作业参考答案
3、在（,ππ-）这个周期上，2()f x x x =+，试将它展开为傅立叶级数，又在本
题所得展开式中置x π=，由此验证2
222111
1234
6
π++++
=
解：因为2()f x x x =+在（,ππ-）上满足狄氏定理，可以展开为傅立叶级数 又 l π=
所以
()
0101
()cos sin
cos sin k k k k k k k k f x a a x b x l l a a kx b kx ππ∞
=∞
=?
?
=++ ??
?
=++∑∑
23
201111()d 223
3
a x x x x π
ππ
π
πππ--
=+=
=? 21
()cos d k a x x kx x
π
π
π-
=
+?
()()22
3
1
2
sin cos sin 2cos sin x
kx kx kx kx kx kx kx k k k ππππ
π
π
πππ---=
++
+-
()241k k =- 21()sin d k b x x kx x
π
π
π
-=+?
()()22
3
1
2
sin cos 2sin cos cos x
kx kx kx kx kx kx kx k k k ππππ
π
π
πππ---=
-+
--
()121k k +=- 所以 ()()1221142()1cos 1sin 3k k k f x kx kx k
k π∞+=??
=+-+- ???∑
222,,,x x x x x ππππππ?+-<
==-??=?
令x π=代入上式得:
()()()()12222221114214
1cos 1sin 1133k k k k k k kx kx k k k
πππ∞∞+==????+-+-=+-?-= ? ?????∑∑ 所以有2
2221111234
6
π++++
=
得证
5．（1）()cos ,(0,),(0)0,()0f x x x f f αππ=∈==
作奇延拓，展为奇函数（sin 函数）
1()sin k k f x b kx ∞
==∑
2
cos sin d k b x kx x π
απ
=
?
2
sin()sin()d 2
k x k x
x π
ααπ
-++=
?
011
1cos()cos()k x k x k k ππααπαα--??
=
-+
+??-+??
()()111cos cos 1cos cos 1k k k k παππαππαα--??
=
-+-??-+??
12221(1)cos ()
k k
k αππα+??=
+-??- 1221
2()1(1)cos sin ,0()k k k
f x kx x k απππα∞
+=??∴=+-<
6． （1）
2cos(/),(0,/2)
(),(0)0,()00,(,)l
x l x l f x f f l x l π∈?''===? ∈
? 作偶延拓，展为偶函数（cos 函数）
01
()cos k k k x f x a a l π∞
=??
=+ ???∑
/2
/20000
2111cos d cos d sin 2l l l x x x a x x l l l l l πππππ??????
==== ? ? ????????? /202cos cos d l k x k x a x l l l ππ????
=
? ??????所以要讨论k ＝1的情况 /221021cos d 2l x a x l l π??=
= ???
? /202cos cos d l k x k x a x l l l ππ????= ? ??????/202111cos cos d 2l k k x x x l l l ππ?+-?????= ? ????
?????? /2
11111sin sin 11l k k x x k l k l πππ?+-?
????=
+ ? ???+-??????
11111sin sin 1212k k k k πππ?+-?
????=
+ ? ???+-??????
120,21
2(1),2(41)
m k m k m m π+ =+??
=-? =?-?
12
11
12(1)2()cos cos ,02(41)
m m x m
f x x x l l m l ππππ+∞=-∴=++<<-∑ （2）()(1/),(0,),(0)0,()0f x a x l x l f f l ''=-∈==
作偶延拓，展为偶函数（cos 函数）
01
()cos k k k x f x a a l π∞
=??
=+ ???∑
002(1/)d 22
l a
a a x l x l =
-=? 02(1)cos d l k x k x a a x l l l π??
=- ?
??
? 202221sin cos l a l k k k x x x l l k l l l ππππ-??
=+ ???
()2222
02211421
(21)k k n a a k n k n ππ=?
???=--=???=+?+?
22
0421
()cos ,02(21)n a a n f x x x l n l
ππ∞=+∴=+<<+∑ 8．矩形波()f x 在(/2,/2)T T -这个周期上可以表示为
0,/2/2(),/2/20,/2/2T x f x H x x T ττττ-<<-??
=<<-??<
试将它展为复数形式的傅立叶级数
解：因为()f x 在(/2,/2)T T -上满足狄氏定理，可以展开为复数形式的傅立叶级数 又 2l T =
2()k k i
x i
x l
T
k
k
k k f x c e
c e
ππ
∞
∞
=-∞
=-∞
=
=
∑∑
22/2/2/2/2
11()d d k k T i x i x T T
k T c f x e x He x T T ππττ--==?? 2/2/2
2k i
x
T
H T e T i k π
ττπ-??=
?-??
sin 2k k i i T
T H e e H k k i k T πτπτ
πτππ-??
- ?=
= ? ???
当k ＝0时，/2/2/2/211()d d T k T H c f x x H x T T T
τττ
--===
?? 2211()sin sin k k i x i x T T
k k H H k H k f x e e T k T k T ππτπτπτππ
-∞=-∞=∴=++∑∑
*****************************************************************
3．把下列脉冲()f t 展开为傅立叶积分0,(),0,00,t T f t h T t h t T t T
?
?<-??
=--<??
解：在(,)t ∈-∞∞，()f t 满足狄氏条件，且绝对可积，所以()f t 可以展开为付氏积分。
()()d i t f t C e ωωω∞
-∞=?
00
1()()d 211
d d 22i t T
i t i t T C f t e t he t he t
ωωωωπππ
∞
--∞
---=-=+
???
00
1122i t
i t
T
T
h h e
e
i i ωωπω
πω
----=
+
--
2
22
222i T T
i T i T i h e e ih e e i ω
ωωωπωπω--??-+-==- ???
2
2
2222sin 22i T T
i i h e e i h T i ω
ωωπωπω-??
--- ?=
= ?
???
2
2()sin d 2
i t i h
T
f t e ωωωπω
∞
-∞
-∴=?
①
同样，也可以展开为正弦付氏积分（奇函数）
0()()sin d f t B t ωωω∞
=?
[]
2
2
()()sin d ()sin d 21
2cos 1cos T
T B f t t t f t t t
h h
t
T ωωωππωωπωπω
∞
==-=
=
-?
?
[]0
2()1cos sin d h
f t T t ωωωπω
∞
∴=-?
②
对①式进行展开就可以得到②。
*********************************************
1．长为l 的均匀弦，两端0,x x l ==固定，弦中张力为0T ，在x h =点，以横向力0F 拉弦，达到稳定后放手任其自由振动，写出初始条件。 解：由稳定后放手知，初速度为0，即(,0)0t u x = 如图，设稳定后弦两端张角分别为1α和2α，弦受力平衡
01020sin sin T T F αα+=
因为弦张角很小，所以，sin tan αα
设高为H ，有()0
0000h l h F H H
T T F H h l h T l
-+=?=- 在()0,h 段，()00(,0)(,0)l h F u x x
u x x H h T l
-=?= 在(),h l 段，
()00(,0)(,0)F h u x l x
u x l x H l h T l
-=?=-- 2．长为l 的均匀杆，两端受拉力0F 作用而纵振动，写出边界条件。 解：如图，对杆两端任意小的端点进行微元受力分析 由虎克定律1x u
F E
S x
ε
=?=?? E 为弹性模量
210
02(,)c x u x t u S F F ES F t x ε
ρε=??=-=-??
