2013-2014学年度2015级八年级下期半期考试
数 学 试 题
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
（试题范围：二次根式、勾股定理、平行四边形）
一、选择题(共12小题，每小题4分，共48分)
下面每小题给出的四个选项中, 有且只有一个是正确的, 请把正确选项前的代号填在答卷指定位置．
1、 计算()2
4-－ 38 的结果是（ ）
．
Ａ.2 Ｂ．±2 Ｃ．-2或0 Ｄ．0． 2、如图，把矩形ABCD 沿EF 对折后使两部分重合， 若150∠=，则AEF ∠=（ ）
A ．110°
B ．115°
C ．120°
D ．130° 3、已知Rt △ABC 中,∠C=90°,若a+b=14cm,c=10cm ， 则Rt △ABC 的面积是（ ）
A.24cm 2
B.36cm 2
C.48cm 2
D.60cm 2 4、下列各式不是最简二次根式的是（ ） A.
21a + B. 21x + C.
24b
D.
0.1y
5、 已知：如图,菱形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O,OE ∥DC 交BC 于点E,AD=6cm, 则OE 的长为（ ）. A.6 cm B.4 cm C.3 cm D.2 cm
6、给出下列几组数：①6，7，8；②8，15，6；③n 2-1 ，2n ，n 2+1； ④21+，21-，6 ．其中能组成直角三角形三条边长的是（ ） A ．①③ B ．②④ C ．①② D ．③④
7、 如图，正方形ABCD 中，以对角线AC 为一边作 菱形AEFC ，则∠FAB 等于（ ）
A ．22.5°
B ．45°
C ．30°
D ．135°
第2
题 C
A B
1
A 0-1-218、若0 (x －1x )2+4 －(x+1 x )2－4 等于（ ） A. 2x B. － 2 x C. －2x D. 2x 9、如图，在平行四边形ABCD 中(AB ≠BC)，直 线EF 经过其对角线的 交点O,且分别交AD 、BC 于点M 、N ， 交BA 、 DC 的延长线于点E 、F ，下列结论： ①AO=BO ；②OE=OF ；③△EAM ≌△CFN ； ④△EAO ≌△CNO ，其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ②④ D.③④ 10、小刚准备测量河水的深度,他把一根竹竿插到 离岸边1.5m 远的水底,竹竿高出水面0.5m,把竹竿的 顶端拉向岸边,竿顶和岸边的水平刚好相齐,河水的深度为( ). A.2m B.2.5cm C.2.25m D.3m 11、如图，数轴上的点A 所表示的数为x ，则x 2—10的立方根为（ ） A ．2-10 B ．-2-10 C ．2 D ．-2 12、已知：如图，在正方形ABCD 外取一点E ， 连接AE 、BE 、DE ．过点A 作AE 的垂线 交DE 于点P ．若AE=AP=1，PB=．下列结论： ①△APD ≌△AEB ；②点B 到直线AE 的距离为； ③EB ⊥ED ；④S △APD +S △APB =1+；⑤S 正方形ABCD =4+． 其中正确结论的序号是（ ） A ．①③④ B ．①②⑤ C ．③④⑤ D ．①③⑤ 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 下列不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答卷指定的位置． 13、（－4）2 的算术平方根是______，25的平方根是______． 14、函数y= x+2 x －1 中自变量x 的取值范围是 。 15、 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ， ∠ABC=90°，∠C=60°，BC=2AD=32， 点E 是BC 边的中点，△DEF 是等边三角形， DF 交AB 于点G ，则△BFG 的周长为 。 16、已知322+-+-=x x y ，则 x y － 3 64 的值为 。 A B C D E F M N O 17、如图，若将四根木条钉成的矩形木框变成 平行四边形ABCD的形状，并使其面积 为矩形面积的一半，则这个平行四边形 的最小内角等于。 18、现安排一批工人完成一项工作，如果这批工人同时开始工作，且每个人 工作效率相同，则9小时完工；如果开始先安排1人做，以后每隔t小时（t为整数）增加1人，且每个人都一直做到工作完成，结果最后一个人做的时间是第1人时间的1 5 ，则第一个人做的时间是小时. 三、解答题（共2小题，每小题7分，共14分） 下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程或计算步骤． 19、计算：3 1 3×（―1 248 ）－(－ 1 2 ) -2 ＋[(－1)2014＋( 3 －2)0－|3－2| ]÷12 20、已知：如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠后．点D与点B重合， 点C落在点C′的位置上．若∠1＝60°，AE=1． (1)求∠2、∠3的度数； (2)求长方形纸片ABCD的面积S． 四、解答题（共4小题，每小题10分，共40分） 下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程或计算步骤． 21、先化简，再求值： 已知13+=x ，求x x x x x x x 11212 2÷??? ??+---+的值． 22、如图，在□ ABCD 中，点E 、F 在BD 上，且BF ＝DE ． （1）写出图中所有你认为全等的三角形； （2）延长AE 交BC 的延长线于G ，延长CF 交DA 的延长线于H （请补全图形）， 证明四边形AGCH 是平行四边形． 23、如图，在∠ABC中，AB = BC，D、E、F分别是BC、AC、AB边 上的中点； （1）求证：四边形BDEF是菱形； 12，求菱形BDEF的周长. （2）若AB = cm 24、如图，已知矩形ABCD 中，CE ⊥BD 于E ，CF 平分∠DCE 与DB 交于点F ，FG ∥DA 与AB 交于点G ． ⑴ 求证：BF ＝BC ； ⑵ 若AB=4 cm ，AD=3cm ，求CF ． A B C D E F G 五、解答题（共2小题，每小题12分，共24分） 下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程或计算步骤． 