（1）设n 阶方阵A 的秩r （A ）必有r 个行向量线性无关；（B ）任意r 个行向量均可构成极大无关组； （C ）任意r 个行向量均线性无关；（D ）任一个行向量均可由其他r 个行向量线性表示 （2）若向量组α，β，γ线性无关；α，β，δ线性相关，则（ ） （A ）α必可由β，γ，δ线性表示；（B ）β必不可由α，γ，δ线性表示； （C ）δ必可由α，β，γ线性表示；（D ）δ必不可由α，β，γ线性表示； （3）设A 为m ×n 矩阵，齐次线性方程组AX=0仅有零解的充分必要条件是：（ ） （A ）A 的列向量线性无关；（B ）A 的列向量线性相关； （C ）A 的行向量线性无关；（D ）A 的行向量线性相关。 （4）设n 元齐次线性方程组AX=0的系数矩阵A 的秩为r ，则AX=0有非零解的充分必要条件是：（ ） (A ）r ≤n （B ）r ≥n （C ）r （5）设A 是m ×n 矩阵，AX=0是非齐次线性方程组AX=B 所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是：（ ） （A ）若AX=0仅有零解，则AX=B 有唯一解； （B ）若AX=0有非零解，则AX=B 有无穷多解； （C ）若AX=B 有无穷多个解，则AX=0仅有零解； （D ）若AX=B 有无穷多个解，则AX=0有非零解。 （6）设向量组（Ⅰ）：α1，α2，…，αr 可由向量组（Ⅱ）：β1，β2，…，βS 线性表示，则（ ） （A ）当r （C ）当r 7. 已知一个向量组为???? ? ???????--=????????????-=????????????=????????????=????????????=1311,4152,2312,1021,120154321ααααα，求该向量组的秩及该向量组的一个最大线性无关组, 并把其余列向量用该最大无关组线性表示.. 8. 当λ取何值时，非齐次线性方程组12312321231x x x x x x x x x λλλλλ?++=?++=??++=? (1) 有唯一解;(2)无解;(3)有无 穷多解，并求通解. 第五章 相似矩阵及二次型 一、 是非题（正确打√，错误打×） 1．若线性无关向量组r αα,,1 用施密特法正交化为r ββ,,1 则对任何),1(r k k ≤≤向量组k αα,,1 与向量组r ββ,,1 等价. ( √ ) 2. 若向量组r αα,,1 两两正交,则r αα,,1 线性无关. ( √ ) 3.n 阶正交阵A 的n 个行(列)向量构成向量空间n R 的一个规范正交基. ( √ ) 4.若A 和B 都是正交阵,则AB 也是正交阵. ( √ ) 5.若A 是正交阵, Ax y =,则x y =. ( √ ) 6．若112???=n n n n x x A ，则2是n n A ?的一个特征值. ( × ) 7.方阵A 的特征向量只能对应唯一的特征值,反之亦成立. ( × ) 8.n 阶矩阵A 在复数范围内有n 个不同的特征值. ( × ) 9. 矩阵A 有零特征值的充要条件是0=A . ( √ ) 10.若λ是A 的特征值,则)(λf 是)(A f 的特征值(其中)(λf 是λ的多项式). ( √ ) 11.设1λ和)(212λλλ≠是A 的特征值, 1x 和2x 为对应特征向量,则21x x +也是A 的特征向量. ( × ) 12. T A 与A 的特征值相同. ( √ ) 13.n 阶矩阵A 有n 个不同特征值是A 与对角矩阵相似的充分必要条件. ( × ) 14.若有可逆矩阵P ,使n 阶矩阵A ,B 满足: B PAP =-1,则A 与B 有相同的特征值. ( √ ) 15.两个对角矩阵的对角元素相同,仅排列位置不同,则这两个对角矩阵相似. ( √ ) 16.设n 阶矩阵A ,B 均与对角阵相似且有相同的特征值,则A 与B 相似. ( √ ) 17．实对称矩阵A 的非零特征值的个数等于它的秩. ( √ ) 18. 若k ααα,,,21 线性无关且都是A 的特征向量，则将它们先正交化，再单位化后仍为A 的特征向量. ( √ ) 19.实对称阵A 与对角阵Λ相似Λ=-AP P 1，这里P 必须是正交阵 。 ( × ) 20．已知A 为n 阶矩阵，x 为n 维列向量，如果A 不对称，则Ax x T 不是二次型. ( √ ) 21.任一实对称矩阵合同于一对角矩阵。 ( √ ) 22．二次型 Ax x x x x f T n =),,,(21 在正交变换Py x =下一定化为 标准型. ( × ) 23.任给二次型 Ax x x x x f T n =),,,(21 ，总有正交变换Py x =，使f 化 为规范型。 ( × ) 《线性代数》(工)单元练习题 一、填空题 1、设矩阵A 为4阶方阵，且|A |=5，则|A*|=__125____，|2A |=__80___，|1-A |= 1/5 2、若方程组?? ? ??=+=+=+a bz cy b az cx ay bx 0 有唯一解，则abc ≠ 0 3、把行列式的某一列的元素乘以同一数后加到另一列的对应元素上，行列式 0 . 4、当a 为 1 or 2 时，方程组??? ??=++=++=++0 40203221321321x a x x ax x x x x x 有非零解. 5、设=-+----=31211142,4 101322 13A A A D 则 .0 二、单项选择题 1．设） （则=---===33 3231312322212113 1211113332312322 211312 11324324324,1a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a D B （A)0 ； （B)―12 ； （C ）12 ； （D ）1 2．