【高中数学】数学《函数与导数》复习资料
一、选择题
1．已知函数()210
0ax x f x lnx x ?+≤=??
，，＞，，下列关于函数()()0f f x m +=的零点个数的判
断，正确的是（ ）
A ．当a ＝0，m ∈R 时，有且只有1个
B ．当a ＞0，m ≤﹣1时，都有3个
C ．当a ＜0，m ＜﹣1时，都有4个
D ．当a ＜0，﹣1＜m ＜0时，都有4个 【答案】B 【解析】 【分析】
分别画出0a =，0a >，0a <时，()y f x =的图象，结合()t f x =，()0f t m +=的解的情况，数形结合可得所求零点个数． 【详解】
令()t f x =，则()0f t m +=，
当0a =时， 若1m =-，则0t ≤或t e =，即01x <≤或e x e =， 即当0a =，m R ∈时，不是有且只有1个零点，故A 错误；
当0a >时，1m ≤-时，可得0t ≤或m t e e -=≥，可得x 的个数为123+=个，即B 正确；
当0a <，1m <-或10m -<<时，由0m ->，且1m -≠，可得零点的个数为1个或3个，故C ，D 错误． 故选：B ．
【点睛】
本题考查了函数零点的相关问题，考查了数形结合思想，属于中档题.
2．已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，()ln 1f x x x =+，则曲线()y f x =在1
x =-
处的切线方程为（ ） A ．y x =- B ．2y x =-+
C ．y x =
D ．2y x =-
【答案】A 【解析】 【分析】
首先根据函数的奇偶性，求得当0x <时，()f x 的解析式，然后求得切点坐标，利用导数求得斜率，从而求得切线方程. 【详解】
因为0x <，()()ln()1f x f x x x =-=--+，()11f -=，()ln()1f x x '=---，
(1)1f '-=-，所以曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为()11y x -=-+，即y x =-.
故选：A 【点睛】
本小题主要考查根据函数奇偶性求函数解析式，考查利用导数求切线方程，属于基础题.
3．设定义在(0,)+∞的函数()f x 的导函数为()f x '，且满足
()()
3f x f x x
'->，则关于x 的不等式3
1(3)(3)03x f x f ??---< ???
的解集为（ ）
A ．()3,6
B ．()0,3
C ．()0,6
D ．()6,+∞
【答案】A 【解析】 【分析】
根据条件，构造函数3
()()g x x f x =，利用函数的单调性和导数之间的关系即可判断出该函数在(,0)-∞上为增函数，然后将所求不等式转化为对应函数值的关系，根据单调性得出自变量值的关系从而解出不等式即可． 【详解】
解：Q 3
(1)(3)(3)03
x f x f ---<，
3(3)(3)27x f x f ∴---（3）0<，
3(3)(3)27x f x f ∴--<（3），
Q 定义在(0,)+∞的函数()f x ，
3x ∴<，
令3
()()g x x f x =，
∴不等式3(3)(3)27x f x f --<（3），
即为(3)g x g -<（3），
323()(())3()()g x x f x x f x x f x '='=+'，
Q
()()
3f x f x x
'->， ()3()xf x f x ∴'>-， ()3()0xf x f x ∴'+>，
32()3()0x f x x f x ∴+>，
()0g x ∴'>， ()g x ∴单调递增，
又因为由上可知(3)g x g -<（3）， 33x ∴-<，3x 故选：A ． 【点睛】 本题主要考查不等式的解法：利用条件构造函数，利用函数单调性和导数之间的关系判断函数的单调性，属于中档题． 4．已知()(1)|ln | x f x x x = ≠，若关于x 方程22[()](21)()0f x m f x m m -+++=恰有4个不相等的实根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1,2(2,)e e ??? ??? B ．11,e e ??+ ??? C ．(1,)e e - D ．1 e e ?? ??? , 【答案】C 【解析】 【分析】 由已知易知()f x m =与()1f x m =+的根一共有4个，作出()f x 图象，数形结合即可得到答案. 【详解】 由22 [()](21)()0f x m f x m m -+++=，得()f x m =或()1f x m =+，由题意()f x m = 与()1f x m =+两个方程的根一共有4个，又()f x 的定义域为(0,1)(1,)?+∞，所以 ()|ln |ln x x f x x x = =，令()ln x g x x =，则'2ln 1()(ln )x g x x -=，由' ()0g x >得 x e >， 由' ()0g x <得1x e <<或01x <<，故()g x 在(0,1),(1,)e 单调递减，在(,)e +∞上单调递 增，由图象变换作出()f x 图象如图所示 要使原方程有4个根，则 1 m e m e << ? ? +> ? ，解得1 e m e -<<. 故选：C 【点睛】 本题考查函数与方程的应用，涉及到方程根的个数问题，考查学生等价转化、数形结合的思想，是一道中档题. 5．