§2.1合情推理与演绎推理
2.1.1合情推理
学习目标 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.2.了解合情推理在数学发现中的作用．
知识点一归纳推理
(1)定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．
(2)特征：由部分到整体，由个别到一般的推理．
知识点二类比推理
(1)定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．
(2)特征：由特殊到特殊的推理．
知识点三合情推理
(1)定义：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理．
(2)推理的过程
从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想
思考合情推理得到的结论是否一定正确？
答案不一定．结论正确与否还需要经过严格的理论证明或实践检验．
1．类比推理得到的结论可作为定理应用．(×)
2．由个别到一般的推理为归纳推理．(√)
3．在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．(×)
4．归纳推理是根据部分已知的特殊现象推断未知的一般现象．( √ )
一、归纳推理
命题角度1 等式、不等式中的归纳推理 例1 (1)观察下列等式： 1＋1＝2×1，
(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，
(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5， …
照此规律，第n 个等式为_______________________________________． 答案 (n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)
解析 观察规律可知，左边为n 项的积，最小项和最大项依次为(n ＋1)，(n ＋n )，右边为连续奇数之积乘以2n ，则第n 个等式为(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)． (2)观察下列不等式：
12×1≥1×12， 1
3×????1＋13≥12????12＋14， 14×????1＋13＋15≥13
????
12＋14＋16， 15×????1＋13＋15＋17≥14????
12＋14＋16＋18，试写出第n 个不等式． 解 第1个不等式为12×1≥1×12，
即
11＋1
×1≥1×1
2×1，
第2个不等式为1
3×????1＋13≥12????12＋14， 即12＋1×? ????1＋12×2－1≥12?
???1
2×1＋12×2， 第3个不等式为1
4×????1＋13＋15≥13???
?12＋14＋16， 即13＋1×?
????1＋12×2－1＋12×3－1≥13????1
2×1＋12×2＋12×3，
第4个不等式为1
5×????1＋13＋15＋17≥14???
?12＋14＋16＋18，
即14＋1×? ????1＋12×2－1＋12×3－1＋12×4－1≥14????1
2×1＋12×2＋12×3＋12×4， 归纳可得第n 个不等式为1n ＋1×?
????1＋13＋1
5＋…＋12n －1≥1n ????12＋14＋16＋…＋12n (n ∈N *)．
命题角度2 图形中的归纳推理
例2 有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是________．
答案 31
解析 有菱形纹的正六边形的个数如下表：
图案 1 2 3 … 个数
6
11
16
…
由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31. 命题角度3 数列中的归纳推理
例3 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，na n ＋1＝S n ＋n (n ＋1)．试归纳猜想数列{a n }的通项公式．
解 由于a 1＝2，且na n ＋1＝S n ＋n (n ＋1)． 令n ＝1，得a 2＝S 1＋1×2＝a 1＋2＝2＋2＝4，
令n ＝2，得2a 3＝S 2＋2×3＝a 1＋a 2＋6＝2＋4＋6＝12，于是a 3＝6，
令n ＝3，得3a 4＝S 3＋3×4＝a 1＋a 2＋a 3＋12＝2＋4＋6＋12＝24，于是a 4＝8， 由此可以归纳得到数列{a n }的通项公式为a n ＝2n (n ∈N *)． 反思感悟 归纳推理的一般策略
(1)寻找关系：从已知的个别情形中寻找变化关系．
(2)探究规律：从个别情形中探究一般规律，关键是条件发生变化时结论发生了怎样的变化． (3)归纳结论：根据探究所得规律，归纳一般性结论．
跟踪训练1 (1)1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<7
4……，照此规律，第五个不等式为
____________________________． 答案 1＋122＋132＋142＋152＋162<11
6
解析 观察不等式的左边发现，第n 个不等式的左边＝1＋122＋132＋…＋1
(n ＋1)2，右边＝2(n ＋1)－1
n ＋1
，
所以第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162<11
6.
(2)用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：
按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为________． 答案 6n ＋2
解析 归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一个以首项为8，公差是6的等差数列，所以第n 个“金鱼”图需要的火柴棒的根数为a n ＝8＋(n －1)×6＝6n ＋2.
二、类比推理
例4 (1)在等差数列{a n }中，有结论a 1＋a 2＋…＋a 88＝a 4＋a 5
2，类比该结论，在各项均为正数
的等比数列{b n }中有结论______________． 答案
8
b 1b 2…b 8＝b 4b 5
解析 ∵b 1b 8＝b 2b 7＝b 3b 6＝b 4b 5， ∴8
b 1b 2…b 8＝8
(b 4b 5)4＝b 4b 5.
(2)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°.设a ，b ，c 分别表示三条边的长度，由勾股定理，得c 2＝a 2＋b 2.类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想．
解 如题图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°.设a ，b ，c 分别表示3条边的长度，由勾股定理，得c 2＝a 2＋b 2.类似地，如图所示，在四面体P －DEF 中，∠PDF ＝∠PDE ＝∠EDF ＝90°. 设S 1，S 2，S 3和S 分别表示△PDF ，△PDE ，△EDF 和△PEF 的面积，相对于直角三角形的两条直角边a ，b 和1条斜边c ，图中的四面体有3个“直角面”S 1，S 2，S 3和1个“斜面”S .
于是类比勾股定理的结构，我们猜想S 2＝S 21＋S 22＋S 23成立．
反思感悟 类比推理的策略
进行类比推理时，要注意比较两个对象的相同点和不同点，找到可以进行类比的两个量，然后加以推测，得到类比结果，最好能够结合相关的知识进行证明，以确保类比结果的合理性． 跟踪训练2 在等差数列{a n }中，如果m ，n ，p ，r ∈N *，且m ＋n ＋p ＝3r ，那么必有a m ＋a n ＋a p ＝3a r ，类比该结论，写出在等比数列{b n }中类似的结论，并用数列知识加以证明． 解 类似结论如下：在等比数列{b n }中，如果m ，n ，p ，r ∈N *，且m ＋n ＋p ＝3r ，那么必有b m b n b p ＝b 3r .
证明如下：设等比数列{b n }的公比为q ，则b m ＝b 1q m －1，b n ＝b 1q n －1，b p ＝b 1q p －1，b r ＝b 1q r －1，
于是b m b n b p ＝b 1q m －1·b 1q n －1·b 1q p －1＝b 31q m ＋n ＋p －3＝b 31q 3r －3＝(b 1q r －1)3＝b 3r
，故结论成立．
1．数列2,5,11,20，x ,47，…中的x 等于( ) A ．28 B ．32 C ．33 D ．27 答案 B
解析 由以上各数可得每两个数之间依次差3,6,9,12，…，故x ＝20＋12＝32.
