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2010年福建省龙岩市高中毕业班第二次质量检查(数学理)

2010年龙岩市高中毕业班第二次质量检查

数学（理科）试题

本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第21（1）、（2）、（3）题为选考题，请考生根据要求选答；其它题为必考题. 本卷满分150分，考试时间120分钟。参考公式：

样本数据x 1，x 2，…，x n 的标准差： s=222121

()()()n x x x x x x n ??-+-++-?

?…，其中x 为样本平均数；

柱体体积公式：V =Sh ，其中S 为底面面积，h 为高；锥体体积公式：V =

1Sh ，其中S 为底面面积，h 为高；

球的表面积、体积公式：24S R =π，3

V R =

π，其中R 为球的半径。

第I 卷（选择题共50分）

一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。 1. 复数

3i i

-（i 为虚数单位）等于

A. 13i --

B. 13i -+

C. 13i -

D. 13i +

2. 设集合A ={1，2}，则满足{1,2,3}A B = 的集合B 的个数是

A. 1

B. 3

C. 4

D. 8

3. 如图，按如下程序框图，若输出结果为170，则判断框内应补充的条件为

A. 7>i

B. 9>i

C. 10i >

D. 11i >

4. 已知等差数列{}n a 与等比数列{},n b 满足33324,20a b b b b =-=，则{}n a 前5项的和5S 为

A. 5

B. 20

C. 10

D. 40

5. 根据工作需要，现从4名女教师，a 名男教师中选3名教师组成一个支援青海玉树教学团队，其中

405

8a xdx =

?，要求团队中男、女教师都有，则不同的组队方案种数为

A. 140

B. 100

C. 80

D. 70

6. 函数)1(),1|(|log >+=a x y a 的大致图像是

A B C Ｄ

7. 正四面体P —ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，下面四个结论中不成立．．．

的是 A. BC ∥平面PDF B. DF ⊥平面PAE

开始 i =1 S =0 S =S +2i i =i +2 ? 结束

输出S 是否

C. 平面PDF ⊥平面ABC

D. 平面P AE ⊥平面ABC

8. 在ABC ?中，90C =?，3AC =，4BC =，C D AB ⊥于D ，则DA DB ?

的值等于

A. 15-

B. 20-

14425

D. 14425

9. 已知函数2log (1)

()(1)

x x f x x c x ≥?=?+

A. 充分而不必要条件

B. 必要而不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件 10. 下图展示了一个由区间（0，4）到实数集R 的映射过程：区间（0，4）中的实数m 对应数轴上的点M （如图1），

将线段AB 围成一个正方形，使两端点A 、B 恰好重合（如图2），再将这个正方形放在平面直角坐标系中，使

其中两个顶点在y 轴上，点A 的坐标为（0，4）（如图3），图3中直线AM 与x 轴交于点N （n ，0），则m 的象就是n ，记作f （m ）=n .

现给出以下命题： ① f （2）=0； ②f （x ）的图象关于点（2，0）对称； ③ f （x ）在区间（3，4）上为常数函数； ④ f （x ）为偶函数。其中正确命题的个数有 A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

第Ⅱ卷（非选择题共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置。

11. 在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且2sin a c A =，则角C =______。 12. 已知抛物线x y 42

=的焦点是双曲线

y a

x -

=1（0,0>>b a ）的右顶点，双曲线的其中一条渐近线方程

为x y 3=，则双曲线的离心率为________。

13. 在2010年3月15日那天，龙岩市物价部门

对本市5家商场某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x 元和销售量 y 件之间的一组数据如右表所示，由散点图

可知，销售量y 与价格x 之间有较好的线性相关关系，若其线性回归直线方程是： 3.2y x a =-+，(参考公式：回归方程； ,y bx a a y b x =+=-)，则a =___________。

价格

x 9 9.5 10 10.5 11 销售量y

14. 若实数x 、y 满足20,,,x y y x y x b -≥??

≥??≥-+?

且2z x y =+的最小值为3，则实数b 的值为_______。

15. 研究问题：“已知关于x 的不等式02>+-c bx ax 的解集为(1，2)，解关于x 的不等式

>+-a bx cx ”，有如下解法：

解：由0)1

()1

(022>+-?>+-x

c x

b a

c bx ax ，令x

y 1=

，则2

∈y ，1)，

所以不等式02>+-a bx cx 的解集为(

1，1)

参考上述解法，已知关于x 的不等式0<++++c

x b x a

x k 的解集为(－3，－1)∪

(2，3)，则关于x 的不等式

<--+-cx bx ax kx 的解集为。

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16. （本小题满分13分）已知向量a = 16

(4cos(),sin )x x ππ

+，16

(sin(),sin )b x x ππ=+ ，

定义函数()f x =2

cos a b x ?+

。

（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；在所给的坐标系中作出函数()y f x =，x ∈[]2,14-的图象

（不要求写出作图过程）;

（Ⅱ）若()f α=2，且14≤α≤18，求tan()απ的值

17. （本小题满分13分）如图，在正方体1111ABC D A B C D -的上底面上叠放三棱柱

1111A D M B C N -，该几何体的正视图与左视图如右图所示.

（Ⅰ）若1D B ⊥1A M ，求实数a 的值；（Ⅱ）在（I ）的条件下：

① 证明1A C ⊥平面11N B D ；

②求直线1D B 与平面11A B N M 所成角的正弦值

18. （本小题满分13分）如图，由不大于n （n ∈N +

）的正有理数排成的数表，质点按

12112341123211→

→

3223

→

→……顺序跳动，

所经过的有理数依次排列构成数列{}n a 。（Ⅰ）质点从111

a =

出发，通过抛掷骰子来决定质点的跳动步数，骰子的点数为奇数

时，质点往前跳一步（从k a 到达1k a +）；骰子的点数为偶数时，质点往前跳二

步（从k a 到达2k a +）.

①抛掷骰子二次，质点到达的有理数记为ξ，求Eξ； ②求质点恰好到达5a 的概率。

（Ⅱ）试给出54a 的值（不必写出求解过程）。 19. （本小题满分13分）已知2211:(1)9

F x y ++= 、222121:(1)9

F x y -+=

，椭圆C 的方程为

222

1(0)x y a b a

=>>，1F 、2F 分别为椭圆C 的两个焦点，

设P 为椭圆C 上一点，存在以P 为圆心的P 与1F 外切、与2F 内切

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）过点2F 作斜率为k 的直线与椭圆C 相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点D ，若

222,,DA AF DB BF λ==

求λ的值；

（Ⅲ）已知真命题：“如果点T （00,x y ）在椭圆

222

1(0)x y a b a

=>>上，那么过点T

的椭圆的切线方程为

002

x x y y a

=1.”利用上述结论，解答下面问题：

已知点Q 是直线:28l x y +=上的动点，过点Q 作椭圆C 的两条切线QM 、QN ， M 、N 为切点，问直线MN 是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由。

20. （本小题满分14分）已知1=x 是函数x m x x x f ln 62

1)(2

+-=

的一个极值点。

（Ⅰ）求m ；

（Ⅱ）若直线n y =与函数()y f x =的图象有3个交点，求n 的取值范围；（Ⅲ）设)(x g =（a --5）x ln +

1x +（6-x b )+2（0>a ），)()()(x g x f x G +=，若

)(x G =0有两个零点12,x x ，且2

10x x x +=

，试探究0'()G x 值的符号

21. 本题（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的

前两题计分.作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换

已知向量β

=31?? ???

