概率论期末测试E IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】
2015-2016秋季学期《概率论与数理统计》复习题
E
考试题型分值
选择题：15题，每题3分，共45分
计算题：4题，10分+15分+15分+15分=55分 复习题
1.B A ,为随机事件，4.0)(=A P ，3.0)(=B P ，()0.6P A B =，则()P AB =。 2．已知()P B A =0.3，()P A B -=0.2，则()P A =2/7。
3．将一枚硬币重复抛掷3次，则正、反面都至少出现一次的概率为。
4.设某教研室共有教师11人，其中男教师7人，现该教研室中要任选3名为优秀教师，则3名优秀教师中至少有1名女教师的概率为___
26
33
____。 人独立破译一密码，他们能单独译出的概率为4
1
,31,51，则此密码被译出的概率为
___3
5
___。
6．随机变量X 能取1,0,1-，取这些值的概率为35,,248c c c ，则常数c =_8
15
_。
7．随机变量X 分布律为5,4,3,2,1,15
)(===k k
k X P ，则(35)P X X ><=。
8.02,
()0.420,10x F x x x <-??
=-≤
是X 的分布函数，则X 分布律为__2
00.40.6i X p -??
???
__。
9．已知随机变量X 的分布律为???
?? ??1.07.02.04324πππP X ，则随机变量函数X Y sin =的分布
律为
___10.7Y ??
?
??
?
__。 10.若X 服从的分布是(0,1)N ，则2+1X 服从的分布是(1,4)N 。
11．设()()~2,9,~1,16X N Y N ，且,X Y 相互独立，则~X Y +__2(3,5)N ___。 12.随机变量()5,0.2X
B ，则(23)E X +=__5__，()23D X +=，
2(21)E X -=__2.6__，。
13.随机变量()0,2X
U ，则()3E X --=__-4__，()3D X --=__1
3
__。
14．总体X 以等概率θ
1
取值θ,,2,1 ，则未知参数θ的矩估计量为__2-1X ___。
15．设12,,......,n X X X 为X 的样本，(5,X
B p ）
，则关于p 的矩估计量是5
X
。 16．设B A ,为两随机事件，且A B ?，则下列式子正确的是（A ）。 (A)()()P A B P A +=（B ）()()P AB P A = (C)()()P B A P B =(D)()()()P B A P B P A -=-
17．设事件B A ,独立，且A 与B 互斥，则下列式子一定成立的是（D ）。 (A)()0P AB =（B ）()
0P AB =
(C)()()()
P AB P A P B =(D)()1P A =或()1P B =
18．若()2f x x =可以成为某随机变量X 的概率密度函数，则随机变量X 的可能值充满区间(B),
（A ）(0,0.5) （B ）(0,1)（C ）[0,)+∞
（D ）(,)-∞+∞
19.随机变量X 服从参数1/8λ=的指数分布，则(28)P X <<=（D ）。 （A ）882
x
e dx -?
