函数的性质选讲
引语------古之成大事者，不惟有超世之才，必有坚忍不拔之志。
(1) 单调性
ⅰ增函数：_____________________________________
ⅱ减函数：_____________________________________
(2) 奇偶性
ⅰ奇函数：图像关于_________对称的函数是奇函数,结论：________________
)(x f 在原点有意义时，____________
ⅱ偶函数：图像关于_________对称的函数是偶函数,结论：________________
(3) 周期性
定义： ()()f x T f x ±=
常见函数的周期性
ⅰ()()f x a f x a +=- ?)(x f y =的周期为___________
ⅱ)()(x f a x f -=+ ?)(x f y =的周期为___________ ⅲ)(1
)(x f a x f ±=+ ?)(x f y =的周期为___________
ⅳ偶函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+?)(x f y = 周期___________
ⅴ奇函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+?)(x f y = 周期___________ ⅵ)(1)
(1)(x f x f a x f -+=+ ?)(x f y =的周期为___________ ⅶ)(1)
(1)(x f x f a x f +-=+ ?)(x f y =的周期为___________
(4) 对称性
【A 】对称轴问题
ⅰ )()(x b f x a f -=+ ?)(x f y =图象关于直线___________对称
ⅱ)()(x a f x a f -=+ ?)(x f y =的图象关于直线___________对称
【B 】对称点（中心）问题
ⅰc x b f x a f 2)()(=-++ ?)(x f y =的图象关于点___________对称
ⅱb x a f x a f 2)()(=-++ ?)(x f y =的图象关于点___________对称
ⅲb x a f x f 2)2()(=-+ ?)(x f y =的图象关于点___________对称
ⅳb x a f x f 2)2()(=++- ?)(x f y =的图象关于点___________对称
★三次函数d cx bx ax x f +++=23)(的对称中心是))3(,3(a
b f a b --
(二阶导数=0) (5) 特殊周期 1：若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f -=+)(，且()x b f x b f -=+)(（其中b a ≠），则函数()x f y =以____________为周期.
2：若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f --=+)(，且()x b f x b f --=+)(（其中b a ≠），则函数()x f y =以______________为周期.
3：若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f -=+)(，且()x b f x b f --=+)(（其中b a ≠），则函数()x f y =以_____________为周期.
Chapter2: 例题分析
【单调性】
例1.1：函数)34(log )(22
1-+-=x x x f 的递减区间是_______________________
尝试解答： 老师讲解：
例1.2：已知函数()()()()
35,12log ,1a a x x f x a x x -+≤??=?->??是()+∞∞-,上的减函数，则a 的取值范围是____________ 尝试解答： 老师讲解：
练习1.1：已知函数()()()()35,12log ,1a a x x f x a x x -+≤??=?->??
是()+∞∞-,上的减函数，则a 的取值范围是____________ 尝试解答： 老师讲解：
【奇偶性】
例2.1：设)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，m x x f x
++=22)(，则=-)1(f ____
尝试解答： 老师讲解：
例2.2： 已知函数x x f y +=)(是偶函数，且1)2(=f ，则=-)2(f _______
尝试解答： 老师讲解：
练习2.2： 已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在),0[+∞上单调递增，则满足不等式)1()(f m f <的实数m 的取值范围是__________________
尝试解答： 老师讲解：
周期性：
例 3.1：已知定义在R 上的函数)(x f 满足32)2(-=f ，且对任意的x 都有)(1)2(x f x f -=+，则=)2020(f _____________。
尝试解答： 老师讲解：
例 3.2： 函数)(x f 在R 上有定义，且满足)(x f 是偶函数，且(1)2016g -=，()()1g x f x =-是奇函数，则()2016f 的值为_________
尝试解答： 老师讲解：
例3.3： 若偶函数)(x f 满足)1()1(x f x f -=+，当]1,1[-∈x 时，2
1)(x x f -=，函数||lg )(x x g =，则函数)(x f 与)(x g 的图像在区间]5,5[-内的交点有______个。
尝试解答： 老师讲解：
练习 3.1：已知函数)(x f 是偶函数，且对任意的x 满足)
