高等数学复习提纲
一、
极限
（一）极限七大题型 1. 题型一
()lim
()
m x n P x P x
（,m n 分别表示多项式的幂次）要求: A:达到口算水平； B:过程即“除大”。
2. 题型二
()
lim
x a
a ?有限分子分母
将a 带入分母 3. 题型三（进入考场的主要战场）
()
()
lim v x x a
u x ? 注：应首先识别类型是否为为“1￥”型！
公式：1
lim (1)e
+= 口诀：得1得+得内框，内框一翻就是e 。（三步曲）
4. 题型四： 等价无穷小替换（特别注意：0→ ） （1）
A:同阶无穷小：lim
0()x f f g
1是g 的同阶；
B:等价无穷小：lim
1(g )x f f g 和等价
=；
C:高阶无穷小：lim
0(g )x f f g
是的高阶
=.注意：f g 和的顺序
特别补充：21
sec 1~2
-
（3）等价替换的的性质： 1）自反性：~;αα
2）对称性：~~αββα若，则；
3）传递性：~~~.αββγαγ若，，则 （4）替换原则：
A:非0常数乘除可以直接带入计算； B:乘除可换，加减忌换
（5）另外经常使用：ln M M e =进行等价替换 题型五
lim ()()0(()0,())
x a x f x g x f x g x ?
?=不存在但有界
有界：,|()|M g x M $［有界 （sin ,cos ,arcsin ,arc cot ,x x x x 均有界）
识别不存在但有界的函数：sin ,cos ,,2
e ゥ
ゥ
5. 题型六：洛必达法则（极限题型六），见导数应用：洛必达法则
6. 题型七：洛必达法则（极限题型七），定积分，见上限变限积分
7. 题型三&题型四的综合 （二）极限的应用 1、单侧极限
（1）极限存在条件 0
0lim ()(0)(0)x x f x A f x f x A ?=?
=-= 左左右右
（2）极限的连续性 0
00lim ()()()x x f x f x f x x x ?==即在连续
00(0)(0)()f x f x f x ?
=-=
（3）间断点及分类（★难点）
把握两个问题：第一，如何找间断点 ；第二，间断点分类（难）。 A:间断点：定义域不能取值的内点 B:间断点分类
lim ()x x f x ?=
二、 导数（坚守的阵地） （一） 导数定义 定义一 1、“陡”、“平”的形象叙述;
A,Ⅰ类可去
￥,Ⅱ类
不存在，不能分类，求左右极限
2、00()'()df x f x dx ==攻
唯一切线斜率（）
; 3、00()()
tan f x x f x y x
x
b +-=
=
;
4、0000()()
'()lim
x f x x f x f x x
?+-= . 拓展：0000
()()
lim
'()
f x f x A f x ?+-==
注意：1）分段点求导，永远用定义！
2）有连续性条件时可直接带入 定义二
0000
()()'()lim ()
x f x x f x f x x
--?+-= （左导）左支
0000
()()
'()lim ()x f x x f x f x x
+
+?+-= （右导）右支
000'()'()'()f x f x f x +-?
=存在
1、乘法运算：()'''uv u v uv =+ ()''''uvw u vw uv w uvw =++
2、除法运算：2
''
()'u
u v uv v v
-=
（四） 复合函数求导（核心内容★★★） 1、层次分析（如右“九字诀”,由外向内，“遇则则止”）
所谓的“则”是＋、-、×、÷ 2、几点性质： （1）公式()ln x '=
1x
，推广为：11(ln ||)'||
x x
x =
（2）形如：()()v x u x 利用公式ln M M e =等价替换 （3）奇偶性: ①()'y f x y = 奇偶 ②()'y f x y =
偶奇
1、
基本知识 'dy y dx = 注意求的时候要加“d x ”.
2、 参数方程求导（考试重点）
参数方程、隐函数、变限积分、变限二重积分
()x x t = ()y y t =
公式：''
t t y dy dx
x =
2
2
()'
'
t t dy
d y dx dx
x =
3、
符号型求导 ""f 层抽象符号层 4、
隐函数求导（必考）
(),
y f x =一元显函数 (,),u f x y =二元显函数 (),y y x =一元隐函数
题目一般形式是:
(,)(,),f x y g x y =2
2
d d ,.d d y y
x x
求 5、 对数法求导
巧用对数的性质，变形式子 （七） 导数的应用 1、切线与法线
切线斜率就是在该点的导数值 法线斜率×切线斜率=-1； 2、洛必达法则（极限题型六）（★）
t 为中间变量
3、函数的单调性与极值、凹凸性、拐点
1）“峰”——极大值；“谷”——极小值；
单调性与极值求解
A ：单调性：
'0,;'0,.
y x I y y x I y >∈?↑<∈?↓
B ：单调性交界点→极值点（判据） C:极值点可疑点（'0&'y y =不存在☆）
D:渐近线
lim (),()lim ()()x x a
f x A y A y f x f x x a y f x →∞
→====∞==如果则是的水平渐近线；
如果，则是的垂直渐近线.
2）函数凹凸性与拐点 A ：
''0,;''0,.
y x I y y x I y >∈?<∈? 凹（）凸（）
B:凹凸性交界点且能取值→拐点 C ：拐点可疑点''0&''y y =不存在☆ 一般求解步骤：
（1） 求定义域、渐近线； （2） 计算',''y y ；
（3） 求'0,''0y y ==的点和使',''y y 不存在的点，设为123,,...x x x ； （4） 列表分析； （5） 得出结论.
4、函数最大值、最小值 ()[,]f x x a b ∈连续，
比较：1）'()0,'f x f =?不存在极值可疑点； 2）端点 5、函数的实际应用
步骤：（1）合理做设，x 具有唯一性；
（2）(),y f x =建模；（关键点所在）
（3）令*'0,()y x x ==符合实际； （4）“八字”，唯一驻点，即为所求。 三、多元微分学（20+） （一） 显函数一阶偏导数
'(,)x x u u u x y x
?==?变常
“求即变”：求哪个，哪个就是变量
'(,)y y u u u y x y
?==?变常
（二）全微分
一元函数：(),d 'd y f x y y x == 此时，?可微可导 二元函数：(,),d d d .u u u f x y u x y x
y
??==+
?? 此时，?可微偏导数存在，且连续
（三） (高)二阶偏导数 主要是求
22
u x
??2
u x y ???2u y x ???2
2
u
y
??，分别定义为：
2
2
2
22
2(),(),(),().u
u u u u u x x x x y x y u
u u u u u
y x y x y y y
??????==?????????????==???????
