高等量子力学复习
主讲老师：张盈
记录整理：王宏辉
开始第一节课我们告诉大家了，什么是高等量子学，它和普通量子学的一个区别。其实按理说这门课学完，我们应该回过头来想一想，为什么？至少你可以通过描述一个问题来回答清楚，比如说量子力学适用于研究怎样的对象？
这个问题并不是那么好回答，不能简单的说低速的就可以，微观的就行，不是这么简单。那么它有几个层次。
一个就是量子力学和薛定谔方程实际上是不一样，不能把薛定谔方程适用的对象看成是量子力学的对象。这个我给大家说过吧，因为你像狄拉克方程啊，克莱因-戈登方程都属于量子力学。所以量子力学适用于研究的对象是量子力学搭建的这个理论构架所适用研究的对象。这是我们说的第一个层次，你要区分量子力学和薛定谔方程。
第二个层次，你要从量子力学的基本原理，或者说薛定谔方程里面，其他的方面看出来，它适用研究的对象，为什么具有这个特点。也就是说，你说它适用于微观，我们从薛定谔方程或者狄拉克方程里面，怎么能看出来它适用微观。你说它适用于也就是这种粒子数不变的体系，你要能说明这一点，这个方程的体系里面，要能把这些东西对应上。这是第二个层次。
所以回答这个问题的时候应该是站在高等量子的高度，从你们学过的这个课程的基础之上来回答，不再是像以前那个量子力学低速微观OK。简单是这样子。所以这个问题有时候蛮复杂的。
首先我们说这门课的时候，你要理清几个大块，也就是我们这几章。
在第一个大章里面，我们给大家介绍的是量子力学的一个理论的构架。在这个理论构架里面，我们先给大家讲了三条基本假设，大家还能举起来吗？第一条：态，就是关于希尔伯特空间的。第二条：厄米算符是力学量的候选者，第三条：统计解释。
那么我们一个一个来回顾一下。
第一条假设，物理的状态对应希尔伯特空间中的一个矢量，更准确的说，实
质上是希尔伯特空间中的一个射线。因为它与长短无关，长短可以约化掉。那么怎样的空间是一个希尔伯特空间？希尔伯特空间，首先它是一个线性空间；然后它是一个复数空间；其次，在这个线性空间里要求定义了内积（希尔伯特空间：定义了内积的线性复数空间）。所谓定义了内积，就是这内积是一个有意义的量。你以某种方式定义了你的内机，要满足一些要求。如果我们把它退缩到我们的波函数来说的话，其实就是要求波函数平方可积。如果它不是平方可积的，那么你没有一个很好内积定义。比如这个体系里面必须所有波函数都可以归一化。
为什么这个体系是复数的，为什么是线性的，为什么要定义内积？
为什么是线性的？
这跟态叠加原理是有关系的。实质上是波动性与粒子性的结合。当你允许它有叠加原理的时候，实质上就承认了它的一个波动性的存在，而且是一个状态和另一个状态的叠加。两个状态之间是有干涉的，这就是一种波动的体现，不是一个确定的路径。
为什么是一种复数空间呢？
从物理的要求上说它为什么是复空间？你也可以有不同的层次回答这个问题。比如我们可以说从薛定谔方程看，一个叠加实质上是带复系数的叠加。那么你撇开薛定谔方程看的话，实际上我们的内积这样一个量，它可以是实的可以是复的。内积不一定实的，内积是振幅，内机的模方才是物理量。所以只要保证内积的模方是实的，内积有可能是实的，有可能是复的。所以α和β的内积，也可以等于β和α的内积。也可以是a倍α和β的内积，这都是可以的。从这个角度讲，它这个空间应该是复。
为什么要定义内积呢？
因为波函数或者说我们的态实质上是没有一个物理对应，我们要给它找一个物理对应，就必须找一个具有观测量性质的量。这个量应该在我们这个体系里至少实的，所以我们定义了内积，这样才可以把波函数跟物理的观测联系起来。
这是我们的几个理解。
第二条基本假设：希尔伯特空间中，物理量是厄米的，或者说厄米算符是物理量的一个候选者。那么厄米算符是什么？厄米算符的定义：A=A+。也就是厄米算符作用在左矢上和作用在右矢上效果是一样的。换一种表述，每一个算符其
实都有一个对应的厄米共轭算数。这两部分可以不相等，算符作用在左矢上就等于厄米共轭算符作用在右矢上。或者反过来，算符作用在右矢等于厄米共轭算符作用在左矢上。这时候我们就能定义算符的厄米共轭算符。如果厄米共轭算符和算符相等的时候，算符作用在左矢和右矢上是一样的。这个就叫厄米算符。厄米算符有一些基本性质。厄米算符的本征值都是实数，对应不同本征值的本征态是正交的，所有本征态的集合是完备的。这和我们的物理观测、跟实验测量值、物理量性质是一一对应的。这个大家一定要理解。这是我们给大家说的厄米算符。
我们从哪些角度来研究厄米算符呢？我们怎么去找到厄米算符？
我给大家其实是花了很大的精力去讲这个变换。物理上经常有一种变换之后是体系不变的，存在的对称性。这种对称性按照我们之前大家介绍的魏格纳定理：这个变换对应在数学上对应成一个线性幺正算符，或者反线性反幺正算符。这些线性幺正的算符，如果对于连续变换，升到指数上，那个肩膀上的提出一个i因子那个量，就是一个物理量的候选者。也就是物理量在变换中所承担的角色，其实是一个变换的生成元。这个算符的作用方式决定了变换的变换方式。我们把前前后后的东西统一起来来说。物理上只研究两种算符：幺正算符、厄米算符。它们的关系：幺正算符是一个变换，厄米算符是变换的生成元。
我们再往下给大家介绍内积。统计解释：从波函数的角度，波函数的模方代表几率密度。这个是最初的一种版本。那么如果撇开了我们的坐标表象的时候，我们可以用狄拉克符号下的内积的定义。一个抽象的物理态，如果处在α状态，那么我们说这种α状态有怎样的观测值呢？当你去做一个物理量的观测，这个物理量是物理可观测量A。这个A有一个完备集：A的本征态。那么你去看看α态里面每一个A的测量值的比重有多大，你就需要把它分解到A的表象下去。这是一个分解系数，它相当于A的i态占多少。也就是说，当我们插入这个完备性关
系时，那我们把这部分插进去，这一部分是系数C
i 。这个C
i
就表达了α这样一个
抽象的态里面,观测A物理量,出现i这个物理观测值的几率有多大。所以这个系
数C
i
的模方就代表了i在我们体系中占了多大的几率。这是最一般性的。比如说
A物理量是一个位置，那么i就是位置本征态，C
i
就表达在i位置本征态的几率有多大。因为这个i现在是连续的，所以当把它记成函数的性质，继承下标的形式，它其实就是我们说的波函数，波函数的模方代表几率密度，α态里面处在位
置为x处的几率密度是多大。所以这两个的统计解释是一样的。就把这个作为一
般性的统计解释。
就代表如果把这个A换一个力学量，它是能量，而且写成几个能量，那么C
i
就代表一个动量分处在第i个能量本征态的几率有多大。如果这个A是动量，C
i
布，代表波函数分解到动量空间，动量为i几率有多大。内积的定义，内积物理本质就是几率。
这里面涉及狄拉克记号。狄拉克记号分成左矢和右矢。右矢|α>我们把它看成一个列矢量，要把基矢写出列矢量。它的每一个系数就是分解到我们本征态上的系数值。左矢<α|是右矢|α>的厄米共轭：复共轭和转置，它会把一个列矢量变成一个行矢量。|α><α|每一个对角元上出现的就是一个实数。
我们在数学上要分三种形式:一种是数，一种是矢量，一种是矩阵。对应于物理：内积、本征值都是数；态是矢量，左矢量是行矢量，右矢量是列矢量；算符是一个矩阵，这个矩阵会把一个态变成另外一个态。这就是矩阵力学。那么我们说一个算符的矩阵表示实质上是求这个算符的每一个矩阵元。当你给出了每一个
矩阵元依赖于两个下标的时候，这就算符的矩阵表示。算符的矩阵元的定义：A
ij 是作用在左矢为i，右矢为j的内积上。这就是我们给大家说的矩阵力学和狄拉克记号。
