第五十四讲 抽象函数问题
A 组
一、选择题
1.设()f x 是定义在R 上的周期为3的函数，当[2,1)x ∈-时，242,20,
(),01,x x f x x x ?--≤≤=?<
21
((
))4f f =（ ） A. 14- B. 14 C. 3
4 D. 0
解析：21
((
))4
f f =311()()444f f f ??-== ??? 选B
2.定义在R 上的奇函数()f x 满足()()
12f x f x +=-
，且在()()0,13x
f x =上.则()3lo
g 54f =
A.
3
2
B.
23
C. 32
-
D. 23
-
解析：()()12f x f x +=-得出f(x)的周期为4，()2
333log 54log f ==2
33log 233
= 选C
3.给出下列三个命题： ①函数11cos ln
21cos x y x -=
+与ln tan 2
x
y =是同一函数； ②若函数()y f x =与()y g x =的图像关于直线y x =对称，则函数
()2y f x =与()1
2
y g x =
的图像也关于直线y x =对称； ③若奇函数()f x 对定义域内任意x 都有()(2)f x f x =-，则()f x 为周期函数。 其中真命题是
A. ①②
B. ①③
C.②③
D. ② 【答案】C
【解析】考查相同函数、函数对称性的判断、周期性知识。考虑定义域不同，①错误；排除A 、B ，验证③, ()[2()](2)f x f x f x -=--=+,又通过奇函数得()()f x f x -=-，所以f （x ）是周期为2的周期函数，选择C 。
4、已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,则
( ).
A.(25)(11)(80)f f f -<<
B. (80)(11)(25)f f f <<-
C. (11)(80)(25)f f f <<-
D. (25)(80)(11)f f f -<<
【解析】:因为)(x f 满足(4)()f x f x -=-,所以(8)()f x f x -=,所以函数是以8为周期的周期函数, 则)1()25(-=-f f ,)0()80(f f =,)3()11(f f =,又因为)(x f 在R 上是奇函数，
(0)0f =,得0)0()80(==f f ,)1()1()25(f f f -=-=-,而由(4)()f x f x -=-得)1()41()3()3()11(f f f f f =--=--==,又因为)(x f 在区间[0,2]上是增函数,所以0)0()1(=>f f ,所以0)1(<-f ,即(25)(80)(11)f f f -<<,故选D.
答案:D.
5、设函数()()y f x x R =∈为偶函数，且x R ?∈，满足[]312,322f x f x x ?
???-=+∈ ? ?????
，当时，()f x x =，则当[]2,0x ∈-时，()f x = A. 4x +
B. 2x -
C. 21x ++
D. 31x -+
答案选D 。
解析：由题意，f （x ）的周期为2，当[]2,1,()(4)4x f x f x x ∈--=+=+
[]1,0,()()(2)2x f x f x f x x ∈-=-=-+=-+
6、定义在R 上的函数()f x 满足(6)()f x f x +=.当31x -≤<-时，2
()(2)f x x =-+，当
13x -≤<时，()f x x =。则(1)(2)(3)(2012)f f f f +++???=
（A ）335 （B ）338 （C ）1678 （D ）2012
【答案】B
【解析】由)()6(x f x f =+，可知函数的周期为6，所以1)3()3(-==-f f ，
0)4()2(==-f f ，1)5()1(-==-f f ，0)6()0(==f f ，1)1(=f ，2)2(=f ，所以
在一个周期内有
1010121)6()2()1(=+-+-+=+++f f f ，所以
33833351335)2()1()2012()2()1(=+=?++=+++f f f f f ，选B.
二、填空题
7、设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时， f (x )＝?
??
??
－4x 2
＋2，－1≤x <0，
x ， 0≤x <1，则f ????
32＝________.
解析：f ????32＝f ????2－12＝f ????－12＝－4×????－1
22＋2＝1. 答案：1
8．已知2
)(x x f y +=是奇函数，且1)1(=f ，若2)()(+=x f x g ，则=-)1(g 。 【答案】1-
【解析】因为2
)(x
x f y +=为奇函数，所以2
2)()(x x f x x f --=+-，所以
22)()(x x f x f --=-，32)1()1(=+=f g ，
所以1)1(22)1(2)1()1(-=-=+--=+-=-f f f g 。
9.定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.