令0ε→可得：
x F u
x
ES
=?=
?
h
l
ε
F
同理，可得：
x l
F u x
ES
=?=
? 即为边界条件 3．长为l 的均匀杆，两端有恒定热流进入，其强度为0q ，写出这个热传导问题的边界条件。
解：两端有热流流入为第二类边界条件。 利用热传导定律q k u =-?，小块分析法 左端 取()0,ε小块，0q 流入1q 流出x
x q ku ε
==-
能量守恒010()()x Sc u q q S t q k u S t ερε?=-?=+? 同除以 S ?t 0()x u
c
q k u t
ερε?=+? 令ε→0， ?t →0 00(0,)x q k u t
=+ 0
(0,)x q u t k
∴=-
在右端，0q 和2q 均为流入小块，则由上面过程可知
(,)x q u l t k
= 即为边界条件。 P188
9.1.3 长为l 的均匀杆，在0x =端固定，另一端沿杆的轴线方向被拉长b 后静止，突然放手，任其振动，写出方程及定解条件。
解：
方程：20tt xx u a u -=
边条件：左端固定，为第一类齐次边条件， (0,)0u t =
右端放手后为自由振动，第二类齐次边条件：(,)0x u l t =
初条件：均匀杆被拉伸长度b ，故每一x 处离开其平衡位置的位移为(,0)b u x x l
= 初速度：静止后释放，为0，(,0)0t u x =
9.1.5 长为l 的细弦，两端固定，初位移为零，初始时刻在0x x =点受到一横向冲量I ，试写出定解问题。
0ε
00
l b
解：两端固定均匀细弦的自由振动，故为齐次振动方程：20tt xx u a u -= 边条件：两端固定，均为第一类齐次边条件， (0,)0;(,)0u t u l t ==
初条件：初始时刻受到一冲量后会获得一速度，但还来不及运动，故初位移为零
(,0)0u x =
初速度：只在0x x =点有冲量，故只有0x x =点会有速度改变，由冲量定理：
00
l i m ()x I m v x v v x x ρρ?→=?=?=-，即000
()lim()x I I
v x x x x δρρ
?→=
=--
0(,0)()t I
u x x x δρ
∴=
-
P193
9.2.2 一半径为0R 、密度为ρ、比热为c ，热传导系数为k 的均匀圆杆，如果同一横截面上的温度相同，其侧面与温度为1u 的介质发生热交换，且交换系数为H ，导出杆上温度u 满足的方程。
解：因为同一横截面上的温度相同，故除两端点外，侧面符合冷却定律，内部符合傅立叶传热定律：设杆内任意一点的温度为u ， 小块分析法，取杆上任意一小段x x x →+? 左端热流密度 1q 流入 1x x
q ku =- 右端热流密度 2q 流出 2x
x x
q k u +?=-
侧面冷却放出的热流密度：31()q H u u =-
所以由能量守恒： 123()c m u q q S t q S t ??=-??-??
即： []2
2
010()()()2x x u c R x ku x ku x x R H u u R x t
ρπππ??=-++?--?? 得：222210
2()0,,t xx k H u a u b u u a b c c R ρρ-+-= =
= ************************************************ P220
11.1.3 一根均匀两端分别0,x x l ==处固定，设初速度为零，初始时刻弦的形状
为抛物线，抛物线的顶点为,2l h ??
???
处，求弦的振动。
解：先写定解问题，齐次方程，第一类齐次边条件，初始速度为零
初始位移为抛物线：2(,0)u x ax bx c =++带入三个点2
(0,0),(,0),(,),l
l h 可得：2244(,0)h h
u x x x l l
=-
+ 即：2200,0(0,)0,(,)0
4(,0)(),(,0)0
tt xx t u a u x l t u t u l t h
u x x l x u x l ?
?-=<<>?==???=-=?①
分离变量法令(,)()()u x t x T t =X 代入①中的方程及边条件 得
()()0
0(0)0,()0
x x x l
l λ''X +X =<
X =X =? ②
和 2
()()00T t a
T t t λ''+=> ③
解本征值问题②
2
1,2sin n n n l n n X x l πλπ???=? ????=?
?=?
?
将λn 代入③解T n (t)
2
()()0n n n a T t T t l π??''+= ???
得()()cos sin 1,2n n n n n
T t C at D at
n l l ππ=+=
迭加特解得通解：
1
(,)()()n n n u x t X x T t ∞
==∑1cos sin sin
n n n n n n C at D at x l l l πππ∞
=??
=+ ???∑
带入初始条件求通解
(,0)0t u x =，推出 0n D =
21
4(,0)sin
()n n n h
u x C x x l x l l
π∞
===-∑ 30
8()sin l n h n C x l x xdx l l
π
=
-?
2
20
2
3
30
8sin cos 82sin cos 2cos l
l
h l n n n x x x l n l l l
h l n n n l n x x x x x l n l l l n l ππππππππππ????
=- ? ?????????
???
???
-
-+?? ?
? ?
??????
????
()()()11333388161111021,232210,1,2(21)n n n
h h h n n n n k k h
n k k k ππππ++??=
---+--?
?==??=?=+=?+
?
33
322121
(,)cos sin (21)k h k k u x t at x k l l πππ∞
=++∴=+∑
11.1.6 长为l 的杆，上端固定在太空宇宙飞船的天花板上，杆身竖直向下，下端自由，当飞船以速度为0v 下降时突然静止，求杆的振动。引力场忽略。 解：杆上端固定，下端自由，所以上端为第一类边界条件，下端为第二类边界条件。
又因为静止前杆随飞船一起下降，所以各点的初始位移（离开平衡位置的距离）为0，而初始速度为0v ，可以写出定解问题
2000,0
(0,)0,
(,)0(,0)0,(,0)tt xx x t u a u x l t u t u l t u x u x v ?-=<<>?
==??==?
①
分离变量法令(,)()()u x t x T t =X 代入①中的方程及边条件
得()()00(0)0,()0
x x x l
l λ''X +X =<
X =X =? ②
和 2
()()00T t a
T t t λ''+=> ③
解本征值问题②
2
2120,1,221sin 2n n n l n n X x l λππ?+??
=?
????=?
+?=?
?
将λn 代入③解T n (t)
()2121
()cos
sin 0,1,222n n n n n T t C at D at n l l
ππ++=+=
迭加特解得通解：
0212121(,)cos sin sin 222n n n n n n u x t C at D at x l l l πππ∞
=+++??
=+???
?∑
带入初始条件求通解
1
0121(,0)sin 0221(,0)sin 2n n t
n n n u x C x l n a n u x D x v l l πππ∞
=∞
=+?
==???+?==??
∑∑ 得：0n C =
002221
sin 212l n l n D v xdx al n l
ππ+=+?
002421(c o s )(21)(21)2
l
v l n x n a
n l πππ+=
-++ 2
028121v l a n π??
= ?+??
2
020812121
(,)sin sin 2122k v l n n u x t at x a n l l
πππ∞=++??∴= ?
+??∑ 11.1.7 长为l ，杆身与外界绝热的均匀细杆，杆两端温度保持为零度，已知其初始温度为()()x x l x ?=- 解：定解问题
200,0(0,)0,
(,)0(,0)()t xx u a u x l t u t u l t u x x l x ?-=<<>?
==??=-?
①
分离变量法令(,)()()u x t x T t =X 代入①中的方程及边条件 得
()()00(0)0,()0
x x x l
l λ''X +X =<
X =X =? ②
和 2
()()00T t a
T t t λ'+=> ③
解本征值问题②
2
1,2sin n n n l n n X x l πλπ???=? ????=?
?=?
?
将λn 代入③解T n (t)
2
()()0n n n a T t T t l π??'+= ???
得2
()()1,2n a t l
n n T t C e
n π-=
=
迭加特解得通解：
1
(,)()()n n n u x t X x T t ∞==∑2
(
)1
sin
n a t l
n n n C e
x l
ππ∞
-==∑ 带入初始条件求通解
1(,0)sin
()n n n u x C x x l x l
π
∞
===-∑ 02()sin l n n C x l x xdx l l
π=-?
2
2
3
2sin cos 22sin cos 2cos l
l
l n n n x x x n l l l l n n n l n x x x x x l n l l l n l ππππππππππ????
=- ?
????
?????
???
???
--+?? ? ? ?
??????
????
()()()22211332
332241111021,28210,1,2(21)n n n l l l n n n n k k l n k k k πππ
π++??=---+--??==??=?=+=?+
?
2212()33
821(,)sin (21)k a t l
k l k u x t e x k l πππ+∞
-=+∴=+∑ 11.1.8 长为l 的杆，两端绝热，初始温度为(,0)u x x =，求其温度变化的规律。 解：定解问题
200,0
(0,)0,
(,)0(,0)t xx u a u x l t u t u l t u x x ?-=<<>?
==??=?
