第8讲恒稳磁场的矢势
第二章电磁场的标势、矢势和电磁辐射(3)
§2.3 恒稳磁场的矢势
一、矢势及其微分方程
我们考察恒定电流分布所激发的静磁场。在给定的传导电流附近可能存在一些磁性物质，在电流的磁场作用下，物质磁化而出现磁化电流，它反过来又激发附加的磁场。磁化电流和磁场是互相制约的。因此解决这类问题的方法也象解静电学问题一样，即求微分方程边值问题的解。下面我们先引入磁场的矢势，然后导出矢势所满足的微分方程。
1. 矢势恒定电流磁场的基本方程是
0,
μ
∇⨯=
B J（2.3---1）
∇⋅=
B（2.3---2）
式是J是自由电流密度.（2.3---1）和（2.3---2）式结合物质的电磁性质方程是解磁场问题的基础。
磁场的特点和电场不同。静电场是有源无旋场，电场线从正电荷出发而止于负电荷，静电场线永不闭合。静磁场则是有旋无源场，磁感应线总是闭合曲线。由于特性上的显著差异，描述磁场和电场的方法就有所不同。静电场由于其无旋性,可以引入标势来描述。磁场由于其有旋性，一般不能引入一个标势来描述，但是由于磁场的无源性，我们可以引入，另一个矢量来描述它。根据矢量分析的定理（附录Ⅰ.17式）,
若
∇⋅=
B
则B可表为另一矢量的旋度
=∇⨯
B A（2.3---3）A称为磁场的矢势。为了看出矢势A的意义，我们考察（2.3---3）的积分形式。把B对任一个以回路L为边界的曲面S积分，得
S S L
d d d ⋅=∇⨯⋅=⋅⎰⎰⎰B S A S A l （2.3---4） 式中左边是通过曲面S 的磁通量。由上式，通过一个曲面的磁通量只和这曲面的边界L 有关，而和曲面的具体形状无关。
如图3-1，设S 1和S 2矢量个共同边界L 的曲面，则
12
S S d d ⋅=⋅⎰⎰B S B S 这正是B 的无源性的表示，因为B 是无源的，在S 1和S 2所包围的区域内没有磁感应线发出，也没有磁感应线终止，B 线连续地通过该区域，因而通过曲面S 1的磁通量必须等于通过曲面S 2的磁通量。这磁通量由矢势A 对S 1或S 2的边界L 的环量表示。
因此，矢势A 的物理意义是它沿任一闭合回路的环量代表通过以该回路为界的任意曲面的磁通量。只有A 的环量才有物理意义， 而每点上的A （x ）则没有直接的物理意义。
由矢势A 可以确定磁场B ，但是由磁场B 并不能唯一确定矢势A 。举一个简单的例子可以说明这点。设有沿z 轴方向的均匀磁场
00,,x y z B B B B ===
其中B 0为常量。由（2.3---3）式
0,y
x A A B x y ∂∂-=∂∂0y x z z A A A A y z z x ∂∂∂∂-=-=∂∂∂∂
不难看出有解
00,z y x A A A B y ===-
还可以看出有另一解
0z x A A ==,0y A B x =
除了这两解外，还存在其他解。
事实上，因为任意函数ψ的梯度的旋度恒为零，故有
()ψ∇⨯+∇=∇⨯A A
即 A +▽ψ与A 对应于同一个磁场B 。 A 的这种任意性是由于只有A 的环量才有物理意义，而每点上的A 本身没有直接的物理意义。
由A 的这种任意性，我们还可以对它加上一定的限制条件，由下面的推导可知，对A 加上辅助条件
0∇⋅=A （2.3---5） 是特别方便的。我们先说明对A 加上条件（2.3---5）时总是可以的，也就是说总可以找到一个A ，满足（2.3---5）式。设由某一解A 不满足（2.3---5）式，
我们另取一解
'ψ=+∇A A （2.3---6）
A ' 的散度为
22'u ψψ∇⋅=∇⋅+∇=+∇A A
取 ψ 为泊松方程
2u ψ∇=-
的一个解，代入（2.3---6）式，所得的A ' 就满足 ▽· A ' = 0。对A 所加的辅助条件称为规范条件。下面我们所取得A 都满足规范条件 ▽· A = 0 。
