常数项级数
内容要点
一，概念与性质
(一)概念 由数列 ,,,,21n u u u 构成的式子
=∑∞
=1
n n
u
++++n u u u 21
称为无穷级数，简称为级数.n u 称为级数的一般项，∑==
n
i i
n u
s 1
称为级数的部分和.
如果s s n n =∞
→lim ,则称级数
∑∞
=1
n n
u
收敛，s 称为该级数的和.此时记
=∑∞
=1
n n
u
s .否则称级数
发散.
（二）性质 1, 若
∑∞
=1n n
u
收敛，则
.1
1
∑∑∞
=∞
==n n n n
u k ku
2, 若
∑∞
=1
n n u ,∑∞
=1
n n
v
收敛，则
().1
1
1
∑∑∑∞=∞
=∞
=±=±n n n n n n n
v u v u
3, 级数增减或改变有限项，不改变其敛散性.
4, 若级数收敛，则任意加括号后所成的级数仍收敛. 5(收敛的必要条件), 若
∑∞
=1
n n
u
收敛，则.0lim =∞
→n n u
注意：若.0lim ≠∞
→n n u 则
∑∞
=1
n n
u
必发散.而若
∑∞
=1
n n
u
发散,则不一定.0lim ≠∞
→n n u
(三) 两个常用级数 1, 等比级数
??
?
??≥<-=∑∞
=1
,
1,10q q q
a
aq n n
2, -p 级数
??
?≤>=∑∞
=1
,
1,
11p p n n p
二，正项级数敛散性判别法
(一) 比较判别法
设
∑∑?
=∞=1
1
,n n
n n v
u 均为正项级数，且),2,1( =≤n v u n n ,则
∑∞
=1n n
v
收敛?
∑∞
=1n n
u
收敛；
∑∞
=1
n n
u
发散?
∑∞
=1
n n
v
发散
(二) 极限判别法
如果)0(lim +∞≤<=∞
→l l nu n n ,则
∑∞
=1
n n
u
发散；
如果对,1>p )0(lim +∞<≤=∞
→l l u n n p
n ,则
∑∞
=1
n n
u
则收敛.
(三) 比值判别法 设
∑∞
=1
n n
u
为正项级数，若
??
?
???>?=?<==+∞→f
b c
u u n n n 111lim
1ρ 二，交错级数收敛性判别法 莱布尼兹判别法：设
())0(111
>-∑∞
=-n n n n u u 为交错级数，如果满足：
1, ),2,1(1 =≥+n u u n n 2, 0lim =∞
→n n u
则此交错级数收敛.
三，任意项级数与绝对收敛 （一） 绝对收敛 如果
∑∞
=1n n
u
收敛，则称
∑∞
=1n n
u
绝对收敛.
（二） 条件收敛 如果
∑∞
=1
n n
u
收敛，但
∑∞
=1
n n
u
发散,则称
∑∞
=1
n n
u
条件收敛.
（三） 定理 若级数绝对收敛，则该级数必收敛.
函数项级数
一、 主要内容 1、基本概念
函数列（函数项级数）的点收敛、一致收敛、内闭一致收敛、绝对收敛、和函数
幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域 2、一致收敛性 A 、 函数列
{()}
n f x
一致收敛性的判断：
（1）定义：用于处理已知极限函数的简单函数列的一致收敛性
（2）Cauchy 收敛准则：用于抽象、半抽象的函数列的一致收敛性的判断 （3）确界（最大值方法）：||()()||0
n f x f x -→
（4）估计方法：
|()()|0
n n f x f x a -≤→
（5）Dini-定理：条件1）闭区间[,]a b ；2）连续性；3）关于n 的单调性
注、除Cauchy 收敛准则外，都需要知道极限函数，因此，在判断一致收敛性时，一般应先利用点收敛性计算出极限函数。
注、定义法、确界方法和估计方法的本质是相同，定义方法通常处理抽象的对象，估计方法是确界方法的简化形式，估计方法处理较为简单的具体的对象，确界方法是通过确界的计算得到较为精确的估计，通常用于处理具有一般结构的具体的函数列，也可以用于非一致收敛性的判断。
注、Dini 定理中，要验证的关键条件是关于n 的单调性，定理中相应的条件为“对任意固定
的x [,]a b ∈，{()}
n f x 作为数列关于n 是单调的”，注意到收敛或一致收敛与函数列前面的
有限项没有关系，上述条件也可以改为“存在N ，当n>N 时”条件成立即可，但是，要注意N 必须是与x 无关的，即当n>N 时，对所有任意固定的x [,]a b ∈，{()}
n f x 关于n 单调，
因此，此时的单调性也称为对n 的单调性关于x 一致成立。 非一致收敛性的判断 （1）定义
（2）Cauchy 收敛准则 （3）确界法：存在
n
x ，使得
||()()||
n n n f x f x -不收敛于0
（4）和函数连续性定理 （5）端点发散性判别法：
{()}
n f x 在c 点左连续，
{()}
n f c 发散，则
{()}
n f x 在
(,)c c δ-内非一致收敛
注、在判断非一致收敛性时，按照使用时的难易程度，可以按如下顺序使用相应的方法进行判断：端点发散性判别法、和函数连续性定理、确界方法、定义法、Cauchy 收敛准则。 B 、函数项级数
()n
u x ∑
一致收敛性的判断 （1）定义
（2）Cauchy 收敛准则
（3）转化为函数列（部分和）
（4）余项方法：
{()}
n r x 一致收敛于0
（5）几个判别法：W-法，Abel 法，Dirichlet 法，Dini-法
经典例题
例1判断级数(1)
∑∞
=1
1n n
n
；(2)
∑
∞
=1
1
n n
n
的敛散性.
解：(1)
∑∞
=1
1n n
n
=
)12
3
(11
2
3>=
∑
∞
=p n
n 收敛 (2) 由于,011lim
lim 1lim
≠==?=∞→∞
←∞
→n
n n n n
n n
u n 故∑∞
=11n n
n
发散.
例2 判别级数.(1)∑∞
=+-2
)3)(1(1
n n n ；(2)∑∞
=123n n
n n ；(3) ∑∞
=++1
)2(1
n n n n 的敛散性. 解：(1) 由于2)3(1
)3)(1(1+<+-n n n ()3,2 =n ,而∑∑∞
=∞==+5
2
221)3(1n n n n 收敛 故由比较判别法可知级数
∑∞
=+-2
)3)(1(1
n n n 收敛.
(2) 由于n n n
n 123>(),2,1 =n ,而∑∞=11
n n
发散，由比较判别法可知 级数∑∞
=1
23n n
n
n 发散. (3) 由于21)2)(1(1)2(1+=+++>++n n n n n n n ,而∑∑∞
=∞==+311
21n n n
n 发散，由比较判别法可知 级数
∑∞
=++1
)2(1
n n n n 发散. 例3 判别下列级数的敛散性：(1) ∑∞
=-1)!
1(1
n n ；(2)
∑∞
=1!
n n
n n 解：用比值判别法
(1) ,101lim )!
1(1!1
lim lim
1
<==-=∞→∞→+∞→n n n u u n n n
n n 故∑∞
=-1
)!1(1n n 收敛；
(2) ,111lim !
)!1()1(lim lim
1
1>=??
?
??+=++=∞→+∞→+∞→e n n n n n u u n n n n n n
n n 故∑∞
=1!n n n n 发散. 例4 判别级数(1)
∑∞
=1
1
n n
n
n
；（2）
∑∞
=??? ??
+1
211ln n n 的敛散性. 解：(1) 由于011lim 1lim lim >===∞→∞
→∞
→n
n n
n n n n
n
n n
nu ,
故由极限判别法可知级数
∑∞
=1
1
n n
n
n
发散.
(2) 由于1ln 11ln lim 11ln lim lim 2
222
2==??
? ??
+=??? ??
+
=∞→∞
→∞
→e n n n u n n n n n n
故由极限判别法可知级数∑∞
=??? ??
+1
211ln n n 收敛.
例5 问级数
2
1
)1(n
n
c n n
+-∑∞
=是收敛还是发散？若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？ 解：由茉布尼兹判别法可知()211n c n
n ∑∞
=-与()n n
n 1
11∑∞
=-均收敛，从而原级数收敛.
另一方面，()n n n n n c n n c n
112
22=≥+=+-，而∑∞
=11
n n
发散，故由比较判别法可知 ()∑∞
=+-1
21n n n
n
c 发散，从而原级数是条件收敛.
练习题
1, 用比较判别法判别下列级数的敛散性.
(1) ∑∞
=+1)
1(1
n n n (2)
∑∞=12
2
ln n n
n (3) ∑∞
=-1
2
2)
12(sin n n n (4) ∑∞
=++1
2
21n n
n
2, 用比值判别法判别下列级数的敛散性.
(1) ∑∞
=1
!5n n
n (2)
∑∞
=-???-???1
)13(52)
12(31n n n (3) ∑∞
=1
2
3n n n 3, 用极限判别法判别下列级数的敛散性.
