第一章试验设计与均匀设计
1、1试验设计
在工农业生产与科学研究中,经常需要做试验,以求达到预期的目的。例如在工农业生产中希望通过试验达到高质、优产、低消耗,特别就是新产品试验,未知的东西很多,要通过试验来摸索
工艺条件或配方。如何做试验,其中大有学问。试验设计得好,会事半功倍,反之会事倍功半,甚至劳而无功。
本世纪30年代,由于农业试验的需要,费歇尔(R、A、Fisher)在试验设计与统计分析方面做出了一系列先驱工作,从此试验设计成为统计科学的一个分支。随后,F、Yates,R、C、
Bose,O、Kempthome,W、G、Cochran,D、R、Cox与G、E、P、Box对试验设计都作出了杰出的贡献,使该分支在理论上日趋完善,在应用上日趋广泛。60年代,日本统计学家田口玄一将试验设计中应用最广的正交设计表格化,在方法解说方面深入浅出为试验设计的更广泛使用作出了众所周知的贡献。田口玄一的方法对我国试验设计的普及与广泛应用有巨大的影响,70年代我国许多统计学家深入工厂、科研单位,用通俗的方法介绍正交试验设计,帮助工程技术人员进行试验的安排与数据分析,获得了一大批优秀成果,出版了许多成果汇编,举办了不少成果展览会。
在广泛使用试验设计方法的洪流中,必然会出现一些新的问题,这些总就是用原有的各种试验设计方法不能圆满地解决,特别就是当试验的范围较大,试验因素需要考察较多等级(在试验设计中这些等级称之为水平)时,用正交试验及其它流行的试验方法要求做较多的试验,常使得试验者望而生畏。许多实际问题要求一种新的试验方法,它能有效地处理多水平的试验,于就是王元与方开泰于1978年提出了均匀设计(见文献「1－3」),该设计考虑如何将设计点均匀地散布在试验范围内,使得能用较少的试验点获得最多的信息。10多年来,均匀设计在国内得到了广泛应用,并获得
不少好的成果。
试验设计在工业生产与工程设计中能发挥重要的作用,例如: 1）提高产量;
2）减少质量的波动,提高产品质量水准;
3）大大缩短新产品试验周期;
4）降低成本;
5）延长产品寿命。
在自然科学中,有些规律开始尚未由人们所认识,通过试验设计可以获得其统计规律,在此基础上提出科学猜想,这些猜想促进了学科的发展,例如遗传学的许多发现都藉助于上述过程。
材料工业就是工业中的栋梁,汽车拖拉机的制造离不开各种合金钢,钛合金的发明与发现使飞机制造工业产生飞跃。超导的研究与超导材料的配方息息相关。配方试验又称混料试验(Experiments with Mixtures),不仅出现于材料工业,而且在人们生活与其它工业中处处可见,例如在中药、饮料、混凝土的配方中。由于在配方中各种材料的总与必须为100％,其试验设计必须考虑到这个约束条件,由于这个原因正交试验设计等方法不能直接用于配方设计。针对配方设计的要求,Scheffé于1958年提出了单纯形格子点设计,随后于1963年她又提出了单纯形重心设计。Cornell[27]对配方试验设计的各种方法作了详尽的介绍与讨论。显然,均匀设计的思想也能用于配方试验,王元与方开泰[9]给出了配方均匀设计的设计方法与有关的讨论。本书第五章将系统介绍配方试验设计与配方均匀设计。
不论就是均匀设计或配方均匀设计,其数据分析都要藉助于回归分析,要用到线性回归模型、二次回归模型、非线性模型,,以及各种选择回归变量的方法(如前进法、后退法、逐步回归、最优回归子集等)。有关回归分析的书籍成百上千,本书仅作梗概介绍。读者很容易找到各种参考书籍获得更详细的介绍。
试验设计的方法很多,本书重点介绍均匀设计,这并不意味其
它方法不重要,每种方法都有其优点,也有其局限性,根据实际情
况选取合适的方法就是应用统计的重要内容。
1、2试验的因素与水平
在工业、农业、科学研究与军事科学的研究中,经常需要作各种试验,以研究各种因素之间的关系,找到最优的工艺条件或最好的配方。让我们先瞧一个例子:
例1 在一个化工生产过程中,考虑影响得率(产量)的三个因素:温度(A),时间(B)与加碱量(C)。为了便于试验的安排,每个因素要根据以往的经验来选择一个试验范围,然后在试验范围内挑出几个有代表性的值来进行试验,这些值称做该因素的水平。在该例中,我们选择的试验范围如下:
温度: 77.5℃～92.5℃
时间: 75分～165分
加碱量: 4、5%～7、5%
然后在上述范围内,每个因素各选三个水平,组成如下的因素水平表:
表1 因素水平表
选择因素与水平关系到一个试验能否成功的关键,下列的注意事项与建议对使用试验设计的人员可能就是有益的。
1.在一个生产过程中,有关的因素通常就是很多的,例如在例1的化工生产工艺中,有催化剂的品种,催化剂用量,加碱时的速度,容器中的压力等。但根据这次试验目的,除了温度(A),时间(B),与加碱量(C)各取三个水平外,其余因素就是固定的,或者讲,她们只取一个水平。为了
方便,通常这些固定的因素在试验方案中并不称为因素,只有变化的因素才称为因素。
2.在一项试验中,如何从众多的有关因子中挑选出试验方案中的因素？我们建议课题的领导者应当要请有经验的工程师、技术员、工人共同讨论决定。在一次试验中,因素不宜选得太多(如超过10个),那样可能会造成主次不分,丢了西瓜,拣了芝麻。相反地,
因素也不宜选得太少,(如只选定一、二个因素),这样可能会遗漏重要的因素,或遗漏因素间的交互作用,使试验的结果达不到预期的目的。例如,有这样的故事,原计划试验方案中只有三个因素,而利用试验设计的方法,可以在不增加试验数目的前提下,再增加一个因素,既然不费事何乐而不为呢？试验的结果发现,最后添加的这个因素就是最重要的,从而发现了历史上最好的工艺条件,正就是“有心栽花花不成,无意插柳柳成荫。”
3.试验的范围应当尽可能大一点。如果试验在试验室进行,试验范围大比较容易实现;如果试验直接在生产中进行,则试验范围不宜太大,以防产生过多次品,或产生危险。试验范围太小的缺点就是不易获得比已有条件有显著改善的结果。历史上有些重大的发明与发现,就是由于“事故”而获得的,也就就是说试验的范围大大不同于有经验的范围。
4.若试验范围允许大一些,则每一因素的水平个数最好适当多一些。