2. 矢势微分方程 把这关系和 B = ▽× A 代入（2.3---1）式，得矢势A 的微分方程
0()μ∇⨯∇⨯=A J （2.3---7） 由矢量分析公式（附录Ⅰ.25式），
2()()∇⨯∇⨯=∇∇⋅-∇A A A
若取A 满足规范条件 ▽· A = 0 ，得矢势A 的微分方程
20μ∇=-A J （2.3---8） (0)∇⋅=A
A 的每个直角分量 A i 满足泊松方程
20i i A J μ∇=- (1,2,3)i =
这些方程和静电势 φ 的方程
20/ϕρε∇=-
有相同形式。对比静电势的解第二章（2.2---7）式可得矢势方程（2.3---8）式的特解
0(')()'4x dV r
μπ=⎰A J x （2.3---9） 式中x'是源点，x 是场点，r 为由x' 到x 的距离。（2.3---9）是也就是我们在第一章中由毕奥-萨伐尔定律导出的公式（第一章1.2---15式）。在第一章中我们已证明（2.3---9）式满足条件 ▽· A = 0 ，因此（2.3---9）式确实是矢势微分方程的解。
在第一章中，我们从毕奥-萨伐尔定律出发，导出磁场的微分方程，本节我们把磁场的散度和旋度作为基本规律，从微分方程出发，引入矢势A ，由A 的方程获得特解（2.3---9）式。求出A 以后，取旋度即可求出B 。
0(')4dV r μπ=∇⨯=
∇⨯⎰B A J x 01()(')'4dV r μπ=
∇⨯⎰J x 03
'4dV r μπ⨯=⎰J r （2.3---10） 过渡到线电流情形，设I 为导线上的电流强度，作代换 J d V ' → I d l 得 034d B r μπ⨯=
⎰I l r （2.3---11） 这就是毕奥-萨伐尔定律。
当全空间中电流分布J 给定时，由（2.3---9）或（2.3---10）式可以计算磁场。对于电流和磁场互相制约的问题，则必须解矢势微分方程的边值关系。
3.磁场的能量 由第一章，磁场的总能量为
2
01
2W dV μ=⎰B （2.3---12） 在静磁场中，可以用矢势和电流表示总能量。由 B = ▽× A ，及附录（Ⅰ.21）式，
20()()()()μ=⋅=∇⨯⋅=∇⋅⨯+⋅∇⨯=∇⋅⨯+⋅B B B A B A B A B A B A J 将此式代入（2.3---12）式中，第一项可以化为无穷远界面上的积分而趋于零，因此
12W dV =⋅⎰
A J （2.3---13） 和静电情形一样，此式仅对总能量有意义，不能把 A ·J /2 看作能量密度，因为我们知道能量分布于磁场内，而不仅仅存在与电流分布区域内。
在（2.3---13）式中，矢势A 式电流分布J 本身激发的，如果我们沿计算某电流分布J 在给定外磁场中的相互作用能量，以 A e 表示外磁场的矢势， J e 表示产生该外磁场的电流分布，则总电流分布为 J + J e ，总磁场矢势为 A + A e ，磁场总能量为
()()12e e W dV =+⋅+⎰
A A J J 此式减去J 和 J e 分别单独存在时的能量之后，得电流J 在外场中的相互作用能
()12i e e W dV =
⋅+⋅⎰A A J J （2.3---14） 因为
0(')',4dV r μπ=⎰A J x 0(')',4e e dV r
μπ=⎰A J x （2.3---14）式中两项相等，因此电流J 在外场 A e 中的相互作用能量为 i e W dV =⋅⎰A J （2.3---15）
例1 无穷长直导线载电流I ，求磁场的矢势和磁感应强度。
解 如图3-2，取导线沿z 轴，设P 点到导线的垂直距离为R ，电流元I d z 到P 点的距离为 (R 2 + z 2 )1/2，由（2.3---9）式得
224z I z R μπ∞=+⎰A
积分式发散的，计算两点的矢势差值可以避免发散。若取 R 0 点的矢势值为零，按照第二章§1例2同样的计算可得
