2020年数学中考基础冲刺训练
一．选择题（每题3分，满分30分）
1．温度由﹣2℃上升7℃是（）
A．5℃B．﹣5℃C．9℃D．﹣9℃
2．下列几何体中，从正面看得到的平面图形是圆的是（）
A．B．C．D．
3．2019年4月10日，人类首张黑洞照片面世，该黑洞位于室女座一个巨椭圆星系M87的中心，距离地球约5500万光年．将数据5500万用科学记数法表示为（）
A．5500×104B．55×106C．5.5×107D．5.5×108
4．点P（1，3）向下平移2个单位后的坐标是（）
A．（1，2）B．（0，1）C．（1，5）D．（1，1）
5．已知直线m∥n，将一块含45°角的直角三角板ABC按如图方式放置，其中斜边BC与直线n交于点D．若∠1＝25°，则∠2的度数为（）
A．60°B．65°C．70°D．75°
6．下列计算正确的是（）
A．（a﹣b）（﹣a﹣b）＝a2﹣b2B．2a3+3a3＝5a5
C．6x3y2÷3x＝2x2y2D．（﹣2x2）3＝﹣6x3y6
7．分式方程＝1的解为（）
A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝﹣2
8．某地连续8天的最低气温统计如表．该地这8天最低温度的中位数是（）
最低气温（℃）14 18 20 25
天数 1 3 2 2
A．14 B．18 C．19 D．20
9．已知⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，P为⊙O上除C、D外任意一点，则∠CPD的度数为（）
A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°10．如图，函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0）和（m，0），请思考下列判断，正确的个数是（）
①abc＜0；②4a+c＜b；③＝1﹣；④am2+（2a+b）m+a+b+c＜0；⑤|am+a|＝
A．2个B．3个C．4个D．5个
二．填空题（每题4分，满分16分）
11．若代数式1﹣8x与9x﹣3的值互为相反数，则x＝．
12．如果等腰三角形的一个角比另一个角大30°，那么它的顶角是．
13．已知一次函数y＝（k﹣1）x+2，若y随x的增大而减小，则k的取值范围是．14．如图，在?ABCD中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，AB的长为半径作弧，交AD 于点F；②分别以点B、F为圆心，大于BF的长为半径作弧，两弧在∠BAD内交于点G；③作射线AG，交边BC于点E．若BF＝6，AB＝5，则AE的长是．
三．解答题
15．（12分）（1）计算；
（2）解不等式．
16．（6分）先化简，再求值（1﹣）÷，其中x＝+1．
17．（8分）2019年全国两会于3月5日在人民大会堂开幕，某社区为了解居民对此次两会的关注程度，在全社区范围内随机抽取部分居民进行问卷调查，根据调查结果，把居民对两会的关注程度分成“淡薄”、“一般”、“较强”、“很强”四个层次，并绘制成如下不完整的统计图：
请结合图表中的信息，解答下列问题：
（1）此次调查一共随机抽取了名居民；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）扇形统计图中，“很强”所对应扇形圆心角的度数为；
（4）若该社区有1500人，则可以估计该社区居民对两会的关注程度为“淡薄”层次的约有人．
18．（8分）某数学社团成员想利用所学的知识测量某广告牌的宽度（图中线段MN的长），直线MN垂直于地面，垂足为点P．在地面A处测得点M的仰角为58°、点N的仰角为45°，在B处测得点M的仰角为31°，AB＝5米，且A、B、P三点在一直线上．请根据以上数据求广告牌的宽MN的长．
