2016年考研数学一真题及详细解析
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若反常积分
()
11b
a
dx x x +∞
+?
收敛，则（ ）
()()()()11111111
A a b
B a b
C a a b
D a a b <>>><+>>+>且且且且
【答案】（C ） 【解析】
1
(1)
a b
dx x x +∞
+?
1
111(1)(1)a b
a b dx dx x x x x +∞=+++?
? 1
1p
dx x
?
在（1p <时收敛），可知1a <，而此时(1)b
x +不影响 同理，
1
11
1(1)11b
a b
a b dx dx x x x x +∞
+∞+=+??
+ ?
??
?
?
1
1p dx x +∞
?
（1p >时收敛），而此时11b
x ??+ ???
不影响 （2）已知函数()()21,1
ln ,1
x x f x x x -
≥??，则()f x 的一个原函数是（ ）
()()()()()()()()()()()()()()()()22
22
1,11,1ln 1,1ln 11,1
1,11,1
ln 11,1ln 11,1
x x x x A F x B F x x x x x x x x x x x C F x D F x x x x x x x ??-<-
==??
-≥+-≥??????-<-
++≥-+≥????
【答案】（D ）
【解析】由已知可得，()()(ln )x C x F x x x C x ?-+<=?-++≥?21111
111
，取C =10，故选D
（3）若(
)
(
)2
2
2
211y x y x =+-=++是微分方程()()y p x y q x '+=的两个解，则
()q x =（ ）
()()()()()
()222
2
313111x
x A x x B x x C D x x +-+-
++
【答案】（A ）
【解析
】y y -=-12是一阶齐次微分方程()y p x y '+=0的解，代入
得
()(p x -+-=0，所以()x
p x x =-
+2
1，根据解的性质得，y y +122是
()()y p x y f x '+=的解。所以有()()q x x x =+231.
（4）已知函数(),0
111
,,1,2,1
x x f x x n n n n ≤??
=?<≤=?+?K ，则（ ） （A ）0x =是()f x 的第一类间断点 （B ）0x =是()f x 的第二类间断点 （C ）()f x 在0x =处连续但不可导 （D ）()f x 在0x =处可导 【答案】（D ）
【解析】由于()lim x x f x
-→-'==0001，()lim n n f n
+→∞-'==1
011,故选D 。 （5）设A ，B 是可逆矩阵，且A 与B 相似，则下列结论错误的是（ ） （A ）T A 与T B 相似 （B ）1A -与1
B -相似 （
C ）T A A +与T B B +相似 （
D ）1A A -+与1
B B -+相似 【答案】（
C ）
【解析】此题是找错误的选项。由A 与B 相似可知，存在可逆矩阵,P 使得1
P AP B -=，则
111111111111111111(1)()()~,A (2)()~(3)()~, T T T T T T T T P AP B P A P B A B P AP B P A P B A B B P A A P P AP P A P B B A A B B D ------------------=?=?=?=?+=+=+?++故（）不选；，故（）不选；
故（）不选；
此外，在（C ）中，对于1
1
1
()T
T
P A A P P AP P A P ---+=+，若1
=P AP B -，则1
()
T
T
T T P A P B -=，
而1T P A P -未必等于T
B ，故（
C ）符合题意。综上可知，（C ）为正确选项。
（6）设二次型()2
2
2
123123121323,,444f x x x x x x x x x x x x =+++++，则()123,,2f x x x =在空间直角坐
标下表示的二次曲面为（ ）
（A ）单叶双曲面 （B ）双叶双曲面 （C ）椭球面 （D ）柱面
【答案】（B ）
【解析】对于二次型()222123123121323,,444f x x x x x x x x x x x x =+++++， 其矩阵为122212221A ??
?
= ? ???
，
接下来由
0E A λ-=， 可得其特征值为1235,1λλλ===-（一正两负）
，因此其正惯性指数和负惯性指数分别为1,2.
故
二
次型
()
123,,f x x x 的规范形为
222
123f z z z =--，
即
222
2
2
2
1
2321z z z --=?=，对应的曲面为双叶双曲面。 （7）设随机变量(
)()0,~2
>σσ
μN X ，记{}2
σμ+≤=X P p ，则（ ）
（A ）p 随着μ的增加而增加 （B ）p 随着σ的增加而增加 （C ）p 随着μ的增加而减少 （D ）p 随着σ的增加而减少 【答案】（B ）
【解析】2{}{
}X P X P μ
μσσσ
-≤+=≤
所以概率随着σ的增大而增大。
（8）随机试验E 有三种两两不相容的结果321,,A A A ，且三种结果发生的概率均为
3
1
，将试验E 独立重复做2次，X 表示2次试验中结果1A 发生的次数，Y 表示2次试验中结果2A 发生的次数，则X 与Y 的相关系数为（ ）
【解析】11(2,),(2,)33
X B Y B ::
24,39EX EY DX DY ==
==，211(1,1)9
EXY P X Y =??===
所以1
2XY ρ=
=-
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．
指定位置上. （9）()__________cos 1sin 1ln lim
2
00
=-+?→x dt t t t x
x
【答案】
2
1
【解析】ln(sin )lim
x x x x x →+=3
11
22
（10）向量场()()zk xyj i z y x z y x A ++++=,,的旋度_________=rotA
【答案】()1,1,0-y
【解析】由旋度公式得，{}(A),,,,R Q P R Q P rot y y z z x x y ??
