2021 年中考数学专题复习七：二元一次方程（组）
【基础知识回顾】
一、等式的概念及性质：
1、等式：用“=”连接表示关系的式子叫做等式
2、等式的性质：
性质①等式两边都加（减）所得结果仍是等式即：若a=b,那么a±c=
性质2：等式两边都乘以或除以（除数不为0）所得结果仍是等式若：a=b,那么a
a
c= 若a=b（c≠o）那么=
c
【名师提醒：①用等式性质进行等式变形，必须注意“都”不被漏项
②等式两边都除以一个数式时必须保证它的值】二、
方程的有关概念：
1、含有未知数的叫做方程
2、使方程左右两边相等的的值，叫做方程的解
3、叫做解方程
4、方程两边都是关于未知数的这样的方程叫做整式方程三、
一元一次方程：
1、定义：只含有一个未知数，并且未知数的次数都是的方程叫做一元一次方程，一元一次方程一般可以化成的形式
2、解一元一次方程的一般步骤：
1。2。3。4。5。
【名师提醒：1、一元一次方程的解法的多步骤的一句分别是等式的性质和合并同类法则要注意灵活准确运用2、去分母时应注意不要漏乘项，移项时要注意。】
四、二元一次方程组及解法：
1、二元一次方程的一般形式：ax+by+c=0(a.b.c 是常数，a≠o,b≠o)
2、由几个含有相同未知数的合在一起，叫做二元一次方程组
3、二元一次方程组中两个方程的叫做二元一次方程组的解
4、解二元一次方程组的基本思路是：
5、二元一次方程组的解法：①②
【名师提醒：1、一个二元一次方程的解有组，我们通常在实际应用中要求其正整数解
2、二元一次方程组的解应写成五、列方程（组）解应用题：
一般步骤：1、审：弄清题意，分清题目中的已知点和未知点
x y=b a
? ? 的形式
2、设：直接或间接设未知数
3、列：根据题意寻找等关系列方程（组）
4、解：解这个方程（组），求出未知数的值
5、验：检验方程（组）的解是否符合题意
6：答：写出（名称）
【名师提醒：1、列方程（组）解应用题的关键是： 2、几个常用的等量关系：①路程= X ② 工作效率= 】
【重点考点例析】
考点一：等式性质及一元一次方程的解法
例 1 （2012?漳州）方程 2x-4=0 的解是 ．
解：移项得，2x=4，系数化为 1 得，x=2．故答案为：x=2．
点评：本题考查了移项解一元一次方程，是基础题，注意移项要变
号． 对应训练
1．（2012?郴州）一元一次方程 3x-6=0 的解是
x=2 ． 考点二：二元一次方程组的解法（巧解）
例 2 （2012?厦门）解方程组： ?3x + y = 4
．
?2x - y = 1
解： ?3x + y =
4
?2x - y = 1
? ? ? ? ① ，①+② 得，5x=5，解得 x=1；
②
把 x=1 代入②得，2-y=1，解得 y=1，故此方程组的解为： ?x = 1 ． ? y = 1
点评：本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解答此题的关键．
对应训练
2．（2012?南京）解方程组?x + 3y = -1 ． ?3x - 2 y = 8
考点三：一次方程（组）的应用
例 3 （2012?温州）楠溪江某景点门票价格：成人票每张 70 元，儿童票每张 35 元．小明买 20 张门票共花了 1225 元，设其中有 x 张成人票，y 张儿童票，根据题意，下列方程组正确的是（ ）
A ．
?x + y = 20 ?35x + 70 y = 1225
?x + y = 1225 ?35x + 70 y = 20
B．?x +y = 20
?
?70x + 35 y =1225
?
?
C ．
?x + y = 1225 D ． ?70x + 35 y = 20 解：设其中有 x 张成人票，y 张儿童票，根据题意得， ?x + y = 20 ?70x + 35 y = 1225
，故选：B．
点评：此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是弄清题意，把已知
量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
例 4 （2012?天津）某通讯公司推出了移动电话的两种计费方式（详情见下表）．
提供的信息回答下列问题：
（Ⅰ）用含有t 的式子填写下表：
（Ⅲ）当330＜t＜360 时，你认为选用哪种计费方式省钱（直接写出结果即
可）．解：（Ⅰ）①当150＜t＜350 时，方式一收费：58+0.25（x-150）
=0.25t+20.5；
② 当t＞350 时，方式一收费：58+0.25（x-150）=0.25t+20.5；
③ 方式二当t＞350 时收费：88+0.19（x-350）=0.19t+21.5．
∴当两种计费方式的费用相等时，t 的值在150＜t＜350 取得．∴列方程0.25t+20.5=88，
解得t=270．
即当主叫时间为270 分时，两种计费方式的费用相等．
（Ⅲ）方式二．
方式一收费-方式二收费y=0.25t+20.5-0.19t-21.5=0.06t-1，
当330＜t＜360 时，y＞0，即可得方式二更划算．答：当330＜t＜360 时，方式二计费方式省钱．
点评：此题考查了一元一次方程的应用，注意根据图表得出解题需要的信息，难度一般，要将实际问题转化为数学问题来求解．
? ? ? ?