2．已知不等式1>12，1＋122>23，1＋122＋132>34，1＋122＋132＋142>45，由此可猜测：若1＋122＋132＋…
＋
1
122
>m ，则m 等于( ) A.1112 B.2425 C.1213 D.1314 答案 C
解析 由已知不等式可猜测1＋122＋132＋…＋1122>1213，因此m ＝1213
.
3．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S ＝底×高
2，可推知扇形面积公式
S 扇等于( ) A.r 22 B.l 2
2
C.lr 2 D ．不可类比
答案 C
解析 扇形的弧类比三角形的底边，扇形的半径类比三角形的高，则S 扇＝lr
2
.
4．如图所示，由火柴拼成的一列图形中，第n 个图形由n 个正方形组成，通过观察可以发现：第4个图形中，有________根火柴；第n 个图形中，有________根火柴．
答案 13 3n ＋1
5．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间上，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________． 答案 1∶8
解析 设两个正四面体的体积分别为V 1，V 2， 则V 1∶V 2＝13S 1h 1∶1
3
S 2h 2＝S 1h 1∶S 2h 2＝1∶8.
1．知识清单：
(1)归纳推理的定义、特征． (2)类比推理的定义、特征． 2．方法归纳：归纳、类比．
3．常见误区：误以为合情推理的结论都正确．
1．下列说法正确的是( )
A ．由合情推理得出的结论一定是正确的
B ．合情推理必须有前提有结论
C ．合情推理不能猜想
D ．合情推理得出的结论不能判断正误 答案 B
2．由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32,1＋3＋5＋7＝42，…，猜想得到1＋3＋…＋(2n －1)等于( )
A ．n
B ．2n －1
C ．n 2
D ．(n －1)2 答案 C
3．下面使用类比推理，得出的结论正确的是( )
A ．若“a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类比出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”
B ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”
C ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比出“a ＋b c ＝a c ＋b c (c ≠0)”
D ．“(ab )n ＝a n b n ”类比出“(a ＋b )n ＝a n ＋b n ” 答案 C
4.观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )
A. B ．△ C.
D ．○
答案 A
解析 观察可发现规律：①每行、每列中，长方形、圆、三角形三种形状均各出现一次，②每行、每列有两阴影一空白，即得结果．
5．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )等于( ) A ．f (x ) B ．－f (x ) C ．g (x ) D ．－g (x )
答案 D
解析 由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数．因此当f (x )是偶函数时，其导函数应为奇函数， 故g (－x )＝－g (x )．
6．我们知道：周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大；周长一定的所有矩形与圆中，圆的面积最大，将这些结论类比到空间，可以得到的结论是________．
答案 表面积一定的所有长方体中，正方体的体积最大；表面积一定的所有长方体和球中，
球的体积最大
解析 平面图形与立体图形的类比：周长→表面积，正方形→正方体，面积→体积，矩形→长方体，圆→球．
7．二维空间中圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2；三维空间中球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝4
3πr 3；四维空间中“超球”的三维测度V ＝8πr 3，则猜想
其四维测度W ＝________. 答案 2πr 4
解析 ∵二维空间中圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2，观察发现S ′＝l .三维空间中球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝4
3πr 3，观察发现V ′＝S .∴四维
空间中“超球”的三维测度V ＝8πr 3，猜想其四维测度W ，则W ′＝V ＝8πr 3，∴W ＝2πr 4. 8．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出下列空间结论： ①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两条直线互相平行；③垂直于同一条直线的两个平面互相平行；④垂直于同一平面的两个平面互相平行，则其中正确的结论是________． 答案 ②③
解析 根据立体几何中线面之间位置关系的判定可知②③正确． 9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝3，满足S n ＝6－2a n ＋1(n ∈N *)． (1)求a 2，a 3，a 4的值； (2)猜想a n 的表达式．
解 (1)因为a 1＝3，且S n ＝6－2a n ＋1(n ∈N *)， 所以S 1＝6－2a 2＝a 1＝3，解得a 2＝3
2，
又S 2＝6－2a 3＝a 1＋a 2＝3＋32，解得a 3＝3
4，
又S 3＝6－2a 4＝a 1＋a 2＋a 3＝3＋32＋34，解得a 4＝3
8
.
(2)由(1)知a 1＝3＝320，a 2＝32＝321，a 3＝34＝322，a 4＝38＝323，…，猜想a n ＝3
2n －
1(n ∈N *)．
10．在圆x 2＋y 2＝r 2中，若AB 为直径，C 为圆上异于A ，B 的任意一点，则有k AC ·k BC ＝－1，用类比的方法得出椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)中有什么样的结论？
解 设A (x 0，y 0)为椭圆上的任意一点，
则点A 关于中心对称的点B 的坐标为(－x 0，－y 0)， 点P (x ，y )为椭圆上异于A ，B 两点的任意一点， 则k AP ·k BP ＝y －y 0x －x 0·y ＋y 0x ＋x 0＝y 2－y 20
x 2－x 20.
因为A ，B ，P 三点都在椭圆上，
所以???
x 2a 2＋y 2
b 2
＝1，x 20a 2
＋y
20b 2
＝1，
两式相减有x 2－x 20a 2＋y 2－y 2
b
2＝0，
故y 2－y 20
x 2－x 20＝－b 2
a 2，
即k AP ·k BP ＝－b 2
a
2.
故椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)中过中心的一条弦的两个端点A ，B ，P 为椭圆上异于A ，B 的任意
一点，
则有k AP ·k BP ＝－b 2
a
2.
11．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于( )
1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1 111 1 234×9＋5＝11 111 12 345×9＋6＝111 111
…
A ．1 111 110
B ．1 111 111
C ．1 111 112
D ．1 111 113
答案 B
解析 由数塔猜测应是各位都是1的七位数， 即1 111 111.
12．等差数列{a n }的公差为d ，前n 项的和为S n ，则数列????
??S n n 为等差数列，公差为d
2.类似地，
若各项均为正数的等比数列{b n }的公比为q ，前n 项的积为T n ，则等比数列{n
T n }的公比为( ) A.q
2 B ．q 2 C.q D.n
q
答案 C
解析 由题设，得T n ＝b 1·b 2·b 3·…·b n ＝b 1·b 1q ·b 1q 2·…·b 1q n －1＝b n
1q
1＋2＋…＋(n －1)
＝b n 1(1)2
n n
q
-.
