不等式的证明(一）
教学目标
（1）理解证明不等式的三种方法：比较法、综合法和分析法的意义；
（2）掌握用比较法、综合法和分析法来证简单的不等式；
（3）能灵活根据题目选择适当地证明方法来证不等式；
（4）能用不等式证明的方法解决一些实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力；
（6）通过不等式证明，培养学生逻辑推理论证的能力和抽象思维能力；
（7）通过组织学生对不等式证明方法的意义和应用的参与，培养学生勤于思考、善于思考的良好学习习
惯．教学建议
（一）教材分析
1．知识结构
2．重点、难点分析
重点：不等式证明的主要方法的意义和应用；
难点：①理解分析法与综合法在推理方向上是相反的；
②综合性问题选择适当的证明方法．
（1）不等式证明的意义
不等式的证明是要证明对于满足条件的所有数都成立（或都不成立），而并非是带入具体的数值去验证式子是否成立．
（2）比较法证明不等式的分析
①在证明不等式的各种方法中，比较法是最基本、最重要的方法．
②证明不等式的比较法，有求差比较法和求商比较法两种途径．
由于，因此，证明，可转化为证明与之等价的．这种证法就是求差比较法．
由于当时，，因此，证明可以转化为证明与之等价的．这种证法就是求商比较法，使用求商比较法证明不等式时，一定要注意的前提条件．
③求差比较法的基本步骤是：“作差——变形——断号”．
其中，作差是依据，变形是手段，判断符号才是目的．
变形的目的全在于判断差的符号，而不必考虑差值是多少．
变形的方法一般有配方法、通分的方法和因式分解的方法等，为此，有时把差变形为一个常数，或者变形
为一个常数与一个或几个数的平方和的形式．或者变形
为一个分式，或者变形为几个因式的积的形式等．总之．能够判断出差的符号是正或负即可．
④作商比较法的基本步骤是：“作商——变形——
判断商式与1的大小关系”，需要注意的是，作商比较
法一般用于不等号两侧的式子同号的不等式的证明．（3）综合法证明不等式的分析
①利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质推
倒出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综
合法．
②综合法的思路是“由因导果”：从已知的不等式
出发，通过一系列的推出变换，推倒出求证的不等式．
③综合法证明不等式的逻辑关系是：
…．
（已知）（逐步推演不等式成立的必要条件）（结论）
④利用综合法由因导果证明不等式，就要揭示出条
件与结论之间的因果关系，为此要着力分析已知与求证
之间的差异和联系、不等式左右两端的差异和联系，在
分析所证不等式左右两端的差异后，合理应用已知条件，进行有效的变换是证明不等式的关键．
（4）分析法证明不等式的分析
①从求证的不等式出发，逐步寻求使不等式成立的
充分条件，直至所需条件被确认成立，就断定求证的不
等式成立，这种证明方法就是分析法．
有时，我们也可以首先假定所要证明的不等式成立，逐步推出一个已知成立的不等式，只要这个推出过程中
的每一步都是可以逆推的，那么就可以断定所给的不等
式成立．这也是用分析法，注意应强调“以上每一步都
可逆”，并说出可逆的根据．
②分析法的思路是“执果导因”：从求证的不等式
出发，探索使结论成立的充分条件直至已成立的不等式．它与综合法是对立统一的两种方法．
③用分析法证明不等式的逻辑关系是：
…．
（已知）（逐步推演不等式成立的必要条件）（结论）
④分析法是教学中的一个难点，一是难在初学时不
易理解它的本质是从结论分析出使结论成立的“充分”
条件，二是不易正确使用连接有关（分析推理）步骤的关键词．如“为了证明”“只需证明”“即”以及“假定……成立”等．
⑤分析法是证明不等式时一种常用的基本方法．当
证明不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决．特别对于条件简单而结论复杂的题目往往更是行之
有效．
（5）关于分析法与综合法
①分析法与综合法是思维方向相反的两种思考方法．
②在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或
需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的
已知条件．即推理方向是：结论已知．
综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的
逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题．即：已知结论．
③分析法的特点是：从“结论”探求“需知”，逐
步靠拢“已知”，其逐步推理实际上是要寻找结论的充
分条件．
综合法的特点是：从“已知”推出“可知”，逐步
推向“未知”，其逐步推理实际上是要寻找已知的必要
条件．
④各有其优缺点：
从寻求解题思路来看：分析法是执果索因，利于思考，方向明确，思路自然，有希望成功；综合法由因导果，往往枝节横生，不容易达到所要证明的结论．从书写表达过程而论：分析法叙述繁锁，文辞冗长；综合法形式简洁，条理清晰．
也就是说，分析法利于思考，综合法宜于表达．
⑤一般来说，对于较复杂的不等式，直接运用综合
法往往不易入手，用分析法来书写又比较麻烦．因此，
通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，
所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的．
（二）教法建议
①选择例题和习题要注意层次性．
不等式证明的三种方法主要是通过例题来说明
的．教师在教学中要注意例题安排要由易到难，由简单
到综合，层层深入，启发学生理解各种证法的意义和逻
辑关系．教师选择的训练题也要与所讲解的例题的难易
程度的层次相当．
要坚持精讲精练的原则．通过一题多法和多变挖掘
各种方法的内在联系，对知识进行拓展、延伸，使学生
沟通知识，有效地提高解题能力．
②在教学过程（）中，应通过精心设置的一个个问题，激发学生的求知欲，调动学生在课堂活动中积极参与．通过学生参与教学活动，理解不等式证明方法的实
质和几种证明方法的意义，通过训练积累经验，能够总
结出比较法的实质是把实数的大小顺序通过实数运算变
成一个数与0(或1)比较大小；复杂的习题能够利用综合法发展条件向结论方向转化，利用分析法能够把结论向
条件靠拢，最终达到结合点，从而解决问题．
③学生素质较好的，教师可在教学中适当增加反证
法和用函数单调性来证明不等式的内容，但内容不易过
多过难．
第一课时
教学目标
1．掌握证明不等式的方法——比较法；
2．熟悉并掌握比较法证明不等式的意义及基本步骤．教学重点比较法的意义和基本步骤.