设齐次线性方程组??? ??=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx 有非零解，则k = （ A ） （A ）2 （B ）0 （C ）-1 （D ）-2 3．设A=7 925138 02-，则代数余子式 =12A ( B ) (A) 31- (B) 31 (C) 0 (D) 11- 4．已知四阶行列式D 中第三列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次分别为5，3，-7,4， 则D= ( A ) （A ） -15 （B ） 15 （C ） 0 （D ） 1 三、计算行列式 2016年线性代数期中考试试卷 A 卷 考试日期: 2016.5 第 2 页 共 9 页 考试时间120分钟 中国民航大学《线性代数》期中试题A 卷 一、填空、选择题(每题3分，共24分) 1、 设自然数从小到大为标准次序，则排列32514的逆序数是_______________ 2、矩阵A =??????????--452301143的伴随阵=*A _______________ 3、矩阵A =??????????-174532321的秩为_______________ 4、若44535231a a a a a j i 是5阶行列式中带正号的一项，则i,j 的值为（ ） A 、i=1,j=3 B 、i=2,j=3 C 、i=1,j=2 D 、i=2,j=1 第 3 页共 9 页考试时间120分钟 第 4 页 共 9 页 考试时间120分钟 求444342414226A A A A +-+ 3、设A =??????????--111111111，B =??????????--150421321，求AB 3及B A T 4，求方阵A =???? ??????---011145223的逆矩阵。 第 5 页 共 9 页 考试时间120分钟 三、（8分）计算n 阶行列式 x a a a x a a a x D n . 第 6 页 共 9 页 考试时间120分钟 四、（8分）设100,,421,312A ab A b a T 求=????? ??-=????? ??= 五、（10分）设 .,82),1,2,1(B E BA BA A diag A 求矩阵-=-=* 第五章课后习题及解答 1. 求下列矩阵的特征值和特征向量： (1) ;1332??? ? ??-- 解：,0731332 2=--=--=-λλλλλA I 2 373,237321-=+=λλ ,00133637123712137 1??? ? ??→→???? ??=-++- A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T - 因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()371,6(11≠-k k T ,001336371237123712??? ? ??→→???? ??-=---+ A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T + 因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()371,6(22≠+k k T (2) ;211102113???? ? ??-- 解：2)2)(1(2 111211 3--==------=-λλλλ λλ A I 所以，特征值为：11=λ(单根)，22=λ(二重根) ???? ? ??-→→????? ??------=-0001100011111121121 A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,1,0(T 因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()1,1,0(11≠k k T ???? ? ??-→→????? ??-----=-0001000110111221112 A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)0,1,1(T 因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()0,1,1(22≠k k T 《线性代数》重点题 一． 单项选择题 1.设A 为3阶方阵，数 = 3，|A | =2，则 | A | =（ ）. A ．54； B ．-54； C ．6； D ．-6. 解. .54227)3(33-=?-=-==A A A λλ 所以填: B. 2、设A 为n 阶方阵，λ为实数，则|λA |=（ ） A 、λ|A |； B 、|λ||A |； C 、λn |A |； D 、|λ|n |A |. 解. |λA |=λn |A |.所以填: C. 3.设矩阵()1,2,12A B ?? ==- ??? 则AB =（ ）. 解. ().24121,221???? ??--=-???? ??=AB 所以填: D. A. 0； B. ()2,2-； C. 22?? ?-??； D. 2142-?? ?-?? . 4、123,,a a a 是3维列向量，矩阵123(,,)A a a a =.若|A |=4，则|-2A |=（ ）. A 、-32； B 、-4； C 、4； D 、32. 解. |-2A |=(-2)3A =-8?4=-32. 所以填: D. 5.以下结论正确的是（ ）. A .一个零向量一定线性无关； B .一个非零向量一定线性相关； C .