湖北省各地2017届高三最新考试数学文试题分类汇编
导数及其应用
2017.02
一、选择、填空题
1、（黄冈市2017届高三上学期期末）已知a R ∈，若()x
a f x x e x ??=+ ???
在区间()0,1上有且只有一个极值点，则a 的取值范围是
A. 0a >
B. 1a ≤
C. 1a >
D. 0a ≤
2、（荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2017届高三2月联考）若函数32()(0)
f x ax bx cx d a =+++≠图象的对称中心为00(,())M x f x ，记函数()f x 的导函数为)(x
g ，则有0)(0='x g .若函数
32()3f x x x =-，则12(
)()20172017f f +40324033
()()20172017
f f +++= ________. 3、（荆州市五县市区2017届高三上学期期末）已知定义在(0,)+∞上的单调函数()f x ，对
(0,)x ?∈+∞，都有2[()log ]3f f x x -=，则方程()'()2f x f x -=的解所在的区间是（ ）
A ．（0，
1
2
） B ．（
1
,12
） C ．（1，2） D ．（2，3）
4、（天门、仙桃、潜江市2017届高三上学期期末联合考试）定义在R 上的奇函数()f x ，当(,0)x ∈-∞时，()()0f x xf x '+<恒成立，若3(3)a f =，(log 3)(log 3)b f ππ= ，2(2)c f =--，则
A ．a c b >>
B ．c b a >>
C ．c a b >>
D ．a b c >>
5、（襄阳市优质高中2017届高三1月联考）若函数()f x 对定义域内的任意12,x x ，当()()12f x f x =时，总有12x x =，则称函数()f x 为单纯函数，例如函数()f x x =是单纯函数，但函数()2
f x x =不是单纯函数，下列命题：①函数()2lo
g ,2
1,2
x x f x x x ≥?=?
--时，函数
()21
x ax f x x
++=在()0,+∞上是单纯函数；③若函数()f x 为其定义域内的单纯函数，12x x ≠，
则()()12f x f x ≠；④若函()f x 数是单纯函数且在其定义域内可导，则在其定义域内一定存在0x 使其导数()00f x '=.其中正确的命题为 .（填上所有正确的命题序号）
6、（孝感市七校教学联盟2017届高三上学期期末）已知为R 上的连续可导函数，且'
()()0xf x f x +>，
则函数g(x)=xf(x)+1 (x>0)的零点个数为_____.
二、解答题
1、（黄冈市2017届高三上学期期末）已知a R ∈，函数()ln 1.f x x ax =-+ （1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）若函数()f x 有两个不同的零点()1212,x x x x <，求实数a 的取值范围； （3）在（2）的条件下，求证：12 2.x x +>
2、（荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2017届高三2月联考）已知函数21
()ln
2f x ax x x
=-+． （Ⅰ）讨论函数()f x 的极值点的个数；
（Ⅱ）若()f x 有两个极值点12,x x ，证明：12()()34ln 2f x f x +>-．
3、（荆门市2017届高三元月调考）设函数()ln a
f x x x x
=++ （Ⅰ）在()ln a f x x x x =+
+（02x <≤）图象上任意一点00(,)P x y 处切线的斜率k ≤12
恒 成立，求实数a 的取值范围；
（Ⅱ）不等式()1f x a +≥，对),1[∞+∈x 恒成立，求实数a 的取值范围.
4、（荆州市五县市区2017届高三上学期期末）已知函数x x a x f ln 2)1)(2()(---=（e R a ,∈为自然对数的底数）
（1）当1=a 时，求f (x)的单调区间； （2）若函数f (x)在（0，2
1
）上无零点，求a 的最小值
5、（天门、仙桃、潜江市2017届高三上学期期末联合考试）已知定义在R 上的函数
32()(,,,)f x ax bx cx d a b c d =+++∈R 的图象关于原点对称，且当1x =时，()f x 取极小值-2. （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；
（Ⅱ）解关于x 的不等式22()5(43)()f x mx m x m >-+∈R .
6、（武汉市2017届高三毕业生二月调研考）已知函数()()2x x f x xe ax a R =-∈恰有两个极值点
()1212,x x x x <.
