高考压轴导数大题
例1.已知函数32
11()32
f x x ax bx =
++在区间[11)-,,(13],内各有一个极值点. (I )求24a b -的最大值;
(II )当248a b -=时,设函数()y f x =在点(1(1))A f ,处的切线为l ,若l 在点A 处穿过函数()y f x =的图象(即动点在点A 附近沿曲线()y f x =运动,经过点A 时,从l 的一侧进入另一侧),求函数()f x 的表达式.
例3已知函数()θθcos 16
3cos 3423+-=x x x f ,其中θ,R x ∈为参数,且πθ20≤≤.
(1)当时0cos =θ,判断函数()x f 是否有极值;
(2)要使函数()f x 的极小值大于零,求参数θ的取值范围;
例4.已知函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5,其导函数'()y f x =的图象经过点(1,0),(2,0). 求:(Ⅰ)0x 的值; (Ⅱ),,a b c 的值.
例5设3=x 是函数()()()R x e b ax x x f x ∈++=-32的一个极值点. (Ⅰ)求a 与b 的关系式(用a 表示b ),并求()x f 的单调区间;
(Ⅱ)设0>a ,()x e a x g ??
? ?
?+=4252.若存在[]4,0,21∈εε使得()()121<-εεg f 成立,
求a 的取值范围
例6已知函数3
21()(2)13
f x ax bx b x =
-+-+ 在1x x =处取得极大值,在2x x =处取得极小值,且12012x x <<<<. (1)证明0a >;
(2)若z =a +2b ,求z 的取值范围。
1. 已知函数
2
1()22f x ax x =
+,()g x lnx =.
(Ⅰ)如果函数()y f x =在[1,)+∞上是单调增函数,求a 的取值范围;
(Ⅱ)是否存在实数0a >,使得方程()()(21)g x f x a x '=-+在区间1
(,)
e e 内有且只有两个不相等的实数根?若存在,请求出a 的取值范围;若不存在,请说明理由.
2. 如果
()0x f 是函数()x f 的一个极值,称点()()00,x f x 是函数()x f 的一个极值点.已知函数()()()00≠≠-=a x e b ax x f x
a
且
(1)若函数()x f 总存在有两个极值点B A ,,求b a ,所满足的关系;
(2)若函数()x f 有两个极值点B A ,,且存在R a ∈,求B A ,在不等式1
?< 域内,证明:10<≤b . 3已知函数3221 ()ln ,()3(,,R) 32f x x x g x x ax bx c a b c ==-+-+∈. (1)若函数()()()h x f x g x ''=-是其定义域上的增函数,求实数a 的取值范围; (2)若()g x 是奇函数,且()g x 的极大值是 g ,求函数()g x 在区间[1,]m -上的最大值; (3)证明:当0x >时,12()1x f x e ex '> -+. 4已知实数a 满足0<a ≤2,a ≠1,设函数f (x )=13 x 3-12a +x 2 +ax . (Ⅰ) 当a =2时,求f (x )的极小值; (Ⅱ) 若函数g (x )=x 3+bx 2-(2b +4)x +ln x (b ∈R )的极小值点与f (x )的极小值点相同. 求证:g (x )的极大值小于等于5/4 例1解(I )因为函数32 11()32 f x x ax bx = ++在区间[11)-,,(13],内分别有一个极值点,所以2()f x x ax b '=++0=在[11)-,,(13],内分别有一个实根, 设两实根为12x x ,(12x x <),则21x x -= 2104x x <-≤.于是 04,20416a b <-≤,且当11x =-, 23x =,即2a =-,3b =-时等号成立.故24a b -的最大值是16. (II )解法一:由(1)1f a b '=++知()f x 在点(1(1))f ,处的切线l 的方程是 (1)(1)(1)y f f x '-=-,即21 (1)32 y a b x a =++- -, 因为切线l 在点(1())A f x ,处空过()y f x =的图象, 所以21 ()()[(1)]32 g x f x a b x a =-++- -在1x =两边附近的函数值异号,则 1x =不是()g x 的极值点. 而()g x 321121 (1)3232 x ax bx a b x a = ++-++++,且 22()(1)1(1)(1)g x x ax b a b x ax a x x a '=++-++=+--=-++. 若11a ≠--,则1x =和1x a =--都是()g x 的极值点. 所以11a =--,即2a =-,又由2 48a b -=,得1b =-,故3 21()3 f x x x x = --. 解法二:同解法一得21()()[(1)]32 g x f x a b x a =-++- - 2133 (1)[(1)(2)]322 a x x x a =-++-+. 