函数 2 2 () 41 x x x f x ? = - 的图像大致为( ) A．B． C． D． 【答案】A 【解析】 ∵函数() 2 2? 41 x x x f x= -的定义域为(,0)(0,) -∞+∞ U ∴ 22 2()2 ()() 4114 x x x x x x f x f x - - ?-? -===- -- ∴函数() f x为奇函数，故排除B，C. ∵ 2 (1)0 3 f=>，故排除D. 故选A. 点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项． 6．函数f （x ）＝x ﹣g （x ）的图象在点x ＝2处的切线方程是y ＝﹣x ﹣1，则g （2）+g '（2）＝（ ） A ．7 B ．4 C ．0 D ．﹣4 【答案】A 【解析】 ()()()(),'1'f x x g x f x g x =-∴=-Q ，因为函数()()f x x g x =-的图像在点2x =处 的切线方程是1y x =--，所以()()23,'21f f =-=-， ()()()()2'2221'27g g f f ∴+=-+-=，故选A ． 7．已知函数()3 2 f x x x x a =--+，若曲线()y f x =与x 轴有三个不同交点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．11,27??-∞- ??? B ．() 1,+? C ．5,127?? - ??? D ．11,127?? - ??? 【答案】C 【解析】 【分析】 根据曲线()y f x =与x 轴有三个不同交点，可转化为函数()3 2 g x x x x =-++与y a =的 图象有三个不同的交点，即可求出实数a 的取值范围. 【详解】 Q 函数()32f x x x x a =--+与x 轴有三个不同交点， 可转化为函数()3 2 g x x x x =-++与y a =的图象有三个不同的交点. 又()2 321(31)(1)g x x x x x '=-++=-+-Q ， ∴在1,,(1,)3??-∞-+∞ ???上，()0g x '<；在1,13?? - ???上，()0g x '>. ∴()15327g x g ?? =-=- ??? 极小值，()()11g x g ==极大值， 5 127a ∴- <<. 故选：C 【点睛】 本题考查函数的零点及导数与极值的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题. 8．函数()1ln f x x x ? ?=- ?? ?的图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】B 【解析】 【分析】 通过函数在2x =处函数有意义，在2x =-处函数无意义，可排除A 、D ；通过判断当 1x >时，函数的单调性可排除C ，即可得结果. 【详解】 当2x =时，1 10x x -=>，函数有意义，可排除A ； 当2x =-时，13 02 x x -=-<，函数无意义，可排除D ； 又∵当1x >时，函数1 y x x =- 单调递增， 结合对数函数的单调性可得函数()1ln f x x x ?? =- ?? ? 单调递增，可排除C ； 故选：B. 【点睛】 本题主要考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨论的思维能力，属于中档题. 9．设()f x 为R 上的奇函数，满足(2)(2)f x f x -=+，且当02x ≤≤时，()x f x xe =，则(1)(2)(3)(100)f f f f ++++=L ( ) A ．222e e + B ．25050e e + C ．2100100e e + D ．222e e -- 【答案】A 【解析】 【分析】 由()()22f x f x -=+可得对称轴，结合奇偶性可知()f x 周期为8；可将所求式子通过周期化为()()()()1234f f f f +++，结合解析式可求得函数值. 【详解】 由()()22f x f x -=+得：()f x 关于2x =对称 又()f x Q 为R 上的奇函数 ()f x ∴是以8为周期的周期函数 ()()()()()()()()()1281241240 f f f f f f f f f ++???+=++???++-+-+???+-=Q 且()()()()2 123422f f f f e e +++=+ ()()()()()()()()()()12100121281234f f f f f f f f f f ∴++???+=++???+++++????????222e e =+ 故选：A 【点睛】 本题考查利用函数的奇偶性、对称性和周期性求解函数值的问题，关键是能够利用奇偶性和对称轴得到函数的周期，并求得基础区间内的函数值. 10．如图，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器．当这个正六棱柱容器的底面边长为（ ）时，其容积最大． A ． 34 B ． 23 C ． 13 D ． 12 【答案】B 【解析】 【分析】 设正六棱柱容器的底面边长为x ,)3 1x -,则可得正六棱柱容器的容积为()())()32339214 V x x x x x x x =+-=-+,再利用导函数求得最值,即可求解. 【详解】 设正六棱柱容器的底面边长为x ,则正六棱柱容器的高为 )3 12 x -, 所以正六棱柱容器的容积为()()()()32921224 V x x x x x x x =+? ?