当给你一个完备集，这里面有3个物理状态的时候，你能够造出几个独立的算符？能够构造出9个。我们说的算符其实是一个矩阵，所以它写成矩阵形式A=|i> 后面我们还给大家介绍了一个内容叫表象。表象，直观的想象就是我们选择的坐标系，就是选择在哪一组力学量的完备基上去做分解。我们把所有的东西都放在这一组选定的完备基上，就会让我们的体系变的具体，不再是抽象的矢量α。当选择这个完备基的时候，这个就是我们选择的表象。表是表示、表达的意思，象是让它具有一个更直观的图像。在不同表象之间，可以做变换：可以从有限维 的变成无穷维的，可以从维数为N的变成维数为M的。但是这个表象变换矩阵一定是一个幺正的矩阵。为什么呢？因为做表象变换是我们给它选择坐标系，它物理的内容就是抽象的这样一个几何矢量。因为这个几何矢量不管在哪个坐标系下表达应该是一样的。我们选择表象就是选择不同的观测方式，这种人为选择的不同的观测方式，不会影响最终的物理结果。所以我们的表象变换是不变，表象变换是一个幺正变换，也就是内积的左右两边都做表象变换的时候，内积不会改变。 哪些量是表现变换不变量？所有的可观测量全部都是。那么可观测量都有哪些呢？本征值，本征值就是一个可观测量，我们看到任何东西的时候，看到的都是本征值。内积，内积是一个几率。还有哪些？迹，算符矩阵可能不是一个对角矩阵，但是你可以通过做一个相似变换，把它变成对角矩阵。迹在做相似变换的时候是不变，这个是线性代数告诉我们的。那么不管在哪一个表象下，迹都是一样的。当算符矩阵写在自身表象下的时候，就是一个对角矩阵，所以迹相当于算符的本征值谱求和（我们把所有本征值构成的集合称为它的谱）。所以迹也是一个不变量。行列式也是一个不变量，行列式这个不变量在物理里面用处不那么多。可能你们在研究会用到，那么你们要会证明它们是物理的不变量。 这是给大家复习的基础部分，量子力学的原理。然后我们就切入我们的正题，开始讲量子力学。 第一章开始给大家介绍的是S-G实验。S-G实验的装置要记下来。银加热成为银蒸汽，发射银离子。那么银离子的自旋有什么特点呢？银离子相当于一个自旋为1/2的旋量粒子，相当于一个费米子。你们要会分析为什么选择银。做S-G 实验有什么实验结果呢？加了一个磁场，它在磁场的方向上进行了分裂，原来打到一个点的，现在分裂成两个点。 这个实验能说明很多问题。能说明加的磁场和体系里面的一个量产生了相互作用，这个量就是自旋。这个产生相互作用的内部空间是二维的，就分裂成了两个，银离子的状态实质上是一个简并的状态，也就是自旋向上和自旋向下对应相同的能量。当你加了磁场之后，磁场会造成不同自旋方向的态的运动不一样，所以这是一个二维的内部空间。两个斑点的大小是一样的，说明里面自旋向上和自旋向下态的比例各占一半。 S-G实验可以做连续的:一个S-G实验再接一个S-G实验。通过这种S-G实验 可以研究清楚自旋的一些性质。比如说我们加了一个X 方向的磁场，我们会看到在X 方向的斑束分成两半。堵掉一个X 方向的斑束，再加一个Y 方向的磁场，你会发现它在Y 方向又分裂成两个斑束。再堵掉一个Y 方向的斑束,再在X 方向加磁场，那你会发现X 方向又分裂成两个斑束。这个原因在哪里？不管你从哪个角度讲：X,Y 方向观测不相容、分解、类比偏振，都是可以的。自旋是一个很好的不相容的例子。这个要会解释。 我们根据S-G 实验构造了一些自旋的性质。在一个内部的二维空间，选择Z 方向自旋朝上和朝下的态，分别是|+>,|->。我们可以拿这两个态来构造我们的S x 、S y 、S z ，3个自旋分量的算符表示。这个二维的内部空间，它的态能够构造4 个独立的算符。在自旋的Z 方向的表象下来写的话，这4个应该是|+><+|、|+><-|、|-><+|、|-><-|。S x 、S y 、S z 分别是哪几个算符？这个要能记得下，你也会推 导。 构造出来的S x 、S y 、S z 是用抽象的狄拉克记号来写。如果把算符写成一个矩 阵，这个2×2的矩阵把 拿掉，就是一个泡利矩阵。泡利矩阵的写法并不是唯一的。标准泡利矩阵的形式一定要记下来。泡利矩阵的特点：无迹、本征值是±1。泡利矩阵满足一些对易和反对易的关系式。你要记得。 后面我们又给大家介绍了不确定关系。因为接着S-G 实验，不相容的物理量 会怎么样，相容的物理量会怎么样？对不相容的物理量，满足一个不确定关系。这种不确定关系我们是给大家做了严格证明的。还记得吧？我们给大家介绍了三个引理：第一个引理是Schwarz 不等式；第二个引理是厄米算符的本征值是春实数；第三个引理是反厄米算符的本征值是纯虚数。用这三个引理就推导出来了不确定关系: |<[A,B]>|2。 <(?A)2><(?B)2> ≥1 4 这个不确定关系式子适用于什么情况呢？只要A、B是两个物理量，不管相容还是不相容，都适用。不确定关系的含义是同时测量物理量A和B的时候，测量值会满足这样一个不确定关系。一般性的测不准关系是对一个时刻点而言的。 我们说了一种不是物理量的情况：时间-能量测不准关系。在某一个特定的时刻无偏差的测得体系的能量处在一个无偏差的能量本征值上，这两个都是精准的，而不允许你不同时去测。时间-能量测不准关系是对于一个过程而言，必须经历一段过程。在这个过程里面能量的起伏和我们的时间的长度之间满足一个测不准关系。通常我们会把这个能量选择成最高的或最低的，把时间选择成能量最高的和最低的之间经历的时间，都是一个典型值，这样你会发现它满足时间-能量测不准关系。时间-能量测不准关系更多的是在原子物理里面，或者粒子物理里面，估计粒子寿命。这是我们给大家介绍的时间-能量测不准关系。 再往下，我们开始给大家介绍空间平移。我们首先介绍了位置本征态的一些性质。我们给位置本征态做一个不固定长度的平移，体系应该在这样一个变换下不变。因为它代表了在空间上由平移关系联系的两个观测者对于同一个物理事件观测的时候，描述是一样的，这是一种对称性。A和B两个观察者站在两个空间点上，这两个空间点是一个平移变换联系的，那么他俩看到东西应该是完全一样的。所以我们说空间平移实质上是一种物理。 我们定义了一个平移变换，这个平移变换实际上是一个有限大的平移变换。我们不要求我们的a具有一个固定的长度。 这个空间平移变换具有一些性质。 首先是可以叠加的。一个长的平移可以分成两个短的平移的叠加、一段一段的平移的叠加。空间平移变换里面单位元，有逆元，所以它形成了一个群。这个群，用我们后面的话来说，它实际上是一个空间的对称性，是一个空间的连续对称。（对称性分类：时空对称性、内部空间对称性；连续的对称性、离散的对称性）空间平移变换所组成的群是一个李群（连续群）。这个李群可以在单位元附近的一个无穷小的邻域内去研究它的性质，它的性质可以通过分析扩展到一个有限大。无穷多个无穷小平移累积起来就得有限大。所以它的所有性质都在无穷小的邻域内可以体现。我们把在邻域内作用在态上的变换，写成一个幺正变换算符。 我们说这里不是作用在X上面，而是作用在一个X的本征态上。把它写成一个幺正算符的时候，因为X等于0的时候，它会趋向于单位元E，没有平移。 基本的量子力学原来的一些假设性的东西，最早学量子力学的时候，是从我们的一种类比的方法得到的。现在我们可以基于对称性推导，所以这些不再成为量子力学里面的假设。这些推导大家都要会。 空间平移讲完之后，我们给大家的另一个对称性叫时间演化，也就是时间平移。时间演化和空间平移类似。我们把空间平移的故事在时间演化上重新刷了一遍。通过时间演化推导出来的最重要的关系式是薛定谔方程（关于态的时间演化方程）。 我们往下给大家介绍了绘景。绘景相当于建立了一个随物体运动的坐标系（活动表象或者叫自然坐标）。当在这个自然坐标系里面运动的时候，物体是不动的，但基矢量是随时间变化的。 常用的绘景：薛定谔绘景、海森堡绘景、相互作用绘景。薛定谔绘景下，态随时间演化，算符随时间不变。海森堡绘景下，态不随时间改变，算符随时间变化，算符承担了体系时间演化。 通过时间的的反向演化，让态变到t=0时刻去，态就不变，但相应的算符会在这样一个体系的变换下改变。这时候承担体系时间演化的任务就不再是我们的态，态的时间演化就是薛定谔方程，那么现在薛定谔方程就等于成了平庸的了，我们有了一个新的和薛定谔方程相类似的方程。这方程是什么？这个方程就是海森堡方程： 海森堡方程要会推导。海森堡绘景的难易程度和我们的薛定谔绘景是一样的，它并没有降低难度。