教学难点常见的变形技巧.
教学方法启发引导式.
教学过程（
（－）导入新课
（教师活动）教师提问：根据前一节学过的知识，我们如何用实数运算来比较两个实数与的大小？．
（学生活动）学生思考问题，找学生甲口答问题．
（学生甲回答：，，，）
［点评］（待学生回答问题后）要比较两个实数与的大小，只要考察与的差值的符号就可以了，这种证明不
等式的方法称为比较法．现在我们就来学习：用比较法
证明不等式．（板书课题）
设计意图：通过教师设置问题，引导学生回忆所学
的知识，引出用比较法证明不等式，导入本节课学习的
知识．
（二）新课讲授
【尝试探索，建立新知】
（教师活动）教师板书问题（证明不等式），写出一道例题的题目
[问题]求证
教师引导学生分析、思考，研究不等式的证明．
（学生活动）学生研究证明不等式，尝试完成问题．（得出证明过程后）
［点评］
①通过确定差的符号，证明不等式的成立．这一方法，在前面比较两个实数的大小、比较式子的大小、证明不等式性质就已经用过．
②通过求差将不等问题转化为恒等问题，将两个一般式子大小比较转化为一个一般式子与0的大小比较，使问题简化．
③理论依据是：
④由，，知：要证明只要证；要证明这种证明不等式的方法通常叫做比较法．
设计意图：帮助学生构建用比较法证明不等式的知识体系，培养学生化归的数学思想．
【例题示范，学会应用】
（教师活动）教师板书例题，引导学生研究问题，构
思证题方法，学会解题过程中的一些常用技巧，并点评．例1求证
（学生活动）学生在教师引导下，研究问题．与教师一道完成问题的论证．
［分析］由比较法证题的方法，先将不等式两边作差，得，将此式看作关于的二次函数，由配方法易知函数的
最小值大干零，从而使问题获证．
证明：∵
＝
＝，
∴．
［点评］
①作差后是通过配方法对差式进行恒等变形，确定
差的符号．
②作差后，式于符号不易确定，配方后变形为一个
完全平方式子与一个常数和的形式，使差式的符号易于
确定．
③不等式两边的差的符号是正是负，一般需要利用
不等式的性质经过变形后，才能判断．
变形的目的全在于判断差的符号，而不必考虑差的
值是多少．至于怎样变形，要灵活处理，例1介绍了变
形的一种常用方法——配方法．
例2已知都是正数，并且，求证：
［分析］这是分式不等式的证明题，依比较法证题将其作差，确定差的符号，应通分，由分子、分母的值的符号推出差值的符合，从而得证．
证明：
＝
＝．
因为都是正数，且，所以
．
∴．
即：
[点评]
①作差后是通过通分法对差式进行恒等变形，由分子、分母的值的符号推出差的符号．
②本例题介绍了对差变形，确定差值的符号的一种常用方法——通分法．
③例2的结论反映了分式的一个性质（若都是正数． 1．当时，
2．当时，．以后要记住．
设计意图：巩固用比较法证明不等式的知识，学会在用比较法证明不等式中，对差式变形的常用方法——配方法、通分法．
【课堂练习】
（教师活动）打出字幕（练习），要求学生独立思考．完成练习；请甲、乙两学生板演；巡视学生的解题
情况，对正确的证法给予肯定和鼓励，对偏差点拨和纠正；点评练习中存在的问题．
[字幕]
练习：1．求证
2．已知，，，
都是正数，且，求证
（学生活动）在笔记本上完成练习，甲、乙两位同学板演．
设计意图，掌握用比较法证明不等式，并会灵活运
用配方法和通分法变形差式，确定差式符号．反馈课堂
教学效果，调节课堂教学．
【分析归纳、小结解法】
（教学活动）分析归纳例题和练习的解题过程，小结用比较法证明不等式的解题方法．
（学生活动）与教师一道分析归纳，小结解题方法，并记录笔记．
比较法是证明不等式的一种最基本、重要的方
法．用比较法证明不等式的步骤是：作差、变形、判断
符号．要灵活掌握配方法和通分法对差式进行恒等变形．
设计意图：培养学生分析归纳问题的能力，掌握用
比较法证明不等式的方法．
（三）小结
（教师活动）教师小结本节课所学的知识．
（学生活动）与教师一道小结，并记录笔记．
本节课学习了用比较法证明不等式，用比较法证明
不等式的步骤中，作差是依据，变形是手段，判断符号
才是目的．掌握求差后对差式变形的常用方法：配方法
和通分法．并在下节课继续学习对差式变形的常用方法．设计意图：培养学生对所学知识进行概括归纳的能力，巩固所学知识．
（四）布置作业
1．课本作业：P16．1，2，3．
2．思考题：已知，求证：
3．研究性题：设，，都是正数，且，求证：
设计意图，课本作业供学生巩固基础知识；思考题供学
有余力的学生完成，培养其灵活掌握用比较法证明不等
式的能力；研究性题是为培养学生创新意识．
（五）课后点评
1．本节课是用比较法证明不等式的第一节课，在导入新课时，教师提出问题，让学生回忆所学知识中，是
如何比较两个实数大小的，从而引入用比较法证明不等
式．这样处理合情合理，顺理成章．
2．在建立新知过程中，教师引导学生分析研究证明不等式，使学生在尝试探索过程中形成用比较法证明不等式的感性认识．
3．例1，例2两道题主要目的在于让学生归纲、总结，求差后对差式变形、并判断符号的方法，以及求差比较法的步骤．在这里如何对差式变形是难点，应着重解决．首先让学生明确变形目的，减少变形的盲目性；其次是总结变形时常用方法，有利于难点的突破．
4．本节课采用启发引导，讲练结合的授课方式，发挥教师主导作用，体现学生主体地位，学生获取知识必须通过学生自己一系列思维活动完成．教师通过启发诱导学生深入思考问题，培养学生思维灵活、严谨、深刻等良好思维品质．
作业答实
思考题：，又，获证．
研究性题：
．
所以，
第 11 课时：§3.4.1 基本不等式的证明（2） 【三维目标】： 一、知识与技能 1.进一步掌握基本不等式； 2.学会推导并掌握均值不等式定理； 3.会运用基本不等式求某些函数的最值，求最值时注意一正二定三相等。 4.使学生能够运用均值不等式定理来讨论函数的最大值和最小值问题；基本不等式在证明题和求最值方面的应用。 二、过程与方法 2 a b +，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。 三、情感、态度与价值观 引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。 【教学重点与难点】： 重点：均值不等式定理的证明及应用。 难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧。 【学法与教学用具】： 1. 学法： 2. 教学用具：多媒体、实物投影仪. 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】： 一、创设情景，揭示课题 1．重要不等式：如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 2．基本不等式：如果a ,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab b a 我们称b a b a ,2 为+的算术平均数，称b a ab ,为的几何平均数，ab b a a b b a ≥+≥+2222和成立的条件是不同的：前者 只要求a ,b 都是实数，而后者要求a ,b 都是正数。 二、研探新知 最值定理：已知y x ,都是正数， ①如果积xy 是定值p ，那么当y x =时，和y x +有最小值p 2；②如果和y x +是定值s ，那么当y x =时，积xy 有最大值 241s ． 证明：∵+∈R y x ,， ∴xy y x ≥+2 ，