含有零向量的向量组一定线性相关； D .不含零向量的向量组一定线性无关. 解. A .一个零向量一定线性无关；不对,应该是线性相关. B .一个非零向量一定线性相关；不对,应该是线性无关. C .含有零向量的向量组一定线性相关；对. D .不含零向量的向量组一定线性无关. 不对, 应该是:不能判断. 所以填: C. 6、 1234(1,1,0,0),(0,0,1,1),(1,0,1,0),(1,1,1,1),αααα====设则它的极 大无关组为( ) A 、 12,; αα B 、 123,, ;ααα C 、 124,, ;ααα D 、1234,, ,αααα 第六章练习题 一、 填空题 1. 设110100100000110,011,010,020003013000003A B C D ????????????????====???????????????????????? ， 在,,B C D 中， 与A 等价的有 ； 与A 相似的有 ；与A 合同的有 . 2. 二次型123113(,,)361139T f x x x X X ?? ?= ? ??? ，它的矩阵是 ，它是 定二次型. 3. 设112 3 32000000,000000a a A a B a a a ????????==???????????? , 则当C = 时, .T C AC B = 4. 参数a 的取值范围是 时，二次型 222123123121323(,,)23224f x x x x ax x x x x x x x =++-+-是正定的二次型. 二、计算与证明题 1. 设二次型123121323(,,),f x x x x x x x x x =+- 1) 写出二次型123121323(,,)f x x x x x x x x x =+-的矩阵; 2) 二次型123(,,)f x x x 是不是正定二次型? 3) 用非退化线性替换X CY =化二次型123(,,)f x x x 为标准形, 并写出所用的线性替换. 2. 已知二次型2212313121323(,,)33484f x x x x x x x x x x x =++++, (1) 写出二次型的矩阵A ; (2)用正交线性替换X QY =, 化二次型123(,,)f x x x 为标准形; (3) 求实对称矩阵B , 使得3 .A B = 3. 实二次型222123123121323(,,)55266f x x x x x ax x x x x x x =++-+-的秩是2， 1）写出二次型123(,,)f x x x 的矩阵表示； 2）求参数a 及二次型123(,,)f x x x 的矩阵特征值； 线性代数期中考试试卷 精选文档 TTMS system office room 【TTMS16H-TTMS2A-TTMS8Q8- 3、矩阵A =???? ??????-174532321的秩为_______________ 4、若44535231a a a a a j i 是5阶行列式中带正号的一项，则i,j 的值为 （ ） A 、i=1,j=3 B 、i=2,j=3 C 、i=1,j=2 D 、i=2,j=1 5、行列式D 非零的充分条件是（ ） A 、D 的所有元素非零； B 、D 至少有n 个元素非零； C 、 D 的任意两行元素之间不成比例； D 、以D 为系数行列式的线性方程组有唯一解。 6、设矩阵A 中有一个k-1阶子式不为零，且所有k+1阶子式全为零，则A 的秩r 必为（ ） A 、r=k B 、r=k-1 C 、r=k+1 D 、r=k-1或r=k 7、矩阵A =???? ??????-311432000321的行最简形矩阵为_______________ 8、设A 为2阶矩阵，且2 1=A ，则()=-*-A A 521__________ 二、求解下列各题（每题6分，共24分） 1、计算行列式52222 5222 2522225=D 2、设33511102 4315 2113 -----=D ，记D 的(i,j) 元的代数余子式为ij A ， 求444342414226A A A A +-+ 3、设A =????? ?????--111111111，B =??????? ???--15 042 132 1，求AB 3及B A T 4，求方阵A =?? ?? ? ?????---011145223的逆矩阵。 第五章 相似矩阵与二次型 §5-1 方阵的特征值与特征向量 一、填空题 1.已知四阶方阵A 的特征值为0，1，1，2，则||A E λ-＝ 2(1)(2)λλλ-- 2.设0是矩阵??? ? ? ??=a 01020101A 的特征值，则=a 1 3.已知三阶方阵A 的特征值为1，-1，2，则2 32B A A =-的特征值为 1,5,8 ；||A ＝ -2 ；A 的对角元之和为 2 . 4.若0是方阵A 的特征值，则A 不可逆。 5. A 是n 阶方阵，||A d =，则*AA 的特征值是,,,d d d ???（共n 个） 二、选择题 1.设1λ，2λ为n 阶矩阵A 的特征值，1ξ，2ξ分别是A 的属于特征值1λ，2λ的特征向量，则（ D ） （A ）当1λ=2λ时，1ξ，2ξ必成比例 （B ）当1λ=2λ时，1ξ，2ξ必不成比例 （C ）当1λ≠2λ时，1ξ，2ξ必成比例 （D ）当1λ≠2λ时，1ξ，2ξ必不成比例 2.设a=2是可逆矩阵A 的一个特征值，则1 A -有一个特征值等于 （ C ） A 、2； B 、-2; C 、 12; D 、-1 2 ; 3.零为方阵A 的特征值是A 不可逆的（ B ） A 、充分条件； B 、充要条件; C 、必要条件; D 、无关条件; 三、求下列矩阵的特征值和特征向量 1.1221A ?? = ??? 