论文编码：O1-0
摘要
反证法是数学证明方法中很重要的一部分，本文主要介绍了反证法再出等数学中的应用。首先阐述反证法的概念、逻辑根据和一般步骤。然后讨论了反正法的适用范围，这也是本文的重点内容，任何一种方法都要以应用为首要任务，我们学习它、了解它、掌握它，学会用反证法解决更多的实际问题才是我们的目的。其次研究了反证法的教学，反证法的这种数学思想在课堂教学中的渗透是很有必要的。最后讨论了应用反证法应注意的问题，真正用好反证法并非一件易事，所以我们的研究学习是很有必要的。
关键词：反证法逻辑基础教学方法适用范围；
Abstract
Apagoge is an important part of math demonstration.This article introduces the application of Apagoge in elementary math.First,expounds the Apagoge's concept,logic ground and the general steps.Next,discusses the range of application,which is highlighted.Whatever methods we use,we should base on application.So we must study the method and use it to help us solve many practical problem.Then,studies how to teach the Apagoge's thinking into people's minds in the https://www.doczj.com/doc/794803794.html,st,talks about the problem which should pay attention to in Apagoge's application.It is difficult to make a good use of the Apagoge,so we are supposed to study continuously.
Keywords：Apagoge ;Logical basis;Teaching methods; Scope;
目录
第 1 章反证法概解
1.1反证法的由来 (3)
1.2 反证法的定义 (3)
1.3 反证法的逻辑基础 (3)
1.3.1 反证法的出发点 (3)
1.3.2 反证法的推理过程 (4)
1.3.3 反证法的逻辑基础 (4)
1.4 反证法的分类 (4)
第 2 章反证法在中学数学的适用范围以及例题
2.1 基本定理或初始命题的证明 (6)
2.2 否定性命题 (6)
2.3 关于唯一性、存在性、至多至少命题 (6)
2.4 无穷型命题 (8)
第 3 章应用反证法应注意的问题
3.1 反设要正确 (9)
3.2 明确推理特点 (9)
3.3 善于灵活运用 (9)
第 4 章反证法的教学价值及建议
4.1 反证法的教学价值 (10)
4.2 反证法的教学建议 (11)
第 5 章总结
致谢 (14)
参考文献 (15)
前言
世界上任何一个生命的诞生就不由自主的与数学有了扯不清的关系，有可能成为学习的主体、还有可能变成被统计的对象。数学反证法是非常常见的数学证明方法之一。在证明一个命题的时候，从命题结论的反面入手，先假设结论的反面成立，通过一系列正确的结论推理导出与已知条件、已知公理、定理、定义之一相矛盾的结果或者两个相矛盾的结果，肯定了‘结论反面成立’的假设是错误的，从而达到了证明结论正确的目的，这就是反证法。反证法的优势在于把要证明的结论当做已知条件，在我们证明过程中冥冥中就多了一个条件。显而易见的，一道证明题，当我们无法从正面入手的时候反证法就发挥出了它天生的威力。
反证法不但在初等数学中有着广泛的应用，而且在高等数学中也具有特殊作用。数学中的一些重要结论，从最基本的性质、定理，到某些难度较大的世界名题，往往是用反证法证明的。
反证法的美在于它思考问题的方式，对于任何一个没接触的人来说这种方法是非常巧妙的。
第 1 章反证法概解
1.1反证法的由来
反证法顾名思义是一种证明方法，在数学和逻辑上是统一的。早期古希腊的数学在毕达哥拉斯学派的影响下认为万物皆数，用整数和几何图形构建了一个宇宙图式。万物皆数这个思想当时在数学家的脑海里是根深蒂固的。随着2的出现，希腊人渐渐开始重新审视他们的数学，图形和直观并不是万能的，推理和逻辑走上了数学的舞台。此时西方数学成为以证明为主的证明数学,他们要的是准确的数学,或者说他们的数学推崇准确性。表现形式就是:逻辑、演绎的体系。可见它是指证明的数学与算的数学正好相反。希腊人重视逻辑和演绎的证明，反证法最早应用在欧几里得的《几何原本》中。
法国数学家J·阿达玛在其所著《初等数学教程》（平面几何卷）中作了最准确、最简明扼要、最精辟的描述：“反证法在于表明，若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。反证法作为一种最重要且基本的数学证明方法，在数学命题的证明中被广泛应用。欧几里得证明“素数有无穷多”的结论，欧多克斯证明“两个正多边形的面积比等于其对应线段比的平方”的结论，“最优化原理”的证明，伽利略推翻“不同重量的物体从高空下落的速度与其重量成正比”的断言，“上帝并非全能”的证明，都用了反证法。在我们自身学习的各个阶段，反证法一直伴随着我们。
1.2 反证法的定义
反证法有多种不同的描述，其本质都是一样的。
最早的法国数学家J·阿达玛在其所著《初等数学教程》（平面几何卷）中作了如下的描述：“反证法在于表明，若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。
维基百科中这样描述“反证法()
又称归谬法、被理法是一种论证方式，他首先假设某命题不成立即在原命题的条件下，结论不成立，然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题成立。
反证法从属于间接证明法的范畴，是从反面考虑问题的证明方法，既方便又实用。
1.3 反证法的逻辑基础
反证法是一种简单却又行之有效的证明方法，从其创立至今就一直被广泛应用。它的优点是，即使不知道怎样直接证明，也能辨别该命题的真伪。最基本得事实便是，一个命题的反命题导致了矛盾，则原命题是正确的。
1.3.1 反证法的出发点
第一步就是要否定论题，构造与原论题具备矛盾关系的矛盾论题。然后从矛盾论题
q→出发。
p→，或p
q
p∧出发，进行推理。而不是从q，或q
p→，或q
1.3.2 反证法的推理过程
反证法的推理过程，必须保证是合乎逻辑的，并且要用否定的结论q 作为推理的前提依据，否则便不会倒出矛盾。另外，还必须要求题设p 作为真命题，在推理过程中作为前提使用，或者与推理结果相矛盾而发生作用。
综上反证法即指从“题设p 与假设q ”出发，推出结果记为r ，或者写成“r q p →∧”成立，r 可以是与公理、定义、已证明的定理或当作真命题题设p 相矛盾；r 也可以本身包含两个结果互相矛盾。
1.3.3
反证法的逻辑基础
反证法由导出矛盾“r r ∧”，而判定矛盾论题“q p ∧”不成立，从而肯定论题q p →正确。其逻辑依据是形式逻辑中的两个基本规律——矛盾律和排中律。
矛盾律的内容是在同一推理过程中，成矛盾关系或反对关系的两个判断不能同真，必有一假。若已知其中一个为真，则可判断另一个必假。所谓推出“矛盾”是指推出结果r 与已知真命题之间的矛盾，这时r 与已知真命题之间成立是矛盾关系或反对关系，故根据矛盾律必有r 假。由“q p ∧”和“r 假”这两个真判断出发，可推出q p ∧假。
排中律的内容是在同一推理过程中，成矛盾关系的两个判断，不能同为假，必有一真。若已知其中一个为假，则必有q p →为真。
这里，我们指出论题q p →和反论题q p ∧、假设q 和结论q 间的矛盾 ，导出结果r 和
真命题间的矛盾()包含的两个结果相矛盾
或r 是有区别的。原因在于作出假设q 与推出结果r 的目的不同，为达到论证目的所根据的逻辑规律——矛盾律与排中律的适用范围也不尽
相同。矛盾律对矛盾关系和反对关系的判断都适用，所以结果r 与已知真命题既可以是矛盾关系，也可以是反对关系，推出与已知真命题相矛盾的结果r ，就是为了依据矛盾律由已知真命题断定r 为假，从而达到矛盾论题q p ∧为假。排中律只使用于具有矛盾关系的判断，所做出的假设q 与结论q ，反论题q p ∧与论题q p →只能是矛盾关系，借依排中律由
q p ∧假推q p ∧真。
1.4 反证法的分类
??