①
分离变量法令(,)()()u x t x T t =X 代入①中的方程及边条件，得
()()00(0)0,()0
x x x l
l λ''X +X =<
X =X =? ②
和 2
()()00T t a
T t t λ'+=> ③
解本征值问题②
2
0,1,2cos n n n l n n X x l πλπ???=? ????=?
?=?
?
将λn 代入③解T n (t)
2
()()0n n
n a T t T t l π??
'+= ???
得2
()()0,1,2n a t l
n n T t C e n π-=
=
迭加特解得通解：
(,)()()n n n u x t X x T t ∞==∑2
(
)0
cos
n a t l
n n n C e
x l
ππ∞
-==∑ 带入初始条件求通解
0(,0)cos
n n n u x C x x l
π
∞
===∑
0012
l l C xdx l ==?
2200
22cos sin cos
l
l n n l l n n C x xdx x x x l l n n l l πππππ??
==+ ????
()2222211021,24210,1,2
(21)n
l n n k k l n k k k π
π??=-
--??==??=?=+=?+
?
221()220421(,)cos 2(21)k a t l
k l l k u x t e x k l
πππ+∞-=+∴=-+∑
*********************************************************
非齐次方程，齐次边界条件问题
1．定解问题
200
(0,)0(,)0(,0)0t xx u a u A x l
t u t u l t u x ?-=<<>?
==??=?
①
解：齐次化函数法
设u=v+ω代入①，且令ω满足：
2(0,)0,(,)0
t xx a A
t l t ωωωω?-=?
==? ② 得v ：20(0,)0(,)0
(,0)(,0)t xx v a v v t v l t v x x ω?-=?
==??=-?
③
解②，因为ω无初始条件，可有无穷多解，猜ω值，取较简单形式，设其值为
2()x Bx Cx D ω=++代入
得2222(0)0()0t xx a a B A D l Bl Cl ωωωω?-=-=?
==??=+=?所以得：22
202A B a D Al C Bl a ?=-???=???=-=?
所以 2
()()2A
x x l x
a ω∴=
- 代入③ 220(0,)0(,)0(,0)()2t xx v a v v t v l t A
v x x x l a ?
?-=?
==???=-?
④
下面解④的通解。
设v (x ,t)=X (x ) T (t )代入④中的方程及边条件得：
()()0(0)0,()0X x X x X X l λ''+=??
==?
⑤ 和 2
()()0T t a T t λ'+= ⑥ 解⑤得2
1,2()sin n n n l n n X x x l πλπ???=? ????=?
?=?
?
代入⑥得特解2
()n a t l n n T t C e
π??
- ???
=
叠加特解得通解2
1
(,)sin
n a t l n n n v x t C e
x l
ππ??∞
- ???
==∑ 代入④的初始条件：21(,0)sin
()2n n n A v x C x x x l l a
π∞
=?
?
==-???
?∑ 202()sin 2l n Ax n C x l xdx l a l
π
=-?
2
323021,2421
0,1,2
(21)n k k Al n k k k a π==??
=-?=+=?+
?
所以2
212
323
1421
(,)sin
(21)k a t l k Al
k v x t e x k a l
πππ
+??∞
- ???
=-+=+∑
2
212
23231
421
(,)()sin
2(21)k a t l k A Al
k u x t v x l x e x a k a l
πωππ+??∞
- ???
=-+=+=
-++∑ 2． 定解问题
2sin 00
(0,)0(,)0(,0)0t xx x x u a u A t x l t u t u l t u x ω?-=<<>?
==??=?
①
解：齐次化函数法
设u=v+ω代入①，且令ω满足：
2sin (0,)0,(,)0
t xx x x a A t
t l t ωωωωω?-=?
==? ② 得v ：20(0,)0(,)0
(,0)(,0)t xx x x v a v v t v l t v x x ω?-=?
==??=-?
③
解②，因为ω无初始条件，可有无穷多解，猜ω值，取较简单形式，设其值与x 无关，则ω对x 的偏导数为0，故设(,)cos x t B t ωω=代入
得2sin sin (0)0()0
t xx x x
a B t A t
l ωωωωωωω?-=-=?
=??=?所以得：A B ω?=-
所以 (,)c o s A
x t t
ωωω
=-
代入③ 20(0,)0(,)0(,0)t xx x x v a v v t v l t A v x ω?
?-=?
==???=?
④
下面解④的通解。
设v (x ,t)=X (x ) T (t )代入④中的方程及边条件得：
()()0(0)0,()0
X x X x X X l λ''+=??
''==? ⑤ 和 2
()()0T t a T t λ'+= ⑥ 解⑤得2
0,1,2()cos n n n l n n X x x l πλπ???=? ????=?
?=?
?
代入⑥得特解2
()n a t l n n T t C e
π??
- ???
= 0,1,2n =
叠加特解得通解2
(,)cos
n a t l n n n v x t C e
x l ππ
??∞
- ???
==∑ 0,1,2n = 代入④的初始条件：1(,0)cos
n n n A v x C x l πω
∞
=?
?==???
?∑
202()sin 2l n Ax n C x l xdx l a l π=-? 0
00
n A
n ω≠??
=?=??
所以(,)A
v x t ω
=
(,)cos (1cos )A
A
A
u x t v t t ωωωωω
ω
=+=
-
=
-
11.1.14 求解下列定解问题
200
(0,)0,(,)(,0)0,(,0)0
tt xx t u a u A x l t u t u l t B u x u x ?-=<<>?
==??= =?
①
解：同时齐次化边和函数法 设u=v+ω代入①，且令ω满足：
2(0,)0,(,)t xx a A
t l t B
ωωωω?-=?
==? ② 得v ：20(0,)0,(,)0
(,0)(,0),(,0)(,0)
t xx t t v a v v t v l t v x x v x x ωω?-=?
==??=-=-?
③
解②，因为ω无初始条件，可有无穷多解，猜ω值，取较简单形式，设其值为
2()x Ex Cx D ω=++代入
得2
2
22(0)0()t xx a a E A D l El Cl B ωωωω?-=-=?
==??=+=?所以得：2
2202A E a D B Al B C El l a l ?
=-???=???=-+=+
?
所以 222()22A Al B x x x a a
l ω??
∴=-
++ ??? 代入③ 22220(0,)0(,)0(,0),(,0)022tt xx t v a v v t v l t A Al B v x x x v x a a l ?
?-= ??
== ?????=-+= ?????
④
下面解④的通解。
分离变量法令(,)()()v x t x T t =X 代入④中的方程及边条件，得
()()00(0)0,()0
x x x l
l λ''X +X =<
X =X =?
和 2
()()00T t a
T t t λ''+=>
解本征值问题21,2sin n n n l n n X x l πλπ???=? ????=?
?=?
?
解时间问题：
2
()()0n n n a T t T t l π??
''+= ???
得()()cos sin 1,2n n n n n
T t C at D at
n l l ππ=+=
迭加特解得通解：
1(,)()()n n n v x t X x T t ∞
==∑1cos sin sin n n n n n n C at D at x l l l πππ∞
=??
=+ ??
?∑
带入初始条件求通解
(,0)0t v x =，推出 0n D =
2221
(,0)sin
22n n n A Al B v x C x x x l a a
l π∞
=??
==-+ ???∑ ()()22202322223322332sin 222cos 22111l n n n
A Al
B n
C x x xdx
l a a l l l Al Al B n l n a n a n Al B a n n π
ππ
ππππ????=-+ ??????????? =+-?
? ???
???? =--+-?
??
()()
22330222121(,)111c o s s i n n
n
k Al B k k v x t at x a n n l l
ππππ∞
=??
++??∴=--+-?????
?
∑
()()2222
2330(,)22222121111cos sin n n k A Al B u x t v x x a a
l Al B k k at x a n n l l ωππππ∞
=??=+=-
++ ?????
++?? +--+-??????
∑
11.1.15 定解问题
20
(0,)10(3,)40(,0)25t xx u u u t u t u x -=??
==??=?
① 解：齐次化边
设u=v+ω代入①，且令ω满足：
(,)(0,)10,(3,)40x t Ax B
t t ωωω=+== ②
得 (,)1010x t x ω=+
所以 v 满足：20(0,)0(,)0
(,0)1510t xx v v v t v l t v x x -=??
==??=-?