(1)
∑∞
=+1
)
32(1
n n
n
n (2)
∑∞
=12
ln n n
n
4 判断下列级数是否收敛？如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？ (1) +-
+
-
4
13
12
11 (2)
()
1
1
13
1--∞
=∑-n n n n
(3) +?-?+?-?2
1
3121312131213132 (4)
()∑∞
=+-1
)1ln(1n n
n
[答案：1,(1)收敛 (2)收敛 (3)收敛 (4) 发散2,(1)收敛 (2)收敛 (3)收敛 3,(1) 发散(2)收敛 4,(1)条件收敛 (2)绝对收敛 (3)绝对收敛 (4)条件收敛 ]
5 求幂级数
++++++n
x x x x n
32132 的收敛半径与收敛域.
解：由于
11lim 1
11
lim lim
1=+=+=∞→∞→+∞→n n
n
n a a n n n
n n =ρ 所以,收敛半径 11
==
ρ
R 收敛区间为).1,1(-
当1-=x 时,原级数为 +1∑∞
=-1
)1(n n
n 收敛；
当1=x 时,原级数为 +
1∑∞
=1
1
n n 发散. 故收敛域为 ).1,1[- 6. 求幂级数∑∞
=1
n n
n x 的和函数.
解：不难求得收敛域为=I )1,1[-设和函数为)(x S 即∑∞
==1)(n n
n
x x S ,I x ∈
逐项求导，x
x
x S n n -=
=
∑∞
=-11
)(1
1
/
,.1 )(0 x dx x x S x --=-= ?,I x ∈ 7.求幂级数 ∑∞ =-1 )12(n n x n 的收敛域及和函数. 解：11 111212lim lim 1==?=-+==∞→+∞→ρρR n n a a n n n n 当1±=x 时， 原级数= () n n n ∑∞ =±-1 1)12(发散，故收敛域为).1,1(- ∑∞ =-1)12(n n x n =∑∑∞ =∞ =-+113)22(n n n n x x n =()x x dx x n n x n --??????+∑?∞=1312/ 10 =2 2222/21 / 1)1() 1(3)1(2413.)1(2)1(413]12[13][ 2x x x x x x x x x x x x x x x x x x x n n --- --=---+-=---=--∑∞ + =.) 1(422 x x x -+ 8. 将函数2 11 )(x x f += 展开成的幂级数. 解：由于 ),11(,)1(11 <<--=+∑∞ =x x x n n n 故 2 11)(x x f +==() +-++-+-=-∑∞ =n n n n n x x x x x 264220 )1(11, )11(<<-x 练习题 1, 求下列幂级数的收敛半径与收敛域. (1) ∑∞ =1 n n nx (2) ∑∞ =13n n n x (3) () ∑∞ =---1 1 121n n n n x (4) ∑∞ =?14 n n n n x 2, 求下列幂级数的收敛域及和函数. (1) ∑? =1n n nx (2) ∑∞ =+1 )2(n n x n (3) ∑∞ =-21n n n x 3, 将下列函数展为x 的幂级数 (1) )1ln()(2 x x f -= (2) 2 )(x e x f - = (3) x a x f =)( (4) 2 sin )(x x f = [答案：1,(1))1,1(,1-=R (2))3,3(,3-=R (3))1,1[,1-=R (4))4,4[,4-=R 2,(1)2)1(), 1,1(x x -- (2)2 )1(2),1,1(---x x (3) ),1,1[-)1ln(x x -- 3, (1) ∑∞ =-1 2n n n x (2) ()∑ ∞ =-0 2!1n n n n x n (3) ()∑∞ =+1 !ln 1n n n x n a (4) ()1 21 202 )!12(1++∞ =∑+-n n n n x n ] 1、判断函数列{()}n f x 在[0,1]的一致收敛性，其中 （1）、()1n nx f x n x = ++， （2）、()(1)n n f x n x x =-。 解：（1）计算得， ()lim ()lim 1n n n nx f x f x x n x →∞→∞===++， [0,1]x ∈， 因而， 2 |()()|||1n nx f x f x x n x n -=-≤++， [0,1]x ∈， 故，{()}n f x 在[0,1]一致收敛。 （2）计算得 ()lim ()lim (1)0n n n n f x f x nx x →∞ →∞ ==-=，[0,1]x ∈， 记()|()()|(1)n n x f x f x nx x ?=-=-，则 1()(1)[1(1)]n x n x n x ?-'=--+， 故，()x ?在1 1 n x n = +处达到最大值，因而 11 ||()()||()(1)11n n n n f x f x x n n e ?-==-→++， 故，{()}n f x 在[0,1]非一致收敛。 注、下述用Dini-定理求证（2）的过程是否合适。验证Dini 定理的条件： 显然，对任意的n ，()(1)[0,1]n n f x nx x C =-∈，()0[0,1]f x C =∈；当0x =或1x =， ()0n f x =，因而关于n 单调；当0x ≠时，考察()(1)n n f x nx x =-关于n 的单调性， 为此，将离散变量n 连续化，记1(0,1)a x =-∈，考查对应函数()y g y ya =关于y 的单调性。 显然， ()ln [1ln ]y y y g y a ya a a y a '=+=+， 故，当1 01ln y a > >时，()0g y '<，因而关于y 单减。 对应得到当1 1ln 1n x >-时，()n f x 关于n 单减，故由Dini-定理，{()}n f x 在[0,1]中 一致收敛。 分析 显然，这是与最大值解法相矛盾的结论。最大值方法是正确的，那么，上述Dini-定理的证明过程错在何处？进一步考察Dini-定理的条件与上述证明过程： 条件,[0,1]n f f C ∈是确定的，有限区间[0,1]也适合，剩下的条件只有单调性了。那么，Dini-定理中对单调性条件如何要求的？其叙述为：对任意固定的x ， {()}n f x 是n 的单调数列，注意到收敛性与前有限项没有关系，因而{()}n f x 的单 调性也放宽为n N >时，{()}n f x 是n 的单调数列，本例中，在验证单调条件时， 实际证明了：0x ?≠，当11ln 1n N x ?>=-时，{()}n f x 关于n 单调，显然， 1 1ln 1N x =→+∞-， （0x +→），因此，{()}n f x 的单调性关于x 并非是一致的，破坏了Dini-定理的条件，故Dini-定理不可用。 从上述分析过程看，当考虑到数列的收敛与前面有限项关系时，Dini-定理可这样表述： Dini-定理 在有限闭区间[,]a b 上，设()[,]n f x C a b ∈，n ?且{()}n f x 点收敛于 ()[,]f x C a b ∈，又0N ?>，使得对任意固定的[,]x a b ∈，{()}|n n N f x >关于n 单调， 则[,] ()()a b n f x f x ?。 注、上述分析表明：要考察函数列的性质时，通常只须考察n 充分大，即n N >时所满足的性质即可，要注意与x 关系的刻画，对函数项级数要注意同样的问题，如W-定理： W-定理 设0N ?>，使得n N >时，|()|n n u x a ≤，x I ?∈， 且1n n a ∞ =∑收敛，则1 ()n n u x ∞ =∑在I 上一致收敛。 定理中的条件|()|n n u x a ≤也是关于x 一致成立的，因此，条件不能改为“对任意的x ，存在N(x)，使得n>N(x)时，|()|n n u x a ≤”。 例2、证明：若()f x 在(,)a b 有连续导数()f x '，则1 ()[( )()]n f x nf x f x n =+-在(,) a b 内闭一致收敛于()f x '。 分析 从题目形式看，由于知道极限函数，只需用定义验证即可，考察 1 |()()||[()()]()|n f x f x n f x f x f x n ''-=+-- |()()|f f x ξ''=-统一形式 ，1x x n ξ<<+，1 ||x n ξ-< 因此，利用一致连续性可以完成证明。 证明：任取[,][,]a b αβ?，则()f x '在[,]αβ一致连续，因此，0ε?>，0δ?>， 使得,[,]x x αβ'''?∈且||x x δ'''-<时， |()()|f x f x ε'''''-<， 利用微分中值定理，存在1 :x x n ξξ<<+ ，使得 |() ()||()(n f x f x f f x ξ''-=-， 故，1 n δ > 时， 1 ||x n ξδ-< <，因而 |() ()|n f x f x ε-<， 故，[,] ()()n f x f x αβ'?。 3、讨论一致收敛性 （1）2 (1) , [0,1]n n x x x ∞=-∈∑ ； （2）20 , (0,)nx n x e x ∞ -=∈+∞∑。 解：（1）法一、由于结构简单，可以计算其部分和，因此，可以转化为函 数列来处理。 由于 1 20()(1)=(1-) (1-) k n n k S x x x x x ==-∑，[0,1]x ∈ 故，()lim ()1 n n S x S x x →+∞ ==-，[0,1]x ∈。 因而， |()()|(1)n n S x S x x x -=-， 对任意的n ，记()(1) n g x x x =-，则 1 1 ()(1 ) n n g x n x x n -+'=- 因而，g （x ）在n = n+1 n x 处达到最大值，因而 n 1n ||()()||(1)=() 0 n+1n+1 n n n n S x S x x x -=-→，n →+∞ 因此，[0,1]()()n S x S x ?