00(
ln )2z I R R μπ=-A e （2.3---16） 取A 的旋度得磁感应强度
00(
ln )2z I R R μπ=∇⨯=-∇B A e 00(ln )2z I R R μπ=-∇⨯e 0022R z I I R R
θμμππ=-⨯=e e e （2.3---17） 例2 半径为a 的导线圆环载电流I ，求矢势和磁感应强度。
解 线圈电流产生的矢势为
()4d x r
μπ=⎰A I l （2.3---18） 用球坐标（R ，θ，φ），由对称性可知A 只有φ分量， A φ 只依赖于R ，θ，而与φ无关。因为我们可以选定在xz 面上的一点P 来计算 A φ ，在该点上 A φ = A y 。取（2.3---18）式的y 分量，由于
cos '',y dl a d φφ=
'r =-x x 222'R a x x +-⋅222sin cos R a Ra θφ=+-得
20220(,)42sin cos '
Ia A R R a Ra πφμθπθφ=+-⎰ （2.3---19） 上式的积分可用椭圆积分表出。当
222sin Ra R a θ+ （2.3---20） 时，可以较简单地算出近似结果。把根式对2Ra sin θ cos φ ' /（R 2 + z 2）展开。在（2.3---19）式中，展开式的偶此项对φ' 积分为零，因此只需保留奇次项。若我
们要计算B （R ，θ）到二级近似，则 A φ 需要算到三级项。
22sin cos '(,)'cos 'Ra A R d R a φθφθφφ⎡=⎢+⎣33332235sin cos '2()R a R a θφ⎤+⎥+⎦ 3330223/2227/2sin 15sin 4()8()Ia Ra R a R a R a μθ
θ⎡⎤=+⎢⎥++⎣⎦
（2.3---21） 此式的适用范围是 2Ra sin θ << R 2 + z 2 ，包括远场（R sin θ >> a ）和近轴场（R sin θ << a ）。为确定起见，我们计算近轴场。这情况下用柱坐标 （ ρ, φ, z ） 较为方便。展开式（1.28）实际上是对 ρ 2/ （ z 2+a 2 ）的展开式。取至 ρ 3 项，有 22220223/222222315(,)14()2()8()Ia a A z z a z a z a φμρρρρ⎡⎤=
-+⎢⎥+++⎦⎣
（2.3---22） 取A 的旋度，得 220225/2
2231()4()A Ia z B O z z a z a φρμρρ∂⎡⎤=-=+⎢⎥∂++⎦⎣ （2.3---23a ） 1()z B A φρρρ∂=
∂ 2
22220223/2222222151(3)(())4()4()Ia a O z a z a z a z a μρρ⎡⎤=+-+⎢⎥++++⎦⎣
（2.3---23b ） 上式对任意z 处的近轴场成立。若求近原点处的场（z ，ρ << a ），可把上式再对z /a 展开，得
0334I z B a ρμρ=
220231(2)24z I B z a a μρ⎤⎡=
--⎥⎢⎣⎦
（2.3---24） 二、磁多极矩
现在我们研究空间局部范围内的电流分布所激发的磁场在远处的展开式。与电多极矩对应，引入磁多极矩概念，并讨论这种电流分布在外磁场中的能量问题。
1. 矢势的多级展开 给定电流分布在空间中激发的磁场矢势为
0(')()'4x dV r
μπ=⎰A J x （2.3---25） 如果电流分布于小区域V 内，而场点x 又距离该区域比较远，我们可以把A （x ）作多级展开。取区域内某点O 为坐标原点，把1/r 的展开式[第二章（2.2---2）式]代入（2.3---25）式得
011()(')'4x x R R μπ⎡=-⋅∇⎢⎣⎰A J x 2,11''...'2!i j i j i j x x dV x x R ⎤∂++⎥∂∂⎦