③
方程③的通解为22
29
1
(,)sin
3
n t n n n v x t C e
x ππ∞
-
==∑ 代入③的初始条件：1(,0)sin
15103n n n v x C x x π∞
=?
?
==-???
?
∑ 02(1510)sin 33
l n n C x xdx π
=
-? 30
21,20210,1,2
n k k k n k k π?==?
=??=+=?
所以22
89
1
302(,)sin
3
k t k k v x t e x k ππ
π∞
-==∑
22
891302(,)1010sin 3k t k k u x t v x e x k ππ
ωπ
∞
-==+=++∑
补充：二维稳定问题：
散热片的横截面为矩形，如图所示，两对边温度分别为u 0和u 1 ，求横截面稳定的温度分布。
解：定解问题
2001100,0(0,),(,)(,0),(,)u x a y b u y u u a y u u x u u x b u
??=<<<
==??==?
①
设 u (x ,y )=v (x ,y )+u 0 代入①
2101000,0(0,)0(,)0(,0)(,)v x a y b
v y v a y v x u u v x b u u ??=<<<
=
=??=-=-?
② 设v (x ,y)=X (x ) Y (y )代入②中方程x 的边条件：
()()0
(0)0,()0X x X x X X a λ''+=??
==?
③ ()()0Y y Y y λ''-= ④
解③得： 2
1,2()s i n n n n a n n X x x a πλπ???=? ????=?
?=??
解④得： ()n n n n n Y y A sh y B ch y a a
ππ=+ 迭加特解得通解：
1(,)()()sin n n n n n n n n n v x y X x Y y A sh y B ch
y x a a a πππ∞=?
?
==+???
?
∑∑
代入y 的边条件：
101(,0)sin
n n n v x B x u u a
π
∞
===-∑
1002()sin a
n n B u u xdx a a π∴=-?100
21,2,34()
210,1,2
(21)n k k u u n k k k π==??
=-?=+=?+
?
10
1(,)sin n n n n n n v x b A sh b B ch
b x u u a a a πππ∞=?
?
=+=-???
?
∑
1002()sin a n n n n n A sh
b B ch b u u xdx a a a a
πππ
∴+=-?
100
21,2,34()
210,1,2(21)n k k u u n k k k π==??
=-?=+=?+
?
n B =
即 1n n n ch
b a A B n sh b a
ππ-= 所以
10114()(,)()()sin (21)n n n n n ch b
u u n n n a v x y X x Y y sh y ch y x n k a a a sh b
a ππππππ∞
=??
-??-==+??+???
?
∑∑
0(,)u x t v u =+
*****************************************************
圆内狄氏问题
1、求解定解问题 20002
(,
)c o s u r a
u a A φπφφ??=≤<≤≤?
=? ①
解：由题意，设(,)()()u r R r φφ=Φ代入方程及有关边条件得
()()0
(0)(2)φνφπ''Φ+Φ=??
Φ=Φ?
② 和20(0)|r R rR R R ν'''?+-=?<∞? ③ 解②得：20,1,2
()cos sin m m m m m m A m B m νφφφ?==?
Φ=+
?
解③得：()m R r r =
通解：[]0(,)cos sin m m m n u r r A m B m φφφ∞
==+∑
第四章简单命题及其推理 一、下列命题是哪种直言命题？请指出命题的主项、谓项、联项、量项及主谓项的周延情况。 1．共产党员是无产阶级先进分子。答：这是个全称肯定命题（A），全称肯定量项省略；“共产党员”是主项；“是”为联项；“无产阶级先进分子”是谓项。主项周延，谓项不周延。 2．任何困难都不是不可克服的。答：这是个全称否定命题（E）。全称量项“任何”；主项“困难”；联项“不是”；谓项为负概念“不可克服的”。其主项、谓项都周延。 3．有些图书是线装书。答：这是特称肯定命题（I）。量项“有些”；主项“图书”；联项“是”；谓项“线装书”。其主项、谓项均不周延。 4．《女神》是郭沫若的诗集。答：这是个单称肯定命题。《女神》是主项；“是”是联项；“郭沫若的诗集”是谓项。其主项周延，谓项不周延。 5．有些学生不刻苦。答：这个命题一般理解为O命题：有些学生不是刻苦的。“学生”是主项；“刻苦的”是谓项；“不是”是联项；“有些”是量项。其主项不周延，谓项周延。 二、下列对当关系推理是否有效？为什么？ 1．由“有的植物不开花”真，推知“所有植物都开花”假。 答：正确。因为O与A是矛盾关系，由O真可推知A假。 2．由“凡环境污染都对人身体有害”真，推知“有的环境污染不对人身体有害”假。 答：正确。因为A与O是矛盾关系，由A真可推知O假。 3．由“有人生而知之”假，推知“有人不是生而知之”真。 答：正确。I与O是下反对关系，由I假可推知O真。 4．由“有的大学生是有理想的”真，推知“所有大学生都是有理想的”假。 答：不正确。I与A是从属（差等）关系，由I真推不出A假。 5．由“所有的古代散文都不押韵”假，推知“有的古代散文押韵”真。 答：正确。E与I是矛盾关系，由E假可推知I真。 6．由“所有的新诗都不押韵”假，推知“所有新诗都押韵”真。 答：不正确。E与A是反对关系，由E假推不出A真。 三、根据命题的对当关系，由已知下列命题的真假，断定同素材的其它三种命题的真 1．已知“某单位职工都买了电冰箱”为假。 答：这是个A命题。当A假时，同素材的E命题“某单位职工都没买电冰箱”真假不定；I命题“某单位职工有的买了电冰箱”真假不定；O命题“某单位有的职工没买电冰箱”为真。 2．已知“某班同学都不是会打桥牌的”为真。 答：这是个E命题。当E真时，A命题“某班同学都是会打桥牌的”为假；I命题“某班同学有的是会打桥牌的”为假；O命题“某班同学有的不是会打桥牌的”为真。 3．已知“有的科学家是自学成才的”为真。 答：这是个I命题。当I真时，A命题“所有的科学家是自学成才的”可真可假；E命题“所有的科学家不是自学成才的”为假；O命题“有的科学家不是自学成才的”可真可假。 4．已知“有的教授不是懂外语的”为假。 答：这是个O命题。当O假时，A命题“所有的教授都是懂外语的”为真；E命题“所有的教授都不是懂外语的”为假；I命题“有的教授是懂外语的”为真。 四、根据命题的对当关系，选择相应的命题来确定下列命题的虚假。 1．所有青年都是积极向上的。答：有的青年不是积极向上的。 2．有的理论是检验真理的标准。答：任何理论都不是检验真理的标准。
第三章答案 1. (6分)已知齐次状态方程Ax x =&的状态转移矩阵)(t Φ如下，求其逆矩阵)(1 t -Φ和系统矩阵A 。 ??? ???+-+---=Φ--------2t t 2t t 2t t 2t t 3e 2e 3e 3e 2e 2e 2e 3e )t (。 解： ??????+-+---=-Φ=Φ-2t t 2t t 2t t 2t t 1 3e 2e 3e 3e 2e 2e 2e 3e )t ()t ( （3分） ? ? ? ? ??=Φ==4-3-21|)t (A 0t & （3分） 2. (8分)求定常控制系统的状态响应。 ()()()()()()0101,0,0,11210x t x t u t t x u t t ??????=+≥== ? ? ?--?????? & 解：11t t t At t t t t t t e te te e e t t te e te -------+??+??== ? ?----?? ?? （4分） 0()()(0)()()10t t t t t x t t x Bu t d e te e d te e e ττττττ τττ------=Φ+Φ-????+??=+=??????--?????? ?? （4分） 3．(3分) 已知齐次状态方程Ax x =&的状态转移矩阵)(t Φ如下，求其系统矩阵A 。 ?? ? ???+-+---=Φ--------2t t 2t t 2t t 2t t 3e 2e 3e 3e 2e 2e 2e 3e )t (。 解：? ? ? ? ??=Φ==4-3-21|)t (A 0t & （3分） 4．(8分)已知系统的状态方程为： u x x ?? ????+??????=111101&， 初始条件为1)0(1=x ，0)0(2=x 。求系统在单位阶跃输入作用下的响应。 解：解法1：?? ? ???=??? ? ????????---=Φ--t t t e te e s s L t 01101)(1 1； （4分） ?? ????-=??????-+??????=??? ?????????-+????????????=?---t t t t t t t t t t t t t te e te e te e d e e t e e te e x 212111)(00100τττττ。 （4分） 解法2： ?? ????--=??????--+??????--=+-=-s s s s s s s s s s x s Bu A s s x 21)1(1 11)1(11)1(1)}0()({)I ()(22221 ；