25．如图1，在△ABC 中，AB ＝BC ，P 为AB 边上一点，连接CP ， 以PA 、PC 为邻边作□APCD ，AC 与PD 相交于点E ， 已知∠ABC ＝∠AEP ＝α（0°＜α＜90°）． （1）求证：∠EAP ＝∠EPA ； （2）□APCD 是否为矩形？请说明理由； （3）如图2，F 为BC 中点，连接FP ，将∠AEP 绕点E 顺时针旋转 适当的角度，得到∠MEN （点M 、N 分别是∠MEN 的两边与 BA 、FP 延长线的交点）．猜想线段EM 与EN 之间的数量关系， 并证明你的结论． C B A D P E 图 2 N M F C B A D P E 图1 26、如图，四边形ABCD是正方形，点E，K分别在BC，AB上，点G 在BA的延长线上，且CE=BK=AG． （1）求证：①DE=DG；②DE⊥DG （2）尺规作图：以线段DE，DG为边作出正方形DEFG（要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明）； （3）连接（2）中的KF，猜想并写出四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想： （4）当CE1 CB n 时，求 ABCD DEFG S S 正方形 正方形的值． 2014春石牛初中八年级下册数学第一学月测试题 姓名＿＿＿＿ 班级＿＿＿＿ 分数＿＿＿＿ 一、选择题（每小题3分，共33分） 1．若m -3为二次根式，则m 的取值为 （ ） A ．m≤3 B ．m ＜3 C ．m≥3 D ．m ＞3 2．下列式子中二次根式的个数有 （ ） ⑴ 3 1 ；⑵3-；⑶12+-x ；⑷38；⑸231)(-；⑹)(11>-x x ；⑺322++x x . A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 3．当 2 2-+a a 有意义时，a 的取值范围是 （ ） A ．a≥2 B ．a ＞2 C ．a≠2 D ．a≠－2 4．对于二次根式92+x ，以下说法不正确的是 （ ） A ．它是一个正数 B ．是一个无理数 C ．是最简二次根式 D ．它的最小值是3 5．把ab a 123化简后得 （ ） A ．b 4 B ．b 2 C ．b 21 D ． b b 2 6．要登上某建筑物，靠墙有一架梯子，底端离建筑物5m ，顶端离地面12m ，则梯子的长度为（ ） A ．12m B ．13m C ．14m D ．15m 7．、如图，1====D E CD BC AB ，且AB BC ⊥，AC CD ⊥，AD DE ⊥， 则线段AE 的长为（ ）； A 、23 B 、2 C 、25 D 、3 8.下列几组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（ ）； A 、1.5，2，2.5 B 、3，4，5 C 、5，12，13 D 、20，30，40 9、如果正方形ABCD 的面积为92 ，则对角线AC 的长度为（ ）； A 、32 B 、94 C 、32 D 、92 二次根式、勾股定理 【知识点】 勾股定理：2 2 2 c b a =+（c 为最长边）?这个三角形是直角三角形. 一、选择题 1. x 的取值范围是（ ） A . 1x > B . 1x ≥ C . 1x ≤ D . 1 x < 2. 10b -=，那么2015)(b a +的值为（ ） A . －1 B . 1 C . 2015 3 D . 2015 3 - 3. 下列二次根式中与2是同类二次根式的是（ ）： A .12 B C D . 18 4. 下列计算正确的是（ ） A . 0(2)0-= B . 2 3 9-=- C 3= D =5. 如右上图小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD 的面积是 ( ) A . 25 B . 12.5 C . 9 D . 8.5 6. 如右图，A B ⊥CD 于B ，△ABD 和△BCE 都是等腰直角三角形，如果CD=17，BE=5，那么AC 的长为（ ）. A . 12 B . 7 C . 5 D . 13 7.下列说法中，错误的是（ ） A . △ABC 中，若∠B=∠C-∠A ，，则△ABC 是直角三角形 B . △AB C 中，a 2 =(b+c)(b-c), 则△ABC 是直角三角形 C . △ABC 中，∠A:∠B:∠C=3:4:5, 则△ABC 是直角三角形 D . △ABC 中，a:b:c=3:4:5, 则△ABC 是直角三角形 8．如图，某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a 元，则购买这种草皮至少需要（ ） A . 450a 元 B . 225a 元 C . 150a 元 D . 300a 元 9．如图，已知长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点 B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ） A . 6cm 2 B . 8cm 2 C . 10cm 2 D . 12cm 2 10．如图，已知一轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船以12 海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ） A . 25海里 B . 30海里 C . 35海里 D . 40海里 C F 第9题图 150° 20m 30m 第8题图 北 南 A 东 第10题图 勾股定理考点及答案 1701 勾股定理 一．选择题（共4 小题） 〖案例分析〗如图，在Rt△ABC 中，∠BAC＝90°．ED 是BC 的垂直平分线，BD 平分∠ABC，AD＝〖课后巩固〗则CD 的长为（） A．6 B．5 C．4 D．3 〖课堂练习〗如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于D，若AC＝2，BC＝，则CD 为（） A．