1．(2013·福建高考)设不等式|x －2| 2?A . (1)求a 的值； (2)求函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|的最小值． 解：(1)因为32∈A ，且1 2?A ，所以????32－2 2. 又因为a ∈N *，所以a ＝1. (2)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3， 当且仅当(x ＋1)(x －2)≤0，即－1≤x ≤2时取到等号． 所以f (x )的最小值为3. 2．(2013·江苏高考)已知a ≥b >0，求证：2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b . 证明：2a 3－b 3－(2ab 2－a 2b )＝2a (a 2－b 2)＋b (a 2－b 2)＝(a 2－b 2)(2a ＋b )＝(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )． 因为a ≥b >0，所以a －b ≥0，a ＋b >0,2a ＋b >0， 从而(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )≥0， 即2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b . 3．(2012·福建高考)已知函数f (x )＝m －|x －2|，m ∈R ，且f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]． (1)求m 的值； (2)若a ，b ，c ∈R ＋，且1a ＋12b ＋1 3c ＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9. 解：(1)因为f (x ＋2)＝m －|x |，所以f (x ＋2)≥0等价于|x |≤m ， 由|x |≤m 有解，得m ≥0，且其解集为{x |－m ≤x ≤m }． 又因为f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m ＝1. (2)证明：由(1)知1a ＋12b ＋1 3c ＝1，又a ，b ，c ∈R ＋， 由柯西不等式得 a ＋2 b ＋3 c ＝(a ＋2b ＋3c )????1a ＋12b ＋13c ≥?? a ·1a ＋ ? ?2b · 12b ＋3c ·1 3c 2＝9. 1．绝对值不等式 定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立． 定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立． 2．|ax ＋b |≤c (c >0)和|ax ＋b |≥c (c >0)型不等式的解法 (1)|ax ＋b |≤c (c >0)?－c ≤ax ＋b ≤c . (2)|ax ＋b |≥c (c >0)?ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c . 3．|x －a |＋|x －b |≥c (c >0)和|x －a |＋|x －b |≤c (c >0)型不等式的解法 (1)利用绝对值不等式几何意义求解，体现数形结合思想． (2)利用“零点分段法”求解，体现分类讨论思想． (3)通过构建函数，利用函数图像求解，体现函数与方程思想． 4．证明不等式的基本方法 (1)比较法；(2)综合法；(3)分析法；(4)反证法；(5)放缩法． 5．二维形式的柯西不等式 若a ，b ，c ，d ∈R ，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立 . [例1] (2013·辽宁高考)已知函数f (x )＝|x －a |，其中a >1. (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集； (2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，求a 的值． [自主解答] (1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝ ???? ? －2x ＋6， x ≤2，2， 2 当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|得－2x ＋6≥4， 解得x ≤1； 当2 所以f (x )≥4－|x －4|的解集为{x |x ≤1或x ≥5}． (2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )， 则h (x )＝???? ? －2a ， x ≤0，4x －2a ， 0 2a ， x ≥a . 由|h (x )|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋1 2. 又已知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}， 所以??? a －1 2 ＝1，a ＋1 2＝2，于是a ＝3. ——————————规律·总结—————————————————————— 绝对值不等式的求解方法 1．|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c 型不等式的解法 (1)若c >0，则|ax ＋b |≤c ?－c ≤ax ＋b ≤c ，|ax ＋b |≥c ?ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c ，然后根据a ，b 的取值求解即可； (2)若c <0，则|ax ＋b |≤c 的解集为?，|ax ＋b |≥c 的解集为R . 2.|x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≤c 型不等式的解法 (1)令每个绝对值符号里的一次式为0，求出相应的根； (2)把这些根由小到大排序，它们把数轴分为若干个区间； (3)在所分区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，讨论所得的不等式在这个区间上的解集； (4)这些解集的并集就是原不等式的解集. 1．已知函数f (x )＝|x －2|－|x －5|. (1)证明：－3≤f (x )≤3； (2)求不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集． 解：(1)证明：当x ≤2时，f (x )＝2－x －(5－x )＝－3； 当2 当x ≤2时，f (x )≥x 2－8x ＋15?x 2－8x ＋18≤0?(x －4)2＋2≤0，无解， 所以f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为空集； 当2 综上，不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x ≤6}． [例2] (2013·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3. (1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集； (2)设a ＞－1，且当x ∈????