（四） 二元隐函数求导
(,,)0,()F x y z z z x y ==+一般
一阶：
''x z
F z x
F ?=-
?
''y z
F z y
F ?=-
? 二阶直接求 ：(,)z z x y =
（五） 符号型求导（必考）
1．(),x
u y ??=为已知函数（第一类：“妈妈一元”函数）
2. (,2),u f xy x y f =-为已知函数（第二类）(重点★) 会画关系图
【例题】 (,23),u f xy x y f =-已知.求2
,,
.u u u
x y x y
??????? 解：（1）画关系图
u f =
1
x √
y
△ 2
x √ y △
（2）“九字诀”求解
u x
?=?
u y
?=?
2
u x y
?=??
四、 不定积分★
框1 框2
（一） 基本知识
1. 性质：[()d ]'();d[()d ]()d ;d ()()f x x f x f x x f x x F x F x C ===+???
2. 基本公式★
1、方法一 （1） 凑常数 公式：1d d (),,x ax b a b a
=
+均为常数
（2） 配方
见到一元二次方程敏感的想到配方法 （3） 拆分 公式：
1
1()()1[
]()()
()()
()
()
c ax b a cx
d c a ax b cx d bc ad
ax b cx d bc ad
cx d ax b +-+=
?
=
?-
++-++-++
（4） 利用三角函数和差化积和积化和差公式积分 2、方法二——固定搭配 公式'()(())d x f x x x ??? 3、方法三——分布积分 （1） 一般分布积分
公式：d d u v uv v u =-?? 关键：v 是什么？
积分时，对如下积分要特别注意：
2
22
2
sin ln sin3d ,d ,d ,d ,sin d ,sin(ln )d ,cos4d 1
x
x
x
x x e x x e x x x x x x x e x x x
x +???
?
???等等
4、方法四——变量替换 （1） 一次项替换 如
:x ?
方法：直接令2
,t b t x a
-==即.
（2） 二次项替换
（一） 定积分计算
1.N-L 公式 （牛顿-莱布尼兹公式）
()d ()f x x F x C
=+?
()d ()()()b b
a a
f x x F b F a F x =-=?
主要思想是利用积分方法进行积分，然后“出来代值”计算 ； 2.变换——变限 1
1
1
()
()
()
()
()d [()]'()d .b b x t a
a t x f x x f t t t ???
???---==????→←??????
（二） 定积分性质
1.（1）()d 0.a a
f x x =? （2）()d ()d .a
b
b
a
f x x f x x =-??
2. d
,(()d )0.d b a
a b f t t x =?若为常数，
3. 更名：()d ()d ()d
.b
b b a
a
a f x x f t t f =
=??? 4. 拆分：()d ()d ()d .b c b
a
a
c
f x x f x x f x x =
+
??
?
积分性质的运用：
（1） 分段函数的定积分 （2） 函绝对值积分
（3） 三角函数积分（实质是判断三角函数符号进行拆分积分运算） 5.若()f x 为奇函数，则()d 0.a a
f x x -=?
★这一性质十分重要，特别是见到对称限时要想到这一性质。 6.变限积分
涉及到求极限七大题型的最后一种题型，即题型七 （1）()()d x a
g x f t t =?
(()d )'()x
x a
f t t f x =? ★记住：与x 没有关系
推广：2()1()
2211(()d )'(())'()(())'().x x x f t t f x x f x x ??????=-?
上限带入乘上限求导-下限带入乘下限求导
(2)洛必达法则 （极限题型七） 7广义积分 三种形式：（1）()d a f x x +∞?；
（2）()d a f x x -∞
?；
（3）()d f x x +∞-∞
?.
解：定义：()d u
u a
F f x x =?
原式=lim u u u F →+∞
→-∞
=
A （有限） 收敛
∞或不存在
发散
（三） 定积分应用
一般出现在综合题的最后一题，题型仅有两种：第一，求面积；第二求旋转体体积（绕,x y 轴轴） 1. 面积
2. 旋转体体积 （1）“坐在x 轴上”
21[()()]d b a
S x x x ??=
-?
阴影 *x 积分
21[()()]d d
c
S y y y ??=
-?
阴影 *y 积分
（2）“坐在y 轴上”
（四） 二重积分
1. 累次积分 公式：2211()
()
()
()
d (,)d [(,)d ]d b
x b x a x a
x x f x y y f x y y x
????=
??
?
?
2. 二重积分的计算
(,)d d (,)d D
f x y y f x y x σ??
??
定限
直角坐标系的几何意义：
21()
()
(,)d d (,)d b x a
x D
f x y x f x y y ??σ=
??
?
?
3. 二重积分改变次序
记住一些不能正序积分的函数：2
2
sin 1ln ,
,sin
,sin ,
, (1)
A x x x e x x
x x +
思路:原累次积分???→还原二重积分?????→改变定限方向
新累次积分
4. 极坐标
主要是圆的思想，注意画图，特别注意上限和下限！
六、 常微分方程（ODE ） （一） 分离变量法 1. 标准型
'()()y H x G y =?
步骤：①
d d ()()()d d ()y y
H x G y H x x x
G y =??
=??
2. 变化型 '()y
y f x
=
核心：令y u x
=
（二） 一阶线性ODE （重点）
1.
标准型：'()()y p x y q x +=，关键是找到()p x 、()q x ；
2.常数变量法：()d ()d (()d )p x x
p x x
y q x e x C e -??
=+?? 做题步骤：
21()
()
(,)d d (,)d d y c
y D
f x y y f x y x ??σ=
??
?
?
21()()
(,)d d d (cos ,sin )d r r D
f x y x y f r r r r β
θα
θθθθ=
???
??
Jacobi 因子
一次 +号
无
y
（1） 找到()p x 、()q x ；
（2） ()d p x x
?
，计算()d p x x
e ?
，()d p x x
e -?；
（3） 带入公式()d ()d (()d )p x x
p x x
y q x e x C e -
?
?
=+??
（三） 三大题型
题型1：贝努里方程（Bernoulli ）
'()()n
y p x y q x y
+=→1'()()n n y y p x y q x --?+=，即1d ()()
d n n
y y p x y
q x x
--?
+=
111d ()()1d n
n
y
p x y
q x n
x
--?
+=-
1
d ()()
1d u
p x u q x n x
?
