第一章 解三角形
正弦定理: 1.正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,并且都等于外接圆的直径,
即 R C c
B b A a 2s i n s i n s i n ===(其中R 是三角形外接圆的半径) 2.变形:1)sin sin sin sin sin sin a b c a b c
C C ++===
A +
B +A B .
2)化边为角:C B A c b a sin :sin :sin ::=;
;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;
sin sin C A c a =
3)化边为角:C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== 4)化角为边: ;sin sin b a B A =
;s i n s i n c b C B =;s i n s i n c a
C A = 5)化角为边: R
c
C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin ===
二.三角形面积
1.
B ac A bc
C ab S ABC sin 21
sin 21sin 21===
?
三.余弦定理
1.余弦定理:三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍,即
A bc c b a cos 22
2
2
-+= B ac c a b cos 22
2
2
-+=
C ab b a c cos 2222-+= 2.变形:bc a c b A 2cos 2
22-+=
ac b c a B 2cos 2
22-+=
ab c b a C 2cos 2
22-+=
注意整体代入,如:
21cos 222=
?=-+B ac b c a
利用余弦定理判断三角形形状:
设a 、b 、c 是C ?AB 的角A 、B 、C 的对边,则:
①若,
,所以为锐角
②若
为直角A a b c ?=+222 ③若
, 所以为钝角,则是钝
角三角形
三角形中常见的结论
三角形三角关系:A+B+C=180°;C=180°—(A+B); 三角形三边关系:
两边之和大于第三边:,,; 两边之差小于第三边:
,
,
;
在同一个三角形中大边对大角:B A b a B A sin sin >?>?> 4) 三角形内的诱导公式:
s i n ()s i n A
B C +=c o s ()c o s A B C +=-t a n ()t a n A B C +=-
)2sin()
2cos()22cos()22sin()22tan(2tan C C
C C C B A =--=
-=+πππ
7) 三角形的五心:
垂心——三角形的三边上的高相交于一点 重心——三角形三条中线的相交于一点 外心——三角形三边垂直平分线相交于一点 内心——三角形三内角的平分线相交于一点
旁心——三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点
解三角形
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.在△ABC 中,a =2,b =3,c =1,则最小角为( ) A.π12 B.π6 C.π4 D.π3
2.△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的长分别是a 、b 、c ,设向量p =(a +c ,b ),q = (b -a ,c -a ),若p ∥q ,则角C 的大小为( ) A.π6 B.π3 C.π2 D.2π3
3.在△ABC 中,已知||=4,|AC →|=1,S △ABC =3,则AB →·AC →
等于( ) A .-2 B .2 C .±4 D .±2
4.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若c =2,b =6,B =120°,则a 等于( )
A. 6 B .2 C. 3 D. 2
5.在△ABC 中,A =120°,AB =5,BC =7,则sin B
sin C
的值为( )
A.85
B.58
C.53
D.35
6.已知锐角三角形的边长分别为2,4,x ,则x 的取值范围是( )
A .1 B 等于( ) A .-223 B.223 C .-63 D.63 8.下列判断中正确的是( ) A .△ABC 中,a =7,b =14,A =30°,有两解 B .△AB C 中,a =30,b =25,A =150°,有一解 C .△ABC 中,a =6,b =9,A =45°,有两解 D .△ABC 中,b =9,c =10,B =60°,无解 9.在△ABC 中,B =30°,AB =3,AC =1,则△ABC 的面积是( ) A.34 B.32 C.3或32 D.32或34 10.在△ABC 中,BC =2,B =π3,若△ABC 的面积为3 2,则tan C 为( ) A. 3 B .1 C.33 D.3 2 11.在△ABC 中,如果sin A sin B +sin A cos B +cos A sin B +cos A cos B =2,则△ABC 是( ) A .等边三角形 B .