(1)2(x f x f -=+，若32< 尝试解答： 老师讲解： 练习 3.2：已知定义在R 上的函数)(x f 满足32)4(-=f ，且对任意的x 都有)(1)(1)1(x f x f x f -+-=+，则(2018)f =_____________ 尝试解答： 老师讲解： 练习 3.3：已知函数)(x f 定义域为R 的偶函数，)1(-x f 是奇函数，若9)5.0(=-f ，则=+++)5.1()5.2()2014()2012(f f f f ___________ 尝试解答： 老师讲解： 练习3.4： 已知)(x f 是R 上的偶函数，且满足)1()1(x f x f -=+，当]1,0[∈x 时，x x f 2)(=，若在区间]3,2[-上，方程0)(2=-+x f a ax 恰有四个不等的实根，则a 的范围是_____________ 尝试解答： 老师讲解： 练习3.5： 已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，)1(+x f 为奇函数，且0)0(=f ，当]1,0(∈x 时，x x f 2log )(=，则在区间)10,8(内满足方程)1(1)(f x f =+的x 为_____。 尝试解答： 老师讲解： 【对称性】 例4.1：在R 上定义的函数()f x 是偶函数，且()f x (2)f x =-.若()f x 在区间[1,2]上是减函数，则()f x ( ) A.在区间[2,1]--上是增函数，在区间[3,4]上是增函数 B.在区间[2,1]--上是增函数，在区间[3,4]上是减函数 C.在区间]1,2[--上是减函数，在区间[3,4]上是增函数 D.在区间]1,2[--上是减函数，在区间[3,4]上是减函数 尝试解答： 老师讲解： 例4.2：已知函数()x f y =对一切实数x 满足)4()2(x f x f +=-，且方程0)(=x f 有5个实根，则这5个实根之和为__________ 尝试解答： 老师讲解： 练习4.1: 已知函数()x f y =对一切实数x 满足()(8)f x f x -=+，且方程0)(=x f 有9个实根，则这9个实根之和为___________ 尝试解答： 老师讲解： 练习4.2: 已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=-，(3)()f x f x -=，则(2019)f =______ 尝试解答： 老师讲解： 1．函数f (x )＝lg(x －1)＋4－x 的定义域为( ) A ．(1,4] B ．(1,4) C ．[1,4] D ．[1,4) 解析：选A.????? x －1>04－x ≥0 ，解得1 一、正弦函数和余弦函数的图象： 正弦函数sin y x =和余弦函数cos y x =图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0，3,,,222ππ ππ 的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。 二、正弦函数sin ()y x x R =∈、余弦函数cos ()y x x R =∈的性质： （1）定义域：都是R 。 （2）值域： 1、都是[]1,1-， 2、sin y x =，当()22 x k k Z π π=+ ∈时，y 取最大值1；当()322 x k k Z π π=+ ∈时，y 取最小值－1； 3、cos y x =，当()2x k k Z π=∈时，y 取最大值1，当()2x k k Z ππ=+∈时，y 取最小值－1。 例：（1）若函数sin(3)6 y a b x π=-+的最大值为23，最小值为21 -，则=a __，=b ＿ （答：,12 a b ==或1b =-）； ⑵ 函数y=-2sinx+10取最小值时，自变量x 的集合是_________________________。 （3）周期性： ①sin y x =、cos y x =的最小正周期都是2π； ②()sin()f x A x ω?=+和()cos()f x A x ω?=+的最小正周期都是2|| T πω=。 例：(1)若3 sin )(x x f π=，则(1)(2)(3)(2003)f f f f ++++＝___（答：0） ； ⑵．下列函数中，最小正周期为π的是（ ） A.cos 4y x = B.sin 2y x = C.sin 2x y = D.cos 4x y = （4）奇偶性与对称性： 1、正弦函数sin ()y x x R =∈是奇函数，对称中心是()(),0k k Z π∈，对称轴是直线()2 x k k Z π π=+ ∈； 2、余弦函数cos ()y x x R =∈是偶函数，对称中心是(),02k k Z ππ? ?+∈ ???，对称轴是直线()x k k Z π=∈ （正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线，对称中心为图象与x 轴的交点）。 例：（1）函数522y sin x π?? =- ??? 的奇偶性是______（答：偶函数）； （2）已知函数31f (x )ax b sin x (a,b =++为常数），且57f ()=，则5f ()-=______（答：－5）； （5）单调性： ()sin 2,222y x k k k Z ππππ??=-+∈????在上单调递增，在()32,222k k k Z ππππ? ?++∈????单调递减； cos y x =在[]()2,2k k k Z πππ+∈上单调递减，在[]()2,22k k k Z ππππ++∈上单调递增。特别提醒，别忘了k Z ∈！ ⑴函数y=sin2x 的单调减区间是（ ） 正弦函数余弦函数的性质 教学目标 1．掌握y＝sin x(x∈R)，y＝cos x(x∈R)的周期性、奇偶性、单调性和最值．(重点) 2．会用正弦函数、余弦函数的性质解决一些简单的三角函数问题．(难点) 3．了解周期函数、周期、最小正周期的含义．(易混点) [基础·初探] 教材整理1函数的周期性 阅读教材P34～P35“例2”以上部分，完成下列问题． 1．函数的周期性 (1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期． (2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 2．