+=- 1n u y -=
题型2：积分方程 特定条件'(0)0.y = 【例题】0
()()()d ,().x
f x f x f t t x f x +=ò
满足下列方程：求
解：令0
()()d x
y x f t t
=
ò
，则()'()f x y x =
原式即为：'()()y x y x x +=
d d ____;_____;d ______;______;_______.p x
p x
p q p x e
e
-
ò
ò
=====ò
整理之：()d ()d (()d )p x x
p x x
y q x e x C e -??
=+??=… 题型3：二阶线性ODE
（1） 齐次方程（'''0()y py qy p q ++=、为常数）
'''0()y py qy p q ++=、为常数 2
'';'
; 1.y y y l l
特性方程即：2
120,.p q l l l l ++=解出、 （补充：2b a
l -?=
）
y =
1212x
x
C e
C e
l l + ，12l l 、 为互异实根 1212x
x
C e C xe
l l +
，12l l = 12(cos sin )x
e
C x C x a b b +
，(0)i l a b b
=惫
（2） 非齐次方程
标准型：'''(()cos ()sin )x m n y py qy e P x x Q x x a b b ++=+ ,m n 为幂次. 关键是读参数：,,,,,,.m n u k l a b 求解过程：
'''y py qy
++=()f x
1）'''0y py qy ++=
20p q l l ++= 解出12;.y l l 、得 2)读参数,,,m n a b .()f x ü
.u i a b = k =12.u l l 、中与相等的个数 max{,}l m n =
可设特解方程：*(()cos ()sin )k x l l y x e P x x
Q x x a b b =?
代入*,y y =原方程，确定系数 3）*.y y y =+
【例题】2'''23.x y y y e --=解常微分方程： 解：①2'''23x y y y e --=
'''2y y y --=0，即12____________0___,___;l l --===， ______________.y =+
②23x e =2x e （__________+） （草稿纸上做） _____,_____,_____,_____.m n a b ==== _______,_______,max{,}_____;u k l m n ====
*12(cos(0)sin(0))x y x e A x B x =鬃
+ =2x
Axe （草稿纸上做）
*
*
'__________________________;''__________________________.
y y ==
将*y 带入'''2y y y --=0，解出系数__________.A = *________.y \=
③*_____________________.y y y =+=+ 七、 级数 （一） 定义
1.0120
......n n
n a a a a a +∞
=+++++=∑
2.n S =012...n a a a a ++++
3.收敛的必要条件?lim 0n n a →∞
=
第一部分 (0)n n a a ≥∑ 判别图
第二部分 交错级数 (1)n n a -∑
lim n n S →∞
=
S 有限 收敛
∞或不存在
发散
注：1）||n n b b T邋收敛收敛，且为绝对收敛.
2）||n n b b T邋发散可能收敛（为绝对收敛），也可能发散.
识别过程：
(1)n n n
a a -揪
揪
邋加绝对值
收敛，且为绝对收敛
发散 揪 收敛
莱布尼兹法则条件收敛
（3）级数的几点性质
()n
n n n
a
b a b ?
邋
1) ?收收收； 2) ?收发
发；
3) +=发发？
第三部分 幂级数
1.收敛域和收敛半径 00
()n n n a x x +
=-? 0____;______
.n a x ==（中心点或展开点）
2.幂级数的展开
1）公式1：1
,;!
n
x
n x
e x n +
==
-?
<+ ?
2）公式2：
1,(||1)1n
n x x x
+
==
<-?
；
1(1),(||1)1n
n
n x x x
+
==
-<+?
3）逐项微分，逐项积分
0x R
-
0x 0x R
+
2x - 1x - 0x 1x 2x
00(())'(())'n
n
n n a x x a x x -=
-邋
00(())d (
()d )x
x
n
n
n n x x a x x x a x x x -=
-邋蝌
八、 空间解析几何 （一） 矢量运算 1. 矢量的内积
（1）123123{,,}a i j k =++=a a a a a a
||a =
（2）内积：112233||||cos a b a b a b a b a b θ?==++
(3)0a b a b ⊥??=
2. 矢量的叉积
+ - +
（1）1
2312
3
i
j k a b a a a b b b ?=
（2）
（3）12212121{,,
}M M x x y y r r
=---
（二）
平面方程
1.点法式：00n M M ?=
000()()()0A x x B y y C z z -+-+-=例如：2350,{_,_,_}x y z n ++==
2.直线
标准型(点斜式)
x x y y z z m
n
j
---==
九、 证明题综述（18+） （一） 介值定理（零点定理） 定理条件： （1）[()[,]f x a b ∈(,),()0a b f ξξ∈=使得；
（2）()()f a f b < 注意：
1.()()0,,;f a f b a b ξ∨==
b
a
a b
? O
2222(,,)M x y r
1111(,,)M x y r
1.
()()0f a f b ≤? [,],()0a b f ξξ?∈=使得
；
2.解题要点：A ：()f x 是什么？ B:[,]a b 是什么？
3.解答过程要规范，工整.
（二） 罗尔定理（Roller ） 定理条件： （1）[()[,]f x a b ∈ (,),'()0a b f ξξ?∈=使得；
（2）()(,)f x a b 在可导 （3）()()f a f b =
题型解释：
1.一般是证明“必有一个正根或负根”
解题步骤：A:利用介值定理证明根的存在性； B:利用反证法，证明根的唯一性。 2.证明某表达式的零点在什么之间
例如： （1）()(,)f x -∞+∞在可导，证明()'()()f x f x f x +的两零点之间必有的零点. （2）()(,)f x -∞+∞在可导，证明在f(x)两零点之间存在ξ，使得
'(
)()()'(
f g f g ξξξξ+=. 对于这种题型的解答，注意构造一个适当的函数，这是解决此类问题的关键所在 下面是一些常用的构造函数：
（1） 求'()()f x Rf x +，构造为：()()Rx F x e f x = （2） 求'()()xf x f x +，构造为：()()F x xf x =
（3） 求'()()()'()f x g x f x g x +，构造为:()()()F x f x g x = （4） 求'()()()'()f x g x f x g x -，构造为：()()()
f x F x
g x =
（5） 求'()()'()f x f x g x +，构造为：()()()g x F x e f x =等等 （三） 拉格朗日（LaGrange ）中值定理 定理条件：
（1）[()[,]f x a b ∈
(,),()()'()().a b f b f a f b a ξξ?∈-=-使得
2.()()0,(,).f a f b a b ξ<∈
（2）()(,)f x a b 在可导
一般出现在填空题：.....求拉格朗日定理中的ξ= ； （四） 证明不等式
此类证明主要利用函数的单调性 一般步骤： ()(),f x g x x a >>
令()()(
F x f x g =-'() 0
F x ==>
'0F F >?↑? ∴原不等式成立
（五） 积分等式证明 主要是变换．．的思想 1、00
__a
a
=
??