（B ）88228x
e dx -?（C ）14
11()8
e e ---（D ）141e e ---
20.随机变量X 服从()2,X
N μσ，若σ增大，则(3)P X μσ-<（D ）。
（A ）单调增大（B ）单调减小（C ）增减不定（D ）保持不变
21.设（Y X ,）的联合分布函数为),(y x F ，则其边缘分布函数()X F x =（B ）。 （A ）),(lim y x F x +∞
→（B ）),(lim y x F y +∞
→（C ）),0(y F （D ）)0,(x F
22.随机变量Y X ,相互独立，且???? ?????? ??8.02.010~,8.02.010~Y X ，则必有（C ）。
（A ）Y X =（B ）0)(==Y X P （C ）68.0)(==Y X P （D ）1)(==Y X P 。
23.已知离散型随机变量X 服从二项分布，且44.1,4.2==DX EX ，则二项分布的参数
p n ,的值为（B ）。
（A ）6.0,4==p n （B ）4.0,6==p n （C ）3.0,8==p n （D ）1.0,24==p n
24．已知随机变量离散型随机变量X 的可能取值为1,0,1321==-=x x x ，且
89.0,1.0==DX EX ，则对应于321,,x x x 的概率321,,p p p 为（A ）。
（A ）5.0,1.0,4.0321===p p p （B ）5.0,4.0,1.0321===p p p （C ）4.0,1.0,5.0321===p p p
（D ）1.0,5.0,4.0321===p p p
25.设随机变量0.5x X ~f (x )0.5e ,(x 0)-=>，则下列计算正确的是（C ）。 （A ）()0.5E X =（B ）()2D X = （C ）(21)5E X +=（D ）(2+1)9D X =
26．设随机变量X 密度函数为()0x e x f x x λλ-?>=??，
其他，已知()1/2E X =，若~()Y P λ，
则下列计算正确的是（D ）。
（A ）()2,()4E Y D Y ==（B ）(22)6D Y --=- （C ）2()4E Y =（D ）2(+1)11E Y =
27.已知总体X 服从参数λ的泊松分布（λ未知），12,,......,n X X X 为X 的样本，则（C ）。
（A ）11n i i X n λ=-∑是一个统计量（B ）1
1n
i i X EX n =-∑是一个统计量
（C ）21
1n i i X n =∑是一个统计量（D ）2
11n i i X DX n =-∑是一个统计量
28.人的体重为随机变量X ，a X E =)(，b X D =)(，10个人的平均体重记为Y ，则（A ）。
(A)a Y E =)(（B ）a Y E 1.0)(= (C)b Y D 01.0)(=(D)b Y D =)(
29．设X 服从正态分布)3,1(2N ，921,,,X X X 为取自总体X 的一个样本，则（B ）。 （A ）
)1,0(~31N X -（B ）)1,0(~11
N X - （C ）
)1,0(~91N X -（D ）
)1,0(~3
1
N X -。 30．设X 服从正态分布，∑===-=n
i i X n X EX EX 1
2
1,4,1，则X 服从（A ）。
（A ）)3,1(n N -（B ）)1,1(-N （C ）)4,1(n N -（D ）)1
,1(n
n N -
31.设2σ是总体X 的方差存在，12,,......,n X X X 为X 的样本，以下关于μ无偏估计量的是（D ）。
（A ）1,2max(,,......,)n X X X （B ）1,2min(,,......,)n X X X
（C ）1
11n
i i X n =-∑（D ）1X
32.若(4321X X X X ，，，)为取自总体X 的样本,且EX=p ,则关于p 的最优估计为(D ）。
（A ）213231X X +
（B ）321636261X X X ++
（C ）321313131X X X ++
（D ）432110
4
103102101X X X X +++
33．在假设检验中，0H 表示原假设，1H 表示对立假设，则称为犯第一类错误的是（A ）。
(A)1H 不真，接受1H
(B)1H 不真，接受0H
(C)0H 不真，接受0H (D)0H 不真，接受1H 34．总体()2,X
N μσ，样本12,,
,n X X X ，假设检验0010:,:H H μμμμ=≠，则
0H 的拒绝域为（D ）。
（A 2
u α<（B 2
u α>
（C ）
()2
1t n α<-（D ()2
1t n α>-
35．某厂生产的100个产品中，有95个优质品，采用不放回抽样，每次从中任取一个，求：（1）第一次抽到优质品；（2）第一次、第二次都抽到优质品；（3）第一次、第二次都抽到优质品、第三次抽到非优质品的概率。 解：设i A ：第i 次取到优质品，(1,2,3)i =
（1）195()0.95100P A =
=；（2）129594()0.902010099
P A A =?=； （3）12395945
()0.04601009998
P A A A =??=。
36.有甲、乙、丙三个盒子，其中分别有一个白球和两个黑球、一个黑球和两个白球、三个白球和三个黑球。掷一枚骰子，若出现1，2，3点则选甲盒，若出现4点则选乙盒，否则选丙盒。然后从所选中的盒子中任取一球。求： （1）取出的球是白球的概率；
（2）当取出的球为白球时，此球来自甲盒的概率。
解：B ：取到白球，B ：取到黑球；1A ：甲盒；2A ：乙盒；3A ：丙盒 （1）取到白球的概率112233()()()()()()()P A P A P B A P A P B A P A P B A =++
31122346363669
=?+?+?=。 （2）取到白球是从甲盒中取出的概率11131
()()3
63()4()89P A P B A P A B P B ?===。
37.设一盒中有5个纪念章，编号为1，2，3，4，5，在其中等可能地任取3个，用
X 表示取出的3个纪念章上的最大号码，求：（1）随机变量X 的分布律；（2）分布函数；（3）EX ，DX 。
解：设X 为取出的3个纪念章上的最大号码，则X 的可能取值为3,4,5；
3511(3)10P X C ==
=；3533(4)10P X C ===；3566(5)10
P X C ===； 于是X 的分布律为3
450.10.30.6X P ?? ???