（1）求实数a 的取值范围； （2）求证：()21
.2
f x >-
7、（武汉市武昌区2017届高三1月调研）已知函数()()2
11ln 2
f x x a x a x =+--. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；
（Ⅱ）设0a <，若对12,x x ?()0,∈+∞，()()12124f x f x x x -≥-，求a 的取值范围.
8、（襄阳市2017届高三1月调研）已知函数()()()2
4ln ,1.f x x x g x ax ax a R =-=++∈
(1)求函数()f x 的单调区间；
(2))若()()af x g x >对任意()0,x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围.
9、（襄阳市优质高中2017届高三1月联考） 已知函数()3
2
2 1.f x x ax =-+
（1）当4a =时，求函数()f x 的极大值；
（2）若函数()f x 在R 上有且仅有两个零点，求实数a 的值；
（3）求证：()33331111112234321
n N n n n ++++<-∈≥+ 且.
10、（孝感市七校教学联盟2017届高三上学期期末）已知函数3()31f x x ax =-- (0a ≠).
(1)求f(x)的单调区间。
(2)若f(x)在x=1-处取得极值，直线y=m 与y=f(x)的图像有三个不同的交点，求m 的取值范围。
11、（湖北省部分重点中学2017届高三上学期第二次联考）已知函数
()()2ln f x x x ax x a a R =+-+∈在其定义域内有两个不同的极值点.
（1）求a 的取值范围；
（2）设()f x 的两个极值点分别为12,x x ，证明：212.x x e ?>
参考答案
一、选择、填空题
1、A
2、8066-
3、C
4、A
5、【答案】①③
【解析】由单纯函数的定义可知单纯函数()f x 的自变量和函数值是一一映射，因此单调函数一定是单纯函数，但单纯函数不一定是单调函数，①③正确；当0a =时1
()f x x x
=+
在(0,)+∞不是单纯函数，②错误；函数()f x x =是单纯函数，但其定义域内不存在0x 使其导函数0()0f x '=，④错误. 6、0
二、解答题
1、解：（Ⅰ）f （x ）的定义域为（0，+∞），其导数f'（x ）=﹣a ． ①当a≤0时，f'（x ）＞0，函数在（0，+∞）上是增函数；
②当a ＞0时，在区间（0，）上，f'（x ）＞0；在区间（，+∞）上，f'（x ）＜0． ∴f （x ）在（0，）是增函数，在（，+∞）是减函数．………………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a≤0时，函数f （x ）在（0，+∞）上是增函数，不可能有两个零点， 当a ＞0时，f （x ）在（0，）上是增函数，在（，+∞）上是减函数，此时f （）为函数f （x ）的最大值，
当f （）≤0时，f （x ）最多有一个零点，∴f （）=ln ＞0，解得0＜a ＜1，
此时，＜，且f （）=﹣1﹣+1=﹣＜0，
f （）=2﹣2lna ﹣+1=3﹣2lna ﹣（0＜a ＜1），
令F （a ）=3﹣2lna ﹣，则F'（x ）=﹣=＞0，∴F （a ）在（0，1）上单调递增，
∴F （a ）＜F （1）=3﹣e 2＜0，即f （
）＜0，
∴a 的取值范围是（0，1）．………………8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知函数f （x ）在（0，）是增函数，在（，+∞）是减函数．分析：∵
0，
∴
．只要证明：f （
）＞0就可以得出结论．
下面给出证明：构造函数：g （x ）=f （﹣x ）﹣f （x ）=ln （﹣x ）﹣a （﹣x ）﹣（lnx ﹣ax ）（0
＜x≤），则g'（x ）=+2a=，
函数g （x ）在区间（0，]上为减函数．0＜x 1，则g （x 1）＞g （）=0，又f （x 1）=0， 于是f （）=ln （
）﹣a （）+1﹣f （x 1）=g （x 1）＞0．又f （x 2）=0， 由（1）可知
，即
．………………12分
2、 解：（Ⅰ）由221
()ln
ln 22f x ax x x ax x x
=-+=--+得， 2121
()21,(0,)ax x f x ax x x x
-+-'=--+=∈+∞ …………………1分
（ⅰ）0a =时，1
(),(0,1),()0x f x x f x x
-''=
∈< ，(1,),()0x f x '∈+∞> 所以1,()x f x =取得极小值，1x =是()f x 的一个极小值点． …………………2分
（ⅱ）0a <时，180a ?=->，令()0f x '=，得12118118,44a a
x x a a
--+-=
=
显然，120,0x x ><，所以11(0,),()0,(,),()0x x f x x x f x ''∈<∈+∞>，
()f x 在1x x =取得极小值，()f x 有一个极小值点． …………………4分
（ⅲ）0a >时，180,a ?=-≤时，即1
8