例 5 （2012?株洲）在学校组织的游艺晚会上，掷飞标游艺区游戏规则如下：如图掷到 A 区和 B 区的得分不同，A 区为小圆内部分，B 区为大圆内小圆外的部分（掷中一次记一个点）．现统计小华、小芳和小明掷中与得分情况如下：
小华：77 分 小芳
75
分 小明：
？ 分
（1）求掷中 A 区、B 区一次各得多少分？（2）依此方法计算小明的得分为多少分？ 解：（1）设掷到 A 区和 B 区的得分分别为 x 、y 分，依题意得：
?5x + 3y = 77 ，解得： ?x = 10 ，答：求掷中 A 区、B 区一次各得 10，9 分． ?3x + 5 y = 75 ? y = 9
（2）由（1）可知：4x+4y=76，答：依此方法计算小明的得分为 76 分．
点评：此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是弄清题意，看懂图示，找出合适的等量关系，列出方程组． 对应训练
3．（2012?宁夏）小颖家离学校 1200 米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．她去学校共用了 16 分钟．假设小颖上坡路的平均速度是 3 千米/时，下坡路的平均速度是 5 千米/ 时．若设小颖上坡用了 x 分钟，下坡用了 y 分钟，根据题意可列方程组为（ ） ?3x + 5
y = 1200
?3
x +5
y =1.2
?3x + 5 y = 1.2
A．?
?x +y =16
B．?60 60
??x +y =16
?
C ．
D ．
x + y = 16
? 3 x +
5
? y = 1200 ? 60 60 ??x + y = 16
第一档电量 第二档电量 第三档电量
月用电量 210 度以下，每 度价格 0.52 元 月用电量 210 度至 350 度，每度比第 一档提价 0.05 元 月用电量 350 度以上，每度比第一
档提价 0.30 元
+（400- 350）×（0.52+0.30）=230（元）
（1）如果按此方案计算，小华家 5 月份的电费为 138.84 元，请你求出小华家 5 月份的用电 量；
（2）以此方案请你回答：若小华家某月的电费为 a 元，则小华家该月用电量属于第几档？
【2015 中考名题赏析】
1. （2015?齐齐哈尔,第 8 题 3 分）为了开展阳光体育活动，某班计划购买毽子和跳绳两种体育用品，共花费 35 元，毽子单价 3 元，跳绳单价 5 元，购买方案有（
）
A ． 1 种
B ． 2 种
C ． 3 种
D ． 4 种
2. （2015?辽宁省盘锦,第 6 题 3 分）有大小两种货车，2 辆大货车与 3 辆小货车一次可以运 货 15.5 吨，5 辆大货车与 6 辆小货车一次可以运货 35 吨．设一辆大货车一次可以运货 x 吨， 一辆小货车一次可以运货 y 吨，根据题意所列方程组正确的是（ ）
A
B ． ．
C D
． ．
二、填空题
1．（2015?黑龙江哈尔滨，第 17 题 3 分）（2015?哈尔滨）美术馆举办的一次画展中，展出的油画作品和国画作品共有 100 幅，其中油画作品的数量是国画作品数量的 2 倍多 7 幅， 则展出的油画作品有 幅．
2. （2015?贵州省贵阳,第 11 题 4 分）方程
的解为 ．
三、解答题
1. （2015?福建 第 21 题 8 分）某一天，蔬菜经营户老李用了 145 元从蔬菜批发市场批发一
品名 黄瓜 茄子
批发价（元/千克） 3 4
零售价（元/千克） 4 7
2. （2015?甘南州第 20 题 9 分）阅读材料：善于思考的小军在解方程
时， 采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形：4x+10 y+y=5 即2（2x+5y）+y=5③
把方程①带入③得：2×3+y=5，∴y=﹣1
把y=﹣1 代入①得x=4，∴方程组的解为．
请你解决以下问题：
（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组
（2）已知x，y 满足方程组．
（i）求x2+4y2 的值；
（ii）+的值．
3.（2015，福建南平，23，8 分）现正是闽北特产杨梅热销的季节，某水果零售商店分两批
次从批发市场共购进杨梅40 箱，已知第一、二次进货价分别为每箱50 元、40 元，且第二次比
第一次多付款700 元．
（1）设第一、二次购进杨梅的箱数分别为a 箱、b 箱，求a，b 的值；
（2）若商店对这40 箱杨梅先按每箱60 元销售了x 箱，其余的按每箱35 元全部售完．
①求商店销售完全部杨梅所获利润y（元）与x（箱）之间的函数关系式；
②当x 的值至少为多少时，商店才不会亏本．
（注：按整箱出售，利润=销售总收入﹣进货总成本）
．
2016 年中考数学专题复习八：一元二次方程及应用
【基础知识回顾】
一、一元二次方程的定义：
1、一元二次方程：含有个未知数，并且未知数最方程
2、一元二次方程的一般形式：其中二次项是一次项是，是常数项
【名师提醒：1、在一元二次方程的一般形式要特别注意强调a≠o这一条件2、将一元二次
方程化为一般形式时要按二次项、一次项、常数项排列，并一般首项为正】
二、一元二次方程的常用解法：
1、直接开平方法：如果aX 2 =b 则X 2 = X1= X2=
2、配方法：解法步骤：1、化二次项系数为即方程两边都二次项系数