2、__a
a a a
--=
??
或 0
__a
a
-=
??
3、2
4
13
()d _f x =
??
t x =-令
t x =-令 t a x =-令t = 令
江苏省2015年普通高校“专转本”选拔考试 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 1、当0x →时，函数sin ()1x f x e =-是函数 ()g x x =的 ( ) A. 高阶无穷小 B. 低阶无穷小 C. 同阶无穷小 D. 等价无穷小 2、函数(1) (1)x y x x =-<的微分dy 为 ( ) A. (1) [ln(1)]1x x x x dx x --+ - B. (1) [ln(1)]1x x x x dx x ---- C. 1(1)x x x dx -- D. 1(1)x x x dx --- 3、0x =是函数1 11, 0()1 1, 0 x x e x f x e x ?+?≠?=?-??=?的 ( ) A. 无穷间断点 B. 跳跃间断点 C.可去间断点 D. 连续点 4、设()F x 是函数()f x 的一个原函数，则 (32)f x dx -=? ( ) A. 1(32)2F x C --+ B. 1(32)2 F x C -+ C. 2(32)F x C --+ D. 2(32)F x C -+ 5、下列级数条件收敛的是 ( ) A. 21(1)n n n n ∞=--∑ B. 1 1(1)21n n n n ∞=+--∑ C. 1!(1)n n n n n ∞=-∑ D. 21 1(1)n n n n ∞=+-∑ 6、二次积分 11ln (,)e y dy f x y dx =?? ( ) A. 11ln (,)e x dx f x y dy ?? B. 1(,)x e dx f x y dy ?? 1 0 C. 0(,)x e dx f x y dy ?? 1 0 D. 1(,)x e dx f x y dy ?? 1 0 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 7设()lim(1)n n x f x n →∞=-，则(ln 2)f =_________．
2006年江苏省普通高校“专转本”统一考试 高等数学 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 1、若2 1) 2(lim 0=→x x f x ，则=→)3 (lim 0x f x x （ ） A 、 2 1 B 、2 C 、3 D 、 3 1 2、函数?????=≠=0 01sin )(2 x x x x x f 在0=x 处 （ ） A 、连续但不可导 B 、连续且可导 C 、不连续也不可导 D 、可导但 不连续 3、下列函数在[]1,1-上满足罗尔定理条件的是 （ ） A 、x e y = B 、x y +=1 C 、21x y -= D 、x y 1 1- = 4、已知C e dx x f x +=?2)(，则=-?dx x f )('（ ） A 、C e x +-22 B 、 C e x +-221 C 、C e x +--22 D 、C e x +--22 1 5、设 ∑∞ =1 n n u 为正项级数，如下说法正确的是 （ ） A 、如果0lim 0=→n n u ，则∑∞ =1n n u 必收敛 B 、如果l u u n n n =+∞→1 lim )0(∞≤≤l ，则∑∞ =1n n u 必收 敛 C 、如果 ∑∞ =1 n n u 收敛，则 ∑∞ =1 2 n n u 必定收敛 D 、如果 ∑∞ =-1 ) 1(n n n u 收敛，则∑∞ =1 n n u 必定收敛 6、设对一切x 有),(),(y x f y x f -=-，}0,1|),{(2 2≥≤+=y y x y x D ， =1D }0,0,1|),{(22≥≥≤+y x y x y x ，则??=D dxdy y x f ),(（ ） A 、0 B 、 ??1 ),(D dxdy y x f C 、2??1 ),(D dxdy y x f D 、4??1 ),(D dxdy y x f
高等数学试题及答案 一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设f(x)=lnx ，且函数?(x)的反函数1?-2(x+1) (x)=x-1 ，则 []?=f (x)（ ） ....A B C D x-2x+22-x x+2 ln ln ln ln x+2x-2x+22-x 2．()0 2lim 1cos t t x x e e dt x -→+-=-?（ ） A ．0 B ．1 C ．-1 D ．∞ 3．设00()()y f x x f x ?=+?-且函数()f x 在0x x =处可导，则必有（ ） .lim 0.0.0.x A y B y C dy D y dy ?→?=?==?= 4．设函数,1 31,1 x x x ?≤?->?22x f(x)=，则f(x)在点x=1处（ ） A.不连续 B.连续但左、右导数不存在 C.连续但 不可导 D. 可导 5．设C +?2 -x xf(x)dx=e ，则f(x)=（ ） 2 2 2 2 -x -x -x -x A.xe B.-xe C.2e D.-2e 二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 6.设函数f(x)在区间[0，1]上有定义，则函数f(x+14)+f(x-1 4 )的定义域是__________. 7．()()2lim 1_________n n a aq aq aq q →∞ +++ +<= 8．arctan lim _________x x x →∞ = 9.已知某产品产量为g 时，总成本是2 g C(g)=9+800 ，则生产100 件产品时的边际成本100__g ==MC 10.函数3()2f x x x =+在区间[0，1]上满足拉格朗日中值定理的点ξ是_________.