两种特殊的周期函数 (1)正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π． (2)余弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π． 函数y＝2cos x＋5的最小正周期是________． 解：函数y ＝2cos x ＋5的最小正周期为T ＝2π. 【答案】 2π 教材整理2 正、余弦函数的奇偶性 阅读教材P 37“思考”以下至P 37第14行以上内容，完成下列问题． 1．对于y ＝sin x ，x ∈R 恒有sin(－x )＝－sin x ，所以正弦函数y ＝sin x 是奇函数，正弦曲线关于原点对称． 2．对于y ＝cos x ，x ∈R 恒有cos(－x )＝cos x ，所以余弦函数y ＝cos x 是偶函数，余弦曲线关于y 轴对称． 判断函数f (x )＝sin ? ?? ?? 2x ＋ 3π2的奇偶性． 解：因为f (x )＝sin ? ???? 2x ＋3π2＝－cos 2x . 且f (－x )＝－cos(－2x )＝－cos 2x ＝f (x )，所以f (x )为偶函数． 教材整理3 正、余弦函数的图象和性质 阅读教材P 37～P 38“例3”以上内容，完成下列问题． 对数函数及其性质 1.对数函数：一般地，把函数y=log a x(a>0,且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0,+∞)． 2.为了更全面、更深刻的理解对数函数的概念，还应从以下三个方面理解： （1）定义域：因为对数函数是由指数函数变化而来的，对数函数的自变量x 恰好是指数函数的函数值y ，所以对数函数的定义域是（0，+∞）； (2)底数：对数函数的底数a ＞0且a ≠1； （3）形式上的严格性：和指数函数一样，在对数函数的定义表达式y=log a x （a ＞0且a ≠1）中，log a x 前面的系 数必须是1，底数为大于0且不等于1的常数.对数的真数仅有自变量x ，否则不是对数函数.例如y=log a （x-1） ，y=2log a x ，y=log a x + 2 1 等函数是由对数函数变化而得到的，但不是对数函数. 指数函数和对数函数对照表 名称 指数函数 对数函数 一般形式 y=a x （a ＞0且a ≠1） y=log a x （a ＞0且a ≠1） 定义域 R （0，＋∞） 值域 （0，＋∞） R 函数值 变化 情况 当1a >时，101 0010x x x a x a x a x ?>>?==??<<?==??>时，log 01log 01log 001a a a x x x x x x >>?? ==??<<?? ==??>< 第一课时 题目：正弦函数、余弦函数的图象 授课时间：3月25日，星期一 课型：新授课 教学目标： 理解借助单位圆中的三角函数线（正弦线）画出y sin x =的图象，进而画出 y cos x =的图象；会用“五点法”画y sin x =和y cos x =在一个周期内的简图。 教学重点和难点： 重点：利用三角函数线画正弦函数[]x 0,2 蝡的图象，用“五点法”画y sin x =和 y cos x =在一个周期内的简图。 难点：正弦函数与余弦函数图象间的关系、图象变换。 学情分析： 学生在之前已经学了一次函数、二次函数、指数函数、对数函数和幂函数，已掌握了一些基础函数的图像和性质，并了解一些函数图像的画法。而且刚分班学生的学习动力很足，但学生分析、理解能力较差，对具体形象的事物比较感兴趣，但对学习抽象理论知识存在畏难情绪，缺乏学习主动性，因此在教学中要注意引导学生积极思考和多动手画图练习。 教学方法： 通过多媒体展示正弦函数的形成，是学生更直观形象的了解正弦函数的形成，加深印象增加兴趣。并配合适当讲授法。在五点法画图中要学生动手实践，加深印象和理解。 教具、学具的准备：多媒体、直尺、圆规 教学过程： （一）知识链接 1、正弦线的概念 2、诱导公式（六） （二）情景设置 在初中和必修一的函数学习中，我们知道函数的图像为我们解决相关的函数问题提供了重要的方法和工具，那么三角函数的图像是怎样的呢？ 这节课让我们来共同探讨正、余弦函数的图像问题。 【设计意图】从原有知识出发，类比联想，引入问题情景，学生主动参与，积极思考 （三）课题导入 提问1、如何作正弦函数的图象？ ①列表描点法： 步骤：列表、描点、连线 大家试着画出正弦函数sin y x =[]0,2x π∈的图像 对数函数及其性质 Prepared on 22 November 2020 对数函数及其性质（一） 教学目标 （一） 教学知识点 1．对数函数的概念； 2．对数函数的图象与性质． （二） 能力训练要求 1．理解对数函数的概念； 2．掌握对数函数的图象、性质； 3．培养学生数形结合的意识． （三）德育渗透目标 1．认识事物之间的普遍联系与相互转化； 2．用联系的观点看问题； 3．了解对数函数在生产生活中的简单应用． 教学重点 对数函数的图象、性质． 教学难点 对数函数的图象与指数函数的关系． 教学过程 一、复习引入： 1、指对数互化关系： b N N a a b =?=log 2、 )10(≠>=a a a y x 且的图象和性质． 3、 我们研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时，得到的细胞的个 数y 是分裂次数x 的函数，这个函数可以用指数函数y =x 2表示． 现在，我们来研究相反的问题，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个……细胞，那么，分裂次数x 就是要得到的细胞个数y 的函数．根据对数的定义，这个函数可以写成对数的形式就是y x 2log =. 如果用x 表示自变量，y 表示函数，这个函数就是x y 2log =. 引出新课--对数函数． 二、新授内容： 1．对数函数的定义： 函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数，定义域为),0(+∞，值域为 ),(+∞-∞． 