三角函数知识点总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
高中数学第四章-三角函数
考试内容：
角的概念的推广．弧度制．
任意角的三角函数．单位圆中的三角函数线．同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式．
两角和与差的正弦、余弦、正切．二倍角的正弦、余弦、正切．
正弦函数、余弦函数的图像和性质．周期函数．函数y=Asin(ωx+φ)的图像．正切函数的图像和性质．已知三角函数值求角． 正弦定理．余弦定理．斜三角形解法． 考试要求：
（1）理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算．
（2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式；了解周期函数与最小正周期的意义． （3）掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．
（4）能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明．
（5）理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A.ω、φ的物理意义．
（6）会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx\arc-cosx\arctanx 表示． （7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形．
（8）“同角三角函数基本关系式：sin2α+cos2α=1，sin α/cos α=tan α,tan α?cos α=1”．
§04. 三角函数 知识要点
1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）：
{}
Z k k ∈+?=,360
|αββ
②终边在x 轴上的角的集合： {}Z k k ∈?=,180|
ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+?=,90180| ββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈?=,90| ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+?=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-?=,45180| ββ
⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+= 180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180
SIN \COS 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域
⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系： 90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式： 1rad ＝π
180°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝
180
π≈0.01745（rad ）
3、弧长公式：r l ?=||α. 扇形面积公式：211
||22
s lr r α==?扇形
4、三角函数：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点
的）一点P （x,y ）P 与原点的距离为r ，则
r
y =
αsin ；
r x
=αcos ； x y =αtan ； y
x =αcot ； x r =αsec ；.
y
r =
αcsc .
5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切
四余弦）
正切、余切
余弦、正割
正弦、余割
6、三角函数线
正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT.
7. 三角函数的定义域：
(3) 若 o ,则sinx 16. 几个重要结论: 8、同角三角函数的基本关系式：ααα tan cos sin = αα αcot sin cos = 1cot tan =?αα 1sin csc =α?α 1cos sec =α?α 1cos sin 22=+αα 1tan sec 22=-αα 1cot csc 22=-αα 9、诱导公式： 2 k παα±把 的三角函数化为的三角函数，概括为： “奇变偶不变，符号看象限” 三角函数的公式：（一）基本关系 公式组二 公式组三 x x k x x k x x k x x k cot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin( =+=+=+=+ππππ x x x x x x x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=-=--=- 公式组四 公式组五 公式组六 x x x x x x x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(=+=+-=+-=+ππππ x x x x x x x x cot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(-=--=-=--=-ππππ x x x x x x x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=--=-=-ππππ （二）角与角之间的互换 公式组一 公式组二 βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ αααcos sin 22sin = βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ α αα2 tan 1tan 22tan -= βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- 2 cos 12 sin α α-± = βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+= + 2cos 12cos α α+±= β αβ αβαtan tan 1tan tan )tan(+-= - 公式组三 公式组四 公式组五 2tan 12tan 2sin 2 αα α+= 公式组一sin x ·csc x =1tan x =x x cos sin sin 2x +cos 2x =1cos x ·sec x x = x x sin cos 1+tan 2 x =sec 2x tan x ·cot x =1 1+cot 2x =csc 2x =1()()[] ()()[]()()[] ()()[] βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα--+-=-++=--+=-++= cos cos 1 sin sin cos cos 21 cos cos sin sin 21sin cos sin sin 2 1 cos sin α α ααααα sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12 tan -= +=+-± =α απsin )21 cos(=-α απcos )2 1 sin(=- 2 tan 12tan 1cos 2 2 ααα+-= 2 tan 12tan 2tan 2 α α α-= 42675cos 15sin -= = ,4 2615cos 75sin +== ,3275cot 15tan -== ,3215cot 75tan +== . 10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质： 注意：①x y sin -=与x y sin =的单调性正好相反；x y cos -=与x y cos =的单调性也同样相反.一 般地，若)(x f y =在],[b a 上递增（减），则)(x f y -=在,[b a ②x y sin =与x y cos =的周期是π. 2cos 2sin 2sin sin β αβ αβα-+=+2sin 2cos 2sin sin β αβαβα-+=-2cos 2cos 2cos cos β αβαβα-+=+2 sin 2sin 2cos cos β αβαβα-+-=-α απsin )21 cos(-=+α απcos )2 1 sin(=+α απcot )21 tan(-=+α απcot )21 tan(=- ③)sin(?ω+=x y 或)cos(?ω+=x y （0≠ω）的周期ω π 2= T . 2 tan x y =的周期为2π（πω π 2=?= T T ，如图，翻折无效）. ④)sin(?ω+=x y 的对称轴方程是2 π π+ =k x （Z k ∈），对称中心（0,πk ）；)cos(?ω+=x y 的对称 轴方程是πk x =（Z k ∈），对称中心（0,2 1ππ+k ）；)tan(?ω+=x y 的对称中心（ 0,2 π k ）. x x y x y 2cos )2cos(2cos -=--=???→?=原点对称 ⑤当αtan ·,1tan =β)(2 Z k k ∈+=+ππβα；αtan ·,1tan -=β)(2 Z k k ∈+=-π πβα. ⑥x y cos =与?? ? ? ?++=ππk x y 22 sin 是同一函数,而)(?ω+=x y 是偶函数，则 )cos()2 1 sin()(x k x x y ωππω?ω±=++=+=. ⑦函数x y tan =在R 上为增函数.（×） [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域， x y tan =为增函数，同样也是错误的]. ⑧定义域关于原点对称是)(x f 具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：)()(x f x f = -，奇函数： )()(x f x f -=-） 奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：x y tan =是奇函数，)3 1tan(π+=x y 是非奇非偶.（定义域 不关于原点对称） 奇函数特有性质：若x ∈0的定义域，则)(x f 一定有0)0(=f .（x ?0的定义域，则无此性质） ⑨x y sin =不是周期函数；x y sin =为周期函数（ =T x y cos =是周期函数（如图）；x y cos =2 12cos + =x y 的周期为π（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如： R k k x f x f y ∈+===),(5)(. ⑩a b b a b a y =+++=+=??αβαcos )sin(sin cos 22 有y b a ≥+22. 11、三角函数图象的作法： y=|cos2x +1/2|图象
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