一、 选择题（每题5分，共60分）
1.满足()()f x f x ￠=的函数是
A . f (x )＝1－x
B. f (x )＝x
C . f (x )＝0
D . f (x )＝1
2.曲线34y x x =-在点（－1，－3）处的切线方程是 A . 74y x =+
B. 72y x =+
C. 4y x =-
D. 2y x =-
3.若关于x 的函数2m n y mx -=的导数为4y x ￠=,则m n +的值为
A. 3-
B. 1-
C. 1 D . 3 4.设ln y x x =-，则此函数在区间(0,1)内为
A ．单调递增， B.有增有减 C.单调递减， D.不确定
5. 已知()f x =3x ·sin x x ，则(1)f ￠=
A .
31+cos1 B. 31sin1+cos1 C. 3
1
sin1-cos1 D.sin1+cos1 6．函数f (x )＝x 3
－3x +1在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是 A . 1，－1 B. 3，-17 C. 1，－17 D. 9，－19
7．f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )、g (x )满足f ′(x )＝g ′(x )，则 A f (x )=g (x ) B f (x )－g (x )为常数函数 C f (x )=g (x )=0 D f (x )+g (x )为常数函数
8.函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f ￠在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点
A 1个
B 2个
C 3个
D 4个
9．设函数()f x 在定义域内可导，()y f x = （ ）
10．设f (x )
，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当
x <0时，f ′(x )
g (x )＋
f (x )
g ′(x )>0， 且(3)0g -=，则不等式f (x )g (x )<0的解集是
A . (－3，0)∪(3，+∞) B. (－3，0)∪(0，3) C . (－∞，－3)∪(3，+∞) D. (－∞，－3)∪(0，3) 11.给出以下命题：
A B
C D
⑴若
()0b a
f x dx >?
，则f (x )>0； ⑵20
sin 4xdx =?
π;
⑶已知()()F x f x ￠=，且F (x )是以T 为周期的函数，则0
()()a a T T
f x dx f x dx +=?
?
；
其中正确命题的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.0
12.已知函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3，数列?
??
???)(1n f 的前n 项和为n S ,则2011S 的值为（ ）
2012
2011
.
2011
2010.
2010
2009.
2009
2008.
D C B A 二.填空题（每题5分，共20分）
13.若32()33(2)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则a 的取值范围是__
14.函数32()26(f x x x m m =-+为常数） 在[22]-，
上有最大值3，那么此函数在[22]-， 上的最小值为_____ 15.周长为20cm 的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为 16.已知)(x f 为一次函数，且10
()2
()f x x f t dt =+?
，则)(x f =______ .
三．解答题（共70分）
17. (本小题满分10分)
已知曲线 3
2y x x =+- 在点 P 0 处的切线 1l 平行直线4x －y －1=0，且点 P 0 在第三象限. （1）求P 0的坐标；
（2）若直线 1l l ⊥ , 且 l 也过切点P 0 ,求直线l 的方程.
18．（本小题满分12分）
将边长为a 的一块正方形铁皮的四角各截去一个大小相同的小正方形，然后将四边折起做成一个无盖的方盒．欲使所得的方盒有最大容积，截去的小正方形的边长应为多少？方盒的最大容积为多少？
19.(本小题满分12分)
已知a 为实数，))(4()(2
a x x x f --= （1）求导数)(x f ￠；
（2）若0)1(=-￠f ，求)(x f 在[－2，2] 上的最大值和最小值； （3）若)(x f 在(,2)-∞-和(2,)+∞上都是递增的，求a 的取值范围.
20.(本小题满分12分)
已知函数()ln(1)f x x x =+-． （1）求函数f (x )的单调递减区间； （2若1x >-，证明：1
1ln(1)1
x x x -≤+≤+．
21. (本小题满分12分)
已知函数()ln f x x =(0)x ≠,函数1
()()(0)()
g x af x x f x ￠=
+≠￠ （1）当0x ≠时,求函数()y g x =的表达式;
（2）若0a >,函数()y g x =在(0,)+∞上的最小值是2 ,求a 的值;
《导数及其应用》参考答案【理科】
一、选择题 CDBCB BBADD BD 二.填空题
13.2a > 或1a <- 14. 37- 15.