解：A 的特征多项式为12(3)(1)2 1A E λλλλλ --==-+- 故A 的特征值为123,1λλ==-. 当13λ=时，解方程()30A E x -=. 由221132200r A E --???? -= ? ?-???? : 得基础解系111p ?? = ??? ，故1(0)kp k ≠是13λ=的全部特征向量. 当21λ=-时，解方程()0A E x +=.由22112200r A E ???? += ? ????? : 得基础解系211p -?? = ??? ，故2(0)kP k ≠是21λ=-的全部特征向量. 2.100020012B ?? ?= ? ??? 解：B 的特征多项式为 2100020(1)(2)0 1 2B E λ λλλλλ --= -=--- 故B 的特征值为1231,2λλλ===. 当11λ=时，解方程()0B E x -=. 由000010010001011000r B E ???? ? ? -= ? ? ? ????? : 线性代数期末考试试卷 答案合集 文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08] ×××大学线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=3231 2221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，， ， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2 分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 12-n ③ 12+n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，， ， 21（3 s n ）线性无关的充要条件是（ ）。 ① s ααα，， ， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，， ， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，， ， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα，， ， 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。 ① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关 4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。 ① 若A ，B 均可逆，则B A +可逆 ② 若A ，B 均可逆，则 A B 可逆 ③ 若B A +可逆，则 B A -可逆 ④ 若B A +可逆， 则 A ，B 均可逆 5. 若4321νννν，，，是线性方程组0=X A 的基础解系，则4321νννν+++是0=X A 的（ ） ① 解向量 ② 基础解系 ③ 通解 ④ A 的行向量 四、计算题 ( 每小题9分，共63分) 1. 计算行列式 x a b c d a x b c d a b x c d a b c x d ++++。 第四章 线性方程组 §4-1 克拉默法则 一、选择题 1．下列说法正确的是（ C ） A.n 元齐次线性方程组必有n 组解； B.n 元齐次线性方程组必有1n -组解； C.n 元齐次线性方程组至少有一组解，即零解； D.n 元齐次线性方程组除了零解外，再也没有其他解. 2．下列说法错误的是（ B ） A.当0D ≠时，非齐次线性方程组只有唯一解； B.当0D ≠时，非齐次线性方程组有无穷多解； C.若非齐次线性方程组至少有两个不同的解，则0D =； D.若非齐次线性方程组有无解，则0D =. 二、填空题 1．已知齐次线性方程组1231231 230020 x x x x x x x x x λμμ++=?? ++=??++=?有非零解， 则λ= 1 ，μ= 0 . 2．由克拉默法则可知，如果非齐次线性方程组的系数行列式0D ≠, 则方程组有唯一解i x = i D D . 三、用克拉默法则求解下列方程组 1．832623x y x y +=??+=? 解： 8320 62 D = =-≠ 1235 32 D = =-， 28212 63 D = =- 所以，125,62D D x y D D = ===- 2．123123123 222310x x x x x x x x x -+=-?? +-=??-+-=? 解： 2131 12112122 130 3550111 01 r r D r r ---=--=-≠+--- 11222 10051 1321135 011011D r r ---=-+-=---， 2121215 052 1322 1310 10 1 101 D r r --=-+-=-----， 3121225 002 1122 115 1 1 110 D r r --=+=--- 所以， 3121231,2,1D D D x x x D D D = ===== 3．21 241832x z x y z x y z -=?? +-=??-++=? 解： 13201 0012 412041200 183 583 D c c --=-+-=≠- 13110110014114020 283285D c c -=-+=， 2322 11 2 102 112100 123 125 D c c -=-+=--， 313201 01 2 4120 4120 182 582 D c c =-=-- 所以， 3121,0,1D D D x y z D D D = ===== 珠海校区2009年度第一学期《线性代数》期中考试卷 姓名：专业：学号：成绩： 一，填空题（每题3分，共24分） 1.