??????=---=-?
?????????
011 11、设函数(,)f u v 可微，(,)z z x y =有方程()(,)x z y x f x z y +-=-2
2
1确定，则(),____dz =01． 【答案】dy dx 2+-
【解析】()(,)x x y x f x z y +-=-2
2
1两边分别关于,x y 求导得
()(,)(,)()
()((,)()(,))
x x y y z x z xf x z y x f x z y z x z y x f x z y z f x z y '''++=-+--''''+-=--+-212
1212112，将
,,x y z ===011
代入得，
()
,dz
dx dy =-+012
（12）设函数()2
1arctan ax
x
x x f +-
=，且()10''=f ，则________=a 【答案】
21
（13）行列式
10001
00014
3
2
1
λλλ
λ--=-+____________.
【答案】4322
3
4
++++λλλλ
【解析】41
43210010100
1
0=0
1+411
0++2+3+4.0
01
3
2
+10
1
43
2
+1
λ
λ
λ
λλ
λ
λλλλλ
λλ
λ+-----?-=--（-） （14）设12,,...,n x x x 为来自总体()
2,N μσ的简单随机样本，样本均值9.5x =，参数μ的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8，则μ的置信度为0.95的双侧置信区间为______. 【答案】()8.10,2.8
【解析】0.0250.0250.025
0.025{}{}0.95x u
P u u P x u u x σ
--<
<=-<<+
=
因为0.02510.8x +
=
0.025 1.3,=
所以置信下限0.025
8.2x u -=.
三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分10分）已知平面区域()(),221cos ,2
2D r r π
πθθθ??
=≤≤+-
≤≤
???
?
，计算二重积分
D
xdxdy ??.
【答案】3325+
π
【解析】
()
()??
???-+-
+==2
23cos 122
2
2
2
2cos 123cos cos π
πθπ
πθθθθθd r dr r d dxdy x D
()
????----++=++=22422
3
222
22
432cos 38
cos 8cos 8cos cos 3cos 338πππ
ππππ
πθθθθθθθθθθd d d d
()
????------+???? ??-+??? ??+=+-++=22222232
222322
2
22cos sin 338|3sin sin 8|22sin 4sin cos 38sin sin 18212cos 8π
ππππππ
ππππ
πθθθθθθθθθθθθθd d d d 3
3252sin 2332
422
2+
=-+=?-πθ
θππ
πd
（16）（本题满分10分）设函数()y x 满足方程'''
20,y y ky ++=其中01k <<.
()I 证明：反常积分0()y x dx +∞
?收敛； ()II 若'
(0)1,(0)1,y y ==求0
()y x dx +∞
?的值.
【答案】()II k 3
【解析】
（1）特征方程为2
20r r k ++=，由01k <<可知，特征方程有两个不相同的特征根
，
1,21r =
=-±1,20r <，
由二阶常系数齐次线性方程的求解可知，1212()r x r x
y x C e C e =+
12120
()r x r x
y x dx C e C e dx +∞
+∞
??=+???
?
12120
r x r x C e dx C e dx +∞
+∞
=+??
121212lim 1lim 1r x r x x x C C
e e r r →+∞
→+∞????=
-+-????
由于1,20r <
120
12
()C C y x dx r r +∞
=-
-?
极限存在，故收敛. (2) 由1212()r x r x
y x C e C e =+，(0)1,'(0)1y y ==可知，
1211221,2111C C C r C r r ?+=??+=??
=-±??解得12
12C C == 代入
12
12
()C C y x dx r r +∞
=-
-?
可知0()y x dx +∞=
?（17）（本题满分10分）设函数(,)f x y 满足
2(,)
(21),x y f x y x e x -?=+?且(0,)1,t f y y L =+是从点(0,0)到点(1,)t 的光滑曲线，计算曲线积分(,)(,)
()t
L f x y f x y I t dx dy x y
??=+???
，并求()I t 的最小值 【答案】3
【解析】
(1) 由2(,)(21)x y
f x y x e
x
-?=+?
可知：2(,)[(21)]x y
f x y x e dx -=
+?
22[2]y x x
e xe dx e dx -=+
??
2()y x e xe y ?-=+g
2()x y xe y ?-=+
又 (0,)1f y y =+ 可知 ()1y y ?=+
因此 2(,)1x y
f x y xe y -=++
2(,)
1x y f x y xe y
-?=-+? 22()(21)(1)x y x y Lt
I t x e dx xe dy --=++-?