B．2 C．D．3 〖课后巩固〗如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AE 为△ABC 的角平分线，且ED⊥AB，若AC＝6，BC＝8，则BD 的长（） A．2 B．3 C．4 D．5 〖考前再练〗在Rt△ABC 中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝4，则AC 的长是（）A．3 B．4 C．3 或D． 一．解答题（共 4 小题） 1702 勾股定理的证明 〖案例分析〗如图，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，正方形 IECF 中，IE ＝EC ＝CF ＝FI ＝ x （1） 小明发明了求正方形边长的方法： 由题意可得 BD ＝BE ＝a ﹣x ，AD ＝AF ＝b ﹣x 因为 AB ＝BD +AD ，所以 a ﹣x +b ﹣x ＝c ，解得 x ＝ （2） 小亮也发现了另一种求正方形边长的方法： 利用 S △ABC ＝S △AIB +S △AIC +S △BIC 可以得到 x 与 a 、b 、c 的关系，请根据小亮的思路完成他的求解过程： （3） 请结合小明和小亮得到的结论验证勾股定理． 〖课堂练习〗阅读理解： 【问题情境】 教材中小明用 4 张全等的直角三角形纸片拼成图 1，利用此图，可以验证勾股定理吗？ 【探索新知】 从面积的角度思考，不难发现： 大正方形的面积＝小正方形的面积+4 个直角三角形的面积 从而得数学等式： ；（用含字母 a 、b 、c 的式子表示） 化简证得勾股定理：a 2+b 2＝c 2 【初步运用】 （1） 如图 1，若 b ＝2a ，则小正方形面积：大正方形面积＝ ； 新人教版八年级下册数学--勾股定理教案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 第十七章勾股定理 勾股定理（一） 教学内容： 新课标对本节课的要求： 教学目标 知识与技能：了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。 过程与方法：培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。 情感态度价值观：介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。 教学重点、难点 重点：勾股定理的内容及证明。 难点：勾股定理的证明。 教学过程 1.引入 目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义。尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。 让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。 以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。 再画一个两直角边为5和12的直角△ABC ，用刻度尺量AB 的长。 你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42=52，52+122=132，那么就有勾2+股2=弦2。 对于任意的直角三角形也有这个性质吗？ 完成23页的探究，补充下表，你能发现正方形A 、B 、C 的关系吗？ 由此我们可以得出什么结论？可猜想： 命题1：如果直角三角形的两直角边分别为a 、b ，斜边为c ， 那么 。 2、合作探究： 方法1：已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。 求证：a 2＋b 2=c 2。 分析：⑴让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。 ⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S △+S 小正=S 大正 4×2 1 ab ＋（b －a ）2=c 2，化简可证。 ⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。 A B 二次根式与勾股定理测试题（一） 一、选择题（每小题3分，共33分） 1．若m -3为二次根式，则m 的取值为 （ ） A ．m≤3 B．m ＜3 C ．m≥3 D．m ＞3 2．下列式子中二次根式的个数有 （ ） ⑴ 3 1；⑵ 3 -；⑶12+- x ；⑷38；⑸ 2 3 1)(-；⑹)(11>-x x ； ⑺ 3 22++x x . A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 3．当2 2-+a a 有意义时，a 的取值范围是 （ ） A ．a≥2 B ．a ＞2 C ．a≠2 D ．a≠－2 4．对于二次根式92+x ，以下说法不正确的是 （ ） A ．它是一个正数 B ．是一个无理数 C ．是最简二次根式 D ．它的最小值是3 5 ． 把 化简后得 （ ） A ．b 4 B ．b 2 C ． b 21 D ． b b 2 6．要登上某建筑物，靠墙有一架梯子，底端离建筑物5m ，顶端离地面12m ，则梯子的长度为（ ） ab a 123 A ．12m B ．13m C ．14m D ．15m 7．、如图，1====D E CD BC AB ，且AB BC ⊥，AC CD ⊥，AD DE ⊥， 则线段的长为（ ）； A 、 2 3 B 、2 C 、25 D 、3 8.下列几组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（ ）； A 、1.5，2，2.5 B 、3，4，5 C 、5，12，13 D 、20，30，40 9、如图，一块直角三角形的纸片，两直角边6㎝，8㎝，现将 直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（ ）； A 、2㎝ B 、3㎝ C 、4㎝ D 、5㎝ 10、已知，如图长方形中，3，9，将此长方形折叠，使点B 与点 D 重合，折痕为，则△的面积为（ ）. A 、62 B 、82 C 、102 D 、12 2 11、已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（ ）． A ．