5.水平的间隔大小与生产控制精度就是密切相关的。若在例1中温度的控制只能作到
±3℃,且我们设定控制在85℃,于就是在生产过程中温度将会在85°±
常用（校园交达电脑最新版）均匀设计表 表1 试验号 1 2 3 1 1 2 4 2 2 4 3 3 3 1 2 4 4 3 1 5 5 5 5 表2 的使用表 因素个数 列号 D 2 1 2 3 1 2 3 表3 )6(4* 6 U 试验号 1 2 3 4 1 1 2 3 6 2 2 4 6 5 3 3 6 2 4 4 4 1 5 3 5 5 3 1 2 6 6 5 4 1 表4 的使用表 因素个数 列 号 D 2 1 3 3 1 2 3 4 1 2 3 4
表5 )7(47U 试验号 1 2 3 4 1 1 2 3 6 2 2 4 6 5 3 3 6 2 4 4 4 1 5 3 5 5 3 1 2 6 6 5 4 1 7 7 7 7 7 表6 )7(47U 的使用表 因素个数 列号 D 2 1 3 3 1 2 3 4 1 2 3 4 表7 )7(4* 7 U 试验号 1 2 3 4 1 1 3 5 7 2 2 6 2 6 3 3 1 7 5 4 4 4 4 4 5 5 7 1 3 6 6 2 6 2 7 7 5 3 1 表8 )7(4* 7 U 的使用表
因素个数 列号 D 2 1 3 3 2 3 4 表9 )8(5* 8 U 试验号 1 2 3 4 5 1 1 2 4 7 8 2 2 4 8 5 7 3 3 6 3 3 6 4 4 8 7 1 5 5 5 1 2 8 4 6 6 3 6 6 3 7 7 5 1 4 2 8 8 7 5 2 1 表10 )8(5* 8 U 的使用表 因素个数 列号 D 2 1 3 3 1 3 4 4 1 2 3 5 表11 )9(59U 试验号 1 2 3 4 5 1 1 2 4 7 8 2 2 4 8 5 7 3 3 6 3 3 6 4 4 8 7 1 5 5 5 1 2 8 4
均匀设计方法简介 在工农业生产和科学研究中，常须做试验，以获得予期目的：改进生产工艺，提高产品收率或质量，合成出某化合物等等。怎样做试验，是大有学问的。本世纪30年代，费歇（R.A.Fisher）在试验设计和统计分析方面做了一系列先驱工作，使试验设计成为统计科学的一个分支。今天，试验设计理论更完善，试验设计应用更广泛。本节着重介绍均匀设计方法。 一、试验设计 对于一项试验，例如用微波加热法通过离子交换制备Cu13X分子筛。我们可以13X分子筛、CuCl2为原料来制备，为寻找最佳条件，应如何设计这个试验呢？若我们已确定了微波加热功率（A）、交换时间（B）、交换液摩尔浓度（C）为三个影响因素，每个因素取五个不同值（即水平：A1，…，A5，B1，…，B5，C1，…，C5）。有两种方法最易想到： 1．全面试验：将每个因素的不同水平组合做同样数目的试验。对上述示例，不计重复试验，共需做5×5×5=125次试验。 2．多次单因素试验：依次考查各因素（考查某因素时，其它因素固定）取最佳值。容易知道，对上示例（不计重复试验）共需做3×5=15次试验。该法在工程和科学试验中常被人们采用，可当考查的因素间有交互作用时，该法所得结论一般不真。 3．正交设计法：利用正交表来安排试验。 本世纪60年代，日本统计学家田口玄一将试验设计中应用最广的正交设计表格化，使正交试验设计得到更广泛的使用。 70年代以来，我国许多统计学家深入工厂、科研单位，与广大工程技术人员、工人一起，广泛开展正交设计的研究、应用，取得了大批成果。该法是目前最流行，效果相当好的方法。 正交表记为：L n(q m)，这里“L”表示正交表，“n”表总共要做的试验次数，“q” 表每个因素都有q个水平，“m”表该表有4列，最多可安排m个因素。常用的二水平正交表为L4(23)，L8(27)，L16(215)，L32(231)；三水平正交表有L9(34)，L27(313)；四水平正交表L16(45)及五水平正交表L25(56)等。采用拟水平法，人们还得到一系列在实际中很有用的混合水平正交表，例如：L8(4×24)，L12(23×31)，L16(44×23)等，此处 L16(44×23)表示要做16次试验，允许最多安排四个“4”水平因素，三个“2”水平因素。在我们的示例中，可取L25(56)。该正交表如下： 6
可查询均匀设计表、均匀设计表概况表、各因素水平排列表(或配方均匀设计的配方表)、相关系数临界值表、检验临界值表、检验临界值表(变量引入/剔除临界值参考用表)及检验临界值表。 一、均匀设计表 １、均等水平的均匀设计表: 所有因素的水平数都是相等的, 均等于运行次数的均匀设计表。可供查询的表共有41个, 每个均匀设计表都有与之配套的使用表, 用这些表可以进行２～７个因素、每个因素为５～31、37个水平的试验设计。图１是均等水平均匀设计表的一个例子。 图１均等水平的均匀设计表及其使用表 ２、混合水平的均匀设计表: 将部分因素的临近水平进行水平合并处理后得到混合水平的均匀设计表(混合水平的均匀设计表没有与之配套的使用表)。可供查询的表共有243个, 用这些表可进行２因素６～30混合水平、３因素６～30混合水平及４因素６～12混合水平的试验设计(运行次数均为双数)。图２是混合水平均匀设计表的一个例子。
图２混合水平的均匀设计表 二、均匀设计表概况表 反映41个均等水平均匀设计表的运行次数、水平数、列数、类型(＊类型还是非＊类型)以及它们可安排试验因素数的总体情况的一个表, 见图３。 图３均匀设计表概况表 三、各因素水平排列表 反映各因素水平数值代号排列方式的表。图４是各因素水平排列表的一个例子。 图４各因素水平排列表 四、配方均匀设计的配方表 反映各原料组成百分比数值排列方式的表。图５是配方表的一个例子。
图５有约束配方均匀设计的原始配方表 五、相关系数临界值表 显著性水平为0.01、0.05、0.10、0.15、0.20和0.25六个水平值的相关系数临界值的表(自由度1～100)。 图６相关系数临界值表(显著性水平α＝0.01) 六、检验临界值表 显著性水平为0.01、0.05、0.10、0.15、0.20和0.25六个水平值的检验临界值的表(第一、第二自由度范围均为1～100)。