a ≥()0,f x '≤()f x 在(0,)+∞是减函数，()f x 无极值点． 当108a <<时，180a ?=->，令()0f x '=，得12118118,44a a
x x a a
--+-==
当1(0,)x x ∈和2(,)x x ∈+∞时()0f x '<，12(,)x x x ∈时，()0f x '>，所以()f x 在1x 取得极小值，
在2x 取得极大值，所以()f x 有两个极值点． …………………6分 综上可知：（ⅰ）0a ≤时，()f x 仅有一个极值点；
（ⅱ） 当1
8a ≥
时，()f x 无极值点； （ⅲ）当1
08
a <<时，()f x 有两个极值点． …………………7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当且仅当1
(0,)8
a ∈时，()f x 有极小值点1x 和极大值点2x ，且
12,x x 是方程2210ax x -+=的两根，所以121211,22x x x x a a
+==， …………………8分 2212112212
11()()ln ln 22f x f x ax x ax x x x +=-++-+
2212121222111(ln 2ln 2)()()ln []42x x a x x x x a a a a a
=-+-+++=---+ 111
ln
1ln 1ln 22424a a a a a
=-++=++-， …………………10分 设11()ln 1ln 2,(0,)48g a a a a =++-∈，22
1141()044a g a a a a -'=-=< ， 所以1(0,)8a ∈时，()g a 是减函数，1()()8g a g >，则1
()ln 3ln 234ln 28
g a >+-=-
所以12()()34ln 2f x f x +>-得证． …………………12分
3、（Ⅰ）依题意，知)(x f 的定义域为(0,)+∞，2
1()1a
f x x x '=
-+,]2,0(∈x ，…………1分 则有20002
0()x x a
k f x x +-'==≤2
1，在]2,0(0∈x 上恒成立， 所以a ≥max 02
0)2
1(x x +，]2,0(0∈x , …………………………3分 当20=x 时，
02
02
1x x +取得最大值4，所以a ≥4. …………………4分 （Ⅱ）由不等式()1f x a +≥，对),1[∞+∈x 恒成立，
2
2211)('x
a
x x x a x x f -+=+-=,令2(),(1)g x x x a x =+-≥， 则)(x g 是),1[∞+∈x 上的增函数，即()2g x a -≥，……………6分
①当2a ≤时，()0g x ≥，所以()0f x '≥，因此)(x f 是),1[∞+∈x 上的增函数，
则()(1)0f x f =≥，因此2a ≤时，不等式成立； ………………………8分
②当2>a 时，即对),1[∞+∈x ，22
()0x x a
f x x
+-'==时，0)(2=-+=a x x x g ， 求得24111a
x ++-=
，（由于1x ≥，所以舍去24112a x +--=）
当)21
41,
1[-+∈a x 时，0)(<'x f ，则)(x f 是)2
1
41,1[-+∈a x 上的减函数， 当),2
1
41(
∞+-+∈a x 时，0)(>'x f ， 则)(x f 是),2
1
41(
∞+-+∈a x 上的增函数， …………………………………………10分
所以当)2
1
41,
1(-+∈a x 时，0)1()(=
4、解：（Ⅰ）当1a =时，2
()12ln ,()1,f x x x f x x
'=--=-
由()0,2;f x x '>>由()0,0 2.f x x '<<<
（2分）
故()f x 的单调减区间为(]0,2,单调增区间为[)2,.+∞ （4分）
（Ⅱ）因为()0f x <在1(0,)2
上恒成立不可能(+∞→→)(0x f x ，)，
故要使函数()f x 在1(0,)2
上无零点，
只要对任意的1(0,),()02
x f x ∈>恒成立，即对12ln (0,),221x x a x ∈>--恒成立．（6分） 令2ln 1
()2,(0,),12
x l x x x =-∈-则'2
2
2
2
(1)2ln 2ln 2(),
(1)(1)
x x
x x x
l x x x --+
-=-=
--
再令2221222(1)()2ln 2,(0,),()0,2x m x x x m x x x x x
--'=+
-∈=-+=< ()m x 在1(0,)2
上为减函数，于是1()()22ln 20,2
m x m >=-> （10分）
从而，0)('
>x l ，于是()l x 在1(0,)2
上为增函数1,()()24ln 2,2l x l <=-
故要使1
ln 22--
>x x
a 恒成立，只要[)∞+-∈，
2ln 42a （12分） 综上，若函数()f x 在），（2
10上无零点，则a 的最小值为2ln 42-=a
5、【解析】（Ⅰ）由已知得()f x 为奇函数，且(0)0f =， ∴20,0,()3b d f x ax c '===+……………………………………………2分 当1x =时，()f x 取极小值，
∴302a c a c +=??+=-?，解得13a c =??=-?