钝角三角形 C .等腰直角三角形 D .直角三角形 12.△ABC 中,若a 4+b 4+c 4=2c 2(a 2+b 2),则角C 的度数是( ) A .60° B .45°或135°C .120° D .30° 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.在△ABC 中,若sin A a =cos B b ,则B =________. 14.在△ABC 中,A =60°,AB =5,BC =7,则△ABC 的面积为________. 15.一船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔64海里的M 处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处,则这只船的航行速度为________海里/小时. 16.在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若(3b -c )cos A =a cos C ,则cos A =________. 三、解答题(本大题共6小题,共70分) 17.在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边是a 、b 、c ,已知3a cos A =c cos B +b cos C (1)求cos A的值;(2)若a=1,cos B+cos C=23 3 ,求边c的值. 18.(12分)设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,a=2b sin A. (1)求B的大小. (2)若a=33,c=5,求b. 19.已知△ABC的角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acosC+1 2 c=b. (1)求角A的大小; (2)若a=1,求△ABC的周长l的取值范围. 20.在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别是a ,b ,c ,已知.cos cos cos 2C b B c A a += (1)求A cos 的值; (2)若2 3 cos cos ,1= +=C B a ,求边c 的值. 21.(12分)在△ABC 中,内角A 、B 、C 对边的边长分别是a 、b 、c .已知c =2,C =π 3 . (1)若△ABC 的面积等于3,求a ,b . (2)若sin B =2sin A ,求△ABC 的面积. 22.如图,在ABC ?中,点D 在BC 边上,33AD =,5sin 13BAD ∠= ,3cos 5 ADC ∠=. (1)求sin ABD ∠的值; (2)求BD 的长. 解三角形 答案 1.B 2.B 3.D4.D 5.D 6.D 7.D 8.B 9.D 10.C 11.C 12.B 13.45° 14.10 3 15.8 6 16.3 3 17.【答案】(1)由余弦定理b 2=a 2+c 2 -2ac cos B , c 2=a 2+b 2-2ab cos C 有c cos B +b cos C =a ,代入已知条件得3a cos A =a ,即cos A =1 3 (2)由cos A =13得sin A =223,则cos B =-cos(A +C )=-13cos C +22 3sin C , 代入cos B +cos C =23 3 得cos C +2sin C =3,从而得sin(C +φ)=1, 其中sin φ=33,cos φ=63 (0<φ<π2)则C +φ=π2,于是sin C =63,由正弦定理得c =a sin C sin A =3 2 . 18.解 (1)∵a =2b sin A ,∴sin A =2sin B ·sin A ,∴sin B =12.∵0 2 ,∴B =30°. (2)∵a =33,c =5,B =30°. 由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B =(33)2+52-2×33×5×cos 30°=7. ∴b =7. 19.【答案】(1)由acosC + 1 2 c =b 和正弦定理得, sinAcosC + 12sinC =sinB ,又sinB =sin(A +C)=sinAcosC +cosAsinC ,∴1 2 sinC =cosAsinC , ∵sinC ≠0,∴cosA =12,∵0<A <π,∴A =3π . (2)由正弦定理得,b =asinB sinA =,c =asinC sinA , 则l =a +b +c =1 +sinC)=1sinB +sin(A +B)] =1+sinB +12cosB)=1+2sin(B +6π ). ∵A =3π,∴B ∈(0,23π),∴B +6π∈(6π,56π),∴sin(B +6π)∈(12 ,1], ∴△ABC 的周长l 的取值范围为(2,3]. 