例1． 求下列函数的定义域： （1）2log x y a =； （2）)4(log x y a -=； （3）)9(log 2 x y a -=． 分析：此题主要利用对数函数x y a log =的定义域（0，+∞）求解． 解：（1）由2 x >0得0≠x ,∴函数2log x y a =的定义域是{}0|≠x x ； （2）由04>-x 得4 课题三角函数的图像及性质 1.借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式( π2/±α , π的±正α弦、余弦、正切) 教学目标 2.利用单位圆中的三角函数线作出y sin x,x R的图象，明确图象的形状； 3.根据关系cosx sin(x ) ，作出y cosx,x R的图象； 2 4.用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图，并利用图象解决一些有关问题； 重点、难点 1、正确地用三角函数线表示任意角的三角函数值 2、作余弦函数的图象。 教学内容 、正弦函数和余弦函数的图象： -1 正弦函数y sin x 和余弦函数y cos x图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0，, ,3 ,2 22 的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。 二、正弦函数y sin x(x R) 、余弦函数y cosx(x R) 的性质： ( 1)定义域：都是R。 (2)值域： 1、都是1,1 ， 2、y sinx ，当x 2k k 2 3、y cosx ，当x 2k k Z 例： ( 1)若函数y a bsin(3 x Z 时，y 取最大值1 ；当x 时，y 取最大值1，当x 2k ) 的最大值为3，最小值为 62 3 2k 3 k Z 时，y 取最小值－1； 2 k Z 时，y 取最小值－ 1 。 1，则 a __， b ＿ 2 3 y -2 1 y=cosx -3 -5 -32 -4 -7 -2 -3 22 1 答： a 1 2,b 1或b 1)； ⑵ 函数 y=-2sinx+10 取最小值时，自变量 x 的集合是 3）周期性 ： （正（余）弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于 x 轴的直线，对称中心为图象与 x 轴的交 点）。 5）单调性 ： 别忘了 k Z ！ ⑴函数 y=sin2x 的单调减区间是（ ① y sin x 、 y cos x 的最小正周期都是 2 ； ② f ( x) A sin( x )和 f (x) Acos( 2 x ） 的最小正周期都是 T 2 sin 3x ，则 f （1） f （2） ⑵．下列函数中，最小正周期为 例： (1)若 f (x) f (3) L 的是（ A. y cos 4x B. y sin 2x C.y f (2003) ＝ 答： 0）； x sin 2 D.y x cos 4 （ 4）奇偶性与对称性 ： 1、正弦函数 y sin x （ x R ） 是奇函 数， 对称中心是 k ,0 k Z ，对称轴是直线 x k k Z ； 2 2、余弦函数 y cosx （x R ） 是偶函数， 对称中心是 k 2 ,0 k Z ，对称轴是直线 x k k Z 5 例：（1） 函数 y sin 5 2 2x 的奇偶性是 答：偶函数）； 2）已知函数 f （ x ） a x bsin 3 x 1( a,b 为常数)， 且 f (5 ) 7， 则 f ( 5) 答：－ 5）； y sin x 在 2k , 2k 2 k Z 上单调递增，在 2k , 2k 2 3 k Z 单调递减； 2 y cosx 在 2k ,2 k Z 上单调递减，在 2k ,2k k Z 上单调递增。 特别提醒 ， 课题：对数函数及其性质（一） 课 型：新授课 教学目标： 通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型.能够用描点法画出对数函数的图象.能根据对数函数的图象和性质进行值的大小比较.培养学生数形结合的意识.用联系的观点分析问题. 教学重点：对数函数的图象和性质 教学难点：对数函数的图象和性质及应用 教学过程： 一、复习准备： 1. 画出2x y =、1 ()2 x y =的图像，并以这两个函数为例，说说指数函数的性质. 2. 讨论：t 与P 的关系？（对每一个碳14的含量P 的取值，通过对应关系log P =， 生物死亡年数t 都有唯一的值与之对应，从而t 是P 的函数） 二、讲授新课： 1.教学对数函数的图象和性质： ① 定义：一般地，当a ＞0且a ≠1时，函数a y=log x 叫做对数函数(logarithmic function). 自变量是x ； 函数的定义域是（0，+∞） ② 辨析： 对数函数定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别，如：22log y x =，5log (5)y x = 都不是对数函数， 而只能称其为对数型函数；对数函数对底数的限制 0(>a ，且)1≠a ． ③ 探究：你能类比前面讨论指数函数性质的思路，提出研究对数函数性质的内容和方法吗？ 研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质． 研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性． ④ 练习：同一坐标系中画出下列对数函数的图象 x y 2log =；0.5log y x = ⑤ 讨论：根据图象，你能归纳出对数函数的哪些性质？ 列表归纳：分类 → 图象 → 由图象观察（定义域、值域、单调性、定点） 引申：图象的分布规律？ 2、总结出的表格 xx －xx 学年度下学期 高中学生学科素质训练 高一数学同步测试（6）—正、余弦函数的图象和性质 一、选择题（每小题5分，共60分，请将正确答案填在题后的括号内） 1．