（参考数据：sin58°＝0.85，cos58°＝0.53，tan58°＝1.60，sin31°＝0.52，cos31°＝0.86，tan31°＝0.60．）
19．（10分）如图，一次函数y＝x+4的图象与反比例函数y＝（k为常数且k≠0）的图象交于A（﹣1，a），B两点，与x轴交于点C．
（1）求a，k的值及点B的坐标；
（2）若点P在x轴上，且S
△ACP ＝S
△BOC
，直接写出点P的坐标．
20．（10分）如图，过点P作PA，PB，分别与以OA为半径的半圆切于A，B，延长AO 交切线PB于点C，交半圆与于点D．
（1）若PC＝5，AC＝4，求BC的长；
（2）设DC：AD＝1：2，求的值．
四．填空题（满分20分，每小题4分）
21．已知：≈1.42091…，≈4.49332．，则（精确到0.01）≈．22．设α，β是方程x2﹣x﹣2019＝0的两个实数根，则α2+αβ+β2的值为．
23．一个密码箱的密码，每个位数上的数都是从0到9的自然数，若要使不知道密码的一次就拨对密码的概率小于，则密码的位数至少需要位．
24．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD 上的任意一点，则PK+QK的最小值为．
25．过点P（﹣1，3）作直线，使它与两坐标辅围成的三角形面积为s，若s＝5，这样的直线可作条；若s＝6，这样的直线可作条；若s＝8，又可作条．五．解答题
26．（8分）我国为了实现到2020年达到全面小康社会的目标，近几年加大了扶贫工作的力度，合肥市某知名企业为了帮助某小型企业脱贫，投产一种书包，每个书包制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万个）与销售单价x（元）之间的关系可以近似看作一次函数y＝kx+b，据统计当售价定为30元/个时，每月销售40万个，当售价定为35元/个时，每月销售30万个．
（1）请求出k、b的值．
（2）写出每月的利润w（万元）与销售单价x（元）之间的函数解析式．
（3）该小型企业在经营中，每月销售单价始终保持在25≤x≤36元之间，求该小型企业每月获得利润w（万元）的范围．
27．（10分）【操作发现】如图（1），在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB ＝∠COD＝45°，连接AC，BD交于点M．
①AC与BD之间的数量关系为；
②∠AMB的度数为；
【类比探究】如图（2），在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD ＝30°，连接AC，交BD的延长线于点M．请计算的值及∠AMB的度数；
【实际应用】如图（3），是一个由两个都含有30°角的大小不同的直角三角板ABC、DCE 组成的图形，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，∠A＝∠D＝30°且D、E、B在同一直线上，CE ＝1，BC＝，求点A、D之间的距离．
28．（12分）如图1，抛物线y1＝﹣x2﹣tx﹣t+2与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），过y轴上的点C（0，4），直线y2＝kx+3交x轴，y轴于点M、N，且ON＝OC．（1）求出t与k的值．
（2）抛物线的对称轴交x轴于点D，在x轴上方的对称轴上找一点E，使△BDE与△AOC 相似，求出DE的长．
（3）如图2，过抛物线上动点G作GH⊥x轴于点H，交直线y2＝kx+3于点Q，若点Q'是点Q关于直线MG的对称点，是否存在点G（不与点C重合），使点Q'落在y轴上？
若存在，请直接写出点G的横坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一．选择题
1．解：﹣2+7＝5（℃），
故选：A．
2．解：A、主视图是矩形，故A不符合题意；
B、主视图是圆，故B符合题意；