5.3、不等式典型例题之基本不等式的证明——（6例题） 雪慕冰 一、知识导学 1.比较法：比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法). (1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“ａ-ｂ≥0ａ≥ｂ；ａ-ｂ≤0ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体；②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段；③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论.应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法. (2)商值比较法的理论依据是：“若ａ，ｂ∈R + ，ａ/ｂ≥1ａ≥ｂ；ａ/ｂ≤1ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作商：将左右两端作商；②变形：化简商式到最简形式；③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1.应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法. 2.综合法：利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”.即从已知Ａ逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论Ｂ. 3.分析法：是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”.用分析法证明书写的模式是：为了证明命题Ｂ成立，只需证明命题Ｂ1为真，从而有…，这只需证明Ｂ2为真，从而又有…，……这只需证明Ａ为真，而已知Ａ为真，故Ｂ必为真.这种证题模式告诉我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件. 4.反证法：有些不等式的证明，从正面证不好说清楚，可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式Ａ>Ｂ，先假设Ａ≤Ｂ，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定Ａ>Ｂ.凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法. 5.换元法：换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新????
课 题：不等式的证明（4） 教学目的： 1． 掌握换元法法证明不等式； 2．理解换元法实质； 3．提高证明不等式证法灵活性 教学重点：三角换元和代数换元 教学难点： 三角换元 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1．重要不等式： 如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 2．定理：如果a,b 是正数，那么).""(2 号时取当且仅当==≥+b a ab b a 3：ab ≤222b a +，ab ≤（2 b a +）2 4． b a a b +≥2（ab ＞0），当且仅当a ＝b 时取“＝”号； 5．定理：如果+∈R c b a ,,，那么abc c b a 3333≥++（当且仅当c b a ==时 取“=”） 6．推论：如果+∈R c b a ,,，那么 33abc c b a ≥++ （当且仅当c b a ==时取“=”） 7．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论 比较法之二（作商法）步骤：作商——变形——判断与1的关系——结论 8．综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫做综合法 用综合法证明不等式的逻辑关系是：12n A B B B B ????? 综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法 分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式
成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法叫做分析法 用分析法证明不等式的逻辑关系是：12n B B B B A ??? ?? 分析法的思维特点是：执果索因 分析法的书写格式： 要证明命题B 为真， 只需要证明命题1B 为真，从而有…… 这只需要证明命题2B 为真，从而又有…… …… 这只需要证明命题A 为真 而已知A 为真，故命题B 必为真 二、讲解新课： 1 若0≤x ≤1，则可令x = sin θ (20π≤ θ≤)或x = sin 2θ (22π≤θ≤π-) 若122=+y x ，则可令x = cos θ , y = sin θ (π≤θ≤20) 若12 2=-y x ，则可令x = sec θ, y = t a n θ (π≤θ≤20) 若x ≥1，则可令x = sec θ (2 0π< θ≤) 若x ∈R ，则可令x = t a n θ (22π<θ<π-) 2 “整体换元”,“均值换元”,“设差换元”的方法 三、讲解范例： 例1 求证：2 11212≤-≤-x x 证一：（综合法） ∵212)1()1(1|||1|2222222=?? ????-+≤-=-=-x x x x x x x x 即 21|1|2≤-x x ∴2 11212≤-≤-x x 证二：（换元法） ∵11≤≤-x ∴令 x = cos θ , θ∈[0, π]