∴n
T n ＝b 11
2
n q
-，
∴等比数列{n
T n }的公比为q .
13.如图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子的颜色为( )
A ．白色
B ．黑色
C ．白色可能性大
D ．黑色可能性大
答案 A
解析 由题图知，三白二黑周而复始相继排列，根据36÷5＝7余1， 可得第36颗应与第1颗珠子的颜色相同，即白色．
14．在三角形内，我们将三条边的中线的交点称为三角形的重心，且重心到任一顶点的距离是到对边中点距离的两倍，类比上述结论：在三棱锥中，我们将顶点与对面重心的连线段称为三棱锥的“中线”，将三棱锥四条中线的交点称为它的“重心”，则棱锥重心到顶点的距离是到对面重心距离的________倍． 答案 3
解析 在四面体A －BCD 中，E 为CD 的中点，
连接AE ，BE ，且M ，N 分别为△ACD ，△BCD 的重心，AN ，BM 交于点G .
在△ABE 中，M ，N 分别为AE ，BE 的三等分点，
则
EM AE ＝EN BE ＝13
， 所以MN ∥AB ，AB ＝3MN ，
所以AG ＝3GN ，故棱锥重心到顶点的距离是到对面重心距离的3倍．
15．如图所示，①中是棱长为1的小正方体，②，③都是由①中小正方体摆放而成的，按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第1层，第2层，……，第n 层．第n 层的小正方体的个数记为S n .解答下列问题：
(1)按照要求填表：
n 1 2 3 4 … S n
1
3
6
…
(2)S 10＝________；
(3)S n ＝______________(n ∈N *)． 答案 (1)10 (2)55 (3)n (n ＋1)
2
解析 认真观察每个图形中小正方体的分布规律，探究第n (n ≥2)个图形中小正方体的个数比第(n －1)个图形中小正方体的个数多多少，易知所多个数即为n .第1层：1个；第2层：3个，即(1＋2)个；第3层：6个，即(1＋2＋3)个；第4层：10个，即(1＋2＋3＋4)个；……，由此猜想，第n 层的小正方体的个数为上一层的个数加上本层的次序数，所以S 10＝55，S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2
(n ∈N *)．
16．已知在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，有
1AD 2＝1AB 2＋1
AC
2成立．那么在四面体A －BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，说明猜想是否正确，并给出理由． 解 类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，可以猜想在四面体A －BCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ， 则
1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1
AD
2.
猜想正确．理由如下：
如图所示，连接BE ，并延长交CD 于F ，连接AF .
∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ， ∴AB ⊥平面ACD .
又AF ?平面ACD ，∴AB ⊥AF .
在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ，∴1AE 2＝1AB 2＋1
AF 2.
在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ， ∴1AF 2＝1AC 2＋1AD 2
. ∴
1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2
，故猜想正确．
合情推理 1：与代数式有关的推理问题 例1、观察()()()() ()() 223 3 2 2 44 3 223, a b a b a b a b a b a ab b a b a b a a b ab b -=-+-=-++-=-+++进而猜想n n a b -= 练习:观察下列等式：3 321 23+=，33321236++=，33332123410+++=，…，根据上述规律，第五个．．． 等式．． 为 。 解析：第i 个等式左边为1到i+1的立方和，右边为1+2+...+（i+1）的平方所以第五个．．． 等．式． 为3333332 12345621+++++=。 2：与三角函数有关的推理问题 例1、观察下列等式，猜想一个一般性的结论。 2020202020202020202020203 sin 30sin 90sin 150,23 sin 60sin 120sin 18023 sin 45sin 105sin 165, 23 sin 15sin 75sin 1352++= ++=++=++= 练习：观察下列等式： ① cos2α=2 cos 2 α－1； ② cos 4α=8 cos 4 α－8 cos 2 α+1； ③ cos 6α=32 cos 6 α－48 cos 4 α＋18 cos 2 α－1； ④ cos 8α= 128 cos 8α－256cos 6 α＋160 cos 4 α－32 cos 2 α＋1； ⑤ cos 10α=mcos 10α－1280 cos 8α＋1120cos 6 α＋ncos 4 α＋p cos 2 α－1； 可以推测，m －n+p= . 答案：962 3：与不等式有关的推理 例1、观察下列式子： 213122+<，221151,233 ++<22211171, 2344............. +++< 由上可得出一般的结论为： 。 答案： 22211121 1......,23(1)1n n n ++ ++<++ 练习、由 331441551 ,,221331441 +++>>> +++。。。。。。可猜想到一个一般性的结论是： 。
富县高级中学集体备课教案 年级：高二科目：数学授课人：授课时间：序号：第节课题第三章§1.1 归纳推理第 1 课时 教学目标1、掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。 2、通过“自主、合作与探究”实现“一切以学生为中心”的理念。 3、感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。 重点归纳推理及方法的总结中心 发言 人王晓君 难点归纳推理的含义及其具体应用 教具课型新授课课时 安排 1课 时 教法讲练结合学法归纳总结个人主页 教学过程 教一、原理初探 ①引入：“阿基米德曾对国王说，给我一个支点，我将撬起整个地球！” ②提问：大家认为可能吗？他为何敢夸下如此海口？理由何在？ ③探究：他是怎么发现“杠杆原理”的？ 正是基于这两个发现，阿基米德大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大的“杠杆原理”。 ④思考：整个过程对你有什么启发？ ⑤启发：在教师的引导下归纳出：“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”。 二、新课学习 1、哥德巴赫猜想 哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想: (a) 任何一个≥6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。 (b) 任何一个≥9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。这就是着名的哥德巴赫猜想200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法观察猜想证明 归纳推理的发展过程
推理与证明 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