，变换T 的矩阵为A =1

1b c ??

???

，平面上的点P （1，1）在变换T 作用下得到点P′（3，3），求A 4

（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程

直线12()32

t x t y t ?

=-+??

?=??为参数与圆22x y a +=（a >0）相交于A 、B 两点，设 P （－1，0），且|PA |:|PB |=1:2，求实数a 的值

（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲

对于x ∈R ，不等式|x －1|+|x －2|≥a 2+b 2恒成立，试求2a +b 的最大值。

2010年龙岩市高中毕业班第二次质量检查数学(理科)试题参考答案及评分标准

一、选择题

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案

二、填空题 11.

12. 2 13. 40 14.

15. 11

(,)(,1)2

? 三、解答题

16. 本题主要考查平面向量、三角变换、三角函数的图象和性质等基础知识，考查运算求解能力，考查考查数形

结合思想、化归与转化思想。

解：（I ）∵a b =4cos 22

()sin()sin 2sin()sin 16

x x x x x ππππππ+++=++

∴22

()2sin(

)sin cos 2sin(

)18

f x x x x x π

++=+

+ -------4分

∵2()168

f x T π

=的最小正周期 ---------------------------5分

其图象如下：

--------8分

（Ⅱ）∵()2f α= ∴1sin(

2απ

∵14≤α≤18 ∴5284

απ

ππ≤

≤

，

13468

απ

πα+

=?=

-------------11分

∴464tan()tan

tan 33

παππ===

---------------------------13分

17. 本题主要考查三视图，直线与直线、直线与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，推理论证能力，以及运算求解能力，考查化归与转化思想，数形结合思想解：（Ⅰ）分别以DA 、DC 、DM 为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，则D （0，0，0），B 1

（1，1，1），A 1（1，0，1），C （0，1，0），D 1（0，0，1），M （0，0，1+a ），

N （0，1，1+a ）. 1DB =（1，1，1），1A M

=（－1，0，a ）. ∵1DB ⊥1A M

，

∴1DB ·1A M =0 ? －1+a=0 ? a =1. ---------------------4分（Ⅱ）①1A C =（－1，1，－1），1N D =（0，-1，-1），1NB =（1，0，-1）.

∵1A C ·1N D =0， 1A C ·1NB

=0，

∴1A C ⊥1N D

， 1A C ⊥1NB ，又ND 1 NB 1=N.

∴A 1C ⊥平面NB 1D 1. ----------------------------8分

②设平面A 1B 1NM 的法向量为n =（x 、y 、z ），

n ·11A B

y=0 n ·1NB =0

x －z=0 .

取n =（1，0，1），又1DB

=（1，1，1），

cos=116

3||||

n D B n D B =

. 设直线DB 1与平面A 1B 1NM 所成角为θ，

则sinθ=sin （2

－）

=cos=

.----------------------------13分

18. 本题主要考查数列、概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想

解：（Ⅰ）①ξ的可能取值为

，13

，

P （ξ=

）=

；P （ξ= 13

）=12

；P （ξ=

）=

； -------------2分

ξ的分布列为

ξ 12 13 22 P

A D

A 1

D 1

B 1

C 1

E ξ=

111111312432224

?+?+?

=-----------------------------------5分

②设质点移到n a 的概率为n P ，质点移到n a 有两种可能：①质点先到1n a -，骰子掷出的点数为奇数，质

点到达n a ，其概率为

112

n P -；②

质点先到2n a -，骰子掷出的点数为偶数，其概率为212

n P -。

即12112

2n n n P P P --=

（n≥4） 2311113,2222

P P =

∴43211522

8P P P =

54311

112

P P P =

--------------------------------------10分

法2：质点恰好到达5a 有三种情形

①抛掷骰子四次，出现点数全为奇数，概率1

()2

P =；

②抛掷骰子三次，出现点数二次为奇数，一次为偶数概率为1

231

3()2

P C ==

；

③抛掷骰子二次，出现点数全为偶数，概度为2

()2

P =，故质点恰好到达5a 的概

率1311116

P =

------------------------------------10分

（Ⅱ）54a =

……………………………………13分

19. 本题主要考查直线、圆、椭圆等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与

转化思想

解：（Ⅰ）依题意可知， P 与 1F 外切、 2F 内切. 设 P 的半径为r ，则113

P F r =+

2113

P F r =

- -----------------------------------2分

∴124PF PF +=， 2a =4，2c =12F F =2

∴a =2，c=1 , 椭圆C 的方程为

=1 ------------------------4分

（Ⅱ）直线AB ：y=k （x-1），由22(1)

3y k x x y =-???+=?

? ?222

34(1)120x k x +--=?

(34)84120k x k x k +-+-=,令A 1122(,),(,)x y B x y ,则2122

834k

x x k

+，

122

41234k x x k

+， ------------------------------------6分

∵222,DA AF DB BF λ==

∴112202(1),0(1)x x x x λ-=--=-， ∵2=

1x x -，221x x λ=

-， ------------------------------------8分

2+12

12121

12211(1)(1)

x x x x x x x x x x λ+-=+

----

221212

1212

8412

22343484121()13434k

k x x x x k k k k x x x x k k

--+-++=--++-+++ =2

83493

34k

+=-

-+ ， ∴81423

λ=--

. -----------------------10分

（Ⅲ）设Q （00,x y ）,M （11,x y ），N （22,x y ）则切线QM ：

11143x x y y +=

切线QN ：

2214

x x y y +=

∴ 10

102020143

3x x y y x x y y ?+=????+=?? ∴M 、N 在直线00143x y x y +=上

∴ 直线MN ：

0014

3x y x y +=------------------------------------12分又00002818

4x y x y +=?

= ∴直线MN 必过定点（13,2

）. ------------------------------------13分

20. 本题主要考查函数、导数、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查

数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想。

解：（Ⅰ）因为)('

x f =x

m x +

-6

所以m f +-=61)1('

=0，∴m =5------------------------------------3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知x x x x f ln 5621)(2

+-=

（0>x ）

∴)('

x f =x

x 56+

x x 5

+-=

x x )

5)(1(--------------------------5分

当)5,1(∈x 时，)('

x f <0，)(x f 单调递减；

当),5(+∞∈x 或)1,0(∈x 时，)('x f >0，)(x f 单调递增.