?均匀设计方法 ?一、均匀试验设计 ?均匀设计是在正交试验设计的基础上，创造出的一种新适用于多因素、多水平试验的试验设计方法。 ?均匀设计特别适合需要考察因素因素变化范围较大，且每个因素有较多水平的试验设计问题。 ?二、均匀设计及均匀表的使用 ?均匀设计的基本思想就是让试验点在所考察的试验范围内尽量均匀地分布，为了达到均匀布点目的，与正交设计类似，可以使用均匀设计表（简称均匀表）安排试验，均匀表的表头形式是： ? ? ? ?均匀表U4 ? ?正交表U6 ? ?正交表U6
? ? ?三、均匀表的特点 ? 1.任何一列，各水平仅出现一次； ? 2.任何两列同行数码构成的有序数对仅出现一次； ? 3.均匀表中任两列组成的试验方案不等价; 因此，每个均匀表都附加了使用表，告诉我们如何挑选相应的列按排试验。 ? 4.当因素的水平数增加时，试验次数按水平数增加； ? 5.使用表最多可安排的因素数都比均匀表列数少。只能安排（s/2+1）个因素 ?四、用均匀表安排试验的步骤 ? 1.根据试验的目的，确定考察的指标； ? 2.选择合适的因素和因素的考察范围； ? 3.选择合适该项试验的均匀表，然后根据该表的使用表从中选出列号，将因素分别安排到相应的列号上； ? 4.确定各因素的水平，并将这些因素的水平按所在列的指示分别对号号入座。最后进行试验。 ? 5.对实验结果进行分析，确定最佳的试验方案。 ?例1．在阿魏酸的合成工艺考察中，选取原料配比，吡啶量，反应时间三个因素进行考察，试验的考察指标是阿魏酸的收率。因素的变化范围如下： ?原料配比A：1.0~3.4 ?吡啶量B：10~28(ml) ?反应时间C：0.5~3.5(hr) ?试用均匀设计安排试验。 ?解:对于三个因素，s/2+1=3，求出s=4或5，考虑试验的承受程度，选用U7（76）均匀表安排试验，根据各因素的变化范围，划分因素水平表如下： ?由U7（76）均匀表的配套使用表可知，应选1，2，3列，因而得下面的试验设计表:
第一章试验设计和均匀设计 1.1试验设计 在工农业生产和科学研究中，经常需要做试验，以求达到预期的目的。例如在工农业生产中希望通过试验达到高质、优产、低消耗，特别是新产品试验，未知的东西很多，要通过试验来摸索工艺条件或配方。如何做试验，其中大有学问。试验设计得好，会事半功倍，反之会事倍功半，甚至劳而无功。 本世纪30年代，由于农业试验的需要，费歇尔(R.A.Fisher)在试验设计和统计分析方面做出了一系列先驱工作，从此试验设计成为统计科学的一个分支。随后，F.Yates,R.C. Bose,O.Kempthome,W.G.Cochran,D.R.Cox和G.E.P.Box对试验设计都作出了杰出的贡献，使该分支在理论上日趋完善，在应用上日趋广泛。60年代，日本统计学家田口玄一将试验设计中应用最广的正交设计表格化，在方法解说方面深入浅出为试验设计的更广泛使用作出了众所周知的贡献。田口玄一的方法对我国试验设计的普及和广泛应用有巨大的影响，70年代我国许多统计学家深入工厂、科研单位，用通俗的方法介绍正交试验设计，帮助工程技术人员进行试验的安排和数据分析，获得了一大批优秀成果，出版了许多成果汇编，举办了不少成果展览会。 在广泛使用试验设计方法的洪流中，必然会出现一些新的问题，这些总是用原有的各种试验设计方法不能圆满地解决，特别是当试验的范围较大，试验因素需要考察较多等级（在试验设计中这些等级称之为水平）时，用正交试验及其它流行的试验方法要求做较多的试验，常使得试验者望而生畏。许多实际问题要求一种新的试验方法，它能有效地处理多水平的试验，于是王元和
方开泰于1978年提出了均匀设计（见文献「1－3」），该设计考虑如何将设计点均匀地散布在试验范围内，使得能用较少的试验点获得最多的信息。10多年来，均匀设计在国内得到了广泛应用，并获得不少好的成果。 试验设计在工业生产和工程设计中能发挥重要的作用，例如：1）提高产量； 2）减少质量的波动，提高产品质量水准； 3）大大缩短新产品试验周期； 4）降低成本； 5）延长产品寿命。 在自然科学中，有些规律开始尚未由人们所认识，通过试验设计可以获得其统计规律，在此基础上提出科学猜想,这些猜想促进了学科的发展，例如遗传学的许多发现都藉助于上述过程。 材料工业是工业中的栋梁，汽车拖拉机的制造离不开各种合金钢，钛合金的发明和发现使飞机制造工业产生飞跃。超导的研究和超导材料的配方息息相关。配方试验又称混料试验（Experiments with Mixtures），不仅出现于材料工业，而且在人们生活和其它工业中处处可见，例如在中药、饮料、混凝土的配方中。由于在配方中各种材料的总和必须为100％，其试验设计必须考虑到这个约束条件，由于这个原因正交试验设计等方法不能直接用于配方设计。针对配方设计的要求，Scheffé于1958年提出了单纯形格子点设计，随后于1963年他又提出了单纯形重心设计。Cornell[27]对配方试验设计的各种方法作了详尽的介绍和讨论。显然，均匀设计的思想也能用于配方试验，王元和方开泰[9]给出了配方均匀设计的设计方法和有关的讨论。本书第五章将系统介绍配方试验设计和配方均匀设计。 不论是均匀设计或配方均匀设计,其数据分析都要藉助于回归分析，要用到线性回归模型、二次回归模型、非线性模型，，以及各种选择回归变量的方法（如前进法、后退法、逐步回归、最
