OE PE OA 丄 OP ? OAE
EOP
…AE OE
?/ AE=1, OE=2 ? PE=4
? OP= -,22 42
2 5 .........................................................................
②过点B 作AP 的垂线，垂足为 F .............................................................................. 1分
1 2 1 2
设点 B (a, —a a )，则 BF a 2, EF —a a 4 4
重庆中考最新26题练习几答案
1?已知：在平面直角坐标系中，抛物线 (1) 求抛物线的表达式及顶点 A 的坐标； (2) 点P 为抛物线对称轴上一点，联结 OA 、OP . ① 当OA 丄OP 时，求OP 的长； ② 过点P 作OP 的垂线交对称轴右侧的抛物 线于点B ,联结OB ,当/ OAP= / OBP 时, 求点B 的坐标. 2 (1) ■/抛物线y ax y ax 2 x 的对称轴为直线x=2，顶点为A .
2a x 的对称轴为直线x=2.
抛物线的表达式为： y ???顶点A 的坐标为(2, 1). (2)设对称轴与x 轴的交点为E . ①在直角三角形 AOE 和直角三角形POE 中, tan OAE
，
tan EOP
PE
OE 在直角三角形 AOE 和直角三角形 POB ?/ OAE
OBP , ? AE BP
OE OP ? BFP
PEO , BPF
POE
?/ OE=2, ?- PF=1, PE
1 a
2
a
4
中，cot OAE , BP cot OBP -
OE
OP
1
2
? △ BPF
POE ,
? BF BP PF
1
a 2 1 1 2 a 1
2
a
4
PE PO OE
解得a i 10, a2 2 （不合题意，舍去） .............................. 2分???点B的坐标是（10, -15）. ............................................. 1分
1
2. 如图14,直线y X 2与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经
过点B、C和点A 1,0 .
（1）求B、C两点坐标；
（2）求该二次函数的关系式；
（3）若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，则在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请
说明理由；
（4）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E 运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此
1
解：(1 )对于直线y x 2，当x 0时y 2，当y 0时x 4
? B(4, 0), C(0, 2). ................................................................... 2分
⑵???二次函数的图象过点C 0,2 ,
?可设二次函数的关系式为y ax2bx 2
又???该函数图象过点A 1 , 0、B 4,0
?0 a b 2,—4分
-
0 16a 4b 2.
解之，得a1,b
3
22
?抛物线的表达式y 1
2 x
3
x 2 . -22
（3）在抛物线的对称轴上存在点P, 使厶PCD
6分是以CD为腰的等腰三角形. ……7分
1 5
1
1
=
2 F 2+i (r
2a)a (4 a)
当a 2时，S 四边形CDBF 的最大值为 ? 2
此时 E (2, 1).
1 1
3. 已知：如图一次函数y = g x + 1的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ;二次函数y = — x 2
1
+ bx + c 的图象与一次函数 y = 1
x + 1的图象交于B 、C 两点，与x 轴交于D 、E 两点且D 点坐标
为(1, 0)
(1) 求二次函数的解析式； ⑵求四边形BDEC 的面积S ;
(3)在x 轴上是否存在点 P ,使得△ PBC 是以P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出
3
???
P1
(2，4)
3
P2
(2， 2)?
3 P3(
2，
5 2)?
(4)过点C 作CM 丄EF 垂足为M,
设 E(a , 1 a 2), 则 F(a ,
1
2
a
3 a
2 2
2
??? EF= 1 2
3
1
1
a a 2 (-a
2)= a
2
2
2 2
loc BD !EF CM !EF BN 2 2 2
=5
+^(唁
2 2 2
2a) 4
4a
(0< a < 4)
2 5
边形 CDBF S BCD S
CEF S
BEF y |
8分
9分 10分
)
2a .
解：(1)将B(0, 1), D(1, 0)的坐标代入y= 1x2+ bx+ c 得
c 1, 1
得解析式y = l x 2- |x + 1 ................................................................................ 3分
b c 丄 0.