C、主视图是两个小长方形组成的矩形，故C不符合题意；
D、主视图是三角形，故D不符合题意；
故选：B．https://www.doczj.com/doc/7514046675.html,
3．解：
科学记数法表示：5500万＝5500 0000＝5.5×107
故选：C．
4．解：∵点P（1，3）向下平移2个单位，
∴点P的横坐标不变，为1，
纵坐标为3﹣2＝1，
∴点P平移后的坐标为（1，1）．
故选：D．
5．解：设AB与直线n交于点E，
则∠AED＝∠1+∠B＝25°+45°＝70°．
又直线m∥n，
∴∠2＝∠AED＝70°．
故选：C．
6．解：（a﹣b）（﹣a﹣b）＝b2﹣a2，故选项A错误；
2a3+3a3＝5a3，故选项B错误；
6x3y2÷3x＝2x2y2，故选项C正确；
（﹣2x2）3＝﹣8x6，故选项D错误；
故选：C．
7．解：∵+＝1，
∴x（x﹣5）+2（x﹣1）＝x（x﹣1），
∴x＝﹣1，
经检验：x＝﹣1是原方程的解．
故选：A．
8．解：这8天的气温从低到高为：14，18，18，18，20，20，25，25，处在第4、5位的两个数的平均数为（18+20）÷2＝19，因此中位数是19，
故选：C．
9．解：连接OC、OD，如图，
∵⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，
∴∠COD＝60°，
当P点在弧CAD上时，∠CPD＝∠COD＝30°，
当P点在弧CD上时，∠CPD＝180°﹣30°＝150°，
综上所述，∠CPD的度数为30°或150°．
故选：B．
10．解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线交y轴于正半轴，
∴c＞0，
∵﹣＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①正确，
∵a＜0，
∴2a+c＜a+c，
x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，则b＝a+c，
∴2a+c＜b，
∴4a+c＜b，故②正确，
∵y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0）和（m，0），∴﹣1×m＝，am2+bm+c＝0，
∴++＝0，
∴＝1﹣，故③正确，
∵﹣1+m＝﹣，
∴﹣a+am＝﹣b，
∴am＝a﹣b，
∵am2+（2a+b）m+a+b+c
＝am2+bm+c+2am+a+b
＝2a﹣2b+a+b
＝3a﹣b＜0，故④正确，
∵m+1＝|﹣|，
∴m+1＝||，
∴|am+a|＝，故⑤正确，
故选：D．
二．填空题
11．解：根据题意得：1﹣8x+9x﹣3＝0，
移项合并得：x＝2，
故答案为：2
12．解：①较大的角为顶角，设这个角为x，则：
x+2（x﹣30）＝180
x＝80；
②较大的角为底角，设顶角为y°，则：
y+2（y+30）＝180
y＝40，
答：等腰三角形的顶角为80°或40°．
故答案为：80°或40°．
13．解：∵一次函数y＝（k﹣1）x+2，若y随x的增大而减小，∴k﹣1＜0，
解得k＜1，
故答案为：k＜1．
14．解：如图，设AE交BF于点O．
由作图可知：AB＝AF，AE⊥BF，
∴OB＝OF，∠BAE＝∠EAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAF＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE＝AF，∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝AF，
∴四边形ABEF是菱形，
∴OA＝OE，OB＝OF＝3，
在Rt△AOB中，∵∠AOB＝90°，
∴OA＝＝＝4，
∴AE＝2OA＝8．
故答案为8．
三．解答题