第3讲推理与证明 【知识要点】 1.归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理 2．类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质。类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。3．类比推理的一般步骤： ①找出两类事物之间的相似性或者一致性。 ②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想） 【典型例题】 1、（2011江西）观察下列各式：72=49，73=343，74=2401，…，则72011的末两位数字为 （） A、01 B、43 C、07 D、49 2、（2011江西）观察下列各式：55=3125，56=15625，57=78125，…，则52011的末四位数字为（） A、3125 B、5625 C、0625 D、8125 3、（2010临颍县）平面内平行于同一条直线的两条直线平行，由此类比思维，我们可以得到（） A、空间中平行于同一平面的两个平面平行 B、空间中平行于同一条直线的两条直线平行 C、空间中平行于同一条平面的两条直线平行 D、空间中平行于同一条直线的两个平面平行
4、（2007广东）设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a，b∈S，对于有序元素对（a，b），在S中有唯一确定的元素与之对应）有a* （b*a）=b，则对任意的a，b∈S，下列等式中不恒成立的是（） A、（a*b）*a=a B、[a*（b*a）]*（a*b）=a C、b*（b*b）=b D、（a*b）*[b*（a*b）]=b 5、（2007广东）如图是某汽车维修公司的维修点环形分布图．公司在 年初分配给A，B，C，D四个维修点某种配件各50件．在使用前发 现需将A，B，C，D四个维修点的这批配件分别调整为40，45， 54，61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调 整，最少的调动件次（n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n）为（） A、15 B、16 C、17 D、18 6、（2006陕西）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a+2b，2b+c，2c+3d，4d，例如，明文1，2，3， 4对应密文5，7，18，16．当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为（） A、4，6，1，7 B、7，6，1，4 C、6，4，1，7 D、1，6，4，7 7、（2006山东）定义集合运算：A⊙B={z︳z=xy（x+y），x∈A，y∈B}，设集合A={0， 1}，B={2，3}，则集合A⊙B的所有元素之和为（） A、0 B、6 C、12 D、18 8、（2006辽宁）设⊕是R上的一个运算，A是V的非空子集，若对任意a，b∈A，有a⊕b ∈A，则称A对运算⊕封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法（除数不等于零）四则运算都封闭的是（）
第十七章推理与证明 ★知识网络★ 第1讲合情推理和演绎推理 ★知识梳理★ 1.推理 根据一个或几个事实(或假设)得出一个判断,这种思维方式叫推理. 从结构上说,推理一般由两部分组成,一部分是已知的事实(或假设)叫做前提,一部分是由已知推出的判断,叫结论. 2、合情推理: 根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出的推理叫合情推理。 合情推理可分为归纳推理和类比推理两类： （1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理。简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理 （2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。 3.演绎推理: 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。三段论是演绎推理的一般模式，它包括：（1）大前提---已知的一般原理；（2）小前提---所研究的特殊情况；（3）结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断。 ★重难点突破★ 重点:会用合情推理提出猜想,会用演绎推理进行推理论证,明确合情推理与演绎推理的区别与联系
难点:发现两类对象的类似特征、在部分对象中寻找共同特征或规律 重难点：利用合情推理的原理提出猜想，利用演绎推理的形式进行证明 1、归纳推理关键是要在部分对象中寻找共同特征或某种规律性 问题1<；…. 对于任意正实数,a b ≤成立的一个条件可以是 ____. 点拨：前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22，故22=+b a 2、类比推理关键是要寻找两类对象的类似特征 问题2：已知抛物线有性质：过抛物线的焦点作一直线与抛物线交于A 、B 两点，则当AB 与抛物线的对称轴垂直时，AB 的长度最短；试将上述命题类比到其他曲线，写出相应的一个真命题为 ． 点拨：圆锥曲线有很多类似性质，“通径”最短是其中之一，答案可以填：过椭圆的焦点作一 直线与椭圆交于A 、B 两点，则当AB 与椭圆的长轴垂直时，AB 的长度最短（22 2||a b AB ≥） 3、运用演绎推理的推理形式(三段论)进行推理 问题3：定义[x]为不超过x 的最大整数，则[-2.1]= 点拨：“大前提”是在],(x -∞找最大整数，所以[-2.1]=-3 ★热点考点题型探析★ 考点1 合情推理 题型1 用归纳推理发现规律 [例1 ] 通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假。 2 3135sin 75sin 15sin 020202= ++；23150sin 90sin 30sin 0 20202=++； 23165sin 105sin 45sin 020202=++；23 180sin 120sin 60sin 020202=++ 【解题思路】注意观察四个式子的共同特征或规律（1）结构的一致性,（2）观察角的“共性” [解析]猜想：2 3 )60(sin sin )60(sin 0 2202= +++-ααα 证明：左边=2 00 2 2 00 )60sin cos 60cos (sin sin )60sin cos 60cos (sin ααααα+++- = 2 3 )cos (sin 2322=+αα=右边 【名师指引】（1）先猜后证是一种常见题型 （2）归纳推理的一些常见形式：一是“具有共同特征型”，二是“递推型”，三是“循环型”（周期性） [例2 ] (09深圳九校联考) 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂 巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂 巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图
第三讲 推理与证明 （推荐时间：50分钟） 一、选择题 1．下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项 公式为 ( ) A ．a n ＝3 n －1 B ．a n ＝3n C ．a n ＝3n －2n D ．a n ＝3n －1＋2n －3 2．已知22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2 －2－4 ＝2，依照以上各 式的规律，得到一般性的等式为 ( ) A.n n －4＋8－n 8－n －4 ＝2 B.n ＋1n ＋1－4＋n ＋1＋5n ＋1－4＝2 C.n n －4＋n ＋4n ＋1－4 ＝2 D.n ＋1n ＋1－4＋n ＋5n ＋5－4 ＝2 3． “因为指数函数y ＝a x 是增函数(大前提)，而y ＝ ??? ?13x 是指数函数(小前提)，所以函数y ＝ ??? ?13x 是增函数(结论)”，上面推理的错误在于 ( ) A ．大前提错误导致结论错 B ．小前提错误导致结论错 C ．推理形式错误导致结论错 D ．大前提和小前提错误导致结论错 4．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn ＝nm ”类比得到“a ·b ＝b ·a ”； ②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ”； ③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )”； ④“t ≠0，mt ＝xt ?m ＝x ”类比得到“p ≠0，a ·p ＝x ·p ?a ＝x ”； ⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a ·b |＝|a |·|b |”； ⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a ·c b ·c ＝a b ”． 