我们更常用的，实际上是在我们高能物理里面的另一种绘景：相互作用绘景。相互作用绘景的含义是什么呢？我们把粒子自由的把一部分哈密 顿量拿出来，和相互作用的哈密顿量分离开。我们做海森堡绘景这样一个时间反向演化的时候，我们是用自由的哈密顿量来反向演化。这时候我们的薛定谔方程就只依赖于相互作用的哈密顿量。我们就可以按照相互作用的次序，一级的对它来展开，方便我们高能物理计算。相互作用绘景的好处：可以把相互作用一次一次地分开。一次相互作用的影响可能会大一点，有的体系里面会发生了一次相互作用之后，再发生第二次相互作用，这种几率就会小一点，贡献会小一点，它就会作为高阶项，发生三次四次就可以作为更高阶的项修正，方便我们控制相互作用的大小。这是我们说的相互作用绘景。如果大家不是研究高能物理的话，我相信这种东西不是经常用到。 再往下，其实给大家已经说了，e指数的肩膀上在时间演化的时候是一个哈密顿量，在空间平移时是一个动量。当我们把这些东西集成到一个双缝实验里面来，双缝实质上是在两个地方开了个口，到达屏上的状态是通过第一条路径和第二条路径，两个路径的叠加。我们说可以把这个屏上缝开的无限多，也就是每一个缝都可以通过，另外我们可以在任意位置来加装开了无限多缝的屏，也就相当于你在空间中不违反时间原则（沿着时间的正向），你画任意一条路径，都有可能对双缝实验的最终的屏上的条纹产生影响。这时候就不再是双缝了，是一个多屏多缝实验，无穷多的屏幕，无穷多的缝，每一条路径对最终的状态都有贡献，只是贡献的大小不一样，贡献的大小不是取决于哈密顿量，而是取决于作用量，这就是我们讲的路径积分。路径积分会把量子的贡献和经典的贡献最方便的联系起来。根据路径积分的思想，每一条路径都会对最终的末态有一个贡献，每一条路径的贡献就是S作用量。那么什么时候贡献最大呢？因为这个S要除一个的的，非常非常的小，所以当S是相对比较大的相互作用量的时候，它的震荡会非常剧烈，这种剧烈的震荡会抵消掉。所以只有当S，取到最小值的时候，严格说S是等于0的时候，贡献最大。那么S未必能取到零，它可能有一个最小值，也就是S=S min+S′,那么我们可以重新定义，我们可以在这个体系里面把S min部分扣除掉，因为每一条路径都有S min，我们只关心两个不同路径之间的相对值，S′这部分影响绝对权重。所以最小作用原理，翻译过来就是作用量等于0的原理。所以只有作用量最小值的时候，对应S=0的那一条路径，贡献最大,这就是最小作用原理给出来的经典路径，也就是我们的运动方程所指示的路径。这 部分大家注意体会啊，能把你拔到多高，量子力学理解多深就靠这个。作用量是物理上最核心的一个量，你对作用量的理解的深度决定你对物理的理解深度。这是我们给大家说的路径积分。 再往下我们给大家介绍一个新的章节，叫相对论量子力学。量子力学里面没有光速c，不满足相对论性。我们要把量子力学过渡到适合于描述高速运动，微观体系，这时候我们就需要相对论量子力学。量子力学最早构想的基础是波粒二象性。我们有用动量、能量的这样一些算符，我们把它微分下来，按照能量等于动能加势能的方式去确定方程。这个方程是经典的，非相对论的。我们把式子替换成质能关系式的时候，对应的方程就应该是一个相对论的量子力学方程。第一个得到的相对论量子力学方程是克莱因-戈登方程。克莱因-戈登方程形式上很漂亮，而且是相对论协变的，显然满足相对性，但是它有一些缺点（这些缺点，大家一定要记住）：不定域、几率不正定（所以波函数模方不代表几率）、负能量、跟实验对不上等。但是克莱因-戈登方程建立过程整合了薛定谔方程建立的思路，能在低能的时候回到薛定谔方程，所以里面有对的。克莱因-戈登方程很快就被淘汰了。 出来的下一个相对论量子力学方程是狄拉克方程。狄拉克方程怎么构造呢？就想把这个负的能量开方开掉。它不是直接取负能，它是取正质量。把质能关系式写出质量怎么怎么，然后开根号。这里面有就有动量和能量，就有对时间的微分，就对空间的微分。那么狄拉克就想象开出来的这个形式，首先是一个线性，依赖于一阶导数。用待定系数办法，他把这个系数写下来，然后写了一个方程，他让这个方程在作用一次的时候要回到克莱因-戈登方程，定出来系数所满足的关系。这些系数就是当时的α和β，这个α和β满足的关系式，不是数关系式，而是一个矩阵的关系式。矩阵的形式和泡利矩阵比较像，但多一个。泡利矩阵在二维空间的，所以维数还得往上升，至少还得再加两维。所以狄拉克方程是在四维空间建立的。 狄拉克方程写下来之后，给我们了一个新的空间，这个空间就是它的系数所打造的一个内部四维空间。我们暂时不知道它是什么。那么我们对狄拉克方程进行了求解，这个求解的过程用的方法是寻找共同本征态。 我们寻找了它的所有守恒量，对应的守恒量的共同本征态，是比狄拉克方程 的解更大的一个完备集。所以要在这里面要挑一些满足一定关系的共同本征态。我们把这些共同本征态代到狄拉克方程里面去作为约束。在这个过程中，我们寻找了哪些物理量的共同本征态？用于寻找共同本征态的物理量：能量、动量、螺旋度（螺旋度：自旋在运动方向上的投影）。 狄拉克方程的解存在负能量，狄拉克用负能海解释负能量，预言了正电子，正电子被实验所证实。那么为什么里面会有正电子呢？如果回过头来说，这里面有一个CPT定理，也就是在电荷共轭变换，P宇称反演，时间反演，这三个联合变换下体系是不变的。所以把带正的能量的负电荷和负的能量的正电荷通过电荷共轭联系，向前运动的和向后运动的通过宇称变换联系，向前演化的和向后演化的通过时间反演联系，就能够把向前运动一个电子替换成向后运动的一个正电子。所以正电子在狄拉克方程中自然而然地体现。这段历史大家要明白。 狄拉克方程适用于研究费米子，也就是自旋为1/2的粒子。在确定狄拉克方程中的系数时，是把狄拉克方程中的算符同步作用一次回到克莱因-戈登方程，也就相当于角动量为1/2的体系与另一个角动量为1/2的体系的叠加（叠加得到角动量可能的结果0、±1），克莱因-戈登方程适用于研究自旋为0的粒子。2012年，世界上首次找到了自旋为0的基本粒子：x粒子。 相对论量子力学我们就大家回顾完了。 下一章介绍了对称性：宇称对称性、格点变换、时间反演（趋势）、具有固定长度的平移。 最后讲了角动量和自旋： ?角动量：SU(2)李代数群。 ?自旋内部空间以4Π为周期。 ?C-G系数：C m ≡ 1m2;jm ?直积空间的直和分解。 练习 6.1 在ψ按A 的本征矢量{}i a 展开的（6.1）式中，证明若ψ 是归一化的，则 1=∑*i i i c c ，即A 取各值的概率也是归一化的。（杜花伟） 证明：若ψ是归一化的，则1=ψψ。根据(6.1)式 ∑=i i i c a ψ, ψi i a c = 可得 1===∑∑* ψψψψ i i i i i i a a c c 即A 取各值的概率是归一化的。 # 练习6.2 (1) 证明在定态中,所有物理量取各可能值的概率都不随时间变化,因而,所有物理量的平均值也不随时间改变. (2) 两个定态的叠加是不是定态? （杜花伟 核对：王俊美） (1)证明：在定态中i E i H i = , Λ3,2,1=i 则 ()t E i i i i t η -=ψ 所以 i A i e i A e A t E i t E i i i ==-η η ψψ. 即所有物理量的平均值不随时间变化. (2)两个定态的叠加不一定是定态.例如 ()()()t E i t E i e x v e x u t x 21,η η --+=ψ 当21E E =时,叠加后()t x ,ψ是定态;当21E E ≠时, 叠加后()t x ,ψ不是定态. # 6.3证明：当函数)(x f 可以写成x 的多项式时，下列形式上含有对算符求导的公式成立： ) (]),([)()](,[X f X i P X f P f P i P f X ?? =?? =ηη （解答：玉辉 核对：项朋） 证明：（1） ) ()()()()()()()()](,[P f P i P i P f P i P f P f P i P i P f P f P i X P f P Xf P f X ??