因为切线l 在点(1(1))A f ,处穿过()y f x =的图象,所以()g x 在1x =两边附近的函数值异号,于是存在12m m ,(121m m <<). 当11m x <<时,()0g x <,当21x m <<时,()0g x >; 或当11m x <<时,()0g x >,当21x m <<时,()0g x <. 设233()1222a a h x x x ? ??? =++ -+ ? ????? ,则 当11m x <<时,()0h x >,当21x m <<时,()0h x >; 或当11m x <<时,()0h x <,当21x m <<时,()0h x <. 由(1)0h =知1x =是()h x 的一个极值点,则3(1)21102 a h =?++=, 所以2a =-,又由248a b -=,得1b =-,故3 21()3 f x x x x =--. 例3解(Ⅰ)当cos 0θ=时,3()4f x x =,则()f x 在(,)-∞+∞内是增函数,故无极值. (Ⅱ)2'()126cos f x x x θ=-,令'()0f x =,得12cos 0,2 x x θ==. 由(Ⅰ),只需分下面两种情况讨论. ①当cos 0θ>时,随x 的变化'()f x 的符号及()f x 的变化情况如下表: 因此,函数()f x 在cos 2x =处取得极小值cos f()2,且3cos 13()cos 2416f θθθ=-+. 要使cos ()02f θ>,必有213cos (cos )044θθ-->,可得0cos θ<. 由于0cos θ≤,故3116 2 2 6 ππππθθ<<<<或. ②当时cos 0θ<,随x 的变化,'()f x 的符号及()f x 的变化情况如下表: 因此,函数()0f x x =在处取得极小值(0)f ,且3(0)cos .16 f θ= 若(0)0f >,则cos 0θ>.矛盾.所以当cos 0θ<时,()f x 的极小值不会大于零. 综上,要使函数()f x 在(,)-∞+∞内的极小值大于零,参数θ的取值范围为311(,)(,)62 2 6 ππππ?. 例4解法一:(Ⅰ)由图像可知,在(),1-∞上 ()'0f x >,在()1,2上()'0f x <,在()2,+∞上()'0f x >, 故()f x 在∞∞(-,1),(2,+)上递增,在(1,2)上递减, 因此()f x 在1x =处取得极大值,所以01x = (Ⅱ)'2()32,f x ax bx c =++ 由'''f f f (1)=0,(2)=0,(1)=5, 得320, 1240,5,a b c a b c a b c ++=??++=? ?++=? 解得2,9,12.a b c ==-= 解法二:(Ⅰ)同解法一 (Ⅱ)设'2()(1)(2)32,f x m x x mx mx m =--=-+ 又'2()32,f x ax bx c =++ 所以3,,23 2 m a b m c m ==-= 32| 3()2,32 m f x x mx mx = -+ 由(1)5f =,即325,3 2 m m m -+=得6,m = 所以2,9,12a b c ==-= 例5解(Ⅰ)f `(x)=-[x 2+(a -2)x +b -a ]e 3- x , 由f `(3)=0,得-[32+(a -2)3+b -a ]e 3- 3=0,即得b =-3-2a , 则f `(x)=[x 2+(a -2)x -3-2a -a ]e 3 -x =-[x 2+(a -2)x -3-3a ]e 3- x =-(x -3)(x +a+1)e 3- x . 令f `(x)=0,得x 1=3或x 2=-a -1,由于x =3是极值点, 所以x+a+1≠0,那么a ≠-4. 当a <-4时,x 2>3=x 1,则 在区间(-∞,3)上,f `(x)<0,f (x)为减函数; 在区间(3,―a ―1)上,f `(x)>0,f (x)为增函数; 在区间(―a ―1,+∞)上,f `(x)<0,f (x)为减函数. 当a >-4时,x 2<3=x 1,则 在区间(-∞,―a ―1)上,f `(x)<0,f (x)为减函数; 在区间(―a ―1,3)上,f `(x)>0,f (x)为增函数; 在区间(3,+∞)上,f `(x)<0,f (x)为减函数. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当a >0时,f (x)在区间(0,3)上的单调递增,在区间(3,4)上单调递减,那么f (x)在区间[0,4]上的值域是[min(f (0),f (4) ),f (3)], 而f (0)=-(2a +3)e 3<0,f (4)=(2a +13)e - 1>0,f (3)=a +6, 那么f (x)在区间[0,4]上的值域是[-(2a +3)e 3,a +6]. 又225()()4 x g x a e =+在区间[0,4]上是增函数, 且它在区间[0,4]上的值域是[a 2+4 25,(a 2+4 25)e 4], 由于(a 2+4 25)-(a +6)=a 2-a +41=(2 1-a )2≥0,所以只须仅须 (a 2+4