，故，20 (1) n n x x ∞ =-∑在[0,1]x ∈一致收敛。 法二、也可利用最大值法，或W-判别法。 记2()(1)n n u x x x =-，则 1 2 1()(1 ) 2(1)(1)[ (2)] n n n n u x n x x x x x x n n x --'=---=--+ 故，()n u x 在2 n n x n = +处达到最大值，因而 22 0()()()() 222n n n n n u x u n n n ≤≤=+++ 2224 ()2n n ≤≤+ 由W-定理可得，20 (1) n n x x ∞ =-∑在[0,1]x ∈一致收敛。 （2）法一、 记2()nx n u x x e -=，则 ()[2]nx n u x xe nx -'=-， 故()n u x 在2 n x n = 处达到最大值，因而 2222224 0()()()n n u x u e e n n n --≤≤==， 故，20 nx n x e ∞ -=∑在 (0,)x ∈+∞一致收敛。 法二、 利用用Taylor 展开得， 22 1(), 02 nx n n x e nx R x x =++++> 因而， 22 2222 222201() 22 nx nx n x x x x e n x n x e n nx R x -≤==≤=+++ +，x >0 故，20 nx n x e ∞ -=∑在 (0,)x ∈+∞一致收敛。 4、设0 ()n n u x ∞=∑在[a,b]上点收敛，0 ()n n u x ∞ ='∑的部分和函数列在[a,b]上一致有界，证 明：0 ()n n u x ∞ =∑在[a,b]上一致收敛。 分析 这是一个抽象的函数项级数，从所给的条件看，W －定理、Abel 判别法、Dirichlet 判别法、Dini 定理都缺乏相应的条件，因此，考虑用Cauchy 收敛准则，为此，必须建立通项函数()n u x 与其导函数的关系，建立其关系的方法有微分法（利用微分中值定理）和积分法（利用微积分关系式），其本质基本上都是插项法，如利用积分法估计Cauchy 片段 p p p 0k=1k=1 k=1 |()||()()|x n k n k n k x u x u t dt u x +++'=+∑∑∑? ， 相当于插入点0x ，利用一致有界条件，则 p p 00k=1 k=1 |()||||()|n k n k u x M x x u x ++≤-+∑∑， 要通过右端控制Cauchy 片段任意小，从右端形式和剩下的条件看，右端的第二项要用点收敛性来估计，而第一项需用小区间的长度来控制，由于点x 是动态的、任意的，因此，关键的问题是利用什么技术将动态点的控制转化为有限个定点控制，通过第一项的形式可以确定利用对区间的分割实现上述目的。 证明：对任意的0ε>，对[a,b]作等分割：01k a x x x b =<< <=，使得 1max{:0,1, ,1}i i b a x x i k k ε+--=-= <， 又，0 ()n n u x ∞ =∑点收敛，因而，存在N ，使得n>N 时， p j =1 |()|n j i u x ε+<∑， p ?，i=0,1, ,k 假设n k=0 |()|k u x M '≤∑，当n>N 时，对任意的[,]x a b ∈，存在0i x ，使得0||i x x ε-<， 故 p p p k =1k =1 k =1 |()|| ()()| i x n k n k n k i x u x u t d t u x +++'=+∑∑ ∑? 2||(21)i M x x M εε≤-+<+， p ? 因而，0 ()n n u x ∞ =∑在[a,b]上一致收敛。 注、总结证明过程，步骤为：1、任给0ε>，分割区间，确定有限个分点；2、 在分点处利用Cauchy 收敛准则；3、利用插项技术验证一致收敛性。注意相互间的逻辑关系。 注、类似的结论可以推广到函数列的情形：设逐点收敛的函数列{()}n S x 是[a,b] 上的可微函数列，且{()}n S x '在[a,b]上一致有界，则{()}n S x 在[a,b]一致收敛。 注、上述证明的思想是通过有限分割将任意动态点的估计转化为有限个点的 静态估计，像这种思想在证明一致收敛性时比较有用，看下面的例子。 6、给定函数列{()}n S x ，设对每个固定的n ，()n S x 都是[a,b]上的单调函数，又设{()}n S x 在[a,b]上收敛于S(x)，且()[,]S x C a b ∈，证明{()}n S x 在[a,b]上一致收敛于S(x)。 分析 由于题目中给出了极限函数且函数列是抽象的，因此，可以考虑用定义法处理。关键是如何利用点收敛和极限函数的连续性实现对|()()|n S x S x -的动态估计，假设插入的点为某个固定的点0x ，则必然涉及到0|()()|S x S x -的估计，要得到与x 无关的估计，从所给的极限函数的条件看，必须利用连续性来实现相应的估计，但是，仅仅用连续性还不够，因为连续性是局部性质，因此，这就使我们考虑更高级的整体性质――一致连续性，由此，借助一致连续性实现对区间的分割，将动态估计转化为分点处的静态估计。但是，问题并没有全部解决，因为直接插项，产生的项0|()()|n n S x S x -无法解决，注意到还有一个单调性条件，因此，必须借助这个条件将|()()|n S x S x -中的()n S x 由动态点过渡到静态的点，这种技巧并不陌生，在Dini 定理的证明中曾借助关于n 的单调性将变动的下标n 转化为固定的下标，这里我们利用同样的技术解决相应的问题。 证明：对任意的0ε>，由于()[,]S x C a b ∈，因而一致连续，故存在0δ>，当 ,[,]x y a b ∈且||x y δ-<时， |()()|S x S y ε-<， 对[,]a b 作等分割：01k a x x x b =<< <=，使得 1max{:0,1, ,1}i i b a x x i k k δ+--=-= < ， 利用点收敛性，存在N ，使得n>N 时， |()()|n i i S x S x ε-< ， 0,1,i k =。 因此，当n>N 时，对任意点[,]x a b ∈，存在0i ，使得001[,]i i x x x -∈，利用{()}n S x 的单调性，则 001|()()||()()||()()|n n i n i S x S x S x S x S x S x --<-+-， 事实上，当()n S x 关于x 单调递增时，或者 00|()()|()()()()|()()|n n n i n i S x S x S x S x S x S x S x S x -=-≤-=-， 或者 0011|()()|()()()()|()()|n n n i n i S x S x S x S x S x S x S x S x ---=-≤-=-， 因而，总有 001|()()||()()||()()|n n i n i S x S x S x S x S x S x --<-+-。 这样，关于()n S x 由动态的点转化为固定的点，对右端进行插项，进一步将()S x 由动态的点转化为固定的点。 因而， 001|()()||()()||()()|n n i n i S x S x S x S x S x S x --<-+- 00 0|()()||()()| n i i i S x S x S x S x <-+- ＋000111|()()||()()|n i i i S x S x S x S x ----+-4ε<， 故，{()}n S x 在[a,b]上一致收敛于S(x)。 注、利用各种技术将动态点处的估计转化为静态点处的估计是证明抽象函数 列和函数项级数一致收敛性时常用的技巧，要掌握其处理问题的思想，特别是单调性在这个过程中的应用。 7、设(,)f C ∈-∞+∞，定义函数列11()()n n k k S x f x n n ==+∑，n ＝1，2， ，证 明：{()}n S x 在(,)-∞+∞内闭一致收敛。 分析 从函数列的结构可以计算出和函数为1 0()f x t dt +?，因此，可以利用形式 统一法证明结论。 证明：对任意的x ，则 1 ()l i m () ()n n S x S x f x t d t →+∞ ==+?。 对任意的[,](,)a b ?-∞+∞，则[1,1]f C a b ∈-+，因而，一致连续，故，对任意的0ε>，存在0δ>，当,[1,1]x y a b ∈-+且||x y δ-<时， |()()|f x f y ε-<。 取N ：1 N δ > ，当n N >时， 11|()()||(()())|k n n k n k n k S x S x f x t f x dt n -=-=+-+∑? 11 n k n εε=≤=∑ 故，{()}n S x 在(,)-∞+∞内闭一致收敛。 8、设0[0,]f C a ∈，10()()x n n f x f t dt -=?，证明：{()}n f x 在[0,]a 一致收敛于零。 证明：由于0[0,]f C a ∈，故0M ?>，使得0|()|f x M ≤，[0,]x a ∈，因而 1|()|f x Mx ≤， 2 20 1|()|2 x f x M tdt M x ≤=?， 归纳可以证明： |()|!! n n n M Ma f x x n n ≤≤ 故，()0n f x ?。 9、在[0,1]上定义函数列 2 214, 0211()44, 210, 1n n x x n f x n x n x n n x n ?≤≤?? ? =-+<≤?? ? <≤??， 计算其极限函数并讨论其一致收敛性。 解、法一、显然，(0)0n f =，对任意固定的(0,1]x ∈，则当1 n x > 时，总有()0n f x =，因此，lim ()0n n f x →+∞ =，故，其极限函数为()0f x =。 取1 4n x n = ，则 |()()|()n n n n n f x f x f x n -==→ +∞， 因此，{()}n f x 在[0,1]上非一致收敛。 法二、用一致收敛性的性质证明。 