20【答案】(1)由C b B c A a cos cos cos 2+=及正弦定理得 ,cos sin cos sin cos sin 2C B B C A A +=即().sin cos sin 2C B A A += 又,A C B -=+π所以有(),sin cos sin 2A A A -=π即.sin cos sin 2A A A = 而0sin ≠A ,所以.2 1 cos =A (2)由21cos = A 及0<A <π,得A =.3π 因此.3 2ππ=-=+A C B 由,23cos cos =+C B 得,2332cos cos =?? ? ??-+B B π 即23sin 23cos 21cos =+-B B B ,即得.236sin =??? ? ? +πB 由,3π=A 知.65,66??? ??∈+πππB 于是,36ππ=+B 或.3 26π π= +B 所以6 π =B ,或.2π = B 若,6π = B 则.2π = C 在直角△ABC 中, c 1 3sin = π ,解得;332=c 若,2π=B 在直角△ABC 中,,1 3tan c =π解得.33=c 21.解 (1)由余弦定理及已知条件得 a 2+b 2-ab =4. 又因为△ABC 的面积等于3, 所以1 2ab sin C =3,由此得ab =4. 联立方程组????? a 2+b 2-ab =4,ab =4,解得????? a =2, b =2. (2)由正弦定理及已知条件得b =2a . 联立方程组??? ?? a 2+ b 2 -ab =4, b =2a , 解得?? ? a =233, b =433. 所以△ABC 的面积S =12ab sin C =23 3 . 22.【答案】(1)因为3 cos 5ADC ∠= , 所以4sin 5 ADC ∠==. 因为5sin 13BAD ∠= ,所以12cos 13 BAD ∠==. 因为ABD ADC BAD ∠=∠-∠, 所以()sin sin ABD ADC BAD ∠=∠-∠ sin cos cos sin ADC BAD ADC BAD =∠∠-∠∠ 4123533 51351365 =?-?= . (2)在△ABD 中,由正弦定理,得sin sin BD AD BAD ABD = ∠∠, 所以5 33sin 132533sin 65 AD BAD BD ABD ? ?∠= = =∠. 【最新】数学《三角函数与解三角形》复习资料 一、选择题 1.设函数())cos(2)f x x x ??=+++(||)2 π ?<,且其图像关于直线0x =对 称,则( ) A .()y f x =的最小正周期为π,且在(0,)2 π 上为增函数 B .()y f x =的最小正周期为 2π,且在(0,)4 π 上为增函数 C .()y f x =的最小正周期为π,且在(0,)2 π 上为减函数 D .()y f x =的最小正周期为2π,且在(0,)4 π 上为减函数 【答案】C 【解析】 试题分析:())cos(2)f x x x ??=+++2sin(2)6 x π ?=++,∵函数图像关于直 线0x =对称, ∴函数()f x 为偶函数,∴3 π ?=,∴()2cos 2f x x =,∴22 T π π= =, ∵02 x π << ,∴02x π<<,∴函数()f x 在(0, )2 π 上为减函数. 考点:1.三角函数式的化简;2.三角函数的奇偶性;3.三角函数的周期;4.三角函数的单调性. 2.已知函数sin(),0 ()cos(),0 x a x f x x b x +≤?=?+>?的图像关于y 轴对称,则sin y x =的图像向左平移 ( )个单位,可以得到cos()y x a b =++的图像( ). A . 4 π B . 3 π C . 2 π D .π 【答案】D 【解析】 【分析】 根据条件确定,a b 关系,再化简()cos y x a b =++,最后根据诱导公式确定选项. 【详解】 因为函数()()(),0 ,0 sin x a x f x cos x b x ?+≤?=?+>??的图像关于y 轴对称,所以 三角形解答题单元培优测试卷 一、八年级数学三角形解答题压轴题(难) 1.已知在四边形ABCD中,∠A=∠C=90°. (1)∠ABC+∠ADC=°; (2)如图①,若DE平分∠ADC,BF平分∠ABC的外角,请写出DE与BF的位置关系,并证明; (3)如图②,若BE,DE分别四等分∠ABC、∠ADC的外角(即∠CDE=1 4 ∠CDN,∠CBE =1 4 ∠CBM),试求∠E的度数. 【答案】(1)180°;(2)DE⊥BF;(3)450 【解析】 【分析】 (1)根据四边形内角和等于360°列式计算即可得解; (2)延长DE交BF于G,根据角平分线的定义可得∠CDE=1 2 ∠ADC,∠CBF= 1 2 ∠CBM, 然后求出∠CDE=∠CBF,再利用三角形的内角和定理求出∠BGE=∠C=90°,最后根据垂直的定义证明即可; (3)先求出∠CDE+∠CBE,然后延长DC交BE于H,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解即可. 