证明不等式的基本方法 导学目标：1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式． [自主梳理] 1.三个正数的算术—几何平均不等式：如果a ，b ，c>0，那么_________________________，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 2.基本不等式(基本不等式的推广)：对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1·a 2·…·a n ，当且仅当__________________时等号成立． 3.证明不等式的常用五种方法 (1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小． (2)综合法：从已知条件出发，利用定义、______、______、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫综合法．也叫顺推证法或由因导果法． (3)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的________条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义 、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立为止，这种证明方法叫分析法．也叫逆推证法或执果索因法． (4)反证法 ①反证法的定义 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法． ②反证法的特点 先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾． (5)放缩法 ①定义：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值________或________，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法． ②思路：分析观察证明式的特点，适当放大或缩小是证题关键． 题型一 用比差法与比商法证明不等式 1.设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则s 与t 的大小关系是( A ) ≥t >t ≤t
第20炼 一元不等式的证明 利用函数性质与最值证明一元不等式是导数综合题常涉及的一类问题，考察学生构造函数选择函数的能力，体现了函数最值的一个作用——每一个函数的最值带来一个恒成立的不等式。此外所证明的不等式也有可能对后一问的解决提供帮助，处于承上启下的位置。 一、基础知识： 1、证明方法的理论基础 （1）若要证()f x C <(C 为常数）恒成立，则只需证明：()max f x C <，进而将不等式的证明转化为求函数的最值 （2）已知()(),f x g x 的公共定义域为D ，若()()min max f x g x >，则()(),x D f x g x ?∈> 证明：对任意的1x D ∈，有()()()()11min max ,f x f x g x g x ≥≤ ∴由不等式的传递性可得：()()()()11min max f x f x g x g x ≥>>，即()(),x D f x g x ?∈> 2、证明一元不等式主要的方法有两个： 第一个方法是将含x 的项或所有项均挪至不等号的一侧，将一侧的解析式构造为函数，通过分析函数的单调性得到最值，从而进行证明，其优点在于目的明确，构造方法简单，但对于移项后较复杂的解析式则很难分析出单调性 第二个方法是利用不等式性质对所证不等式进行等价变形，转化成为()()f x g x >的形式，若能证明()()min max f x g x >，即可得：()()f x g x >，本方法的优点在于对x 的项进行分割变形，可将较复杂的解析式拆成两个简单的解析式。但缺点是局限性较强，如果 ()min f x 与()max g x 不满足()()min max f x g x >，则无法证明()()f x g x >。所以用此类方 法解题的情况不多，但是在第一个方法失效的时候可以考虑尝试此法。 3、在构造函数时把握一个原则：以能够分析导函数的符号为准则。 4、若在证明()0f x >中，解析式()f x 可分解为几个因式的乘积，则可对每个因式的符号进行讨论，进而简化所构造函数的复杂度。 5、合理的利用换元简化所分析的解析式。 6、判断解析式符号的方法： （1）对解析式进行因式分解，将复杂的式子拆分为一个个简单的式子，判断出每个式子的符号即可得到解析式的符号
重要不等式及其应用教案 教学目的 (1)使学生掌握基本不等式a2＋b2≥2ab(a、b∈R，当且仅当a=b时取“=”号)和a3＋b3＋c3≥3abc(a、b、c∈R+，当且仅当a=b=c时取“=”号)及其推论，并能应用它们证明一些不等式． (2)通过对定理及其推论的证明与应用，培养学生运用综合法进行推理的能力． 教学过程 一、引入新课 师：上节课我们学过证明不等式的哪一种方法？它的理论依据是什么？ 生：求差比较法，即 师：由于不等式复杂多样，仅有比较法是不够的．我们还需要学习一些有关不等式的定理及证明不等式的方法． 如果a、b∈R，那么(a－b)2属于什么数集？为什么？ 生：当a≠b时，(a－b)2＞0，当a=b时，(a－b)2=0，所以(a－b)2≥0．即(a－b)2∈ R+∪{0}． 师：下面我们根据(a－b)2∈R+∪{0}这一性质，来推导一些重要的不等式，同时学习一些证明不等式的方法．
二、推导公式 1．奠基 师：如果a、b∈R，那么有 (a－b)2≥0． ①把①左边展开，得 a2－2ab＋b2≥0， ∴a2＋b2≥2ab． ② ②式表明两个实数的平方和不小于它们的积的2倍．这就是课本中介绍的定理1，它是一个很重要的绝对不等式，对任何两实数a、b 都成立．由于取“=”号这种特殊情况，在以后有广泛的应用，因此通常要指出“=”号成立的充要条件．②式中取等号的充要条件是什么呢？ 师：充要条件通常用“当且仅当”来表达．“当”表示条件是充分的，“仅当”表示条件是必要的．所以②式可表述为：如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号)． 以公式①为基础，运用不等式的性质推导公式②，这种由已知推出未知(或要求证的不等式)的证明方法通常叫做综合法．以公式②为基础，用综合法可以推出更多的不等式．现在让我们共同来探索． 2．探索 师：公式②反映了两个实数平方和的性质，下面我们研究两个以上的实数的平方和，探索可能得到的结果．先考查三个实数．设a、b、c∈R，依次对其中的两个运用公式②，有 a2＋b2≥2ab；