12 B ．7＋ 7 C ．12或7＋ 7 D ．以上都不对 12、将一根24的筷子，置于底面直径为15，高8的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为，则h 的取值范围是（ ）． A ．h ≤17 B ．h ≥8 C ．15≤h ≤16 D ．7≤h ≤16 二、填空题（每空3分，共24分） A C D B E 第9题图 A B E F D C 第104 22--x x 八年级下册勾股定理知识点和典型例习题 一、基础知识点： １．勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += ２.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形通过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ， ，化简可证． 方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形 的面积与小正方形面积的和为221 422S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为 222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形，211 2S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证 ３.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ?中，90C ∠=?，则22c a b =+，22b c a -，22a c b =-②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实 际问题 ５.勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；否则，就不是直角三角形。 ②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 ６.勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25，8,15,17等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A 一、知识点复习讲解 1.二次根式：式子a（a≥0）叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质： （1）（a ）2=a （a ≥0）； （2）==a a 2 5.二次根式的运算： （1）因式的外移和移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么， 就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式， 那么先解因式，?变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根 号外面的正因式平方后移到根号里面． （2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次 根式． （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所 得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． （a ≥0，b ≥0） ； = b ≥0，a>0） （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，?乘法对加法的 分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． １．勾股定理 容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222 a b c += 0 （ 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一： 4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，22 14()2ab b a c ?+-=， 化简可证． 方法二： 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角 形的面积与小正方形面积的和为22 1 422S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为 c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A 第十七章 勾股定理 勾股定理（一） 教学内容： 新课标对本节课的要求： 教学目标 知识与技能：了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。 过程与方法：培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。 情感态度价值观：介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。 教学重点、难点 重点：勾股定理的内容及证明。 难点：勾股定理的证明。 教学过程 1.引入 目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义。尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。 让学生画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ，用刻度尺量出AB 的长。 以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。 