在5 阶行列式中，含有a13a34a51且带有负号的项是________________ 2.设A是3阶方阵，| A |= 1/3 ，则|（3A）-1 + 2A*| = 1 1 0 0 1 1 1 1 3. 5 2 0 0 = ： 4 . x c b a = ; 0 0 3 6 x2c2b2a2 0 0 1 4 x3c3b3a3 5 . 已知矩阵A = 1 1 , B = 1 0 , 则AB – BA T = ; 0 -1 1 1 1 0 2 6. 已知矩阵A = 1 k 0 的秩为2 ,则k = ; 1 1 1 2 1 1 1 7. 1 2 1 1 = ; 8. 若A = diag( 1 ,2 ,3 ,4 ) , 则A-1= ; 1 1 2 1 1 1 1 2 二. 判断题（每题2分，共10分） 1. 任一n 阶对角阵必可与同阶的方阵交换。（） 2. n 阶行列式中副对角线上元素的乘积a n1a n-1,2…a1n总是带负号的（） 3. 若A为n 阶方阵，则（A*）T = ( A T )* （） 4. 设A , B 为n 阶方阵，则有（AB）3= A3B3（） 5. 设A与B 为同型矩阵，则A ~ B的充要条件是R（A）=R ( B ) ( ) 三,计算下列行列式( 每题8 分,共16 分) -2 -1 1 -1 0 1 0 …0 0 D4 = -2 2 4 8 1 0 1 …0 0 -2 1 1 1 D n = 0 1 0 …0 0 -2 -2 4 8 . . . . . 0 0 0 …0 1 0 0 0 … 1 0 -1 -1 0 四. 已知 A = -1 0 1 且AB = A – 2B , 求 B . 2 2 1 第五章 相似矩阵及二次型 1. 试用施密特法把下列向量组正交化: (1)??? ? ??=931421111) , ,(321a a a ; 解 根据施密特正交化方法, ??? ? ??==11111a b , ??? ? ?? -=-=101] ,[],[1112122b b b a b a b , ? ?? ? ??-=--=12131],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b . (2)??? ? ? ??---=011101110111) , ,(321a a a . 解 根据施密特正交化方法, ??? ? ? ??-==110111a b , ? ???? ??-=-=123131],[],[1112122b b b a b a b , ? ??? ? ??-=--=433151],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b . 2. 下列矩阵是不是正交阵: (1)?????? ? ??-- -1 21312112131211; 解 此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵. (2)???? ?? ? ??---- --979494949198949891. 解 该方阵每一个行向量均是单位向量, 且两两正交, 故为正交阵. 3. 设x 为n 维列向量, x T x =1, 令H =E -2xx T , 证明H 是对称的正交阵. 证明 因为 H T =(E -2xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(x T )T x T =E -2xx T , 所以H 是对称矩阵. 因为 H T H =HH =(E -2xx T )(E -2xx T ) =E -2xx T -2xx T +(2xx T )(2xx T ) =E -4xx T +4x (x T x )x T =E -4xx T +4xx T =E , 所以H 是正交矩阵. 4. 设A 与B 都是n 阶正交阵, 证明AB 也是正交阵. 证明 因为A , B 是n 阶正交阵, 故A -1=A T , B -1=B T , (AB )T (AB )=B T A T AB =B -1A -1AB =E , 第五章作业参考答案 5-2试证：()()()1231,1,0,2,1,3,3,1,2T T T ααα=-== 是3R 的一组基，并求向量()()125,0,7,9,8,13T T v v ==--- 在这组基之下的坐标。 证明：要证123,,ααα 线性无关，即证满足方程1122330k k k ααα++= 的123,,k k k 只能均是0.联立方程得 1231232 32300320k k k k k k k k ++=?? -++=??+=? 计算此方程系数的行列式123 1116003 2 -=-≠ 故该方程只有零解，即1230k k k ===，因此，123,,ααα 是3R 的一组基 设1v 在这组基下的坐标为()123,,x x x ，2v 在这组基下的坐标为()123,,y y y ，由已知得 ()()1111232 212323 3,,,,,x y v x v y x y αααααα???? ? ? == ? ? ? ? ???? 代入易解得112233233,312x y x y x y ???????? ? ? ? ?==- ? ? ? ? ? ? ? ?--????????即为1v ，2v 在这组基下的坐标。 5-5设()()()1,2,1,1,2,3,1,1,1,1,2,2T T T αβγ=-=-=--- ，求： （1 ）,,,αβαγ 及,,αβγ 的范数；（2）与,,αβγ 都正交的所有向量。 