教案7 不等式证明 一、课前检测 1．若0>x ，则x x 432+ +的最小值是_________．342+ 2. 已知1>x ，1>y ，且4lg lg =+y x ，则y x lg lg 的最大值为（ B ） A ．4 B ．2 C ．1 D ．41 3. 设a 、b 是正实数，则下列不等式中不成立的是（ D ） (A)221≥++ab b a (B)4)11)((≥++b a b a (C)b a ab b a +≥+2 2 (D)ab b a ab ≥+2 4. 设x,y 为正数, 则(x+y)(1x + 4y )的最小值为( B ) （A ） 6 （B ）9 （C ）12 （D ）15 二、知识梳理 1. ．比较法是证明不等式的一个最基本的方法，分_______________两种形式．比差、比商 (1)作差比较法，它的依据是________________： ?? ????>-b a b a b a b a b a b a 000 它的基本步骤：___________________，差的变形的主要方法有配方法，分解因式法，分子有理化等． 作差——变形——判断
(2) 作商比较法，它的依据是：____________________________ 若a >0，b >0，则 ???? ???>b a b a b a b a b a b a 111 它的基本步骤是：作商——变形——判断商与1的大小．它在证明幂、指数不等式中经常用到． 2．综合法：综合法证题的指导思想是___________(“由因导果”)，即从已知条件或基本不等式出发，利用不等式的性质，推出要证明的结论． 3．分析法：分析法证题的指导思想是_____________(“由果索因”)，即从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够确定这些充分条件都已具备，那么就可以判定所要证的不等式成立。 三、典型例题分析 例1. 已知0,0>>b a ，求证： b a a b b a +≥+ 证法1： )(b a a b b a +-+ ＝ ab ab b a b a )()()(33+-+ ＝ ab b ab a b a ])(2))[((22+-+ ＝ab b a b a 2 ))((-+ ∵b a +>0，ab >0，0)(2≥-b a ∴ 0)(≥+-+b a a b b a 即 b a a b b a +≥+ 证法2：ab ab b a ab b a b a b a a b b a -+=++=++)()()(3 3 ＝1＋1)(2 ≥-ab b a
不等式证明基本方法 例1 ：求证：221a b a b ab ++≥+- 分析：比较法证明不等式是不等式证明的最基本的方法，常用作差法和作商法，此题用作差法较为简便。 证明：221()a b a b ab ++-+- 2221[()(1)(1)]02 a b a b =-+-+-≥ 评注：1．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论 2．作差后的变形常用方法有因式分解、配方、通分、有理化等，应注意结合式子的形式，适当选 用。 例2：设c b a >>，求证：b a a c c b ab ca bc 2 22222++<++ 分析：从不等式两边形式看，作差后可进行因式分解。 证明：)(222222b a a c c b ab ca bc ++-++ =)()()(a b ab c a ca b c bc -+-+- =)()]()[()(a b ab c b b a ca b c bc -+-+-+- =))()((a c c b b a --- c b a >>Θ，则,0,0,0<->->-a c c b b a ∴0))()((<---a c c b b a 故原不等式成立 评注：三元因式分解因式，可以排列成一个元的降幂形式： =++-++)(222222b a a c c b ab ca bc )())(()(2a b ab b a b a c a b c -++-+-，这样容易发现规律。 例3 ：已知,,a b R +∈求证：11()()2()n n n n a b a b a b ++++≤+ 证明：11()()2()n n n n a b a b a b ++++-+ 11n n n n a b ab a b ++=+-- ()()n n a b a b a b =-+- ()()n n a b b a =--
2.2 证明不等式的基本方法——分析法与综合法 ●教学目标：1、理解综合法与分析法证明不等式的原理和思维特点. 2、理解综合法与分析法的实质，熟练掌握分析法证明不等式的方法与步骤. ●教学重点：综合法与分析法证明不等式的方法与步骤 ●教学难点：综合法与分析法证明不等式基本原理的理 ●教学过程： 一、复习引入： 1、复习比较法证明不等式的依据和步骤？ 2、今天学习证明不等式的基本方法——分析法与综合法 二、讲授新课： 1、综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法综合法又叫顺推证法或由因导果法。 用综合法证明不等式的逻辑关系是：例1、已知a,b,c是不全相等的正数，求证： . 分析：观察题目，不等式左边含有“a2+b2”的形式，我们可以创设运用基本不等式：a2+b2≥2ab;还可以这样思考：不等式左边出现有三次因式：a2b,b2c,c2a,ab2,bc2,ca2的“和”，右边有三正数a,b,c的“积”，我们可以创设运用重要不等式：a3+b3+c3≥3abc.(教师引导学生，完成证明） 解：∵a>0,b2+c2≥2bc∴由不等式的性质定理4，得a(b2+c2)≥2abc.① 同理b(c2+a2)≥2abc,②c(a2+b2)≥2abc.③ 因为a,b,c为不全相等的正数，所以以上三式不能全取“=”号，从而①,②,③三式也不能全取“=”号. 由不等式的性质定理3的推论，①,②,③三式相加得：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc. 点评：（1）综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。基本不等式以及一些已经得证的不等式往往与待证的不等式有着这样或那样的联系,作由此及彼的联想往往能启发我们证明的方向.尝试时贵在联想，浮想联翩，思潮如涌。 （2）在利用综合法进行不等式证明时，要善于直接运用或创设条件运用基本不等式，其中拆项、并项、分解、组合是变形的重要技巧. 变式训练：已知a,b,c是不全相等的正数，求证：例2、已知且，求证：分析：观察要证明的结论，左边是个因式的乘积，右边是2的次方，再结合，发现如果能将左边转化为的乘积，问题就能得到解决。 2、分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实（定义、公理或已证明的定理、性质等），从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法这是一种执果索因的思考和证明方法。 ①用分析法证明不等式的逻辑关系是：②分析法论证“若A则B”这个命题的模式是：为了证明命题B为真，这只需要证明命题B1为真，从而有……这只需要证明命题B2为真，从而又有……这只需要证明命题A为真，而已知A为真，故B必真。 例3．求证：分析：观察结构特点，可以利用分析法。 点评：①分析法的思维特点是：执果索因.对于思路不明显,感到无从下手的问题宜用分析法探究证明途径.另外,不等式的基本性质告诉我们可以对不等式做这样或那样的变形,分析时贵在变形,不通思变,变则通! ②证明某些含有根式的不等式时,用综合法比较困难，常用分析法. ③在证明不等式时,分析法占有重要的位置.有时我们常用分析法探索证明的途径,然后用综