再画一个两直角边为5和12的直角△ABC ，用刻度尺量AB 的长。 你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42=52，52+122=132，那么就有勾2+股2=弦2。 对于任意的直角三角形也有这个性质吗？ 命题1：如果直角三角形的两直角边分别为a 、b ，斜边为c ， 那么 。 2、合作探究： 方法1：已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、 ∠C 的对边为a 、b 、c 。 A B 第十六章：二次根式 一、二次根式的意义及性质： 题组1： 0a ≥），叫做二次根式） 1．下列各式中，是二次根式的有_________________________。（填序号） ① ② ； ； ； ； ⑦ ； ； 题组2：0a ≥）） 1．当a 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ （1；（ 2；（ 3 ；（4_______； （5）。（6） ；（7 2．已知5y ，则 2x y -的值是_______________。 题组3： 0） 1．若|2|0x + 的值是_________； 题组4： （二次根式的性质：2 (0)a a =≥ ，||a =） 1．计算： 2 =_____ ；(2 =_______ ；(2 =______；2 ? ?=_______； 2．在实数范围内因式分解：（1）22x -=_______________ ；（2）49x -=________________。 3； 。 4．若 21x -，则x 的取值范围是____________。 题组5：（最简二次根式和同类二次根式） 1．在根式①22b a + ② 5 x ③xy x -2 ④ abc 27中，最简二次根式是（ ） A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．①④ 2．下列二次根式中，可以合并的是 （ ） A ．23a a a 和 B ．232a a 和 C ．a a a a 132 和 D ．24 23a a 和 二、二次根式的运算： 题组6 ：?（0a ≥ ，0b ≥） ? 0a ≥，0b >） ） 1. ； ； 2 - ．- 4、 ÷ ( - ( 7.先化简，再求值：1 1 212222--÷+++-+x x x x x x x ，其中23-=x ． 二次根式及勾股定理习题 满分： 时间： 一、选择题（每题3分，共30分） 1. ） A ．0x ≥ B.x ＜0 C.x ≠0 D.x ≤0 2. ） A ．-3 B.3 C.-9 D.9 3下列运算正确的是（ ） = B. 3a-a=3 C. 2 3= D. ()3 25a a = 4. ） A 5．下列根式中，最简二次根式是（ ） A 6. ） A 7．下列计算正确的是（ ） ①69494=-?-=--))((；②69494=?=--))((； ③145454522=-?+=-；④145452222=-=-； A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 8. 一直角三角形的两直角边长分别为3和4．则第三边的长为（ ） A ． 5 5 9.如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为5和11，则b 的面积为（ ） A ．4 B. 6 C. 16 D. 55 10. 一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下部分 与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为（ ） A ．10米 B. 15米 C.25米 D. 30米 二、填空题（每题4分，共24分） 11.二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围 是。 12.已知1 y=，则y x= 。 13. 把下列二次根式化成最简二次根式 = = 14. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（-6，0）、 （0，8）．以点A为圆心，以AB长为半径画弧，交x正半轴于点C， 则点C的坐标为。 15. 能够成为直角三角形三条边长的正整数，称为勾股 数．请你写出一组勾股数：。 16.若三角形三条边长a、b、c满足2 -+-= （），则△ABC a5c130 是三角形。 三、解答题（17-19题每题6分，20-22题每题7分，23-25题每题9分） 17.计算 ()( 1 (2 18.)02 19.如图所示，在平行四边形ABCD中，BE、CF平分∠B、∠C，交AD于E、F两点，求证：AF=DE． 新人教版八年级下册勾股定理典型例习题 一、经典例题精讲 题型一:直接考查勾股定理 例１.在ABC ?中,90C ∠=?. ⑴已知6AC =,8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =,15AC =,求BC 的长分析:直接应用勾股定理 222a b c += 解:⑴2210AB AC BC =+= ⑵228BC AB AC =-= 题型二:利用勾股定理测量长度 例题1 如果梯子的底端离建筑物9米,那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米? 解析:这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题。把实物模型转化为数学模型后,．已 知斜边长和一条直角边长，求另外一条直角边的长度,可以直接利用勾股定理! 根据勾股定理AC 2+BC 2＝AB 2， 即ＡＣ2+9２=1５2,所以AC ２ =144,所以AC=12. 例题２ 如图(8），水池中离岸边D 点１.5米的C 处,直立长着一根芦苇，出水部分B Ｃ的长是0.５米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B 恰好落到D 点,并求水池的深度AC. 解析:同例题１一样，先将实物模型转化为数学模型，如图 2. 由题意可知△AC Ｄ中,∠ACD=90°,在Ｒt △ACD 中,只知道CD ＝１．