=??-??+??=??-??=-=ηηηηηηψψ ψψψ ψψ ψψ 所以 )()](,[P f P i P f X ?? =η （2） ) () ()())(())(()()())(()()(]),([X f X i X f X i X i X f X i X f X f X i X i X f X Pf P X f P X f ??=?? --??--??-=?? --??-=-=ηηηηηηψψψψψ ψψ ψψ 所以 )(]),([X f X i P X f ?? =η # 练习6.4 下面公式是否正确？（解答：玉辉 核对：项朋） ),()],(,[P X f P i P X f X ?? =η 解：不正确。 因为),(P X f 是X 的函数，所以)],(,[P X f X =0 # 练习6.5 试利用Civita Levi -符号，证明：（孟祥海） （1）00=?=?L X ,L P （2）[]0=?P X L, （3）()()P X X P P X P X L ?-??-=ηi 22 2 2 证明： （1）∑∑∑∑=== ?ijk k j i ijk k j jk ijk i i i i i P X P P X P L P εε L P 上册 1.3 粒子在深度为0V ,宽度为a 的直角势阱(如图1.3)中运动,求 (a)阱口刚好出现一个束缚态能级(即0V E ≈)的条件; (b)束缚态能级总和,并和无限深势阱作比较 . 解 粒子能量0V E 小于时为游离态,能量本征值方程为: []0)(22''=-+ ψψx V E m (1) 令002k mV = ,β=- )(20E V m (2) 式(1)还可以写成 ?? ???≥=-≤=+）（阱外）（阱内4)(2,03)(2,022''2''a x a x mE ψβψψψ 无限远处束缚态波函 数应趋于0，因此式(4)的解应取为()2,a x Ce x x ≥=-βψ 当阱口刚好出现束缚态能级时,0,0≈≈βV E ,因此 2,0)('a x Ce x x ≥≈±=-ββψ （6） 阱内波函数可由式(3)解出,当0V E ≈解为 ()()2,s i n ,c o s 00a x x k x x k x ≤?? ?==ψψ奇宇称 偶宇称 （7） 阱内、外ψ和ψ应该连续，而由式（6）可知，2a x =处，0'=ψ， 将这条件用于式（7），即得 ,5,3,,02cos ,6,4,2,02 sin 0000ππππππ====a k a k a k a k 奇宇称偶宇称(8) 亦即阱口刚好出现束缚能级的条件为 ,3,2,1, 0==n n a k π （9） 即2 22202π n a mV = （10） 这种类型的一维势阱至少有一个束缚能级，因此，如果 2 2202π< a mV ，只存在一个束缚态，偶宇称（基态）。如果22202π = a mV ，除基态外，阱口将再出现一个能级（奇宇称态），共两个能级。如() 222022π= a mV ，阱口将出现第三个能级(偶宇称)。依此类推，由此可知，对于任何20a V 值，束缚态能级总数为 其中符号[A]表示不超过A 的最大整数。 当粒子在宽度为a 的无限深方势阱中运动时，能级为 ,3,2,1,212 =?? ? ??=n a n m E n π 则0V E ≤的能级数为 120-=?? ????=N mV a n π （12） 也就是说，如果只计算0V E ≤的能级数，则有限深)(0V 势阱的能级数比无限深势阱的能级数多一个。注意，后者的每一个能级均一一对应的高于前者的相应能级。 一、填空 1．量子力学中，描写微观粒子状态的波函数随时间的变化规律由 (薛定谔方程)给出． 2．一维线性谐振子的波函数n ψ的宇称为 ． 3．在z σ表象中，z σ的矩阵表示为 ． 4．泡利不相容原理指出不容许有两个全同的 处于同一个单粒子态． 5．高能粒子散射宜采用 方法处理，低能粒子散射宜采用 处理． 6．微观体系的状态由 完全描述，由此可以得出体系的所有性质．它一般应满足 、 、 三个条件． 1．几率守恒定律的微分表达式 ． 2．描述微观粒子的动量算符为?p = ． 3．两个厄密算符之和 （一定，不一定）为厄密算符． 4．原子置于外电场中，它发出的光谱线会发生分裂的现象称为 ． 5．体系的 具有确定值的状态称为定态． 体系处于定态时， 和 都与时间无关． 1．不能有两个或两个以上的 处于同一状态，这个结果称为泡利不相容原理． 2．算符在其自身表象中是一个 矩阵． 3．量子力学中，体系的任意态()x ψ可用一组力学量完全集的共同本征态()n x φ展开： ()()n n n x c x ψφ=∑，展开式系数n c = ． 4．用球坐标表示，粒子波函数表为(,,)r ψθ?，粒子在立体角d Ω中被测到的几率为 ． 5．如果一个力学量在经典力学中有对应的量，则表示这个力学量的算符由经典表示式中将动量p 用算符 代换得出． 6．满足 式的矩阵S 称为幺正矩阵，由幺正矩阵所表示的变换称为幺正变换．幺正变换 （改变、不改变）算符的本征值． 7．波函数应满足三个基本条件 、 、 ． 1．量子力学描述方式的特点是微观系统的运动状态用 完全描写． 2． 是指质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子． 3．粒子波函数为(,,)r ψθ?，则粒子在球壳d r r r →+中被测到的几率为 ． 4．一维无限深势阱中粒子的波函数n ψ的节点数为 ． 5．占有数表象中，产生算符? ?a 和湮灭算符?a 的对易关系为 ，一维线性谐振子的哈密顿算符?H 用? ?a ，?a 表示为 ． 6．量子力学中表示力学量的算符都是 算符，它们的本征函数组成 ．力 学量F 对应的算符?F 的本征方程为?n n n F φλφ=．当体系处于波函数()()n n n x c x ψφ= ∑所描写 的状态时，测量力学量F 所得的数值必定是算符?F 的 之一，测得n λ的几率是 ． 2 i i i j i j ± 第一章 1、简述量子力学基本原理。 答：QM 原理一 描写围观体系状态的数学量是 Hilbert 空间中的矢量,只相差一个复数因子的两个矢量，描写挺一个物理状态。QM 原理二 1、描写围观体系物理量的是 Hillbert 空间内的厄米算符( A ? )；2、物理量所能取的值是相应算符 A ? 的本征值；3、 一个任意态总可以用算符 A ? 的本征态 a i 展开如下： = ∑C i a i i C i = a i ；而 物理量 A 在 中出现的几率与 C i 成正比。原理三 一个微观粒子在直角坐标下的位置 算符 x ? 和相应的正则动量算符 p ? 有如下对易关系： [x ? , x ? ]= 0 ， [p ? , p ? ] = 0 ， [x ?i , p ? j ]= i ij 原理四 在薛定谔图景中，微观体系态矢量 (t ) 随时间变化的规律由薛定谔方程给 i ? ?t (t ) = H ? (t ) 在海森堡图景中，一个厄米算符 A ?(H ) (t ) 的运动规律由海森堡 方程给出： d A ?(H ) (t ) = 1 [A ?(H ), H ? ] 原理五 一个包含多个全同粒子的体系，在 dt i Hillbert 空间中的态矢对于任何一对粒子的交换是对称的或反对称的。服从前者的粒子称为玻色子，服从后者的粒子称为费米子。 2、薛定谔图景的概念？ 答： (x, t ) =< x |(t )>式中态矢随时间而变而 x 不含 t ，结果波函数ψ(x ，t )中的宗量 t 来自 ψ(t ) 而 x 来自 x ，这叫做薛定谔图景. ?1 ? ? 0? 3、 已知 = ?,= ?. 0 1 (1)请写出 Pauli 矩阵的 3 个分量； (2)证明σ x 的本征态 ? ? ? ? 