均匀设计方法 1均匀设计的特点 化学化工实验多为多因素多水平的实验，对此，以往的设计方法通常有全面实验法和正交实验法。 全面实验法是让每个因素的每个水平都有配合的机会，并且配合的次数一样多。一般地全面实验的次数至少是各因素水平数的乘积。该法的优点是可以分析出事物变化的内在规律，结论较精确，但由于试验次数较多，在多因素多水平的情况下常常是不可想象的。如5因素4水平的试验次数为45=1024次，而6因素5水平的试验次数为56=15625次，这在实际中很难做到。 正交实验法是在试验中使用一套规格化的正交表，排出最有代表性的试验，比较合理地节省试验次数，并能从仅做的少数试验中充分得到所需信息。该法的优点是从方案设计到结果分析都完全表格化，试验具有均匀分散、整齐可比性，是安排多因素试验的有效方法，因此被广泛应用。但是有些试验，由于影响因素很多，每个因素变化范围大，水平也多，即使采用正交设计法，试验次数仍嫌太多。对于要求时间紧和昂贵的科学试验，亦不允许安排太多的试验。 对于这种情况，继60年代华罗庚教授倡导、普及的优选法和我国数理统计学者在国内普及推广的正交法之后，于70年代末应航天部第三研究院飞航导弹火控系统建立数学模型、并研究其诸多影响因素的需要，由中国科学院应用数学所方开泰教授和王元教授提出了一种试验设计方法——均匀设计。均匀设计是统计试验设计的方法之一，它与其它的许多试验设计方法，如正交设计、最优设计、旋转设计、稳健设计等相辅相成。 均匀设计是通过一套精心设计的表来进行试验设计的，对于每一个均匀设计表都有一个使用表，可指导如何从均匀设计表中选用适当的列来安排试验。每个表有一个代号U n（q s）或U*n（q s），其中U代表均匀设计；n表示试验次数；q表示水平数；s表示该表最多可安排的因素数。U的右上角加“*”和不加“*”代表两种不同类型的均匀设计表。
常用（校园交达电脑最新版）均匀设计表 表1 )5(3 5U 试验号 1 2 3 1 1 2 4 2 2 4 3 3 3 1 2 4 4 3 1 5 5 5 5 表2 )5(3 5U 的使用表 因素个数 列号 D 2 1 2 0.3100 3 1 2 3 0.4570 表3 )6(4*6U 试验号 1 2 3 4 1 1 2 3 6 2 2 4 6 5 3 3 6 2 4 4 4 1 5 3 5 5 3 1 2 6 6 5 4 1 表4 )6(4*6U 的使用表 因素个数 列 号 D 2 1 3 0.1875 3 1 2 3 0.2656
4 1 2 3 4 0.2990 表5 )7(47U 试验号 1 2 3 4 1 1 2 3 6 2 2 4 6 5 3 3 6 2 4 4 4 1 5 3 5 5 3 1 2 6 6 5 4 1 7 7 7 7 7 表6 )7(47U 的使用表 因素个数 列号 D 2 1 3 0.2398 3 1 2 3 0.3721 4 1 2 3 4 0.4760 表7 )7(4* 7U 试验号 1 2 3 4 1 1 3 5 7 2 2 6 2 6 3 3 1 7 5 4 4 4 4 4 5 5 7 1 3 6 6 2 6 2 7 7 5 3 1
表8 )7(4* 7U 的使用表 因素个数 列号 D 2 1 3 0.1582 3 2 3 4 0.2132 表9 )8(5* 8U 试验号 1 2 3 4 5 1 1 2 4 7 8 2 2 4 8 5 7 3 3 6 3 3 6 4 4 8 7 1 5 5 5 1 2 8 4 6 6 3 6 6 3 7 7 5 1 4 2 8 8 7 5 2 1 表10 )8(5* 8U 的使用表 因素个数 列号 D 2 1 3 0.1445 3 1 3 4 0.2000 4 1 2 3 5 0.2709 表11 )9(59U 试验号 1 2 3 4 5 1 1 2 4 7 8 2 2 4 8 5 7 3 3 6 3 3 6 4 4 8 7 1 5
均匀设计试验 一、简介 均匀设计是基于试验点在整个试验范围内均匀散布的，从均匀性角度出发提出的一种试验设计方法。它是数论方法中的“伪蒙特卡罗方法”的一个应用。 所有的试验设计方法本质上都是在试验的范围内给出挑选代表性点的方法，均匀设计也是如此。它能从全面试验点中挑选出部分代表性的试验点，这些试验点在试验范围内充分均衡分散，但仍能反映体系的主要特征。例如，正交设计是根据正交性来挑选代表点，它在挑选代表点时有两个特点：均匀分散、整齐可比。“均匀分散”使试验点均衡地布在试验范围内，让每个试验点有充分的代表性，因此，即使在正交表中各列都排满的情况下，也能得到满意的结果；“整齐可比”性使试验结果的分析十分方便，易于估计各因素的主效应和部分交互效应，从而可分析各因素对指标影响的大小及指标的变化规律。但是，为了照顾“整齐可比”，正交设计的试验点并没有能做到充分“均匀分散”，而为了达到“整齐可比”，也使得其试验布点的数目比较多。它必须至少要做次试验（为因素的水平数）。而对于均匀设计，尤其在条件范围变化大而需要进行多水平试验的情况下，均匀设计可极大地降低试验的次数，它只需要与因素水平数相等次数的次试验即可达到正交设计的至少做次试验所能达到的试验效果。 均匀设计只考虑试验点在试验范围内充分“均匀散布”而不考虑“整齐可比”，因此试验的结果没有正交试验结果的整齐可比性，其试验结果的处理多采用回归分析方法。 二、原理 均匀设计的数学原理是数论中的一致分布理论，此方法借鉴了“近似分析中的数论方法”这一领域的研究成果，将数论和多元统计相结合，是属于伪蒙特卡罗方法的范畴。均匀设计只考虑试验点在试验范围内均匀散布，挑选试验代表点的出发点是“均匀分散”，而不考虑“整齐可比”，它可保证试验点具有均匀分布的统计特性，可使每个因素的每个水平做一次且仅做一次试验，任两个因素的试验点点在平面的格子点上，每行每列有且仅有一个试验点。它着重在试验范围内考虑试验点均匀散布以求通过最少的试验来获得最多的信息，因而其试验次数比
1 常用（校园交达电脑最新版）均匀设计表 表1 ) 5(35U 试验号 1 2 3 1 1 2 4 2 2 4 3 3 3 1 2 4 4 3 1 5 5 5 5 表2 ) 5(35U 的使用表 因素个数 列号 D 2 1 2 3 1 2 3 表3 )6(4* 6 U 试验号 1 2 3 4 1 1 2 3 6 2 2 4 6 5 3 3 6 2 4 4 4 1 5 3 5 5 3 1 2 6 6 5 4 1 表4 ) 6(4* 6U 的使用表 因素列 号 D