北京交通大学硕士研究生2010-2011学年第一学期 《数学物理方程》期末试题(A 卷) (参考答案) 学院__________ 专业___________ 学号 __________ 姓名____________ 1、( 10分)试证明：圆锥形枢轴的纵振动方程为： 玫［I h .丿&」V h .丿& 其中E是圆锥体的杨氏模量，「是质量密度，h是圆锥的高(如下图所示) 【提示：已知振动过程中，在x处受力大小为ES ，S为x处截面面积。】 ex 【证明】在圆锥体中任取一小段，截面园的半径分别是r1和r2，如图所示。于是，我们有 2、：：u(x dx,t) 2 u(x,t) — 2 u2(x,t) E( D) E( * ) ( A )dx 于 x x t r1 = (h「x)tan : r2= (h _(x dx)) tan : 上式化简后可写成
2 2 ：：U(X,t) 2 :：u(x,t) 2, ；u (x,t) E[(h -x) 卜亠 & -(h -'X) 〔x J - - (h -'X)dx 2 从而有 E ：：[(^x)2；：U(x ,t)H-(^x)2：：u2(x,t) .x :X :t 或成 2 ::[(1「)2汽("]“2(1「)小叩) .x h ：：x h ；：t 其中a^E ，证明完毕。 2、 (20分)考虑横截面为矩形的散热片， 它的一边y=b 处于较高温度U ，其它三边y=0. x = 0和x = a 则处于冷却介质中，因而保持较低的温度 u o 。试求该截面上的稳定温度 分布u(x,y)，即求解以下定解问题: u|y 卫二 %, u|y 生二 U, 0 x a. 【提示：可以令u(x, y)二u 0 v(x, y)，然后再用分离变量方法求解。】 【解】令u(x, y) v(x, y)，则原定解问题变为 Wl x￡=0, V=0, 0cy 一、填空题 1．二阶线性偏微分方程xx xy yy x y Au Bu C u D u Eu Fu G +++++=（其中各系数均为x 和y 的函数）在某一区域的性质由式子：24B AC -的取值情况决定，取值为正对应的是（ 双曲 ）型，取值为负对应的是（ 椭圆）型，取值为零对应的是（ 抛物 ）型。 2．在实际中广泛应用的三个典型的数学物理方程： 第一个叫（ 弦自由横振动 ），表达式为（2tt xx u a B u =），属于（双曲）型； 第二个叫（ 热传导 ），表达式为（ 2t xx u a B u =），属于（ 椭圆 ）型； 第三个叫（拉普拉斯方程和泊松方程），表达式为（0 x x y y u u +=， (,)xx yy u u x y ρ+=-），属于（椭圆）型； 二、选择题 1．下列泛定方程中，属于非线性方程的是［ B ］ (A) 260t xx u u xt u ++=； (B) sin i t tt xx u u u e ω-+=； (C) ( )22 0y xx xxy u x y u u +++=； (D) 340t x xx u u u ++=； 2. 下列泛定方程中，肯定属于椭圆型的是［ D ］ (A)0xx yy u xyu +=； (B) 22x xx xy yy x u xyu y u e -+=； (C)0xx xy yy u u xu +-=； (D)()()()22sin sin 2cos xx xy yy x u x u x u x ++=； 3. 定解问题 ()()( )()()()2,0,00,,0 ,0,,0tt xx x x t u a u t x l u t u l t u x x u x x ?φ?=>< 2013-2014学年度第二学期数理方程（B ）期末考试试题 考后回忆版本 一、求下列偏微分方程的通解),(y x u u =（16分） （1）y x y x u 22=???（2）xy x u y x u y =??+???2二、求下列固有之问题的解。要求明确指出固有值及其所对应的固有函数（10分） ?????=′+∞<<<=+′+′′.0)2(,)0()20(,022y y x y x y x y x λ三、求第一象限}0,0|),{(2 >>∈=y x R y x D 的第一边值问题的Green 函数。（12分） 四、用积分变换法求解下列方程。（12分）???=>+∞<<<=).21(),0(,)(),0(. 1)1,(,0)0,()0,10(,4x x u x x x u t u t u t x u u t xx tt δ?七、用分离变量法求解下列方程。（15分） ?????=<++=++=++0|)1(,1 222222z y x zz yy xx u z y x z u u u 八、求解下列定解问题。（5分） ?????==>+∞< 自主招生数学专题一：不等式 不等式是初等代数研究的问题之一，常见的考点包括未必局限于均值不等式（AM-GM不等式）、Cauchy不等式、排序不等式、Jensen不等式、三角不等式…某些求导才能求得函数最值的题也可以用卡尔松不等式、赫尔德不等式.还有一些常用的技巧还包括构造局部不等式、裂项、换元、线性规划、调整法等等.在不等式的凑配过程中我们还会用到因式分解、待定系数法、主元法等方法，还需要时刻注意不等式的取等条件. 近年来，有些同学跟我反映夏令营、自主招生的不等式题不会做，为了部分缓解(看来受生物实验毒害不浅)大家对不等式的恐惧,提升大家的能力,我整理了这个专题.在选题的过程中参考了《自招宝典》《自主招生直通车》《数学奥林匹克小丛书》以及一些竞赛或学科营中的题目，和之前在“高思教育”“北京数学学校”的课堂笔记，在此对他们表示感谢. 面对一道不等式,为什么有人能想到换元?为什么有人会这么凑系数?为什么会想到如此放缩?巧夺天工的证明往往蕴含了自然而优美的逻辑.希望通过对以下例题的探讨等够带大家初步领略不等式的妙处，提升大家对不等式的感觉. 【知识梳理】 1证明均值不等式 2用不包括向量法在内的三种方法证明Cauchy不等式 3证明排序不等式 【重要例题】 1(2015北大体验营)1=++c b a 求) 1)(1)(1(c b a abc ---的最大值 21=++c b a 求证:1)9111≥++c b a 2)3 1 222≥++c b a 3)127≤abc 4)3≤++c b a 5)3311 1 ≥+ + c b a 6)63115≤+∑a 7)(2011江西预赛)最大值求32c ab 3(2016清华自主招生)12 ==∑∑x x 求xyz 最值(原题为不定项选择题) 4设0,,>c b a ,求证2≥+++c b c b a a c 5(2008南开)5262 +=+++a bc ac ab ,0,,>c b a 求c b a 23++的最小值 6(2009清华自招)设0,,>z y x ,a,b,c 是x,y,z 的一个排列，求证3 ≥++z c y b x a 7求2 211x y y x -+-的最大值 8(2010浙大),,11 +=∈=∑R x x i n i i 求证41 3 >-∑ i i x x 《数学物理方程》期末试题（A 卷） （参考答案） 学院 专业 学号 姓名 1、 （10分）试证明：圆锥形枢轴的纵振动方程为： 其中E 是圆锥体的杨氏模量，ρ是质量密度，h 是圆锥的高（如下图所示）： 【提示：已知振动过程中，在x 处受力大小为u ES x ??，S 为x 处截面面积。】 【证明】在圆锥体中任取一小段，截面园的半径分别是1r 和2r ，如图所示。于是，我们有 上式化简后可写成 从而有 或成 其中2 E a ρ = ，证明完毕。 2、 （20分）考虑横截面为矩形的散热片，它的一边y b =处于较高温度U ，其它三边0y =， 0x =和x a =则处于冷却介质中，因而保持较低的温度0u 。试求该截面上的稳定温度 分布(,)u x y ，即求解以下定解问题： 【提示：可以令0(,)(,)u x y u v x y =+，然后再用分离变量方法求解。】 【解】令0(,)(,)u x y u v x y =+，则原定解问题变为 分离变量： 代入方程得到关于X 和Y 的常微分方程以及关于X 的定解条件： 可以判定，特征值 特征函数 利用特征值n λ可以求得 于是求得特征解 形式解为 由边界条件，有 得到 解得 最后得到原定解问题的解是 3、 （20分）试用行波法求解下列二维半无界问题 【解】方程两端对x 求积分，得 也即 对y 求积分，得 也即 由初始条件得 也即 再取0x =，于是又有 从而得 于是 将这里的()g x 和()h y 代入(,)u x y 的表达式中，即得 4、 （20分）用积分变换法及性质，求解无界弦的自由振动问题： 【提示：可利用逆Fourier 积分变换公式：11 ,||sin []20, ||x at a t F a a x at ωω-? 