∴)(x f 的极大值为)1(f =

1-=2

11-

，

极小值为)5(f =

5ln 530252

1+-?=5ln 52

35+-

，

又0→x 时，)(x f -∞→，+∞→x 时，)(x f +∞→ -----------------7分结合图像可知：当且仅当)1()5(f n f <<时直线n y =与函数()y f x =的图象有3个交点

∴5ln 52

35+-

11-

（III ）0'()G x 的符号为正. 证明如下：

因为)()()(x g x f x G +==

x x x ln 562

+-+（a --5）x ln +

1x +（6-x b )+2

=bx x a x --+ln 22有两个零点12,x x ，则有

21112

2222ln 0

2ln 0

x a x bx x a x bx ?+--=??+--=??，两式相减得22

212121(ln ln )()0x x a x x b x x -----=

即212121(ln ln )

a x x x x

b x x -+-=

-，

于是00120

122'()2()a a G x x b x x b x x x =--=+--

2121

(ln ln )

2a x x a x x x x -=

-+22121

2()[ln

]x x x a

x x x x x -=

221

2(1)[ln

]1x x x a x x x x x -=

-------------------------11分

①当120x x <<时，令

x t x =，则1t >，且021

2(1)'()(ln )1a t G x t x x t

-+.

设2(1)()ln (1)1t u t t t t

-=-

>+，

则22

14(1)

'()0(1)

(1)

t u t t

t t t -=-

>++，

则2(1)()ln 1t u t t t

-=-+在(1,)+∞上为增函数．而(1)0u =，所以()0u t >，

即2(1)ln 01t t t

>+. 又因为210,0a x x >->，所以0'()0G x >. ------12分

②当210x x <<时，同理可得：0'()0G x >. --------------------------13分综上所述：0'()G x 的符号为正------------------------------------14分

21.（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换

本题主要考查矩阵、矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力法1：11b c ??

???

11?? ???=33?? ??? 即13

b c +=??+=? ?b c ==2，故A=122

1??

???

. ------------------------------------ 2分由

λλ--=--?2

230λλ--=?λ1=－1，λ2=3.

当λ1=－1时，矩阵A 的特征向量为1e =11??

?-??

当λ2=3时，矩阵A 的特征向量为2e =11??

???

. -----------------------------4分

故A 4

=A 4

（1e +22e

）

=A 4

1e +2A 4

=(－1)4 11?? ?-??+2·3411??

???

=163161?? ???

. ------------------------------------7分

法2：由1

1b c

???

11?? ???=33?? ???

, 即 1313b c +=+= ? 22b c ==，

故A=1221??

???. ------------------------------------2分 A 2=1212542

5??????=

? ? ???????

，

A 3

=541213144

5211413??????=

? ? ???????

， A 413141413?? ???124140214041????= ? ?????

， ------------------------------------5分 A 431?? ???=4140316340

411161??????= ? ? ???????

. -----------------------------------7分（2）选修4-4：坐标系与参数方程

本题主要考查直线的参数方程，直线与圆的位置关系，考查运算求解能力.

法1：直线参数方程可化为：y=3(x +1) --------------------------------1分

联立方程

3(1)

y x x y a

++= ，

消去y ，得：42x +6x +3－r=0 . ------------------------------------2分设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）（不妨设x 10 ， …………① x 1+x 2=32

-， …………②

x 1·x 2=

a -，

…………③-----------------------------------3分

121||1||

x PA PB x --=

=+， …………④-----------------------------------5分

由①②③④解得a =3. -----------------------------------7分

法2：将直线参数方程代入圆方程得

t 2－t+1－a =0 -----------------------------------1分设方程两根为t 1、t 2，则 Δ=1－4（1－a ）>0 ? a >

t 1+t 2=1，t 1·t 2=1－a .…………（*）-----------------------------------3分由参数t 的几何意义知

||1||2

t PA PB t =-

= 或

||1||

t PA PB t =-

. ---------------------------5分

由1212t t =-

，解得a =3，

由21

t t =-，代入（*）得a =3，

故所求实数r 的值为3. -----------------------------------7分

（3）选修4-5：不等式选讲

本题主要考查柯西不等式、绝对值不等式及其应用，考查推理论证与运算求解能力解：|x －1|+|x －2|=|x －1|+|2－x |≥|x －1+2－x |=1 , -------------2分

故a 2+b 2

≤1.

(2a +b )2 ≤(22+12)( a 2+b 2

) ≤5. ---------------------------------4分由 2

b a b =

+≤ ? 2215

a b

b =≤

即取b =

，255

a =

时等号成立. --------------------------------6分

故(2a +b )max =

5. -----------------------------------7分

福建省高一数学竞赛试题参考答案

2015年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准（考试时间：5月10日上午8：30－11：00）一、选择题（每小题6分，共36分） ??的子集有（集合1.）Nx?xx?1?3，A?A．4个B．8个C．16个D．32个【答案】 C ??。3 ，，，1，知，结合，得A?20【解答】由x?1?3Nx?x?4?2?4个。的子集有 ∴162?A lll与两坐标轴围成的三角形的面对称，则：2．若直线关于直线与直线xy?1??2xy122积为（） 211C．B．D．A．1 324【答案】 D ?l的对称点关于直线则【解答】在直线，：取点xy?(?11)0，?1)，y?2x?1AA(0，0)A(?1l 上。在直线2ll。在直线的交点又直线与直线x?y1)P，(11211?l。过和∴两点，其方程为?xy?1)0)，P(1A?(1，22211ll与坐标轴围成的三角形的面积为。与坐标轴交于和∴两点，)，(00)(?1，22243．给出下列四个判断：（1）若，为异面直线，则过空间任意一点，总可以找到直线与，都相交。 aa bbP??????。，和直线，若（2）对平面，则，??l∥ll??????。和直线，若，则（3）对平面，，?l∥?ll?????ll∥ll∥lll。内一点，且（4）对直线，，和平面，则，若过平面P2211122其中正确的判断有（） A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】 B 【解答】（3）、（4）正确；（1）、（2）不正确。 ????内，且不在直线上时，，过1），设的平面为和在平面，则当点对于（ba∥aabP 找不到直线同时与，都相交。a b

中点，则二面，为4．如图，已知正方体DC?ABABCD CDE1111）角的正切值为（BAB?E?12222 D．．A．1 B ． C 4 【答案】 D 图第4题于如图，作于，作，连结。【解答】ABFO?OEOFABEF?1