-=-+, 所以()227942V x x x '=-+,则在20,3?? ???上,()0V x '>；在2,13?? ??? 上,()0V x '<, 所以()V x 在20,3?? ???上单调递增,在2,13?? ??? 上单调递减, 所以当2 3 x =时,()V x 取得最大值, 故选:B 【点睛】 本题考查利用导函数求最值,考查棱柱的体积,考查运算能力. 11．已知函数f （x ）（x ∈R ）满足f （x ）=f （2?x ），若函数 y=|x 2?2x?3|与y=f （x ）图像的交点为（x 1,y 1），（x 2,y 2），…，（x m ,y m ），则1 =m i i x =∑ A ．0 B ．m C ．2m D ．4m 【答案】B 【解析】 试题分析：因为2 (),23y f x y x x ==--的图像都关于1x =对称，所以它们图像的交点也关于1x =对称，当m 为偶数时，其和为22 m m ? =；当m 为奇数时，其和为1 212 m m -? +=，因此选B. 【考点】 函数图像的对称性 【名师点睛】如果函数()f x ，x D ?∈，满足x D ?∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图象有对称轴2 a b x += ；如果函数()f x ，x D ?∈，满足x D ?∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数()f x 的图象有对称中心( ,0)2 a b +. 12．已知函数()0,1 ln ,1 x f x x x ≥?，若不等式()≤-f x x k 对任意的x ∈R 恒成立，则实 数k 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞ B ．[)1,+∞ C ．[)0,1 D ．(]1,0- 【答案】A 【解析】 【分析】 先求出函数()f x 在(1,0)处的切线方程，在同一直角坐标系内画出函数 ()0,1ln ,1 x f x x x 【详解】 当1x ≥时，()'' 1ln ,()(1)1f x x f x f x =?=?=，所以函数()f x 在(1,0)处的切线方 程为：1y x =-，令()g x x k =-，它与横轴的交点坐标为(,0)k . 在同一直角坐标系内画出函数()0,1 ln ,1x f x x x ≥? 和()g x x k =-的图象如下图的所示： 利用数形结合思想可知：不等式()≤-f x x k 对任意的x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是1k ≤. 故选：A 【点睛】 本题考查了利用数形结合思想解决不等式恒成立问题，考查了导数的应用，属于中档题. 13．函数()3ln x f x x = 的部分图象是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】A 【解析】 【分析】 根据奇偶性排除B ，当1x >时，()3ln 0x f x x =>，排除CD ，得到答案. 【详解】 ()()()33ln ln ,x x f x f x f x x x = -==--， ()f x 为奇函数，排除B 当1x >时，()3 ln 0x f x x =>恒成立，排除CD 故答案选A 【点睛】 本题考查了函数图像的判断，通过奇偶性，特殊值法排除选项是解题的关键. 14．已知函数()ln x f x x =，则使ln ()()()f x g x a f x =-有2个零点的a 的取值范围（ ） A ．(0,1) B ．10,e ?? ??? C ．1,1e ?? ??? D ．1,e ??-∞ ??? 【答案】B 【解析】 【分析】 令()ln x t f x x == ，利用导数研究其图象和值域，再将ln ()()()f x g x a f x =-有2个零点， 转化为ln t a t =在[),e +∞上只有一解求解. 【详解】 令()ln x t f x x == ，当01x <<时，()0ln x t f x x == <， 当1x >时，() 2 ln 1 ()ln x t f x x -''== ， 当1x e <<时，0t '<，当x e >时，0t '>， 所以当x e =时，t 取得最小值e ，所以t e ≥， 如图所示： 所以ln ()()()f x g x a f x =-有2个零点，转化为ln t a t =在[),e +∞上只有一解， 令ln t m t = ，21ln 0t m t -'=≤，所以ln t m t =在[),e +∞上递减， 所以1 0m e <≤， 所以10a e <≤，当1 a e =时，x e =，只有一个零点，不合题意， 所以10a e << 故选：B 【点睛】 本题主要考查导数与函数的零点，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 15．三个数0.377,0.3,ln 0.3a b c ===大小的顺序是（ ） A ．a c b >> B ．a b c >> C ．b a c >> D ．c a b >> 【答案】B 【解析】 试题分析：根据指数函数和对数函数的单调性知：0.30771a =>=，即1a >； 7000.30.31b <=<=，即01b <<；ln0.3ln10c =<=，即0c <；所以a b c >>， 故正确答案为选项B ． 