成人高考高数一复习资料 1.理解极限的概念（对极限定义、、等形式的描述不作要求）。会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。 3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。会运用等价无穷小量代换求极限。 1.数列 按一定顺序排列的无穷多个数 称为数列，记作，其中每一个数称为数列的项，第n 项。为数列的一 般项或通项，例如 （1）1，3，5，…，，… （2） （3） （4）1 ，0，1，0，…，… 都是数列。 在几何上，数 列 可看作数轴上的一个动点，它依次取数轴 上的点 。 2. 数列的极限 定义对于数列 ，如果当 时， 无限地趋于一个常数A ，则称当n 趋于无穷大时，数列以常数A 为极限，或称数列收敛于A ，记作 否则称数列 没有极限，如果数列没有极限，就称数列是发散的。 数列极限的几何意义：将常数A 及数列的项 依次用数轴上的 点表示，若数列以A 为极限，就表示当n 趋于无穷大时，点 可以无限 定理 1.1（惟一性）若数列 收敛，则其极限值必定惟一。 定理1.2（有界性）若数列收敛，则它必定有界。 注意：这个定理反过来不成立，也就是说，有界数列不一定收敛。 定理 1.3（两面夹定理）若数列 ，， 满足不等式 且 。 定理1.4 若数列单调有界，则它必有极限。 下面我们给出数列极限的四则运算定理。 定理 1.5 （1） （2） （3）当时， （三）函数极限的概念1.当时函数的极限 （1）当时 的极限 定义 对于函数，如果当x 无限地趋于时，函数 无限地趋于一个常数A ，则称当时，函数 的极限是A ，记作 或 （当时） （2 ）当 时 的左极限 定义 对于函数 ，如果当x 从 的左边无限地趋于时，函数 无 限地趋于一个常数A ，则称当 时，函数 的左极限是A ，记作 或 例如函数 当x 从0的左边无限地趋于0时，无限地趋于一个常数1.我们称：当 时，的左极限是1，即有 （3 ）当 时， 的右极限 定义 对于函数 ，如果当x 从 的右边无限地趋于时，函数 无 限地趋于一个常数A ，则称当 时，函数 的右极限是A ，记作 或 又如函数 当x 从0的右边无限地趋于0时， 无限地趋于一个常数-1 。因此有 这就是说，对于函数 当时，的左极限是1，而右极限是 -1，即 但是对于函数 ，当 时， 的左极限是2，而右极限是2。 显然，函数的左极限、右极限 与函数的极限 之间 有以下关系： 定理1.6 当 时，函数 的极限等于A 的必要充分条件是 这就是说：如果当时，函数 的极限等于A ，则必定有左、右极限 都等于A 。 反之，如果左、右极限都等于A ，则必有。 这个结论很容易直接由它们的定义得到。 以上讲的是当时，函数的极限存在的情况，对于某些函数的某些点 处，当 时， 的极限也可能不存在。 2.当时，函数的极限 （1）当 时，函数 的极限 定义 对于函数 ，如果当 时， 无限地趋于一个常数A ， 则称当 时，函数 的极限是A ，记作或 （当 时） （2）当时，函数 的极限 定义 对于函数 ，如果当时， 无限地趋于一个常数A ， 则称当 时，函数的极限是A ，记作 这个定义与数列极限的定义基本上一样，只不过在数列极限的定义中一定表示，且n 是正整数；而在这个定义中，则要明确写出， 且其中的x 不一定是整数。
高等数学公式 导数公式： 基本积分表： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
专升本高等数学知识点汇总 常用知识点： 一、常见函数的定义域总结如下： （1） c bx ax y b kx y ++=+=2 一般形式的定义域：x ∈R （2）x k y = 分式形式的定义域：x ≠0 （3）x y = 根式的形式定义域：x ≥0 （4）x y a log = 对数形式的定义域：x ＞0 二、函数的性质 1、函数的单调性 当21x x <时，恒有)()(21x f x f <，)(x f 在21x x ，所在的区间上是增加的。 当21x x <时，恒有)()(21x f x f >，)(x f 在21x x ，所在的区间上是减少的。 2、 函数的奇偶性 定义：设函数)(x f y =的定义区间D 关于坐标原点对称（即若D x ∈，则有D x ∈-） (1) 偶函数)(x f ——D x ∈?，恒有)()(x f x f =-。 (2) 奇函数)(x f ——D x ∈?，恒有)()(x f x f -=-。 三、基本初等函数 1、常数函数：c y =，定义域是),(+∞-∞，图形是一条平行于x 轴的直线。 2、幂函数：u x y =， (u 是常数)。它的定义域随着u 的不同而不同。图形过原点。 3、指数函数
定义: x a x f y ==)(， (a 是常数且0>a ，1≠a ).图形过（0,1）点。 4、对数函数 定义: x x f y a log )(==， (a 是常数且0>a ，1≠a )。图形过（1,0）点。 5、三角函数 (1) 正弦函数: x y sin = π2=T ， ),()(+∞-∞=f D ， ]1,1[)(-=D f 。 (2) 余弦函数: x y cos =. π2=T ， ),()(+∞-∞=f D ， ]1,1[)(-=D f 。 (3) 正切函数: x y tan =. π=T ， },2 ) 12(,|{)(Z R ∈+≠∈=k k x x x f D π ， ),()(+∞-∞=D f . (4) 余切函数: x y cot =. π=T ， },,|{)(Z R ∈≠∈=k k x x x f D π， ),()(+∞-∞=D f . 5、反三角函数 (1) 反正弦函数: x y sin arc =，]1,1[)(-=f D ，]2 ,2[)(π π- =D f 。 (2) 反余弦函数: x y arccos =，]1,1[)(-=f D ，],0[)(π=D f 。 (3) 反正切函数: x y arctan =，),()(+∞-∞=f D ，)2 ,2()(π π- =D f 。 (4) 反余切函数: x y arccot =，),()(+∞-∞=f D ，),0()(π=D f 。 极限 一、求极限的方法 1、代入法 代入法主要是利用了“初等函数在某点的极限，等于该点的函数值。”因此遇到大部分简单题目的时候，可以直接代入进行极限的求解。 2、传统求极限的方法 （1）利用极限的四则运算法则求极限。 （2）利用等价无穷小量代换求极限。 （3）利用两个重要极限求极限。 （4）利用罗比达法则就极限。
成人高考专升本高等数 学公式大全 文档编制序号：[KK8UY-LL9IO69-TTO6M3-MTOL89-FTT688]
2016年成人高考(专升本)高等数学公式大全 提高成绩的途径大致可以分为两种：一是提高数学整体的素质和能力，更好的驾驭考试;二是熟悉考试特点，掌握考试方法，将自己已有的潜能和水平发挥到极致。 如果说在复习中，上面两种方法那一种更能在最短的时间内提成人高考试的分数呢？对于前者，是需要我们在整个高中乃至以前的学习积累下来的综合能力，这个能力的提高需要时间和积累，在短期内的提高是有限的;对于后者能力的了解和掌握对短期内迅速提成人高考试成绩的成效是很明显的。而且，在一般的学校教育中，往往只重视前者而忽视后者。我们用以下几个等式可以很好的说明上述两者的关系和作用。 一流的数学能力 + 一流的考试方法和技巧 = 顶尖的成绩 一流的数学能力 + 二流的考试方法和技巧 = 二流的成绩 二流的数学能力 + 一流的考试方法和技巧 = 二流的成绩其实对于考试方法和技巧的掌握，大致包含以下几个方面： 一、熟悉考试题型，合理安排做题时间。 其实，不仅仅是数学考试，在参任何一门考试之前，你都要弄清楚或明确几个问题：考试一共有多长时间，总分多少，选择、填空和其他
主观题各占多少分。这样，你才能够在考试中合理分配考试时间，一定要避免在不值得的地方浪费大量的时间，影响了其他题的解答。 拿安徽省的数学成人高考题为例，安徽省数学成人高考满分为150分，时间是2小时，其中选择题是12道，每题5分，共60分;填空题4道，每题是4分，共16分，解答题一共74分。所以在了解这些内容后，你一定要根据自己的情况，合理安排解题时间。 一般来说，选择题填空题最迟不宜超过40分钟，按照尚博学校的教学标准是让学生在30分钟之内高效的完成选择填空题。你必须留下一个多小时甚至更多的时间来处理后面的大题，因为大题意味着你不仅要想，还要写。 二、确保正确率，学会取舍，敢于放弃。 考试时，一定要根据自己的情况进行取舍，这样做的目的是：确保会做的题目一定能够拿分，部分会做或不太会做的题目尽量多拿分，一定不可能做出的题目，尽量少投入时间甚至压根就不去想。 对于基础较好的学生，如果感觉前面的选择填空题做的很顺利，时间很充裕，在前面几道大题稳步完成的情况下，可以冲击下最后的压轴题，向高分冲击。对于基础一般的学生，首先要保证的是前面的填空选择题大部分分值一定能够稳拿，甚至是拿满分。对于大题的前几题，也尽量多花点时间，一定不要在会做的题目上无谓失分，对于大题的后两