4000
27
π cm 2 16. ()1f x x =- 三．解答题
17.解:⑴由y =x 3+x －2，得y ′=3x 2+1，
由已知得3x 2+1=4，解之得x =±1.当x =1时，y =0;当x =－1时，y =－4. 又∵点P 0在第三象限, ∴切点P 0的坐标为 (－1,－4). ⑵∵直线1l l ⊥,1l 的斜率为4,∴直线l 的斜率为14
-, ∵l 过切点P 0,点P 0的坐标为 (－1,－4) ∴直线l 的方程为1
4(1)4
y x +=-
+即4170x y ++=. 18．解：设小正方形的边长为x ，则盒底的边长为a －2x ，
∴方盒的体积2(2)((0,)),2
a
V x a x x =-∈
121'(2)(6),'0,,,(0,),(0,),'0,26226
a a a a a
V a x a x V x x x x V =--==
==?∈>令则由且对于
(,),'0,62
a a x V ∈<∴函数V 在点x ＝a
6处取得极大值，由于问题的最大值存在，
∴V (a 6)＝2a 327即为容积的最大值，此时小正方形的边长为a 6
．
19. 解：⑴由原式得,44)(23a x ax x x f +--=∴.423)(2--=￠ax x x f
⑵由0)1(=-￠f 得21=
a ,此时有43)(),21)(4()(2
2--=￠--=x x x f x x x f . 由0)(=￠x f 得34=x 或x=-1 , 又,0)2(,0)2(,2
9
)1(,2750)34(==-=--
=f f f f 所以f(x)在[－2,2]上的最大值为,2
9
最小值为.2750- ⑶解法一:423)(2--=￠ax x x f 的图象为开口向上且过点(0,－4)的抛物线,由条件得 ,0)2(,0)2(≥￠≥-￠f f 即
{
480840
a a +≥-≥ ∴－2≤a ≤2.
所以a 的取值范围为[－2,2].
解法二:令0)(=￠x f 即,04232
=--ax x 由求根公式得: 1,212()3
a x x x =<
所以.423)(2--=￠ax x x f 在(]1,x ∞-和[)+∞,2x 上非负. 由题意可知,当2x -…或2x …时, )(x f ￠≥0, 从而12x -…, 22x …,
即???+≤+-≤+612.
61222
a a a a 解不等式组得－2≤a ≤2.
∴a 的取值范围是[2,2]-.
20.解：⑴函数f (x )的定义域为(1,)-+∞．()f x ￠＝11x +－1＝－1
x x +. 由()f x ￠<0及x >－1，得x >0．
∴ 当x ∈（0，＋∞）时，f (x )是减函数，即f (x )的单调递减区间为（0，＋∞）．
⑵证明：由⑴知，当x ∈（－1，0）时，()f x ￠＞0，当x ∈（0，＋∞）时，()f x ￠＜0， 因此，当1x >-时，()f x ≤(0)f ，即ln(1)x x +-≤0∴ ln(1)x x +≤．
令1()ln(1)11g x x x =++
-+，则211
()1(1)g x x x ￠=-++＝2
(1)x x +． ∴ 当x ∈（－1，0）时，()g x ￠＜0，当x ∈（0，＋∞）时，()g x ￠＞0．
∴ 当1x >-时，()g x ≥(0)g ，即 1ln(1)11x x ++-+≥0，∴ 1ln(1)11
x x +≥-+．
综上可知，当1x >-时，有1
1ln(1)1
x x x -≤+≤+． 21.解:⑴∵()ln f x x =,
∴当0x >时,()ln f x x =; 当0x <时,()ln()f x x =-
∴当0x >时,1()f x x ￠=
; 当0x <时,11
()(1)f x x x
￠=
?-=-. ∴当0x ≠时,函数()a
y g x x x ==+.
⑵∵由⑴知当0x >时,()a
g x x x
=+,
∴当0,0a x >>时
, ()≥g x
x =.
∴函数()y g x =在(0,)+∞
上的最小值是
∴依题意得2=∴1a =.
⑶由27361
y x y x x ?=+????=+??
解得2121322,51326x x y y ?==????
??=??=???
∴直线27
36
y x =
+与函数()y g x =的图象所围成图形的面积 232271()()3
6S x x dx x ??
=+-+?????=2ln 23ln 247-+