考点：指数函数和对数函数的单调性；间接比较法． 16．()263,0 34,0 x x x x f x x ?---≤=?->?，则函数()y f f x =????的零点个数为（ ） A ．3 B ．5 C ．6 D ．7 【答案】D 【解析】 【分析】 作出()f x 的图像，将()y f f x =????的零点个数即()0f f x =????的实数根个数，令 ()t f x =，解()0f t =有三个实数根，再结合图像即可得到答案. 【详解】 由题意，()y f f x =????的零点个数即()0f f x =????的实数根个数， 作()f x 的图像如图所示， 设()t f x =，则()0f t =， 当0t ≤时，即2630t t ---=，解得，1236,36t t =-=- 当0t >时，即340t -=，解得33log 4t =； 结合图像知，()36f x =- ()36f x =-+3()log 4f x =时有三个根， 所以()0f f x =????有7个根，即()y f f x =????的零点个数为7. 故选：D 【点睛】 本题主要考查函数的零点问题、解函数值以及一元二次函数和指数函数的图像，考查学生数形结合的思想，属于中档题. 17．已知函数2()f x x m =+与函数1()ln 3g x x x =--，1,22x ?∈? ???? 的图象上恰有两对关于x 轴对称的点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．5ln )4 [2,2+ B ．5 [2ln 2, ln 2)4 -+ C ．5(ln 2,2ln 2)4 +- D ．(]2ln2,2- 【答案】A 【解析】 【分析】 将问题转化为()()f x g x =-在1,22 ?????? 恰有两个不同的解，令()()()h x f x g x =+，将问 题转化为()h x 在1,22?? ???? 上有两个零点的问题，利用导数可求得()h x 的单调性，进而确定 区间端点值和最值，由此构造不等式求得结果. 【详解】 ()f x Q 与()g x 在1,22x ?∈? ????的图象上恰有两对关于x 轴对称的点， ()()f x g x ∴=-在1,22?? ???? 恰有两个不同的解， 即2 21ln 3ln 30x m x x x x m x +--=+-+=在1,22?? ???? 上恰有两个不同的解， 令()2 ln 3h x x x x m =+-+，则()()()2211123123x x x x h x x x x x ---+'=+-== ， ∴当1,12x ?? ∈ ??? 时，()0h x '<；当()1,2x ∈时，()0h x '>， ()h x ∴在1 ,12 ?? ?? ?上单调递减，在()1,2上单调递增， 又15ln 224h m ?? =--+ ? ?? ，()12h m =-，()2ln 22h m =-+， 原问题等价于()h x 在1,22????? ? 上恰有两个零点， 则5ln 2024m m --+≥>-，解得：5ln 224m +≤<，即m 的取值范围为5ln 2,24? ?+??? ?. 故选：A . 【点睛】 本题考查根据函数零点个数求解参数范围的问题，关键是能够将两函数图象对称点个数的 问题转化为方程根的个数的问题，进一步通过构造函数的方式将问题转化为函数零点个数的问题. 18．若函数()()sin x f x e x a =+在区间,22ππ ?? - ??? 上单调递增，则实数a 的取值范围是 （） A ．) +∞ B ．[ )1,+∞ C ．()1,+∞ D ．() +∞ 【答案】B 【解析】 【分析】 将问题转化为()0f x '≥在,22ππ?? - ??? 上恒成立；根据导函数解析式可知问题可进一步转化 04x a π??++≥ ?? ?在,22ππ?? - ???上恒成立；利用正弦型函数值域求法可求得( 14x a a a π? ??++∈-+ ??? ?，则只需10a -+?即可，解不等式求得结果. 【详解】 由题意得：()()sin cos 4x x x f x e x a e x e x a π?? ?'=++=++ ????? ()f x Q 在,22ππ ??- ?? ? 上单调递增 ()0f x '∴≥在,22 ππ ?? - ?? ? 上恒成立 又0x e > 04x a π? ? + +≥ ?? ? 在,22ππ?? - ???上恒成立 当,22x ππ?? ∈- ??? 时，3, 444x πππ??+∈- ??? sin ,142x π??? ?∴+∈- ? ? ???? ( 14x a a a π? ??++∈-+ ???? 10a ∴-+≥，解得：[)1,a ∈+∞ 本题正确选项：B 【点睛】 本题考查根据函数在一段区间内的单调性求解参数范围问题，涉及到正弦型函数值域的求解问题；本题解题关键是能够将问题转化为导函数在区间内恒大于等于零的问题，从而利用三角函数的最值来求得结果. 19．已知函数()2 cos f x x x =-，若15log 3a f ??= ???，31log 5b f ? ?= ???，315c f ???? ? ? ???? =?， 则（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c b a >> D ．c a b >> 【答案】B 【解析】 【分析】 判断()f x 为偶函数，利用导数得出()f x 在()0,π上单调递增，由对数函数的性质，结合函数()f x 的单调性和奇偶性，即可得出答案. 