江苏省2017年普通高校专转本选拔考试 高数试题卷 一、单项选择题（本大题共 6 小题，没小题 4 分，共 24 分。在下列每小题中选出一个正确答案，请在答题卡上将所选项的字母标号涂黑） 1.设)(x f 为连续函数，则0)(0='x f 是)(x f 在点0x 处取得极值的( ) A.充分条件 B.必要条件 C.充分必要条件 D.非充分非必要条件 2.当0→x 时，下列无穷小中与x 等价的是( ) A.x x sin tan - B.x x --+11 C.11-+x D.x cos 1- 3. 0=x 为函数)(x f =0 0,1sin , 2,1>=
6.若级数∑∞ -1-n n 1p n ）（条件收敛，则常数P 的取值范围（ ） A. [)∞+， 1 B.()∞+，1 C.(]1,0 D.()1,0 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 7.设dx e x x a x x x ?∞ -∞→=-)1(lim ，则常数a= . 8.设函数)(x f y =的微分为 dx e dy x 2=，则='')(x f . 9.设)(x f y =是由参数方程 { 13sin 13++=+=t t x t y 确定的函数,则) 1,1(dx dy = . 10.设x x cos )(F =是函数)(x f 的一个原函数，则? dx x xf )(= . 11.设 → a 与 → b 均为单位向量， → a 与→ b 的夹角为3π，则→a +→ b = . 12.幂级数 的收敛半径为 . 三、计算题（本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分） 13.求极限x x dt e x t x --? →tan )1(lim 02 . 14.设),(y x z z =是由方程0ln =-+xy z z 确定的二元函数，求2 2z x ?? . 15.求不定积分 dx x x ? +32 . n n x ∑∞1 -n 4n
江苏专转本高等数学考试 大纲 Prepared on 22 November 2020
江苏省专转本《高等数学》考试大纲 一、答题方式 答题方式为闭卷，笔试 二、试卷题型结构 试卷题型结构为：单选题、填空题、解答题、证明题、综合题 三、考试大纲 （一）函数、极限、连续与间断 考试内容 函数的概念及表示法：函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性、复合函数、反函数分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数、函数关系的建立。 数列极限与函数极限的定义及其性质：函数的左极限与右极限、无穷小量和无穷大量的概念及其关系、无穷小量的性质及无穷小量的比较、极限的四则运算。 极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限、函数连续的概念、函数间断点的类型、初等函数的连续性、闭区间上连续函数的性质。 考试要求 1、理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立简单应用问题的函数关系。 2、了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。 5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系。 6、掌握极限的性质及四则运算法则。 7、掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 8、理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限。 9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 （二）导数计算及应用 考试内容 导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线、导数和微分的四则运算、基本初等函数的导数、复合函数、反函数隐函数以及参数方程所确定的函数的导数、高阶导数、一阶微分形式的不变性、微分中值定理、洛必达（L’Hospital）法则、函数单调性的判别、函数的极值、函数的最大值和最小值、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线、函数图形的描绘。 考试要求 1、理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。 2、掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式；了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。
江苏省 2015 年普通高校“专转本”选拔考试 高等数学试题卷 注意事项： 1、考生务必将密封线内的各项目及第 2 页右下角的座位号填写清楚． 2、考生须用钢笔或圆珠笔将答案直接答在试卷上，答在草稿纸上无效． 3、本试卷共8 页，五大题 24 小题，满分150 分，考试时间120 分钟． 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分） 1、当x0 时，函数 f ( x) 1 e sin x是函数g( x)x 的() A. 高阶无穷小 B. 低阶无穷小 C. 同阶无穷小 D. 等价无穷小 2、函数y(1x) x( x1) 的微分 dy 为() A.(1x)x [ln(1x) x ]dx B.(1x)x[ln(1 x) x ]dx 1x1x C.x(1x) x 1 dx D.x(1x)x 1 dx 1 e x1 3、x0 是函数 f (x)1, x的 () e x1 1,x0 A. 无穷间断点 B. 跳跃间断点 C.可去间断点 D. 连续点 4、设F ( x)是函数f (x)的一个原函数，则 f (32x)dx() A.1 F(32x) C B. 1 F(3 2 x)C 22 C.2F (32x)C D.2F (32x)C 5、下列级数条件收敛的是() A.( 1)n n B.(1)n n1 n 1 n2n12n1 C.(1)n n! D.(1)n n1 n 1 n n n 1n2 6、二次积分 e1 f (x, y)dx() dy 1ln y
e dx 1 f (x, y) dy 1 1 A. 1 ln x B. 0 d x e x f (x, y)dy 1 dx e x 1 dx e x C. 00 f ( x, y)dy D. 0 f ( x, y)dy 1 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 7 设 f ( x) lim(1 x ) n ，则 f (ln 2) _________． n n x t 3 2t 1 8、曲线 t 3 1 在点（ 0， 2）处的切线方程为 ____________ ． y r r r r r 9、设向量 b 与向量 a (1, 2, 1) 平行，且 a b 12 ，则 b ________． 10、设 f ( x) 1 1 ，则 f ( n) ( x) _________ ． 2x 11、微分方程 xy y x 2 满足初始条件 y x 1 2 的特解为 ___ __． 12、幂级数 2n (x 1)n 的收敛域为 ____________． n 1 n 三、计算题（本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分） x t arcsin tdt 13、求极限 lim ． x 2e x x 2 2x 2 x sin x , x 0 14、设 f ( x) x 2 ，求 f ( x) ． 0, x x 1 y 1 z 2 0 的交点，且与直线 15、求通过直线 1 与平面 3x 2 y z 10 2 5 x y 2z 3 0 平行的直线方程． 2x y z 4 0