2010年全国高中数学联赛福建赛区

2010年全国高中数学联赛福建赛区获奖学生及指导教师名单奖次学生姓名所在学校指导教师一等奖（57名）范睿托厦门外国语学校吴铭辉高复铖福州一中危志刚黄山筱福州一中危志刚吴旋福州一中苏健谢晓晖厦门双十中学黄雄黄旻捷厦门双十中学郭俊芳蔡宇涵福州一中陈德燕邹豪风福州一中丘远青肖宇光泉州一中汤向明潘振忠泉州一中郭铭纪许东磊同安一中谢继林张杰锋泉州七中陈建斌林培辉长乐一中刘宇璋巫立凡厦门双十中学张瑞炳董晴谊泉州一中汤向明黄怀毅泉州五中王辉耀吴豪南靖一中李剑评卓凌烽福州一中陈新栋林俊杰安溪一中吴志湖蒋奕凯福州一中夏彦婴鹿鸣厦门双十中学张瑞炳严堃安溪一中黄金南张伟奇长乐一中刘宇璋林德芳德化一中王琼琼奖次学生姓名所在学校指导教师徐伟生德化一中徐建新孙铭厦门外国语学校肖骁

一等奖（57名）许有疆德化一中陈丽真杨震莆田一中肖志强郑刘悦福州三中郑文祺陈恩俊莆田一中肖志强黄永招德化一中徐建新许若男厦门双十中学张瑞炳庄旭航泉州五中黄种生杨洋福建师大附中林峰何承玮福州三中张军王经纬福安一中池水平陈若明厦门外国语学校吴铭辉林梦翔福州一中陈新栋林宇哲福州一中龚梅勇陈从翔连江一中陈志坚王文彬云霄立人学校林耀东谢钧厦门双十中学张瑞炳张华林龙岩二中郭小峰陈水挺同安一中谢继林董张帆福州一中夏彦婴曾林仙游一中陈凤龙陈彦哲厦门双十中学黄雄林晨超福州一中苏健林煌福州一中危志刚曾祥桓平和正兴学校叶连雄周培聪厦门双十中学张瑞炳蔡期塬泉州五中庄晓玲奖次学生姓名所在学校指导教师一等奖蓝捷上杭一中林文柱刘鸿辉厦门双十中学黄雄黄国快晋江养正中学许贻旺陈振雄晋江季延中学陈浩

大梦杯福建省初中数学竞赛试题参考答案及评分标准

大梦杯福建省初中数学竞赛试题参考答案及评分标准 The latest revision on November 22, 2020

2018年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题考试时间 2018年3月18日 9∶00－11∶00 满分150分一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．若关于x 的方程244310x mx m +--=有两个相等的实数根，则32442m m m ++-的值为（） A ．3- B ．2- C ．1- D ．1 2．如图，ABCD 、DEFG 都是正方形，边长分别为m 、n （m n <）。坐标原点O 为 AD 的中点，A 、D 、E 在y 轴上。若二次函数2y ax =的图像过C 、F 两点，则n m =（） A ．31+ B ．21+ C ．231- D ．221- 3．如图，G 为ABC △的重心，点D 在CB 延长线上，且1 2 BD BC =，过D 、G 的直线交AC 于点E ，则 AE AC =（） A ．2 5 B ．3 5 C ． 3 7 D ． 47 4．如图，H 、O 分别为ABC △的垂心、外心，45BAC ∠=?，若ABC △外接圆的半径为2，则AH =（） A ．23 B ．22 C ．4 D ．31+ 5．满足方程22419151x xy y -+=的整数对()x y ，有（） H O B C A （第4题图）（第2题图） E G B D （第3题图）

福建省2017-2018学年高一竞赛数学试题

福建省2017-2018学年高一数学竞赛试题一、选择题：本大题共6个小题,每小题6分,共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}|1327x A x =≤≤，{} 22|log ()1B x x x =-<，则A B =（） A ．(12)， B ．(]13-， C ．[)02， D ．(1) (02)-∞-，， 2.若直线l 与两直线1l ：70x y --=，2l ：1313110x y +-=分别交于A ，B 两点，且线段AB 中点为(12)P ，，则直线l 的斜率为（） A ．2- B ．3- C ．2 D ．3 3.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、E 分别为棱BC 、 1BB 的中点，N 为正方形11B BCC 的中心.l 为平面1A MN 与平面1A MN 与平面1D BE 的交线，则直线l 与正方体底面ABCD 所成角的大小为（） A ．30? B ．45? C ．60? D ．90? 4.如图，在三棱锥S ABC -中，6SA SB AB BC CA =====，且侧面ASB ⊥底面ABC ，则三棱锥S ABC -外接球的表面积为（） A ．60π B ．56π C.52π D ．48π 5.已知定义在R 上的函数()f x 满足：(](]2 2210()201x x f x x x ?--∈-?=?-∈?? ，，，，且(2)()f x f x += ，

52()2 x g x x -= -，则方程()()f x g x =在区间[]37-，上的所有实根之和为（） A ．14 B ．12 C.11 D ．7 6.已知点(20)A -，，(20)B ，，(02)C ，，直线y kx b =+（0k >）交线段CA 于点D ，交线段CB 于点E .若CDE △的面积为2，则b 的取值范围为（） A ．11)， B ．223?? ???， C.324??- ???， D ．213???，二、填空题：每题6分，满分36分. 7.函数23 ()log )f x x ?? ??=??????? 的最小值为． 8.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PA AB =.E 、F 分别为PD 、BC 的中点，则二面角E FD A --的正切值为． 9.若函数22()24f x x ax a =-+-在区间2 2a a ??-??，（0a >）上的值域为[]40-，，则实数a 的取值范围为． 10.已知集合{}13579A =，，，，，集合a B a A b A a b b ?? =∈∈≠???? ，，且，则集合B 中元素的个数为． 11.n 的和为． 12.给出下列10个数：1，2，4，8，16，32，64，a ，b ，c ，其中a ，b ，c 为整数，且64c b a >>>.若对每个正整数753n ≤，都可以表示成上述10个数中某些数的和（可以是1个数的和，也可以是10个数的和，每个数至多出现1次），则b 的最小值为．三、解答题：本大题共5小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 13.已知DEF △三边所在的直线分别为1l ：2x =-， 2l ：40x +-=，3l ：40x --=，C 为DEF △的内切圆. （1）求C 的方程；

2018年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案

2018年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案及评分标准一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分） 01．若关于x 的方程244310x mx m +--=有两个相等的实数根，则32 442m m m ++-的值为（ A ） A ．3- B ．2- C ．1- D ．1 【解答】依题意，2 1616(31)0m m D =++=，∴2 310 m m ++=，∴231m m =--，2 31m m +=-。 ∴3 2 2 2 442(31)44232123m m m m m m m m m ++-=--++-=+-=--=-。 02．如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为()m n m n <、。原点O 为AD 的中点，A D E 、、在y 轴上。若二次函数2 y ax =的图像经过C F 、两点，则n m =（ B ） A 1 B 1 C ．1 D ．1 【解答】依题意，点C 的坐标为()2m m ，，点F 的坐标为()2 m n n -+，。由二次函数2 y ax =的图像经过C F 、两点得22 2()2 m am m n a n ì=??í?+=-??，消去a 得22 20n mn m --=。 ∴2210n n m m 骣-?=琪桫，解得1n m =（舍负根）。∴ n m =03．如图，G 为ABC △的重心，点D 在CB 延长线上且12BD BC =，直线 A ．25 B ．35 C ．37 D ．4 7 （ D ） F B D F B 【解答】如图，连AG ，并延长交BC 于点F 。 ∵G 为ABC △的重心且12BD BC = ，∴F 为BC 中点且21 AG GF =，DB BF FC ==。过点F 作FM DE ∥，交AC 于点M ，则13CM CF CE CD ==，2 1 AE AG EM GF ==。设CM k =，则3CE k =，2EM k =，4AE k =，∴7AC k =，44 77AE k AC k ==。另解：如图，连AG ，并延长交BC 于点F 。∵G 为ABC △的重心且1 2 BD BC =， ∴F 为BC 中点且21AG GF =，DB BF FC ==，∴23FD DC =，2 1 AG GF =。在AFC △中，由梅涅劳斯定理得1FD CE AG DC EA GF 鬃=，22131CE EA 鬃=，34CE EA =，∴4 7 AE AC =。（第03题答题图2）（第03题答题图1）（第03题图）