－a 2，1 2时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围． [自主解答] (1) 当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则 y ＝???? ? －5x ，x ＜1 2 ，－x －2，12 ≤x ≤1，3x －6，x ＞1， 其图像如图所示． 从图像可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y <0，所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}． (2)当x ∈????－a 2，1 2时，f (x )＝1＋a . 不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3. 所以x ≥a －2对x ∈????－a 2 ，1 2都成立． 故－a 2≥a －2，即a ≤4 3 . 从而a 的取值范围是????－1，43. ——————————规律·总结—————————————————————— 1．解决含参数的绝对值不等式问题，常用以下两种方法： (1)将参数分类讨论，将其转化为分段函数解决； (2)借助于绝对值的几何意义，先求出f (x )的最值或值域，然后再根据题目要求，求解参数的取值范围． 2．解答此类问题应熟记以下转化：f (x )>a 恒成立?f (x )min >a ；f (x )a 有解?f (x )max >a ；f (x )a 无解?f (x )max ≤a ；f (x ) . 2．已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R )，不等式f (x )>5的解集为{x |x >2或x <－3}． (1)求a 的值； (2)若不等式f (x )－f ???? x 2≤k 在R 上有解，求k 的取值范围． 解：(1)由|ax ＋1|>5得ax >4或ax <－6. 又f (x )>5的解集为{x |x >2或x <－3}， 当a >0时，解得x >4a 或x <－6 a ，则a ＝2； 当a ≤0时，经验证不合题意． 综上，a ＝2. (2)设g (x )＝f (x )－f ???? x 2， 则g (x )＝??? ?? －x ，x ≤－1， －3x －2，－1 x ，x ≥－12 ， 则函数g (x )的图像如图所示， 由图像可知，g (x )≥－1 2 ， 故原不等式在R 上有解时，k ≥－1 2. 即k 的取值范围是??? ?－1 2，＋∞. [例3] (2013·新课标全国卷Ⅱ)设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1.证明： (1) ab ＋bc ＋ac ≤1 3； (2) a 2b ＋b 2c ＋c 2 a ≥1. [自主解答] (1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ，得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac . 由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ＝1. 所以3(ab ＋bc ＋ac )≤1，即ab ＋bc ＋ac ≤13 . (2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )，即 a 2 b ＋b 2 c ＋c 2 a ≥a ＋b ＋c . 所以a 2b ＋b 2c ＋c 2 a ≥1. ——————————规律·总结—————————————————————— 不等式证明的常用方法是：比较法、综合法与分析法．其中运用综合法证明不等式时，主要是运用基本不等式与柯西不等式证明，与绝对值有关的不等式证明常用绝对值三角不等式．证明过程中一方面要注意不等式成立的条件，另一方面要善于对式子进行恰当的转化、变形． 3．(1)设a ≥b ＞0，证明：3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2； (2)证明：a 6＋8b 6＋1 27 c 6≥2a 2b 2c 2； (3)若a ，b ，c 为正实数，证明：a 2＋4b 2＋9c 2≥2ab ＋3ac ＋6bc . 证明：(1)3a 3＋2b 3－(3a 2b ＋2ab 2)＝3a 2(a －b )－2b 2(a －b )＝(a －b )(3a 2－2b 2)． ∵a ≥b ＞0，∴a －b ≥0,3a 2－2b 2>0. ∴(a －b )(3a 2－2b 2)≥0. ∴3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2. (2)a 6＋8b 6＋127c 6≥3 3827a 6b 6c 6＝3×2 3 a 2 b 2 c 2＝2a 2b 2c 2， ∴a 6＋8b 6＋1 27c 6≥2a 2b 2c 2. (3)∵a 2＋4b 2≥2a 2·4b 2＝4ab ， a 2＋9c 2≥2a 2·9c 2＝6ac ， 4b 2＋9c 2≥24b 2·9c 2＝12bc ， ∴2a 2＋8b 2＋18c 2≥4ab ＋6ac ＋12bc ， ∴a 2＋4b 2＋9c 2≥2ab ＋3ac ＋6bc . [例4] 已知a ，b 为正实数． (1)求证：a 2b ＋b 2 a ≥a ＋b ； (2)利用(1)的结论，求函数y ＝(1－x )2x ＋x 2 1－x (0 [自主解答] (1)证明：法一：∵a >0，b >0， ∴(a ＋b )????a 2 b ＋b 2 a ＝a 2＋ b 2＋a 3 b ＋b 3 a ≥a 2＋ b 2＋2ab ＝(a ＋b )2. ∴a 2b ＋b 2 a ≥a ＋ b ，当且仅当a ＝b 时等号成立． 法二：a 2b ＋b 2 a －(a ＋ b )＝a 3＋b 3－a 2b －ab 2ab ＝a 3－a 2b －(ab 2－b 3)ab ＝a 2(a －b )－b 2(a －b ) ab ＝(a －b )2(a ＋b ) ab ， 又∵a >0，b >0，∴(a －b )2(a ＋b ) ab ≥0，当且仅当a ＝b 时等号成立． ∴a 2b ＋b 2 a ≥a ＋ b . (2)∵0 由(1)的结论，得函数y ＝(1－x )2x ＋x 2 1－x ≥(1－x )＋x ＝1， 当且仅当1－x ＝x ，即x ＝1 2时等号成立． ∴函数y ＝(1－x )2x ＋x 2 1－x (0 ——————————规律·总结—————————————————————— 基本不等式和柯西不等式在解决多变量代数式的最值问题中有着重要的应用，运用基本不等式时应注意其条件“一正、二定、三相等”；运用柯西不等式求最值时，关键是进行巧妙的拼凑，构造出柯西不等式的形式． 4．已知函数f(x)＝2x＋5－x. (1)求证：f(x)≤5，并说明等号成立的条件； (2)若关于x的不等式f(x)≤|m－2|恒成立，求实数m的取值范围． 解：(1)证明：由柯西不等式得(2x＋5－x)2≤(22＋12)·[(x)2＋(5－x)2]＝25， 所以f(x)＝2x＋5－x≤5， 当且仅当 x 2＝ 5－x 1，即x＝4时等号成立． (2)由(1)知f(x)≤5， 又不等式f(x)≤|m－2|恒成立，所以|m－2|≥5，解得m≥7或m≤－3， 故m的取值范围是(－∞，－3]∪[7，＋∞)．
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