1．1.2 一元一次不等式和一元二次不等式的解法 [读教材·填要点] 1．一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 2．二次函数、二次方程、二次不等式之间的关系 1．“若ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)的解集是空集，则a 、b 、c 满足的关系是b 2－4ac <0且a >0”是否正确？ 提示：当Δ＝0时，易知ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集也是?，从而满足的条件应为“a >0且b 2－4ac ≤0”． 2．当a <0时，若方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不等实根α，β且α<β，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是什么？ 提示：借助函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可知，不等式的解集为{x |α A ．{x |1 不等式和绝对值不等式 一、不等式 1、不等式的基本性质： ①、对称性： 传递性：_________ ②、 ，a+c ＞b+c ③、a ＞b ， ， 那么ac ＞bc ； a ＞b ， ，那么ac ＜bc ④、a ＞b ＞0， 那么，ac ＞bd ⑤、a>b>0，那么a n >b n .（条件 ） ⑥、 a ＞b ＞0 那么 （条件 ） 2、基本不等式 定理1 如果a, b ∈R, 那么 a 2+b 2≥2ab. 当且仅当a=b 时等号成立。 定理2（基本不等式） 如果a ，b>0，那么 当且仅当a=b 时，等号成立。即两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。 结论：已知x, y 都是正数。（1）如果积xy 是定值p ，那么当x=y 时，和x+y 有最小值 ； （2）如果和x+y 是定值s ，那么当x=y 时，积xy 有最大值 小结：理解并熟练掌握基本不等式及其应用，特别要注意利用基本不等式求最值时， 一 定要满足“一正二定三相等”的条件。 3、三个正数的算术-几何平均不等式 二、绝对值不等式 1、绝对值三角不等式 实数a 的绝对值|a|的几何意义是表示数轴上坐标为a 的点A 到原点的距离： a b b a c a c b b a >?>>,R c b a ∈>,0>c 0 《基本不等式的证明》教学设计 【教材分析】 不等关系与相等关系都是客观事物的基本数量关系，是数学研究的重要内容。建立不等观念，处理不等关系与处理等量问题是同样重要的。而基本不等式是本章重要的一个单元，它是证明不等式、求解某些函数的最大值及最小值的理论依据，在解决数学问题和实际问题中应用广泛。基本不等式是高中数学的重要内容之一，在高考说明中等级要求为C级。在不同的章节中都有应用，是培养学生逻辑推理能力和数学应用意识的好素材。本教材特别强调基本不等式的代数与几何背景以及在求最值中的应用。 【学情分析】 学生对函数中求最值，在一元二次不等式中都已经学过接触过有不等式的问题，因此提到不等式最值问题学生也不会陌生。在两个数的算术平均数和几何平均上，我们可以以两个数的等差中项和等比中项来引用这两个概念。这样对两个数据形式上就不会陌生，在初步了解大小关系后在给出概念。但由于学生的基础薄弱，可以预见在探索基本不等式时，寻找不等关系也有一定的困难。 【教学目标】 知识目标：1、知道算术平均数和几何平均数的概念并且能求出两个数的算术平 均数和几何平均数。 2、理解基本不等式的证明过程。 技能目标：1、掌握基本不等式的取等条件，并能用此方法求函数最大值。 2、通过对基本不等式证明的理解，体会三种证明方法，能准确用三种 证明中简单的方法证明其它不等式问题。 3、体会类比的数学思想方法，培养其观察分析问题的能力和总结概括 的能力 情感目标：通过不等式基本性质的探究过程，培养学生合作交流的思维品质，渗透不等式中的数学美，激发学生学习兴趣，陶冶学生的数学情操。 【教学重点】 1、如果a，b是正书，则为a、b的算术平均数；为a、b的几何平均，且有“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”。即定理， （）（当且仅当时取） 2、上面公式中“当且仅当的含义是：当时取等号，即 ； 仅当时取等号，即，综合起来就是的 充要条件。 【教学难点】 1、不等式求函数最值时的取等条件 2、对于公式的变形可求的最大值 4、基本不等式的证明（1） 目标： (,0)2 a b a b +≥的证明过程，并能应用基本不等式证明其他不等式。 过程： 一、问题情境 把一个物体放在天平的一个盘子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为 a 。如果天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同（其他因素不计） ，那么a 并非物体的实际质量。不过，我们可作第二次测量：把物体调换到天平的另一个盘上，此时称得物体的质量为b 。那么如何合理的表示物体的质量呢？ 把两次称得的物体的质量“平均”一下，以2 a b A +=表示物体的质量。这样的做法合理吗？ 设天平的两臂长分别为12,l l ，物体实际质量为M ，据力学原理有1221,l M l a l M l b == ，有2,M ab M == ,0a b >时，2 a b +叫,a b ,a b 的几何平均数 2 a b + 二、建构 一般，判断两数的大小可采用“比较法”： 02a b +-=≥ 2 a b +≤（当且仅当a b =时取等号） 说明：当0a =或0b =时，以上不等式仍成立。 从而有 2 a b +≤(0,0)a b ≥≥（称之“基本不等式” ）当且仅当a b =时取等号。 2 a b +≤的几何解释： 如图,,2 a b OC CD OC CD +≥== 三、运用 例1 设,a b 为正数，证明：1(1)2(2)2b a a a b a +≥+≥ 注意：基本不等式的变形应用 2,2a b a b ab +??≤+≤ ??? 