5，这是典型的利用勾股定理“知二求一”的类型。 标准解题步骤如下(仅供参考）: 解:如图2,根据勾股定理，AC 2+CD 2=A Ｄ2 设水深AC= x 米，那么AD ＝A Ｂ=AC+CB ＝x +0.5 ｘ２+1．52=( x ＋0.5）2 解之得x =2. 故水深为2米. 题型三:勾股定理和逆定理并用—— 例题3 如图3，正方形ＡＢCD 中，E 是ＢC 边上的中点,F 是AB 上一点，且AB FB 4 1= 那么△ＤEF 是直角三角形吗?为什么? C B D A 二次根式及勾股定理测试题及答案 一、填空题：（每小题2分，共20分） 1．等式 2 )1(-x ＝1－x 成立的条件是． 2．当时，二次根式32-x 有意义． 3．比较大小： 3－22－3． 4．计算：22)2 1()2 1 3(-等于． 5．计算： 9 2131· 3 11 4a ＝． a o b 6．实数a 、b 在数轴上对应点的位置如图所示：则3a － 2 )43(b a -＝． 7、等腰三角形的腰长为13，底边长为10，则顶角的平分线为＿＿ 8、一个三角形的三边之比为5∶12∶13，它的周长为60，则它的面积是＿＿ . 9、一个直角三角形的三边长的平方和为200，则斜边长为 10、如图7，一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20、3、2，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点最短路程是 . 二、选择题：（每小题3分，共18分） 11、已知a ，b ，c 为△三边，且满足(a 2 －b 2 )(a 22 －c 2 )＝0， 则它的形状为（ ） A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 12、下列变形中，正确的是………（ ） （A ）(23) 2 ＝2×3＝6 （B ）2)5 2(-＝－52 （C ） 16 9+＝ 16 9+ （D ）)4()9(-?-＝49? 13、下列各式中，一定成立的是……（ ） （A ） 2 )(b a +＝a ＋b （B ） 2 2)1(+a ＝a 2 ＋1 （C ）12-a ＝1+a ·1-a （D ） b a ＝b 1 ab 14、若式子 12-x －x 21-＋1有意义，则x 的取值范围 是………………………（ ） （A ）x ≥2 1 （B ）x ≤2 1 （C ）x ＝2 1 （D ） 以上都不对 15、当a ＜0，b ＜0时，把 b a 化为最简二次根式， 得…………………………………（ ） （A ）ab b 1 （B ）－ab b 1 （C ）－ab b -1 （D ） ab b 16、当a ＜0时，化简|2a －2a |的结果是………（ ） （A ）a （B ）－a （C ）3a （D ）－3a 三、化简求值（每小题6分，共18分） 勾股定理典型例题归类总结 题型一:直接考查勾股定理 例1.在ABC ?中，90C ∠=?． ⑴已知6AC =，8BC =.求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长 跟踪练习: 1.在ABC ?中,90C ∠=?. （1）若ａ=5,b=1２,则c= ; （2)若ａ：b=3：4,c ＝15，则a ＝ ,b ＝ . （3）若∠Ａ=30°,ＢC=2,则A Ｂ= ,AC= . 2. 在Ｒt △A ＢＣ中,∠C ＝90°,∠Ａ,∠Ｂ，∠C 分别对的边为a ，b ，c,则下列结论正确的是( ) Ａ、 B 、 C 、 D 、 ３.一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为（ ) A 、2、4、6 B 、4、6、８ C 、6、8、10 D 、3、4、5 ４.等腰直角三角形的直角边为2，则斜边的长为（ ） A 、 B 、 C 、１ D 、2 ５.已知等边三角形的边长为2cm ，则等边三角形的面积为( ） A 、 B 、 C 、１ D 、 ６.已知直角三角形的两边为2和3，则第三边的长为_______＿___． 7．如图，∠AC Ｂ＝∠ABD=90°，AC=2，BC=1,,则ＢＤ=________＿_＿.? 8.已知△ＡＢC 中，AB=ＡC=1０,BD 是A Ｃ边上的高线，ＣD=２，那么BD 等于( ） A 、4 Ｂ、6 Ｃ、8 Ｄ、 ９.已知R ｔ△ＡBC 的周长为,其中斜边,求这个三角形的面积。 1０. 如果把勾股定理的边的平方理解为正方形的面积，那么从面积的角度来说,勾股定理可以推广． （1)如图,以Rt △ABC 的三边长为边作三个等边三角形，则这三个等边三角形的面积1S 、2S 、3S 之间有何关系？并说明理由。 (2)如图，以Ｒｔ△A ＢC 的三边长为直径作三个半圆,则这三个半圆的面积1S 、2S 、3S 之间有何关系? (３）如果将上图中的斜边上的半圆沿斜边翻折180°,请探讨两个阴影部分的面积之和与直角三角形的面积之间的关系，并说明理由。(此阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”） 绵竹实验学校第一次统一考试八年级（上） 数学试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1.21-的绝对值等于 （ ） A.2 B.-2 C.22 D.-22 2.三个正方形的面积如图（1），正方形A 的面积为（ ） A. 6 B. 36 C. 64 D. 8 3. 在式子()()()230,2,12,20,3,1,2x x y y x x x x y +=--++f p 中，二次根式有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 4.一个三角形的三边长分别是3，4，5，则这个三角形最长边上的高是（ ） A. 4 B. 310 C. 25 D. 512 3、函数y=11x -+中，自变量x 的取值范围是（ ）． A ．x ≥-1 B ．x>2 C ．x>-1且x ≠2 D ．x ≥-1且x ≠2 6、下列各组根式中，是可以合并的根式是（ ） A 、318和 B 、133和 C 、22a b ab 和 D 、11a a +-和 7..