1 ?1 ? 1 | S x ± >= ? = ? 1? (± ). 4、已知：P 为极化矢量，P=<ψ|σ|ψ>，其中ψ=C 1α+C 2β，它的三个分量为： 求 证： 2 2 高等量子力学习题 1、 对于一维问题，定义平移算符()a D x ，它对波函数的作用是() ()()a x x a D x -=ψψ，其中a 为实数。设()x ψ的各阶导数存在，试证明()dx d a x e i p a a D -=?? ? ??= ?exp 。 2、 当体系具有空间平移不变性时，证明动量为守恒量。 3、 若算符()x f 与平移算符()a D x 对易，试讨论()x f 的性质。 4、 给定算符B A ,，证明[][][]....,,! 21 ,++ +=-B A A B A B Be e A A ξξ。 5、 给定算符C B A 和、，存在对易关系[]C B A =,，同时[][]0,,0,==C B C A 。证明Glauber 公式C A B C B A B A e e e e e e e 2 12 1 ==-+。 6、 设U 为幺正算符，证明U 必可分解成iB A U +=，其中A 和B 为厄密算符，并满足 122=+B A 和[]0,=B A 。试找出A 和B ，并证明U 可以表示为iH e U =，H 为厄密 算符。 7、 已知二阶矩阵A 和B 满足下列关系：02 =A ，1=+++AA A A ，A A B + =。试证明 B B =2，并在B 表象中求出矩阵A 、B 。 8、 对于一维谐振子，求湮灭算符a ?的本征态，将其表示为谐振子各能量本征态n 的线性叠加。已知1?-=n n n a 。 9、 从谐振子对易关系[ ]1,=+ a a 出发，证明a e ae e a a a a λλλ--=+ +。 10、 证明谐振子相干态可以表示为 0*a a e ααα-+=。 11、 谐振子的产生和湮灭算符用a 和+ a 表示，经线性变换得+ +=va ua b 和 ++=ua va b ，其中u 和v 为实数，并满足关系122=-v u 。试证明：对于算符b 的任 何一个本征态，2 =???p x 。 12、 某量子体系的哈密顿量为，() 223 2 35++++= a a a a H ，其中对易关系[]1,=-≡++ + a a aa a a 。试求该体系的能量本征值。 13、 用+ a ?和a ?表示费米子体系的某个单粒子态的产生和湮灭算符，满足基本对易式 大学量子力学主要知识点复习资料，填空及问答部分 1能量量子化 辐射黑体中分子和原子的振动可视为线性谐振子，这些线性谐振子可以发射和吸收辐射能。这些谐振子只能处于某些分立的状态，在这些状态下，谐振子的能量不能取任意值，只能是某一最小能量 的整数倍εεεεεn ,,4,3,2,??? 对频率为 的谐振子, 最小能量为: νh =ε 2.波粒二象性 波粒二象性（wave-particle duality ）是指某物质同时具备波的特质及粒子的特质。波粒二象性是量子力学中的一个重要概念。在经典力学中，研究对象总是被明确区分为两类：波和粒子。前者的典型例子是光，后者则组成了我们常说的“物质”。1905年，爱因斯坦提出了光电效应的光量子解释，人们开始意识到光波同时具有波和粒子的双重性质。1924年，德布罗意提出“物质波”假说，认为和光一样，一切物质都具有波粒二象性。根据这一假说，电子也会具有干涉和衍射等波动现象，这被后来的电子衍射试验所证实。 德布罗意公式h νmc E ==2 λ h m p ==v 3.波函数及其物理意义 在量子力学中，引入一个物理量：波函数 ，来描述粒子所具有的波粒二象性。波函数满足薛定格波动方程 0),()](2[),(22=-?+??t r r V m t r t i ψψ 粒子的波动性可以用波函数来表示，其 中，振幅 表示波动在空间一点(x ,y,z )上的强弱。所以， 应该表示 粒子出现在点(x,y,z )附件的概率大小的一个量。从这个意义出发，可将粒子的波函数称为概率波。 自由粒子的波函数)](exp[Et r p i A k -?=ψ=ψ 波函数的性质：可积性，归一化，单值性，连续性 4. 波函数的归一化及其物理意义 常数因子不确定性设C 是一个常数，则 和 对粒子在点(x,y,z )附件出现概率的描述是相同的。 相位不定性如果常数 ，则 和 对粒子在点(x,y,z ) 2 (,,)x y z ψ(,,) c x y z ψαi e C =(,,)i e x y z αψ(,,)x y z ψ 量子力学期末试题及答案 红色为我认为可能考的题目 一、填空题： 1、波函数的标准条件：单值、连续性、有限性。 2、|Ψ（r,t）|^2的物理意义：t时刻粒子出现在r处的概率密度。 3、一个量的本征值对应多个本征态，这样的态称为简并。 4、两个力学量对应的算符对易，它们具有共同的确定值。 二、简答题： 1、简述力学量对应的算符必须是线性厄米的。 答：力学量的观测值应为实数，力学量在任何状态下的观测值就是在该状态下的平均值，量子力学中，可观测的力学量所对应的算符必须为厄米算符；量子力学中还必须满足态叠加原理，而要满足态叠加原理，算符必须是线性算符。综上所述，在量子力学中，能和可观测的力学量相对应的算符必然是线性厄米算符。 2、一个量子态分为本征态和非本征态，这种说法确切吗？ 答：不确切。针对某个特定的力学量，对应算符为A，它的本征态对另一个力学量（对应算符为B）就不是它的本征态，它们有各自的本征值，只有两个算符彼此对易，它们才有共同的本征态。 3、辐射谱线的位置和谱线的强度各决定于什么因素？ 答：某一单色光辐射的话可能吸收，也可能受激跃迁。谱线的位置决定于跃迁的频率和跃迁的速度；谱线强度取决于始末态的能量差。 三、证明题。 2、证明概率流密度J不显含时间。 四、计算题。 1、 第二题： 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球， 计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。 解：这种分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响。据题意知 )()(?0 r U r U H -=' 其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布，即 2004ze U r r πε=-（） )(r U 为考虑这种效应后的势能分布，在0r r ≥区域， r Ze r U 024)(πε-= 在0r r <区域，)(r U 可由下式得出， ?∞ -=r E d r e r U )( ???????≥≤=??=)( 4 )( ,43441 02 003003303 420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε ??∞ --=0 )(r r r Edr e Edr e r U ?? ∞ - - =00 20 2 3 002 144r r r dr r Ze rdr r Ze πεπε )3(84)(82 203 020*********r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤ ?? ???≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(?00022 2030020r r r r r Ze r r r Ze r U r U H πεπε 高等量子力学习题和解答 ? 量子力学中的对称性 1、 试证明：若体系在线性变换Q ?下保持不变，则必有0]?,?[=Q H 。这里H ?为 体系的哈密顿算符，变换Q ?