第一章曲线论 §1 向量函数 1. 证明本节命题3、命题5中未加证明的结论。 略 2. 求证常向量的微商等于零向量。 证：设，为常向量，因为 所以。证毕3. 证明 证： 证毕4. 利用向量函数的泰勒公式证明：如果向量在某一区间内所有的点其微商为零，则此向量在该区间上是常向量。 证：设，为定义在区间上的向量函数，因为在区间上可导当且仅当数量函数，和在区间上可导。所以，，根据数量函数的Lagrange中值定理，有 其中，，介于与之间。从而 上式为向量函数的0阶Taylor公式，其中。如果在区间上处处有，则在区间上处处有 ，从而，于是。证毕 5. 证明具有固定方向的充要条件是。 证：必要性：设具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，于是。 充分性：如果，可设，令，其中为某个数量函数，为单位向量，因为，于是 因为，故，从而 为常向量，于是，，即具有固定方向。证毕 6. 证明平行于固定平面的充要条件是。 证：必要性：设平行于固定平面，则存在一个常向量，使得，对此式连续求导，依次可得和，从而，，和共面，因此。 充分性：设，即，其中，如果，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，任取一个与垂直的单位常向量，于是作以为法向量过原点的平面，则平行于。如果，则与不共线，又由可知，，，和共面，于是， 其中，为数量函数，令，那么，这说明与共线，从而，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，作以为法向量，过原点的平面，则平行于。证毕 §2曲线的概念 1. 求圆柱螺线在点的切线与法平面的方程。 解：，点对应于参数，于是当时，，，于是切线的方程为： 法平面的方程为 2. 求三次曲线在点处的切线和法平面的方程。 解：，当时，，， 于是切线的方程为： 法平面的方程为 3. 证明圆柱螺线的切线和轴成固定角。 证： 令为切线与轴之间的夹角，因为切线的方向向量为，轴的方向向量为，则 逻辑推理题常用的解法与解题思路 “逻辑思路”，主要是指遵循逻辑的四大基本规律来分析推理的思路。 【同一律思路】同一律的形式是：“甲是甲”，或“如果甲，那么甲”。它的基本内容是，在同一思维过程中，同一个概念或同一个思想对象，必须保持前后一致性，亦即保持确定性。这是逻辑推理的一条重要思维规律。运用这一规律来解题，我们把它叫同一律思路。 例1. 某公安人员需查清甲、乙、丙三人谁先进办公室，三人口供如下：甲：丙第二个进去，乙第三个进去。乙：甲第三个进去，丙第一个进去。丙：甲第一个进去，乙第三个进去。三人口供每人仅对一半，究竟谁第一个进办公室？ 分析（用同一律思路推理）；这一类问题具有非此即彼的特点。比如甲是否是第一个进办公室只有两种可能：是或非。我们用1表示“是”，0表示“非”，则可把口供列表处理。（1）若甲第一，则依据丙的口供见左表，这个表与甲的口供仅对一半相矛盾；（2）若甲非第一，则依据丙的口供，乙第三个进去，进行列表处理如右表，与“三人口供仅对一半”相符。从而可以判定，丙最先进入办公室。这个问题也可以不列表而用同一律推理。甲的话第一句对，第二句错，则丙第二，乙不是第三，又不是第二，自然乙第一，甲第二，这个结论与丙说的话“半对半错”不符。因此，有甲的第一句错，第二句对。即乙第三个进去，丙不是第二个，自然是第一个。这个结论与乙的话“半对半错”相符：甲不是第三，丙是第一。并且这个结论与丙的话“半对半错”也相符：甲不是第一，乙是第三。在整个思维过程中，我们对三人的话“半对半错”进行了一一验证，直到都符合题目给定的条件为止。 例2. 从前一个国家里住着两种居民，一个叫宝宝族，他们永远说真话；另一个叫毛毛族，他们永远说假话。一个外地人来到这个国家，碰见三位居民，他问第一个人：“请问你是哪个民族的人？”“匹兹乌图。”那个人回答。外地人听不懂，就问其他两个人：“他说的是什么意？”第二个人回答：“他说他是宝宝族的。”第三个人回答：“他说他是毛毛族的。” 请问，第一个人说的话是什么意思？第二个人和第三个人各属于哪个民族？ 分析（用同一律思路思考）：如果第一个人是宝宝族的，他说真话，那么他说的是“我是宝宝族的”。如果这个人是毛毛族的，他说假话，他说的还是“我是宝宝族的”。这就是说，第一个人不管是什么民族的，那句话的意思都是：“我是宝宝族的”。根据这一推理，那么第二个人回答“他说他是宝宝族的”这句话是真的，而从条件可知，说真话的是宝宝族人，因此可以判断第二个人是宝宝族人。不管第一个人是什么民族的，根据前面推理已知他说的话是“我是宝宝族的”，而第三个人回答“他说他是毛毛族的”显然是错的，而说假话的是毛毛族人，因此可以断定第三个人是毛毛族人 我们在分析本题时，始终保持了思维前后的一致性，这就是同一律思路的具体运用。 【不矛盾律思路】不矛盾律的形式是“甲不是非甲”。它的基本内容是：同一对象，在同一时间内和同一关系下，不能具有两种互相矛盾的性质，它是逻辑推理的又一重要规律，运用不矛盾律来推理、思考某些问题的解答，这种思路我们把它叫做不矛盾律思路。 例1.有三个和尚，一个讲真话，一个讲假话，另外一个有时讲真话，有时讲假话。一天，一位智者遇到这三个和尚，他先问左边的那个和尚：“你旁边的是哪一位？”和尚回答说 概率论与数理统计第三章习题 率分布。 ，试写出命中次数的概标的命中率为目；设已知射手每次射击射击中命中目标的次数指示射手在这三次独立以本空间上定义一个函数验的样本空间；试在样作为试验，试写出此试察这些次射击是否命中三次独立射击，现将观一射手对某目标进行了7.0.1 。 出的废品数的概率分布前已取个，求在取得合格品之不再放回而再取来使用，若取得废品就个这批零件中任取个废品，安装机器时从个合格品、一批零件中有1139.2 11880 54 99101112123)3(132054 109112123)2(132 27 119123)1(12 9 )0(3 210191911011111121121311019111121121311119112131121 9= ???=???=== ??=??=== ?=?=== ==C C C C C C C C P C C C C C C P C C C C P C C P ξξξξξξ，，，可能取值为：代表废品数，则解：令 .1188054132054132271293210 ??? ? ??的分布列为 所以，ξ 废品数的概率分布。 况，求出取得）取后放回两种不同情）取后不放回；（个，试分别就（件，每次取个废品，现从中任取混有个同类型的一堆产品内设在2113210.3 .008.0096.0384.0512.03210 008.0)3(096.0)2(384.0)1(512.0)0(32102210)2()1()0(2 1013 1101 22 1101211018231101 22 1101 8133 1101831022183101228310383 10 2 2 18310122831038??? ? ??=??? ? ??===???? ?????? ??===??? ? ????? ? ??===???? ??==???? ? ?????==?====的分布列为 所以，，，，有 ，，，，则可能取值有：）设废品数为（的分布列为 所以，，，，，的可能值有：代表废品数，则）令解：（ηηηηηηξξξξξξC C P C C C C C P C C C C C P C C P C C C C C C C C C C C P C C C P C C P 北 京 交 通 大 学 2007-2008学年第二学期《数理方程与特殊函数》期末考试试卷（B ） （参考答案） 学院_ ____________ 专业___________________ 班级________ ____ 学号_______________ 姓名___________ __ 一、 计算题（共80分，每题16分） 1． 求下列定解问题（15分） 2． 用积分变换法及性质，求解半无界弦的自由振动问题：（15分） 3． 设弦的两端固定于0x =及x l =，弦的出示位移如下图所示。初速度为零，又没有外力 作用。求弦做横向振动时的位移(,)u x t 。 [ 解 ] 问题的定解条件是 由初始条件可得 4． 证明在变换, x at x at ξη=-=+下，波动方程xx tt u a u 2=具有形式解0=n u ξ，并由此求 出波动方程的通解。 5． 用分离变量法解下列定解问题 [ 提示：1) 可以直接给出问题的固有函数，不必推导；2) 利用参数变易法。] [ 解 ] 对应齐次方程的定解问题的固有函数是x l n π sin ，其解可以表示成 把原问题中非齐次项t x t x f l a l π π22sin sin ),(=按照固有函数展开成级数 因此有 利用参数变易法，有 于是 6． 用Bessel 函数法求解下面定解问题 [ 解 ] 用分离变量法求解。令)()(),(t T R t u ρρ=，则可得 以及 设0ρβλn n = 为Bessel 函数)(0x J 的正零点，则问题（II ）的特征值和特征函数分别为 问题（I ）的解为 于是原问题的解是 由初始条件 得到 故 于是最后得到原问题的解是 二、 证明题（共2分，每题10分） 7． 