15．解：（1）原式＝4×+1﹣2﹣1
＝2+1﹣2﹣1
＝0；
（2）．
由①得x＞﹣4，
由②得x≤﹣1．
不等式的解集是﹣4＜x≤﹣1．
16．解：（1﹣）÷
＝
＝
＝，
当x＝+1时，原式＝＝．
17．解：（1）18÷15%＝120，
即本次调查一共随机抽取了120名居民，
故答案为：120；
（2）“较强”层次的有：120×45%＝54（名），
补充完整的条形统计图如右图所示；
（3）扇形统计图中，“很强”所对应扇形圆心角的度数为：360°×＝108°，故答案为：108°；
（4）1500×＝150（人），
故答案为：150．
18．解：在Rt△APN中，∠NAP＝45°，
∴PA＝PN，
在Rt△APM中，tan∠MAP＝，
设PA＝PN＝x，
∵∠MAP＝58°，
∴MP＝AP?tan∠MAP＝1.6x，
在Rt△BPM中，tan∠MBP＝，
∵∠MBP＝31°，AB＝5，
∴0.6＝，
∴x＝3，
∴MN＝MP﹣NP＝0.6x＝1.8（米），
答：广告牌的宽MN的长为1.8米．
19．解：（1）把点A（﹣1，a）代入y＝x+4，得a＝3，∴A（﹣1，3）
把A（﹣1，3）代入反比例函数y＝
∴k＝﹣3；
∴反比例函数的表达式为y＝﹣
联立两个函数的表达式得
解得或
∴点B的坐标为B（﹣3，1）；
（2）当y＝x+4＝0时，得x＝﹣4
∴点C（﹣4，0）
设点P的坐标为（x，0）
∵S
△ACP ＝S
△BOC
，
∴×3×|x+4|＝××4×1
解得x1＝﹣6，x2＝﹣2
∴点P（﹣6，0）或（﹣2，0）．20．解：（1）∵PA，PB是⊙O的切线∴PA＝PB，∠PAC＝90°
∴AP＝＝3
∴PB＝AP＝3
∴BC＝PC﹣PB＝2
（2）连接OB，
∵CD：AD＝1：2，AD＝2OD
∴CD＝OD＝OB
∴CO＝2OB
∵PB是⊙O切线
∴OB⊥PC
∴∠OBC＝90°＝∠PAC，且∠C＝∠C ∴△OBC∽△PAC
∴
∴PC＝2PA，
∴＝
四．填空题
21．解：因为≈4.49332，
所以≈44.93，
故答案为：44.93．
22．解：∵α，β是方程x2﹣x﹣2019＝0的两个实数根
由韦达定理可得：
α+β＝1，αβ＝﹣2019，
而α2+αβ+β2＝（α+β）2﹣αβ
＝1+2019
＝2020
故答案为2020．
23．解：因为取一位数时一次就拨对密码的概率为，
取两位数时一次就拨对密码的概率为，
取三位数时一次就拨对密码的概率为，
故密码的位数至少需要3位．
故答案为：3．
24．解：作点P关于BD的对称点P′，作P′Q⊥CD交BD于K，交CD于Q，∵AB＝4，∠A＝120°，
∴点P′到CD的距离为4×＝2，
∴PK+QK的最小值为2，
故答案为：2．
25．解：y＝kx+b，直线经过点（﹣1，3）则得到：﹣k+b＝3 (1)
在y＝kx+b中，令x＝0，解得y＝b．
令y＝0，x＝﹣．
①根据直线与两坐标轴围成的三角形面积为5．
得到：|﹣|?|b|＝5．即b2＝10|k| (2)
由（1）得：b＝3+k．代入（2）得：9+6k+k2＝10|k| (3)
当k＞0时，（3）变形为：k2﹣4k+9＝0．这个方程没有实数根；
当k＜0时，（3）变形为：k2+16k+9＝0．方程有两个不相同的实数根．
则k的值有2个．即若s＝5，这样的直线可作2条；
②根据直线与两坐标轴围成的三角形面积为6．
得到：|﹣|?|b|＝6．即b2＝12|k| (4)
由（1）得：b＝3+k．代入（4）得：9+6k+k2＝12|k|，（5）
当k＞0时，（5）变形为：k2﹣6k+9＝0．这个方程有两个相等的实数根；
当k＜0时，（5）变形为：k2+18k+9＝0．方程有两个不相同的实数根．
则k的值有3个．即若s＝6，这样的直线可作3条；
③根据直线与两坐标轴围成的三角形面积为8．
得到：|﹣|?|b|＝8．即b2＝16|k| (6)
由（1）得：b＝3+k．代入（6）得：9+6k+k2＝16|k|，（7）