2015年全国高中数学联赛福建预赛(高一)

2015年福建省高一数学竞赛试题（考试时间：5月10日上午8：30－11：00）一、选择题（每小题6分，共36分） 1.集合{}13A x x x N =-<∈，的子集有（） A ．4个 B ．8个 C ．16个 D ．32个【答案】 C 【解答】由13x -<，知24x -<<，结合x N ∈，得{}0123A =，，，。 ∴ A 的子集有4216=个。 2．若直线2l 与直线1l ：21y x =-关于直线y x =对称，则2l 与两坐标轴围成的三角形的面积为（） A ．1 B ． 23 C ．12 D ．14 【答案】 D 【解答】在直线1l ：21y x =-取点(01)A -，，则(01)A -，关于直线y x =的对称点(10)A '-，在直线2l 上。又直线1l 与直线y x =的交点(11)P ，在直线2l 。 ∴ 2l 过(10)A '-，和(11)P ，两点，其方程为11 22 y x = +。 ∴ 2l 与坐标轴交于(10)-，和1(0)2，两点，2l 与坐标轴围成的三角形的面积为1 4 。 3．给出下列四个判断：（1）若a ，b 为异面直线，则过空间任意一点P ，总可以找到直线与a ，b 都相交。（2）对平面α，β和直线l ，若αβ⊥，l β⊥，则l α∥。（3）对平面α，β和直线l ，若l α⊥，l β∥，则αβ⊥。（4）对直线1l ，2l 和平面α，若1l α∥，21l l ∥，且2l 过平面α内一点P ，则2l α?。其中正确的判断有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】 B 【解答】（3）、（4）正确；（1）、（2）不正确。对于（1），设a a '∥，过a '和b 的平面为α，则当点P 在平面α内，且不在直线b 上时，找不到直线同时与a ，b 都相交。

2017年全国高中数学联赛(福建赛区)预赛暨2017年福建省高中数学竞赛试卷参考答案

2017年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛暨2017年福建省高中数学竞赛试卷参考答案（考试时间：2017年5月21日上午9：00－11：30，满分160分）一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上） 1．已知集合{}2log (1)1A x x =-<，{}2B x x a =-<，若A B ?≠?，则实数a 的取值范围为。【答案】 (15) -，【解答】由2log (1)1x -<，得012x <-<，13x <<，(13)A =，。由2x a -<，得22x a -<-<，22a x a -<<+，(22)B a a =-+，。若A B ?=?，则21a +≤或23a -≥，1a ≤-或5a ≥。 ∴ A B ?≠?时，a 的取值范围为(15)-，。 2．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且函数(1)y f x =+为偶函数，当10x -≤≤时， 3()f x x =，则9 ()2 f = 。【答案】 18 【解答】由函数(1)y f x =+为偶函数，知(1)(1)f x f x -+=+。又()f x 为奇函数， ∴ (2)()()f x f x f x +=-=-，(4)(2)()f x f x f x +=-+=。 ∴ 391111 ()()()()22228 f f f ==--=--=。 3．已知 {}n a 为等比数列，且120171a a =，若 2 2 ()1f x x = +，则 123 2 () () ()()f a f a f a f a ++++ =L 。【答案】 2017 【解答】由2 2 ()1f x x =+知，2222212222()()211111()x f x f x x x x x +=+=+=++++。 ∵ {}n a 为等比数列，且120171a a =， ∴ 12017220163201521a a a a a a a a =====L 。 ∴ 12017 22016 3201 52017()()() ()() ()()()2 f a f a f a f a f a f a f a f a +=+=+==+=L 。 ∴ []12320172()()()() f a f a f a f a ++ + + L [][][][]12017220163201520171()()()()()()()()f a f a f a f a f a f a f a f a =++++++++L

-2017年大梦杯福建省初中数学竞赛试题

2017年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案考试时间 2017年3月19日 9∶00－11∶00 满分150分一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．设a =1 a a + 的整数部分为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】 B 【解答】由2226a =+-=，知a = 于是1 a a + =2111()62866a a +=++=+，214()9a a <+<。因此，1 a a + 的整数部分为2。（注： a ==== 2．方程2 2( )32 x x x +=-的所有实数根之和为（） A ．1 B ．3 C ．5 D ．7 【答案】 A 【解答】方程2 2( )32 x x x +=-化为2222(2)3(2)x x x x -+=-。即3251060x x x -+-=，2(1)(46)0x x x --+=。解得1x =。经检验1x =是原方程的根。 ∴ 原方程所有实数根之和为1。 3．如图，A 、B 、C 三点均在二次函数2y x =的图像上，M 为线段AC 的中点，BM y ∥轴，且2MB =。设A 、C 两点的横坐标分别为1t 、2t （21t t >），则21t t -的值为（） A ．3 B ． C ．± D ．【答案】 D 【解答】依题意线段AC 的中点M 的坐标为22 1212 ()22 t t t t ++，。（第3题）

由BM y ∥轴，且2BM =，知B 点坐标为22 1212 (2)22t t t t ++-，。由点B 在抛物线2 y x =上，知22 212122()22 t t t t ++-=。整理，得2222 121122 2282t t t t t t +-=++，即221()8t t -=。结合21t t > ，得21t t -= 4．如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=?，D 为线段BC 的中点，E 在线段AB 内，CE 与AD 交于点F 。若A E E F =，且7AC =，3FC =，则c o s A C B ∠的值为（） A ．37 B ． C ．314 D 【答案】 B 【解答】如图，过B 作BK AD ∥与CE 的延长线交于点K 。则由AE EF =可得，EBK EAF AFE BKE ∠=∠=∠=∠。 ∴ EK EB =。又由D 为BC 中点，得F 为KC 中点。 ∴ 3AB AE EB FE EK KF FC =+=+===。 ∴ BC === ∴ cos 7 BC ACB AC ∠= = 。或解：对直线AFD 及BCE △应用梅涅劳斯定理得， 1BD CF EA DC FE AB ??=。由D 为线段BC 的中点，知BD DC =。又AE EF =，因此，3AB CF ==。结合7AC =，90ABC ∠=? ，利用勾股定理得，BC = 所以，cos 7 BC ACB AC ∠==。 D B A E （第4题） K