2(21)x y
P x e
-=+ 21x y
Q xe
-=-
2(21)x y P x e y -?=-+? 222x y x y Q e xe x --?=--? P Q y x
??=?? 因此，积分与路径无关 22()(21)(1)x y x y Lt I t x e dx xe dy --=++-?
1
220
(21)(1)t
x y x e dx e dy -=
++-?
?
222t e t e e -=++- 2t t e -=+
(2) 2()t
I t t e
-=+ 2()1t
I t e
-'=-
()0I t '= 可知 2t = 有唯一驻点 2()t
I t e
-''=
(2)10I ''=>
因此 2t =时 ()I t 有最小值
22(2)2213I e -=+=+=
（18）设有界区域Ω由平面222=++z y x 与三个坐标平面围成，∑为Ω整个表面的外侧，计算曲面积分()
zdxdy
ydzdx dydz x
I 3212
+-+=
??∑
【答案】
21
【解析】
2(1)23I x dydz ydzdx zdxdy ∑
=+-+??
21,2,3P x Q y R z =+=-=
由高斯公式可知，
()223I x dxdydz Ω
=-+???
()21x dxdydz Ω
=+???
12
(21)xy
y x D dxdy x dz --
=+???
222xy D y x x xy dxdy ?
?=+-- ??
???
1
122
00
22x
y dx x x xy dy -??=+-- ???
??
1
2=
（19）（本题满分10分）已知函数()f x 可导，且(0)1f =，1
0'()2
f x <<
，设数列{}n x 满足1()(1,2...)n n x f x n +==，证明：
（I ）级数
1
1
()n n n x
x ∞
+=-∑绝对收敛；
（II ）lim n n x →∞
存在，且0lim 2n n x →∞
<<.
【证明】1()n n x f x +=
11()()n n n n x x f x f x +--=- 1'()()n n f x x ξ-=- 11
2n n x x -<
- 121
()()2
n n f x f x --=-
122111
21
2n n n x x x x ---<
-<<-L
显然，
211
11
2
n n x x ∞
-=-∑收敛
因此，
()1
1
n n n x
x ∞+=-∑绝对收敛；
（2）
()1
1
n n n x
x ∞
+=-∑的前n 项和记为n S
易知，11n n S x x +=-，由第一问可知n S 极限存在，因此lim n n x A →∞
=存在
1()()(0)1n n n x f x f x f +==-+ '()1n f x ξ=+（*）
i)由已知10'()2f x <<
，易知11
'()112
n n n x f x x ξ+=+<= 不等式两边取极限，可知1
12
A A <+，即2A <；
ii)若0A =，则（*）矛盾；
iii)若0A <，则由（*）可知(1'())1f A ξ-=，而1
0'()2
f x <<，显然矛盾 综上，02A <<
（20）（本题满分11分）设矩阵1112
221,11112A a B a a a --???? ?
?== ? ? ? ?----???
?
当a 为何值时，方程AX B =无解、有唯一解、有无穷多解？
【答案】2-=a 时，无解；1=a 时，有无穷多解，???
?
? ??----=21211133
k k k k X ；2-≠a 且1≠a 时，有唯
一解，????
??
?? ??
-+-+=01240
231a a a a X
【解析】（20）（本题满分11分）设矩阵1112221,1
1112A a B a a a --????
?
?== ? ? ? ?----???
?
当a 为何值时，方程AX B =无解、有唯一解、有无穷多解？
【答案】2-=a 时，无解；1=a 时，有无穷多解，????
? ??----=212
11133
k k k k X ；2-≠a 且1≠a 时，有唯一解，????
??
??
??
-+-+=01240
231a a a a X
【解析】对B AX =的增广阵做初等变换
???
?
? ??-----+-→042132131021001),(a a a a B A
，故无穷多解。
时，代入得、无解。时，代入得矛盾方程，、或时）时，唯一解。且，即3)(12212
102210)1<=-=-===-≠≠≠A r a a a a A a a A
（21）（本题满分11分）已知矩阵011230000A -??
?
=- ? ???
（I ）求99
A
（II ）设3阶矩阵23(,,)B ααα=满足2
B BA =，记100
123(,,)B βββ=将123,,βββ分别表示为123,,ααα的
线性组合。
【答案】（1）????
?
?
?--+---+-00022212
222212299
100100
9899
99 （2）()()()()()()2
99
1
98
3
2
100
199
2210019912222,
2
121,2222α
αβααβααβ-+-=-+-=+-++-=
【解析】
（Ⅰ）利用相似对角化。
由0E A λ-=，可得A 的特征值为1230,1,2λλλ==-=-，故0~12A ?? ?
Λ=- ? ?-??. 当10λ=时，由(0)0E A x -=，解出此时A 的属于特征值10λ=的特征向量为1322γ??
?
= ? ???;
当21λ=-时，由()0E A x --=，解出此时A 的属于特征值21λ=-的特征向量为2110γ?? ?
= ? ???;
当32λ=-时，由(2)0E A x --=，解出此时A 的属于特征值32λ=-的特征向量为3120γ?? ?
