高考模拟复习试卷试题模拟卷
【考情解读】
1. 掌握数列的求和方法：(1) 直接利用等差、等比数列求和公式；(2) 通过适当变形(构造)将未知数列转化为等差、等比数列，再用公式求和；(3) 根据数列特征，采用累加、累乘、错位相减、逆序相加等方法求和；(4) 通过分组、拆项、裂项等手段分别求和；(5) 在证明有关数列和的不等式时要能用放缩的思想来解题(如n(n －1) 2. 数列是特殊的函数，这部分内容中蕴含的数学思想方法有函数与方程思想、分类讨论思想、化归转化思想、数形结合思想等，高考题中所涉及的知识综合性很强，既有较繁的运算又有一定的技巧，在解题时要注意从整体去把握． 【高频考点突破】 考点一等差、等比数列求和公式及利用 例1 已知{a n}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{bn}满足b1＝4，b4＝20，且{bn －an}为等比数列． (1) 求数列{an}和{bn}的通项公式； (2) 求数列{bn}的前n 项和． 考点二可转化为等差、等比数列求和 例2 已知数列{an}的前n 项和Sn ＝n2＋n 2，n ∈N*. (1) 求数列{an}的通项公式； (2) 设bn ＝2an ＋(－1)nan ，求数列{bn}的前2n 项和． 考点三根据数列特征，用适当的方法求和 例3 已知数列{an}的前n 项和Sn ＝－1 2n2＋kn(k ∈N*)，且Sn 的最大值为8. (1) 确定常数k ，求an ； (2) 求数列? ??? ?? 9－2an 2n 的前n 项和Tn. 【变式探究】 已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，a2＝2，an>0，bn ＝anan ＋1(n ∈N*)，且{bn}是以q 为公比的等比数列． (1) 证明：an ＋2＝anq2； (2) 若cn ＝a2n －1＋2a2n ，证明：数列{cn}是等比数列； (3) 求和：1a1＋1a2＋1a3＋1a4＋…＋1a2n －1＋1 a2n . 考点四数列求和的综合应用 例4 将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表： a1 a2a3 a4a5a6 a7a8a9a10 … 记表中的第一列数a1，a2，a4，a7，…构成的数列为{bn}，b1＝a1＝1，Sn 为数列{bn}的前n 项和，且满足2bn bnSn －S2n ＝1(n≥2)． 【真题感悟】 【高考四川，文16】设数列{an}(n ＝1，2，3…)的前n 项和Sn 满足Sn ＝2an －a3，且a1，a2＋1，a3成等差数列. (Ⅰ)求数列的通项公式； (Ⅱ)设数列1 {}n a 的前n 项和为Tn ，求Tn. .【 高考浙江，文17】（本题满分15分）已知数列 n a 和n b 满足， *1112,1,2(n N ),n n a b a a +===∈ *1231111 1(n N )23 n n b b b b b n ++++ +=-∈. （1）求n a 与n b ； （2）记数列n n a b 的前n 项和为n T ，求n T . 1．(·湖南卷) 已知数列{an}满足a1＝1，|an ＋1－an|＝pn ，n ∈N*. (1)若{an}是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，求p 的值； (2)若p ＝1 2，且{a2n －1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{an}的通项公式． 2．(·安徽卷) 设实数c ＞0，整数p ＞1，n ∈N*. (1)证明：当x ＞－1且x≠0时，(1＋x)p ＞1＋px ； (2)数列{an}满足a1＞c 1p ，an ＋1＝p －1p an ＋c p a1－p n ，证明：an ＞an ＋1＞c 1p . 3．(·湖北卷) 已知等差数列{an}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式． (2)记Sn 为数列{an}的前n 项和，是否存在正整数n ，使得Sn>60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由． 4．(·江西卷) 已知首项都是1的两个数列{an}，{b n}(bn≠0，n ∈N*)满足anbn ＋1－an ＋1bn ＋2bn ＋1bn ＝0. (1)令cn ＝an bn ，求数列{cn}的通项公式； (2)若bn ＝3n －1，求数列{an}的前n 项和Sn. 5．(·新课标全国卷Ⅱ] 已知数列{an}满足a1＝1，an ＋1＝3an ＋1. (1)证明? ??? ?? an ＋12是等比数列，并求{an}的通项公式； (2)证明1a1＋1a2＋…＋1an ＜3 2. 6.(·四川卷) 设等差数列{an}的公差为d ，点(an ，bn)在函数f(x)＝2x 的图像上(n ∈N*)． (1)若a1＝－2，点(a8，4b7)在函数f(x)的图像上，求数列{an}的前n 项和Sn ； (2)若a1＝1，函数f(x)的图像在点(a2，b2)处的切线在x 轴上的截距为2－1 ln 2，求数列???? ??an bn 的前n 项和Tn. 7．