极限函数仍为()0f x =，计算得， 111 2 2210 2()4(44)1n n n n f x dx n xdx n x n dx =+-+=? ?? 因而， 1 1 0()lim ()1n n f x dx f x dx →+∞=≠=??， 故，{()}n f x 在[0,1]上非一致收敛。 注、这里，我们利用逐项求积定理，将这种将定性分析的证明转化为定量的验证，这是非常有效的处理问题的思想方法。 10、给定函数列(ln )()n x x n f x n α =，n ＝2，3，，证：当1α<时，函数列{()}n f x 在[0,)+∞上一致收敛。 证明：容易计算 ()l i m ()n n f x f x →+∞ ==，[0,)x ∈+∞， 因而， (l n ) |()()|()n n x x n f x f x f x n α-==， 对任意固定的n ， 2(l n )(1l n )()x n x n n x n f x n α-'= ， 因而， 11(ln )||()()||()ln ln n n n f x f x f n n e α -== 11 (l n )n e α -= 故，当1α<时， l i m ||()()||n n f x f x →+∞ -=， {()}n f x 在[0,)+∞上一致收敛。 下面讨论一致收敛性的应用。 11、设0()cos n n S x r nx ∞ ==∑，（||1r <）计算20 ()S x dx π ?。 分析 题目的本质实际是两种运算的可换序性，只需验证相应的条件。 解：由于|cos |||n n r nx r ≤，故cos n r nx ∑在[0,2]π一致收敛，因而 220 ()cos n n S x dx r nxdx π π ∞ ==∑? ?， 又，20 cos 0nxdx π =?，1,2, n =，故20 ()2S x dx π π=?。 12、设20()cos()3 n n n x f x n x π∞ ==∑，求1 lim ()x f x →。 解：考虑20cos()3 n n n x n x π∞ =∑在[0,2]的一致收敛性。由于， 22 |cos()|()33 n n n x n x π≤， 故，20cos()3 n n n x n x π∞ =∑在[0,2]一致收敛，因而 2 1100(1)13lim ()lim cos()133413 n n n n x x n n x f x n x π∞ ∞ →→==-====+ ∑∑ 。 注、关键选择一个合适的区间：即保证一致收敛性，也要保证极限点落在此 区间 内部。 13、计算1 lim (1)x n n n dx x e n →+∞++? 。 分析 两种运算的换序性问题，只需验证一致收敛性条件。 证明：先证{}x n e 的一致收敛性。显然，对任意的[0,1]x ∈， l i m 1x n n e →+∞ =， 利用微分中值定理，存在[0,1]ζ∈，使得 01 |1|||x x n n x e e e e n n ζ-= -=≤ ，[0,1]x ∈ 因而， {}x n e 在[0,1]上一致收敛于1（也可以用Dini 定理证明）。 其次，证明{(1)}n x n +的一致收敛性。对任意的[0,1]x ∈，{(1)}n x n +单调递增 收敛于x e ，由Dini 定理，{(1)}n x n +在[0,1]上一致收敛于x e 。 由此，得 11| ||1||(1)|1(1)x n x n x x n n x e e e n x e n -≤-++-+++， 故， 1 (1)x n n x e n ++在[0,1]上一致收敛于 1 1x e +，因此， 1 1 0lim lim (1)(1)x x n n n n n n dx dx x x e e n n →+∞→+∞ =++++? ? 1 1001ln 2ln(1)1(1) x x x x dx de e e e e ===+-+++??。 14、证明：1 1 ()()n n f x x n ∞ ==+∑在(1,1)-连续。 解：(0,1)q ?∈，考察1 1 ()n n x n ∞ =+∑在[,]q q -上的一致收敛性。由于 11 |()|()n n x q n n +≤+，[,]x q q ∈-， 而1()n q n +∑收敛，故1 ()n q n +∑在[,]q q -一致收敛性，因而()[,]f x C q q ∈-，由 q 的任意性，()[1,1]f x C ∈-。 注、注意总结这类题目证明的步骤和技巧。 15、证明：1 sin n nx n ∞ =∑ 在（0，1）内非一致收敛。 分析 由于函数项级数在区间端点都收敛，通项也是一致收敛的函数列，又不知 其和函数，因此，只有用Cauchy 收敛准则证明。为此，需要研究其Cauchy 片段，找出一个具有正下界的片段，注意到以前处理的类似问题：用Cauchy 收敛 准则证明11 n n ∞ =∑的发散性，可以设想，相应的方法是否能处理本题，由此，需要 考察：能否存在(0,1)n x ∈，使得片段中的每一项sin n kx k 的对应因子sin n kx ， k ＝n ＋1，，2n 有正下界，只需 4 2 n kx π π ≤≤ ，只需 4(1) 4n x n n π π ≤≤ +，因此， 只需取4n x n π = 。 证明：取0ε= n ，取p ＝n ，4n x n π=，则 s i n (1)s i n 2| |124 n n n x nx n n +++ ≥+， 由Cauchy 收敛准则，1 sin n nx n ∞ =∑ 在（0，1）内非一致收敛。 注、还可以用下述结论证明其非一致收敛性：给定函数项级数1 ()n n u x ∞ =∑，设 ()[,]n u x C a b ∈，若1 ()n n u x ∞=∑在(a,b)内一致收敛，1 ()n n u a ∞=∑和1 ()n n u b ∞ =∑都收敛，则 1 ()n n u x ∞=∑在[a,b]上一致收敛，因而，还成立1 ()[,]n n u x C a b ∞ =∈∑。 在Fourier 级数习题课中，可以证明，1 sin n nx n ∞ =∑ 正是一个在[0,1]上的非连续函数的Fourier 级数，且其和函数在[0,1]上也不连续，因而，根据上述结论， 1 sin n nx n ∞ =∑在（0，1）内非一致收敛。 16、证明：1 01 n n n a x n ∞ +=+∑ 与0n n n a x ∞ =∑具有相同的收敛半径。 证明：法一：由于 1 111|| 1lim lim (|| )(1) (1) n n n n n n n n a a n n →+∞ →+∞ =++ 111 l i m ||l i m (1) n n n n n a n →+∞ →+∞ ≤?+1l i m ||n n n a →+∞=， 另一方面， 1 lim ||n n n a →+∞ =111|| lim (1)(1)n n n n n a n n →+∞ ++ 11111|| || lim lim (1)lim (1) (1) n n n n n n n n n n a a n n n →+∞ →+∞→+∞ ≤+=++， 故，二者有相同的收敛半径。 法二、可定义证明。 设0 n n n a x ∞ =∑的收敛半径为R ，要证1 01 n n n a x n ∞ +=+∑ 的收敛半径也为R ，只要证0||x R <时，101n n n a x n ∞+=+∑收敛，0||x R >时，101 n n n a x n ∞ +=+∑发散。 对0x ?：0||x R <，则，0n n a x ∑收敛，又 10 00 11 n n n n a x x a x n n +=++， 由Abel 法，1 00 1n n n a x n ∞ +=+∑ 收敛。 对任意的0x ：0||x R >时，若1 001 n n n a x n ∞ +=+∑收敛，取0y 使得00||||x y R >>，因 为100 1n n n a x n ∞ +=+∑ 收敛，因而1 0{}1n n a x n ++收敛，故有界记为M ，因此， 10000001||| ()(1)|(1)1|| n n n n n n a y M a y x n n r n x x x +=+≤++， 其中00||1y r x =<。由于0(1)n n n r ∞=+∑，因而，00 n n n a y ∞=∑收敛，这与0n n n a x ∞=∑的收敛半 径为R 矛盾，故，1 001 n n n a x n ∞ +=+∑ 发散。 由此得二者的收敛半径相同。 1..【分析】 本题属基本题型，幂指函数的求导（或微分）问题可化为指数函数求导或取对数后转化为隐 函 数 求 导 . 【详解】 方法一： x x y )sin 1(+==)sin 1ln(x x e +，于是 ] sin 1cos )sin 1[ln()sin 1ln(x x x x e y x x +? ++?='+， 从而 π =x dy = .)(dx dx y ππ-=' 方法二： 两边取对数， )sin 1ln(ln x x y +=，对x 求导，得 x x x x y y sin 1cos )sin 1ln(1++ +='， 于是 ] sin 1cos )sin 1[ln()sin 1(x x x x x y x +? ++?+='，故 π =x dy = .)(dx dx y ππ-=' 【评注】 幂指函数的求导问题，既不能单纯作为指数函数对待，也不能单纯作为幂函数，而直接运用相应的求导公式. 2..【分析】 本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可. 【详解】 因为a= ,1) 1(lim )(lim 2 3=+=+∞→+∞ →x x x x x f x x []23)1(lim )(lim 2 32 3 = -+=-=+∞ →+∞ →x x x ax x f b x x ， 于是所求斜渐近线方程为 . 23 +=x y 【评注】 如何求垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线，是基本要求，应熟练掌握。