个数 2 1 3 3 1 2 3 4 1 2 3 4 表5 )7(47U 试验号 1 2 3 4 1 1 2 3 6 2 2 4 6 5 3 3 6 2 4 4 4 1 5 3 5 5 3 1 2 6 6 5 4 1 7 7 7 7 7 表6 )7(47U 的使用表 因素个数 列号 D 2 1 3 3 1 2 3 4 1 2 3 4 表7 )7(4* 7 U 试验号 1 2 3 4 1 1 3 5 7 2 2 6 2 6
3 3 3 1 7 5 4 4 4 4 4 5 5 7 1 3 6 6 2 6 2 7 7 5 3 1 表8 )7(4* 7 U 的使用表 因素个数 列号 D 2 1 3 3 2 3 4 表9 )8(5* 8 U 试验号 1 2 3 4 5 1 1 2 4 7 8 2 2 4 8 5 7 3 3 6 3 3 6 4 4 8 7 1 5 5 5 1 2 8 4 6 6 3 6 6 3 7 7 5 1 4 2 8 8 7 5 2 1 表10 )8(5* 8 U 的使用表 因素个数 列号 D 2 1 3
均匀试验设计 主要参考文献： 1、方开泰. 均匀设计与均匀设计表. 北京：科学出版社，1994 2、林维萱. 试验设计方法.大连：大连海事大学出版社，1995 3、栾军. 现在试验设计优化方法. 上海：上海交通大学出版社，1995 4、茆诗松等. 回归分析及其试验设计. 上海：华东师范大学出版社, 1981 一、均匀设计的概念及特点 均匀设计是由我国数学家方开泰教授和王元教授于1978年提出的。1978年，七机部由于导弹设计的要求，提出了一个五因素的试验，希望每个因素的水平数要多于10，而试验总数又不超过50。显然，正交试验设计不能用。 对于一个水平数为m的正交试验，至少要做m2次试验，如m=10时，m2=100，即至少要做100次试验，这在实际中是难于实施的。因此，正交试验设计方法只适用于因素水平数不太多的多因素试验。 正交表的特点是使试验点“均匀分散、整齐可比”。“均匀分散”即均匀性，使试验点均匀分布在试验范围内，让每个试验点都具有一定的代表性，可以用部分试验反映全面试验的情况，大大减少试验次数。“整齐可比”就是综合可比性，使试验结果的分析十分方便，易于分析各因素及其交互作用对试验指标的影响大小及规律性。但是，为了保证整齐可比性（即“均衡搭配”），对任意两个因素而言，必须是全面试验，每个因素的水平必须有重复。这样，试验点在试验范围内就不能充分均匀分散，试验点就不能太少。
综上所述，正交试验为了保证“整齐可比”，使均匀性受到了一定限制，使试验点的代表性还不够强，试验次数不能充分地少，如果不考虑整齐可比（即综合可比）性，而完全保证均匀性，让试验点在试验范围内充分地均匀分散，不仅可大大减少试验点，而且仍能得到反映试验体系主要特征的试验结果。这种从均匀性出发的试验设计，称为均匀试验设计。 均匀试验设计的最大优点是可以节省大量的试验工作量，尤其在试验因素水平较多的情况下，其优势更为明显。例如，一个四因素七水平试验，进行一轮全面试验要做74=2401次，用正交试验也至少要做72 = 49次，而用均匀试验则仅需7次。因此，对于水平数很多的多因素试验，对于试验费用昂贵或实际情况要求尽量少做试验的场合，对于筛选因素或收缩试验范围进行逐步寻优的场合，均匀设计都是十分有效的试验设计方法。 由于均匀设计没有整齐可比性，所以试验结果的处理不能采用方差分析法，而必须用回归分析。因此，试验数据处理较为复杂，这是均匀设计的一个缺点。对于发明均匀设计法的那个年代（1978年），计算机应用尚未普及，这确实是一个大难题，但对于计算机十分普及的今天，则已不是一个难题。再说，多分析数据比多做试验，一般来讲要更为经济。 二、均匀设计表及其使用表 与正交试验设计相似，均匀设计也是通过一套精心设计的表格来安排试验的，这种表称为均匀设计表。 均匀设计表是根据数论方法在多重数值积分中的应用原理构造的，它分为等水平和混合水平两种。 1、等水平均匀设计表
常用(校园交达电脑最新版)均匀设计表 表1 ) 5(35U 试验号 1 2 3 1 1 2 4 2 2 4 3 3 3 1 2 4 4 3 1 5 5 5 5 表2 ) 5(35U 的使用表 因素个数 列号 D 2 1 2 0、3100 3 1 2 3 0、4570 表3 )6(4* 6 U 试验号 1 2 3 4 1 1 2 3 6 2 2 4 6 5 3 3 6 2 4 4 4 1 5 3 5 5 3 1 2 6 6 5 4 1 表4 ) 6(4* 6U 的使用表 因素个数 列 号 D 2 1 3 0、1875 3 1 2 3 0、2656 4 1 2 3 4 0、2990 表5 )7(47U 试验号 1 2 3 4
1 1 2 3 6 2 2 4 6 5 3 3 6 2 4 4 4 1 5 3 5 5 3 1 2 6 6 5 4 1 7 7 7 7 7 表6 )7(47U 的使用表 因素个数 列号 D 2 1 3 0、2398 3 1 2 3 0、3721 4 1 2 3 4 0、4760 表7 )7(4* 7 U 试验号 1 2 3 4 1 1 3 5 7 2 2 6 2 6 3 3 1 7 5 4 4 4 4 4 5 5 7 1 3 6 6 2 6 2 7 7 5 3 1 表8 )7(4* 7 U 的使用表 因素个数 列号 D 2 1 3 0、1582 3 2 3 4 0、2132 表9 )8(5* 8 U 试验号 1 2 3 4 5 1 1 2 4 7 8
2 2 4 8 5 7 3 3 6 3 3 6 4 4 8 7 1 5 5 5 1 2 8 4 6 6 3 6 6 3 7 7 5 1 4 2 8 8 7 5 2 1 表10 )8(5* 8 U 的使用表 因素个数 列号 D 2 1 3 0、1445 3 1 3 4 0、2000 4 1 2 3 5 0、2709 表11 )9(59U 试验号 1 2 3 4 5 1 1 2 4 7 8 2 2 4 8 5 7 3 3 6 3 3 6 4 4 8 7 1 5 5 5 1 2 8 4 6 6 3 6 6 3 7 7 5 1 4 2 8 8 7 5 2 1 9 9 9 9 9 9 表12 )9(59U 的使用表 因素个数 列号 D 2 1 3 0、1944 3 1 3 4 0、3102 4 1 2 3 5 0、4066