(·浙江卷) 已知数列{an}和{bn}满足a1a2a3…an ＝(2)bn(n ∈N*)．若{an}为等比数列，且a1＝2， b3＝6＋b2. (1)求an 与bn. (2)设cn ＝1an －1 bn (n ∈N*)．记数列{cn}的前n 项和为Sn. (i)求Sn ； (i i)求正整数k ，使得对任意n ∈均有Sk≥Sn. 8．(高考辽宁卷)下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题： P1：数列{an}是递增数列； P2：数列{nan}是递增数列； P3：数列{an n }是递增数列； P4：数列{an ＋3nd}是递增数列． 其中的真命题为() A ．p1，p2 B ．p3，p4 C ．p2，p3 D ．p1，p4 9．(高考重庆卷)已知{an}是等差数列，a1＝1，公差d≠0，Sn 为其前n 项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8＝________. 10． (高考广东卷)设数列{an}的前n 项和为Sn.已知a1＝1，2Sn n ＝an ＋1－13n2－n －2 3，n ∈N*. (1)求a2的值； (2)求数列{an}的通项公式； (3)证明：对一切正整数n ，有1a1＋1a2＋…＋1an <7 4. 【押题专练】 1. 两个正数a 、b 的等差中项是52，一个等比中项是6，且a ＞b ，则双曲线x2a2－y2 b2＝1的离心率e ＝________． 2. 在等比数列{an}中，前n 项和为Sn ，若Sm ，Sm ＋2，Sm ＋1成等差数列，则am ，am ＋2，am ＋1成等差数列． (1) 写出这个命题的逆命题； (2) 判断逆命题是否为真，并给出证明． 3. 已知等差数列{an}满足a3＋a6＝－13，a1·a8＝－4 3，a1＞a8. (1) 求数列{an}的通项公式； (2) 把数列{an}的第1项、第4项、第7项、…、第3n －2项、…分别作为数列{bn}的第1项、第2项、第3项、…、第n 项、…，求数列{2bn}的前n 项之和； (3) 设数列{cn}的通项为cn ＝n·2bn ，试比较(n ＋1)(n ＋2)cn ＋n(n ＋1)cn ＋2与2n(n ＋2)cn ＋1的大小． 4.已知数列{an}满足an ＝2an －1＋2n －1(n≥2)，且a4＝81. (1) 求数列{an}的前三项a1，a2，a3； (2)求证：数列???? ?? an －12n 为等差数列，并求an. 5.已知二次函数y ＝f(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f′(x)＝6x －2，数列{an}的前n 项和为Sn ，点(n ，Sn)(n ∈N*)均在函数y ＝f(x)的图象上． (1) 求数列{an}的通项公式； (2) 设bn ＝3anan ＋1 ，Tn 是数列{bn}的前n 项和，求使得Tn ＜m 20对所有n ∈N*都成立的最小正整数m. 6.各项均为正数的数列{an}中，设Sn ＝a1＋a2＋…＋an ，Tn ＝1a1＋1a2＋…＋1 an ，且(2－Sn)(1＋Tn)＝2，n ∈N*. (1) 设bn ＝2－Sn ，证明数列{bn}是等比数列； (2) 设cn ＝1 2nan ，求集合{(m ，k ，r)|cm ＋cr ＝2ck ，m 7. 设函数f(x)＝sinxcosx －3cos(x ＋π)cosx(x ∈R)． (1) 求f(x)的最小正周期； (2) 若函数y ＝f(x)的图象向右平移π4个单位后再向上平移3 2个单位得到函数y ＝g(x)的图象，求y ＝g(x) 在? ?? ?0，π4上的最大值． 8. 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元． (1) 用d表示a1、a2，并写出an＋1与an的关系式； (2) 若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m 表示)． 9. 已知函数f(x)＝lnx－ax＋1，a∈R是常数． (1) 求函数y＝f(x)的图象在点P(1，f(1))处的切线l的方程； (2) 证明函数y＝f(x)(x≠1)的图象在直线l的下方； (3) 讨论函数y＝f(x)零点的个数． 10. 设数列{an}的前n项积为Tn，已知对n，m∈N*，当n＞m时，总有Tn Tm＝Tn－m·q(n－m)m(q＞0是常数)． (1) 求证：数列{an}是等比数列； (2) 设正整数k，m，n(k＜m＜n)成等差数列，试比较Tn·Tk和(Tm)2的大小，并说明理由．高考模拟复习试卷试题模拟卷 高考模拟复习试卷试题模拟卷第03节 直接证明与间接证明 一、选择题 1. 给出命题：若,a b 是正常数，且a b ≠，,(0,)x y ∈+∞，则222()a b a b x y x y ++≥+(当且仅当a b x y =时等号成立)．