【数学竞赛】2016年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准

2016年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准（考试时间：5月8日上午8：30－11：00）一、选择题（每小题6分，共36分） 1．若集合{}2120A x x x =--≤，101x B x x +? ? =）相互垂直，垂足为P ，O 为坐标原点，则线段OP 的长为（） A ． B ．2 C D 3．如图，在三棱锥P ABC -中，PAB △，PBC △均为等边三角形，且AB BC ⊥。则二面角A PC B --的余弦值为（） A ． 3 B ．3 C ．3 D ．1 3 4．若函数2243()2log 3a x x x f x x x ?-+≤=?+>?，，，，（0a >，且1a ≠）的值域为[)3+∞，，则实数a 的取值范围为（） A ．(]13， B ．(13)， C ．(3)+∞， D ．[)3+∞， 5．如图，在四面体P ABC -中，已知PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且3PA PB PC ===。则在该四面体表面上与点A 距离为） A ． B ． C ．2 D ．2 6．()f x 是定义在R 上的函数，若(0)1f =，且对任意x R ∈，满足(2)()2f x f x +-≤，(6)()6f x f x +-≥，则(2016)f =（） A ．2013 B ．2015 C ．2017 D ．2019 二、填空题（每小题6分，共36分） 7．已知实数x ，y 满足226440x y x y +-++=，记2224x y x y μ=++-的最大值为M ，最小值为m ，则M m += 。 8．过直线2y x =上一点P 作圆C ：225 (3)(1)4 x y -+-= 的切线PA 、PB ，A 、B 为切点。若直线PA 、PB 关于直线2y x =对称，则线段CP 的长为。 A B C P A C B P

【数学】福建省2018年高中数学联赛(福建省赛区)预赛试题含答案

2018年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛暨2018年福建省高中数学竞赛试卷（考试时间：2018年5月20日上午9：00—11:30，满分160分）一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分.请直接将答案写在题中的横线上） 1.将正偶数集合{}2,4,6，从小到大按第n 组有32n -个数进行分组： {}{}{}2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24，，则2018位于第组. 2.在ABC ?中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若2,3,2a b C A ===，则 cos C = . 3.设复数z 满足2z i -= ，则 z z -的最大值为 .（i 为虚数单位，z 为复数z 的共轭复数） 4.已知定义在R 上的奇函数()f x 的图像关于直线2x =对称，当02x <≤时，()1f x x =+，则()()100101f f -+-= . 5.从如图所示的由9个单位小方格组成的33?方格表的16个顶点中任取三个顶点，则这三个点构成直角三角形的概率为 . 6.如图，在三棱锥P ABC -中，,PAC ABC ??都是边长为6的等边三角形，若二面角P AC B --的大小为0120，则三棱锥P ABC -外接球的面积为 .

7.已知12,F F 分别为双曲线22 :1412 x y C -=的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，,G I 分别为12F PF ?的重心、内心，若//GI x 轴，则12F PF ?的外接圆半径R = . 8.最近网络上有一篇文章很火.源于一道常见题目：（见图），这貌似易解的题目，里面竟然蕴藏了深奥的大道理. （本题不作为本次考试的试题，本次试题如下）设{},2,3,4,5,6,7,8a b ∈，则1010a b b a a b +++的最大值为 . 9.已知整数系数多项式()543212345f x x a x a x a x a x a =+++++ ，若0f =，()()130f f +=则()1f -= . 10.已知函数()f x 满足：对任意实数,x y ，都有()()()6f x y f x f y xy +=++成立，且 ()()119f f ?-≥，则23f ??= ??? . 二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分.要求写出解题过程） 11.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2,*n n S na n n N -=∈，且23a =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2 ）设n b = n T 为数列{}n b 的前n 项和，求使920n T >成立的最小正整数n 的值.

历届“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题及答案

1 2016年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案考试时间 2016年3月13日 9∶00－11∶00 满分150分一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(02)B ，，点A 在x 轴正半轴上且30BAO ∠=?。将 OAB △沿直线AB 折叠得CAB △，则点C 的坐标为（） A ．(1 B ．3) C ．(3 D ．1) 2．若实数a ，b 满足232a a +=，232b b +=，且a b ≠，则22(1)(1)a b ++=（） A ．18 B ．12 C ．9 D ．6 3．若关于x 的方程22240224 x x x a x x x +-+++=-+-只有一个实数根，则符合条件的所有实数a 的值的总和为（） A ．6- B ．30- C ．32- D ．38- 4．如图，在ABC △中，6AB =，3BC =，7CA =，I 为ABC △的内心，连接CI 并延长交AB 于点D 。记CAI △的面积为m ， DAI △的面积为n ，则 m n =（） A ．32 B ．43 C ．53 D ．74 5．已知x ，y 为实数，且满足2244x xy y -+=，记224u x xy y =++的最大值为M ，最小 A B C D I

2 值为m ，则M m +=（） A ．403 B ．64 15 C ．13615 D ．315 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分） 6．在平面直角坐标系内有两点(11)A ，，(23)B ，，若一次函数2y kx =+的图像与线段AB 有公共点，则k 的取值范围为。 7．如图，在ABC △中，D 为BC 边上一点，E 为线段AD 上一点，延长BE 交AC 于点F 。若 25BD BC =，12AE AD =，则AF AC = 。 8．设1x ，2x ，3x ，…，n x 是n 个互不相同的正整数，且1232017n x x x x ++++=L ，则n 的最大值是。 9．如图，AB 是O ⊙的直径，AC 是O ⊙的切线，BC 交O ⊙于E 点，若 OA CE =，则AE AB = 。 E O A B C F B C A D E

2016年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题以及参考答案

2016年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案考试时间 2016年3月13日 9∶00－11∶00 满分150分一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(02)B ，，点A 在x 轴正半轴上且30BAO ∠=?。将OAB △沿直线AB 折叠得CAB △，则点C 的坐标为（） A ．(1 B ．3) C ．(3 D ．1) 2．若实数a ，b 满足232a a +=，232b b +=，且a b ≠，则22(1)(1)a b ++=（） A ．18 B ．12 C ．9 D ．6 3．若关于x 的方程22240224 x x x a x x x +-+++=-+-只有一个实数根，则符合条件的所有实数a 的值的总和为（） A ．6- B ．30- C ．32- D ．38- 4．如图，在ABC △中，6AB =，3BC =，7CA =，I 为ABC △的内心，连接CI 并延长交AB 于点D 。记CAI △的面积为m ， DAI △的面积为n ，则 m n =（） A ．32 B ．43 C ．53 D ．74 5．已知x ，y 为实数，且满足2244x xy y -+=，记224u x xy y =++的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=（） A ．403 B ．6415 C ．13615 D ．315 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分） 6．在平面直角坐标系内有两点(11)A ，，(23)B ，，若一次函数2y kx =+的图像与线段AB 有公共点，则k 的取值范围为。 A B C D I