?穷举法
归谬法反证法 1.4.1 归谬法
若命题的反面只有一种情形，则只需把这一种情形驳倒，便可达到反正的目的。 例 1 两条直线同时平行于第三条直线，则原两条直线互相平行。 已知：EF CD EF AB //,//,
求证：.//CD AB 现用反证法予以证明。
图1.4.1
A F
E
C D B
假设AB 与CD 不平行，
则{}()，义利用平行定义的反面意P CD AB =? ()EF AP EF AB ////即 、()()，
题设即EF CP EF CD //// ()。平行公理矛盾平行。但这与平行公理点有两条不同的直线与过EF P ∴ 临时假设CD AB 不平行()矛盾律。 故()排中律CD AB //。
1.4.2 穷举法
若命题题段反面不止一种情况，则必须将其逐一驳倒，才能间接证明梯段的正面成立。这就叫穷举反正。
例 2 若,121≥>x x 则有.21n n x x > 证明：假若不然，则有
(),12121x x x x n n =?=与题设矛盾；
(),22121x x x x n n
因此，.21n n x x >
第 2 章 反证法在中学数学的适用范围以及例题
在上一章中我们主要介绍了一些反证法的概念，对于反正法的定义、历史及逻辑基础有了一定的了解，反证法这种间接证明方法理论上可以用于证明任何题目，但是它像直接证明一样总有局限性，在这一章中我们主要介绍常用反证法的几类题目。
2.1 基本定理或初始命题的证明
在各数学分支中，按照公理化方法最初建立的是不多的定义、公理，某些基本定理或初始命题难以找到直接证明的论据，在这种情况下，反证法是我们的首选。
例 1 求证：在一个三角形中，不能有两个角 是钝角.
证明：已知C B A ∠∠∠、、是三角形ABC 的 三个内角.（如图1）
求证：C B A ∠∠∠、、中不能有两个钝角.
证明：假如C B A ∠∠∠、、 中有两个钝角，不妨设??>∠>∠90,90B A 且，则
?>∠+∠+∠180C B A .这与“三角形内角和为?180”这一定理相矛盾.故B A ∠∠,均大于?90不成立.所以，一个三角形不可能有两个钝角.
2.2 否定性命题
结论以“没有……”、“不是……”、“不能……”等形式出现的命题，直接证法不容易入手，反证法可以发挥它的作用。
例 2 求证:若n 为自然数 ,则22++n n 不能被15整除。 证明：假设22++n n 能被15整除,则22++n n 必然能被5整除 22++∴n n 的尾数必然为5或0, 又 ()2122++=++n n n n 为偶数
22++∴n n 的尾数必然为0,即()12+=+n n n n 的尾数必然为8。 对任意自然数()1,+n n n 的尾数均不为8,所以假设错误。
2.3 关于唯一性、存在性、至多至少命题
例 3 当()21212p p p p +=时，试证方程多于0112
=++q x p x 和0222=++q x p x 中，至少
有一个方程有实数根。
分析：“至少有一个”就是“有一个”，“有两个”，……，然而很容易理解它的反面是“一个都没有”，属于存在性问题，宜用反证法。
证明：假设两个方程0112
=++q x p x ，0222=++q x p x 都没有实根，即04121<-q p ， 0422
2<-q p .
图1
所以()2122
21
222
121
44,4q q p p q p q p +<+?<<
又212
2212p p p p ≥+
()().2.4221212121p p p p q q p p +<+<∴即
()21212p p p p += ∴矛盾
所以说明0112
=++q x p x 和0222=++q x p x 中至少有一个方程有实数根。
说明：遇到存在性问题，作出与命题结论相反的假设时要认真弄清题意。 例 4 试证: 存在无穷多个质数。
证明: 设质数只有n 个: 21,P P ，……,n P 取正整数21P P N =……n P ,N 不能被这n 个 质数中的任一个整除，因用这n 个质数。的任一个去除N ,余数都是1.因此,或者N 本身就是质数(显然N 不等于n P P P ,,,21 中任一个),或者N 还含有除这n 个质数外的质因数
p ,这些都与质数仅有n 个的反设是矛盾的,故质数个数不能是有限的,即是无限的。 说明：对于这类命题,如果从正面去讨论一个无限的对象具有某种性质其工程经常非常浩大,以至不可能实施.当采用反证法时,就可把无限转化为有限.这样,论证起来自然就要简单确定得多。
例 5 设函数()()x g x f 、 都是[]10，
上的实值函数， 证明：存在[]1,000∈y x 、使得1()()4
1
0000≥
--y g x f y x . 分析:本题所涉及到的函数都是抽象函数，在这类题中想从正面直接找出[]1,000∈y x 、比较困难，这时从反面入手，通过验证()()4
1
0000<
--y g x f y x 不成立，来肯定结论. 证明：假设对任意的[]1,000∈y x 、都有()()4
1
0000<
--y g x f y x ，则 当0,000==y x 时，有()()4
100<--x g x f y x
当0,100==y x 时，有()()4100<--x g x f y x 当1,000==y x 时，有()()4100<--x g x f y x 当1,100==y x 时，有()()4
100<--x g x f y x 由不等式的性质有：
()()[]()()[]()()[]()()[]()()()()()()()()1
11110001000-0111100100-1<--+--+--+-≤--++++++=g f g f g f g f g f g f g f g f
][1,000∈?∴y x 、,使得()()4
10000≥
--y g x f y x . 例 6 A 是定义在[]4,2上且满足如下条件的函数()x ?组成的集合： ①对任意的[]2,1∈x ，都有()()2,12∈x ?；
②存在常数()10< 分析:假设不惟一，也即存在另外的满足条件的根，假设存在0x 外的另一实数满足条件，导出与惟一性相矛盾的结论. 证明：假设存在另一实数()1,0,0∈≠a x a ,使得()a a 2?=. ()A x ∈2? ,由②得()()02122x a L x x -≤-??,即00x a L x a -≤-, 又0,10x a L ≠<<，显然上式不成立. 故假设不成立，从而原命题成立. 点拨：抽象函数因为其抽象性是我们的死角，一定要注意归纳、总结. 反证法能够为抽象函数的证明带来很多便利，因而一定要注意反证法的娴熟应用。 2.4 无穷型命题 例 7 质数的个数是无穷的 分析：无穷型命题直接从正面证明很难，从反面证明将无穷转化为有穷是反证法最能显现出它优势的。反证法的出现,无非是为了解决人类思维中的一个结症——无限思维。在西方证明数学里,极其重视证明过程中逻辑的严密性。因此第一次数学危机和第二次数学危机都与无限有关,即无理数(无限不循环小数)和无穷小(极限问题)西方数学家不能给无理数和无穷小以准确的定义,也不能解释与之有关的(芝诺提出的)两个悖论。因此在处理无限的问题上,借助逻辑中介(反证法)化无限为有限,再去完成其证明。 证明：假设质数有n a a a n ，个为21,. 令121+=n a a a a 则a 不能被n a a a ,,,21 中的任何一个整除故a 也是一个质数与假设矛盾，所以质数有无穷多个。 第 3 章应用反证法应注意的问题 3.1 反设要正确 用反证法证明一道题目，首先要能正确否定结论，这是运用反证法的首要问题。 如：命题“一个三角形中，至多有一个内角是钝角”。“至多有一个”指：“只有一个”或“没有一个”，其反面是“有两个钝角”或“三个内角都是钝角”，即“至少有两个是钝角”。 3.2 明确推理特点 使用反证法证题，要明确我们的任务是否定结论导出矛盾，但是何时出现矛盾，出现什么样的矛盾却是不能预知的，一般我们总是在命题的相关领域里考虑（例如,立体几何问题往往联系到相关的判定定理等），这就是反证法推理的特点。因此，我们在运用反证法时只需正确否定结论，进行步步有据的推理，一旦出现了矛盾，证明也就结束了。 3.3 善于灵活运用 虽然数学证明题一般都可采用反证法，但并不是说，所有证明题都应该使用反证法来证明，就多数题目来说，用直接证法就可以证出来，不能一味往反证法上面靠，要灵活运用反证法，毕竟我们平时训练的题目多是运用的直接证法。