【详解】 (1)解:∵∠A=∠C=90°, ∴∠ABC+∠ADC=360°-90°×2=180°; 故答案为180°; (2)解:延长DE交BF于G, ∵DE平分∠ADC,BF平分∠CBM, ∴∠CDE=1 2 ∠ADC,∠CBF= 1 2 ∠CBM, 又∵∠CBM=180°-∠ABC=180°-(180°-∠ADC)=∠ADC,∴∠CDE=∠CBF, 又∵∠BED=∠CDE+∠C=∠CBF+∠BGE, ∴∠BGE=∠C=90°, ∴DG⊥BF, 即DE⊥BF; (3)解:由(1)得:∠CDN+∠CBM=180°,∵BE、DE分别四等分∠ABC、∠ADC的外角, ∴∠CDE+∠CBE=1 4 ×180°=45°, 延长DC交BE于H, 由三角形的外角性质得,∠BHD=∠CDE+∠E,∠BCD=∠BHD+∠CBE, ∴∠BCD=∠CBE+∠CDE+∠E, ∴∠E=90°-45°=45° 【点睛】 本题考查了三角形的内角和定理,四边形的内角和定理,角平分线的定义,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质,熟记各性质是解题的关键,要注意整体思想的利用. 2.如图,在△ABC 中,记∠A=x 度,回答下列问题: (1)图中共有三角形个. (2)若 BD,CE 为△ABC 的角平分线,则∠BHC= 度(结果用含 x 的代数式 表示),并证明你的结论. (3)若 BD,CE 为△ABC 的高线,则∠BHC= 度(结果用含 x 的代数式表示),并证明你的结论. 【答案】(1)图中共有三角形 8 个;(2)(90+1 2 x ) ;(3)(180-x). 【解析】 【分析】 本题考查的是三角形内角和定理,分析题意观察图形,根据三角形内角和为180°可知 高一必修5 解三角形单元测试题 1.在△ABC 中,sinA=sinB ,则必有 ( ) A .A=B B .A ≠B C .A=B 或A=C -B D .A+B= 2 π 2.在△ABC 中,2cosBsinA=sinC ,则△ABC 是 ( ) A .等边三角形 B .等腰三角形 C .直角三角形 D .等腰直角三角形 3.在ABC ?中,若 b B a A cos sin =,则B 的值为 ( ) A . 30 B . 45 C . 60 D . 90 4.在ABC ?中,bc c b a ++=2 2 2 ,则角A 等于 ( ) A .60° B .45° C .120° D .30° 5.在△ABC 中,b =, ,C=600,则A 等于 ( ) A .1500 B .750 C .1050 D .750或1050 6.在△ABC 中,A:B:C=1:2:3,则a:b:c 等于 ( ) A .1:2:3 B .3:2:1 C . 2: D . 7.△ABC 中,a=2,A=300,C=450,则S △ABC = ( ) A B . C 1 D .11)2 8.在ABC ?中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,则acosB+bcosA 等于 ( ) A . 2 b a + B . b C . c D .a 9.设m 、m +1、m +2是钝角三角形的三边长,则实数m 的取值范围是 ( ) A .0<m <3 B .1<m <3 C .3<m <4 D .4<m <6 10.在△ABC 中,已知a=x , A=450,如果利用正弦定理解这个三角形有两个解, 则x 的取值范围为 ( ) A . B .2 解三角形高考大题,带答案 1. (宁夏17)(本小题满分12分) 如图,ACD △是等边三角形,ABC △是等腰直角三角形, 90ACB =∠,BD 交AC 于E ,2AB =. (Ⅰ)求cos CAE ∠的值; (Ⅱ)求AE . 解:(Ⅰ)因为9060150BCD =+=∠, CB AC CD ==, 所以15CBE =∠. 所以62 cos cos(4530)4 CBE +=-=∠. ···················································· 6分 (Ⅱ)在ABE △中,2AB =, 由正弦定理 2 sin(4515)sin(9015) AE =-+. 故2sin 30 cos15 AE = 122 624 ? = +62=-. 12分 2. (江苏17)(14分) 某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD 的顶点A 、B 及CD 的中点P 处,已知AB=20km ,BC=10km ,为了处理三家工厂的污水,现要在矩形ABCD 的区域上(含边界),且A 、B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂,并铺设排污管道AO 、BO 、OP ,设排污管道的总长为ykm 。 (1)按下列要求写出函数关系式: ①设∠BAO=θ(rad ),将y 表示成θ的函数关系式; ②设OP=x (km ),将y 表示成x 的函数关系式; (2)请你选用(1)中的一个函数关系式,确定污水处理厂的位置,使三条排污管道总长度最短。 【解析】:本小题考查函数的概念、 解三角形、导数等基本知识,考查数学建模能力、 抽象概括能力和解决实际问题的能力。 (1)①由条件知PQ 垂直平分AB ,若∠BAO=θ(rad ),则10 cos cos AQ OA BAO θ = =∠, 故10 cos OB θ = 又1010OP tan θ=-,所以1010 1010cos cos y OA OB OP tan θθθ =++= ++- B A C D E B C D A O P高考数学压轴专题2020-2021备战高考《三角函数与解三角形》分类汇编附解析
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