函数)4 sin(π +=x y 在闭区间（ ）上为增函数. （ ） A ．]4 ,43[ππ- B ．]0,[π- C ．]4 3 ,4[ππ- D ．]2 ,2[π π- 2．函数)4 2sin(log 2 1π + =x y 的单调减区间为 （ ） A ．)(],4(Z k k k ∈- ππ π B ．)(]8,8(Z k k k ∈+- π πππ C ．)(] 8 ,83(Z k k k ∈+-π πππ D ．)(]8 3 ,8(Z k k k ∈++ππππ 3．设a 为常数，且π20,1≤≤>x a ，则函数1sin 2cos )(2 -+=x a x x f 的最大值为 （ ） A ．12+a B ．12-a C ．12--a D ．2 a 4．函数)2 5 2sin(π+=x y 的图象的一条对称轴方程是 （ ） A ．2 π - =x B ．4 π - =x C ．8π=x D ．π4 5=x 5．方程x x lg sin =的实根有 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无数个 6．下列函数中，以π为周期的偶函数是 （ ） A ．|sin |x y = B ．||sin x y = C ．)32sin(π + =x y D ．)2 sin(π +=x y 7．已知)20(cos π≤≤=x x y 的图象和直线y=1围成一个封闭的平面图形，该图形的面积 是 （ ） A ．4π B ．2π C ．8 D ．4 8．下列四个函数中为周期函数的是 （ ） 对数函数及其性质 A 一、目标与策略 明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！ 学习目标： 1.理解对数函数的概念，体会对数函数是一类很重要的函数模型； 2.探索对数函数的单调性与特殊点，掌握对数函数的性质，会进行同底对数和不同底对数大小的比较； 3．了解反函数的概念，知道指数函数x y a =与对数函数log a y x =互为反函数()0,1a a >≠． 学习策略： 在理解对数函数定义的基础上，掌握对数函数的图象和性质，在学习过程中，要处处与指数函数相对照． 二、学习与应用 指数函数图象及性质： y =a x 01时图象 图象 性质 （1）定义域 ，值域( ， ) “凡事预则立，不预则废”．科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性．我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记． 知识回顾——复习 学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？ （2）a0= ，即x=0时，y= ，图象都经过(，)点 （3）a x=a，即x=1时，y等于底数 （4）在定义域上是单调函数（4）在定义域上是单调函数 （5）x<0时，a x> x>0时， 0时，a x> （6）既不是奇函数，也不是偶函数 要点一：对数函数的概念 1．函数 叫做对数函数.其中x是自变量，函数的定义域是() 0,+∞． 2．判断一个函数是对数函数是形如log(0,1) a y x a a =>≠ 且的形式，即必须满足以下条件：（1）系数为； （2）底数为的常数； （3）对数的真数仅有． 要点诠释： （1）只有形如y=log a x(a>0，a≠1)的函数才叫做对数函数，像 log(1),2log,log3 a a a y x y x y x =+==+等函数，它们是由对数函数变化得到的，都不是 对数函数． （2）求对数函数的定义域时应注意：①对数函数的真数要求，底数大于 零且不等于1；②对含有字母的式子要注意． 要点二：对数函数的图象与性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性质定义域： 值域： 过定点，即x=1时，y=0 在（0，+∞）上增函数在（0，+∞）上是减函数 当0＜x＜1时，＜0， 当x≥1时，≥0 当0＜x＜1时，＞0， 当x≥1时，≤0 要点诠释： 关于对数式log a N的符号问题，既受a的制约又受N的制约，两种因素交织在一起， 应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考. 以1为分界点，当a，N同侧时，log a N>0；当a，N异侧时，log a N<0. 要点梳理——预习和课堂学习 认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习．课堂笔记或者其它补充填在右栏．预习和课堂学习更多知识点解析请学习网校资源 ID：#12255#392183 对数函数及其性质 【学习目标】 1.理解对数函数的概念，体会对数函数是一类很重要的函数模型； 2.探索对数函数的单调性与特殊点，掌握对数函数的性质，会进行同底对数和不同底对数大小的比较； 3．了解反函数的概念，知道指数函数x ya?与对数函数log a yx?互为反函数 ??0,1aa??． 【要点梳理】 要点一、对数函数的概念 1．函数y=log a x(a>0，a≠1)叫做对数函数.其中x是自变量，函数的定义域是??0,??，值域为R． 2．判断一个函数是对数函数是形如log(0,1)a yxaa???且的形式，即必须满足以下 条件： （1）系数为1； （2）底数为大于0且不等于1的常数； （3）对数的真数仅有自变量x． 要点诠释： （1）只有形如y=log a x(a>0，a≠1)的函数才叫做对数函数，像 log(1),2log,log3aaa yxyxyx?????等函数，它们是由对数函数变化得到的，都不 是对数函数。 （2）求对数函数的定义域时应注意：①对数函数的真数要求大于零，底数大于零且不等于1；②对含有字母的式子要注意分类讨论。 要点二、对数函数的图象与性 1 1 图象 性质定义域：（0，+值域：R 过定点（1，0），即x=1时，y=0 在（0，+∞）上增函数在（0，+∞）上是减当0＜x＜1时，y＜0， 当x≥1时，y≥0 当0＜x＜1时，y＞0， 当x≥1时，y≤0 要点诠释： 关于对数式log a N的符问题，既受a的制约又受N的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考. 