这里应注意两点：1） 当存在水平渐近线时，不需要再求斜渐近线；2）若当∞→x 时，极限x x f a x ) (lim ∞ →=不存在，则应进 一步讨论+∞→x 或-∞→x 的情形，即在右或左侧是否存在斜渐近线，本题定义域为x>0，所以只 考虑+∞→x 的情形. 3..【分析】 作三角代换求积分即可. 【详解】 令t x sin =，则 [填空题] 1．数项级数∑ ∞ =+-1) 12)(12(1n n n 的和为 21 。 2．数项级数∑∞ =-0 )!2()1(n n n 的和为 1cos 。 注：求数项级数的和常用的有两种方法，一种是用和的定义，求部分 和极限；另一种是将数项级数看成是一个函数项级数在某点取值时的情况，求函数项级数的和函数在此点的值。 3．设1))1((lim ,1,01 =->>∞ →n n p n n a e n p a 且，若级数∑∞ =1 n n a 收敛，则p 的取值范 围是),2(+∞。 分析：因为在∞→n 时，)1(1-n e 与 n 1 是等价无穷小量，所以由1))1((lim 1=-∞ →n n p n a e n 可知，当∞→n 时，n a 与 1 1-p n 是等价无穷小量。由因为 级数∑∞=1 n n a 收敛，故∑ ∞ =-11 1 n p n 收敛，因此2>p 。 4．幂级数∑∞ =-0 2)1(n n n x a 在处2=x 条件收敛，则其收敛域为 ]2,0[。 分析：根据收敛半径的定义，2=x 是收敛区间的端点，所以收敛半径 为1。由因为在0=x 时，级数∑∑∞ =∞ ==-0 2) 1(n n n n n a x a 条件收敛，因此应填]2,0[。 5．幂级数∑∞ =-+12) 3(2n n n n x n 的收敛半径为 3。 分析：因为幂级数缺奇次方项，不能直接用收敛半径的计算公式。因 为 22)1(21131)3(2)3(21lim x nx x n n n n n n n n =-+-+++++∞→， 所以，根据比值判敛法，当3 考研数学练习题推荐 WD《考前冲刺最后3套题》★★★ 比较简单，练练手不错。 恩波《最后冲刺成功8套卷》★★★ 网上都喊不难，但是我做的不是很理想。怎么说呢，总觉得题目怪怪的。和真题完全不是一个类型。 考试虫《8套模拟试卷》★★★ 面市时间过早。没有一定的能力就去做模拟题的话，效果不是很大。虽然卖点是众多前命题组成员的集体智慧结晶，但也意味着出题风格与极力创新的现命题组的思路格格不入。陈文灯《复习指南之100问专题串讲》★★★两位考研前辈编写的一本书，具有一定的示范效应。形式有点类似大帝的《超越135》，不过内容没那么全。有些很巧很赞的方法，也有些方法复杂到不实用。知识部分的讲解常有神来之笔。 李永乐《最后冲刺超越135分》★★★☆ 以专题的形式呈现考研数学的重点内容。并附有典型例题，有些难度很大，有些极其复杂。但大部分还是令人舒坦的。因为是例题，有人可能会倾向于只看不做。我觉得还是笔耕不辍为妙。不能说冲刺必备，但用来配合全书或指南做最后一轮复习还是可行的。李永乐《基础过关660题》★★★☆ 一本客观题练习集。真的如传闻所言只是第一轮复习书吗?我看未必。书中的相当部分题目还是很有难度的。我是这样理解的，如果660道题全会做，你的基础才算过关。李永乐《线性代数辅导讲义》★★★★ 大帝无愧于“线代之王”的称号。薄薄的一本书把考研数学线性代数部分研究的非常透彻。第二三轮复习必备。得力于该书所讲的求行列式的递进法，我幸运地做对了08年考试中线代的一道难题。 黄先开曹显兵《经典冲刺5套卷》★★★☆ 难度一般，可以拿来建立信心。一些题目体现出了新鲜的元素，不妨做做让脑筋转转弯。陈文灯《单选题解题方法与技巧》★★★★ Excellent，难以用语言形容。如果用心做完这本书选择题还拿不了满分，真可以称得上是奇迹了。 《考研数学考试分析》★★★★ 在复习末期，精心准备的考生一定会有这样一个问题。那就是解题的规范性。计算题和证明题，究竟怎么答才算标准，才不用担心因解题不规范而丢掉分数?答案就在这本书中。近四年数一到数四的真题及标准解题过程应有尽有，好好研究模仿吧。对于经济类考生的又一大福音就是可以接触到数学一的真题。做做数一还是有助于拓宽思路提升水平的。 \ 无穷级数习题 一、填空题 1、设幂级数 n n n a x ∞ =∑的收敛半径为3，则幂级数 1 1 (1) n n n na x ∞ +=-∑的收敛区间为 。 2、幂级数 0(21)n n n x ∞ =+∑的收敛域为 。 3、幂级数 21 1(3) 2 n n n n n x ∞ -=-+∑的收敛半径R = 。 4 、幂级数 n n ∞ =的收敛域是 。 5、级数21 (2)4n n n x n ∞ =-∑的收敛域为 。 6、级数0 (ln 3)2n n n ∞ =∑的和为 。 7、 1 1 1()2n n n ∞ -==∑ 。 8、设函数2 ()f x x x π=+ ()x ππ-<<的傅里叶级数展开式为 01 (cos sin )2 n n n a a nx b nx ∞ =++∑，则其系数3b 的值为 。 9、设函数2 1, ()1,f x x -?=?+? 0,0, x x ππ-<≤<≤ 则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处的敛于 。 10、级数 1 1 (1)(2)n n n n ∞ =++∑的和 。 11、级数21 (2)4n n n x n ∞ =-?∑的收敛域为 。 参考答案：1、(2,4)- 2、(1,1)- 3 、R = 4、[1,1)- 5、(0,4) 6、 22ln 3- 7、4 8、23π 9、212π 10、1 4 11、(0,4) 二、选择题 1、设常数0λ>，而级数 21 n n a ∞=∑ 收敛，则级数1 (1)n n ∞ =-∑是（ ）。 （A ）发散 （B ）条件收敛 （C ）绝对收敛 （D ）收敛与λ有关 2、设2n n n a a p += ，2 n n n a a q -=， 1.2n =，则下列命题中正确的是（ ）。 （A ）若 1n n a ∞ =∑条件收敛，则 1n n p ∞ =∑与 1n n q ∞ =∑都收敛。 （B ）若 1n n a ∞ =∑绝对收敛，则 1n n p ∞ =∑与 1n n q ∞ =∑都收敛。 （C ）若 1n n a ∞ =∑条件收敛，则 1n n p ∞ =∑与 1n n q ∞ =∑的敛散性都不一定。 （D ）若 1 n n a ∞ =∑绝对收敛，则 1 n n p ∞ =∑与 1n n q ∞ =∑的敛散性都不定。 3、设0,1,2 n a n >=，若 1n n a ∞ =∑发散， 1 1 (1) n n n a ∞ -=-∑收敛，则下列结论正确的是（ ）。 （A ） 21 1n N a ∞ -=∑收敛， 21 n n a ∞ =∑发散. （B ） 21n n a ∞ =∑收敛， 21 1 n n a ∞ -=∑发散. （C ） 21 21 ()n n n a a ∞ -=+∑收敛. （D ）2121 ()n n n a a ∞ -=-∑收敛. 4、设α 为常数，则级数 21 sin()( n n n α∞ =∑是（ ） （A ）绝对收敛. （B ）条件收敛. （C ）发散. （D ）收敛性与α取值有关. 5、级数 1 (1)(1cos )n n n α ∞ =--∑（常数0α）是（ ） （A ）发散. （B ）条件收敛. （C ） 绝对收敛. （D ）收敛性与α有关. 6 、设(1)ln(1)n n u =-+ ，则级数 （A ） 1 n n u ∞ =∑与 21 n n u ∞ =∑都收敛. （B ） 1 n n u ∞ =∑与 21 n n u ∞ =∑都发散. 研究考研数学典型例题 数学科目重视做题和理论应用，尤其是典型的题型，大家要研究好，且要灵活的运用，下面查字典数学网小编分享关于研究和用好典型例题的事儿，请小伙伴们注意啦。 一、面对一道典型例题，在做这道题以前你必须考虑，它该从哪个角度切入，为什么要从这个角度切入。 做题的过程中，必须考虑为什么要用这几个原理，而不用那几个原理，为什么要这样对这个式子进行化简，而不那样化简。做完之后，必须要回过头看一下，这个解题方法适合这个题的关键是什么，为什么偏偏这个方法在这道题上出现了最好的效果，有没有更好的解法……就这样从开始到最后，每一步都进行全方位的思考，那么这道题的价值就会得到充分的发掘。 二、学习数学，重在做题，熟能生巧。 对于数学的基本概念、公式、结论等也只有在反复练习中才能真正理解与巩固。数学试题虽然千变万化，其知识结构却基本相同，题型也相对固定，往往存在一定的解题套路，熟练掌握后既能提高正确率，又能提高解题速度。此外，还要初步进行解答综合题的训练。数学考研题的重要特征之一就是综合性强、知识覆盖面广，近几年来较为新颖的综合题愈来愈多。这类试题一般比较灵活，难度也要大一些，应逐步进行训练，积累解题经验。这也有利于进一步理解并彻底 弄清楚知识点的纵向与横向联系，转化为自己真正掌握了的东西，能够在理解的基础上灵活运用、触类旁通。 三、同时要善于思考，归纳解题思路与方法。 一个题目有条件，有结论，当你看见条件和结论想起了什么?这就是思路。思路有些许偏差，解题过程便千差万别。考研数学复习光靠做题也是不够的，更重要的是应该通过做题，归纳总结出一些解题的方法和技巧。考生要在做题时巩固基础，在更高层次上把握和运用知识点。对数学习题最好能形成自己熟悉的解题体系，也就是对各种题型都能找到相应的解题思路，从而在最后的实考中面对陌生的试题时能把握主动。 基础的重要性已不言而喻，但是只注重基础，也是不行的。太注重基础，就会拘泥于书本，难以适应考研试题。打好基础的目的就是为了提高。但太重提高就会基础不牢，导致头重脚轻，力不从心。考生要明白基础与提高的辩证关系，根据自身情况合理安排复习进度，处理好打基础和提高能力两者的关系。一般来说，基础与提高是交插和分段进行的，在一个时期的某一个阶段以基础为主，基础扎实了，再行提高。然后又进入了另一个阶段，同样还要先扎实基础再提高水平，如此反复循环。考生在这个过程中容易遇到这样的问题，就是感觉自已经过基础复习或一段时间的提高后几乎不再 有所进步，甚至感到越学越退步，碰到这种情况，考生千万 定积分典型例题 例1 求21lim n n →∞L ． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111n n n =?的一个因子1 n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 21lim n n →∞L =1lim n n →∞+L =34 =?． 例2 0 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ? = 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 ? =2 2 tdt ππ- ? =2tdt =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 比较1 2 x e dx ?，2 1 2 x e dx ?，1 2 (1)x dx +?． 分析 对于定积分的大小比较，可以先算出定积分的值再比较大小，而在无法求出积分值时则只能利用定积分的性质通过比较被积函数之间的大小来确定积分值的大小． 解法1 在[1,2]上，有2 x x e e ≤．而令()(1)x f x e x =-+，则()1x f x e '=-．当0x >时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增，从而()(0)f x f >，可知在[1,2]上，有1x e x >+．又 1 22 1 ()()f x dx f x dx =-? ?，从而有2 111 2 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>>???． 解法2 在[1,2]上，有2 x x e e ≤．由泰勒中值定理2 12! x e e x x ξ=++得1x e x >+．注意到 1 2 2 1 ()()f x dx f x dx =-? ?．因此 2 1 11 2 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>>? ??． 例4 估计定积分2 2x x e dx -?的值． 分析 要估计定积分的值, 关键在于确定被积函数在积分区间上的最大值与最小值． 第十二章 无穷级数习题课资料 丁金扣 一、本章主要内容 常数项级数的概念与基本性质，正项级数审敛法，交错级数与莱布尼兹审敛法，绝对收敛与条件收敛。幂级数的运算与性质（逐项求导、逐项积分、和函数的连续性），泰勒级数，函数展开为幂级数及幂级数求和函数，周期函数的傅立叶级数及其收敛定理。 二、本章重点 用定义判别级数的收敛，P-级数、正项级数的审敛法，莱布尼兹型级数的审敛法，幂级数的收敛域与收敛半径，幂级数求和函数，函数的泰勒级数，傅立叶级数收敛定理。 三、本章难点 用定义判别级数的收敛，P-级数审敛法，幂级数求和函数，函数的泰勒级数，傅立叶级 数收敛定理。 四、例题选讲 例1：判别级数()2 1ln 1ln ln 1n n n n ∞ =??+ ???+∑的敛散性。 （用定义） 解：原式=()()2 2ln 1ln 11 ()ln ln 1ln ln(1)n n n n n n n n ∞ ∞==+-=-++∑∑ 级数的部分和1 11111ln 2ln3ln3ln 4ln ln(1)n S n n ??????=-+-++- ? ? ?+?????? 111ln 2ln(1)ln 2 n = -→+， ()n →∞ 所以原级数收敛，且收敛于 1 ln 2 。 例2：证明级数 2 cos cos(1) n n n n ∞ =-+∑收敛。（利用柯西审敛原理） 证明：1 cos cos(1) n p n p n m n m m S S m ++=+-+-= ∑ ()()()11cos 1cos 11 ()cos 111n p m n n n p m n m m n p +-=+++=--+- +++∑ 得1 111112 ()111n p n p n m n S S n m m n p n +-+=+-≤+-+=++++∑， 对任意的0ε>，取2N ε??=???? ，则当n N >时，对所有p N ∈，都有 n p n S S ε +-<， 定积分典型例题20例答案 例1 求33322 32 1lim (2)n n n n n →∞+++． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111n n n =?的一个因子1 n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 33322 32 1lim (2)n n n n n →∞+++=333 112 lim ()n n n n n n →∞++ +=1303 4 xdx =?． 例2 2 20 2x x dx -? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，2 20 2x x dx -?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故220 2x x dx -? = 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 2 2 2x x dx -? =2 2 2 1sin cos t tdt ππ- -? =2 2 21sin cos t tdt π -? =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 （1）若2 2 ()x t x f x e dt -=?，则()f x '=___；（2）若0 ()()x f x xf t dt =?，求()f x '=___． 分析 这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可 () () ()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?． 解 （1）()f x '=42 2x x xe e ---； （2） 由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()x f x x f t dt =?，则 可得 ()f x '=0()()x f t dt xf x +?． 例4 设()f x 连续，且31 ()x f t dt x -=?，则(26)f =_________． 解 对等式310 ()x f t dt x -=? 两边关于x 求导得 32(1)31f x x -?=， 无穷级数练习题 无穷级数习题 一、填空题 ,,nn1，1、设幂级数的收敛半径为3，则幂级数的收敛区间为。axnax(1),,,nnn0,n1, ,n2、幂级数的收敛域为。 (21)nx，,0n, ,n21n,R,3、幂级数的收敛半径。 x,nn(3)2,，n1, n,x4、幂级数的收敛域是。 ,，1n0n, 2n,(2)x,5、级数的收敛域为。 ,nn4n,1 n,(ln3)6、级数的和为。 ,n20n, ,1n1,7、。 n,(),2n1, 28、设函数fxxx(),，, 的傅里叶级数展开式为 (),,,,,x ,a0，，(cossin)，则其系数b的值为。 anxbnx,nn321n, ,,,,x0,,1,,2,9、设函数则其以为周期的傅里叶级数在点处的fx(),x,,,20,,,x1,，x,, 敛于。 ,110、级数的和。 ,nnn，，(1)(2)n1, 2n,(2)x,11、级数的收敛域为。 ,nn,4n,1 ,1,1)R,3参考答案:1、 2、 3、 4、 5、 (2,4),(1,1),(0,4), 21212,,46、 7、 8、 9、 10、 11、 (0,4)422ln3,3 二、选择题 1 ,,an2n1、设常数，而级数收敛，则级数是( )。 ,,0a(1),,,n21n1n,,,，n(A)发散 (B)条件收敛 (C)绝对收敛 (D)收敛与,有关 aa，aa,nnnn，，n,1.2，则下列命题中正确的是( )。 2、设q,p,nn22 ,,, (A)若条件收敛，则与都收敛。 apq,,,nnn,n1n1n1,, ,,, (B)若绝对收敛，则与都收敛。 apq,,,nnn,n1n1n1,, ,,, (C)若条件收敛，则与的敛散性都不一定。 apq,,,nnn,n1n1n1,, ,,, (D)若绝对收敛，则与的敛散性都不定。 apq,,,nnn,n1n1n1,, ,,n1,an,,0,1,23、设，若发散，收敛，则下列结论正确的是( )。 a(1),a,,nnnn1,n1, ,,,,(A)收敛，发散. (B)收敛，发散. aaaa,,,,21n2n2n21n,,N1,n1n1n1,,, ,, (C)收敛. (D)收敛. ()aa，()aa,,,212nn212nn,,n1n1,, ,sin()1n,4、设为常数，则级数,是( ) (),,2nnn1, (A)绝对收敛. (B)条件收敛. (C)发散. (D)收敛性与取值有关. , ,,n,05、级数(1)(1cos),,(常数)是( ) ,n1n, (A)发散. (B)条件收敛. (C) 绝对收敛. (D)收敛性与有关. , 1n6、设，则级数 u,,，(1)ln(1)nn 高等数学(数二> 一.重点知识标记 高等数学 科目大纲章节知识点题型重要度等级 高等数学 第一章函数、极限、连续 1 .等价无穷小代换、洛必达法则、泰勒展开式求函数的极限★★★★★ 2 .函数连续的概念、函数间断点的类型 3 .判断函数连续性与间断点的类型★★★ 第二章一元函数微分学 1 .导数的定义、可导与连续之间的关系 按定义求一点处的导数，可导与连续的关系★★★★ 2 .函数的单调性、函数的极值讨论函数的单调性、极值★★★★ 3.闭区间上连续函数的性质、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理微分中值定理及其应用★★★★★ 第三章一元函数积分学 1 .积分上限的函数及其导数变限积分求导问题★★★★★ 2 .