∑ （2.3---26） 展开式的第一项为
(0)0()(')'4x dV R
μπ=⎰A J x 由恒定电流的连续性，可以把电流分为许多闭合的流管。对一个流管来说， (')'0x dV d d ===⎰⎰⎰I J I l l
式中I 为在该流管内流过的电流。因此有
(0)0=A （2.3---27） 此式表示和电场情形不同，磁场展开式不含磁单极项，即不含与点电荷对应的项。
展开式（2.3---26）的第二项为
(1)01(')''4dV R
μπ=-⋅∇⎰A J x x （2.3---28） 将并矢分为对称部分与反对称部分之和，
11(')'[(')''(')][(')''(')]22
=++-J x x J x x x J x J x x x J x （2.3---29） 则，
(1)0033[(')''(')]'[(')''(')]'88dV dV R R
μμππ=+⋅+-⋅⎰⎰R R A J x x x J x J x x x J x （2.3---30） 首先，对称部分，
[(')''(')]'['']'
''['']'[
'']'1[('')]'[(3'')]'3103dV dV d d dV dV dt dt d d dV dV dt dt
d D dt ρρρρρρ+=+=+=+====⎰⎰⎰⎰⎰⎰v v v v J x x x J x x x x x x x x x x x x x 所以，
(1)03
[(')''(')]'8dV R μπ=-⋅⎰R A J x x x J x （2.3---31） 对反对称部分，
(1)03
0303030
30
30
[(')''(')]'81
[(')''(')]'81[(')(')'(('))]'81[(')(')(('))']'81[('('))]'8[('('))]'814dV R dV R dV R dV R dV R dV R μπμπ
μπ
μπ
μπ
μπ
μπ=-⋅=-⋅=-⋅
=-⋅=⨯⨯⋅=⨯⨯=⎰⎰⎰⎰⎰⎰R A R R R R R R R J x x x J x J x x x J x J x x x J x x J x J x x x J x x J x 3[('('))]'2dV R ⨯⨯⎰R x J x 令， 1'(')'2
dV =⨯⎰m x J x （2.3---32） 称为磁偶极矩，简称磁矩。对线电流分布，把 J d V 'I →d l '，得磁矩 ''2I
d =⨯⎰m x l （2.3---33）
则， (1)034R μπ⨯=
m R A （2.3---34） 对于一个小线圈，设它所围的面元为 ΔS ，有
1
''2d ∆=⨯⎰S x l
I =∆m S （2.3---35）
2. 磁偶极矩的场和磁标势 由（2.3---34）式可算出磁偶极矩的磁场 (1)(1)03()4R R μπ=∇⨯=
∇⨯⨯B A m ]033()()4R R μπ⎡=∇⋅-⋅∇⎢⎣R R m m 由于当R ≠ 0时有
2310,(0)R R R ∇⋅
=-∇=≠R 因此，
(1)03()4R
μπ=-⋅∇R B m （2.3---36） 在电流分布以外的空间中，磁场应该可以用标势描述，因此我们再把上式化为磁标势的梯度形式。由于m 为常矢量，由附录（Ⅰ.23式），
3()()()()R R R R
∇⋅=⨯∇⨯+⋅∇=⋅∇333R R R R m m m m （式中利用了R /R 3 的无旋性）。最后我们得
(1)(1)0m μϕ=-∇B （2.3---37） (1)3
4m R ϕπ⋅=m R （2.3---38） 与电偶极势[第二章（2.1---9）式]相比，可见磁偶极势形式上和电偶极势相似。一个小电流线圈可以看作由一对正负磁荷组成的磁偶极子，其磁偶极矩m 由（2.3---33）式确定。载电流分布区域以外的空间中可以用磁标势 φ m 来描述磁场，这点是和上节所讨论的一般理论相符的。