以1为分界点，当a，N同侧时，log a N>0；当a，N异侧时，log a N<0. 要点三、底数对对数函数图象的影响 1．底数制约着图象的升降． 如图 《对数函数及其性质》教案 霍邱县周集中学张拯 2006年10月 教学目标： 1、掌握对数函数的概念。 2、根据函数图象探索并理解对数函数的性质。 过程与方法： 1、通过对对数函数的学习，渗透数形结合的思想。 2、能够用类比的观点看问题，体会知识间的有机联系、情感态度与价值观： 1、培养学生观察、分析能力，从特殊到一般的归纳能力。 2、培养学生的合作交流、共同探究的良好品质。 教学重点：对数函数的定义、图象和性质 教学难点：用数形结合的办法探索并归纳对数函数的性质。教学过程： 一、回顾交流，适时引入新课 （教师提出问题）①本章开头2.1问题1中，在2001－2020年，各年的GDP均为00年的倍数，倍数m与时间n 的关系式为m=1.073n；②某种细胞分裂过程中，细胞个数a 与分裂次数b的关系式为为a=2b。 师：上述关系式都是什么类型的式子？ 生：都是指数式。 师：你能把它改写成对数式吗？ 生：可以改写成：n=log1.073m a=log2b 师：请大家观察这两个式子有何共同特征？ (生合作交流，共同探究，师参与交流探究过程) 生甲：n是m的函数，a是b的函数。 生乙：这是对数式，m与b都是真数，它们应为正数。 师：同学们说的都很好，这里任意给定一个m，有唯一的n与它对应，任意给定一个b，有唯一的a与它 对应，所以n是m的函数，a是b的函数。 师：通常表达一个函数，x表示自变量，y表示自变量，你能用含有x、y的解析式表示它们吗？ 生：y=log1.073x，y=log2x 师：能用一个共同的解析式表达吗？ 部分生(齐答)：y=log a x 部分生(抢答)：底数a＞0且a≠1 师：非常好，这是就是我们本节课所要研究的对数函数。(引入新课，师板书课题：对数函数) 二、新课讲授 2.2.2对数函数及其性质（一） 教学目标 （一）教学知识点 1．对数函数的概念； 2．对数函数的图象与性质． （二）能力训练要求 1．理解对数函数的概念； 2．掌握对数函数的图象、性质； 3．培养学生数形结合的意识． （三）德育渗透目标 1．认识事物之间的普遍联系与相互转化； 2．用联系的观点看问题； 3．了解对数函数在生产生活中的简单应用． 教学重点 对数函数的图象、性质． 教学难点 对数函数的图象与指数函数的关系． 3、我们研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时，得到的细胞的个 数y是分裂次数x的函数，这个函数可以用指数函数y=x2表示． 现在，我们来研究相反的问题，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个……细胞，那么，分裂次数x就是要得到的细胞个数y的函数．根据对数的 定义，这个函数可以写成对数的形式就是y x 2log =. 如果用x 表示自变量，y 表示函数，这个函数就是x y 2log =. 引出新课--对数函数． 二、新授内容： 1．对数函数的定义： 函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数，定义域为),0(+∞，值域为),(+∞-∞． 例1． 求下列函数的定义域： （1）2log x y a =； （2）)4(log x y a -=； （3）)9(log 2x y a -=． 分析：此题主要利用对数函数x y a log =的定义域（0，+∞）求解． 解：（1）由2 x >0得0≠x ,∴函数2log x y a =的定义域是{}0|≠x x ； （2）由04>-x 得4 2.2.2对数函数及其性质（三） 教学目标 （一）教学知识点 1．了解反函数的概念，加深对函数思想的理解 2．反函数的求法． （二）能力训练要求 1．使学生了解反函数的概念； 2．使学生会求一些简单函数的反函数． （三）德育渗透目标 培养学生用辩证的观点，观察问题、分析问题、解决问题的能力． 教学重点 1．反函数的概念； 2．反函数的求法． 教学难点 反函数的概念． 教学过程 一、复习引入： 1、我们知道，物体作匀速直线运动的位移s 是时间t 的函数，即s =vt ，其中速度v 是常量，定义域t ≥0，值域s ≥0；反过来，也可以由位移s 和速度v （常量）确定物体作匀速直线运动的时间，即v s t =，这时，位移s 是自变量，时间t 是位移s 的函数，定义域s ≥0，值域t ≥0． 问题１：函数s =vt 的定义域、值域分别是什么？ 问题２：函数v s t =中，谁是谁的函数？ 问题３：函数s =vt 与函数v s t =之间有什么关系？ 2、又如，在函数y ＝2x ＋6中，x 是自变量，y 是x 的函数，定义域x ∈R ，值域y ∈R ． 我们从函数y ＝2x ＋6中解出x ，就可以得到式子32 -=y x ． 这样，对于y 在R 中任何一个值，通过式子32 -=y x ，x 在R 中都有唯一的值和它对应． 因此，它也确定了一个函数：y 为自变量，x 为y 的函数，定义域是y ∈R ，值域是x ∈R ． 3、再如：指数函数x a y =中，x 是自变量，y 是x 的函数，由指数式与对数式的互化有：y x a log = 对于y 在（0，+∞）中任何一个值，通过式子y x a log =，x 在R 中都有唯一的值和它对应． 因此，它也确定了一个函数：y x a log =，y 为自变量，x 为y 的函数，定义域是y ∈（0，+∞），值域是x ∈R ． 二、讲解新课： 1．反函数的定义 一般地，设函数))((A x x f y ∈=的值域是C ，根据这个函数中x ，y 的关系，用y 把x 表示出，得到x =?(y )． 若对于y 在C 中的任何一个值，通过x =?(y )，x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x =?