不显含时间，且存在逆变换1?-Q 。进一步证明，若Q ?为幺正的，则体系可能有相应的守恒量存在。 解：设有线性变换Q ?，与时间无关；存在逆变换1?-Q 。在变换 若体系在此变换下不变，即变换前后波函数满足同一运动方程 ?''?t t i H i H ?ψ=ψ?ψ=ψ h h 进而有 2、 令坐标系xyz O -绕z 轴转θd 角，试写出几何转动算符)(θd R z e ρ的矩阵表示。 解： 'cos sin 'sin cos 'O xyz z d x x d y d y x d y d z z θθθθθ -=+=-+=考虑坐标系绕轴转角 用矩阵表示 '10'10'00 1x d x y d y z z θθ?????? ? ???=- ? ??? ? ?????? ??? 还可表示为 '()z e r R d r θ=r 3、 设体系的状态可用标量函数描述，现将坐标系绕空间任意轴n ρ 转θ d 角， 在此转动下，态函数由),,(z y x ψ变为),,(),()',','(z y x d n U z y x ψθψρ =。试导出转动算符),(θd n U ρ 的表达式，并由此说明，若体系在转动),(θd n U ρ 下保持不变，则体系的轨道角动量为守恒量。 解：从波函数在坐标系旋转变换下的变化规律，可导出旋转变换算符 ()z e U d θr 利用 (')()()z e r U d r θψ=ψ 及 (')()r Rr ψ=ψr r 可得 ()1z e z i U d d L θθ=-r h 通过连续作无穷多次无穷小转动可得到有限大小的转动算符 绕任意轴n 转θ角的转动算符为 1U U U -+=? 为幺正算符 若 (')()()z e r U d r θψ=ψr r r 则必有 1 (')()()()()[,] z z e e z H r U d H r U d i H r d H L θθθ-==+r r r r r h 若哈密顿量具有旋转对称性，就有[,]0z H L =→角动量守恒 4、 设某微观粒子的状态需要用矢量函数描述，试证明该粒子具有内禀自旋 1=S 。 解：矢量函数在旋转变换下 后式代入前式 '(')(')[](')[](')x x y y x y z z r r e d e r d e e r e θθψ=ψ++ψ-++ψr r r r r r r r r r 又 '(')'(')'(')'(')x x y y z z r r e r e r e ψ=ψ+ψ+ψr r r r r r r r 比较得 '(')(')(') ?[1]()[1]()[1]()() x x y z x z y z x y r r d r i i d L r d d L r i d L r d r θθ θθθθψ=ψ-ψ=-ψ--ψ=-ψ-ψr r r r r h h r r h 类似可得 ?'(')()[1]()?'(')[1]()y x z y z z z i r d r d L r i r d L r θθθψ=ψ+-ψψ=-ψr r r h r r h 《量子力学》考试知识点 第一章：绪论―经典物理学的困难 考核知识点： （一）、经典物理学困难的实例 （二）、微观粒子波－粒二象性 考核要求： （一）、经典物理困难的实例 1.识记：紫外灾难、能量子、光电效应、康普顿效应。 2.领会：微观粒子的波－粒二象性、德布罗意波。 第二章：波函数和薛定谔方程 考核知识点： （一）、波函数及波函数的统计解释 （二）、含时薛定谔方程 （三）、不含时薛定谔方程 考核要求： （一）、波函数及波函数的统计解释 1.识记：波函数、波函数的自然条件、自由粒子平面波 2.领会：微观粒子状态的描述、Born几率解释、几率波、态叠加原理（二）、含时薛定谔方程 1.领会：薛定谔方程的建立、几率流密度，粒子数守恒定理 2.简明应用：量子力学的初值问题 （三）、不含时薛定谔方程 1. 领会：定态、定态性质 2. 简明应用：定态薛定谔方程 第三章：一维定态问题 一、考核知识点： （一）、一维定态的一般性质 （二）、实例 二、考核要求： 1.领会：一维定态问题的一般性质、束缚态、波函数的连续性条件、反射系数、透射系数、完全透射、势垒贯穿、共振 2.简明应用：定态薛定谔方程的求解、 第四章量子力学中的力学量 一、考核知识点： （一）、表示力学量算符的性质 （二）、厄密算符的本征值和本征函数 （三）、连续谱本征函数“归一化” （四）、算符的共同本征函数 （五）、力学量的平均值随时间的变化 二、考核要求： （一）、表示力学量算符的性质 1.识记：算符、力学量算符、对易关系 2.领会：算符的运算规则、算符的厄密共厄、厄密算符、厄密算符的性质、基本力学量算符的对易关系 （二）、厄密算符的本征值和本征函数 1.识记：本征方程、本征值、本征函数、正交归一完备性 2.领会：厄密算符的本征值和本征函数性质、坐标算符和动量算符的本征值问题、力学量可取值及测量几率、几率振幅。 （三）、连续谱本征函数“归一化” 1.领会：连续谱的归一化、箱归一化、本征函数的封闭性关系 1、黑体辐射： 任何物体总在吸收投射在它身上的辐射。物体吸收的辐射能量与投射到物体上的辐射能之比称为该物体的吸收系数。如果一个物体能吸收投射到它表面上的全部辐射，即吸收系数为1时，则称这个物体为黑体。 光子可以被物质发射和吸收。黑体向辐射场发射或吸收能量hv的过程就是发射或吸收光子的过程。 2、光电效应（条件）： 当光子照射到金属的表面上时，能量为hv的光子被电子吸收。 临界频率v0满足 （1）存在临界频率v0，当入射光的频率v 7、一维无限深势阱（P31） 8、束缚态：粒子只能束缚在空间的有限区域，在无穷远处波函数为零的状态。 一维无限深势阱给出的波函数全部是束缚态波函数。 从（2.4.6）式还可证明，当n分别是奇数和偶数时，满足 即n是奇数时，波函数是x的偶函数，我们称这时的波函数具有偶宇称；当n是偶数时，波函数是x的奇函数，我们称这时的波函数具有奇宇称。 9、谐振子（P35） 10、在量子力学中，常把一个能级对应多个相互独立的能量本征函数，或者说，多个相互独立的能量本征函数具有相同能量本征值的现象称为简并，而把对应的本征函数的个数称为简并度。但对一维非奇性势的薛定谔方程，可以证明一个能量本征值对应一个束缚态，无简并。 11、半壁无限高（P51例2） 12、玻尔磁子 13、算符 对易子 厄米共轭算符 厄米算符：若，则称算符为自厄米共轭算符，简称厄米算符 性质：（1）两厄米算符之和仍为厄米算符 （2）当且仅当两厄米算符和对易时，它们之积才为厄米算符，因为 只在时，，才有，即仍为厄米算符 第一章 1、简述量子力学基本原理。 答：QM 原理一 描写围观体系状态的数学量是Hilbert 空间中的矢量,只相差一个复数因子的两个矢量，描写挺一个物理状态。QM 原理二 1、描写围观体系物理量的是Hillbert 空间内的厄米算符(A ?)；2、物理量所能取的值是相应算符A ?的本征值；3、一个任意态 总可以用算符A ?的本征态i a 展开如下：ψψi i i i i a C a C ==∑,；而物理量A 在 ψ 中出现的几率与2 i C 成正比。原理三 一个微观粒子在直角坐标下的位置算符i x ?和相应的正则动量算符i p ?有如下对易关系：[]0?,?=j i x x ，[]0?,?=j i p p ，[] ij j i i p x δ =?,? 原理四 在薛定谔图景中，微观体系态矢量()t ψ随时间变化的规律由薛定谔方程给 ()()t H t t i ψψ?=?? 在海森堡图景中，一个厄米算符() ()t A H ?的运动规律由海森堡 方程给出： ()()()[] H A i t A dt d H H ? ,?1? = 原理五 一个包含多个全同粒子的体系，在Hillbert 空间中的态矢对于任何一对粒子的交换是对称的或反对称的。