例2 证明： 22(1)2a b ab +≥ 此不等式以后可直接使用 1(2)1(1)1 x x x + ≥>-+ 4(3)4(0)a a a +≤-< 2 2≥ 2 2> 例3 已知,0,1a b a b >+=，求证：123a b +≥+ 四、小结 五、作业 反馈32 书P91 习题1，2，3 第1讲：特殊三角形的性质与判定 一、知识回顾： 等腰三角形的性质与判定 等腰三角形的两个底角相等。 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。等边对等角 等角对等边等边三角形的性质与判定 (1 )等边三角形的每个内角都等于60°。 (2) 3个内角都相等的三角形是等边三角形。 如果一个等腰三角形中有一个角等于60°,那么这个三角形是等边三角形。 直角三角形的性质与判定 直角三角形两锐角互余 有两个内角互余的三角形是直角三角形 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。直角 (简写为“ H L” 三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半勾股定理 勾股定理逆定理四、典型例题分析： 1、已知：如图/ EAC是△ ABC的外角，AD平分/ EAC且AD// BC 求证：AB= AC D 2、在上图中，如果AB= AC, AD// BC,那么AD平分/ EAC吗？如果结论成立，你能证明这个结论吗？ 3:A ABC 中AD丄BC 于D , AB=3, BD=2, DC=1,贝U AC 等于 4:A ABC 中，BD 丄AC 与 D , AB=6,AD=4,BC=5,DC= 5,^ABC 中，/ C=90°, AB 垂直平分线交 BC 于 D 若 BC=8, AD=5，贝U AC 等于 第五题图 &△ ABC 中，AB=AC=10, BD 丄 AC 于 D , CD=2，贝 U BC 等于 达标训练 1、 如果等腰三角形的周长为 2、 如果等腰三角形有两边长 为 3、 如果等腰三角形有一个角 等于 4、 如果等腰三角形有一个角等于 5、 在^ ABC 中，/ A = 40°，当/ B 等于多少度数时，△ ABC 是等腰三角形? 6、如图，△ ABC 中，AB= AC,角平分线 BD CE 相交于点 0, 求证： 0B= 0C 7、如图，在△ ABC 中，/ B =/ C = 36°,/ ADE ^/ AED= 2/ B ,由这些条件你能得到哪些 结论？请证明你的结论。 12, 一边长为5,那么另两边长分别为. 2和5，那么周长为 ______ 50°,那么另两个角为_ 120 °，那么另两个角为. 浅谈不等式的证明 不等式问题是高中数学的重要内容之一，考察学生对不等式理论熟练掌握的程度也是衡量学生数学水平的重要方面，同时，不等式也是高中数学的基础，因此，在每年的数学高考题中，有关不等式的相关题目占有一定的比例，命题主要涉及解不等式、不等式的证明、不等式的应用这三方面，现将不等式的证明进行研究。 证明不等式有利于提高学生的分析与综合能力，证明不等式没有固定的程序，一个不等式的证法往往不止一种，证明过程往往是几种方法的综合运用，但无论是哪种方法，都离不开不等式的基本性质，另外在教材中提到了平均值不等式、排序不等式、三角不等式，如果能熟记并能运用的话，在证明不等式的过程中会有很大的帮助。下面将详细列举证明不等式的方法。 一、比较法 比较法是证明不等式的一种最基本也是最重要的方法，主要有作差比较和作商比较两种形式。 （1）作差比较法的步骤一般为：①作差式②差式变形③判断差式的正负④下结论；在这些步骤中，最难的就是差式变形，常用到的有配方法、通分法、因式分解法等等。 （2）作商比较法的步骤为：①作商式②商式变形③判断商式的值是大于1、小于1还是等于1④下结论。 （3）当不等式两边为多项式、分式或对数形式时，往往选择作差法；当不等式两边为指数时，常采用作商法。下面将列举例子进行 分析，以进一步加深对比较法的认识。 例1 若40πβα< <<，则ββααcos sin cos sin +<+ 证明 β βααβαβαβαβαβαβαπβαβαππβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ βααcos sin cos sin 02 sin 2cos 2sin 22 sin 222cos ,02sin 420,02840)2 sin 2(cos 2sin 22 cos 2sin 22sin 2cos 2) cos (cos )sin (sin cos sin cos sin +<+<+-+-+>>+<-<+<<-<-<<<+-+-=-+--+=-+-=+-+即）（所以得于是有，所以因为 二、放缩法 放缩法是证明不等式所特有的方法，把要证的不等式中的一部分量进行放大或缩小，形成新的不等式，而这个新的不等式必须是比原不等式更容易证明的，同时，由新的不等式成立可以推出原不等式成立。另外，放缩目标必须明确，从实际出发，从原不等式过渡到新的不等式是证明的关键。下面就实际例子进行分析。 例2 若，求证：且3,0,,≥++>zx yz xy z y x 4-5证明不等式的基本方法教案(人教A版选修4-5) 教学札记 16 （a —b ）2 _0= a 2 —2ab b 2 _0= a 2 —ab b 2 _ ab 注意到a 0, b . 0 ,即a b 0 , 由上式即得（a - b ）（a 2 -ab - b 2） _ab （a b ），从而 a 3 - b 3 _ a 2b ab 2 成立。 议一议：根据上面的例证，你能指出综合法和分析法的主要特点吗？ a + m a 例3、已知a ，b ，m 都是正数，并且 a ：：： b.求证： （ 1） b 十m b 证法一 要证（1），只需证b （a + m ） a a （b + m ） （2） 要证（2），只需证bm a am （ 3） 要证（3），只需证b > a （ 4） 已知（4）成立，所以（1）成立。 上面的证明用的是分析法。下面的证法二采用综合法。 证法二 因为b - a,m 是正数，所以bm am 两边同时加上ab 得b （a - m ） - a （b - m ）两边同时除以正数 b （b - m ）得（1）。 例4、证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的周长相等，那么横截面 是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。 分析：当水的流速相同时，水管的流量取决于水管横截面面积的大小。设截面的周长为 占 、2 [L > I ，截面积为兀丄I ;周长为L 的正方形为-，截面积为 Q 兀丿 4 L ,则周长为L 的圆的半径为 2 ■: L 。所以本题只需证明 4 证明：设截面的周长为 L ,则截面是圆的水管的截面面积为 （L Y —I ，截面是正方形的 12兀丿 水管的截面面积为U 。 