； 0,
30.1,34()0.4,451,5x x F x x x
222230.140.350.620.7EX =?+?+?=，()2
20.45DX EX EX =-=。
38．某型号电子管，其寿命（以小时计）为一随机变量，概率密度函数 （1）试求一个电子管使用150小时不用更换的概率；
（2）某一电子设备中配有10个这样的电子管，电子管能否正常工作相互独立，设随机变量Y 表示10个电子管中使用150小时不用更换的个数，求Y 的分布律； （3）求()1P Y ≥。
解：（1）设电子管的寿命为随机变量X ，2150
1501002
(150)()3
P X f x dx dx x +∞+∞
>===?
?
（2）设10个电子管中使用150小时不用更换的个数为随机变量Y ，则依题意，
2(10,)3Y
B ，101021()()(),0,1,2,......,1033
k k k
P Y k C k -===。
（2）()()101
11013
P Y P Y ≥=-==-
。 39.设随机变量X 的概率密度为,01
()0,a bx x f x otherwise +<
试求：（1）常数,a b ；（2）DX ；（3）设X Y e =，求EY 。 解：（1）12100()()()122
b b
f x dx a bx dx ax x a +∞
-∞=+=+=+=?
?； 123100()()()0.62323
a b a b EX xf x dx x a bx dx x x +∞-∞==+=+=+=??； 于是，0.4, 1.2a b ==。 （2）1
22234100
0.4 1.22365
()()(
)341510150
EX x f x dx x a bx dx x x +∞-∞
==+=+=+=
?
?， 2226511()(0.6)150150
DX EX EX =-=
-=
。 （3）10
()(0.4 1.2)0.4(2)x x EY e f x dx e x dx e +∞-∞
==+=+??。
40.口袋里有2个白球，3个黑球。现不放回地依次摸出2球，并设随机变量
10X ?=?
?第一次摸出白球第一次摸出黑球，10Y ?=??第二次摸出白球
第二次摸出黑球。 试求：（1）(),X Y 的联合分布律；（2）X 和Y 的边缘分布律；
（3）问,X Y 是否独立？（4）()21D X +。
解：（1）联合分布为： （2）013255i X
p ??
? ? ??
?，013255j Y p ?? ? ? ??
?
（3）(0,0)(0)(0)P X Y P X P Y ==≠==，所以
X 与Y 不独立。
（4）2226,,5525EX EX DX ===。24
(21)425
D X DX +==。。
41.设同时独立地掷一枚硬币和一颗骰子两次，用X 表示两次中硬币出现的正面次数，用Y 表示两次骰子点数不超过4的次数。（1）求Y X ,的联合分布。（2）求
Y X +的和分布。（3）(1)P X Y +=
解：设X 可能取值为0，1，2；Y 可能取值为0，1，2.于是，
??
? ?1141210P X ，???
?4491
21
0P Y .由于X 与Y 相互独立，所以联合分布为 和分布为：???
?
?
?+36436
1236133663614321
P
Y X ，111(1)1896P X Y +==+=。 42.设二维随机变量(,)X Y 的概率为
（1）求),(Y X 的两个边缘密度；（2）判断),(Y X 是否相互独立； （3）求(2)P X Y +<；
解：（1）,0(,)0,y
e x y
f x y -?<<=?