对待用反证法证题的策略思想是：首先试用直接证法，若一时不能成功，即可使用反证法。 第 4 章 反证法的教学价值及建议 关于反证法的教学，从早期就要向学生渗透这种思想，凡事不一定非常严谨，只要学生能够明白、认可其中的说理就可以。 例如，在黑板上写出三个整数，然后擦去一个换成所剩两数之和，这样继续操作下去，最后得到66,88,99.问原来三个数字能否是1,3,5？对于这个问题的判断就可以使用反证法的思想，那就是如果原来写的是1,3,5，那么从第一次改变后，三个数永远是两个奇数一个偶数，所以不可能是像66,88,99这样两个偶数一个奇数的状态。 另外，由于数学归纳法也可以用反证法证明，所以凡是能用数学归纳法证明的命题，就一定能用反证法证明。一般思路就是：若命题并非对任意的n 都真，则存在()0n P 不真。假设所有的这样的0n 组成集合0N ,用证明数学归纳法相同的方法，从最小数原理推出矛盾来说明之。 4.1 反证法的教学价值 4.1.1 训练逆向思维 为了解决一个面临的数学问题,通常总是先从正面入手进行思考,即根据问题中的已知条件,搜索运用已掌握的数学知识去推理运算逐步由已知导出末知。若从正面入手繁琐或难度较大,不妨考虑问题的相反方面,往往会绝处逢生,开拓解题思路。这种逆向思维,在数学解题中有4种形式:正逆运算转化、条件,结论转化、互为反函数间的转化、以反记法解题,反记法的教学能摆脱学生的思维定势、简化运算过程,明晰解题思路,提高解题速度,促进创新思维。 4.1.2 促进数学思维的形成 数学思想方法是科学思维的方法和技术,是数学的精髓,它为揭示数学本质，提供了有力的思想武器。数学思想方法是动态思辩的,重在培养创造性、开拓性人才。新一轮课程教学改革强调创造性、生成性,得以形成数学文化、数学思维,如何去做是我们关注的。中国初等数学教育明显的好于西方,但到大学阶段的学生却缺少创造性,很难有所成就 ,更不必说获诺贝尔奖,这种情况早就应引起我们反思。我们的数学教学偏重于解题训练,题海战术。而启发性思维、理解、悟得思想方法的不多。因而形成学生成绩的两极分化,讨厌数学,甚至数学尖子生也远离数学,回想起数学来就心生畏惧。加强思想方法教学是数学的本质要求,是当下世界经济竞争的需要,也是提高全民族整体素质的重要举措。是社会发展的需要,更是提高数学质量的基本保证。而通过反证法的训练是培养数学思想方法的很好途径。欧几里德很喜欢运用的归谬法，它是数学家最有力的一件武器,比起象棋开局时牺牲一子以取得全局的让子法,它还要高明。象棋奕者不外牺牲一卒或顶多一子,数学家索性把全局拱手让给对方！”这种先弃后取、欲擒故纵的策略实在是数学证明中极为有效的一种方法。 4.1.3 培养思维严密性 训练逻辑思维能力反证法是典型的间接证法,也是通过证明原命题的等价命题从而证明原命题。在证明过程中的每一环节都要全面、不遗漏。比如否定原题结论反设后有几种情况,必须进行分类讨论,一一加以否定。反证法与直接证法是密切联系的，二者相结合往往相辅相成,相得益彰。就全局而言是反证法,但从局部看,在作反设后的推理过程用的是直接证法。有时在基本直接证法的推理中,又会穿插一段反证法,以确定某些所需论据,反设时,必须注意弄清原题结论的反面,周密地列出与原题结论相悖的所有不同情况,再否定,不能有所遗漏。 4.1.4 渗透数学史 提高辩证思维的能力反证法是一种重要的证明方法,无论在初等数学还是高等数学中,都有广泛的应用,数学中一些基本性质,重要定理甚至某些著名的数学难题,往往用反证法证得。举世闻名的费尔马大定理,这个多年前的数学难题被攻克,就是反证法的的功绩,欧几里德曾用它证明素数有无穷多个。因此反证法对训练学生辨证思维,提高哲学修养很有价值。 4.2 反证法的教学建议 由于反证法的逻辑依据是逻辑学和集合论,比较复杂,所以书上没有给出其概 念,从小学、初中、到高中都用到,代数、几何都使用。为此教学工作如下设想。 4.2.1 多次反复, 螺旋上升 反证法的知识本身很难,学生多次学习都感到似懂非懂,下次见到又是生面孔,因此, 不能期待一次完成,一蹴而就,要通过看书,示范例题,探索解题,回顾推敲,揭示内涵,思悟提高,等慢慢地掌握。 4.2.2 精心研究, 训练反设 在反证法证明中准确了解掌握命题结构,列出其否定式是十分重要的。 4.2.3 渗透数学思想方法, 训练严密 先由教师引导,将思想隐于分析过程中,再师生共同概括提炼,加以量化。然后 由学生反过程,探索分析问题思想,以达到提高、升华。最后,力求使学生学会运用反证法思想武器指导思维活动,在高层次感受其威力。 4.2.4 共同探究, 总结归谬类型 归谬是用反证法证明的核心部分。为了进行新的否定,必须在推理过程中有意 识地制造矛盾并及时地发现矛盾。通常可以从以下几个方面去寻找矛盾。 (1)导出新结论与公理矛盾。 例 1 设c b a 、、是同一平面内的三条直线,且,//,//c b c a 求证:.//b a 证明:假设a 不平行b ,则直线b a ,必交与一点k ,由已知条件,//,//c b c a 说明过直线c 作一点 k ,可作两条相交直线b a ,与已知直线c 平行,与平行公理矛盾,所以.//b a . (2)导出的新结论与已知定义矛盾。 例 2 设c b a 、、是同一平面内的三条直线,且c a ⊥,b 与c 斜交,求证:b a ,相交。 证明:假设b a ,不相交,则必有.21//∠=∠，b a b 与 c 斜交,?≠∠∴902,从而?≠∠901,即a 与c 的交角不是直角,这与垂线定义相矛盾,所 以b a ,必相交。 (3)导出的新结论与已知的定理矛盾。 (见例1) 例 3 两个自然数的任意一个公倍数 都是其最小公倍数的倍数。如[]m b a =,，而n 是b a ,的任意一个公倍数,那么n m /。 证明: 假设,n m +那么用m 除,n 得()a/r,/,/,0∴<<+=m ma n a m r r mq n 同样 ，n b m b /,/ ,0,/m r b a r r b <<∴∴的公倍数，而、是这与[],,m b a =矛盾,./n m ∴ (4)寻出的新结论与反设相矛盾。 例 4 求证2不是有理数。 证:假设2是有理数。注意到处= 1< 2 < 4 =2,则可设q p = 2,其中q p ,为互素的互整数, ,1>q ①平方得22 2q p =即，222q q =②所以2q 是偶数,此时q 也是偶数,由此()N m m q ∈=2代 入② ,所以2p 是偶数,此时p 也是偶数,q 也是偶数,于是q p ,均为偶数,有公因数2,这与 q p ,互素的假设矛盾,因此2 不是有理数。 (5)得出的结论与推理过程中间某一结论矛盾,即自相矛盾。 例 5 试证明三个连续整数中的最大一个数的立方不可能等于其它的数的立方和。 证:设三个连续整数为.1,,1-+n n n 假设()()3 33 1-1n n n +=+成立,化简得()6-22n n =(1)、故 6-n 与2n 同为正数,即,06->n 知6>n ,则有()266-22>>n n 与(1)式矛盾,故原命题成立。 第 5 章总结 反证法是一种特别重要的证明方法，在数学中非常普遍，尤其是高等数学；在初等数学中用处也很广泛，但是不能很好的被学生掌握，究其原因，于中国传统数学有很大的关系。反证法的出现，主要是解决困扰西方很多年的无限问题。西方很重视数学证明中逻辑的严密性，第一第二次数学危机都与无限有关，无理数与无穷小。通过反证法化无限为有限来解决问题，方便很多。中国与西方不同，很少受到无限思维的困扰，中国人多用反驳而少用反证法。 反证法的这种逆向思维的方式，在我们的数学道路上扮演着很重要的角色，是我们认识数学的另一道门，学习研究反证法使我受益匪浅。 衷心感谢王志玺老师在本篇论文写作过程中的指导和帮助。 参考文献 [1] 肖承法.反证法在中学数学中的应用.新课堂，2010. [2] 孙宗明.数学证明方法[M].兰州大学出版社,1995.56. [3] 周春荔.数学观与方法论[M].首都师范大学出版社,1996:151、153. [4] 蔡亲鹏，陈建花.数学教育学. 浙江大学出版社，2008(10). [5] 段耀勇，杨朝明.反证法的历史沿革.武警学院学报,河北廊坊，2003(8). [6] 李宗俊.反证法的逻辑根据.宜宾市专学报,1992. 中学数学教学中的反证法 在生活中，我们都有这样的常识，去掉大米中的砂粒，有两种方法.一种是直接从大米中把砂粒一粒一粒地拣出来；一种是用间接的方法――淘洗法，把砂粒残留下来.这两种方法虽然形式不同，但结果却是一样的，都能达到去掉砂粒的目的.