2、移项：把项移到方程的边
3、配方：方程两边都加上把左边配成完全平方的形式
4、解方程：若方程右边是非负数，则可用直接开平方法解方程
3、公式法：如果方程aX 2 +bx+c=0(a±0) 满足b 2-4ac≥0，则方程的求根公式为
4、因式分解法：一元二次方程化为一般形式式，如果左边分解因式，即产生A.B=0 的形式，则可将原方程化为两个方程，即从而方程的两根
【名师提醒：一元二次方程的四种解法应根据方程的特点灵活选用，较常用到的是法
和法】
三、一元二次方程根的判别式
关于X 的一元二次方程aX 2 +bx+c=0(a±0)根的情况由决定，我们把它叫做一元二次
方程根的判别式，一般用符号表示
①当时，方程有两个不等的实数根
②当时，方程看两个相等的实数根
③当时，方程没有实数根
方程有两个实数跟，则
【名师提醒：在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母一定要保证二次
项系数】
一、一元二次方程根与系数的关系：
关于X 的一元二次方程ax 2 +bx+c=0(a≠0)有两个根分别为X1 X2
则X1+X2 = X1X2 =
二、一元二次方程的应用：
解法步骤同一元一次方程一样，仍按照审、设、列、解、验、答六步进
行常见题型
1、增长率问题：连续两率增长或降低的百分数X a（1+X）2=b
2、利润问题：总利润= X 或利润—
3、几个图形的面积、体积问题：按面积的计算公式列方程
【名师提醒：因为通常情况下一元二次方程有两个根，所以解一元二次方程的应用
题一定要验根，检验结果是否符合实际问题或是否满足题目中隐含的条件】
【重点考点例析】
考点一：一元二次方程的有关概念（意义、一般形式、根的概念等）
例1 （2012?兰州）下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（）
A．x2+ 1
x2
5 5 2k 1 =0 B ．ax 2+bx+c=0 C ．（x-1）（x+2）=1 D ．3x 2-2xy-5y 2=0
解：A 、原方程为分式方程；故本选项错误；
B 、当 a=0 时，即 ax 2+bx+c=0 的二次项系数是 0 时，该方程就不是一元二次方程；故本选项 错误；
C 、由原方程，得 x 2+x-3=0，符合一元二次方程的要求；故本选项正确；
D 、方程 3x 2-2xy-5y 2=0 中含有两个未知数；故本选项错误． 故选 C ．
点评：本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是 2． 对应训练
1．（2012?惠ft 区）一元二次方程（a+1）x 2-ax+a 2-1=0 的一个根为 0，则 a=
．
考点二：一元二次方程的解法
例 2 （2012?安徽）解方程：x 2-2x=2x+1．
解：∵x 2-2x=2x+1，∴x 2-4x=1，∴x 2-4x+4=1+4，（x-2）2=5，∴x-2=± ，∴x 1=2+ ，x 2=2- ． 点评：此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为 1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方；
（4）选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为 1，一次项的系数是 2 的倍数．
例 3 （2012?黔西南州）三角形的两边长分别为 2 和 6，第三边是方程 x 2-10x+21=0 的解， 则第三边的长为（ ） A ．7 B ．3 C ．7 或 3 D ．无法确定
解：x 2-10x+21=0，因式分解得：（x-3）（x-7）=0，解得：x 1=3，x 2=7，
∵三角形的第三边是 x 2-10x+21=0 的解，∴三角形的第三边为 3 或 7，
当三角形第三边为 3 时，2+3＜6，不能构成三角形，舍去；
当三角形第三边为 7 时，三角形三边分别为 2，6，7，能构成三角形，则第三边的长为
7． 点评：此题考查了利用因式分解法求一元二次方程的解，以及三角形的边角关系，利用因式分解法解方程时，首先将方程右边化为 0，左边分解因式，然后利用两数相乘积为 0，两因式中至少有一个为 0 转化两个一次方程来求解．
对应训练
2．（2012?台湾）若一元二次方程式 x 2-2x-3599=0 的两根为 a 、b ，且 a ＞b ，则 2a-b 之值为 何？（ ）
A ．-57
B ．63
C ．179
D ．181
3．（2012?南充）方程 x （x-2）+x-2=0 的解是（ ）A ．2 B ．-2，1 C ．-1 D ．2，-1
考点三：根的判别式的运用 例 3 （2012?襄阳）如果关于 x 的一元二次方程 kx 2-
x+1=0 有两个不相等的实数根，那么 k 的取值范围是（
） A ．k ＜ 1 B ．k ＜ 1 且 k≠0 C ．- 1 ≤k ＜ 1
5
D．- 1
≤k＜
1
且k≠0
2 2 2
2 2 2
1 1
解：由题意知：2k+1≥0，k≠0，△=2k+1-4k＞0，∴-
2
≤k＜
2
10 10 10 且 k≠0．
点评：此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的判别式△=b 2-4ac ．一元二 次方程根的情况与判别式△的关系为：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根． 例 4