= ? ???.
设123311(,,)212200P γγγ?? ?== ? ???，由1012P AP -?? ?=Λ=- ?
?-??
可得1A P P -=Λ，99991
A P P -=Λ， 对于311212200P ?? ?= ? ???，利用初等变换，可求出1
10022121112P -?
? ? ?=-- ? ?- ?
?
?，故
99999899991100100
999910031102212222
212121222122220021000112A P P -?
? ???
-+--???? ? ? ???=Λ=---=-+-- ? ? ???
??? ? ?-?????
?
- ??
? （Ⅱ）2
3
2
2
100
99B BA B BBA B A BAA BA B
BA =?====??=L ，由于123(,,)B ααα=，
100
123(,,)B βββ=，故9999
9899100100
99123123123221222(,,)(,,)(,,)221222000A βββαααααα??
-+--
?
==-+-- ? ??
?
，因此， 99100991009899112212312(22)(22),(12)(12),(22)(22).βααβααβαα=-++-+=-+-=-+-
（22）（本题满分11分）设二维随机变量(,)X Y 在区域()
{2
,01,D x y x x
y =<<<<上服从均匀分
布，令
1,0,X Y
U X Y
≤?=?
>? （I ）写出(,)X Y 的概率密度；
（II ）问U 与X 是否相互独立？并说明理由； （III ）求Z U X =+的分布函数()F z . 【答案】
（I ）(
)2
3,01,,0,x x y f x y ?<<<
（II ）U 与X 不独立，因为1111,2222P U X P U P X ?
??
???≤≤≠≤≤?????????
???； （III ）Z 的分布函数
()()233
2
20,0
3
,1213211,12221,2z z z z z F Z z z z z
0 【解析】（1）区域D 的面积3
1)()(2
1
=-=
?x x D s ，因为),(y x f 服从区域D 上的均匀分布，所以
23(,)0x y f x y ?<
其他
（2）X 与U 不独立. 因为11111,==0,=,222212
P U X P U X P X Y X ??????≤
≤≤>≤=???????????? 1111,2222P U P X ?
???≤=≤=?????
???
所以1111,2222P U X P U P X ???
???≤
≤≠≤≤?????????
???,故X 与U 不独立。 （3）(){}{0}{0}{1}{1}F z P U X z P U X z U P U P U X z U P U =+≤=+≤==++≤==
{,0}{,1}
{0}{1}{0}{1}
P U X z U P U X z U P U P U P U P U +≤=+≤==
=+===
{,}{1,}P X z X Y P X z X Y =≤>++≤≤
又230,0
3{,},012
1,12
z P X z X Y z z z z ??=-≤
≥??，
322
0,13{1,}2(1)(1),1221,22z P X z X Y z z z z ?
220,03,012
().132(1)(1),12221,2z z z z F z z z z z
??-≤
（23）设总体X 的概率密度为()??
?
??<<=其他,00,3,32
θθθx x x f ，其中()∞+∈，
0θ为未知参数，321,,X X X 为来自总体X 的简单随机样本，令()321,,m ax X X X T =。 （1）求T 的概率密度
（2）确定a ，使得aT 为θ的无偏估计 【答案】
（I ）T 的概率密度
()8
99,00,z x x F x θθ
?<
其他
（II ）
109
a =
【解析】（1）根据题意，123,,X X X 独立同分布，T 的分布函数为
123123(){max(,,)}{,,}T F t P X X X t P X t X t X t =≤=≤≤≤
()3
1231{}{}{}{}P X t P X t P X t P X t =≤≤≤=≤ 当0t <时，()0T F t =；
当0t θ<<时，3
29
3903()t T x t F t d θθθ
??== ????；
当0t ≥时，()1T F t =，
所以8
99,0()0,T t t f t others θ
θ?<
。
（2）8
9
99
()10
t E aT aET a
t
dt a θ
θθ===
?