【详解】 ()()()()2 2cos cos f x x x x x f x -=---=-=，故()f x 为偶函数 故只需考虑()0,x ∈+∞的单调性即可. ()'2sin f x x x =+，当()0,x π∈时，易得()'0f x > 故()f x 在()0,π上单调递增，()155log 3log 3a f f ??== ??? ， ()331log log 55b f f ? ?== ?? ?， 由函数单调性可知()()3531log 3log 55f f f ?? ??<< ? ? ? ???? ，即c a b << 故选：B 【点睛】 本题主要考查了利用函数的奇偶性以及单调性比较大小，属于中档题. 20．已知定义在R 上的函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-，且当2x >时， ()()2()x f x f x f x ''?+>，若(1)1f =.则不等式1 ()2 f x x < -的解集是（ ） A ．(2,3) B ．(,1)-∞ C ．()(1,2)2,3? D ．()(,1)3,-∞?+∞ 【答案】C 【解析】 【分析】 令()|2|()F x x f x =-，当2x >时，则()(2)()F x x f x =-，利用导数可得当2x >时， ()F x 单调递增，根据题意可得()F x 的图象关于2x =对称，不等式1 ()|2| f x x < -等价 于|2|()1(2)x f x x -<≠，从而()(1)F x F <，利用对称性可得|2||12|x -<-，解不等式即可. 【详解】 当2x >时，()()2()x f x f x f x ''?+>，∴(2)()()0x f x f x '-+>， 令()|2|()F x x f x =-. 当2x >时，则()(2)()F x x f x =-，()(2)()()0F x x f x f x ''=-+>， 即当2x >时，()F x 单调递增. 函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-， 所以(2)(2)F x F x +=-，即()F x 的图象关于2x =对称， 不等式1 ()|2| f x x < -等价于|2|()1(2)x f x x -<≠， (1)|12|(1)(1)1F f f =-==，即()(1)F x F <， 所以|2||12|x -<-，解得13x <<且2x ≠，解集为(1,2)(2,3)U . 故选：C 【点睛】 本题考查了导数在解不等式中的应用、函数的对称性的应用以及绝对值不等式的解法，属于中档题. 专题4.4 立体几何中最值问题 一．方法综述 高考试题将趋于关注那些考查学生运用运动变化观点处理问题的题目，而几何问题中的最值与范围类问题，既可以考查学生的空间想象能力，又考查运用运动变化观点处理问题的能力，因此，将是有中等难度的考题．此类问题，可以充分考查图形推理与代数推理，同时往往也需要将问题进行等价转化，比如求一些最值时，向平面几何问题转化，这些常规的降维操作需要备考时加强关注与训练．立体几何中的最值问题一般涉及到距离、面积、体积、角度等四个方面,此类问题多以规则几何体为载体,涉及到几何体的结构特征以及空间线面关系的逻辑推理、空间角与距离的求解等,题目较为综合,解决此类问题一般可从三个方面思考：一是函数法,即利用传统方法或空间向量的坐标运算,建立所求的目标函数,转化为函数的最值问题求解；二是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；三是将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解。 二．解题策略 类型一距离最值问题 AB=，若线段DE上存在点P 【例1】如图，矩形ADFE，矩形CDFG，正方形ABCD两两垂直，且2 ⊥，则边CG长度的最小值为（） 使得GP BP A. 4 B. 43 C. D. 23 【答案】D 又22002B G a （，，），（，，），所以2,2,,,2,.2 2ax ax BP x GP x a ???? =--=-- ? ?????u u u r u u u r () 24022ax ax PB PG x x a ?? =-++-= ??? u u u n r u u u r .显然0x ≠且2x ≠.所以22 1642a x x =--. 因为()0,2x ∈，所以(]2 20,1x x -∈.所以当221x x -=， 2a 取得最小值12.所以a 的最小值为23. 故选D. 【指点迷津】利用图形的特点，建立空间直角坐标系，设CG 长度为a 及点P 的坐标，求BP GP u u u r u u u r 与的坐标， 根据两向量垂直，数量积为0，得到函数关系式22 16 42a x x = --，利用函数求其最值。 举一反三 1、如图，在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 分别是棱BC ，CC 1的中点，P 是侧面BCC 1B 1内一点，若A 1P ∥平面AEF ，则线段A 1P 长度的取值范围是_____。 【答案】 3254 2?? ??高考数学玩转压轴题专题4.4立体几何中最值问题
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