证明平面上的Green 公式 其中C 是区域D 的边界曲线，ds 是弧长微分。 [证明] 设),(),,(y x Q y x p 在D+C 上有一阶连续偏导数，n 为C 的外法线方向，其方向余弦为βαcos ,cos ，则有 再设u,v 在D 内有二阶连续偏导数，在D+C 上有一阶连续偏导数，令 得到 交换u,v ，得到 上面第二式减去第一式，得到 证毕。 8． 证明关于Bessel 函数的等式： 例 1.1.1 设v=v(线x,y),二阶性偏微分方程v xy =xy 的通解。 解 原方程可以写成 e／ex（ev／ey） =xy 两边对x 积分，得 v y =￠（y ）+1/2 x 2 Y, 其中￠（y ）是任意一阶可微函数。进一步地，两边对y 积分，得方程得通解为 v （x,y ）=∫v y dy+f （x ）=∫￠（y ）dy+f （x ）+1/4 x 2y 2 =f （x ）+g （y ）+1/4 x 2y 2 其中f （x ）,g （y ）是任意两个二阶可微函数。 例1.1.2 即 u(ξ,η) = F(ξ) + G(η), 其中F(ξ),G(η)是任意两个可微函数。 例1.2.1设有一根长为L 的均匀柔软富有弹性的细弦，平衡时沿直线拉紧，在受到初始小扰动下，作微小横振动。试确定该弦的运动方程。 取定弦的运动平面坐标系是O XU ,弦的平衡位置为x 轴，弦的长度为L ，两端固定在O,L 两点。用u(x,t)表示弦上横坐标为x 点在时刻t 的位移。由于弦做微小横振动，故u x ≈0.因此α≈0，cos α≈1,sin α≈tan α=u x ≈0,其中α表示在x 处切线方向同x 轴的夹角。下面用微元法建立u 所满足的偏微分方程。 在弦上任取一段弧'MM ,考虑作用在这段弧上的力。作用在这段弧上的力有力和外力。可以证明，力T 是一个常数，即T 与位置x 和时间t 的变化无关。 事实上，因为弧振动微小，则弧段'MM 的弧长 dx u x x x x ? ?++=?2 1s ≈x ?。 这说明该段弧在整个振动过程中始终未发生伸长变化。于是由Hooke 定律，力T 与时间 t 无关。 因为弦只作横振动，在x 轴方向没有位移，故合力在x 方向上的分量为零，即 T(x+x ?)cos α’-T(x)cos α=0. 由于co's α’≈1，cos α≈1,所以T(X+?x)=T(x),故力T 与x 无关。于是，力是一个 第三章 假设检验 课后作业参考答案 3.1 某电器元件平均电阻值一直保持2.64Ω，今测得采用新工艺生产36个元件的平均电阻值为2.61Ω。假设在正常条件下，电阻值服从正态分布，而且新工艺不改变电阻值的标准偏差。已知改变工艺前的标准差为0.06Ω，问新工艺对产品的电阻值是否有显著影响？(01.0=α) 解：(1)提出假设64.2:64.2:10≠=μμH H ， (2)构造统计量36 /06.064 .261.2/u 00 -=-= -= n X σμ (3)否定域???? ??>=???? ??>?? ??? ??<=--21212 αααu u u u u u V (4)给定显著性水平01.0=α时，临界值575.2575.22 12 =-=- α αu u ， (5) 2 αu u <，落入否定域，故拒绝原假设，认为新工艺对电阻值有显著性影响。 3.2 一种元件,要求其使用寿命不低于1000（小时）,现在从一批这种元件中随机抽取25件, 测得其寿命平均值为950（小时）。已知这种元件寿命服从标准差100σ=（小时）的正态分 布，试在显著水平0.05下确定这批元件是否合格。 解： {}01001:1000, H :1000 X 950 100 n=25 10002.5 V=u 0.05H x u αμμσμα-≥<====->=提出假设：构造统计量：此问题情形属于u 检验，故用统计量：此题中：代入上式得： 拒绝域： 本题中：0.950.950 u 1.64u 0.0u H =>∴即，拒绝原假设认为在置信水平5下这批元件不合格。 3.3某厂生产的某种钢索的断裂强度服从正态分布( )2 ,σ μN ，其中()2 /40cm kg =σ。现从 一批这种钢索的容量为9的一个子样测得断裂强度平均值为X ，与以往正常生产时的μ相比，X 较μ大20(2 /cm kg )。设总体方差不变，问在01.0=α下能否认为这批钢索质量显著提高？ 解： (1)提出假设0100::μμμμ>=H H ， (2)构造统计量5.13 /4020 /u 00 == -= n X σμ (3)否定域{}α->=1u u V (4)给定显著性水平01.0=α时，临界值33.21=-αu (5) α-<1u u ，在否定域之外，故接受原假设，认为这批钢索质量没有显著提高。 3.4某批矿砂的五个样品中镍含量经测定为（%）： 3.25 3.27 3.24 3.26 3.24 设测定值服从正态分布，问在0.01α=下能否接受假设，这批矿砂的镍含量为3.25？ 解： 010110 2: 3.25 H :t X 3.252, S=0.0117, n=5 0.3419 H x μμμμσ==≠==提出假设：构造统计量：本题属于未知的情形，可用检验，即取检验统计量为：本题中，代入上式得：否定域为：1-20.99512 0 V=t>t (1)0.01,(4) 4.6041 , 3.25n t t t H ααα- ??-?? ?? ==<∴Q 本题中，接受认为这批矿砂的镍含量为。 数学物理方法习题解答 一、复变函数部分习题解答 第一章习题解答 1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。 证明：令Re z u iv =+。Re z x =，,0u x v ∴==。 1u x ?=?，0v y ?=?， u v x y ??≠??。 于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。 2、试证()2 f z z = 仅在原点有导数。 证明：令()f z u iv =+。()2 2222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。 2,2u u x y x y ??= =??。v v x y ?? ==0 ??。 所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。而 ,,u u v v x y x y ???? , ????在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。 ()00 00x x y y u v v u f i i x x y y ====???????? '=+=-= ? ?????????。 或：()()()2 * 00 0lim lim lim 0z z x y z f z x i y z ?→?→?=?=?'==?=?-?=?。 2 2 ***0* 00lim lim lim()0z z z z z z z zz z z z z z z z z =?→?→?→+?+?+??==+??→???。 【当0,i z z re θ≠?=，*2i z e z θ-?=?与趋向有关，则上式中**1z z z z ??==??】 3、设333322 ()z 0 ()z=0 0x y i x y f z x y ?+++≠? =+??? ，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。 证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则 ()332222 22 ,=0 0x y x y u x y x y x y ?-+≠? =+?+??， 332222 22 (,)=0 0x y x y v x y x y x y ?++≠? =+?+?? 。 3 300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x u x u x u x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x u y u y u y y →→--===-； 3300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x v x v x v x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x v y v y v y y →→-===。 (0,0)(0,0),(0,0)(0,0)x y y x u v u v ∴ = =- ()f z ∴ 在原点上满足C －R 条件。 但33332200()(0)() lim lim ()()z z f z f x y i x y z x y x iy →→--++=++。 令y 沿y kx =趋于0，则 333333434322222 0()1(1)1(1) lim ()()(1)(1)(1)z x y i x y k i k k k k i k k k x y x iy k ik k →-++-++-++++-+==+++++ 依赖于k ，()f z ∴在原点不可导。 