服从前者的粒子称为玻色子，服从后者的粒子称为费米子。 2、薛定谔图景的概念？ 答：()()t x t ψψ|,x =<>式中态矢随时间而变而x 不含t ，结果波函数()t x ，ψ中的宗量t 来自()t ψ而x 来自x ，这叫做薛定谔图景. 3、 已知.10,01??? ? ??=???? ??=βα (1)请写出Pauli 矩阵的3个分量； (2)证明σx 的本征态).(211121|βα±=??? ? ??±>=±x S 4、已知：P 为极化矢量，P=<ψ|σ|ψ>，其中ψ=C 1α+C 2β，它的三个分量为： 求证： 答案：设：C 1=x 1+iy 1,C 2=x 2+iy 2 喀兴林高等量子力学习题E X2.算符 EX2.算符 2.1证明下列常用公式 （陈玉辉解答 项鹏核对 ） （1）C B A C A B BC A ],[],[],[+= 证明： C B A C A B C BA AB CA AC B BAC ABC BCA BAC BCA ABC BC A ],[],[][][] ,[+=-+-=-+-=-= （2）B C A C B A C AB ],[],[],[+= 证明： B C A C B A B CA AC CB BC A CAB ACB ACB ABC CAB ABC C AB ],[],[][][],[+=-+-=-+-=-= 2.2 若算符B 与],[B A 对易，证明： （陈玉辉解答 项鹏核对 ） ],[],[1B A nB B A n n -= 证明：],[],[],[],[111---+=?=n n n n B A B B B A B B A B A 将n 换成（n-1）,就有 ],[],[],[221---+=n n n B A B B B A B A ],[],[2],[],[],[],[2212211-----+=++=?n n n n n n B A B B B A B A B B B A B B A B A 重复这种递推过程（n-1）次，即得 ] ,[],[],)[1(] ,[],)[1(],[111)1(11B A nB B A B B B A n B A B B B A n B A n n n n n n n n -------=+-=+-= # 练习2.3 证明： （输入人：杜花伟 核对人：王俊美） （1）若A 有逆，a ≠0，则aA 也有逆，且1 11)(--= A a aA ； （2）若A,B 都有逆，则AB 也有逆，且111)(---=A B AB ； （3）})(1{)(111---+-=+B A B A B A ； （4）???+++=--------11121111)(BA BA A BA A A B A λλλ.(λ为复数); 证明：（1）若A 有逆，a ≠0，满足1,111==--aa AA ，则 11111==----AA aa A aAa 所以aA 有逆,且111)(--= A a aA . (2) 若A,B 都有逆,满足1,111==--BB AA ,则 1111==---AA A ABB 所以AB 有逆,且111)(---=A B AB . (3) } )(1{})())({(}))({(})({)()(111111 1 11111 ------------+-=+-++=+-+=+=+=+B A B A B A B B A B A A B A B B A A B A A A B A A A B A (4) 由于1)1(--χ（x 极小,即x →0时）展为级数: ???++++=--3211)1(χχχχ 故(? ??+++=???+++=-=-=----------------111211********* 11 )1() 1()]1([)(BA BA A BA A A BA BA BA A BA A BA A B A λλλλλλλ # 1).H 为厄米算符,iH S e =.证明：（1）S 是幺正算符;（2）det exp(i tr )S H =. 2).求()||0za x x e ψ+=<>的表达式. 3).求相干态|0za z a e +*->的时间反演态. 4).求解一维系统2 0()2p H V x m δ=+的隧道效应. 5).哈密顿量22211()222i i i i j i ij p H m x V x x m ω=++∑∑,写出其二次量子化形式. 1.设一维受扰动的谐振子的哈密顿量为2221122 H p m x gx m ω=++，其中,x p 分别为坐标、动量算符,其他的量为常数.(1)在海森堡绘景中写出坐标、动量算符所满足的运动方程;(2)求出上述坐标、动量算符随时间的变化. 2.(1)请写出谐振子相干态;(2)计算任意两个相干态之间的内积;(3)证明全体谐振子相干态是过完备的,即: 21|| d 1z z z π><=?,其中|z >为相干态, 2d z dxdy =,而,x y 分 别为z 的实部和虚部. 3.通过量子化条件[,]x p i = 计算出坐标算符x 和动量算符p 的本征值,以及坐标表象中的动量的本征态. 4.(a)请写出氢原子的定态狄拉克方程,以及狄拉克方程中(1,2,3)i i α=和β矩阵所满足的关系.(b)证明系统的角动量守恒. 5.设有N 个全同费米子组成的系统,其哈密顿量为222,11()222i i i i j i i j i p H m x V x x m ω≠=++∑∑. (a)在谐振子基矢下计算出哈密顿量的二次量子化形式;(b)在坐标表象中写出哈密顿量的二次量子化形式. 6. 证明动能算符在空间转动变换下是不变的. 7.(a) 设系统的哈密顿量为H ，请写出含时推迟全格林算符'()G t t +-和超前全格林算符'()G t t --以及相应的定态全格林算符()G E +和()G E -. 高等量子力学习题 ? 量子力学中的对称性 1、 试证明：若体系在线性变换Q ?下保持不变，则必有0]?,?[=Q H 。这里H ?为体系的哈密顿算符，变换Q ?不显含时间，且存在逆变换1?-Q 。进一步证明，若Q ?为幺正的，则体系可能有相应的守恒量存在。 2、 令坐标系xyz O -绕z 轴转θd 角，试写出几何转动算符)(θd R z e 的矩阵表示。 3、 设体系的状态可用标量函数描述，现将坐标系绕空间任意轴n 转θd 角，在此转动下， 态函数由),,(z y x ψ变为),,(),()',','(z y x d n U z y x ψθψ =。试导出转动算符),(θd n U 的表达式，并由此说明，若体系在转动),(θd n U 下保持不变，则体系的轨道角动量为守恒量。 4、 设某微观粒子的状态需要用矢量函数描述，试证明该粒子具有内禀自旋1=S 。 5、 证明宇称算符的厄米性和幺正性，并证明宇称算符为实算符。 6、 试证明幺正算符U 与复数共轭算符K 的乘积为反幺正算符。 7、 试证明自旋不为零的粒子的时间反演算符可表为K e T y S i π -=。 8、 试讨论由时间反演不变性引起的Kramers 简并。 ? 角动量理论 1、 角动量算符可以从两个方面来定义，一种是按矢量算符三个分量所满足的对易关系定 义，另一种是按坐标系转动时，态函数的变换规律来定义，试证明这两种定义是等价的。 2、 试证明任意个相互独立的角动量算符之和仍是角动量算符。 3、 定义角动量升降算符y x J i J J ???±=±，试利用升降算符讨论，对给定的角量子数j ，相应的磁量子数m 的取值范围。 4、 给出角量子数1=j 情况下，角动量平方算符及角动量各分量的矩阵表示。 5、 设总角动量算符21J J J +=，1J 、2J 相应的角量子数分别为1j 和2j ，试讨论总角动量 量子数j 的取值情况。 