一个任意电流线圈可以看作由它所围的一个曲面S 上许多小电流线圈组合而成，因此它的总磁偶极矩为
,S
I d =⎰m S （2.3---39） 式中S 实现全所围的某一个曲面，这曲面不是唯一确定的。为使上式有意义，m 应不依赖于曲面的选取。事实上，设S 1和S 2为两个以该线圈为边界的曲面，则S 1和 −S 2（负号表示取法线方向相反）和起来成为闭合曲面，因而有 120,S S d d d -==⎰⎰⎰S S S
1S d ⎰S =2
S d ⎰S 因此，这两曲面该处相同的m 值。
更高级的磁多极矩实际上较少用到，这里不再详细讨论。
课下作业：教材第131页，1；第134页，14。
1、试用矢势A 表示一个沿z 方向的均匀恒定磁场B 0，写出A 的两种不同表示式，证明二者之差是无旋场。
14、电荷按体均匀分布的刚性小球，总电荷为Q ，半径为R 0,它以角速度ω绕自身某一直径转动，求
（1）它的磁矩；
（2）它的磁矩与自转动量矩之比（设质量均匀分布）。
补充题9：给出静磁场矢势A 的物理意义，由矢势A 可以确定磁场B ，但是由磁场B 并不能唯一确定矢势A ，试证明对矢势A 可加辅助条件0∇=A ，并推导出矢势A 满足的微分方程
J A μ-=∇2
。
第7讲 课下作业：教材第96页，17。
17、证明下述结果并熟悉面电荷和面偶极层两侧电势和电场的变化。
(1)在面电荷、电势法向微商有跃变，而电势是连续的。 (2)在面偶极层两侧，电势有跃变，
2101n p ϕϕε-=⋅，而电势法向微商是连
续的。 （各带等量正负面电荷密度σ±，而靠得很近的两个面形成偶极层，面偶极
距密度0lim l p l
σσ→∞→= 。）
证：（1）对于面电荷σ有：120n n E E σε-=；12t t E E = 即：120n n ϕϕσε∂∂-=∂∂ 12t t E E = ∴12E l E l ⋅∆=⋅∆
即：1
122ϕϕϕϕ''-=- E 有限，120P P → ，把电荷由1P 移至2P 所做的功趋于零。
∴12ϕϕ= 1
2ϕϕ''= （2）在面上取高斯闭合面如图： ∴120()S n E n E ∆⋅-⋅= ，12n E n E =⋅⋅ 即：12n n
ϕϕ∂∂=∂∂ ∵偶极层中的场0
E σε= ∴两面上的电势差为1200n p l σϕϕεε⋅-=⋅= 故电势有跃变，得证。
第8讲恒稳磁场的矢势 第二章电磁场的标势、矢势和电磁辐射(3) §2.3 恒稳磁场的矢势 一、矢势及其微分方程 我们考察恒定电流分布所激发的静磁场。在给定的传导电流附近可能存在一些磁性物质，在电流的磁场作用下，物质磁化而出现磁化电流，它反过来又激发附加的磁场。磁化电流和磁场是互相制约的。因此解决这类问题的方法也象解静电学问题一样，即求微分方程边值问题的解。下面我们先引入磁场的矢势，然后导出矢势所满足的微分方程。 1. 矢势恒定电流磁场的基本方程是 0, μ ∇⨯= B J（2.3---1） ∇⋅= B（2.3---2） 式是J是自由电流密度.（2.3---1）和（2.3---2）式结合物质的电磁性质方程是解磁场问题的基础。 磁场的特点和电场不同。静电场是有源无旋场，电场线从正电荷出发而止于负电荷，静电场线永不闭合。静磁场则是有旋无源场，磁感应线总是闭合曲线。由于特性上的显著差异，描述磁场和电场的方法就有所不同。静电场由于其无旋性,可以引入标势来描述。磁场由于其有旋性，一般不能引入一个标势来描述，但是由于磁场的无源性，我们可以引入，另一个矢量来描述它。根据矢量分析的定理（附录Ⅰ.17式）, 若 ∇⋅= B 则B可表为另一矢量的旋度 =∇⨯ B A（2.3---3）A称为磁场的矢势。为了看出矢势A的意义，我们考察（2.3---3）的积分形式。把B对任一个以回路L为边界的曲面S积分，得
