本科生毕业论文
拉普拉斯变换及在线性系统的应用
院系数学与统计学院
专业数学与应用数学
班级 2007级本科3班
学号 0501070310
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指导教师职称讲师助教
2011年 4月
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年月日
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年月日
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年月日
本文由拉普拉斯变换的一些基础知识入手,介绍了拉普拉斯变换的概念,定理.归纳总结了它的一些性质及关于各性质的证明和用法.重点讨论了如何用拉普拉斯变换解常系数线性微分方程（组）,总结出象原函数的几种求解方法,以及不同的方法适合使用的情况等.另外还简单介绍了拉普拉斯变换在工程学中的一些线性系统的应用,其中包括在动态电路系统和电力系统的应用.
关键词：拉普拉斯变换；常系数微分方程；线性系统
ABSTRACT
This paper is about the basic knowledge of the Laplace Transform. It contains the concept of Laplace Transform, theorems,summarizes some of its properties and the nature of the proof and usage.It discusses hou to use the Laplace Transform to solve Linear Differential Equations (group). And it sums up a variety of solutions of the original function, what’s more,the different methods are used in different situations. And it also introduces the Laplace transform of some linear systems engineering applications, including dynamic circuit system and electrical system. Keywords: Laplace transform; Constant coefficient differential equations; Linear system
1 引言 (1)
2 拉普拉斯变换的理论基础 (2)
2.1拉普拉斯变换与拉普拉斯逆变换的定义 (2)
2.2 拉普拉斯变换的性质 (4)
2.3 拉普拉斯逆变换与反演积分公式 (9)
3 拉普拉斯变换的应用 (10)
3.1 利用拉普拉斯变换解微分方程积分方程（组） (10)
3.2 利用拉普拉斯变换求解实变量的广义积分 (12)
3.3 拉普拉斯变换在复杂线性动态电路的应用 (12)
3.4 拉普拉斯变换在动力系统中的应用 (14)
4.小结 (15)
参考文献 (16)
致谢 (17)
拉普拉斯变换及在线性系统的应用
1 引言
拉普拉斯(Laplace)变换（简称拉氏变换）是在对傅立叶(Fourier)变换改进的基础上发展起来的.我们知道傅氏变换是建立在傅氏积分的基础上,一个函数除了要满足狄氏条件外,还要在(,)
-∞+∞上绝对可积.这是一个相当强的条件,即使一些简单的函数如线性函数,三角函数都能不满足.另外,在工程实际问题中,许多以时间t作为作为自变量的函数在0
t<
时是无意义的,为解决上述问题,拉普拉斯变换就应运而生.拉氏变换在傅氏变换的基础上引入了衰减指数函数和单位阶跃函数,从而放宽了对函数的限制,也使之更适合工程实际.所以拉氏变换就既继承了傅立叶变换的许多好的性质,又克服了傅立叶变换的一些不足之处,它的应用性更强.拉普拉斯变换是比傅立叶变换应用更为广泛的一种积分变换.
本文从白艳萍,雷英杰等编写的《复变函数与积分变换》中提炼了拉氏变换的概念,参考了冯复科编写的《复变函数与积分变换》和李红,谢松法编写的《复变函数与积分变换》总结出拉氏变换的存在性定理,周期函数的拉氏变换及拉氏逆变换,反演公式等.从上面的用到的书籍以及金忆丹,尹永成编写的《复变函数及拉普拉斯变换》中归纳出拉氏变换常用的八条性质等.大部分性质有对应的简单证明及用法例题.由拉氏变换和傅氏变换的关系导出的反演积分公式,原则上讲是一种求拉氏逆变换的通用方法.但对于求一些复杂的象原函数,我们可根据具体情况,充分利用拉氏变换的各种性质,选择适合的简便的算法.通常是将象函数分解为一些基本函数的相加或相乘,再利用拉氏变换的各种性质,并结合这些基本函数的原函数,求出总的象原函数.
论文后半部分则主要简单介绍了拉普拉斯变换的一些应用.拉普拉斯变换是高等数学及一些物理系统研究中的一个非常重要的变换.作为一种数学工具可以使有关运算得以简化.首先从数学角度来看,拉氏变换是求解常系数线性微分方程的重要方法,应用拉普拉斯变换解常变量齐次微分方程,可以将微分方程化为代数方程,使问题得以解决,并且分析计算都变得简单和有效.其次在工程学上,拉普拉斯变换是研究线性定常系统的基本工具.在物理学中有很多线性系统,如电路系统、动力系统等的研究,可以归结为求常系数线性微分方程的初值问题.而拉普拉斯变换提供了求解初值问题的一种简便方法.所以说它是研究工程实际问题中线性系统的有力工具.本文参考了近期的一些科研论文,仅从数学角度分析了拉普拉斯变换在求解微分方程,在复杂的线性动态电路及动力系统等线性系统的一些简单的应用.
2 拉普拉斯变换的理论基础
2.1拉普拉斯变换与拉普拉斯逆变换的定义
[1]
设函数()f t 在0t ≥时有定义,若广义积分对参变量在某一区间D 内收敛,则此广义积分在区域D 内定义了一个复变函数,
()()st F s f t e dt +∞
-=
?
， （1）
称复变函数()F s 为函数()f t 的拉普拉斯变换,记为
{}0
()()()st F s L f t f t e dt +∞
-==
?