解析：当－1≤x ≤0时，有0≤x ＋1≤1，所以f (1＋x )＝(1＋x )[1－(1＋x )]＝－x (1＋x )．又f (x ＋1)＝2f (x )，所以f (x )＝1
2f (1＋x )＝－x (x ＋1)2
.
答案：－x (x ＋1)
2
三、解答题
10. ．设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x . (1)求f (π)的值；
(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积； (3)写出(－∞，＋∞)内函数f (x )的单调区间
解：(1)由f (x ＋2)＝－f (x )，得
f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )， ∴f (x )是以4为周期的周期函数．
∴f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4)＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4. (2)由f (x )是奇函数与f (x ＋2)＝－f (x )， 得f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]， 即f (1＋x )＝f (1－x )．
从而可知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称．
又当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如图所示．
设当－4≤x ≤4时，f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ， 则S ＝4S △OAB ＝4×???
?1
2×2×1＝4. (3)函数f (x )的单调递增区间为[4k －1,4k ＋1](k ∈Z )， 单调递减区间为[4k ＋1,4k ＋3](k ∈Z )．
B 组
一、选择题
1. 已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x+2)=－f (x ),则,f (6)的值为
(A)－1 (B) 0 (C) 1 (D)2
解：因为f （x ）是定义在R 上的奇函数，所以f （0）＝0，又f （x ＋4）＝－f （x ＋2）＝f （x ），故函数，f （x ）的周期为4，所以f （6）＝f （2）＝－f （0）＝0，选B
2.已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当02x ≤<时,
3
()f x x x =-,则函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为
（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）9
【答案】A
【解析】因为当02x ≤<时,
3
()f x x x =-,又因为()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且(0)0f =,所以(6)(4)(2)(0)f f f f
==
==,又因为(1)0f =,所以
(3)0f =,(5)0f =,故函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为6
个,选A.
3.定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )．当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x .则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 012)＝( )
A ．335
B ．338
C ．1 678
D ．2 012
解析：由f (x ＋6)＝f (x )可知，函数f (x )的周期为6，所以f (－3)＝f (3)＝－1，f (－2)＝f (4)＝0，f (－1)＝f (5)＝－1，f (0)＝f (6)＝0，f (1)＝1，f (2)＝2，所以在一个周期内有f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2 012)＝f (1)＋f (2)＋335×1＝1＋2＋335＝338.
答案：B
4.设定义在R 上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，()f x '是f(x)的导函数，当[]
0,x π∈
时，0＜f(x)＜1；当x ∈（0，π） 且x ≠2
π
时 ，()()02x f x π'->，则函数y=f(x)-sinx 在[-2
π，2π] 上的零点个数为 A .2 B .4 C.5 D. 8 【答案】Ｂ
【解析】由当x ∈（0，π） 且x ≠
2
π
时 ，()()02x f x π'->，知
0,()0,()2x f x f x π??'∈
'∈> ???
，时,为增函数
又[]0,x π∈时，0＜f (x )＜1，在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，在同一坐标系中作出sin y x =和()y f x =草图像如下，由图知y=f(x)-sinx 在[-2π，2π] 上的零点个数为4个.
5. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝1
2(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2)．若?x
∈R ，f (x －1)≤f (x )，则实数a 的取值范围为( )
A.????－16，16
B.?
???
－
66，
66 C.???
?－13，13 D.?
??
?
－
33，
33 解析：当x ≥0时，f (x )＝?????
－x ，0≤x ≤a 2
－a 2，a 2
2 x －3a 2，x >2a 2 ，又f (x )为奇函数，可得f (x )的图象如图所 示，由图象可得，当x ≤2a 2时，f (x )max ＝a 2，当x >2a 2时，令x －3a 2＝a 2，得x ＝4a 2，又?x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，可知4a 2－(－2a 2)≤1?a ∈? ?? ? － 66， 66，选B. 答案：B
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