第一章试验设计与均匀设计 1、1试验设计 在工农业生产与科学研究中,经常需要做试验,以求达到预期的目的。例如在工农业生产中希望通过试验达到高质、优产、低消耗,特别就是新产品试验,未知的东西很多,要通过试验来摸索 工艺条件或配方。如何做试验,其中大有学问。试验设计得好,会事半功倍,反之会事倍功半,甚至劳而无功。 本世纪30年代,由于农业试验的需要,费歇尔(R、A、Fisher)在试验设计与统计分析方面做出了一系列先驱工作,从此试验设计成为统计科学的一个分支。随后,F、Yates,R、C、 Bose,O、Kempthome,W、G、Cochran,D、R、Cox与G、E、P、Box对试验设计都作出了杰出的贡献,使该分支在理论上日趋完善,在应用上日趋广泛。60年代,日本统计学家田口玄一将试验设计中应用最广的正交设计表格化,在方法解说方面深入浅出为试验设计的更广泛使用作出了众所周知的贡献。田口玄一的方法对我国试验设计的普及与广泛应用有巨大的影响,70年代我国许多统计学家深入工厂、科研单位,用通俗的方法介绍正交试验设计,帮助工程技术人员进行试验的安排与数据分析,获得了一大批优秀成果,出版了许多成果汇编,举办了不少成果展览会。 在广泛使用试验设计方法的洪流中,必然会出现一些新的问题,这些总就是用原有的各种试验设计方法不能圆满地解决,特别就是当试验的范围较大,试验因素需要考察较多等级(在试验设计中这些等级称之为水平)时,用正交试验及其它流行的试验方法要求做较多的试验,常使得试验者望而生畏。许多实际问题要求一种新的试验方法,它能有效地处理多水平的试验,于就是王元与方开泰于1978年提出了均匀设计(见文献「1－3」),该设计考虑如何将设计点均匀地散布在试验范围内,使得能用较少的试验点获得最多的信息。10多年来,均匀设计在国内得到了广泛应用,并获得
第一章试验设计和均匀设计 欧阳家百（2021.03.07） 1.1试验设计 在工农业生产和科学研究中，经常需要做试验，以求达到预期的目的。例如在工农业生产中希望通过试验达到高质、优 产、低消耗，特别是新产品试验，未知的东西很多，要通过试验来摸索工艺条件或配方。如何做试验，其中大有学问。试验设计得好，会事半功倍，反之会事倍功半，甚至劳而无功。 本世纪30年代，由于农业试验的需要，费歇尔(R.A.Fisher)在试验设计和统计分析方面做出了一系列先驱工作，从此试验设计成为统计科学的一个分支。随后，F.Yates,R.C. Bose,O.Kempthome,W.G.Cochran,D.R.Cox和G.E.P.Box对试验设计都作出了杰出的贡献，使该分支在理论上日趋完善，在应用上日趋广泛。60年代，日本统计学家田口玄一将试验设计中应用最广的正交设计表格化，在方法解说方面深入浅出为试验设计的更广泛使用作出了众所周知的贡献。田口玄一的方法对
我国试验设计的普及和广泛应用有巨大的影响，70年代我国许多统计学家深入工厂、科研单位，用通俗的方法介绍正交试验设计，帮助工程技术人员进行试验的安排和数据分析，获得了一大批优秀成果，出版了许多成果汇编，举办了不少成果展览会。 在广泛使用试验设计方法的洪流中，必然会出现一些新的问题，这些总是用原有的各种试验设计方法不能圆满地解决，特别是当试验的范围较大，试验因素需要考察较多等级（在试验设计中这些等级称之为水平）时，用正交试验及其它流行的试验方法要求做较多的试验，常使得试验者望而生畏。许多实际问题要求一种新的试验方法，它能有效地处理多水平的试验，于是王元和方开泰于1978年提出了均匀设计（见文献「1－3」），该设计考虑如何将设计点均匀地散布在试验范围内，使得能用较少的试验点获得最多的信息。10多年来，均匀设计在国内得到了广泛应用，并获得不少好的成果。 试验设计在工业生产和工程设计中能发挥重要的作用，例如： 1）提高产量； 2）减少质量的波动，提高产品质量水准； 3）大大缩短新产品试验周期； 4）降低成本； 5）延长产品寿命。
精品资料 表 2 U 5 (5 ) 3 的使用表 因素个数 列号 D 2 1 2 0.3100 3 1 2 3 0.4570 表 3 U 6 (6 ) * 4 常用（校园交达电脑最新版）均匀设计表 试验号 3 表 1 U 5 (5 ) 1 2 3 1 1 2 4 2 2 4 3 3 3 1 2 4 4 3 1 5 5 5 5 试验号 1 2 3 4 1 1 2 3 6 2 2 4 6 5 3 3 6 2 4 4 4 1 5 3 5 5 3 1 2
2 6 6 5 4 1 表 4 U * (6 4 ) 6 的使用表 表 6 U 7 (7 ) 的使用表 4 因素个数 列 号 D 2 1 3 0.1875 3 1 2 3 0.2656 4 1 2 3 4 0.2990 表 5 4 U 7 (7 ) 试验号 1 2 3 4 1 1 2 3 6 2 2 4 6 5 3 3 6 2 4 4 4 1 5 3 5 5 3 1 2 6 6 5 4 1 7 7 7 7 7 因素个数 列号 D 2 1 3 0.2398 3 1 2 3 0.3721
精品资料 7 7 8 4 1 2 3 4 0.4760 表 7 U * (7 4 ) 试验号 1 2 3 4 1 1 3 5 7 2 2 6 2 6 3 3 1 7 5 4 4 4 4 4 5 5 7 1 3 6 6 2 6 2 7 7 5 3 1 因素个数 表 8 U * (7 4 ) 的使用表 列号 D 2 1 3 0.1582 3 2 3 4 0.2132 表 9 U * ( 85 ) 试验号 1 2 3 4 5 1 1 2 4 7 8 2 2 4 8 5 7 3 3 6 3 3 6