一只蚂蚁沿直角三角形的边长爬行一周需2秒，如果将直角三角形的边长扩大1倍，那么这只蚂蚁再沿边长爬行一周需（ ） A.6秒 B.5秒 C.4秒 D.3秒 8..如图，△ABC 和△DCE 都是边长为4的等边三角形，点B 、C 、E 在同一条直线上，连接BD ，则BD 的长为（ ） A.3 B.32 C.33 D.34 学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：___________ …………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………… 密封线内不得答题 __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ ______ ____ __ __ __ __ __ __ __ ______ __ __ __ __ __ __ __ __ __ ____ ____ __ __ __ ____________ … … … … … … … … … … … …………… …… … … … … … ……… …… … … … … … … … …… …… … … … … … … … ……… … … … … …………………………………………______________________________________________ 图（1 A 100 64 二次根式与勾股定理测试卷（满分100） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 若x<0，则x x x 2 -的结果是（ ） A ．0 B ．—2 C ．0或—2 D ．2 2.若最简二次根式 a a 241-+与是同类二次根式，则a 的值为 （ ） A.43-=a B.3 4 =a C.1=a D.1-=a 3.设a b a 1 ,322=-=，则a 、b 大小关系是( ) =b ＞b ＜b ＞-b 4. 直角三角形一直角边长为12，另两条边长均为自然数，则其周长为( ). D.不能确定 5. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ） 1524 25 20715 2024 25 157 25 20 24 257 202415 (A) (B) (C) (D) 6. 如图小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD 的面积是 ( ) A .25 B. 12.5 C. 9 D. C 7.△ABC 是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地.已知∠A=150°，AB=30米，AC=20米，如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮a 元计算，那么共需要资金（ ） a 元 a 元 a 元 a 元 8．△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为（ ） A ．42 B ．32 C ．42 或 32 D ．37 或 33 9.如图，AB ⊥CD 于B ，△ABD 和△BCE 都是等腰直角三角形，如果CD=17，BE=5，那么AC 的长为（ ）. .7 C 10．已知，如图长方形ABCD 中，AB=3cm ， AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合， 折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ） A.3cm 2 B.4cm 2 C.6cm 2 D.12cm 2 二、填空题（每小题3分，共21分） 11.若要使 x x -2有意义，则x________ 12．若10182 22=++x x x x ，则x 等于 13．若x ，y 是实数，且2 1 11+ -+- 的 面 积 与 小 正 方 形 面 积 的 和 为 S = 4 ? ab + c 2 = 2ab + c 2 大正方形面积为 = (a + b ) ? (a + b ) ， S = 2 ? ab + c 2 ，化简得证 梯形 2 2 2 八年级下册勾股定理知识点和典型例习题 一、基础知识点： D H C １．勾股定理 E F G 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为 a ， b ，斜边为 c ，那么 a 2 + b 2 = c 2 ２.勾股定理的证明 A b b a c B a 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 a c c b 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形通过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 b c c a ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 a b 常见方法如下： A a D 方法一： 4S + S ? 正方形 EFGH = S 正方形ABCD ， ，化简可证． c b 方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形 1 2 S = (a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2 所以 a 2 + b 2 = c 2 1 1 1 方法三： S = 2S + S 梯形 ?ADE ?ABE c B b E a C ３.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角 三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在 ?ABC 中， ∠C = 90? ，则 c = a 2 + b 2 ， b = c 2 - a 2 ， a = c 2 - b 2 ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实 际问题 ５.