4、若复变函数()z f 在区域D 上解析并满足下列条件之一，证明其在区域D 上 习题三 1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与 出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表： 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表： 3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为 F （x ，y ）=???? ? ≤ ≤≤ ≤. , 020,20, sin sin 其他ππy x y x 求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域? ?? ? ?? ≤<≤ <36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ {0,}(3.2)463 P X Y <≤ <≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636 F F F F --+ ππππππsin sin sin sin sin 0sin sin 0sin 4 3 4 6 3 6 1). 4 =--+= 题3图 说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X ，Y ）的分布密度 f （x ，y ）=?? ?>>+-. , 0, 0,0, )43(其他y x A y x e 求：（1） 常数A ； （2） 随机变量（X ，Y ）的分布函数； （3） P {0≤X <1，0≤Y <2}. 【解】（1） 由-(34) (,)d d e d d 112 x y A f x y x y A x y +∞+∞+∞+∞+-∞ -∞ == =? ??? 得 A =12 （2） 由定义，有 (,)(,)d d y x F x y f u v u v -∞ -∞ = ?? ( 34 ) 3400 12e d d (1e )(1e ) 0,0, 0,0, y y u v x y u v y x -+--??-->>? ==?? ? ????其他 (3) {01,02}P X Y ≤<≤< 12(34) 38 {01,02} 12e d d (1 e )(1e )0.9499. x y P X Y x y -+--=<≤<≤= =--≈?? 5.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为 f （x ，y ）=?? ?<<<<--. , 0, 42,20),6(其他y x y x k （1） 确定常数k ； （2） 求P {X ＜1，Y ＜3}； （3） 求P {X <1.5}； （4） 求P {X +Y ≤4}. 【解】（1） 由性质有 长沙理工大学考试试卷 ………………………………………………………………………………………………………………… 试卷编号 拟题教研室（或教师）签名 教研室主任签名 ………………………………………………………………………………………………………………… 课程名称（含档次） 数学物理方程与特殊函数 课程代号 专 业 层次（本、专） 本 科 考试方式（开、闭卷） 闭卷 一．判断题：（本题总分25分，每小题5分） 1．二阶线性偏微分方程062242=+++-y x yy xy xx u u u u u 属于椭圆型； （ ） 2．定解问题的适定性包括解的稳定性、解的唯一性和解的存在性； （ ） 3．如果格林函数),(0M M G 已知，且它在Γ+Ω上具有一阶连续偏导数，又若狄利克雷 问题???=Ω∈=?Γ ).,,(|,),,(0z y x f u z y x u 在Γ+Ω上具有一阶连续偏导数的解存在，那么其解可 表示为=)(0M u dS n G z y x f ??Γ??-) ,,(； （ ） 4．设)(x P n 为n 次Legendre 多项式，则0)()(1 1 1050358?-=dx x P x P ； （ ） 5．设)(x J n 为n 阶Bessel 函数，则 [])()(021ax xJ a ax xJ dx d =． （ ） 二．解答题：（本题总分65分） 1．（本小题15分）设有一根长为l 的均匀细杆，它的表面是绝热的，如果它的端点温度为1),0(u t u =，2),(u t l u =，而初始温度为0T ，写出此定解问题． 2．（本小题20分）利用固有函数法求解下面的定解问题 ???????====><<+=. 0),(,0),0(,0)0,(,0)0,(),0,0(cos sin 2t l u t u x u x u t l x l x t A u a u x x t xx tt πω 其中ω,A 是常数． 3．（本小题15分）求出方程xy u u yy xx =+的一个特解． 第 1 页（共 2 页） 习 题 三 1.正常情况下，某炼铁炉的铁水含碳量() 24.55,0.108X N :.现在测试了5炉铁水，其含碳量分别为4.28,4.40,4.42,4.35,4.37.如果方差没有改变，问总体的均值有无显著变化？如果均值没有改变，问总体方差是否有显著变化()0.05α=？ 解 由题意知，( ) 2 4.55,0.108X N :，5n =，5 1 1 4.3645i i x x ===∑，0.05α=， ()52 2 01 10.095265i i s x μ==-=∑. 1)当00.108σ=已知时， ①设统计假设0010: 4.55,: 4.55H H μμμμ==≠=. ②当0.05α=时，0.97512 1.96u u α- == ，临界值12 1.960.0947c α- = = =， 拒绝域为000{}{0.0947}K x c x μμ=->=->. ③004.364 4.550.186x K μ-=-=∈，所以拒绝0H ，接受1H ，即认为当方差没有改变时，总体的均值有显著变化. 2)当0 4.55μ=已知时， ①设统计假设222222 0010:0.108,:0.108H H σσσσ==≠=. ②当0.05α=时，临界值 ()()()()222210.02520.975122 111150.1662,5 2.566655c n c n n n ααχχχχ-= =====， 拒绝域为2 2 2 2 0212 2 2 2 0000{ }{ 2.56660.1662}s s s s K c c σσσσ=><=><或 或 . ③ 2 02 2 00.09526 8.16700.108 s K σ= =∈，所以拒绝0H ，接受1H ，即均值没有改变时，总体方差有显著变化. 2.一种电子元件，要求其寿命不得低于1000h .现抽取25件，得其均值950x h =.已知该种元件寿命()2 ,100X N μ:，问这批元件是否合格()0.05α=？ 2012、11、10、09年电子科技大学研究生数理方程期末试卷 电子科技大学研究生试卷 （考试时间： 14点 至 16 点 ，共 2小时） 课程名称 数理方程与特殊函数 教师 学时60 学分 3 教学方式 闭卷 考核日期 2012年 12 月 28 日 成绩 考核方式： （学生填写） 1．把方程 22222320u u u x x y y ???++=????化为标准型，指出其 类型，求出其通解. (10分) 2. 设定解问题：(10分) 2000(),0,0,,0(),(),0. tt xx x x l t t t u a u f x x l t u A u B t u x u x x l ?ψ====?-=<<>?? ==>??==≤≤?? 将该定解问题化成可直接分离变量求解的问题(不需要求出解的具体形式)。 学 号 姓 学 院 教 座位 ……………………密……………封……………线……………以…………… 第 1页 3． 长为l 的均匀细杆，其侧面与左端保持零度，右端绝热，杆内初始温度分布为()x ?，求杆内温度分布 (,)u x t . (20分) 4．求下面的定解问题：（10分） 22 009,(,0)18,sin 18 t tt xx t t t u u x e x R t u x x u x ==?-=∈>??=++=+??. 第2页 5．求22 cos()a e x d ?τ??+∞-?.（10分） 6． 222 23()(22)(25) s s F s s s s s ++=++++，求Laplace 逆变换1 (())L F s -.（10分）数理方程练习题(1)
数理方程期末考试试题
自主招生数学专题一不等式(习题补充版)
研究生数理方程期末试题10111A答案
数理方程版课后习题答案
逻辑推理题常用的解法与解题思路
概率论与数理统计修订版第三章练习答案郝志峰,谢国瑞
数理方程期末试题B答案
数理方程习题集综合
应用数理统计吴翊李永乐第三章 假设检验课后作业参考答案
数学物理方法习题解答(完整版)
概率论与数理统计第三章课后习题答案
数理方程试卷及答案2
研究生数理统计第三章习题答案
2012、11、10、09年电子科技大学研究生数理方程期末试卷
相关主题
文本预览