2020年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准

2017年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准（考试时间：5月14日上午8：30－11：00）一、选择题（每小题6分，共36分） 1．已知集合203x A x x Z x +?? =≤∈??-?? ，，则集合A 中所有元素的和为（） A ．1- B ．0 C ．2 D ．3 【答案】 B 【解答】由 2 03 x x +≤-，得23x -≤<。又x Z ∈。因此{}21012A =--，，，，。所以，集合A 中所有元素的和为0。 2．已知正三棱锥A BCD -的三条侧棱AB 、AC 、AD 两两互相垂直，若三棱锥A BCD -外接球的表面积为3π，则三棱锥A BCD -的体积为（） A ．43 B ．23 C ．16 D ．19 【答案】 C 【解答】设AB AC AD a ===，则三棱锥A BCD -外接球的半径2 R a = 。由243R ππ= ，得2 R = 。 ∴ 1a =，三棱锥A BCD -的体积311 66 V a ==。 3．已知x 为实数，若存在实数y ，使得20x y +<，且23xy x y =-，则x 的取值范围为（） A ．(43)(0)--?+∞，， B ．(02)(4)?+∞，， C ．(4)(30)-∞-?-，， D ．(0)(24)-∞?，，【答案】 C 【解答】由23xy x y =-，得23 x y x =+ ∵ 20x y +<， ∴ 2203x x x + <+，即(4) 03 x x x +<+，解得4x <-或30x -<<。 ∴ x 的取值范围为(4)(30)-∞-?-，，。 4．m 、n 是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，则下列命题中，正确的命题的个数是（） B （第2题图）

2018年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准

福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准（考试时间：5月11日上午8：30－11：00）一、选择题（每小题6分，共36分） 1．已知集合{}1A x x a =-<，{}22x B y y x ==≤，，若A B A ?=，则实数a 的取值范围为（） A ．(]1-∞， B ．(1)-∞， C ．(]01， D ．(]3-∞，【答案】 A 【解答】0a ≤时，A φ=，符合要求。 0a >时，(11)A a a =-+，，(]04B =，。由A B A ?=知，A B ?。10 14a a -≥??+≤?，解得01a <≤。 ∴ a 的取值范围为(]1-∞，。 2．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥内切球的体积为（） A ． B C ．43π D ．163π 【答案】 A 【解答】设圆锥底面半径为R ，母线长为l ，则1 222 l R ππ?=，2l R =。又21 22 S l ππ==圆锥测。因此，2l =，1R =。圆锥的轴截面是边长为2的正三角形。所以，其内切球半径12323r =??= 34()3327V π=?=。 3．函数y x = ） A ．?-? B ．2?-? C ．1?-? D ．?? 【答案】 B 【解答】由y x -=22224y xy x x -+=-，222240x yx y -+-=。 ∴ 2248(4)0y y =--≥△，y -≤≤ 又2y x ≥≥-，因此，2y -≤≤2?-?。

4．给出下列命题：（1）设l ，m 是不同的直线，α是一个平面，若l α⊥，l m ∥，则m α⊥。（2）a ，b 是异面直线，P 为空间一点，过P 总能作一个平面与a ，b 之一垂直，与另一条平行。（3）在正四面体ABCD 中，AC 与平面BCD （4）在空间四边形ABCD 中，各边长均为1，若1BD =，则AC 的取值范围是(0。其中正确的命题的个数为（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】 C 【解答】（1）显然正确。（2）若存在平面α，使得a α⊥，b α∥，则a b ⊥。但a ，b 是未必垂直。故不正确。（3）作A O B C D ⊥平面于O ，则O 为正三角形BCD 的中心，ACO ∠是AC 与平面BCD 所成角。设AB BC a ==，则23CO ==，cos ACO ∠= 。故，（3）正确。（4）取BD 中点O ，则OA OC ==。由O 、A 、C 构成三角形知，(0AC ∈。故，（4）正确。 5．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意x R ∈，均有(3)()f x f x +=，当3 (0) 2 x ∈，时，2()ln(1)f x x x =-+，则函数()f x 在区间[]06，上的零点个数为（） A ．6个 B ．7个 C ．8个 D ．9个【答案】 D 【解答】由2()ln(1)0f x x x =-+=知，211x x -+=，0x =或1x =。 ∴ ()f x 在区间3(0)2，内有唯一零点1。结合()f x 为奇函数知，()f x 在区间3 (0)2 -，内有唯一零点1-。又由(3)()f x f x +=知，()f x 在区间3(3)2，内有唯一零点2；在区间9 (3)2，内有唯一零点4；在区间9 (6)2 ，内有唯一零点5。又由33()()22f f -=-，333()(3)()222f f f -=-+=知，3()02f =，9 ()02 f =。

厦门市参加2010年福建省高一数学竞赛

厦门市参加2010年福建省高一数学竞赛获奖情况通报由福建省数学学会、福建省教育学会数学教学委员会举办的《2010年福建省高一数学竞赛》已结束，共评出获奖学生485名，其中一等奖60名、二等奖180名、三等奖245名。我市参加本次竞赛，共有109名学生获省级奖，其中一等奖15名，二等奖42名，三等奖52名。另外，再评出厦门市（市级）一等奖26名，二等奖35名，三等奖82名。获奖情况通报如下：一、省级获奖学生及指导教师省一等奖15名奖项学生姓名学校指导教师一等奖陈彦哲厦门双十中学黄雄一等奖金迪厦门双十中学黄雄一等奖孙铭厦门外国语学校肖骁一等奖程玺屿厦门一中黄文忠一等奖黄哲轩厦门双十中学黄雄一等奖吕智渊厦门双十中学黄雄一等奖蒋禹聪厦门一中王东杰一等奖邵文良同安一中纪碧璇一等奖周泳厦门双十中学黄雄一等奖卓未名厦门外国语学校谢登祥一等奖李炜钊厦门双十中学黄雄一等奖徐智伟厦门外国语学校肖骁一等奖纪坤阳厦大附属科技中学钟旗法一等奖陶元厦门外国语学校肖骁一等奖谢晓晖厦门双十中学黄雄省二等奖42名奖项学生姓名学校指导教师二等奖刘英喆厦门双十中学黄雄二等奖胡致远厦门双十中学陈兆坚二等奖杨景光厦门一中黄文忠二等奖林志云同安一中张树亮二等奖陈伟德厦门双十中学王娴静