以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．已知定义在R 上的函数f (x )，g (x )满足f x g x ＝a x ，且f ′(x )g (x ) 高考中的类比推理 大数学家波利亚说过：“类比是某种类型的相似性，是一种更确定的和更概念性的相似。”应用类比的关键就在于如何把关于对象在某些方面一致性说清楚。类比是提出新问题和作出新发现的一个重要源泉，是一种较高层次的信息迁移。 例1 半径为r 的圆的面积2 )(r r S ?=π，周长r r C ?=π2)(，若将r 看作),0(+∞上的变量，则r r ?=?ππ2)'(2， ①，①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R 的球，若将R 看作),0(+∞上的变量，请你写出类似于①的式子：_________________，②，②式可用语言叙述为___________. 解：由提供的形式找出球的两个常用量体积、表面积公式，类似写出恰好成立， ,3 4)(3R R V π=24)(R r S π=. 答案：①)'3 4(3R π.42R π= ②球的体积函数的导数等于球的表面积函数。 点评：主要考查类比意识考查学生分散思维，注意将圆的面积与周长与球的体积与表面积进行类比 例2 在等差数列｛a n ｝中，若a 10=0，则有等式a 1＋a 2＋……＋a n =a 1＋a 2＋……＋a 19－n （n ＜19，n ∈N *）成立。类比上述性质，相应地：在等比数列｛b n ｝中，若b 9=1，则有等式 成立。 分析：这是由一类事物（等差数列）到与其相似的一类事物（等比数列）间的类比。在等差数列｛a n ｝前19项中，其中间一项a 10=0，则a 1＋a 19= a 2＋a 18=……= a n ＋a 20－n = a n ＋1＋a 19－n =2a 10=0，所以a 1＋a 2＋……＋a n ＋……＋a 19=0，即a 1＋a 2＋……＋a n =－a 19－a 18－…－a n ＋1，又∵a 1=－a 19， a 2=－a 18，…，a 19－n =－a n ＋1，∴ a 1＋a 2＋……＋a n =－a 19－a 18－…－a n ＋1= a 1＋a 2＋…＋a 19－n 。相似地，在等比数列｛b n ｝的前17项中，b 9=1为其中间项，则可得b 1b 2…b n = b 1b 2…b 17－n （n ＜17，n ∈N * ）。 例3 在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB 、AC 互相垂直，则AB 2＋AC 2= BC 2。”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得到的正确结论是：“设三棱锥A —BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两相互垂直，则 ________________”。 分析：这是由低维（平面）到高维（空间）之间的类比。三角形中的许多结论都可以类比到三棱锥中（当然必须经过论证其正确性），像直角三角形中的勾股定理类比到三侧面两两垂直的三棱锥中，则有S △ABC 2＋S △ACD 2＋S △ADB 2= S △BCD 2。需要指出的是，勾股定理的证明也可进行类比。如在Rt △ABC 中，过A 作AH ⊥BC 于H ，则由AB 2=BH ·BC ，AC 2=CH ·BC 相加即得AB 2＋AC 2=BC 2；在三侧面两两垂直的三棱锥A —BCD 中，过A 作AH ⊥平面BCD 于H ，类似地由S △ABC 2=S △HBC ·S △BCD ，S △ACD 2=S △HCD ·S △BCD ，S △ADB 2=S △HDB ·S △BCD 相加即得S △ABC 2＋S △ACD 2＋S △ADB 2= S △BCD 2。 第五节合情推理与演绎推理 时间：45分钟分值：75分 一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．下列说法正确的是() A．合情推理就是归纳推理 B．合理推理的结论不一定正确，有待证明 C．演绎推理的结论一定正确，不需证明 D．类比推理是从特殊到一般的推理 解析类比推理也是合情推理，因此，A不正确．合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠，有待进一步证明，故B正确．演绎推理在大前提，小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确，否则就不正确，故C的说法不正确．类比推理是由特殊到特殊的推理，故D的说法也不正确． 答案 B 2．观察下式：1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，则第n个式子是() A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(2n－1)＝n2 B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(2n－1)＝(2n－1)2 C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2 D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2 解析方法1：由已知得第n个式子左边为2n－1项的和且首项为n，以后是各项依次加1，设最后一项为m，则m－n＋1＝2n－1，∴m＝3n－2. 方法2：特值验证法．n＝2时，2n－1＝3,3n－1＝5， 都不是4，故只有3n－2＝4，故选C. 答案 C 3．观察下图中图形的规律，在其右下角的空格内画上合格的图形为( ) A. B. C. D. 解析 表格中的图形都是矩形、圆、正三角形的不同排列，规律是每一行中只有一个图形是空心的，其他两个都是填充颜色的，第三行中已经有正三角形是空心的了，因此另外一个应该是阴影矩形． 答案 A 4．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1， 外接圆面积为S 2，则S 1S 2 ＝14，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P —ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2 ＝( ) A.18 B.19 C.164 D.127 解析 正四面体的内切球与外接球的半径之比为 ，故V 1V 2＝127. 答案 D 5．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( ) A ．设数列{a n }的前n 项和为S n .由a n ＝2n －1，求出S 1＝12，S 2 第3讲 合情推理与演绎推理 一、选择题 1．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2 ＋b 2 ＝3，a 3 ＋b 3 ＝4，a 4 ＋b 4 ＝7，a 5 ＋b 5 ＝11，…，则a 10 ＋b 10 ＝( ) A ．121 B ．123 C ．231 D ．211 解析：选B ．法一：令a n ＝a n ＋b n ，则a 1＝1，a 2＝3，a 3＝4，a 4＝7，…，得a n ＋2＝a n ＋ a n ＋1，从而a 6＝18，a 7＝29，a 8＝47，a 9＝76，a 10＝123． 法二：由a ＋b ＝1，a 2 ＋b 2 ＝3，得ab ＝－1，代入后三个等式中符合，则a 10 ＋b 10 ＝(a 5 ＋b 5)2 －2a 5b 5 ＝123． 2．某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1，1，2，3，5，则预计第10年树的分枝数为( ) A ．21 B ．34 C ．52 D ．55 解析：选D ．因为2＝1＋1，3＝2＋1，5＝3＋2，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以第10年树的分枝数为21＋34＝55． 3．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，…，则第60个“整数对”是( ) A ．(7，5) B ．(5，7) C ．