S S L d d d ⋅=∇⨯⋅=⋅⎰⎰⎰B S A S A l （2.3---4） 式中左边是通过曲面S 的磁通量。由上式，通过一个曲面的磁通量只和这曲面的边界L 有关，而和曲面的具体形状无关。 如图3-1，设S 1和S 2矢量个共同边界L 的曲面，则 12 S S d d ⋅=⋅⎰⎰B S B S 这正是B 的无源性的表示，因为B 是无源的，在S 1和S 2所包围的区域内没有磁感应线发出，也没有磁感应线终止，B 线连续地通过该区域，因而通过曲面S 1的磁通量必须等于通过曲面S 2的磁通量。这磁通量由矢势A 对S 1或S 2的边界L 的环量表示。 因此，矢势A 的物理意义是它沿任一闭合回路的环量代表通过以该回路为界的任意曲面的磁通量。只有A 的环量才有物理意义， 而每点上的A （x ）则没有直接的物理意义。 由矢势A 可以确定磁场B ，但是由磁场B 并不能唯一确定矢势A 。举一个简单的例子可以说明这点。设有沿z 轴方向的均匀磁场 00,,x y z B B B B === 其中B 0为常量。由（2.3---3）式 0,y x A A B x y ∂∂-=∂∂0y x z z A A A A y z z x ∂∂∂∂-=-=∂∂∂∂
第三章稳恒磁场 一、填空题 1、已知半径为圆柱形空间的磁矢势(柱坐标,该区域的磁感应强度为（）. 答案： 2、稳恒磁场的能量可用矢势表示为（）.答案： 3、分析稳恒磁场时,能够中引如磁标势的条件是（）.在经典物理中矢势的环流表示（）. 答案：或求解区是无电流的单连通区域 4、无界空间充满均匀介质,该区域分布有电流,密度为,空间矢势 的解析表达式（）.答案： 5、磁偶极子的矢势等于（）；标势等于（）. 答案：
6、在量子物理中,矢势具有更加明确的地位,其中 是能够完全恰当地描述磁场物理量的（）. 答案：相因子, 7、磁偶极子在外磁场中受的力为（）,受的力矩（）. 答案：, 8、电流体系的磁矩等于（）.答案： 9、无界空间充满磁导率为均匀介质,该区域分布有电流,密度为,空间矢势 的解析表达式（）.答案： 二、选择题 1、线性介质中磁场的能量密度为 A. B. C. D. 答案：A 2、稳恒磁场的泊松方程成立的条件是 A．介质分区均匀 B.任意介质 C.各向同性线性介质 D.介质分区均匀且 答案：D
3、引入磁场的矢势的依据是 A.; B.; C. ; D. 答案：D 4、电流处于电流产生的外磁场中,外磁场的矢势为,则它们 的相互作用能为 A. B. C. D. 答案：A 5、对于一个稳恒磁场，矢势有多种选择性是因为 A.的旋度的散度始终为零; B.在定义时只确定了其旋度而没有定义散度; C. 的散度始终为零; 答案： B 6、磁偶极子的矢势和标势分别等于 A. B. C. D. 答案：C 7、用磁标势解决静磁场问题的前提是
A.该区域没有自由电流分布 B. 该区域是没有自由电流分布的单连通区域 C. 该区域每一点满足 D. 该区域每一点满足. 答案：B 三、问答题 1、在稳恒电流情况下，导电介质中电荷的分布有什么特点？ 答：稳恒电流请况下，因稳恒电流是闭合的，则有，由电荷 守恒定律：，知：，即：。 所以导电介质中电荷的分布不随时间改变，为一守恒量，至于处ρ值 大小由介质形状、大小等决定。若是均匀导电介质,由得, ,根据高斯定理, 导体内处处无净余电荷分布, 电荷分布于表面及不均匀处. 2、判定下述说法的正确性，并说明理由： （1）不同的矢势，描述不同的磁场； （2）不同的矢势，可以描述同一磁场； （3）的区域，也为零。 答：（1）（3）不正确，（2）的说法是正确的，理由如下：因为任意函数φ的梯度的旋度恒为零，则：，说明：不同的矢 势，可以描述同一磁场。B=0的区域，若可以表为某一函数的梯度，即，则亦满足，所以矢势可以不为零。