有时用直接方法很困难，而用间接方法却容易得多.牛顿曾说：“反证法是数学家最精当的武器之一.”当一些命题不易从正面直接证明时，就可考虑用反证法. 一、反证法的基本概念 1.反证法的定义 法国数学家阿达玛对反证法的实质做了如下概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾.”这是对反证法的极好概括.其实反证法也称作归谬法。反证法适合一些正面证明比较困难，但是否定则比较简单的题目，在高中数学中的应用较为广泛，在解决一些较难问题的时候，反证法能体现其优越性. 2.反证法的基本思想 反证法的基本思想就是否定之否定，这种基本思想可以用下面的公式表示： “否定→推理→矛盾→肯定”，即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定. 3.反证法的逻辑依据 通过以上三个步骤，为什么能肯定原命题正确呢？其逻辑根据就在于形成逻辑的两个基本规律：“排中律”和“矛盾律”.在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”.反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假.再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于 1、用反证法证明一个命题时，下列说法正确的是 Ａ．将结论与条件同时否定，推出矛盾 Ｂ．肯定条件，否定结论，推出矛盾 Ｃ．将被否定的结论当条件，经过推理得出的结论只与原题条件矛盾，才是反证法的正确运用 Ｄ．将被否定的结论当条件，原题的条件不能当条件 2、否定“自然数a 、b 、c 中恰有一个偶数”时的正确反正假设为 A ．a 、b 、c 都是奇数 B ．a 、b 、c 或都是奇数或至少有两个偶数 C ．a 、b 、c 都是偶数 D ．a 、b 、c 中至少有两个偶数 3、用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反证假设正确的是 A ．假设三内角都不大于60° B ．假设三内角都大于60° C ．假设三内角至多有一个大于60° D ．假设三内角至多有两个大于60° 4、设a ，b ，c ∈(－∞，0)，则三数a ＋1b ，c ＋1a ，b ＋1c 中 A ．都不大于－2 B ．都不小于－2 C ．至少有一个不大于－2 D ．至少有一个不小于－2 5、若P 是两条异面直线l 、m 外的任意一点，则 A ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都平行 B ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都垂直 C ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都相交 D ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都异面 6、已知x 1>0，x 1≠1且x n ＋1＝x n (x 2 n ＋3)3x 2n ＋1 (n ＝1,2…)，试证“数列{x n }或者对任意正整数n 都满足x n 浅谈反证法 聂震 1310300235 摘要：反证法是数学中一种应用广泛的证明方法，在许多方面都有着不可替代的作用。从最基本的性质定理，到某些难度很大的世界难题都是用反证法来证明的。反证法不仅可以单独使用，也可以结合其他方法一同使用，还可以在论证同一命题时多次使用。本文主要从什么是反证法、反证法的依据、为什么使用反证法、反证法解题步骤、适用题型及举例、如何做出正确反设六个方面浅谈反证法。 关键词：反证法归谬法矛盾假设 引言：有个很著名的“道旁苦李”的故事：从前有个名叫王戎的小孩，一天，他和小朋友发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘，尝了之后才知是苦的，独有王戎没动，王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的。”这个故事中王戎用了一种特殊的方法，从反面论述了李子为什么不甜，不好吃。这种间接的证法就是我们下面所要讨论的反证法。 反证法是一种应用广泛的数学证明方法，它的应用与发展历史悠久，早在古希腊，数学家就应用它证明了许多重要的数学命题，欧几里德的《几何原本》已经开始运用反证法。牛顿曾说过，反证法是“数学家最精当的武器之一”，它在许多方面都有着不可替代的作用。在现代数学中，反证法已经成为最常用最有效的解决问题的方法之一。 一．定义： 反证法（又称背理法）是一种论证方式，他首先假设某命题不成立（即在原命题的题设下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证。反证法与归谬法相似，但归谬法不仅包括推理出矛盾结果，也包括推理出不符事实的结果或显然荒谬不可信的结果。 二．反证法的依据： 反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。 在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是 初中几何反证法专题 学习要求 了解反证法的意义，懂得什么是反证法。 理解反证法的基本思路，并掌握反证法的一般证题步骤。 知识讲解 对于一个几何命题，当用直接证法比较困难时，则可采用间接证法，反 证法就是一种间接证法，它不是直接去证明命题的结论成立，而是去证明命 题结论的反面不能成立。从而推出命题的结论必然成立，它给我们提供了一 种可供选择的新的证题途径，掌握这种方法，对于提高推理论证的能力、探 索新知识的能力都是非常必要的。下面我们对反证法作一个简单介绍。 1．反证法的概念： 不直接从题设推出结论，而是从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫做反证法。 2．反证法的基本思路： 首先假设所要证明的结论不成立，然后再在这个假定条件下进行一系列的正确逻辑推理，直至得出一个矛盾的结论来，并据此否定原先的假设，从 而确认所要证明的结论成立。这里所说的矛盾是指与题目中所给的已知条件 矛盾，或是与数学中已知定理、公理和定义相矛盾，还可以是与日常生活中 的事实相矛盾，甚至还可以是从两个不同角度进行推理所得出的结论之间相 互矛盾（即自相矛盾）。 3．反证法的一般步骤： (1)假设命题的结论不成立； (2)从这个假设出发，经过推理论证得出矛盾； (3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。 简而言之就是“反设－归谬－结论”三步曲。 例1．已知：AB、CD是⊙O内非直径的两弦（如图1），求证AB与CD不能互相平分。 （1） 证明：假设AB与CD互相平分于点M、则由已知条件AB、CD均非⊙O直径，可判定M不是圆心O，连结OA、OB、OM。 ∵OA＝OB，M是AB中点 ∴OM⊥AB（等腰三角形底边上的中线垂直于底边） 同理可得： OM⊥CD，从而过点M有两条直线AB、CD都垂直于OM 本科生毕业论文 浅谈中学数学中的反证法 院系：数学与计算机科学学院 专业：数学与应用数学 班级： 2008级数学与应用数学(2)班 学号： 200807110211 姓名：黎康乐 指导教师：陈志恩 完成时间： 2012年5月26日 浅谈中学数学中的反证法 摘要: 数学命题的证明分直接证法和间接证法两种．在间接证法中，最常见的是反证法．虽然平时我们接触了相关方面的知识，但比较零散，对其概念、应用步骤、使用范围等没有系统的认识，并且由于数学命题的多样性、复杂性，哪些命题适宜用反证法很难给出确切的回答.本课题通过查阅资料和自己在学习数学过程中的发现就中学数学中反证法的概念、反证法的逻辑依据、种类及步骤，解题过程中怎样由假设出发寻找矛盾、以及哪些类型的问题适宜从反证法出发进行证明的问题进行了归纳．并总结出在学习反证法的过程中应注意的三个方面，通过对以上提出的所有问题进行系统归纳，这有利于帮助学生系统的学习反证法，提高学生利用反证法进行解题的技巧从而达到预期效果. 