(2，10) D ．(10，2) 解析：选B ．依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知第n 组中每个“整数对”的和均为n ＋1，且第n 组共有n 个“整数对”，这样的前n 组一共有 n （n ＋1） 2 个“整 数对”，注意到10×（10＋1）2<60<11×（11＋1）2，因此第60个“整数对”处于第11组(每 个“整数对”的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为：(1，11)，(2，10)，(3，9)，(4，8)，(5，7)，…，因此第60个“整数对”是(5，7)． 4．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝a ，CD ＝b (a >b )．若EF ∥AB ，EF 到CD 与AB 合情推理与演绎推理的意义 （1)合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推导过程。演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等），按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。 （2)在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论，探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养。例如，在研究球体时，我们会自然地联想到圆。由于球与圆在形状上有类似的地方，即都具有完美的对称性，都是到定点的距离等于定长的点的集合，因此我们推测圆的一些特征，球也可能有。 圆的切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心的距离等于圆的半径，类似地，我们推测可能存在这样的平面，与球只交于一点，该点到球心的距离等于球的半径。平面内不共线的3个点确定一个圆，类似地，我们猜想空间中不共面的4个点确定一个球等。 演绎推理是数学中严格证明的工具，在解决数学问题时起着重要的作用。“三段论”是演绎推理的一般模式，前提和结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论也必定是正确的。 例如，三角函数都是周期函数，sinx是三角函数，因此推导证明出该函数是周期函数。又如，这样一道问题“证明函数f(x)=-x+2x在（－0,1)上是增函数”。大前提是增函数的定义，小前提是推导函数f(x)在（－c,1)上满足增函数的定义，进而得出结论。 合情推理从推理形式上看，是由部分到整体、个别到一般、由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理。从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确。 就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程。但数学结论、证明思路等的发现，主要靠合情推理。因此，合情推理与演绎推理是相辅相成的。 合情推理和演绎推理训练 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 推理与证明 ★知识网络★ 第１讲 合情推理和演绎推理 ★知识梳理★ １.推理 根据一个或几个事实(或假设)得出一个判断,这种思维方式叫推理． 从结构上说,推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)叫做前提，一部分是由 已知推出的判断,叫结论. ２、合情推理： 根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出的推理叫合情 推理。 合情推理可分为归纳推理和类比推理两类: （1）归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特 征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理。简言之，归纳推理是由部分到整体、由 个别到一般的推理 (2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征,推出另一 类对象也具有这些特征的推理,简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。 3.演绎推理： 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是 由一般到特殊的推理。三段论是演绎推理的一般模式，它包括：（1）大前提---已知的一般 原理；（2)小前提--－所研究的特殊情况；(3)结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判 断。 ★重难点突破★ 重点:会用合情推理提出猜想,会用演绎推理进行推理论证，明确合情推理与演绎推理的区别推 理 推 证合情演绎归类直接间接 数学综 分 反 与联系 难点:发现两类对象的类似特征、在部分对象中寻找共同特征或规律 重难点:利用合情推理的原理提出猜想，利用演绎推理的形式进行证明 1、归纳推理关键是要在部分对象中寻找共同特征或某种规律性 问题１:观察：715211+<; 5.516.5211+<； 33193211-++<;…. 对于任意正实数,a b ，试写出使211a b +≤成立的一个条件可以是 ____. 点拨:前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22，故22=+b a 2、类比推理关键是要寻找两类对象的类似特征 问题2：已知抛物线有性质:过抛物线的焦点作一直线与抛物线交于A 、B 两点,则当AB 与 抛物线的对称轴垂直时,AB 的长度最短;试将上述命题类比到其他曲线,写出相应的一个真 命题为 ． 点拨：圆锥曲线有很多类似性质，“通径”最短是其中之一,答案可以填：过椭圆的焦点作一 直线与椭圆交于A 、B 两点,则当AB 与椭圆的长轴垂直时,AB 的长度最短（22 2||a b AB ≥） 3、运用演绎推理的推理形式(三段论）进行推理 问题3:定义[ｘ]为不超过ｘ的最大整数，则[-2.１］= 点拨：“大前提”是在],(x -∞找最大整数,所以[-2.1]＝-3 ★热点考点题型探析★ 考点１ 合情推理 题型1 用归纳推理发现规律 ［例1 ] 通过观察下列等式,猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假。 2 3135sin 75sin 15sin 020202= ++；23150sin 90sin 30sin 020202=++；23165sin 105sin 45sin 020202=++；23180sin 120sin 60sin 020202=++ 【解题思路】注意观察四个式子的共同特征或规律(１）结构的一致性，(２)观察角的“共性” [解析]猜想:23)60(sin sin )60(sin 02202= +++-ααα 证明：左边=2002200)60sin cos 60cos (sin sin )60sin cos 60cos (sin ααααα+++- =2 3)cos (sin 2322=+αα＝右边 【名师指引】(1）先猜后证是一种常见题型 (2)归纳推理的一些常见形式：一是“具有共同特征型”，二是“递推型”，三是“循环型”（周 期性） ［例2 ] (0９深圳九校联考) 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂 巢可以近似地看作是一个正六边形,如图为一组 蜂 专题十二 推理与证明 第三十二讲 推理与证明 答案部分 2019年 1.解析：由题意，可把三人的预测简写如下： 甲：甲乙． 乙：丙乙且丙甲． 丙：丙乙． 因为只有一个人预测正确， 如果乙预测正确，则丙预测正确，不符合题意． 如果丙预测正确，假设甲、乙预测不正确， 则有丙乙，乙甲， 因为乙预测不正确，而丙乙正确，所以只有丙甲不正确， 所以甲丙，这与丙乙，乙甲矛盾．不符合题意． 所以只有甲预测正确，乙、丙预测不正确， 甲乙，乙丙． 故选A ． 2010-2018年 1．B 【解析】解法一 因为ln 1x x -≤(0x >)，所以1234123ln()a a a a a a a +++=++ 1231a a a ++-≤，所以41a -≤，又11a >，所以等比数列的公比0q <． 