目录 序言 (2) 前言 (4) 第一章试验设计和均匀设计 (5) 1.1试验设计 (5) 1.2试验的因素和水平 (7) 1.3因素的主效应和因素间的交互效应 (9) 1.4全面试验和多次单因素试验 (13) 1.5正交试验法（正交设计） (16) 1.6均匀设计 (18) 1.7均匀设计表的使用 (21) 第二章回归分析简介及其在均匀设计中的应用 (24) 2.1一元线性回归模型 (24) 2.2多元线性回归模型 (29) 2.3二次型回归模型与变量筛选 (31) 2.4应用实例 (32) 2.5寻求最优工艺条件 (35) 第三章均匀设计表的构造和运用 (36) 3.1 均匀设计表的构造 (36) 3.2 均匀性准则和使用表的产生 (39) 3.4 均匀设计和正交设计的比较 (46) 第四章配方均匀设计 (49) 4.1 配方试验设计 (49) 4.2 配方均匀设计 (51) 4.3 有约束的配方均匀设计 (53) 4.4 均匀设计在系统工程中的应用 (56)
序言 在科学实验与工农业生产中，经常要做实验。如何安排实验，使实验次数尽量少，而又能达到好的试验效果呢？这是经常会碰到的问题。解决这个问题有一门专门的学问，叫做“试验设计”。试验设计得好，会事半功倍,反之就会事倍功半了。60年代，华罗庚教授在我国倡导与普及的“优选法”，即国外的斐波那契方法，与我国的数理统计学者在工业部门中普及的“正交设计”法都是试验设计方法。这些方法经普及后，已为广大技术人员与科学工作者掌握，取得一系列成就，产生了巨大的社会效益和经济效益。随着科学技术工作的深入发展，上述两种方法就显得不够了。“优选法”是单变量的最优调试法，即假定我们处理的实际问题中只有一个因素起作用，这种情况几乎是没有的。所以在使用时，只能抓“主要矛盾”，即突出一个因素，而将其他因素固定，这样来安排实验。因此“优选法”还不是一个很精确的近似方法。“正交设计”的基础是拉丁方理论与群论，可以用来安排多因素的试验，而且试验次数对各因素的各水平的所有组合数来说是大大地减少了，但对于某些工业试验与昂贵的科学实验来说，试验仍嫌太多，而无法安排。 1978年，七机部由于导弹设计的要求，提出了一个五因素的试验，希望每个因素的水平数要多于10，而试验总数又不超过50，显然优选法和正交设计都不能用，方开泰教授在几年前，曾为近似计算一个多重积分问题找过我，我向他介绍了多重数值积分的方法并取得了好结果，这就使他想到是否可能用数论方法于试验设计的问题，于是我们经过几个月的共同研究，提出了一个新的试验设计，即所谓“均匀设计”，将这一方法用于导弹设计，取得了成效，我们的文章在80年代初发表后，15年来，均匀设计已在我国有较广泛的普及与使用，取得了一系列可喜的成绩。 均匀设计属于近30年发展起来的“伪蒙特卡罗方法”的范筹。将经典的确定的单变量问题的计算方法推广后用于多变量问题的计算时，计算量往往跟变量个数有关，即使电脑再进步很多，这种方法仍无法实际应用，乌拉母（S.Ulam）与冯诺依曼(J.von Neumann)在40年代提出蒙特卡罗方法，即统计模拟方法，这个方法的大意是将一个分析问题化为一个有同样解答的概率问题，然后用统计模拟的方法来处理后面这个问题，这样使一些困难的分析问题反而得到了解决，例如多重定积分的近似计算。蒙特卡罗方法的关键是找一组随机数作为统计模拟之用，所以这一方法的精度在于随机数的均匀性与独立性。 50年代末，有些数学家试图用确定性方法寻找空间中均匀散布的点集来代替蒙特卡罗方法中的随机数，已经找到的点集都是用数论方法找到的。按照外尔（H. Weyl）定义的测度来度量，它们的均匀性很好，但独立性差些，用这些点集来代替蒙特卡罗方法中的随机数，
均匀设计例题 例2. 均匀设计法优化分光光度法测定抗坏血酸的试验条件。影响因素为Fe3+溶液(X1)、磺基水杨酸溶液（X2）、缓冲溶液的用量(X3)以及显色时间(X4)。每个因素安排18个水平。选定，考察指标为吸光度（Y)。试验结果见表1： 表1 均匀设计表U4
均匀设计作业 均匀试验优化异亮氨酸发酵条件 采用6因素10水平10组试验的方式（均匀表U10*（108）），考察了葡萄糖（X1）、 （NH4）2SO4（X2）、KH2PO4（X3）、生物素VH（X4）、V B1（X5）、蛋氨酸Met（X6）对 产异亮氨酸的影响，各个因素的水平数见表3。试验考察指标为产酸率（Y）,结果见表4： 表3 各个因素的水平数（g/100mL） 水平x1 x2 x3 x4 x5 x6 1 10 1 0.1 6 0.1 1 2 11 1.5 0.15 8 0.2 2 3 12 2 0.2 10 0.3 3 4 13 2. 5 0.25 12 0.4 4 5 14 3 0.3 14 0.5 5 6 15 3.5 0.35 16 0.6 6 7 16 4 0.4 18 0.7 7 8 17 4.5 0.45 20 0.8 8 9 18 5 0.5 22 0.9 9 10 19 5.5 0.55 24 1 10 表4 均匀表U10*（108）试验结果 因素x1 x2 x3 x4 x5 x6 Y（g.L-1） 1 1 2 3 5 7 10 6.33 2 2 4 6 10 3 9 6.18 3 3 6 9 4 10 8 4.36 4 4 8 1 9 6 7 2.18 5 5 10 4 3 2 6 2.55 6 6 1 7 8 9 5 9.45 7 7 3 10 2 5 4 11.64 8 8 5 2 7 1 3 13.09 9 9 7 5 1 8 2 2.18 10 10 9 8 6 4 1 1.45