勾股定理的逆定理 如果三角形三边长 a ， b ， c 满足 a 2 + b 2 = c 2 ，那么这个三角形是直角三角形，其中 c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角 形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和 a 2 + b 2 与较长边的平方 c 2作比较，若它们相等时，以 a ， b ， c 为三边的三角形是直角三角形；否则，就不是直角三角形。 ②定理中 a ， b ， c 及 a 2 + b 2 = c 2 只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长 a ， b ， c 满足 a 2 + c 2 = b 2 ，那么以 a ， b ， c 为三边的三角形是直角三角形，但是 b 为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直 角三角形 ６.勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即 a 2 + b 2 = c 2 中，a ，b ，c 为正整数时，称 a ，b ， c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5 ； 6,8,10 ； 5,12,13 ； 7,24,25 ，8,15,17 等 ③用含字母的代数式表示 n 组勾股数： . 下载可编辑 . 八年级下数学单元测试 二次根式和勾股定理 （时间：120分，满分150分） 一、精心选一选（本题共10个小题，每小题只有一个正确选项，每小题4分，共40分。） 1. 下列结论正确的是------------------------------------------------------------------------------------（ ） A. -2)6(-=-6 B. (-3)2=9 C.2)16(-=±16 D.-(- 2516)2=25 16 2. 已知2)9(-的平方根是x ，64的立方根是y ，则x+y 的值为-----------------------------（ ） A. 3 B. 7 C. 3或7 D. 1或7 3. 若a 2=4，b 2=9，且ab ＜0，则a -b 的值为-------------------------------------------------------（ ） A. - 2 B. -5或+5 C. 5 D. -5 4. 下列说法中正确的是--------------------------------------------------------------------------- -----（ ） A. 已知a ，b ，c 是三角形的三边，则a 2+b 2=c 2; B. 在直角三角形中，任两边的平方和等于第三边的平方; C. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，所以a 2+b 2=c 2; D. 在Rt △ABC 中，∠B=90°，所以a 2+b 2=c 2。 5. 已知一个直角三角形的三边的平方和为1800 cm 2，则斜边长为---------------------------（ ） A. 30 cm B. 80 cm C. 90 cm D. 120 cm 6. 已知xy >0，化简二次根式x 2x y -的正确结果为--------------------------------------------（ ） A. y B. y - C. y - D.y -- 7. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，则点C 到AB 的距离是------------------（ ） A. 12 5 B. 425 C. 34 D. 9 4 8. 一直角三角形的三边分别为2，3，x ，那么以x 为边长的正方形的面积为-------------（ ） A. 13 B. 5 C. 13或5 D. 4 9. 已知一直角三角形的木板，三边的平方和为1800 cm 2，则斜边长为---------------------（ ） A . 30 cm B. 80 cm C. 90 cm D. 120 cm ……………密……………封……………线……………内……………不……………准…………… 座号N O .______ 班级______ 姓名__________ ①考生要写清姓名、班级及座号 ②答题时，字迹要清楚，卷面要整 ③考生不准作弊，否则作零分处理 注 意 事 项 八年级下册勾股定理知识点归纳 形 ６.勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25，8,15,17等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）； 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数） ７．勾股定理的应用 勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解． ８.勾股定理逆定理的应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错 A B C 30° D C B A A D B C 误的结论． ９.勾股定理及其逆定理的应用 勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形： 二、经典例题精讲 题型一：直接考查勾股定理 例１.在ABC ?中，90C ∠=?． ⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长分析：直接应用勾股定理222 a b c += 解：⑴2210AB AC BC =+ ⑵22 8BC AB AC =-= 题型二：利用勾股定理测量长度 例题1 如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？ C B D A二次根式和勾股定理数学测试题
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