若1q -≤，则2 12341(1)(10a a a a a q q +++=++） ≤， 而12311a a a a ++>≥，所以123ln()0a a a ++>， 与1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤矛盾， 所以10q -<<，所以2131(1)0a a a q -=->，2 241(1)0a a a q q -=-<， 所以13a a >，24a a <，故选B ． 解法二 因为1x e x +≥，1234123ln()a a a a a a a +++=++， 所以1234 12312341a a a a e a a a a a a a +++=++++++≥，则41a -≤， 又11a >，所以等比数列的公比0q <． 若1q -≤，则2 12341(1)(10a a a a a q q +++=++） ≤， 而12311a a a a ++>≥，所以123ln()0a a a ++> 与1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤矛盾， 所以10q -<<，所以2131(1)0a a a q -=->，2 241(1)0a a a q q -=-<， 所以13a a >，24a a <，故选B ． 2．D 【解析】解法一 点(2,1)在直线1x y -=上，4ax y +=表示过定点(0,4)，斜率为a -的直线，当0a ≠时，2x ay -=表示过定点(2,0)， 斜率为1 a 的直线，不等式2x ay -≤表示的区域包含原点，不等式4ax y +>表示的区域不包含原点．直线4ax y +=与直线2x ay -=互相垂直，显然当直线4ax y +=的斜率0a ->时，不等式4ax y +>表示的区域不包含点(2,1)，故排除A ；点(2,1)与点(0,4)连线的斜率为3 2 - ，当32a -<-，即3 2 a >时，4ax y +>表示的区域包含点(2,1)，此时2x ay -<表示的 区域也包含点(2,1)，故排除B ；当直线4ax y +=的斜率32a -=-，即3 2 a =时， 4ax y +>表示的区域不包含点(2,1)，故排除C ，故选D ． 解法二 若(2,1)A ∈，则21422 a a +>?? -?≤，解得32a >，所以当且仅当3 2a ≤时， (2,1)A ?．故选D ． 3．D 【解析】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁一人优秀一人良好，乙 看到丙的结果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果，故选D ． 4．A 【解析】n S 表示点n A 到对面直线的距离（设为n h ）乘以1n n B B +长度一半，即 11 2 n n n n S h B B += ，由题目中条件可知1n n B B +的长度为定值，那么我们需要知道n h 的关系式，过1A 作垂直得到初始距离1h ，那么1,n A A 和两个垂足构成了等腰梯形，那么 合情推理、演绎推理 一、考点梳理：（略） 二、命题预测： 归纳、类比和演绎推理是高考的热点，归纳与类比推理大多数出现在填空题中，为中、抵挡题，主要考察类比、归纳推理的能力；演绎推理大多出现在解答题中，为中、高档题，在知识的交汇点出命题，考察学生的分析问题，解决问题以及逻辑推理能力。预测2012年仍然如此，重点考察逻辑推理能力。 三、题型讲解： 1：与代数式有关的推理问题 例1、观察()()()() ()() 223 3 2 2 44 3 223, a b a b a b a b a b a ab b a b a b a a b ab b -=-+-=-++-=-+++进而猜想n n a b -= 例2、观察1=1，1-4=-（1+2），1-4+9=（1+2+3），1-4+9-16= -（1+2+3+4）…猜想第n 个等式是： 。 练习:观察下列等式：3 321 23+=，33321236++=，33332123410+++=，…，根据上述规律，第五个．．． 等式．． 为 。 。 练习：在计算“”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k 项： 由此得 … 相加，得 类比上述方法，请你计算“”，其结果为 . 2：与三角函数有关的推理问题 例1、观察下列等式，猜想一个一般性的结论，并证明结论的真假。 2020202020202020202020203 sin 30sin 90sin 150,23 sin 60sin 120sin 18023 sin 45sin 105sin 165, 23 sin 15sin 75sin 1352++= ++=++=++= 练习：观察下列等式： ① cos2α=2 cos 2 α－1； ② cos 4α=8 cos 4 α－8 cos 2 α+1； ③ cos 6α=32 cos 6 α－48 cos 4 α＋18 cos 2 α－1； ④ cos 8α= 128 cos 8α－256cos 6 α＋160 cos 4 α－32 cos 2 α＋1； ⑤ cos 10α=mcos 10α－1280 cos 8α＋1120cos 6 α＋ncos 4 α＋p cos 2 α－1； 可以推测，m －n+p= . 《合情推理与演绎推理》教案 合情推理 教学要求：结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义，能利用归纳进行简单的推理，体 会并认识归纳推理在数学发现中的作用? 教学重点：能利用归纳进行简单的推理? 教学难点：用归纳进行推理，作出猜想. 教学过程： 一、新课引入： 1. 哥德巴赫猜想：观察4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7,……,50=13+37,……,100=3+97，猜测：任一偶数(除去2,它本身是一素数) 可以表示成两个素数之和.1742年写信提出，欧拉及以后的数学家无人能解，成为数学史上 举世闻名的猜想.1973 年，我国数学家陈景润，证明了充分大的偶数可表示为一个素数与至多两个素数乘积之和，数学上把它称为“1+2” . 2. 费马猜想：法国业余数学家之王一费马(1601-1665 )在1640年通过对F。22 1 3 , 1 2 3 4 F! 22 1 5 , F2 22 1 17 , F3 22 1 257 , F4 22 1 65 537 的观察，发现其结果 n 都是素数，于是提出猜想：对所有的自然数n,任何形如F n 221的数都是素数.后来瑞士 5 数学家欧拉，发现F5 221 4 294 967 297 641 6 700 4 1 7不是素数，推翻费马猜想. 3. 四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着 色工作时，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的 国家着上不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用1200个小时，作了100亿逻辑判 断，完成证明. 二、讲授新课： 1. 教学概念： ①概念：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的 推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理.简言之，归纳推理是由部分 到整体、由个别到一般的推理. ②归纳练习：(i)由铜、铁、铝、金、银能导电，能归纳出什么结论？ (ii )由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和180度，能归纳出什么结论？ (iii )观察等式：1 3 4 22, 1 3 5 9 32, 1 3 5 7 9 16 42，能得出怎样的结 论？ ③讨论：(i)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，是否属归纳推理？ (ii )归纳推理有何作用？(发现新事实，获得新结论，是做出科学发现的重要手段) (iii )归纳推理的结果是否正确？(不一定) 2. 教学例题： a ①出示例题：已知数列a n的第1项31 2，且a n 1 — (n 1,2,L )，试归纳出通项公式. 1 a n (分析思路：试值n=1, 2, 3, 4 T猜想a n宀如何证明：将递推公式变形，再构造新数列) ②思考：证得某命题在n= n 0时成立；又假设在n= k时命题成立，再证明n= k + 1时命题 也成立.由这两步，可以归纳出什么结论？