………………………………………………4分
∴2()330f x x '=->时，()f x 单调递增， 解得11x x <->或
∴()f x 的单调递增区间是（-∞，-1），（1，+∞）……………………6分
（Ⅱ）32235(43)x x mx m x ->-+，
即()(4)0x x m x m --> ……………………………………………………8分 即0m =时，30,0x x >> …………………………………………………9分 0m >时，40x m x m ><<或；……………………………………………10分
0m <时，04x m x m ><<或………………………………………………11分
故当0m =时，所求不等式的解集是{|0}x x >；
当0m >时，所求不等式的解集是{|40}x x m x m ><<或；
当0m <时，所求不等式的解集是{|04}x x m x m ><<或………………12分
6、
7、（Ⅰ）()f x 的定义域为()0,+∞ ，
求导数，得()()()()2
111x a x a x x a a f x x a x x x
+--+-'=+--== ， 若0a ≤ ，则()0f x '>，此时()f x 在()0,+∞上单调递增，
若0a > ，则由()0f x '=得x a =，当0x a <<时，()0f x '< ，当x a >时，()0f x '> ， 此时()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增.
（Ⅱ）不妨设12x x ≤，而0a <，由（Ⅰ）知，()f x 在()0,+∞上单调递增，()()12f x f x ∴≤ 从而()()()121212,0,,4x x f x f x x x ?∈+∞-≥- 等价于
()()()121122,0,,44x x x f x x f x ?∈+∞-≥- ①
令()()4g x x f x =-，则()()4413a a
g x f x x a x a x x
??''=-=-+--=-++ ???， 因此，①等价于()g x 在()0,+∞上单调递减，
()30a
g x x a x
'∴=
-++≤对()0,x ?∈+∞恒成立， 231x x
a x -∴≤+对()0,x ?∈+∞恒成立，2min
31x x a x ??-∴≤ ?+?? ，
又()234
4
152
15111
1
x x x x x x x -=++-≥+?
-=-+++，当且仅当411x x +=
+，即1x =时，等号成立.
1a ∴≤- ，
故a 的取值范围为(],1-∞-.
8、(Ⅰ)解：错误！未找到引用源。
2分
∴函数f (x )的单调递增区间是(0，4]，单调递减区间是[4，+∞)．
4分 (Ⅱ)解：不等式af (x ) > g (x )等价于：错误！未找到引用源。 ① 当a = 0时，①不成立
6分
当a > 0时，①化为：错误！未找到引用源。 ② 当a < 0时，①化为：错误！未找到引用源。 ③ 令错误！未找到引用源。(x > 0)，则 错误！未找到引用源。
8分
∴当x ∈(0，1)时，错误！未找到引用源。，x ∈(1，+∞)时，错误！未找到引用源。 故h (x )在(0，1)是增函数，在(1，+∞)是减函数 ∴错误！未找到引用源。 10分
因此②不成立
要③成立，只要错误！未找到引用源。
∴所求a 的取值范围是错误！未找到引用源。．
12分
9、解：（I ）当4a =时，32
()241f x x x =-+，4
()6()3f x x x '=-，
x
(,0)-∞
4(0,)
3 43 4
(,)3+∞ ()f x ' + 0 _ 0
+
()f x
极大值
极小值
所以，函数()y f x =的极大值为(0)1f =；………………………………4分
（II ）32
()21f x x ax =-+在R 上有且仅有两个零点，()6()3
a f x x x '=-.