关键词:反证法假设矛盾结论 Abstract:The mathematical proof points directly proofs proposition and indirect proof two. In indirect proof, the most common is required. Although peacetime we contact with the related knowledge, but is scattered, of the concept, application procedures, the scope of use of not understanding of the system, and the mathematical proposition the diversity and complexity, which is suitable for proposition is very difficult to give the exact with reduction to answer. This subject will be required in the middle school mathematics concept, apagoge is logical basis, types and steps, problem solving process of how a hypothesis of contradictions, and looking for what types of questions appropriate counter-evidence method from the proof of the set out on the induction. And summed up in the process of learning be should be paid attention in the three aspects, through all the questions put to the above system induce, this will help the students to learn the required system, improve the students use to problem solving skills required to achieve the expected effect. Key words:Counter-evidence method hypothesis contradiction conclusion 65yttrgoi 用反证法证明几何专题 对于一个几何命题，当用直接证法比较困难时，则可采用间接证法，反证法就是一种间接证法，它不是直接去证明命题的结论成立，而是去证明命题结论的反面不能成立。从而推出命题的结论必然成立，它给我们提供了一种可供选择的新的证题途径，掌握这种方法，对于提高推理论证的能力、探索新知识的能力都是非常必要的。下面我们对反证法作一个简单介绍。 一、反证法的概念： （又称归谬法、背理法）是一种论证方式，不直接从题设推出结论，而是从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫做反证法。 二、反证法的基本思路： 首先假设所要证明的结论不成立，然后再在这个假定条件下进行一系列的正确逻辑推理，直至得出一个 矛盾的结论来，并据此否定原先的假设，从而确认所要证明的结论成立。这里所说的矛盾是指与题目中所给的已知条件矛盾，或是与数学中已知定理、公理和定义相矛盾，还可以是与日常生活中的事实相矛盾，甚至还可以是从两个不同角度进行推理所得出的结论之间相互矛盾（即自相矛盾）。 三、反证法的一般步骤： (1)假设命题的结论不成立； (2)从这个假设出发，经过推理论证得出矛盾； (3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。 简而言之就是“反设－归谬－结论”三步曲。 在应用反证法证题时，一定要用到“反设”，否则就不是反证法。用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。 四、适用范围 “反证法”宜用于证明否定性命题、唯一性命题、“至少”“至多”命题和某些逆命题等，一般地说“正难则反”凡是直接法很难证明的命题都可考虑用反证法。 五、反证法在平面几何中的应用 例1．已知：AB 、CD 是⊙O 内非直径的两弦（如图1），求证AB 与CD 不能互相平分。 （1） 证明：假设AB 与CD 互相平分于点M 、则由已知条件AB 、CD 均非⊙O 直径， 可判定M 不是圆心O ，连结OA 、OB 、OM 。 ∵OA ＝OB ，M 是AB 中点 ∴OM ⊥AB （等腰三角形底边上的中线垂直于底边） 同理可得：OM ⊥CD ，从而过点M 有两条直线AB 、CD 都垂直于OM 这与已知的定理相矛盾。故AB 与CD 不能互相平分。 归缪法 穷举法 论文 反证法在数学中的应用 开封县八里湾镇第一初级中学 杨继敏 反证法在数学中的应用 摘要反证法是数学教学中所涉及的基本论证方法,它为一些从正面入手,无法使已知条件和结论找出联系的问题，提供了一条解题途径，它通过给出合理的反设,来增加演绎推理的前提，从而使那种只依靠所给前提而变的山穷水尽的局面,有了柳暗花明又一村的境地,使学生看到增加演绎推理前提的方便功效。在过去的数学学习中,许多人拘泥于传统的推理方法，常常使问题复杂化,尽管最后能达到目的，但往往费时费力,因为数学的研究往往体现一种思维转换，我们可以用一种“换位”思想来处理我们日常遇到的数学问题。 【关键词: 逆向思维;假设；归谬;数学逻辑推理；矛盾；结论。】 １．引言 反证法是数学中一种重要的解题方法，对数学解题有着重要作用。其基本思想是通过求证对立面的不成立从而推出正面的正确。因为这种方法推理严密，说服性强，所以除了在数学中应用反证法,在实际生活中的应用也比较广泛。 在不同的数学情境下,反证法的前提假设不同。因此，在数学中应用反证法,一定要具体问题提出相应具体正确的假设。这就需要熟练掌握反证法的反设词，除此,还应熟记反证法的证题步骤——假设，归谬，结论。有关这个课题的研究,以及涉及到各种文章说明其步骤，适用范围，并附以大量例题。但对反证法在数学中的应用,文字讲解与反证法适宜的数学题型的归纳总结还欠缺。本文就基于这方面的考虑,根据反证法在数学中适宜的命题应用进行了详细的文字讲解及归纳总结。 2. 反证法初探 ２.1 反证法的含义及逻辑依据 含义:所谓反证法就是从反面证明命题的正确性，即欲证明“p则q”,则从反面推导出“若p非q”不能成立,从而证明“若p则ｑ”成立。它从否定结论出发,经过正确的严格推理,得到与已知（假设)或已成立的数学命题相矛盾的结果,从而验证产生矛盾的原因，推出原命题的结论不容否定的正确结论。 浅谈中学数学中的反证法 摘要：反证法在数学中是一种非常重要的间接证明方法，它被称为“数学家最精良的武器之一”，又称为归谬法、背理法。反证法不仅是一种论证方法，还是一种思维方式，对培养和提高学生的逻辑思维能力和创造性思维能力也有极其重要的作用，还能拓展学生的解题思路，从而使学生形成良好的数学思维。反证法在中学数学中有着广泛的应用，如今学生在运用反证法解题中，基础一般的学生会受到思维能力的限制，如果能恰当的使用反证法，在一些有难度的题目上也许能够得到解决。所以本文首先会叙述反证法的产生，具体阐述反证法的定义，即反证法的概念、分类、科学性，介绍反证法在中学数学中的应用并举例分析以及说明应用反证法要注意的问题。 