第一章极限和连续 第一节极限 [复习考试要求] 1.了解极限的概念（对极限定义等形式的描述不作要求）。会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。 3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。会运用等价无穷小量代换求极限。 4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。 第二节函数的连续性 [复习考试要求] 1.理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在之间的关系，掌握判断函数（含分段函数）在一点处连续性的方法。 2.会求函数的间断点。 3.掌握在闭区间上连续函数的性质会用它们证明一些简单命题。 4.理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数连续性求极限。 第二章一元函数微分学 第一节导数与微分 [复习考试要求] 1.理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数。 2.会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。 3.熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法。 4.掌握隐函数的求导法与对数求导法。会求分段函数的导数。 5.了解高阶导数的概念。会求简单函数的高阶导数。 6.理解微分的概念，掌握微分法则，了解可微和可导的关系，会求函数的一阶微分。 第二节导数的应用 [复习考试要求] 1.熟练掌握用洛必达法则求“0〃∞”、“∞-∞”型未定式的极限的方法。 2.掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法。会利用函数的单调性证明简单的不等式。 3.理解函数极值的概念，掌握求函数的驻点、极值点、极值、最大值与最小值的方法，会解简单的应用题。 4.会判断曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。 5.会求曲线的水平渐近线与铅直渐近线 第三章一元函数积分学 第一节不定积分 [复习考试要求] 1.理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质。 2.熟练掌握不定积分的基本公式。 3.熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法（仅限三角代换与简单的根式代换）。 4.熟练掌握不定积分的分部积分法。 5. 掌握简单有理函数不定积分的计算。 第二节定积分及其应用 [复习考试要求] 1.理解定积分的概念及其几何意义，了解函数可积的条件 2.掌握定积分的基本性质 3.理解变上限积分是变上限的函数，掌握对变上限积分求导数的方法。 4.熟练掌握牛顿—莱布尼茨公式。 5.掌握定积分的换元积分法与分部积分法。 6.理解无穷区间的广义积分的概念，掌握其计算方法。 7.掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体的体积。 第四章多元函数微分学 [复习考试要求] 1.了解多元函数的概念，会求二元函数的定义域。了解二元函数的几何意义。 2.了解二元函数的极限与连续的概念。 3.理解二元函数一阶偏导数和全微分的概念，掌握二元函数的一阶偏导数的求法。掌握二元函数的二阶偏导数的求法，掌握二元函数的全微分的求法。 4.掌握复合函数与隐函数的一阶偏导数的求法。 5.会求二元函数的无条件极值和条件极值。 6.会用二元函数的无条件极值及条件极值解简单的实际问题。 第五章概率论初步 [复习考试要求] 1.了解随机现象、随机试验的基本特点；理解基本事件、样本空间、随机事件的概念。 2.掌握事件之间的关系：包含关系、相等关系、互不相容关系及对立关系。 3.理解事件之间并（和）、交（积）、差运算的意义，掌握其运算规律。 4.理解概率的古典型意义，掌握事件概率的基本性质及事件概率的计算。 5.会求事件的条件概率；掌握概率的乘法公式及事件的独立性。 6.了解随机变量的概念及其分布函数。 7.理解离散性随机变量的意义及其概率分布掌握概率分布的计算方法。 8.会求离散性随机变量的数学期望、方差和标准差。 第一章极限和连续 第一节极限 [复习考试要求] 1.了解极限的概念（对极限定义等形式的描述不作要求）。会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。 3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。会运用等价无穷小量代换求极限。 4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。 [主要知识内容] （一）数列的极限 1.数列 定义按一定顺序排列的无穷多个数 称为无穷数列，简称数列，记作{x n }，数列中每一个数称为数列的项，第n 项x n 为数列的一般项或通项，例如 （1）1，3，5，…，（2n -1），…（等差数列） （2）（等比数列） （3） （递增数列） （4）1，0，1，0，…，…（震荡数列） 都是数列。它们的一般项分别为 （2n-1）,。 对于每一个正整数n ，都有一个x n 与之对应，所以说数列{x n }可看作自变量n 的函数x n =f （n ），它的定义域是全体正整数，当自变量n 依次取1,2,3…一切正整数时，对应的函数值就排列成数列。 在几何上，数列{x n }可看作数轴上的一个动点，它依次取数轴上的点x 1,x 2,x 3,...x n,…。 2.数列的极限 定义对于数列{x n }，如果当n →∞时，x n 无限地趋于一个确定的常数A ，则称当n 趋于无穷大时，数列{x n }以常数A 为极限，或称数列收敛于A ，记作 比如： 无限的趋向0 ，无限的趋向1 否则，对于数列{x n }，如果当n →∞时，x n 不是无限地趋于一个确定的常数，称数列{x n }没有极限，如果数列没有极限，就称数列是发散的。 比如：1，3，5，…，（2n-1），… 1，0，1，0，… 数列极限的几何意义：将常数A 及数列的项依次用数轴上的点表示，若数列{x n }以 A 为极限，就表示当n 趋于无穷大时，点x n 可以无限靠近点A ，即点x n 与点A 之间的距离|x n -A| 趋于0。 比如： 无限的趋向0 无限的趋向1 （二）数列极限的性质与运算法则 1.数列极限的性质 定理1.1（惟一性）若数列{x n }收敛，则其极限值必定惟一。 定理1.2（有界性）若数列{x n }收敛，则它必定有界。 注意：这个定理反过来不成立，也就是说，有界数列不一定收敛。比如： 1，0，1，0，…有界：0，1 2.数列极限的存在准则 定理1.3（两面夹准则）若数列{x n },{y n },{z n }满足以下条件： （1） ， （2）， 则 定理1.4若数列{x n }单调有界，则它必有极限。 3.数列极限的四则运算定理。 定理1.5 （1） （2） （3）当时， （三）函数极限的概念 1.当x →x 0时函数f （x ）的极限 （1）当x →x 0时f （x ）的极限 定义对于函数y=f （x ），如果当x 无限地趋于x 0时，函数f （x ）无限地趋于一个常数A ，则称当x →x 0时，函数f （x ）的极限是A ，记作 或f （x ）→A （当x →x 0时） 例y=f （x ）=2x+1 x →1,f （x ）→? x<1x →1 x>1x →1 （2）左极限 当x →x 0时f （x ）的左极限 定义对于函数y=f （x ），如果当x 从x 0的左边无限地趋于x 0时，函数f （x ）无限地趋于一个常数A ，则称当x →x 0时，函数f （x ）的左极限是A ，记作 或f （x 0-0）=A （3）右极限 当x →x 0时，f （x ）的右极限 定义对于函数y=f （x ），如果当x 从x 0的右边无限地趋于x 0时，函数f （x ）无限地趋于一个常数A ，则称当x →x 0时，函数f （x ）的右极限是A ，记作 或f （x 0+0）=A 例子：分段函数