（2012?绵阳）已知关于 x 的方程 x 2-（m+2）x+（2m-1）=0．
（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根是 1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长．
解：（1）证明：∵△=（m+2）2-4（2m-1）=（m-2）2+4，
∴在实数范围内，m 无论取何值，（m-2）2+4≥4，即△≥4，
∴关于 x 的方程 x 2-（m+2）x+（2m-1）=0 恒有两个不相等的实数根；
（2）根据题意，得
12-1×（m+2）+（2m-1）=0，解得，m=2，则方程的另一根为：3；
① 当该直角三角形的两直角边是 1、3 时，由勾股定理得斜边的长度为： ；
该直角三角形的周长为 1+3+ =4+ ； ② 当该直角三角形的直角边和斜边分别是 1、3 时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角 边为 2 2
；则该直角三角形的周长为1+3+2
10
10
=4+2 ．
点评：本题综合考查了勾股定理、根的判别式、一元二次方程解的定义．解答（2）时，采
用了“分类讨论”的数学思想．
对应训练
3．（2012?桂林）关于x 的方程x2-2x+k=0 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（
）
A．k＜1 B．k＞1 C．k＜-1 D．k＞-1
4．（2012?珠海）已知关于x 的一元二次方程x2+2x+m=0．
（1）当m=3 时，判断方程的根的情况；（2）当m=-3 时，求方程的根．
考点四：一元二次方程的应用
例5 （2012?南京）某汽车销售公司6 月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进
价与销售量有如下关系：若当月仅售出1 部汽车，则该部汽车的进价为27 万元，每多售出1 部，所有售出的汽车的进价均降低0.1 万元/部，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10 部以内（含10 部），每部返利0.5 万元；销售量在10 部以上，每部
返利1 万元．
（1）若该公司当月售出3 部汽车，则每部汽车的进价为万元；
（2）如果汽车的售价为28 万元/部，该公司计划当月返利12 万元，那么需要售出多少部
汽车？（盈利=销售利润+返利）
解：（1）∵若当月仅售出1 部汽车，则该部汽车的进价为27 万元，每多售出1 部，所有
售出的汽车的进价均降低0.1 万元/部，∴若该公司当月售出3 部汽车，则每部汽车的进价
为：27-0.1×2=26.8，（2）设需要售出x 部汽车，由题意可知，每部汽车的销售利润为：
28-[27-0.1（x-1）]=（0.1x+0.9）（万元），当0≤x≤10，
根据题意，得x?（0.1x+0.9）+0.5x=12，整理，得x2+14x-120=0，
解这个方程，得x1=-20（不合题意，舍去），x2=6，当x＞10 时，根据题意，得
x?（0.1x+0.9）+x=12，整理，得x2+19x-120=0，解这个方程，得x1=-24（不合题意，舍去），x2=5，因为5＜10，所以x2=5 舍去，答：需要售出6 部汽车．
点评：本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的
条件，找出合适的等量关系并进行分段讨论是解题关
键．对应训练
5．（2012?乐ft）菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5 元的单价对外批发销售，由于部
分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次
下调后，以每千克3.2 元的单价对外批发销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）小华准备到李伟处购买 5 吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：
方案一：打九折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金200 元．
试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由．
【2015 中考名题赏析】
一、选择题
1.（2015?宁德第7 题4 分）一元二次方程2x2+3x+1=0 的根的情况是（）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．无法确定
2.（2015?酒泉第7 题3 分）今年来某县加大了对教育经费的投入，2013 年投入2500 万元，2015 年投入3500 万元．假设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意列方程，则
下列方程正确的是（）
A 2500x2=3500 B．2500（1+x）2=3500