， 根据题意，aT 为θ的无偏估计， 则9()10
E aT a θθ==，即109a =
2016年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．． 指定位置上. 1、若反常积分01(1)a b dx x x +∞ +?收敛，则 （A ）1a <且1b >. （B ）1a >且1b >. （C ）1a <且1a b +>. （D ）1a >且1a b +>. 2、已知函数2(1), 1,()ln ,1, x x f x x x -
2016年考研数学大纲（数学一） 研究生数学一考试科目：高等数学（同济）、线性代数（同济）、概率论与数理统计（浙大） 考研考试形式和试卷结构 一、试卷满分及考试时间：试卷满分为150分，考试时间为180分钟． 二、答题方式：答题方式为闭卷、笔试． 三、试卷内容结构：高等教学约56%；线性代数约22%；概率论与数理统计约22%. 四、试卷题型结构： 单选题8小题，每小题4分，共32分 填空题6小题，每小题4分，共24分 解答题（包括证明题）9小题，共94分 高等数学 一、函数、极限、连续 考试内容：函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立；数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则；单调有界准则和夹逼准则两个重要极限； 函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质。 考试要求 1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系． 2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性． 3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念． 4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念． 5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系． 6．掌握极限的性质及四则运算法则．
7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法． 8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限． 9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型． 10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质． 二、一元函数微分学 考试内容：导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达（L’Hospital）法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值弧微分曲率的概念曲率圆与曲率半径 考试要求 1．理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系． 2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分． 3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数． 4．会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数．5．理解并会用罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理和泰勒（Taylor）定理，了解并会用柯西（Cauchy）中值定理． 6．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法． 7．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用． 8．会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间内，设函数具有二阶导数．当时，的图形是凹的；当时，的图形是凸的），会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形．
2016考研数学二真题及答案 一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． １．当+→0x 时，若)(ln x 21+α ，α 1 1)cos (x -均是比x 高阶的无穷小，则α的可能取值 范围是（ ） （A ）),(+∞2 （B ）),(21 （C ）),(121 （D ）),(2 10 【详解】α ααx x 221~)(ln +，是α阶无穷小，αα α2 1 1 2 1 1x x ~ )cos (-是 α 2 阶无穷小，由题意可知??? ??>>121α α 所以α的可能取值范围是),(21，应该选（B ）． 2．下列曲线有渐近线的是 （A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2 （C ）x x y 1sin += （D ）x x y 12 sin += 【详解】对于x x y 1sin +=，可知1=∞→x y x lim 且01 ==-∞→∞→x x y x x sin lim )(lim ，所以有斜渐 近线x y = 应该选（C ） 3．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ） （A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≤ 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法． 【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断． 显然x f x f x g )())(()(110+-=就是联接))(,()),(,(1100f f 两点的直线方程．故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ）
2016考研数学（一）真题完整版 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若反常积分 () 11b a dx x x +∞ +? 收敛，则（ ） ()()()()11111111 A a b B a b C a a b D a a b <>>><+>>+>且且且且 （2）已知函数()()21,1 ln ,1 x x f x x x -
2016考研数学三真题及答案 一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）()11lim ______.n n n n -→∞ +?? = ??? （2）设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()() e f x f x '=，()21f =，则()2____.f '''= （3）设函数()f u 可微,且()1 02 f '= ,则()224z f x y =-在点(1,2)处的全微分() 1,2d _____.z = （4）设矩阵2112A ?? = ?-?? ，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B . （5）设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则 {}{}max ,1P X Y ≤=_______. （6）设总体X 的概率密度为()()121,,,,2 x n f x e x X X X -= -∞<<+∞为总体X 的简 单随机样本，其样本方差为2 S ，则2 ____.ES = 二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ?为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ?与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ?>，则 (A) 0d y y <
2016年考研数学（三）真题 一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）()11lim ______.n n n n -→∞ +?? = ??? （2）设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()() e f x f x '=，()21f =，则()2____.f '''= （3）设函数()f u 可微,且()1 02 f '=,则()224z f x y =-在点(1,2)处的全微分() 1,2d _____.z = （4）设矩阵2112A ?? = ?-?? ，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B . （5）设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则{}{} max ,1P X Y ≤=_______. （6）设总体X 的概率密度为()()121,,,,2 x n f x e x X X X -= -∞<<+∞L 为总体X 的简单随机样本，其样本方差为2 S ，则2 ____.ES = 二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ?为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ?与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ?>，则 (A) 0d y y <
历年考研数学线代真题1987-2016(最新最全)
历年考研数学一真题1987-2016 1987年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (5)已知三维向量空间的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),===ααα则向量(2,0,0)=β在此基底下的坐标是_____________. 三、(本题满分7分) (2)设矩阵A 和B 满足关系式2,+AB =A B 其中301110,014?? ??=?????? A 求矩阵. B 五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (4)设A 为n 阶方阵，且A 的行列式||0,a =≠A 而*A 是A 的伴随矩阵，则*||A 等于 (A )a (B )1 a (C )1n a - (D )n a 九、（本题满分8分） 问,a b 为何值时,现线性方程组 123423423412340 221(3)2321 x x x x x x x x a x x b x x x ax +++=++=-+--=+++=- 有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.
