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2013-2014学年高中数学 3.2.2 半角的正弦、余弦和正切课后知能检测新人教B版选修4-5

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 3.2.2 半角的

正弦、余弦和正切课后知能检测新人教B 版选修4-5

一、选择题

1.2sin 2α1＋cos 2α·cos 2

cos 2α＝( ) A ．tan 2α B ．tan α C ．1

D.12

【解析】原式＝2sin 2α2cos 2

α·cos 2

cos 2α＝tan 2α. 【答案】 A

2．函数f (x )＝sin x cos x 的最小值是( ) A ．－1 B ．－12

C.1

D ．1

【解析】 f (x )＝12sin 2x ，∴f (x )min ＝－1

【答案】 B

3．(2013·课标全国卷Ⅱ)已知sin 2α＝23，是cos 2? ????α＋π4＝( )

A.1

6 B.13 C.12

D.23

【解析】 ∵sin 2α＝23，∴cos 2? ????α＋π4＝

1＋cos ? ????2α＋π 22＝1－sin 2α2＝1－232＝16. 【答案】 A

4．设sin α＝35(π2＜α＜π)，tan(π－β)＝1

2，则tan(α－2β)＝( )

A ．－24

B ．－724

247

724

【解析】 ∵sin α＝35，α∈(π

2，π)，

∴cos α＝－45，∴tan α＝－3

又∵tan(π－β)＝12，∴tan β＝－1

2，

∴tan 2β＝2tan β1－tan 2

β＝－4

3. ∴tan(α－2β)＝tan α－tan 2β

1＋tan αtan 2β

＝－34－－43 1＋－34 · －43

＝7

【答案】 D

5.2－2cos 8＋21－sin 8的化简结果是( ) A ．2cos 4－4sin 4 B ．2sin 4 C ．2sin 4－4cos 4

D ．－2sin 4

【解析】原式＝2 1－cos 8 ＋21－2sin 4cos 4＝2×1－ 1－2sin 2

4 ＋2 sin 4－cos 4 2

＝2|sin 4|＋2|sin 4－cos 4|， ∵sin 4<0，sin 4

∴原式＝－2sin 4＋2(cos 4－sin 4)＝2cos 4－4sin 4. 【答案】 A 二、填空题

6．(2013·广州高一检测)已知sin(π4－x )＝3

5，则sin 2x 的值等于________．

【解析】法一 ∵sin(π4－x )＝35，∴cos(π2－2x )＝1－2sin 2(π

4－x )＝1－2×(35

)2＝7

， ∴sin 2x ＝cos(π2－2x )＝7

法二由sin(π4－x )＝35，得22(sin x －cos x )＝－3

，

∴sin x －cos x ＝－32

5，两边平方得

1－sin 2x ＝1825，∴sin 2x ＝7

25.

【答案】

725

7．在△ABC 中，已知cos 2C ＝－1

4，则sin C 的值为________．

【解析】 cos 2C ＝1－2sin 2

C ＝－14且0

所以sin C ＝104

. 【答案】

104

8．函数f (x )＝sin(2x －π4)－22·sin 2

x 的最小正周期是________．

【解析】 f (x )＝sin(2x －π4

)－22sin 2

x ＝

22sin 2x －22cos 2x －22×1－cos 2x 2 ＝

22sin 2x ＋2

cos 2x － 2 ＝sin(2x ＋π

)－2，

故该函数的最小周期为2π

2＝π.

【答案】 π 三、解答题

9．(1)求函数f (x )＝cos(x ＋23π)＋2cos 2x 2，x ∈R 的值域； (2)已知tan α＝3，α∈(

π4，π

)，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值．【解】 (1)f (x )＝cos x cos 23π－sin x sin 23π＋cos x ＋1＝－12cos x －3

sin x ＋cos

x ＋1＝1

2cos x －

32sin x ＋1＝sin(x ＋5π

)＋1，因此f (x )的值域为[0,2]． (2)∵α∈(π4，π2)，tan α＝3，∴sin α＝31010，cos α＝10

∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×31010×1010＝35，cos 2α＝2cos 2

α－1＝2×110

－1＝－45

， ∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－3

10．已知sin(π4＋α)sin(π4－α)＝16，且α∈(π

2，π)，求sin 4α的值．

【解】因为(π4＋α)＋(π4－α)＝π

所以sin(π4－α)＝cos(π

4＋α)

因为sin(π4＋α)sin(π4－α)＝1

6，

所以2sin(π4＋α)·cos(π4＋α)＝1

3，

即sin(π2＋2α)＝1

所以cos 2α＝1

又因为α∈(π

2，π)，所以2α∈(π，2π)，

所以sin 2α＝－1－cos 2

2α＝－223.