?其它
（2）
()()(,)X Y f x f y f x y ≠，X Y ∴与不独立；
（3）12
120
212x y x
P X Y e dydx e e -+---+<==-+??
（）。
43.设总体X 的概率密度列2
2
0123
2(1)
12X
P
p p p p p ??
?--??
其中1
(0)2
p p <<是未知参数，得到总体X 的样本值：1，3，0，2，3，3，1，3，
（1）求参数p 的矩估计值；（2）求参数p 的最大似然估计值。 解：（1）22(1)23(12)34EX p p p p p X =-++-=-=；34
X
p -?=
为矩估计量，81128i i x x ===∑，得1
4
p =为矩估计值。 （2）24624()(0){(1)}(2){(3)}4(1)(12)L p P X P X P X P X p p p ======--；
ln ()ln 46ln 2ln(1)4ln(12)L p p p p =++-+-， 2628{ln ()}0121430112L p p p p p p
'=
--=?-+=--；
p =
，因为1
02
p <<
，所以p =
舍去，所以0.2828p =
=。 44.设总体X 的概率密度为1,01
(,)0,
x x f x otherwise θθθ-?<<=??，其中0θ>的未知参数，
n X X X ,,21是来自总体的一个样本，（1）求参数θ的矩估计量；（2）求参数θ的最
大似然估计量。
解：（1）X dx x x dx x xf EX =+=
==??+∞
∞
--1
)(1
1θθθθ，
于是未知参数θ的矩估计量为X X
-=
∧
1θ。 （2）构造似然函数111
1
2
11
1
)(),()(---=-=??==∏θθθθθθθθθθn n n
n
i x x x x x x f L ；
取对数：∑=-+=-+=n
i i n x n x x n L 1
1ln )1(ln )ln()1(ln )(ln θθθθθ ；
令
1
1
ln ()?ln 0ln n
i n
i i
i d L n n
x d x
θθθθ===+=?=-∑∑，
即未知参数θ的最大似然估计值为∑=∧
-
=n
i i
x
n
1
ln θ。
45.正常人的脉搏平均为72次/分。某医生测得10例慢性铅中毒患者的脉搏均值为次/分，标准差为。设人的脉搏次数/分近似服从正态分布。 (1)取=，是否可以认为铅中毒患者的脉搏均值为72次/分。 (2)求铅中毒患者脉搏均值的的置信区间。
（附：0.0250.0250.0252
1.96,(9)
2.2622,(10) 2.2281u u t t α====）
解：（1）假设72:0=μH ；72:1≠μH ;2σ
末知，~(1)X T t n =-
,10,4.67,05.0===n x α 5.929s =，0.0252
(1)(9) 2.2622t n t α-==
2.4534 2.2622t =
==>， 所以，2
(1)t t n α>-，故拒绝假设，即认为铅中毒患者的脉搏均值不是72次/分。 （2） 5.929S =，,10,4.67,05.0===n x α0.0252
(1)(9) 2.2622t n t α-==；2σ末知
对于给定置信度10.95α-=，μ的置信区间为：
(
)(
)221167.4 2.2622 2.2622x t n x t n αα???--+-=-+ ??=
（,，所以,置信度的置信区间为（,。 46.某元件的使用寿命()2,X N μσ，抽取了一个容量为25的样本，测
得:73.25,10.32x s ==。
（1）能否认为使用寿命X 的标准差9σ=（显着水平0.05α=）； （2）根据（1）的结论给出平均寿命μ置信度为95%的置信区间。 解：（1）2
2
2
2
01:9,:9
H H σσ=≠，()()22
2
2
1~1n S n χχσ-=-，
2
2
0.0250.975439.364,(24)12.401χχ==（2），2
2
2
2410.3231.569χ?==，接受0H 。
（2）根据（1），9σ=已知，所以μ的置信度为95%的置信区间为：
2
((73.25 1.96(69.722,76.788)x αμ±=±=。