(4)设4阶矩阵234234[,,,],[,,,],==A αγγγB βγγγ其中234,,,,αβγγγ均为4维列向量,且已知行列式4,1,==A B 则行列式+A B = _______. 三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (5)n 维向量组12,,,(3)s s n ≤≤αααL 线性无关的充要条件是 (A )存在一组不全为零的数12,,,,s k k k L 使11220s s k k k +++≠αααL (B )12,,,s αααL 中任意两个向量均线性无关 (C )12,,,s αααL 中存在一个向量不能用其余向量线性表示 (D )12,,,s αααL 中存在一个向量都不能用其余向量线性表示 七、（本题满分6分） 已知,=AP BP 其中100100000,210,001211???? ????==-???? ????-???? B P 求5,.A A 八、（本题满分8分） 已知矩阵20000101x ????=??????A 与20000001y ?? ??=?? ??-??B 相似. (1)求x 与.y (2)求一个满足1-=P AP B 的可逆阵.P
2000年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1) ? =_____________. (2)曲面2222321x y z ++=在点(1,2,2)--的法线方程为_____________. (3)微分方程30xy y '''+=的通解为_____________. (4)已知方程组12312 112323120x a x a x ????????????+=????????????-?????? 无解,则a = _____________. (5)设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为1 9 ,A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等,则()P A =_____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设()f x 、()g x 是恒大于零的可导函数,且()()()()0f x g x f x g x ''-<,则当a x b <<时,有 (A)()()()()f x g b f b g x > (B)()()()()f x g a f a g x > (C)()()()()f x g x f b g b > (D)()()()()f x g x f a g a > (2)设22221:(0),S x y z a z S ++=≥为S 在第一卦限中的部分,则有 (A)1 4S S xdS xdS =???? (B)1 4S S ydS xdS =???? (C) 1 4S S zdS xdS =???? (D) 1 4S S xyzdS xyzdS =???? (3)设级数 1 n n u ∞ =∑收敛,则必收敛的级数为 (A)1 (1)n n n u n ∞ =-∑ (B) 2 1 n n u ∞ =∑ (C) 21 21 ()n n n u u ∞ -=-∑ (D) 11 ()n n n u u ∞ +=+∑ (4)设n 维列向量组1,,()m m n <αα 线性无关,则n 维列向量组1,,m ββ 线性无关的充分必要条件为 (A)向量组1,,m αα 可由向量组1,,m ββ 线性表示
历年考研数学一真题1987-2016 1987年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (5)已知三维向量空间的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),===ααα则向量(2,0,0)=β在此基底下的坐标是_____________. 三、(本题满分7分) (2)设矩阵A 和B 满足关系式2,+AB =A B 其中301110,014?? ??=?????? A 求矩阵. B 五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (4)设A 为n 阶方阵，且A 的行列式||0,a =≠A 而*A 是A 的伴随矩阵，则*||A 等于 (A )a (B )1 a (C )1n a - (D )n a 九、（本题满分8分） 问,a b 为何值时,现线性方程组 123423423412340 221(3)2321 x x x x x x x x a x x b x x x ax +++=++=-+--=+++=- 有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.
1988年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 二、填空题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.把答案填在题中横线上) (4)设4阶矩阵234234[,,,],[,,,],==A αγγγB βγγγ其中234,,,,αβγγγ均为4维列向量,且已知行列式4,1,==A B 则行列式+A B = _______. 三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (5)n 维向量组12,,,(3)s s n ≤≤αααL 线性无关的充要条件是 (A )存在一组不全为零的数12,,,,s k k k L 使11220s s k k k +++≠αααL (B )12,,,s αααL 中任意两个向量均线性无关 (C )12,,,s αααL 中存在一个向量不能用其余向量线性表示 (D )12,,,s αααL 中存在一个向量都不能用其余向量线性表示 七、（本题满分6分） 已知,=AP BP 其中100100000,210,001211???? ????==-????????-????B P 求5 ,.A A 八、（本题满分8分） 已知矩阵20000101x ????=?? ???? A 与20000001y ?? ??=????-??B 相似. (1)求x 与.y (2)求一个满足1-=P AP B 的可逆阵.P
2016年考研数学一答案 【篇一：2016考研数学数学一试题(完整版)】 ass=txt>一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. （1）若反常积分 01dx收敛，则 xa(1x)b （a）a1且b1.（b）a1且b1. （c）a1且ab1.（d）a1且ab1. 2(x1),x1,（2）已知函数f(x)则f(x)的一个原函数是 x1,lnx, (x1)2,x1.(x1)2,x1.（a）f(x)（b）f(x) x(lnx1),x1.x(lnx1)1,x1. (x1)2,(x1)2,x1.x1.（c）f(x)（d）f(x) x(lnx1)1,x1.x(lnx1)1,x1. （3 ）若y(1x2)2 y(1x2)2是微分方程yp(x)yq(x) 的两个解，则q(x) （a）3x(1x2).（b）3x(1x2). （c）xx. （d）. 1x21x2 x,（4）已知函数f(x)1,nx0,则 11x,n1,2,,n1n （a）x0是f(x)的第一类间断点. （b）x0是f(x)的第二类间断点.