关键词：反证法；中学数学；应用； On the Proof by Contradiction in Middle School Mathematics Abstract：Proof by contradiction is a very important indirect proof method in mathematics, it is called "one of the most sophisticated weapons of mathematicians", also known as reduction to absurdity, unreasonable method. Proof by contradiction is not only an argumentation method, but also a way of thinking. It plays an extremely important role in cultivating and improving students' logical thinking ability and creative thinking ability. It can also expand students' thinking of solving problems, so that students can form good mathematical thinking. Anyway, the method has been widely used in middle school mathematics. Nowadays, when students solve problems with the method of proof by contradiction, the students with general foundation are limited by their thinking ability. If the method of proof by contradiction can be used properly, they may be able to solve some difficult problems. Therefore, this paper will first describe the source of proof by contradiction, specifically elaborate the definition of proof by contradiction, that is, the concept, classification and logical basis of proof by contradiction, introduce the application of proof by contradiction in middle school mathematics and explain the problems to be noticed in the application of proof by contradiction. Keywords：proof by contradiction; Middle school mathematics; Application; 4.6 反证法 ◆基础练习 1．“a 8．如图，已知AB∥CD，求证：∠B+∠D+∠E=360°． 9．请举一个在日常生活中应用反证法的实际例子． ◆综合提高 10．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，?应先假设这个三角形中（ ） A ．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60° C ．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60° 11．若用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45 °”时，应假设______________． 12．用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补． 132是一个无理数．（说明：任何一个有理数均可表示成 b a 的形式，且a ，b 互质） 14、试写出下列命题的反面： （1）a 大于2 _____________;（2）a⊥b _______________. 15、用反证法证明“若22a b ≠，则a b ≠”的第一步是______________. 16、填空：在△ABC 中，若∠C 是直角，那么∠B 一定是锐角. 证明：假设结论不成立的，则∠B 是__________或_________. ①当∠B 是_______时，则__________,这与____________________矛盾； ②当∠B 是_______时，则__________,这与____________________矛盾. 反证法 从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明的证明方法叫反证法。它是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得。 反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”。反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假。再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真。所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的。 反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推理→否定”。即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”。应用反证法证 明的主要三步是：否定结论 → 推导出矛盾 → 结论成立。实施的具体步骤是： 第一步，反设：作出与求证结论相反的假设； 第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾； 第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。 在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法。用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。 在数学解题中经常使用反证法，牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。一般来讲，反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“无限”形式出现的命题；或者否定结论更明显。具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。 例1.[05.北京]设()f x 是定义在[0,1]上的函数，若存在'(0,1),x ∈使得()f x 在[0,']x 上单调递增，在[',1]x 上单调递减，则称()f x 为[0,1]上的单峰函数，'x 为峰点，包含峰点的区间为含峰区间。 对任意的[0,1]上单峰函数()f x ，下面研究缩短其含峰区间长度的方法。求证：对任意的1212,(0,1),,x x x x ∈<若12()()f x f x ≥，则2(0,)x 为含 中考数学解题方法反证法专题 在初中数学题目的求解过程中，当直接证明一个命题比较复杂麻烦，甚至不能证明时，我们可以采用反证法.反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法.反证法可以分为归谬 反证法（结论的反面只有一种）与穷举反证法（结论的反面不只一种）. 用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：（1）反设；（2）归谬；（3）结论.反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大于/不大于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有（n-1）个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个. 归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水.推理必须严谨.导出的矛盾有如下几种类型：与已知 条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾. 至于什么问题宜用反证法？这是很难确切回答的问题.下面我们就结合实例归纳几种常使用反证法的 情况. 一、基本定理或初始命题的证明 在数学中，许多基本定理是使用反证法来证明的，例如“过直线外一点只有该直线的一条平行线”，“过平面外一点只有平面的一条垂线”.