14丿 只需证明: 为了证明上式成立，只需证明 二 L 2 4- 2 L 2 —。 因此，只需证明 4 ?二。 k AB i >k A C ,即 m ax i +b -m b (ax i +b )-b >m ac +b -m b (ac +b )-b , 整理得 m ax i +b > m b + x i c (m ac +b -m b ), ∴∑n i=1 m ax i +b > ∑n i=1[m b + x i c (m ac +b -m b )] =n m b +m a c +b c ∑n i=1x i -m b c ∑n i=1 x i =n m b + m ac +b -m b (∵∑n i=1 x i =c ) =(n -1) m b +m ac +b . ∴∑n i=1m ax i +b >(n -1) m b + m ac +b . 很明显,(1)、(2)、(3)式都是上式的特 例. 参考文献 1 李康海.引入参数证明不等式.中学数学,1999, 8. 2 马林、王艳萍.根式和下界不等式的一种新证法. 河北理科教学研究,1999,4. 一个不等式的简洁证明 段志强 (云南省大理宾川三中 671600) 文[1]在引言中谈到:在江苏省吴县市召开的1999年全国不等式研究学术会议上,中科院成都计算机应用研究所杨路教授应用通用软件Bo t te m a 给出以下不等式的一个“机器证明”: 设a ,b ,c 都是正数,则a b +c + b c +a + c a +b >2.文[]中通过构造长方体给出了一个证明,但证明还是较繁事实上,利用二元均值不等式就可以给出一个简洁的证明证明 ∵ a b + c ≤ a + b +c 2 , ∴ a b +c = a a b +c ≥ a a + b +c 2 = 2a a + b +c ,同理可得 b c +a ≥2b a +b +c , c a + b ≥2c a + b +c .注意到以上三式等号不同时成立,故a b +c +b c +a +c a +b >2. 参考文献 1 杨晓晖、刘建军.长方体中的若干性质及应用.中 学数学月刊,2000,5. 解数列问题的一种技巧 李枝团 (重庆市第36中学 400024)解决数列问题时,等差数列往往以首项与公差奠基,等比数列则以首项与公比搭桥.据此虽然能按条件得结果,但某些问题按此处理则较繁,甚至无法获解.本文介绍一种非常规方法.以得到更简单的解法. 例1 已知一个各项均为实数的等比数列的前四项之积为81,第二项与第三项之和为10,求此等比数列的公比. (选自《数学通报》1998年第9期第22～24页例4) 分析 原解设等比数列前四项分别为 a ,a q ,a q 2 ,aq 3 ,得关于a ,q 的“二元十次”方 程组,解法相当复杂.根据题设,可以第二、三项的特点作过渡,于是可获得理想的解答. 解 设此数列的第二、三项分别是x ,y ,则由条件得: x +y =10, (x y )=, (根据等比数列性质)故有 x +y =,xy =或 x +y =,xy =, 24 中学数学月刊 2000年第11期 1.. 2 81109 10-9 柯西证明均值不等式的方法 by zhangyuong （数学之家） 本文主要介绍柯西对证明均值不等式的一种方法，这种方法极其重要。 一般的均值不等式我们通常考虑的是n n G A ≥: 一些大家都知道的条件我就不写了 n n n x x x n x x x ......2121≥ +++ 我曾经在《几个重要不等式的证明》中介绍过柯西的这个方法，现在再次提出： 8444844)()(: 4422)()(abcdefgh efgh abcd h g f e d c b a abcd abcd cd ab d c b a d c b a ≥+≥+++++++=≥+≥+++=+++八维时二维已证，四维时： 这样的步骤重复n 次之后将会得到 n n n x x x x x x n 2 221221 (2) ...≥ +++ 令A n x x x x x x x x x x n n n n n n =+++= =====++......;,...,2122111 由这个不等式有 n n n n n n n n n n A x x x A x x x A n nA A 2 121 212 221)..(..2 )2(- -=≥ -+= 即得到 n n n x x x n x x x ......2121≥ +++ 这个归纳法的证明是柯西首次使用的，而且极其重要，下面给出几个竞赛题的例子： 例1： 1 1 12101(1,2,...,)11(...)n i i i n n n a i n a a a a =<<=≥ --∑ 若证明 例2： 1 1 1211(1,2,...,)1 1(...)n i i i n n n r i n r r r r =≥=≥ ++∑ 若证明 这2个例子是在量在不同范围时候得到的结果，方法正是运用柯西的归纳法： 给出例1的证明： 12121 2 212 2 123 4 211(1)2(1)(1) 11,(1)(2)2(1) 22(1)2(1)2211111111n a a a a a a p a q a q p p q p q pq q p q q q p q a a a a =+ ≥ ?- --≥----=+= ?--≥-+?-+≥?+≥+?≥+ + + ≥+ ----≥ 当时设，而这是元均值不等式因此此过程进行下去 因2 1 1 2 1221 1212221 12 2 1 1 2 11(...)...(...)112 2 (2) 1111() 111n n n n n n n n i i n n n n n n n n n i i n n i i a a a a a a a a a a G n a G G G G n a G =++-==≥ --=====+-≥ = ----≥ --∑ ∑ ∑ 此令有即 例3： 1 115,,,,1(1),,111,,11( )( ) 1 1 n n i i i i i i i i i n n n i i i i i i n n i i i i i i i i i i i n r s t u v i n R r S s n n T t U u V v n n n r s t u v R ST U V r s t u v R ST U V =>≤≤== = = = ++≥--∑∑∑∑∑∏ 已知个实数都记，求证下述不等式成立： 要证明这题，其实看样子很像上面柯西的归纳使用的形式经典不等式证明的基本方法
《-基本不等式的证明》教学设计
4 基本不等式的证明(1)
三角形的证明一元一次不等式
浅谈不等式的证明
4-5_证明不等式的基本方法_教案4_(人教A版选修4-5)
一个不等式的简洁证明
均值不等式的证明方法
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