2 2
2
⑵设C(x o , y o )，则有
1 ............................. x 4X 3— 1
x 3X 1 = 9
2 2 2
P(a , 0):
当P 为直角顶点时，如图：过 C 作CF 丄x 轴于F . ?/ Rt △ BOP s Rt △ PFC ,
整理得a 2— 4a + 3= 0.解得a = 1或a = 3 ???所求的点P 的坐标为(1, 0)或(3, 0) 综上所述：满足条件的点 P 共有二个 .............................
4?如图，已知抛物线 y= - x 2+bx+c 与一直线相交于 A (- 1, 0), C (2, 3)两点，与y 轴交 于点N .
其顶点为D .
(1) 抛物线及直线 AC 的函数关系式；
(2) 设点M (3, m ),求使MN+MD 的值最小时 m 的值；
(3) 若抛物线的对称轴与直线 AC 相交于点B , E 为直线AC 上的任意一点，过点E 作EF // BD 交抛物线于点F ，以B , D , E , F 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能， 求点E 的坐标； 若不能，请说明理由；
(4) 若P 是抛物线上位于直线 AC 上方的一个动点，求△ APC 的面积的最大值.
y 。 2 0
1, 解得X o
4
C(4, 3)
y °
1 2 2 0
3x 0
1.
y 。 3.
S = S A ACE — S A ABD .又由对称轴为
x =
3
可知 E(2, 0).
由图可知: 1 1
??? S = 2AE ? y 。- 2AD *
(3)设符合条件的点P 存在，令
第24题图
解：(1 )由抛物线y - x2+bx+c过点A (- 1, 0)及C (2, 3)得,
r-l-b+c=0
-4f2b+c=3 ?
解得严2,
\ c-3
故抛物线为y - x2+2x+3
又设直线为y=kx+ n过点A (- 1, 0)及C (2, 3)得
「- k+n=0
2k+n=3
t
解得/ I
\ n=l
故直线AC为y=x+1 ;
(2)作N点关于直线x=3的对称点N',则N ( 6, 3)，由(1 )得D (1, 4), 故直线DN的函数关系式
为y -丄x+ZL，
5 5
当M (3, m)在直线DN上时，MN+MD 的值最小，
贝y m= - 2“』!=垄；
L 5 5
(3)由(1)、(2)得 D (1 , 4), B (1, 2)
???点E在直线AC上，
设 E ( x, x+1 ),
①当点E在线段AC上时，点F在点E上方,
则 F (x, x+3),
?/ F在抛物线上，
??? x+3= - x2+2x+3 ,
解得,x=0或x=1 (舍去)
?- E (0 , 1);
②当点E在线段AC （或CA）延长线上时，点F在点E下方, 则 F （x, x - 1）由F在抛物线上??? x - 1= - X2+2X+3
又APC=S △ APQ+S^CPQ=—PQ?AG
2
=土(- X2+X+2 ) X3
方法二：过点P作PQ丄x轴交AC于点Q,交x轴于点H .过点C作CG丄x轴于点G,如图2, W
）或（J1+V173-H/n
2 ， 2 :22
?- E ( )
或丿「
设Q (x, x+1 ),则P (x, - X2+2X+3 )
又T S A APC=S△ APH +S直角梯形PHGC - S^AGC( x+1 )(-X2+2X+3 )(- X2+2X+3+3 )
2
(2 - x)
2+
27
■g
? △ APC的面积的最大值为
27
解得x=
综上，满足条件的点 E 为 E (0, 1)、(
-.）或（「厂，.心?T）.
2 2 ' ，
(4)方法一：过点
设Q (x, x+1 ),则
? PQ= (- X2+2X+3 ) -( x - 1)
=-X2+X+2
P作PQ丄x轴交AC于点Q;
P (x, - X2+2X+3 )
过点C作CG丄x轴于点G,如图1
???面积的最大值