根据上面命题，可以得到函数29 ()12f x x x =+ -（1(0,)2x ∈）的最小值及取最小值时的x 值分别为（ ） A ．1162+，13 2 B ．1162+，15 C ．25， 13 2 D ．25，15 【答案】D 2. 在证明命题“对于任意角θ,cos4θsin4θ=cos2θ”的过 程:“cos4θsin4θ=(cos2θ+sin2θ)·(cos2θsin2θ)=cos2θsin2θ=cos2θ”中应用了( ) (A)分析法 (B)综合法 (C)分析法和综合法综合使用 (D)间接证法 【答案】B 【解析】从已知条件出发,推出要证的结论,满足综合法. 3. 关于综合法和分析法说法错误的是 （ ） A.综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法 B. 综合法又叫顺推证法或由因导果法 C. 分析法又叫逆推证法或执果索因法 D. 综合法和分析法都是因果分别互推的两头凑法 【答案】D 4.分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证b2－ac<3a”索的因应是() A．a－b>0 B．a－c>0 C．(a－b)(a－c)>0D．(a－b)(a－c)<0 【答案】C 5. 已知函数f(x)＝x2－2ax＋5在(－∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，则实数a的取值范围为() A．[1,4] B．[2,3] C．[2,5] D．[3，＋∞) 【答案】B 【解析】由题意知a≥2，所以二次函数f(x)＝x2－2ax＋5的图象的对称轴为x＝a∈[1，a＋1]，且(a＋1)－a≤a－1，∴f(x)max＝f(1)＝6－2a，f(x)min＝f(a)＝5－a2， ∴(6－2a)－(5－a2)≤4，解得－1≤a≤3.又a≥2，∴2≤a≤3. 6.用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为() A．a，b，c中至少有两个偶数 B．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数 C．a，b，c都是奇数 D．a，b，c都是偶数 【答案】B 7. 用反证法证明“如果a>b，那么3 a> 3 b”假设内容应是() A.3a ＝3 b B.3a<3b C.3a ＝3b 且3a<3b D.3a ＝3b 或3a<3b 【答案】D 【解析】假设结论不成立，即3a>3b 的否定为3a ≤ 3 b. 8. (·银川模拟)设a ，b ，c 是不全相等的正数，给出下列判断： ①(a －b)2＋(b －c)2＋(c －a)2≠0； ②a>b ，a 【答案】C 【解析】①②正确；③中，a≠b ，b≠c ，a≠c 可以同时成立，如a ＝1，b ＝2，c ＝3，故正确的判断有2个． 9. 在R 上定义运算：??????ab cd ＝ad －bc.若不等式???? ?? x －1a －2a ＋1x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为() A ．－1 2 B ．－3 2 C.12 D.32 【答案】D 【解析】 据已知定义可得不等式x2－x －a2＋a ＋1≥0恒成立，故Δ＝1－4(－a2＋a ＋1)≤0，解得－ 1 2≤a≤32，故a 的最大值为32 . 10. 如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则() A ．△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形 B ．△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形 C ．△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形 D ．△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形 【答案】D 二、填空题 11. 要证明“2310+<”可选择的方法有以下几种，其中最合理的是。（填序号） ①反证法 ②分析法 ③综合法 【答案】② 12. 在不等边三角形中，a 为最大边，要想得到∠A 为钝角的结论，三边a ，b ，c 应满足________． 【答案】a5＞b5 【解析】由余弦定理cos A ＝b2＋c2－a2 2bc <0，所以b2＋c2－a2<0，即a2>b2＋c2. 13. 在等比数列{an}和等差数列{bn}中，a1＝b1＞0，a3＝b3＞0，a1≠a3，则a5和b5的大小关系为________． 【答案】a2>b2＋c2 【解析】方法一：设公比为q ，公差为d ， 则a3＝a1q2，b3＝b1＋2d ＝a 1＋2d ， 故由a3＝b3，得2d ＝a1(q2－1)． 又∵a1≠a3，∴q2≠1. ∴a5－b5＝a1q4－(a1＋4d) ＝a1q4－[a1＋2a1(q2－1)] ＝a1(q2－1)2＞0. ∴a5＞b5. 