的度数与∠APC 之间的数量关系,并进行证明。
文字叙述：顶点在圆外的角（两边与圆相交）的度数等于其所截两弧度数差的一半； 顶点在圆内的角（两边与圆相交)的度数等于其对顶角所截弧度数和的一半。
8、在一次科学探究实验中，小明将半径为5ｃm 的圆形滤纸片按图1所示的步骤进行折叠,并围成圆锥形。
（1)取一漏斗,上部的圆锥形内壁(忽略漏斗管口处）的母线OB 长为６c ｍ，开口圆的直径为6c ｍ。当滤纸片重叠部分为三层，且每层为
1
4
圆时,滤纸围成的圆锥形放入该漏斗中，能否紧贴此漏斗的内壁(忽略漏斗管口处），请你用所学的数学知识说明;
(２)假设有一特殊规格的漏斗,其母线长为６ｃm,开口圆的直径为7.2ｃm,现将同样大小的滤纸围成重叠部分为三层的圆锥形,放入此漏斗中，且能紧贴漏斗内壁.问重叠部分每层的面积为多
少?
１、如图,A 是⊙O 的直径．
(１) 如图①,垂直于A Ｄ的两条弦Ｂ1C 1，B 2C ２把圆周4等分,则∠B 1的度数是 ,∠B ２的度数是 ; (2) 如图②，垂直于AD 的三条弦B 1C １,B ２C 2,B 3C 3把圆周６等分，分别求∠Ｂ1，∠Ｂ2,∠B 3的度数；
（3) 如图③,垂直于ＡD 的n 条弦B １C 1，Ｂ２Ｃ２,B ３ Ｃ3,…，B n C ｎ把圆周2n 等分,请你用含n 的代数式表示∠Ｂ
P O C B 图（1） 图（2） C A O
B D
n
的度数（只需直接写出答案).
2、如图9，在平面直角坐标系中，以点为圆心,2为半径作圆，交轴于两点,开口向下的抛物线经过点，且其顶点在⊙C上.
(1）求的大小；
（2)写出两点的坐标;
（3）试确定此抛物线的解析式；
(4）在该抛物线上是否存在一点，使线段与互相平分?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明
理由
.
O
B1
B2
C1
C2
图①
O
A
B1 C1
B C2
C3
B3
图②
B
A
O
B1
B-2
C1
B2 C2
B3 C
C-2
B n-1
C n-1
C
……
图③