（c）f(x)在x0处连续但不可导. （d）f(x)在x0处可导. （5）设a，b是可逆矩阵，且a与b相似，则下列结论错误的是 （a）at与bt相似（b）a1与b1相似 （c）aat与bbt相似（d）aa1与bb1相似 22（6）设二次型f(x1,x2,x3)x12x2则 fx(x,1x,x34x1x24x1x34x2x3，2)32在 空间直角坐标下表示的二次曲面为 （a）单叶双曲面（b）双叶双曲面 （c）椭球面（d）柱面 （7）设随机变量x~n(,2)(0)，记pp{x2}，则 （a）p随着的增加而增加（b）p随着的增加而增加 （c）p随着的增加而减少（d）p随着的增加而减少 （8）随机试验e有三种两两不相容的结果a1，a2，a3，且三种结果发生的概率1均为。将试验e独立重复做2次，x表示2次试验中结果a1发生的次数，y表3 示2次试验中结果a2发生的次数，则x与y的相关系数为 （a）（b）（c）（d） 二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分. （9）limx0x0tln(1tsint)dt1cosx2_______. （10）向量场a(x,y,z)(xyz)ixyjzk的旋度rota_______. （11）设函数f(u,v)可微，zz(x,y)由方程(x1)zy2x2f(xz,y)确定，则dz|(0,1)______. （12）设函数f(x)arctanxx，且f(0)1，则a______. 21ax
2016年考研数学（三）真题 一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） (1) 若5)(cos sin lim 0=--→b x a e x x x ，则a =______，b =______. (2) 设函数f (u , v )由关系式f [xg (y ) , y ] = x + g (y )确定，其中函数g (y )可微，且g (y ) ≠ 0，则2f u v ?= ??. (3) 设?? ???≥ -<≤-=21,12121,)(2 x x xe x f x ，则212(1)f x dx -=?. (4) 二次型2 132********)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为 . (5) 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 则=>}{DX X P _______. (6) 设总体X 服从正态分布),(21σμN , 总体Y 服从正态分布),(2 2σμN ,1,,21n X X X 和 2 ,,21n Y Y Y 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本, 则 12221112()()2n n i j i j X X Y Y E n n ==?? -+-????=??+-?????? ∑∑. 二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求， 把所选项前的字母填在题后的括号内） (7) 函数2 ) 2)(1() 2sin(||)(---= x x x x x x f 在下列哪个区间内有界. (A) (-1 , 0). (B) (0 , 1). (C) (1 , 2). (D) (2 , 3). [ ] (8) 设f (x )在(-∞ , +∞)内有定义，且a x f x =∞ →)(lim ， ?????=≠=0 ,00 ,)1()(x x x f x g ，则 (A) x = 0必是g (x )的第一类间断点. (B) x = 0必是g (x )的第二类间断点. (C) x = 0必是g (x )的连续点. (D) g (x )在点x = 0处的连续性和a 的取值有关. [ ] (9) 设f (x ) = |x (1 - x )|，则 (A) x = 0是f (x )的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x )的拐点. (B) x = 0不是f (x )的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点. (C) x = 0是f (x )的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点. (D) x = 0不是f (x )的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x )的拐点. [ ] (10) 设有下列命题： (1) 若 ∑∞=-+1 212)(n n n u u 收敛，则∑∞ =1 n n u 收敛.
2016年考研数学二真题与解析 一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． １．当+→0x 时，若)(ln x 21+α ，α1 1)cos (x -均是比x 高阶的无穷小，则α的可能取值范围是（ ） （A ）),(+∞2 （B ）),(21 （C ）),(121 （D ）),(2 10 【详解】αααx x 221~)(ln +，是α阶无穷小，ααα2 11 21 1x x ~)cos (-是α2 阶无穷小，由题意可知?? ? ??>>121αα 所以α的可能取值范围是),(21，应该选（B ）． 2．下列曲线有渐近线的是 （A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2（C ）x x y 1sin += （D ）x x y 12 sin += 【详解】对于x x y 1sin +=，可知1=∞ →x y x lim 且01 ==-∞→∞→x x y x x sin lim )(lim ，所以有斜渐近线x y = 应该选（C ） 3．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ） （A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≤ 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法． 【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断． 显然 x f x f x g )())(()(110+-=就是联接))(,()),(,(1100f f 两点的直线方程．故当0≥'')(x f 时，曲线是凹 的，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ） 【详解2】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义不熟悉的话，可令 x f x f x f x g x f x F )())(()()()()(110---=-=，则010==)()(F F ，且)(")("x f x F =，故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，从而010==≤)()()(F F x F ，即0≤-=)()()(x g x f x F ，也就是