因为在证明这种基本定理时，由于除已经学过的公理及其推论外，在此之前所导出的定理不多或者与此命题相关的定理不多. 例1在同一平面内，两条直线a，b都和直线c垂直.求证：a与b平行. 证明假设命题的结论不成立，即“直线a与b相交”. 不妨设直线a，b的交点为M，a，b与c的交点分别为P，Q，如图1所示，则∠PMQ>0°. 这样，△MPQ的内角和=∠PMQ+∠MPQ+∠PQM=∠PMQ+90°+90°>180°. 这与定理“三角形的内角和等于180°”相矛盾.说明假设不成立. 浅谈中学数学中的反证法 数学与计算机科学学院数学与应用数学 105012011138 黄义瑜 【摘要】反证法一种间接的数学证明方法，也是一种重要的数学思想.他首先假设某命题不成立，然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证.证明的一般步骤为反设、归谬、结论.虽然在中学数学的课本中所占篇目较少，但应用广泛，能锻炼学生的逆向思维.论文中将阐述反证法的概念、证明步骤、思维方式以及适用题型.深刻理解反证法的实质，切实掌握它的解题要领，能提高逻辑思维能力和解决实际问题的能力. 【关键词】反证法命题中学数学高考高等数学 有个著名的“道旁苦李”的故事：传说，王戎从小就非常聪明.有一天，他和小伙伴们出去游玩，发现路边有几株李树，树上结满了李子，而且看上去一个个都熟透了.小伙伴们一哄而上，摘了尝了之后才发现李子是苦的.只有王戎没动，王戎说：“如果李子不苦的话，早就被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的.”这个故事中王戎从反面论述了李子为什么不甜，不好吃.这种间接的证法就是我们下面所要讨论的反证法. 1 反证法的由来 反证法是数学中的一种证明方法，它是与直接证法相对的间接证法的一种.法国数学家J·阿达玛在其所著《初等数学教程》（平面几何卷）中作了最准确、最简明扼要的描述：“反证法在于表明，若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”.反证法作为一种最重要的数学证明方法，在数学命题的证明中被广泛应用.欧几里得证明“素数有无穷多”的结论，欧多克斯证明“两个正多边形的面积比等于其对应线段比的平方”的结论，“最优化原理”的证明，伽利略推翻“不同重量的物体从高空下落的速度与其重量成正比”的断言，“上帝并非全能”的证明，都用了反证法. 2 反证法的概念 反证法是一种反面的角度思考问题的证明方法，是数学中常用的间接证明方法之一，属于“间接证明”的一类.即肯定题设而否定结论，从而导出矛盾，推理而得. 法国数学家阿达玛对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”.具体来说就是，假设命题的结论不成立，在已知条件和“否定命题结论”的新条件下，通过逻辑推理，得出与公理﹑定理、题设、临时假定相矛盾的结论矛盾或自相矛盾，从而断定命题结论的反面不成立，即证明了命题的结论一定是正确的，当命题由已知不易直接证明时,改证它的逆命题的证明方法叫反证法. 浅谈中学数学中的反证法 摘要小结在解题过程中怎样由假设出发寻找矛盾,哪些类型的问题适用于反证法,以及在学习反证法的过程中应注意的两方面。 关键词反证法命题反设归谬结论 ０引言 反证法是数学的一种极其重要的方法，特别是遇到的一些直接证明难于入手，甚至无法入手的问题，反证法可使证明变得轻而易举。它和分析法、综合法一样，有着悠久的历史，应用也相当广泛。 在中学数学中，反证法是一个难点。在学习反证法之前，学生在学习平行线、相交线、三角形等各章中，证题用的都是直接证法，突然学习反证法，与已有的证题习惯不同，所以学生初学反证法，会有排斥的心理。加之，现在课本要求不高，例题很少，学生与老师不重视，知识不巩固，使学生无法深刻理解反证法的作用。但是，中学生好奇心强，对新鲜事物兴趣浓，抓住这一特点，从浅显的、学生熟知的事实入手说明“反证法”，再引导其抽象概括，就能收到很好的教学效果。论文中通过几个例子表现反证法的思维方式，说明反证法在解题中的重要作用，并总结哪些类型的问题适用于反证法。深刻理解反证法的实质，切实掌握它的解题要领，能提高逻辑思维能力和解决实际问题的能力。 １反证法的由来 反证法是数学中的一种证明方法，它是与直接证法相对的间接证法的一种。法国数学家J·阿达玛在其所著《初等数学教程》（平面几何卷）中作了最准确、最简明扼要的描述：“反证法在于表明，若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。反证法作为一种最重要的数学证明方法，在数学命题的证明中被广 泛应用。欧几里得证明“素数有无穷多”的结论，欧多克斯证明“两个正多边形的面积比等于其对应线段比的平方”的结论，“最优化原理”的证明，伽利略推翻“不同重量的物体从高空下落的速度与其重量成正比”的断言，“上帝并非全能”的证明，都用了反证法。 ２什么是反证法 反证法是从原命题结论的反面出发，通过正确的逻辑推理过程，导致矛盾的结果，从而肯定原命题结论正确的证明方法。它是反设后通过归谬使命题得到证明的方法，所以，反证法又称“归谬法”。英国数学家哈代对于这种证法给过一个很有意思的评论，在棋类比赛中，经常采用一种策略，叫“弃子取势”，即牺牲一些棋子以换取优势。哈代指出，归谬法是远比任何棋术更为高超的一种策略，棋手可以牺牲的是几个棋子，而数学家可以牺牲整盘棋。反证法就是作为一种可以想象的最了不起的策略而产生的。 ３反证法的一般步骤 应用反证法证题，首先应分清命题的条件和结论，再按“反设→归谬→结论”三步进行： 3.1反设 作出与原命题结论相反的假设。反设是应用反证法的第一步，也是关键的一步。反设的结论将是下一步归谬的一个已知条件。反设是否正确、全面，直接影响下一步的证明。作为反设其含义是：假设所要证明的命题的结论不成立，而讨论的反面成立故应准确找到命题的结论，抓住关键的字句进行分析、引导、示范、训练，体会怎样对命题的结论进行正确、全面的否定。在训练时，主要做以下工作：（1）正确分清题设和结论。（2）对结论实施正确否定。一般而言，一种情形是直接在结论前加“不”或去掉“不”。例如：是→不是，有→没有，能→不 高中数学反证法综合测试题(含答案) 选修2-2 2.2.2 反证法 一、选择题 1．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是() A．有一个解 B．有两个解 C．至少有三个解 D．至少有两个解 [答案] C [解析] 在逻辑中“至多有n个”的否定是“至少有n＋1个”，所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”，故应选C. 2．否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为() A．a、b、c都是奇数 B．a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数 C．a、b、c都是偶数 D．a、b、c中至少有两个偶数 [答案] B [解析] a，b，c三个数的奇、偶性有以下几种情况：①全是奇数；②有两个奇数，一个偶数；③有一个奇数，两个偶数； ④三个偶数．因为要否定②，所以假设应为“全是奇数页 1 第 或至少有两个偶数”．故应选B. 3．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60”时，反设正确的是() A．假设三内角都不大于60 B．假设三内角都大于60 C．假设三内角至多有一个大于60 D．假设三内角至多有两个大于60 [答案] B [解析] “至少有一个不大于”的否定是“都大于60”．故应选B. 4．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c ＝0(a0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是() A．假设a，b，c都是偶数 B．假设a、b，c都不是偶数 C．假设a，b，c至多有一个偶数 D．假设a，b，c至多有两个偶数 [答案] B [解析] “至少有一个”反设词应为“没有一个”，也就是说本题应假设为a，b，c都不是偶数． 浅谈反证法在数学中的应用 摘要 反证法在数学中是一种极其重要的证明方法，被称为“数学家最精良的武器之一”。