所以sin 4α＝2sin 2αcos 2α＝－42

11．(2013·安徽高考)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ? ????ωx ＋π4(ω＞0)的最小正周期为π.

(1)求ω的值；

(2)讨论f (x )在区间?

?????0，π2上的单调性．

【解】 (1)f (x )＝4cos ωx ·sin ? ????ωx ＋π4

＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2

ωx

＝2(sin 2ωx ＋cos 2ωx )＋2＝2sin ? ????2ωx ＋π4＋ 2.

因为f (x )的最小正周期为π，且ω＞0，

从而有2π

2ω

＝π，故ω＝1.

(2)由(1)知，f (x )＝2sin(2x ＋π

4)＋ 2.

若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π

当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π

8时，f (x )单调递增；当π2＜2x ＋π4≤5π4，即π8＜x ≤π

时，f (x )单调递减．综上可知，f (x )在区间??????0，π8上单调递增，在区间? ??

??π8，π2上单调递减.

正余弦转换公式

诱导公式（口诀:奇变偶不变，符号看象限。）sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα sin（3π/2－α）＝－cosα cos（3π/2－α）＝－sinα tan（3π/2－α）＝cotα cot（3π/2－α）＝tanα sin（3π/2＋α）＝－cosα cos（3π/2＋α）＝sinα tan（3π/2＋α）＝－cotα cot（3π/2＋α）＝－tanα sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα sin（2kπ＋α）＝sinα

cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα (其中k∈Z) 两角和与差的三角函数公式万能公式 sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ tan（α＋β）＝(tanα＋tanβ)/(1－tanα·tanβ) tanα－tanβ tan（α－β）＝—————— 1＋tanα·tanβ 2tan(α/2) sinα＝—————— 1＋tan2(α/2) 1－tan^2(α/2) cosα＝—————— 1＋tan^2(α/2) 2tan(α/2) tanα＝—————— 1－tan^2(α/2) 半角的正弦、余弦和正切公式三角函数的降幂公式二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin2α＝2sinαcosα cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α 2tanα tan2α＝————— 1－tan^2α sin3α＝3sinα－4sin^3α

高中数学：(一)正弦定理

课时达标训练(一) 正弦定理 [即时达标对点练] 题组1 利用正弦定理解三角形 1．若△ABC 中，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，则b 的值为( ) A.3＋1 B ．23＋1 C ．2 6 D ．2＋2 3 解析：选C 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得4sin 45°＝b sin 60°，所以b ＝26，故选C. 2．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝3，b ＝2，则B ＝( ) A ．45°或135° B ．60° C ．45° D ．135° 解析：选C 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝2sin 60°3＝2 2. ∵a >b ，∴A >B ， ∴B ＝45°. 3．在△ABC 中，cos A a ＝sin B b ，则A ＝( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 解析：选B ∵sin A a ＝sin B b ，又cos A a ＝sin B b ， ∴cos A a ＝sin A a ， ∴sin A ＝cos A ，tan A ＝1. 又0°

5．已知在△ABC 中，A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C ＝________. 解析：∵A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，∴A ＝30°，B ＝60°，C ＝90°. ∵a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝1 sin 30°＝2，∴a ＝2sin A ，b ＝2sin B ，c ＝2sin C . ∴ a －2 b ＋c sin A －2sin B ＋sin C ＝2. ★答案★：2 6．已知b ＝10，c ＝56，C ＝60°，解三角形．解：∵sin B ＝ b sin C c ＝10·sin 60°56 ＝2 2，且b ＝10，c ＝56，b 0，∴cos A ＝0，即A ＝π 2 ，∴△ABC 为直角三角形． ★答案★：直角三角形 8．在△ABC 中，a cos ????π2－A ＝b cos ????π 2－B ，判断△ABC 的形状．解：法一：∵a cos ????π2－A ＝b ·cos ????π2－B ， ∴a sin A ＝b sin B ．由正弦定理，得a ·a 2R ＝b ·b 2R ， ∴a 2＝b 2，∴a ＝b ， ∴△ABC 为等腰三角形．法二：∵a cos ????π2－A ＝b cos ????π 2－B ， ∴a sin A ＝b sin B . 由正弦定理，得2R sin 2A ＝2R sin 2B ，即sin A ＝sin B ，