专升本高等数学公式 一、求极限方法： 1、当x 趋于常数0x 时的极限： 02 2 00x x lim(ax bx c)ax bx c →++=++；0000 0ax b cx d ax b lim cx d cx d x x ++≠+??????→ ++→当； 00000cx d ,ax b ax b lim cx d x x +=+≠+???????????→∞+→当但； 222000ax bx f cx dx e ,ax bx f lim x x cx dx e ++++=++=??????????????→→++当且可以约去公因式后再求解。 2、当x 趋于常数∞时的极限： 1n n ax bx f n m,lim {x cx dx e n m -++???+>=∞???????????????→→∞++???+只须比较分子、分母的最高次幂若则。若n 笔记目录 第一章极限和连续 第一节极限 [复习考试要求] 1.了解极限的概念（对极限定义等形式的描述不作要求）。会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。 3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。会运用等价无穷小量代换求极限。 4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。 第二节函数的连续性 [复习考试要求] 1.理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在之间的关系，掌握判断函数（含分段函数）在一点处连续性的方法。 2.会求函数的间断点。 3.掌握在闭区间上连续函数的性质会用它们证明一些简单命题。 4.理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数连续性求极限。 第二章一元函数微分学 第一节导数与微分 [复习考试要求] 点处的导数。 2.会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。 3.熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法。 4.掌握隐函数的求导法与对数求导法。会求分段函数的导数。 5.了解高阶导数的概念。会求简单函数的高阶导数。 6.理解微分的概念，掌握微分法则，了解可微和可导的关系，会求函数的一阶微分。第二节导数的应用 [复习考试要求] 1.熟练掌握用洛必达法则求“0·∞”、“∞-∞”型未定式的极限的方法。 2.掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法。会利用函数的单调性证明简单的不等式。 3.理解函数极值的概念，掌握求函数的驻点、极值点、极值、最大值与最小值的方法，会解简单的应用题。 4.会判断曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。 5.会求曲线的水平渐近线与铅直渐近线 第三章一元函数积分学 第一节不定积分 [复习考试要求] 1.理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质。 2.熟练掌握不定积分的基本公式。 3.熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法（仅限三角代换与简单的根式代换）。 4.熟练掌握不定积分的分部积分法。 高等数学试题卷(二年级) 注意事项：出卷人：江苏建筑大学-张源教授 1、考生务必将密封线内的各项目及第 2页右下角的座位号填写清楚. 3、本试卷共8页，五大题24小题，满分150分，考试时间120分钟. 一、选择题(本大题共6小题，每小题4分，满分24分) 1、 极限 lim(2xsin 1 Sin 3x )=() x x A. 0B.2C.3D.5 2、 设f (x)二2)sinx ,则函数f (x )的第一类间断点的个数为() |x|(x -4) ' A. 0B.1C.2D.3 1 3 3、 设 f(x) =2x 2 -5x 2，则函数 f(x)() A.只有一个最大值 B.只有一个极小值 C.既有极大值又有极小值 D.没有极值 3 4、 设z =ln(2x)-在点(1,1)处的全微分为() y 1 1 A. dx - 3dy B. dx 3dy C. 一 dx 3dy D. - dx - 3dy 2 2 1 1 5、二次积分pdy.y f （x, y ）dx 在极坐标系下可化为（） sec' — ' sec j A. —4d 寸 o f （「cos 〒，「sin 寸）d 「 B. —4d 丁 ? f （「cos 〒，「sin 寸） 「d 「 &下列级数中条件收敛的是() 二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分) 7要使函数f(x)=(1-2x )x 在点x=0处连续，则需补充定义f(0)= _________________ . 8、设函数 y = x （x 2 +2x +1）2 +e 2x ，贝卩 y ⑺（0） = _______ . 江苏省 2 0 12 年普通高校 专转本 选拔考试 2、 考生须用钢笔或圆珠笔将答案直接答在试卷上, 答在草稿纸上无效. sec ? i C. o f （「cosd 「sin Jd 「 D. 4 sec ? ?2d 丁 ? f （「cos 寸,「sin 寸）:?d " 「TV XT nW ?、n 高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1 )(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π 2001年江苏省普通高校“专转本”统一考试 高等数学 一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1、下列各极限正确的是 （ ） A 、e x x x =+→)11(lim 0 B 、e x x x =+∞→1)11(lim C 、11sin lim =∞→x x x D 、11sin lim 0=→x x x 2、不定积分=-? dx x 211 （ ） A 、211x - B 、c x +-211 C 、x arcsin D 、c x +arcsin 3、若)()(x f x f -=，且在[)+∞,0内0)('>x f 、0)(' '>x f ，则在)0,(-∞内必有 （ ） A 、0)(' 10、设)(x f 为连续函数，则=+-+?-dx x x x f x f 31 1])()([ 三、计算题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 11、已知5cos )21ln(arctan π +++=x x y ，求dy . 12、计算x x dt e x x t x sin lim 2002 ?-→. 13、求) 1(sin )1()(2--= x x x x x f 的间断点，并说明其类型. 14、已知x y x y ln 2+ =，求1,1==y x dx dy . 15、计算dx e e x x ?+12. 16、已知?∞-=+0 2211dx x k ，求k 的值. 17、求x x y y sec tan '=-满足00==x y 的特解. 18、计算??D dxdy y 2sin ，D 是1=x 、2=y 、1-=x y 围成的区域. 19、已知)(x f y =过坐标原点，并且在原点处的切线平行于直线032=-+y x ，若b ax x f +=2'3)(，且)(x f 在1=x 处取得极值，试确定a 、b 的值，并求出)(x f y =的表达式. 20、设),(2 y x x f z =，其中f 具有二阶连续偏导数，求x z ??、y x z ???2.专升本高数复习资料(超新超全)
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