当0a >时，
函数在(,0)-∞上递增且恰有1个零点，(0)10f =>，因而必有
3()10327
a a f =-=得30a =>，所以3a =；…………………………6分 当0a =时，2()60f x x '=≥，函数()y f x =在(,)-∞+∞上递增，函数()
y f x =至多有一个零点，不符合题意，舍去；………………………………………7分 当0a <时，
函数()y f x =在(,)3a -∞上递增且恰有1个零点，但在(,)3
a +∞上无零点，因而函数
()y f x =在R 只有1个零点，不符合题意，应舍去.
综上所述，3a =；………………………………………………………………8分
(其它解法酌情给分)
（III ）证明：由（I ）当4a =时，32
()241f x x x =-+在[2,)x ∈+∞递增，有
()(2)10f x f ≥=>，当n N ∈且2n ≥时，32()241(2)0f n n n f =-+≥>，从而 322410n n >->，
321211412121
n n n n <=---+，2,3,,n n = ……10分 3333111111111111()()()23435572121321
n n n n ++++<-+-++-=--++ . 所以，3333111111
234321
n n ++++<-+ (n N ∈且2)n ≥.………………12分
10、（1）. '2
()33f x x a =- （1分）
1?.当a<0时，'()0,()f x f x >∴在(,)-∞+∞上单调递增； （3分）
2?当a>0时，'()3()()f x x a x a =+- （5分）
x
(,)a -∞-
a -
(,)a a -
a
(,)a +∞
'()f x
+
0 -
0 +[来
f(x) 极大值
极小值
()f x 在(,)a -∞-和(,)a +∞上单增，在(,)a a -上单减 （7分）
（2）()f x 在x=-1处取得极值，'(1)0f ∴-=
3330,1,()3a a f x x x ∴-===--1,()=(1)2,f x f ∴-=极大()=(1)-2,f x f ∴=极小 （9分）要使
直线y=m 与y=f(x)的图像有三个交点，必须且只需()()f x m f x ∴<<极小极大，∴-2 11、（1）依题意，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，所以方程'()0f x =在(0,)+∞有两个不同根.即，方程ln 20x ax +=在(0,)+∞有两个不同根. 转化为，函数ln ()x g x x = 与函数2y a =-的图象在(0,)+∞上有两个不同交点……2分 又' 2 1ln ()x g x x -= ，即0x e <<时，'()0g x >，x e >时，'()0g x <， 所以()g x 在(0,)e 上单调增，在(,)e +∞上单调减，从而1()=()g x g e e = 极大. 又()g x 有且只有一个零点是1，且在0x →时，()g x →-∞，在x →+∞时，()0g x →， ……4分 所以由()g x 的图象，要想函数ln ()x g x x =与函数2y a =-的图象在(0,)+∞上有两个不同交点，只需102a e <-< ，即 1 02a e <<- ……5分 （2）由（1）可知12,x x 分别是方程ln 0x ax -=的两个根，即11ln x ax =，22ln x ax =， 设120x x >>，作差得，1122 ln ()x a x x x =-，即1 212ln x x a x x =-. 原不等式212x x e >等价于 12ln ln 2x x +>12()2a x x ?+>112212 2() ln x x x x x x -?> + ……7分 令 12 x t x =，则1t >，1122122()2(1) ln ln 1x x x t t x x x t -->?> ++， ……9分 设2(1)()ln 1t g t t t -=-+，1t >，2' 2 (1)()0(1)t g t t t -=>+， ∴函数()g t 在(1,)+∞上单调递增，∴()(1)0g t g >=， 即不等式2(1) ln 1 t t t ->+成立，故所证不等式212x x e >成立. ……12分
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