(目的：渗透数学归纳法原理，即基础、递推关 合情推理演绎推理（带答 案） 作者: 日期: 1:与代数式有关的推理问题 2 a b a b a b , 例1、观察a 3 b 3 a b 2 a ab b 2 进而猜想a n b n 4 a b 4 a b 3 a a 2 b ab 2 b 3 练习：观察下列等式： 13 23 以 3 3 , 1 23 33 6, 13 2" 33 43 10,…，根据上述规律，第五个 等式为 o 解析：第 i 个等式左边为 1 到 i+1 的立方和，右边为 1+2+.. .+ (i+1 )的平方所以第五个 等式为13空 33 43 5" 21 o 2:与三角函数有关的推理问题 例1、观察下列等式，猜想一个一般性的结论。 练习：观察下列等式: ① COS2 a =2 cos 2 a — 1 ； 4 2 ② cos 4 a =8 cos a — 8 COs a +1 ； ③ cos 6 a =32 cos 6 a — 48 cos 4 a+ 18 cos 2 a — 1； ④ cos 8 a = 128 cos a — 256cos a+ 160 cos a — 32 cos a + 1 ； 10 8 6 4 2 ⑤ cos 10 a =mcos a — 1280 cos a+ 1120cos a+ nC0S a+ p cos a — 1 ； 可以推测，m — n+p= . 答案：962 3:与不等式有关的推理 例1、观察下列式子： 1 3 1 1 5 4 1 1 1 7 1尹2「豕孑护豕孕了？由上可得出一般的结论为： ____________________________________________________ 。 .1 1 1 2n 1 答案：1 22 32 ……(n 1)2 n 1， 练习、由 3 5 口 oooooo 可猜想到一个一般性的结论是： _________________________ 。 2 2 1 3 3 1 4 4 1 合情推理 sin 2 30 0 sin 2 60 0 ? 2 Ar 0 sin 45 sin 15 ? 2 “ 0 sin 90 sin 2120 sin 2105 sin 2 75 0 . 2 * LC 0 sin 150 sin 2180 sin 2165 2 X CL 0 sin 135 简单已测：1994次正确率：87.2 % 1.下列表述正确的是( ) ①归纳推理是由部分到整体的推 理；②归纳推理是由?般到?般的推理；③演绎推理是由?般到特殊的推理；④类?推理是由特殊到?般的推理；⑤类?推理是由特殊到特殊的推理．A.①②③ B.②③④C.①③⑤ D.②④⑤ 考点：归纳推理的常??法、类?推理的常??法知识点：归纳推理、类?推理答案：C 解析：所谓归纳推理，就是从个别性知识推出?般性结论的推理． 故①对②错； ?所谓演绎推理是由?般到特殊的推理．故③对； 类?推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从?推出它们的其他属性也相同的推理．故④错⑤对．故选：． ?般已测：2488次正确率：82.5 % 2.图是“推理与证明”的知识结构图,如果要加?“归纳”,则应该放在（ ） A.“合情推理”的下位 B.“演绎推理”的下位 C.“直接证明”的下位 D.“间接证明”的下位 考点：归纳推理的常??法、类?推理的常??法知识点：归纳推理、类?推理答案：A 解析：合情推理包括归纳推理与类?推理，因此答案为. C A 简单已测：1990次正确率：95.2 % 3.给出下列表述:①综合法是由因导果法；②综合法是顺推证法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证明法； ⑤分析法是逆推证法.其中正确的表述有( )A.个B.个C.个D. 个 考点：分析法的思考过程、特点及应?、综合法的思考过程、特点及应?知识点：综合法、分析法答案：C 解析：结合综合法和分析法的定义可知①②③⑤均正确,分析法和综合法均为直接证明法,故④不正确． ?般 已测：3748次 正确率：87.4 % 4.观察下列各式：，则的末四位数字为（ ） A.B.C.D. 考点：有理数指数幂的运算性质、归纳推理的常??法知识点：有理数指数幂的运算法则、归纳推理答案：D 解析：， 可以看出这些幂的最后位是以为周期变化的， ， 的末四位数字与的后四位数相同，是， 故选D ?般已测：1886次正确率：81.9 % 5.观察下列各式：，， ，，， ，则=（ ） A.B.C. 23455=3125,5=15625,5=78125,?5 6 7520113125562506258125 ∵5=3125,5=15625,5=781255 675=390625,5=1953125,5=9765625,5=48828125? 89101144∵2011÷4=502?3∴52011578125a +b =1a +b =322a +b =433a +b =744a +b =1155…a +b 10102876123 第3讲推理与证明 【知识要点】 1.归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理 2．类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质。类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。 3．类比推理的一般步骤： ①找出两类事物之间的相似性或者一致性。 ②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想） 【典型例题】 1、（2011?江西）观察下列各式：72=49，73=343，74=2401，…，则72011的末两位数字为（） A、01 B、43 C、07 D、49 2、（2011?江西）观察下列各式：55=3125，56=15625，57=78125，…，则52011的末四位数字为（） A、3125 B、5625 C、0625 D、8125 3、（2010?临颍县）平面内平行于同一条直线的两条直线平行，由此类比思维，我们可以得到（） A、空间中平行于同一平面的两个平面平行 B、空间中平行于同一条直线的两条直线平行 C、空间中平行于同一条平面的两条直线平行 D、空间中平行于同一条直线的两个平面平行 4、（2007?广东）设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a，b∈S，对于有序元素对（a，b），在S中有唯一确定的元素与之对应）有a*（b*a）=b，则对任意的a，b∈S，下列等式中不恒成立的是（） A、（a*b）*a=a B、[a*（b*a）]*（a*b）=a C、b*（b*b）=b D、（a*b）*[b*（a*b）]=b 5、（2007?广东）如图是某汽车维修公司的维修点环形分布图．公司在年初分配给A，B，C，D四个维修 点某种配件各50件．在使用前发现需将A，B，C，D四个维修点的这批配件 分别调整为40，45，54，61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要 完成上述调整，最少的调动件次（n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的 调动件次为n）为（） A、15 B、16 C、17 D、18 6、（2006?陕西）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a+2b，2b+c，2c+3d，4d，例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16．当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为（） A、4，6，1，7 B、7，6，1，4 C、6，4，1，7 D、1，6，4，7 7、（2006?山东）定义集合运算：A⊙B={z︳z=xy（x+y），x∈A，y∈B}，设集合A={0，1}，B={2，3}，则 集合A⊙B的所有元素之和为（） A、0 B、6 C、12 D、18苏教版数学高二-2.1素材 《合情推理与演绎证明》文字素材1
6-5第五节 合情推理与演绎推理练习题(2015年高考总复习)
2019高考数学一轮复习第11章复数算法推理与证明第3讲合情推理与演绎推理分层演练文
合情推理与演绎推理的意义
合情推理和演绎推理训练
专题十二 推理与证明第三十二讲 推理与证明答案
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推理与证明
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