第三节 均匀设计表的构造和运用 本节介绍均匀设计表的构造和使用表的来源，其中均匀性度量──偏差将起关键作用，我们将介绍偏差的定义，并给出正交设计与均匀设计各自偏差的比较，从中可以了解为什么均匀设计可以比正交设计节省试验次数，本节还介绍拟水平在均匀设计中的使用和有关表的构造，熟悉本节内容对于正确理解和使用均匀设计有很大帮助。 3.1 均匀设计表的构造 定义1 每一个均匀设计表是一个方阵，设方阵有n 行m 列，每一行是{1，2，...，n}的一个置换(即1，2，…，n 的重新排列)，表的第一行是{1，2，…，n}的一个子集，但不一定是真子集。 显然，第一章表4-6列举的U 6*(64)，U 7(74)和U 7*(74 )都符合上述定义。 符合定义1的均匀设计表数量太多，本节仅介绍用好格子点法(good lattice point)构造的均匀设计表，其方法如下： 1) 给定试验数n ，寻找比n 小的整数h ，且使n 和h 的最大公约数为1。符合这些条件的正整数组成一个向量h ＝(h 1，…，h m )。 2) 均匀设计表的第j 列下法生成 i ij ih u =[mod n] (3.1) 这里[mod n] 表示同余运算，若jh i 超过n ，则用它减去n 的一个适当倍数，使差落在[1，n] 之中。U i j 可以递推来生成 u h j j 1= ???? ?-++=+n h u h u u j ij j ij j i ,1n h u n h u j ij j ij >+≤+若若1,,1-=n i (3.2) 例如，当n ＝9 时，符合条件1)的h 有1，2，4，5，7，8；而 h=3 或h=6 时不符合条件1)，因为最大公约数(3，9)=3 ，(6，9)=3，均大于1.所以9U 最多只可能有6列，又如当h 34=时，用公式 (3.2) 来生成该列时其结果依次如下: u u u u u u u u u 1323334353637383 93444884123934774112924664101914559 ==+==+===+==+===+==+===+==+,,(mod ),(mod ) ,(mod ), 其结果列于表16的第三列。
均匀设计 某冶炼厂排出的废水中含有大量的镉、鉮、铅等有害元素，对环境造成严重污染。考察的试验因素为温度（z1）、时间（z2）、碱与硫酸亚铁之比（z3）以及硫酸亚铁用量（z4），每个因素取9个水平。根据使用表可知，我们选取的均匀设计表为U9(95) 表1因素水平表 水平温度（z1）时间（z2）碱与硫酸亚 铁之比（z3）硫酸亚铁用量（z4） 1 1 2 0. 3 48 0.2 2 14 0.4 53.5 0.35 3 17 0.5 59 0.5 4 19. 5 0. 6 64.5 0.65 5 22 0.7 70 0.8 6 24.5 0.8 75.5 0.95 7 27 0.9 81 1.1 8 29.5 1.0 86.5 1.25 9 32 1.1 92 1.4 表2 U9(95)的使用表 因素数列号D 2130.1944 31340.3102
412350.4066 根据因素和水平，可以选择均匀设计表U9（95）。根据U9（95）的使用表，将z1，z2，z3和z4分别安排在U9（95）表的1、2、3、5列（D ＝0.4066），其试验方案及试验结果如下表。 表3 均匀设计表U9(95) 试验号 列号 12345 112478 224857 336336 448715 551284 663663 775142 887521 999999 表4 均匀设计结果 序号温度（z1）时间（z2）碱与硫酸亚 铁之比（z3）硫酸亚铁 用量（z4） 除镉效率 y 1 1 2 4 8 34 2 2 4 8 7 42 3 3 6 3 6 40
4 4 8 7 5 45 5 5 1 2 4 55 6 6 3 6 3 59 7 7 5 1 2 60 8 8 7 5 1 61 9 9 9 9 9 63 D = 0.4066 （1）直观分析法： 由表可以看出9号试验所得产品的吸盐水能力最强，可以将9号试验对应的条件作为较优的工艺条件。 （2）回归分析 将实验结果表输入到SPSS软件中，进行回归分析，得到以下结果： 输入／移去的变量b 模型输入的变 量 移去的变 量方法 1 z4, z2, z3, z1 . 输入 a. 已输入所有请求的变量。 b. 因变量: y Anova b 模型平方和df 均方 F Sig. 1 回归916.234 4 229.059 58.115 0.001a 残差15.766 4 3.941 模型汇总 模型R R 方调整R方 标准估计的 误差 1 0.992a0.983 0.966 1.98531 a. 预测变量: (常量), z4, z2, z3, z1。
常用均匀设计表-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
常用（校园交达电脑最新版）均匀设计表 表1 ) 5(35U 试验号 1 2 3 1 1 2 4 2 2 4 3 3 3 1 2 4 4 3 1 5 5 5 5 表2 ) 5(35U 的使用表 因素个数 列号 D 2 1 2 3 1 2 3 表3 )6(4* 6 U 试验号 1 2 3 4 1 1 2 3 6 2 2 4 6 5 3 3 6 2 4 4 4 1 5 3 5 5 3 1 2 6 6 5 4 1 表4 ) 6(4* 6U 的使用表 因素个数 列 号 D 2 1 3 3 1 2 3
4 1 2 3 4 表5 )7(47U 试验号 1 2 3 4 1 1 2 3 6 2 2 4 6 5 3 3 6 2 4 4 4 1 5 3 5 5 3 1 2 6 6 5 4 1 7 7 7 7 7 表6 )7(47U 的使用表 因素个数 列号 D 2 1 3 3 1 2 3 4 1 2 3 4 表7 )7(4* 7 U 试验号 1 2 3 4 1 1 3 5 7 2 2 6 2 6 3 3 1 7 5 4 4 4 4 4 5 5 7 1 3 6 6 2 6 2 7 7 5 3 1 表8 )7(4* 7 U 的使用表
因素个数 列号 D 2 1 3 3 2 3 4 表9 )8(5* 8 U 试验号 1 2 3 4 5 1 1 2 4 7 8 2 2 4 8 5 7 3 3 6 3 3 6 4 4 8 7 1 5 5 5 1 2 8 4 6 6 3 6 6 3 7 7 5 1 4 2 8 8 7 5 2 1 表10 )8(5* 8 U 的使用表 因素个数 列号 D 2 1 3 3 1 3 4 4 1 2 3 5 表11 )9(59U 试验号 1 2 3 4 5 1 1 2 4 7 8 2 2 4 8 5 7 3 3 6 3 3 6 4 4 8 7 1 5 5 5 1 2 8 4 6 6 3 6 6 3