2016考研数学（一）真题及答案解析 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若反常积分 () 11b a dx x x +∞ +? 收敛，则（ ） ()()()()11111111 A a b B a b C a a b D a a b <>>><+>>+>且且且且 （2）已知函数()()21,1 ln ,1 x x f x x x -
2016考研真题完整版 数学（一） 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若反常积分 () 11b a dx x x +∞ +? 收敛，则（ ） ()()()()11111111 A a b B a b C a a b D a a b <>>><+>>+>且且且且 （2）已知函数()()21,1ln ,1x x f x x x -
2016年考研数学三真题及解析
2016年考研数学（三）真题 一、 填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）()11lim ______. n n n n -→∞ +??= ? ?? （2）设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()()e f x f x '=，()21f =，则()2____.f '''= （3）设函数()f u 可微,且()102 f '=,则() 2 24z f x y =-在点(1,2)处的 全微分( ) 1,2d _____. z = （4）设矩阵 2112A ??= ? -?? ，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足 2BA B E =+，则=B . （5）设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则{}{}max ,1P X Y ≤=_______. （6）设总体X 的概率密度为()()121,,,,2 x n f x e x X X X -=-∞<<+∞L 为总体X 的简单随机样本，其样本方差为2 S ，则2 ____. ES = 二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ?为自变量x 在点0 x 处的增量，d y y ?与分别为()f x 在点0 x 处对应的 增量与微分，若0x ?>，则
(A) 0d y y <
2016考研数学（一）真题及答案解析 考研复习最重要的就是真题，所以跨考教育数学教研室为考生提供2016考研数学一的真题、答案及部分解析，希望考生能够在最后冲刺阶段通过真题查漏补缺，快速有效的备考。 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设{}n x 是数列下列命题中不正确的是（ ） （A ）若lim n n x a →∞ =，则221lim lim n n n n x x a +→∞ →∞ == （B ）若221lim lim n n n n x x a +→∞ →∞ ==，则lim n n x a →∞ = （C ）若lim n n x a →∞ =，则321lim lim n n n n x x a -→∞ →∞ == （D ）若331lim lim n n n n x x a -→∞ →∞ ==，则lim n n x a →∞ = 【答案】（D ） （2）设211 ()23 x x y e x e = +-是二阶常系数非齐次线性微分方程x y ay by ce '''++=的一个特解，则 （A ）3,2,1a b c =-==- （B ）3,2,1a b c ===- （C ）3,2,1a b c =-== （D ）3,2,1a b c === 【答案】（A ） 【解析】将特解代入微分方程，利用待定系数法，得出3,2,1a b c =-==-。故选A 。 （3）若级数 1 n n n a x ∞ =∑在2x = 处条件收敛，则x = 3x =依次为幂级数1 (1)n n n na x ∞ =-∑的（ ） （A ）收敛点，收敛点 （B ）收敛点，发散点 （C ）发散点，收敛点 （D ）发散点，发散点 【答案】（A ） 【解析】因为级数 1 n n n a x ∞ =∑在2x =处条件收敛，所以2R =，有幂级数的性质， 1 (1) n n n na x ∞ =-∑的收敛半径 也为2R =，即13x -<，收敛区间为13x -<<，则收敛域为13x -<≤ ，进而x =3x =依次为幂 级数 1 (1) n n n na x ∞ =-∑的收敛点，收敛点，故选A 。 （4）下列级数发散的是（ ） （A ） 18 n n n ∞ =∑ （B ） 1 1)n n ∞ =+
2016年考研数学一真题及详细解析 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若反常积分 () 11b a dx x x +∞ +? 收敛，则（ ） ()()()()11111111 A a b B a b C a a b D a a b <>>><+>>+>且且且且 【答案】（C ） 【解析】 1 (1) a b dx x x +∞ +? 1 111(1)(1)a b a b dx dx x x x x +∞=+++? ? 1 1p dx x ? 在（1p <时收敛），可知1a <，而此时(1)b x +不影响 同理， 1 11 1(1)11b a b a b dx dx x x x x +∞ +∞+=+?? + ? ?? ? ? 1 1p dx x +∞ ? （1p >时收敛），而此时11b x ??+ ??? 不影响 （2）已知函数()()21,1 ln ,1 x x f x x x -
2016年全国硕士研究生入学统一考试数学三考研真题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设函数()y f x =在(),-∞+∞内连续，其导数如图所示，则（ ） （A ）函数有2个极值点，曲线()y f x =有2个拐点 （B ）函数有2个极值点，曲线()y f x =有3个拐点 （C ）函数有3个极值点，曲线()y f x =有1个拐点 （D ） 函数有3个极值点，曲线()y f x =有2个拐点 （2）已知函数(,)x e f x y x y =-，则 （A ）''0x y f f -= （B ）''0x y f f += （C ）''x y f f f -= （D ）''x y f f f += （3）设(i ,,)i i D T ==??123，其中{} (,),D x y x y =≤≤≤≤10101， {{} (,),,(,),D x y x y D x y x x y =≤≤≤≤=≤≤≤≤223010011，则 （A ）T T T <<123 （B ）T T T <<312 （C ）T T T <<231 （D ）T T T <<213
（4） 级数为sin()n n k ∞ =+∑1，（k 为常数） （A ）绝对收敛 （B ）条件收敛 （C ）发散 （D ）收敛性与k 有关 （5）设,A B 是可逆矩阵，且A 与B 相似，则下列结论错误的是（ ） （A ）T A 与T B 相似 （B ）1A -与1B -相似 （C ）T A A +与T B B +相似 （D ）1A A -+与1B B -+相似 （6）设二次型22 2 123123122313(,,)()222f x x x a x x x x x x x x x =+++++的正负惯性指数分别为1,2，则（ ） （A ）1a > （B ）2a <- （C ）21a -<< （D ）1a =或2a =-