(y )就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数，这样的函数x =?(y ) (y ∈C )叫做函数))((A x x f y ∈=的反函数，记作)(1y f x -= ， 习惯上改写成)(1x f y -= 开始的两个例子：s =vt 记为vt t f =)(，则它的反函数就可以写为 v t t f = -)(1，同样62+=x y 记为62)(+=x x f ，则它的反函数为：32 )(1-= -x x f ． 探讨1：所有函数都有反函数吗？为什么？ 对数函数及其性质（2） 一、教学内容分析 《普通高中课程标准数学教科书?必修（1）》（人民教育出版社）高中-?年级第二单元2.2.2《对数函数的图象和性质》第一课时。 函数是高中数学的主体内容一一变量数学的主要研究对象之一，是中学数学的重点知识，研究函数的一般理论和基本方法，用函数的思想方法解决实际问题, 是函数教学的主要目标。必修（I ）2.2.2对数函数及其性质，按课标要求教学时间为3个学时，本节课为第1课时，本节课教学是学生在学过正比例函数、一次函数、二次函数、反比例函数和指数函数的基础上进一步学习的一种新函数，对对数函数概念的理解，图象和性质的掌握和应用有利于学生对初等函数认识的系统性，有利于进一步加深对函数思想方法的理解。为后面进一步探究对数函数的应用及指数函数、对数函数的综合应用起到承上启下的作用。 二、学情与教材分析 对数函数是高中引进的第二个初等函数，是本章的重点内容。学生在前面的函数性质、指数函数学习的基础上，用研究指数函数的方法，进一步研究和学习对数函数的概念、图象和性质以及初步应用，有利于学生进一步完善初等函数的认识的系统性，加深对函数的思想方法的理解，在教学过程中，虽然学生的认知水平有限，但只要让学生体验对数函数来源于实践，通过教师课件的演示，通过数形结合，让学生感受y=log a x（a>0且a=l）中，a取不同的值时反映出不同的函数图象，让学生观察、小组讨论、发现、归纳出图象的共同特征、函数图象的规律，进而探究学习对数函数的性质。 最后将对数函数、指数函数的图象和性质进行比较，以便加深对对数函数的概念、图象和性质的理解，同时也为后面教学作准备。 三、设计思想 在本节课的教学过程中，通过古遗址上死亡生物体内碳14含量与生物死亡年代关系的探索，引出对数函数的概念。通过对底数。的分类讨论，探究总结出对数函数的图象与性质，使学生经历从特殊到一?般的过程，体验知识的产生、形成过程，通过例题的分析与练习，进一步培养学生自主探索，合作交流的学习方式，通过学生经历直观感知，观察、发现、归纳类比，抽象概括等思维过程，落实培养学生积极探索学习习惯，提高学生的数学思维能力的新课程理念。 四、教学目标 1、通过对对数函数概念的学习，培养学生实践能力，使学生理解对数函数的概念，激发学生的学习兴趣。 对数函数及其性质（讲义） ? 知识点睛 一、对数函数的定义 一般地，函数__________（ ）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，+∞)． 二、对数函数的图象和性质 1. 对数函数log a y x =（a >0，且a ≠1）的图象和性质： ①log a y x =，②log b y x =，③log c y x =，④log d y x =， 则有0>>． 3. 反函数 log a y x =与x y a =互为反函数，其中a >0，且a ≠1；互为反函数的两个函数 的图象关于直线y =x 对称． ? 精讲精练 1. 直接写出下列函数的定义域： （1）3log (2)y x =- __________________； （2 ）y = __________________； （3 ）y __________________； （4 ）1 ln(1) y x = +__________________． 2. （1）已知()f x 的定义域为[0，1]，则函数12 (log (3))y f x =-的定义域是 _____________； （2）已知函数122 ()log (2log )f x x =-的值域是(-∞，0)，则它的定义域是 _____________； （3）函数212 ()log (613)f x x x =++的值域是_____________． 3. 已知a >0，且a ≠1，则函数x y a =与log ()a y x =-的图象只可能是（ ） A ． B ． C ． D ． 4. 函数f (x )=1+2log x 与g (x )=12x -在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） 高中数学-对数函数及其性质（3）学案 一、三维目标： 知识与技能： 能够解决对数函数形式的复合函数单调性及最值问题，并可以利用图像来解决相关问题。 过程与方法： ① 通过师生之间，学生与学生之间的合作交流，使学生学会与别人共同学习。 ② 通过探究对数函数形式的复合函数单调性，感受复合思想，培养学生数学的分析问题 的意识。 情感态度与价值观： 通过学生的相互交流来加深理解对数函数形式的复合函数的理解，增强学生数学交流能力，培养学生倾听，接受别人建议的优良品质。 二、学习重、难点： 重点：准确描绘出对数函数形式的复合函数单调性。 难点：依据图像来进行对相关问题的处理。 三、学法指导：对比指数函数相关性质。 四、知识链接： B1.函数y =的定义域为 B2.若log 2log 20m n >>时，则m ，n 的大小关系是 五、学习过程： B 例1、讨论函数2 ()log (321)a f x x x =--的单调性。 思路分析:本题为复合函数,要注意求解定义域和对a 进行讨论。 解:由2 3210x x -->得函数的定义域为113x x ??>???? 或x<- 则当a>1时， 若x>1,∵u=2 321x x --为增函数， ∴2()log (321)a f x x x =--为增函数。 若x<13 -,∵u=2 321x x --为减函数， ∴2()log (321)a f x x x =--为减函数。 