当k＞0时，（7）变形为：k2﹣10k+9＝0．这个方程有两个不相等的实数根；
当k＜0时，（7）变形为：k2+22k+9＝0．方程有两个不相同的实数根．
则k的值有4个．即若s＝8，这样的直线可作4条；
故答案为：2；3；4．
五．解答题
26．解：（1）由题意得：，
解得．
答：k的值为﹣2，b的值为100．
（2）由题意得w＝（x﹣18）（﹣2x+100）＝﹣2x2+136x﹣1800，
答：函数解析式为：w＝﹣2x2+136x﹣1800．
（3）∵w＝﹣2x2+136x﹣1800＝﹣2（x﹣34）2+512，
∴当x＝34时，w取最大值，最大值为512；
当x＜34时，w随着x的增大而增大；
当x＞34时，w随着x的增大而减小．
∵当x＝25时，
w＝﹣2×252+136×25﹣1800＝350；
当x＝36时，
w＝﹣2×362+136×36﹣1800＝504．
综上，w的范围为350≤w≤512．
答：该小型企业每月获得利润w（万元）的范围是350≤w≤512．27．解：【操作发现】如图（1）中，设OA交BD于K．
∵∠AOB＝∠COD＝45°，
∴∠COA＝∠DOB，
∵OA＝OB，OC＝OD，
∴△COA≌△DOB（SAS），
∴AC＝DB，∠CAO＝∠DBO，
∵∠MKA＝∠BKO，
∴∠AMK＝∠BOK＝45°，
故答案为：AC＝BD，∠AMB＝45°
【类比探究】如图（2）中，
在△OAB和△OCD中，∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，∴∠COA＝∠DOB，OC＝OD，OA＝OB，
∴＝，
∴△COA∽△ODB，
∴＝＝，∠MAK＝∠OBK，
∵∠AKM＝∠BKO，
∴∠AMK＝∠BOK＝90°．
【实际应用】如图3﹣1中，作CH⊥BD于H，连接AD．
在Rt△DCE中，∵∠DCE＝90°，∠CDE＝30°，EC＝1，∴∠CEH＝60°，
∵∠CHE＝90°，
∴∠HCE＝30°，
∴EH＝EC＝，
∴CH＝，
在Rt△BCH中，BH＝＝＝，∴BE＝BH﹣EH＝4，
∵△DCA∽△ECB，
∴AD：BE＝CD：EC＝，
∴AD＝4．
如图3﹣2中，连接AD，作CH⊥DE于H．
同法可得BH＝，EH＝，
∴BE＝+＝5，
∵△DCA∽△ECB，
∴AD：BE＝CD：EC＝，
∴AD＝5．
28．解：（1）将点C（0，4）代入抛物线y1＝﹣x2﹣tx﹣t+2，得，﹣t+2＝4，
∴t＝﹣2，
∴抛物线y1＝﹣x2+x+4，
∵C（0，4），ON＝OC，
∴N（﹣4，0），
将N（﹣4，0）代入直线y2＝kx+3，
得，﹣4k+3＝0，
∴，
∴直线，
∴t的值为﹣2，k的值为；
（2）如图1，连接BE，
在y1＝﹣x2++4中，
当y＝0时，
x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1.0），B（3，0），
对称轴为x＝﹣＝1，
∴D（1，0），
∴AO＝1，CO＝4，BD＝2，
∵∠AOC＝∠EDB＝90°，
①∴当△AOC∽△BDE时，
∴，
∴，
∴DE＝8，
②当△AOC∽△EDB时，
∴，
∴，
∴，
综上所述，DE的长为8或．
（3）如图2﹣1，点Q′是点Q关于直线MG的对称点，且点Q′在y轴上时，由轴对称的性质知，QM＝Q'M，QG＝Q'G，∠Q'MG＝∠QMG，
∵QG⊥x轴，
∴QG∥y轴，
∴∠Q'MG＝∠QGM，
∴∠QMG＝∠QGM，
∴QM＝QG，
∴QM＝Q'M＝QG＝Q'G，
∴四边形QMQ'G为菱形，
设G（a，﹣a2++4），则Q（a，a+3），
过点G作GK⊥y轴于点K，
∵GQ'∥QN，
∴∠GQ'K＝∠NMO，
在Rt△NMO中，
NM＝＝5，
∴sin∠NMO＝，
∴sin∠GQ'K＝，
①当点G在直线MN下方时，
QG＝Q'G＝a2﹣﹣1，
∴，
解得，a1＝，a2＝，②如图2﹣2，当点G在直线MN上方时，
QG＝Q'G＝﹣（），