解（1 ）,1223111(1)6αβ=?+?-?+?-= ()()(),112112 121 αγ=?-+?--?-+?= α= = β== γ= = （2）设与,,αβγ 都正交的向量为()1234,,,T x x x x x =，则 123412341234,20 ,230,220x x x x x x x x x x x x x x x αβγ?=+-+=??=++-=??=---+=?? 解得1 43243334 4 5533x x x x x x x x x x =-?? =-+?? =??=? 令340,1x x ==得()()1234,,,5,3,0,1x x x x =- 令341,0x x ==得()()1234,,,5,3,1,0x x x x =- 第一章 行列式 一、单项选择题 1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n (C) k n 2 ! (D)k n n 2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1122a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2 n (C) )!2( n (D) )!1( n 4． 001001001001 000( ). (A) 0 (B)1 (C) 1 (D) 2 5. 0 001100000100100( ). (A) 0 (B)1 (C) 1 (D) 2 6．在函数10 3 23211112)(x x x x x f 中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1 (C) 1 (D) 2 7. 若2 1 33 32 31 232221 131211 a a a a a a a a a D ，则 32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4 (C) 2 (D) 2 8．若 a a a a a 22 2112 11，则 21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka (C)a k 2 (D)a k 2 9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4 , 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2 , 则 x ( ). (A) 0 (B)3 (C) 3 (D) 2 10. 若5 7 3 4 111113263478 D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)0 11. 若2 23 5 1 011110403 D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)0 二、填空题 1. n 2阶排列)12(13)2(24 n n 的逆序数是. 2．在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是. 3．四阶行列式中包含4322a a 且带正号的项是 . 4．若一个n 阶行列式中至少有12 n n 个元素等于0, 则这个行列式的值等于 . . .word 资料. .. 一、填空题（共30分，每填对一空得3分） 1、函数23 u xy z =在点(1,1,1)P 处沿方向(1,2,3)有最 大方向导数，最大方向导数等于． 2、设arctan x y z x y -=+，则 z x ?=?22y x y +， . .word 资料. .. 2 2z x ?=?()2222xy x y -+． 3、函数(,)z z x y =由方程230z x y z e ++-=确定； 则 z x ?=?21z x e -， z y ?=?2 31z y e -． . .word 资料. .. 4、微分方程d 2d y xy x =的通解为2x y ce =；0d ()d y x y x x x -=>的通解为 ln y x x cx =+． 5、设函数(,)f x y 连续，(,)(,)d d D f x y xy f u v u v =+??， 其中D 由直线0y =，1x =和y x =所围，则 (,)d d D f u v u v =??14，(,)f x y =14 xy +． . .word 资料. .. 二、单项选择题（共20分，每题4分） 1、设函数(,)z f x y =的全微分d d d z x x y y =+，则点 . .word 资料. .. (0,0)O (D) ． (A) 不是(,)f x y 的连续点； (B) 不是(,)f x y 的极值点； (C) 是(,)f x y 的极大值点； (D) 是(,)f x y 的极小值点． 2 、设函数(,)f x y =，则 (B) ． (A) (0,0)x f '存在，(0,0)y f '不存在； 工程数学期中考试试卷 化学化工 学院 班(年)级 学号 一、判断下列各题是否正确 1． 若A 、B 是同阶方阵，则（A ＋B ）2 ＝A ＋2AB ＋B 2。 （ ） 2． 矩阵A 、B 的积AB ＝0，则A ＝0或B ＝0。 （ ） 3． 设n 阶方阵A 、B 、C 满足关系式ABC ＝E ，则BCA ＝E 。 （ ） 4． 设A 为一任意矩阵，则A ＋A T ，AA T 均为对称矩阵。 （ ） 5． 设对矩阵A 施行初等变换得到矩阵B ，且已知秩(A )＝r ，秩(B )=s ,则r = s 。 （ ） 二、选择题（单选，括号中填所选项前的字母） 1．若方程组?? ???=+=+-=++020209873232321tx x x x x x x 存在非零解，则常数t = ………………（ ） （A ） 2 （B ） 4 （C ） －2 （D ） －4 2．设有n 阶方阵A 与B 等价，则 …………………………………………（ ） (A) | A | = | B | (B) | A | ≠ | B | (C) 若| A |≠0, 则必有| B |≠0 (D) | A | = －| B | 3．若A 为n 阶可逆矩阵，下列各式正确的是……………………………（ ） （A ）（2A ）-1 = 2 A -1 (B) |2A| = 2 | A | (C) () A A A 1 1*--= (D) (A-1 )T = ( AT )-1 4．设6 1152 10112344 321--=A ，则4A 41+3A 42+2A 43+A 44 = ……………………（ ） (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 5．已知可逆方阵??????--=-21731A ，则A ＝………………………………（ ） 《线性代数》期中考试题 一、选择题（每题2分，共12分） 1、排列 3465172 的逆序数为 （ D ） A. 7 B. 8 C. 9 D.10 2、若A B 、均为n n ?矩阵，则必有 （ C ） A. A B A B +=+ B. AB BA = C. ()T T T A B A B +=+ D. 111()A B A B ---+=+ 3、已知4阶矩阵,A B 的行列式12341235,,,,,,,A k B m αααααααα= ===，则矩阵 2A B +的行列式2A B +是 （ D ） A. 2k m + B. 9(2)k m + C. 8(2k m +) D. 27(2k m +) 4、已知向量组[]112 3T α=，[]2120T α=，[]3100T α=-，则以下选项正确 的是 （ B ） A. 向量组123,,ααα线性相关； B. 向量组123,,ααα线性无关； C. 123ααα=+ D. 2132ααα=+ 5、若矩阵A 为43?矩阵，且()2r A =，102013101B ????=??-???? ，则 ()r AB 为 （ B ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6、设21,ηη是非齐次线性方程组Ax b =的2 （ A ） A. 21ηη+是0Ax =的一个解 B. 212 121ηη+是Ax b =的一个解 C. 21ηη-是0Ax =的一个解 D. 212ηη-是Ax b =的一个解 二、填空题（每题2分，共10分） 1、在行列式12010 010 2101310 D k = -中，当k=___6____时,行列式等于零. 思考题5-1 1. 1123123100,000=?+?+?=?+?+?a a a a 0a a a . 2.不一定。例如，对于123101,,012?????? ===???????????? a a a ，它们中的任两个都线性无关，但 是123,,a a a 是线性相关的。 3. 不一定。也可能是2a 能由13,a a 线性表示，还可能是3a 能由12,a a 线性表示。 4. 不一定。例如，对于12121100,;,0012-???????? ====???????????????? a a b b 。12,a a 和12,b b 这两个 向量组都线性相关，但1122,++a b a b 却是线性无关的。 5. 向量组121,,,,n n +a a a a 线性无关。根据定理5-4用反证法可以证明这一结论。 习题5-1 1.提示：用行列式做。 （1）线性无关。 （2）线性相关。. 2. 0k ≠且1k ≠。 3.证：1212,,,1,,,,n n ==∴e e e E e e e 线性无关。 设[]12,,,,T n b b b =b 则1122.n n b b b =+++b e e e 4. 证法1：因为A 可逆，所以方程组=Ax b 有解。根据定理5-1，向量b 能由A 的列向量组12,,,n a a a 线性表示，所以向量组12,,,,n a a a b 线性相关. 证法2：通过秩或根据m n >时m 个n 元向量一定线性相关也可马上证明。 5. .证： （1）因为A 的列向量组线性相关，所以齐次线性方程组=Ax 0有非零解，设≠u 0是它的非零解，则.=Au 0 由=B PA ，得.=Bu 0可见=Bx 0有非零解，所以B 的列向量组线性相关。 （2）若P 可逆，则1-=A P B 。由（1）的结论可知，B 的列向量组线性相关时，A 的列向量组也线性相关，所以A 和B 的列向量组具有相同的线性相关性。 注：该题也可根据性质5-6和性质5-3来证明。 6. 证：由A 可逆知，A 的列向量组线性无关。根据定理5-6，增加两行后得到的矩阵B 的列向量组也线性无关. 线性代数期中考试试卷（06） 一、判断下列各题是否正确 1．1．若A、B是同阶方阵，则（A＋B）2 ＝A＋2AB＋B 2。 （） 2．2．矩阵A、B的积AB＝0，则A＝0或B＝0。 （） 3．3．设n阶方阵A、B、C满足关系式ABC＝E，则BCA＝E。 （） 4．4．设A为一任意矩阵，则A＋A T，AA T均为对称矩阵。 （） 5．5．设对矩阵A施行初等变换得到矩阵B，且已知秩(A)＝r，秩(B)=s,则r= s。 （） 二、选择题（单选，括号中填所选项前的字母） 1．若方程组? ? ? ? ? = + = + - = + + 2 2 9 8 7 3 2 3 2 3 2 1 x t x x x x x x 存在非零解，则常数t = [ ]。 （A）2（B）4（C）－2（D）－4 2．设有n阶方阵A与B等价，则[ ]。 (A)| A | = | B | (B) | A | ≠| B | (C) 若| A |≠0,则必有| B |≠0 (D) | A | = －| B | 3．若A为n阶可逆矩阵，下列各式正确的是[ ]。 （A）（2A）-1 = 2 A-1(B) |2A| = 2 | A | (C) () A A A 1 1 * - -= (D) (A-1 )T = ( A T )-1 4．设 6 1 1 5 2 1 1 1 2 3 4 4 3 2 1 - - = A ，则4A41+3A42+2A43+A44 = [ ] (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 5．已知可逆方阵 ? ? ? ? ? ? - - = - 2 1 7 3 1 A ，则A＝[ ]。 （A） ? ? ? ? ? ? - - 3 1 7 2 （B） ? ? ? ? ? ? 3 1 7 2 （C） ? ? ? ? ? ? - - 2 1 7 3 （D） ? ? ? ? ? ? - - 2 1 7 3 6．设矩阵A、B、C满足AB＝AC，则B＝C成立的一个充分条件是[ ]。 (A) A为方阵（B）A为非零矩阵(C) A为可逆方阵(D) A为对角阵 7． 4 3 2 1 1 1 1 3 2 1 4 3 4 3 2 4 3 2 1 ) ( x x x x x f= ，则x4的系数是[ ]。 (A) 2 (B) 1 (C) -1 (D) -2 三、计算下列各题 ×××大学线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1 A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ????? ???? ???=01 00 10000001 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ） 。 ① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 一、判断题 （1）标准秩序是指n 个不同元素，各元素间按从小到大的顺序排列（ √） （2）在由 n 个元素构成的任一排列中，当某两个元素的先后秩序与标准秩序不同时，就说它们构成了一个逆序（ √ ） （3）一个排列中所有逆序的总和称作逆序数（ √ ） （4）逆序数为偶数的排列叫做偶排列，逆序数为奇数的排列叫做奇排列（ √ ） （5）一个排列中的任意两个元素对换，排列不改变奇偶性（ × ） （6）将行列式 nn n n n n a a a a a a a a a D 222211212111 = 的行与列互换，得到行列式 nn n n n n T a a a a a a a a a D 222212111211 = T D 叫作行列式D 的转置行列式（ √ ） （7）已知行列式D ，则T D D =（ √ ） （8）交换行列式的两行(或列)，行列式不改变符号（ × ） （9）如果行列式有两行或两列完全相同，该行列式可以不等于0（ √ ） （10）行列式中某一行（或列）的各元素有公因子，则可提到行列式符号外面（ √ ） （11）行列式所有行（或列）的元素都乘以同一个数k ，等于用数k 乘以该行列式（ × ） （12）行列式某行（或列）的元素都乘以同一个数k ，等于用数k 乘以该行列式（ √ ） （13）行列式的某一行元素全为零，行列式的值恒为零（ √ ） （14）若行列式中有两行（列）的元素对应成比列，行列式的值可能为零，也可能不为零 （ × ） （15）若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则该行列式可以表示成两行列式之和 （ × ） （16）把行列式的某一行（或列）各元素都乘以同一数k 后，加到另一行(或列)对应元素上去，行列式的值改变（ × ） （17）在n 阶行列式中，划去元素ij a 所在的行和列，余下的n-1阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，而其代数余子式表示为ij j i M +-)1(（ √ ） （18）行列式D 等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即 ),2,1( 2211n i A a A a A a D in in i i i i =+++= （19）范德蒙行列式∑≥>≥----= 1112112222121)( 1 1j i n j i n n n n n n x x x x x x x x x x x （ × ） （20）在行列式D 中任意选定k(1≤k ≤n-1)行（或列），则行列式D 等于由这k 行(或列）元S 时，向量组（Ⅱ）必线性相关；S 时，向量组（Ⅰ）必线性相关；线性代数第五章(答案)
(完整版)线性代数行列式第一章练习题答案
2016年线性代数期中考试试卷
线性代数第五章 课后习题及解答
线性代数期末考试试题
线性代数第六章练习题
线性代数期中考试试卷精选文档
线性代数练习册第五章题目及答案(本)复习进程
线性代数期末考试试卷答案合集
线性代数练习册习题及答案本
中山大学《线性代数》期中考试卷答案
线性代数第五章答案
线性代数第五章作业参考答案(唐明)
线性代数1-2章精选练习题
线性代数期中考试试题+答案
线性代数期中考试
线性代数期中测验
线性代数第五章习题答案
线性代数期中考试试卷6
线性代数期末考试试卷 答案合集详解
线性代数第一章 测试题
相关主题
文本预览