它与一般证明方法不同，反证法可分为归谬反证法和穷举反证法两种。只要抓住要领，反证法就能使一些不易直接证明的问题变得简单，易证，它在数学证题中确有独到之处。本文主要介绍了反证法的基本概念、步骤、依据及分类。对于反证法的应用需注意事项和解题步骤做一些论述。 关键词：反证法；归谬；矛盾；假设；结论 Abstract Contradiction in mathematics is an extremely important method of proof, known as "mathematician one of the most sophisticated weapons." It is different with the general method of proof, proof by contradiction can be classified into two kinds of absurd contradiction and exhaustive reductio ad absurdum. Simply grab the essentials, reductio ad absurdum can make a number of difficult problems becomes simple direct proof, easy to prove, it is proof in mathematics problem in that there are unique. This paper describes the concept of reductio ad absurdum, steps, basis and classifications.The reductio ad absurdum of the application notes and problem-solving steps required to do some exposition. 毕业论文 学生姓名XXX学号1610010XXX 学院数学科学学院 专业数学与应用数学 题目浅谈中学数学中的反证法 XXX 副教授/博士 指导教师 2014年5月 摘要: 反证法是从反面的角度来思考问题的证明方法.在此文章中主要阐明了反证法的概念、证明的一般步骤、反证法的种类及其在中学数学中的应用. 关键词：反证法，适用范围，假设 Abstract: Proof by contradiction is a method to prove the problem from the opposite point of view. In this article, we mainly dicuessed the definition of proof by contradiction and the general steps of it. Furthermore, we applied it in Mathematics in middle school. Key word: Proof by contradiction, scope of application , hypothesis 目录 1引言 (4) 2反证法的概述 (4) 3 反证法的适用范围 (5) 4运用反证法应该注意的问题 (10) 总结 (11) 参考文献 (12) 致谢 (13) 1 引言 1589年，意大利的科学家伽利略登上了比萨斜塔，同时丢了两个不同质量的铁球.用实验推翻了古希腊科学家亚里士多德的“不同重量的物体从高处下落的速度与其重量成正比”的论断.而在此之前伽利略做了如下的推理论证： 假设假设亚里士多德的断言是正确的.设物体比物体的重量重很多，则应比先 a b a b 落地.现在把物体和绑在一起成为物体，则=+.一方面，由于比要重，它应该 a b c c a b c a a a b a b b a 比先落地.另一方面，由于比落得快，、一起的时候，应该是“拉了的后腿” a c a c a a 迫使的下落速度减慢，所以，物体应该比后落地.这样一来，应比先落地又应比 后落地，这样产生了矛盾，所以假设是不成立的.因此亚里士多德的断言是错误的. 伽利略的论证是有力的，逻辑性极强的，而伽利略的这种方法就是我们现在将要介绍的反证法.反证法在初中高中数学学习中有很多的运用，乃至大学或者更高的学习中都会用到反证法.它不仅是一种解题方法，更是一种锻炼学生逆向思维的手段.本文重点总结了反证法的概念，反证法的一般步骤，以及反证法的种类和适用范围等方面，同时指出了使用反证法时应该注意的问题. 2 反证法的概述 2.1 反证法的概念 反证法就是指“证明某个命题时，先假设它的结论的否定成立，然后从这个假设出发.根据命题的条件和已知的真命题，经过推理论证得出与已知事实（条件，公理，定义，定理，法则，公式等）相矛盾的结果.这样就证明了结论的否定是不成立的，从而间接的肯定了原命题的结论成立.”这种证明方法叫做反证法. 还有人将反证法总结为证明逆否命题的方法.他们认为证明原命题的真假，就是证明原命题的逆否命题是否成立.若一个命题为“若则”,当为真，则（其中 A B A B ??? ?B A ?B A B 表示命题的否定）为真，当为假，则为假. B ??? ?B A 2.2 运用反证法的步骤 运用反证法证题一般分为三个步骤： 1）假设原命题不成立； 2）从这个结论出发，经过推理论证得出矛盾； 3）由矛盾判定假设不成立，从而肯定原命题的结论正确. 即先提出假设，然后推出矛盾，最后肯定结论. 24.2课题：反证法 【学习目标】 1、知识与能力：通过实例，体会反证法的含义；培养用反证法简单推理的技能，进一步培养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力。 2、过程与方法：了解反证法证题的基本步骤，会用反证法证明简单的命题. 3、情感目标：构造和谐的教学氛围，增加互动，促进师生情感交流。：培养他们勇于探索和创新精神以及优化他们的个性品质； 【学习重难点】 1、学习重点： ①理解反证法的概念， ②体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤， ③用反证法证明简单的命题。 2、学习难点： 理解“反证法”证明得出“矛盾的所在 【教学过程】 导入：《路边苦李》 王戎怎么知道树上的李子不好吃？ 1、播放动画，学生观看的同时思考 2、教师引导【见后面】。 一、引发思考的三个问题 1、一个三角形中不能有两个直角。为什么？ 证明：假设△ABC中有两个直角 不妨设∠A=∠B=90° 那么∠A+∠B+∠C=180°+∠C＞180° 这与三角形的内角和定理相矛盾 ∴假设不成立 ∴△ABC中不能有两个直角 2、两条直线相交只有一个交点。为什么？ 假设有不止一个交点，则至少有两个交点 这样，过两点就可以做两条直线 这个过两点有且只有一条直线的公理矛盾 所以假设错误 所以两条直线相交有且只有一个交点。 3、若｜a︱﹤a + 2，那么a﹥- 1。为什么？ 惯性思想： 假设a 不是大于–1，就有a = -1和a ﹤-1两种情况， ( 1 ) 假设a = -1，则 1 ﹤ -1 + 2，→ 1﹤1。【与“基本事实”矛盾】( 2 ) 假设a ﹤-1，则–a ﹤a + 2，→ -2a ﹤2 → a ﹥- 1【与“已知”矛盾】 综述，若｜a︱﹤ a + 2，那么 a﹥- 1。 二、生活中的命题 1、你睡着了吗？ 室友甲：喂！你睡着了吗？ 室友乙：嗯，我睡着了！ 命题：“室友乙睡着了”是真命题对吗？ 2、警察正在调查一件盗窃案，他们捉到一个嫌疑犯，把他带到了审问室。但这个嫌疑犯却用笔在纸上写说他是聋哑人，于是警察便用写字的方式询问他。 询问到最后，还是没有什么结果。 就在没有办法的时候，警察无意中说了一句话,意外的戳穿了这个嫌疑犯一开始撒下的谎言。 ①猜猜看，警察说了什么？ ②可以得出什么命题？ 三、怎样思考下列命题地正确性 1、若一个整数的平方是偶数，则这个数一定也是偶数。 假设不是偶数,则是奇数,设个奇数是 2n+1, 则它的平方为 (2n+1)2= 4n2+4n+1=4（n2+n）+1 因为4（n2+n）是偶数，所以4（n2+n）+1是奇数， 这与(2n+1)2为偶数相矛盾 所以这个数必然是偶数。中学数学教学中的反证法-精选教育文档
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