当1>a>0时， 若x>1,∵u=2 321x x --为增函数， ∴2()log (321)a f x x x =--为减函数。 若x<13 - ,∵u=2 321x x --为减函数， ∴2()log (321)a f x x x =--为增函数。 B 变式训练1:求以下函数的单调区间： （1）)32x x (log y 2 2+-= （2）23x log y = （3）212 y log (x x)=- C 总结 )x (f log y a = 单调区间的求法： C 例2、已知[]3()2log ,1,9,f x x x =+∈求()()2 2 y f x f x =+????的最大值，及此时x 的值 思路分析：要求()()2 2 y f x f x =+????的最大值，要做两件事，一是求表达式，二是求定义 域。 解:∵[]3()2log ,1,9,f x x x =+∈ ∴()()2 2 y f x f x =+????=() 2 23 32log 2log x x +++=()2 332log 22log x x +++ =2 33log 6log 6x x ++=()2 3log 33x +- ∵函数[]()1,9,f x 的定义域为 ∴要使函数()()2 2 y f x f x =+????有意义， 第一章三角函数1.4.2(2)正弦、余弦函数的性质(二) 学习目的： 要求学生能理解三角函数的奇、偶性和单调性； 掌握正、余弦函数的奇、偶性的判断，并能求出正、余弦函数的单调区间。 学习重点：正、余弦函数的奇、偶性和单调性； 学习难点：正、余弦函数奇、偶性和单调性的理解与应用 课堂探究： 1.奇偶性 请同学们观察正、余弦函数的图形，说出函数图象有怎样的对称性？其特点是什么？ (1)余弦函数的图形 当自变量取一对相反数时，函数y 取同一值。 例如： f (-3π)=21,f (3π)=21 ,即f (-3π)=f (3 π)；…… 由于cos(－x)=cosx ∴f (-x)= f (x). 以上情况反映在图象上就是：如果点（x,y ）是函数y=cosx 的图象上的任一点,那么,与它关于y 轴的对称点(-x,y)也在函数y=cosx 的图象上，这时，我们说函数y=cosx 是偶函数。 定义：一般地，如果对于函数f (x)的定义域内任意一个x ，都有f (-x)= f (x)，那么函数f (x)就叫做偶函数。 例如：函数f (x)=x 2+1, f (x)=x 4-2等都是偶函数。 (2)正弦函数的图形 观察函数y=sinx 的图象，当自变量取一对相反数时，它们对应的函数值有什么关系？ 这个事实反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？函数的图象关于原点对称。 也就是说，如果点（x,y ）是函数y=sinx 的图象上任一点，那么与它关于原点对称的点（-x,-y ）也在函数y=sinx 的图象上，这时，我们说函数y=sinx 是奇函数。 定义：一般地，如果对于函数f (x)的定义域内任意一个x ，都有 f(－x)=－f(x) ，那么函数f (x)就叫做奇函数。 例如：函数y=x, y=x 1 都是奇函数。 如果函数f (x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f (x)具有奇偶性。 注意：从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数： （1）其定义域关于原点对称； （2）f (-x)= f (x)或f (-x)=- f (x)必有一成立。因此，判断某一函数的奇偶性时。 正、余弦函数的性质说课稿 一：教材分析： 1、教材的地位与作用：本节课要讲的是正、余弦函数的性质，它是历年高考的重点内容之一，在高考中常以选择题、填空题的形式出现。有时与其它三角变换、函数的一般性质综合。考查灵活，常有创新性。这就要求我们注意运用三角函数的性质培养学生善于运用三角函数的性质解决问题。因此，学好这节课不仅可以为我们今后学习正切、余切函数的性质打下基础，还可以进一步提高学生分析问题和解决问题的能力，它对知识起到了承上启下的作用。 2、教学目标的确定：根据教参及教学大纲的要求，依据教学目的以及学生的实际情况，制定如下的教学目标： （1）知识目标：正、余弦函数的性质及应用（定义域、值域、最大、最小值、奇偶性、单调性） （2）能力目标：a:掌握正、余弦函数的性质；b:灵活利用正、余弦函数的性质 （3）德育目标：a:渗透数形结合的思想 b:培养联合变化的观点 c:提高数学素质 3、教学重点和难点的确定及依据； 由于正、余弦函数的主要性质在本节中有着重要的地位。因此，成为本节课的重点，在教学中，单调性、奇偶性和周期性是学生第一次接触的三个概念，而函数的单调性、奇偶性以及周期函数，周期，最小正周期的意义是本节教学中学生第一次接触的内容。这在学生的基础上理解有一定的难度。因此成为本节课的难点。那么克服本节课的难点的关键在于复习好正、余弦函数图象的意义，充分利用图形讲清正、余弦函数的特点，梳理好讲解顺序，使学生通过适当的练习正确理解概念、图象、特性、实现教学目标和进一步提高学生的学习探索能力，充分发挥学生的主体作用。 二：教材处理： 正、余弦函数的性质，其中定义域、值域、最大值、最小值，学生以前已接触过，所以只需简单提示。但是单调性，奇偶性，周期性是学生第一次接触到的，考虑到学生的基础参差不齐，接受能力不同，因此在教学中要顾全局，耐心讲解，并通过适当的教具启发调动学生的主观能动性。 三、教学方法和手段； 1、教学方法：启发诱导式教学方法，为增强图象的形象直观性，增大教学内容，提高效率。我利用计算机软件，在此基础上，学生运用观察法、发现法、学习法、归纳法以及练习法进行学习，在教学过程中，首先我以习提问形式引入课题，意义使学生利用类比思想，认识到研究三角函数的方向所在，减少盲目性。为了有利于学生正确了解正、余弦图形的性质，我又指导了学生复习正、余弦函数的图象。再从介绍图象的特点让学生观察、发现、归纳函数的对数函数及其性质练习题及答案解析
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