有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的积分 计算被积函数为有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的不定积分和定积分★★ 第四章多元函数微分学 1 .隐函数、偏导数、的存在性以及它们之间的因果关系 2 .函数在一点处极限的存在性，连续性，偏导数的存在性，全微分存在性与偏导数的连 续性的讨论与它们之间的因果关系★★ 3 .多元复合函数、隐函数的求导法求偏导数，全微分★★★★★ 第五章多元函数积分学 1. 二重积分的概念、性质及计算 2.二重积分的计算及应用★★ 第六章常微分方程 1.一阶线性微分方程、齐次方程， 2.微分方程的简单应用，用微分方程解决一些应用问题★★★★ 一、函数、极限、连续部分： 极限的运算法则、极限存在的准则(单调有界准则和夹逼准则>、未定式的极限、主要的等价无穷小、函数间断点的判断以及分类，还有闭区间上连续函数的性质(尤其是介值定理>，这些知识点在历年真题中出现的概率比较高，属于重点内容，但是很基础，不是难点，因此这部分内容一定不要丢分。 二、微分学部分： 主要是一元函数微分学和多元函数微分学，其中一元函数微分学是基础亦是重点。 一元函数微分学，主要掌握连续性、可导性、可微性三者的关系，另外要掌握各种函数求导的方法，尤其是复合函数、隐函数求导。微分中值定理也是重点掌握的内容，这一部分可以出各种各样构造辅助函数的证明，包括等式和不等式的证明，这种类型题目的技巧性比较强，应多加练习。函数的凹凸性、拐点及渐近线，也是一个重点内容，在近几年考研中常出现。 多元函数微分学，掌握连续性、偏导性、可微性三者之间的关系，重点掌握各种函数求偏导的方法。多元函数的应用也是重点，主要是条件极值和最值问题。 三、积分学部分： 一元函数积分学 一个重点是不定积分与定积分的计算。在计算过程中，会用到不定积分/定积分的基本性质、换元积分法、分部积分法。其中，换元积分法是重点，会涉及到三角函数换元、倒代换，如何准确地进行换元从而得到最终答案，却是需要下一番工夫的。定积分的应用同样是重点，常考的是面积、体积的求解，多练掌握解题技巧。对于定积分在物理上的应用(数二有要求>，如功、引力、压力、质心、形心等，近几年考试基本都没有涉及，考生只要记住求解公式即可。 多元函数积分学的一个重点是二重积分的计算，其中要用到二重积分的性质，以及直角坐标与极坐标的相互转化。这部分内容，每年都会考到，考生要引起重视，需要明白的是，二重积分并不是难点。 四、微分方程： 这里有两个重点：一阶线性微分方程。二阶常系数齐次/非齐次线性微分方程。 线性 第一章行列式 1.行列式的运算 2.计算抽象矩阵的行列式★★★ 第二章矩阵 1. 矩阵的运算 2. 求矩阵高次幂等★★★ 3. 矩阵的初等变换、初等矩阵与初等变换有关的命题★★★★★ 第三章向量 1. 向量组的线性相关及无关的有关性质及判别法 2. 向量组的线性相关性★★★★★ 3. 线性组合与线性表示判定向量能否由向量组线性表示★★★★ 第十一章 无穷级数 (A) 用定义判断下列级数的敛散性 1 ． n 2n 1 ； ． 1 ；3． 1 1 。 2 n 1 2n 2n2 n 1 3 n 5 n n 1 判断下列正项级数的敛散性 ． n! ；5． n e ； 6． n 1 ；7． 2n 3 ；8． n 4 ； 4 n 1 e n 1 2n n 1 n n 3 n 1 n! n 1 100 n n n n n 1 n 9． ；10． 3n n 1 2n 。 n 1 1 求下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛 ． 1 n 1 n 1 ； 12． 1 n 1 ； 13．1.1 1.01 1.001 1.0001； 11 2 n ln n n 1 n 2 14． 1 22 2 3 1 4 1 ； 2 1 3 2 4 2 求下列幂级数的收敛半径和收敛区间 ． 3n x n ；16． 1 n x n ； 17． n! x n ； ． 1 n ； 15 n n 18 n 1 2n n 1 n 1 n n 1 n 1 19． 1 2n 1 ； 20． n 2 n ； 1 2 n 1 x n 1 3 n x n 求下列级数的和函数 21． n 1 nx n 1 ； 22． n 1 2 1 n 1 x 2n 1 ； 将下列函数展开成 x x 0 的幂的级数 23． shx e x e x ， x 0 0 ；24． cos 2 x ， x 0 0 ； 2 25． 1 x ln 1 x ， x 0 0 ； 26． 1 ， x 0 3 ； x 将下列函数在区间 , 上展开为付里叶级数 27． A x cos x ， x 。28． f x 2t ， x 2 2006年考研数学类似题目分析如下 2006年考研数学类似题目分析如下： 附1： 2006年考题与2005年《新东方高等数学冲刺班讲义》（即：《全国巡讲讲义》）类似题目 （以数一和数二为例，更详细的真题解答请查看新东方网站“考研数学栏目”） －汪诚义（北京新东方学校） （1）数学一（17）：将函数()2 2x f x x x =+-展开成x 的幂级数。 与P60例1非常相似：()2 1 2 f x x x =--按()1x -展成幂级数。 （2）数学一（16）：设数列{}n x 满足()110,sin 1,2,...n x x x n ππ+<<== 。 求: (Ⅰ)证明lim n x x →∞存在，并求之 ；(Ⅱ)计算2 1 1lim n x n x n x x +→∞?? ??? 。 与P4“二、有关两个准则”中例1同类型： 设 1103,n x x +<<=,证明lim n n x →∞ 存在,并求其值。 (3) 数学一（19）：设在上半平面D=(){},0x y y >内,数(),f x y 是有连续偏导数，且对任意的t>0都有),(),(2y x f t ty tx f -=。 证明: 对L 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有 0),(),(=-?L dy y x xf dx y x yf 与P50例3基本上同一类型： 设函数()y ?具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上,曲线积分()2 4 22L y dx xydy x y ?++? 的值恒为同一常数。 内容要点 一， 概念与性质 （一） 概念由数列 u 1,u 2, ,u n , 构成的式子 称为无穷级数，简称为级数 . u n 称为级数的一般项， s n 级数的部分和 二）性质 3, 级数增减或改变有限项，不改变其敛散性 . 4, 若级数收敛，则任意加括号后所成的级数仍收敛 5（收敛的必要条件 ）, 若 u n 收敛，则 lim u n 0. n 1 n 注意：若 l n im u n 0.则 u n 必发散. 而若 u n 发散, n n n 1 n n 1 n lim u n 0. n （三） 两个常用级数 1, 等比级数 1, 若 u n 收敛，则 ku n 1 n 1 k u n . n1 2, 若 u n , v n 收敛，则 n1 n 1 u n v n1 u n1 v n . n1 n u i 称为 i1 如果 lim s n s , 则称级数 u n 收敛， s 称为该级数的 和 n1 . 此时记 u n n1 s . 否则称级数发散 则不一定 2, p 级数 二，正项级数敛散性判别法 （ 一 ） 比较判别法 设 u n , v n 均为正项级数，且 u n v n （n 1,2, ）, 则 n 1 n1 v n 收敛 u n 收敛； n1 n 1 u n 发散 v n 发散 n1 n 1 （ 二） 极限判别法 如果对 p 1, l n im n p u n l(0 l ), 则 n1u n 则收敛 . （ 三 ） 比值判别法 设 u n 为正项级数，若 n1 二， 交错级数收敛性判别法 莱布尼兹判别法：设 1n 1u n （u n 0）为交错级数，如果满足： n1 1, u n u n 1（n 1,2, ）2, lim u n n 则此交错级数收敛 . 三， 任意项级数与绝对收敛 （一） 绝对收敛如果 u n 收敛，则称 u n 绝对收敛 . n 1 n 1 二） 条件收敛如果 u n 收敛，但 u n 发散,则称 u n 条件收 n 1 n 1 n 1 敛. （三） 定理若级数绝对收敛，则该级数必收敛 . 函数项级数 一、主要内容 1、基本概念 函数列（函数项级数）的点收敛、一致收敛、内闭 如果 lim nu n l(0 l n ）,则 u n 发散； n1 第十二章 数项级数 1 讨论几何级数 ∑∞ =0n n q 的敛散性. 解 当1|| 4、 讨论级数∑ ∞ =-1352n n n 的敛散性. 解 5 2 , 5252352?>?=>-n S n n n n n →∞+, ) (∞→n . 级数发散. 5、 证明2-p 级数 ∑∞ =121 n n 收敛 . 证 显然满足收敛的必要条件.令 21 n u n = , 则当 2≥n 时,有 ∑∑==+++<+-=+-+<+=+++p k p k p n n n n p n n k n k n k n u u u 112 2 1 ,1 11) )(1(1 )(1 | | 注: 应用Cauchy 准则时，应设法把式 | ∑=+p k k n u 1 |不失真地放大成只含n 而不含p 的式子， 令其小于ε，确定N . 6、 判断级数∑∞ =1 1 s i n n n n 的敛散性. (验证 0→/n u . 级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要 条件) 7、 证明调和级数∑ ∞ =11n n 发散. 证法一 (用Cauchy 准则的否定进行验证) 证法二 (证明{n S }发散.利用不等式n n n ln 1 1 211 )1ln(+<+++ <+ . 即得+∞→n S ，) (∞→n . ) 注: 此例为0→n u 但级数发散的例子. 