二等奖李佳睿厦门双十中学黄雄二等奖刘广帅厦门双十中学黄雄二等奖高飏宇厦门外国语学校肖骁二等奖王贺厦门外国语学校肖骁二等奖陈鸿龙厦门双十中学王娴静二等奖陈凡厦门外国语学校徐艳二等奖高翔厦门双十中学黄雄二等奖陈泽厦门外国语学校肖骁二等奖黄和金厦门大学附属科技中学钟旗法二等奖杨晨厦门双十中学黄雄二等奖曾楚元厦门外国语学校肖骁二等奖吴云涛厦门双十中学黄雄二等奖马振家厦门双十中学黄雄二等奖李兆兴厦门外国语学校肖骁二等奖陈璐璇厦门外国语学校徐艳二等奖李云辉厦门双十中学黄雄二等奖唐新厦门外国语学校肖骁二等奖李光毅同安一中纪碧璇二等奖佘彦遥厦门双十中学郭俊芳二等奖张海容厦门外国语学校谢登祥二等奖庄佳威厦门外国语学校肖骁二等奖樊亦融厦门外国语学校肖骁二等奖吴冠宏厦门一中张能贤二等奖吴子婧厦门外国语学校谢登祥二等奖林慧聪厦门双十中学黄雄二等奖雷扬厦门外国语学校徐艳二等奖刘鸿辉厦门双十中学黄雄二等奖徐鲲鹏厦门一中陈建国二等奖康阳焘厦门外国语学校谢登祥二等奖秦鹤厦门外国语学校徐艳二等奖陈忱同安一中张树亮二等奖孙哲宇厦门一中陈建国二等奖严晓宇厦门外国语学校肖骁二等奖邹泽宇厦门外国语学校肖骁二等奖刘雨新厦门外国语学校肖骁二等奖孙艺林厦门一中鲍晓静

全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷

全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷考试时间：9月11日上午8：00～10：30 一、选择题：每题6分，满分36分 1、设函数)(x f 的定义域为R ，且对任意实数)2 ,2(π π- ∈x ，x x f 2sin )(tan =，则)sin 2(x f 的最大值为（）A 0 B 2 1 C 2 2 D 1 2、实数列}{n a 定义为,7,1,,3,2,1 291112 ===++-=--a a n a a a a a n n n n n 则5a 的值为（） A 3 B 4 C 3或4 D 8 3、正四面体ABCD 的棱长为1，E 是△ABC 内一点，点E 到边AB,BC,CA 的距离之和为x ，点E 到平面DAB,DBC,DCA 的距离之和为y ，则2 2 y x +等于（） A 1 B 26 C 35 D 12 7 4、数列10021,,,x x x 满足如下条件：对于k x k ,100,2,1 =比其余99个数的和小k ，已知 n m x = 50，m ，n 是互质的正整数，则m+n 等于（） A 50 B 100 C 165 D 173 5、若2 6cos cos ,22sin sin =+= +y x y x ，则)sin(y x +等于（） A 22 B 23 C 2 6 D 1 6、P 为椭圆19 1622=+y x 在第一象限上的动点，过点P 引圆922=+y x 的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点M 、N ，则MON S ?的最小值为（） A 29 B 329 C 427 D 34 27 二、填空题：每小题9分，满分54分 7、实数z y x ,,满足,146,74,722 2 2 -=+-=+=+x z z y y x 则2 2 2 z y x ++＝. 8、设S 是集合｛1，2，…，15｝的一个非空子集，若正整数n 满足：S S n S n ∈+∈,，则称n 是子集S 的模范数，这里|S|表示集合S 中元素的个数。对集合｛1，2，…，15｝的所有非空子集S ，模范数的个数之和为. 9、对于 12 1 ≤≤x ，当25)21)(1()1(x x x --+取得最大值时，x ＝.

2016年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题以及参考标准答案

２01６年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案考试时间 2016年3月１３日 9∶00－１1∶00 满分150分一、选择题(共5小题，每小题7分,共3５分)。每道小题均给出了代号为A ，B ，C,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分) １.在平面直角坐标系xOy 中,已知点(02)B ，，点A 在x 轴正半轴上且30BAO ∠=?。将 OAB △沿直线AB 折叠得CAB △,则点C 的坐标为( ) Ａ．(1 B.3) C ．(3 D ．1) 2．若实数a ，b 满足232a a +=,232b b +=，且a b ≠，则22(1)(1)a b ++=( ) A ．18 B.12 C.9 D.6 ３．若关于x 的方程22240224 x x x a x x x +-+++=-+-只有一个实数根，则符合条件的所有实数a 的值的总和为( ) A.6- B.30- C.32- D.38- 4.如图，在ABC △中，6AB =,3BC =,7CA =,I 为ABC △的内心，连接CI 并延长交AB 于点D 。记CAI △的面积为m ， DAI △的面积为n ,则 m n =( ） A.32 B.43 Ｃ．53 D.74 5.已知x ，y 为实数,且满足2244x xy y -+=,记224u x xy y =++的最大值为M ,最小值为 m ,则M m +=（）Ａ.403 B.6415 Ｃ．13615 Ｄ.315 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分) 6．在平面直角坐标系内有两点(11)A ， ,(23)B ，,若一次函数2y kx =+的图像与线段AB 有公共点,则k 的取值范围为。 A B C D I

全国高中数学联赛福建省预赛试题及详解

2014年福建省高中数学竞赛暨2014年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷（考试时间：2014年5月17日上午9：00－11：30，满分160分）一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上） 1．已知直线1l ：260ax y ++=，2l ：2(1)10x a y a +-+-=，若12l l ⊥，则a = 。 2 ．函数2()sin cos f x x x x =+（122x ππ?? ∈???? ，）的值域为。 3．在三棱锥D ABC -中，2AB BC ==，AB BC ⊥，BC CD ⊥，DA AB ⊥，60CDA ∠=?。则三棱锥D ABC -的体积为。 4．已知1F 、2F 为双曲线C ：2 2 124 y x -=的左、右焦点，P 为双曲线C 上一点，且点P 在第一象限。若 124 3 PF PF =，则12PF F △内切圆半径为。 5．已知集合{}2280A x x x =+->，{}2240B x x ax =-+≤。若0a >，且A B ?中恰有1个整数，则a 的取值范围为。 6．若分数 p q （p ，q 为正整数）化成小数为0.198 p q =，则当q 取最小值时， p q += 。 7．随机地投掷3粒骰子，则其中有2粒骰子出现的点数之和为7的概率为。 8．已知点(11)A -，，(40)B ，，(22)C ，。平面区域D 由所有满足AP AB AC λμ=+（1a λ<≤，1b μ<≤）的点()P x y ，组成的区域。若区域D 的面积为8，则a b +的最小值为。 9． 23 201488889999A ???? ????=+++ +?????????????? ?? 被63除的余数为。（符号[]x 表示不超过x 的最大整数。） 10．若a ，b ，c 为关于x 的方程320x x x m --+=的三个实根，则m 的最小值为。二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分。要求写出解题过程） 11．已知{}n a 为递增的等比数列，且126a a +=，3424a a +=。2 (1)n n n a b a =-，数列{} n b 的前n 项和为n T ，求证：对一切正整数n 均有，3n T <。

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