6、 利用已知的C-G 系数的对称性关系，证明以下三个关系式： ?k ijk j i S i S S ε=],[2322212S S S S ++=> >=+0|)(!1 |n b n n ∫=++?x x x x e e d ****2φφφφπ φ高等量子力学第一章习题： 1、两个态矢量|+＞和|－＞形成完全集。在它们所构成的Hilbert 空间中定义如下三个算符： 试证明它们满足如下对易和反对易关系： 并求出两个态矢量|+＞和|－＞之间的翻转变换算符及算符的表 达式 2、二能级系统的哈密顿算符一般可表达为： H ＝a|1><1|+b|2><2|+c|1><2|+d|2><1| 其中|1>和|2>分别表示二能级的状态，形成正交归一集。 问：H 的厄密性对系数a,b,c,d 有何限制?求该系统的能量本征值及相应的本征态矢量(表示为|1>和|2>的线性叠加)。 3、已知一线性谐振子在其哈密顿表象中的本征态矢量为 其中，基态|0>满足b|0>=0,并且b 和b +与其坐标和动量算符的关系为 试求态矢量|n>转换到坐标表象表达式 高等量子力学复习 主讲老师：张盈 记录整理：王宏辉 开始第一节课我们告诉大家了，什么是高等量子学，它和普通量子学的一个区别。其实按理说这门课学完，我们应该回过头来想一想，为什么？至少你可以通过描述一个问题来回答清楚，比如说量子力学适用于研究怎样的对象？ 这个问题并不是那么好回答，不能简单的说低速的就可以，微观的就行，不是这么简单。那么它有几个层次。 一个就是量子力学和薛定谔方程实际上是不一样，不能把薛定谔方程适用的对象看成是量子力学的对象。这个我给大家说过吧，因为你像狄拉克方程啊，克莱因-戈登方程都属于量子力学。所以量子力学适用于研究的对象是量子力学搭建的这个理论构架所适用研究的对象。这是我们说的第一个层次，你要区分量子力学和薛定谔方程。 第二个层次，你要从量子力学的基本原理，或者说薛定谔方程里面，其他的方面看出来，它适用研究的对象，为什么具有这个特点。也就是说，你说它适用于微观，我们从薛定谔方程或者狄拉克方程里面，怎么能看出来它适用微观。你说它适用于也就是这种粒子数不变的体系，你要能说明这一点，这个方程的体系里面，要能把这些东西对应上。这是第二个层次。 所以回答这个问题的时候应该是站在高等量子的高度，从你们学过的这个课程的基础之上来回答，不再是像以前那个量子力学低速微观OK。简单是这样子。所以这个问题有时候蛮复杂的。 首先我们说这门课的时候，你要理清几个大块，也就是我们这几章。 在第一个大章里面，我们给大家介绍的是量子力学的一个理论的构架。在这个理论构架里面，我们先给大家讲了三条基本假设，大家还能举起来吗？第一条：态，就是关于希尔伯特空间的。第二条：厄米算符是力学量的候选者，第三条：统计解释。 那么我们一个一个来回顾一下。 第一条假设，物理的状态对应希尔伯特空间中的一个矢量，更准确的说，实 2008~2009郑州大学物理工程学院电子科学与技术专业 光电子方向量子力学试题（A 卷） （说明：考试时间120分钟，共6页，满分100分） 计分人： 复查人： 一、填空题：（每题 4 分，共 40 分） 1. 微观粒子具有 波粒 二象性。 2．德布罗意关系是粒子能量E 、动量P 与频率ν、波长λ之间的关系，其表达式为： E=h ν, p=/h λ 。 3．根据波函数的统计解释，dx t x 2 ),(ψ的物理意义为：粒子在x —dx 范围内的几率 。 4．量子力学中力学量用 厄米 算符表示。 5．坐标的x 分量算符和动量的x 分量算符x p 的对易关系为：[],x p i =h 。 6．量子力学关于测量的假设认为：当体系处于波函数ψ(x)所描写的状态时，测量某力学量 F 所得的数值，必定是算符F ?的 本征值 。 7．定态波函数的形式为： t E i n n e x t x η -=)(),(?ψ。 8．一个力学量A 为守恒量的条件是：A 不显含时间，且与哈密顿算符对易 。 9．根据全同性原理，全同粒子体系的波函数具有一定的交换对称性，费米子体系的波函数是_反对称的_____________,玻色子体系的波函数是_对称的_______ _。 10．每个电子具有自旋角动量S ρ，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值为： 2 η± 。 二、证明题：（每题10分，共20分） 1、（10分）利用坐标和动量算符的对易关系，证明轨道角动量算符的对易关系： 证明： z y x L i L L? ] ?, ?[η = ] ? ? , ? ? [ ] ?, ?[ z x y z y x p x p z p z p y L L- - = ] ? ? , ? [ ] ? ? , ? [ z x y z x z p x p z p z p x p z p y- - - = ] ? , ? [ ] ? , ? [ ] ? , ? [ ] ? , ? [ z y x y z z x z p x p z p z p z p x p y p z p y+ - - = ] ? , ? [ ] ? , ? [ z y x z p x p z p z p y+ = y z z y z x x z p p x z p x p z p p z y p z p y?] ? , [ ] ? , ?[ ?] ? , [ ] ? , ?[+ + + = y z x z p p x z p z p y?] ? , [ ] ? , ?[+ = y z y z x z x z p p x z p p z x p z p y p p yz? ?] , [ ?] ?, [ ?] , ?[ ] ?, ?[+ + + = y x p i x p i y?) ( ?) (η η+ - = ] ? ? [ x y p y p x i- =η z L i?η = 研究生课程教学大纲 高等量子力学 一、课程编码：21-070200-B01-17 课内学时： 64 学分： 4 二、适用学科专业：理学，工学 三、先修课程：数理方法，理论力学，电动力学，量子力学，热力学统计物理 四、教学目标 通过本课程的学习，使研究生掌握希尔伯特空间，量子力学基本理论框架，了解狄拉克 方程，量子力学中的对称性与守恒定律，二次量子化等理论知识，提升在微观体系中运用量 子力学的基本能力。 五、教学方式：课堂讲授 六、主要内容及学时分配 1 希尔伯特空间10学时 1.1 矢量空间 1.2 算符 1.3 本征矢量和本征值 1.4 表象理论 1.5 矢量空间的直和与直积 2 量子力学基本理论框架20学时 2.1 量子力学基本原理 2.2 位置表象和动量表象 2.3 角动量算符和角动量表象 2.4 运动方程 2.5 谐振子的相干态 2.6 密度算符 3 狄拉克方程 6学时 4 量子力学中的对称性 5学时 5 角动量理论简介 5学时 6 二次量子化方法16学时 6.1 二次量子化 6.2 费米子 6.3 玻色子 复习 2学时七、考核与成绩评定：以百分制衡量。 成绩评定依据: 平时作业成绩占30%，期末笔试成绩占70%。 八、参考书及学生必读参考资料 1. 喀兴林，《高等量子力学》，.[M]北京：高等教育出版社，2001 2. Franz Schwabl,《Advanced Quantum Mechanics》，.[M]北京：世界图书出版公司：2012 3. 曾谨言，《量子力学》，.[M]北京：科学出版社：第五版2014或第四版2007 4. https://www.doczj.com/doc/782000542.html,ndau, M.E.Lifshitz，《Quantum Mechanics (Non-reativistic Theory)》，.[M]北京：世界 图书出版公司：1999 5. 倪光炯，《高等量子力学》，. [M]上海：复旦大学出版社：2005 九、大纲撰写人：曾天海喀兴林高等量子力学习题6、7、8
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