8、 考查级数 ∑∞ =+-1 2 11 n n n 的敛散性 . 解 有 , 2 11 012222n n n n n <+-?>+- 9、 判断级数 ()() +-+??-+??++????+??+)1(41951)1(32852951852515212n n 第一讲 数列的极限 一、内容提要 1.数列极限的定义 N n N a x n n >?N ∈?>??=∞ →,,0lim ε,有ε<-a x n . 注1 ε的双重性．一方面,正数ε具有绝对的任意性,这样才能有 {}n x 无限趋近于)(N n a x a n ><-?ε 另一方面,正数ε又具有相对的固定性,从而使不等式ε<-a x n .还表明数列{}n x 无限趋近于a 的渐近过程的不同程度,进而能估算{}n x 趋近于a 的近似程度． 注 2 若n n x ∞ →lim 存在,则对于每一个正数ε,总存在一正整数N 与之对应,但这种N 不是唯一 的，若N 满足定义中的要求，则取 ,2,1++N N ，作为定义中的新的一个N 也必须满足极限定义中的要求,故若存在一个N 则必存在无穷多个正整数可作为定义中的N ． 注3 a x n →)(∞→n 的几何意义是:对a 的预先给定的任意-ε邻域),(εa U ,在{}n x 中至多除去有限项,其余的无穷多项将全部进入),(εa U . 注4 N n N a x n n >?N ∈?>??≠∞ →00,, 0lim ε，有00ε≥-a x n . 2． 子列的定义 在数列{}n x 中,保持原来次序自左往右任意选取无穷多个项所得的数列称为{}n x 的子列，记为{} k n x ,其中k n 表示k n x 在原数列中的项数,k 表示它在子列中的项数. 注１ 对每一个k ,有k n k ≥． 注２ 对任意两个正整数k h ,，如果k h ≥，则k h n n ≥.反之，若k h n n ≤，则k h ≤. 注3 K k K a x k n n >?N ∈?>??=∞→,, 0lim ε，有ε<-a x k n ． 注４ ?=∞ →a x n n lim {}n x 的任一子列{} k n x 收敛于a . 3.数列有界 对数列{}n x ，若0>?M ,使得对N n >?，有M x n ≤，则称数列{}n x 为有界数列． 4.无穷大量 对数列{}n x ，如果0>?G ，N n N >?N ∈?, ,有G x n >，则称{}n x 为无穷大量，记 考研数学篇：典型题型归纳总结 近年来考研数学试题难度比较大，平均分比较低，而高等数学又是考研数学地重中之重，如何备考高等数学已经成为广大考生普遍关心地重要问题，要特别注意以下三个方面. 第一，按照大纲对数学基本概念、基本方法、基本定理准确把握(也即三基地重要性务必引起重视).数学是一门逻辑学科，靠侥幸押题是行不通地.只有对基本概念有深入理解，对基本定理和公式牢牢记住，才能找到解题地突破口和切入点.分析近几年考生地数学答卷可以发现，考生失分地一个重要原因就是对基本概念、定理理解不准确，数学中最基本地方法掌握不好，给解题带来思维上地困难.资料个人收集整理，勿做商业用途 第二，要加强解综合性试题和应用题能力地训练，力求在解题思路上有所突破.在解综合题时，迅速地找到解题地切入点是关键一步，为此需要熟悉规范地解题思路，考生应能够看出面前地题目与他曾经见到过地题目地内在联系.为此必须在复习备考时对所学知识进行重组，搞清有关知识地纵向与横向联系，转化为自己真正掌握地东西.解应用题地一般步骤都是认真理解题意，建立相关数学模型，如微分方程、函数关系、条件极值等，将其化为某数学问题求解.建立数学模型时，一般要用到几何知识、物理力学知识和经济学术语等.资料个人收集整理，勿做商业用途 第三，重视历年试题地强化训练.统计表明，每年地研究生入学考试高等数学内容较之前几年都有较大地重复率，近年试题与往年考题雷同地占左右，这些考题或者改变某一数字，或改变一种说法，但解题地思路和所用到地知识点几乎一样.通过对考研地试题类型、特点、思路进行系统地归纳总结，并做一定数量习题，有意识地重点解决解题思路问题.对于那些具有很强地典型性、灵活性、启发性和综合性地题，要特别注重解题思路和技巧地培养.尽管试题千变万化，其知识结构基本相同，题型相对固定.提练题型地目地，是为了提高解题地针对性，形成思维定势，进而提高考生解题地速度和准确性.资料个人收集整理，勿做商业用途 下面以数学一为主总结一下高数各部分常见题型. 一、函数、极限与连续 求分段函数地复合函数;求极限或已知极限确定原式中地常数;讨论函数地连续性，判断间断点地类型;无穷小阶地比较;讨论连续函数在给定区间上零点地个数，或确定方程在给定区间上有无实根.资料个人收集整理，勿做商业用途 二、一元函数微分学 求给定函数地导数与微分(包括高阶导数)，隐函数和由参数方程所确定地函数求导，特别是分段函数和带有绝对值地函数可导性地讨论;利用洛比达法则求不定式极限;讨论函数极值，方程地根，证明函数不等式;利用罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理证明有关命题，如“证明在开区间内至少存在一点满足......”，此类问题证明经常需要构造辅助函数;几何、物理、经济等方面地最大值、最小值应用问题，解这类问题，主要是确定目标函数和约束条件，判定所讨论区间;利用导数研究函数性态和描绘函数图形，求曲线渐近线. 资料个人收集整理，勿做商业用途 三、一元函数积分学 计算题：计算不定积分、定积分及广义积分;关于变上限积分地题：如求导、求极限等;有关积分中值定理和积分性质地证明题;定积分应用题：计算面积，旋转体体积，平面曲线弧长，旋转面面积，压力，引力，变力作功等;综合性试题.(注;高数中解答题地最后一步往往是求解一个积分，故积分地各种求解方法务必熟练再熟练!)资料个人收集整理，勿做商业用途 四、向量代数和空间解析几何 计算题：求向量地数量积，向量积及混合积;求直线方程，平面方程;判定平面与直线间 无穷级数习题 一、填空题 1、设幂级数 n n n a x ∞ =∑的收敛半径为3，则幂级数 1 1 (1) n n n na x ∞ +=-∑的收敛区间为 。 2、幂级数 0(21)n n n x ∞ =+∑的收敛域为 。 3、幂级数 21 1(3) 2 n n n n n x ∞ -=-+∑的收敛半径R = 。 4 、幂级数 n n ∞ =的收敛域是 。 5、级数21(2)4n n n x n ∞ =-∑的收敛域为 。 6、级数0 (ln 3)2n n n ∞ =∑的和为 。 7、 1 1 1()2n n n ∞ -==∑ 。 8、设函数2 ()f x x x π=+ ()x ππ-<<的傅里叶级数展开式为 01 (cos sin )2 n n n a a nx b nx ∞ =++∑，则其系数3b 的值为 。 9、设函数2 1, ()1,f x x -?=?+? 0,0, x x ππ-<≤<≤ 则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处的敛于 。 10、级数 1 1 (1)(2)n n n n ∞ =++∑的和 。 11、级数21 (2)4n n n x n ∞ =-?∑的收敛域为 。 参考答案：1、(2,4)- 2、(1,1)- 3 、R = 4、[1,1)- 5、(0,4) 6、 22ln 3- 7、4 8、23π 9、2 12 π 10、14 11、(0,4) 二、选择题 1、设常数0λ>，而级数 21 n n a ∞=∑ 收敛，则级数1 (1)n n ∞ =-∑是（ ）。 （A ）发散 （B ）条件收敛 （C ）绝对收敛 （D ）收敛与λ有关 2、设2n n n a a p += ，2 n n n a a q -=， 1.2n =，则下列命题中正确的是（ ）。 （A ）若 1n n a ∞ =∑条件收敛，则 1n n p ∞ =∑与 1n n q ∞ =∑都收敛。 （B ）若 1n n a ∞ =∑绝对收敛，则 1n n p ∞ =∑与 1n n q ∞ =∑都收敛。 （C ）若 1n n a ∞ =∑条件收敛，则 1n n p ∞ =∑与 1n n q ∞ =∑的敛散性都不一定。 （D ）若 1 n n a ∞ =∑绝对收敛，则 1n n p ∞ =∑与 1n n q ∞ =∑的敛散性都不定。 3、设0,1,2 n a n >=，若 1n n a ∞ =∑发散， 1 1 (1) n n n a ∞ -=-∑收敛，则下列结论正确的是（ ）。 （A ） 21 1n N a ∞ -=∑收敛， 21 n n a ∞ =∑发散. （B ） 21n n a ∞ =∑收敛， 21 1 n n a ∞ -=∑发散. （C ） 21 21 ()n n n a a ∞ -=+∑收敛. （D ）2121 ()n n n a a ∞ -=-∑收敛. 4、设α 为常数，则级数 21 sin()( n n n α∞ =∑是（ ） （A ）绝对收敛. （B ）条件收敛. （C ）发散. （D ）收敛性与α取值有关. 5、级数 1 (1)(1cos )n n n α ∞ =--∑（常数0α）是（ ） （A ）发散. （B ）条件收敛. （C ） 绝对收敛. （D ）收敛性与α有关. 6 、设(1)ln(1)n n u =-+ ，则级数 （A ） 1n n u ∞ =∑与 21 n n u ∞ =∑都收敛. （B ） 1n n u ∞ =∑与 21 n n u ∞ =∑都发散. （C ） 1 n n u ∞ =∑收敛而 20 n n u ∞ =∑发散. （D ） 1 n n u ∞ =∑发散而 21 n n u ∞ =∑收敛.考研数学二真题答案解析
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q 时, , =n S 级数发散 ; 当1=q 时, +∞→+=1n S n , ) (∞→n , 级数发散 ; 当1-=q 时, () n n S )1(12 1 -+= , ) (∞→n , 级数发散 . 综上, 几何级数 ∑∞ =0 n n q 当且仅当 1||
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