方法二：∵在等比数列{an}中，a1≠a3， ∴公比不为1.∴a1≠a5. 又∵a1＝b1，a3＝b3，a5＝a3q2＞0(q 为公比)， ∴b3＝b1＋b52＝a3＝a1a5＜a1＋a52＝b1＋a5 2. ∴a5＞b5. 三、解答题 14. （1）用综合法证明：a b c ab bc ca ++≥ ++(,,a b c R +∈) （2）用反证法证明：若,,a b c 均为实数，且222 a x y π =-+ ，223 b y z π =-+ ，226 c z x π =-+ 求证： ,,a b c 中至少有一个大于0 15. 设函数2 ()f x ax bx c =++中，a 为奇数，,b c 均为整数，且)1(),0(f f 均为奇数.求证：0)(=x f 无 16. 设x e x x f ?=)(0，10211()(),()(),,()()(*)n n f x f x f x f x f x f x n N -'''===∈. （1）请写出)(x f n 的表达式（不需证明）； （2）求)(x f n 的极小值； （3）设2 ()2(1)88,()n n g x x n x n g x =--+-+的最大值为a ，)(x f n 的最小值为b ，求a b -的最小值. （3）将2()2(1)88,()n n g x x n x n g x =--+-+配方得22 ()[(1)](3)n g x x n n =--++-， 所以2 )3())1((-=+-=n n g a n . 又因为) 1())1((+--=+-=n n e n f b ，所以) 1(2)3(+-+-=-n e n b a ，10分 问题转化为求)1(2)3(+-+-=n n e n c 的最小值. 解法1（构造函数）： 令2 (1) ()(3)(0)x h x x e x -+=-+≥， 则) 1()3(2)(+---='x e x x h ，又)(x h 在区间[)0,+∞上单调递增， 所以1 6)0()(---='≥'e h x h ． 又因为0)3(4 <-='-e h ，02)4(5>-='-e h ， 所以存在)4,3(0∈x 使得0)(0='x h ． 又有)(x h '在区间[)0,+∞上单调递增，所以00x x <≤时，0)(0<'x h ； 当0x x >时，0)(0>'x h ， 即)(x h 在区间[)∞+,0x 上单调递增，在区间[)0,0x 上单调递减， 所以)())((0min x h x h =． 又由于4 )3(-=e h ，5 1)4(-+=e h ，)3()4(h h >， 所以当3=n 时，b a -取得最小值`4-e ． 高考模拟复习试卷试题模拟卷 高考模拟复习试卷试题模拟卷第八章 直线与圆 一．基础题组 1.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、1）若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于( ) A ．1 B ．13- C ．2 3 - D ．2- 2.（文昌中学高三模拟考试、文、15）圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________． 3.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、15）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线 )(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为. 4.（重庆市部分区县高三上学期入学考试、文、16）若实数c b a ,,成等差数列，点)0,1(-P 在动直线 0:==+c by ax l 上的射影为M ，点)3,0(N ，则线段MN 长度的最小值是． 二．能力题组 1.(五校协作体高三上学期期初考试数学、文、9)曲线2 1y x =+在点（1，2）处的切线为l ，则直线l 上的任意点P 与圆22 430x y x +++=上的任意点Q 之间的最近距离是（ ） A. 4515- B.25 15 - C.51- D.2 2.(示范高中高三第一次联考、文、14）已知圆的方程为()2 2 14x y +-=。若过点11,2P ?? ??? 的直线l 与此圆交于,A B 两点，圆心为C ，则当ACB ∠最小时，直线l 的方程为。 3.（武汉市部分学校 新高三调研、文、15）圆O 的半径为1,P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A 与点P 重合）沿圆周逆时针滚动，点A 第一次回到点P 的位置，则点A 走过的路径的长度为_________. 三．拔高题组 1.(东北师大附中、吉林市第一中学校等高三五校联考、文、7）过点),(a a A 可作圆 0322222=-++-+a a ax y x 的两条切线，则实数a 的取值范围为（ ） A ．3-a B ．2 3< a C ．13<<-a 或2 3 >