， （2）
函数()f t 成为()F s 的Laplace 逆变换,记为
{}1()()f t L F s -=,
()f t 和()F s 构成了一对拉普拉斯变换对,其中,()F s 称为变换的象函数,而()f t 称为变
换的象原函数.
从象函数()F s 求它的象原函数()f t 的一般公式：（拉普拉斯逆变换的一般公式）
{} 1 1()()()(0)2i st
i f t L F s F s e ds t i
ααπ+∞--∞==
>?, 我们说拉普拉斯变换是由傅里叶变换转化而来的,那么它们之间又有怎样的联系呢？由（1）式,我们有
0 0
[()]()()()()[()()].
st
t i t t i t t L f t f t e dt f t e e dt
f t u t e e dt F f t u t e βωβωβ+∞
+∞
---+∞
----∞
====?
?
?
可见函数()f t 的拉氏变换就是()()t f t u t e β-的傅氏变换.其大致思路就是：首先通过单位阶跃函数()u t 使函数()f t 在0t <的部分充零；其次对函数()f t 在0t >的部分乘上一个衰减的指数函数t e β-以降低其“增长”速度,这样就可使函数()()t f t u t e β-满足傅氏积分条件,即可进行积分.
另外,我们一般约定：在拉氏变换中所提到的函数()f t 均理解为当0t <时取零值.
例 1 求单位阶跃函数0,0
()1,0
t u t t
>?及函数at e 的拉氏变换（a 为常实数且0a >）.
解 根据拉氏变换的定义,有
1
1
[()](Re()0).st st
o
L u t e dt e s s
s
+∞
+∞
--==-=>?
() 0
11
[](Re 0)at
at st
a s t
t L e e e dt e
s a s
s a
+∞
+∞
--==
==
>--?
. 例 2 正弦函数的()sin f t kt =（ｋ为常数）Laplace 变换. 解 根据拉氏变换的公式,有
2222
1[sin ]sin()[(sin cos )],Re()0.st st
e L kt kt e dt s kt k kt s s k s k -+∞
-+∞
==--=>++?
从上面的例子我们已经看出拉氏变换的确扩大了傅氏变换的使用范围,但到底那类函数存在拉氏变换呢？也就是说,相对于傅氏变换的条件,拉氏变换存在的条件要弱的多,但一个函数的拉氏变换的存在,还是要具备一些条件的.
定理 1[1]（拉普拉斯变换的存在定理） 若函数()f t 满足下列条件： ①在0t ≥的任何有限区间上分段连续.
②随着t 的增大,即t →+∞时,函数()f t 的增大,不比某个指数函数快,即存在常数
0M >和0c ≥,使得()ct f t Me ≤.则()f t 的拉普拉斯变换()[()]F s L f t =在半平面Re()s c
>上一定存在.
常见的大部分函数都是满足的,如常值函数,单位阶跃函数,三角函数,指数函数及幂函数等.他它们虽不满足在(,)-∞+∞上绝对可积的条件,但它们的增大却不超过指数级.而函数2
t e 则不满足,因为无论取多大的M 和c ,对足够大的t,总会出现2
t ct e Me >,其拉氏变换不存在. 值得注意的是,拉氏变换的存在定理的条件是充分的,但不是必要的.
定理 2[2] 周期函数的拉氏变换
设()f t 是以T 为周期的周期函数,即()()(0)f t T f t t +=>,且在各周期上分段连续,则有
1
[()]().1T
st sT
L f t f t e dt e --=
-?
证 (1) 0
[()]()().k T
st
st kT
k L f t f t e dt f t e dt ∞
+∞
+--==
=∑?
?
令t u kT =+,则可得
[()][()](())1().
1T
T
skT
su
st
skT
k k T
st sT
L f t e
f u e du f t e dt e f t e dt e ∞
∞
----==--===
-∑∑?
??
2.2 拉普拉斯变换的性质
(1)线性性质[2]
若,αβ是常数,[]11()()L f t F s =,[]22()()L f t F s =,
则 [][][]1212()()()()L f t f t L f t L f t αβαβ+=+,
[][][]1212()()()()L f s f s L f s L f s αβαβ---+=+.
这个性质表明函数线性组合的拉氏变换等于函数拉氏变换的线性组合.拉氏的逆变换也一样.
例 1 求cos t ω的拉氏变换.
解 由1cos ()2i t i t t e e ωωω-=+及1
[]i t L e s i ωω
=-,有
22
1
[cos ]([][])2
111().2i t i t L t L e L e s s i s i s ωωωωωω-=
+=+=-++
同理可得 22
[sin ]L t s ω
ωω
=
+. （2）相似性质[3]
对于任一常数0a >有 1[()]()s L f a t F a
a
=
. 证
() 0[()]()11()().st s u a L f at f at e dt
s
f u e du F a a a
+∞
--+∞===?
?
（3）位移性质[2] 若[]()()L f t F s =则有
①()(),at
L e f t F s a ??=-??（Re()0s a ->）
或 ②00[()]()st L f t t e F s --=,（00t ≥为常数）.
证 ①由拉氏变换的定义
0 () 0
[()]()()().
at at st s a t
L e f t e f t e dt
f t e
dt F s a +∞
-+∞
--===-?
?
0000 00 0
[()]()()()[()]().
st st
su st st st su L f t t f t t e dt f u e e du
e f u e du e L f t e F s +∞
+∞
---+∞-----=-====?
?
?
②
这个性质反映了平移函数0()f t t -的像可由未平移函数()f t 的像()F s 乘以0st e -表示,平移函数0()f t t -的原像可通过未平移函数()F s 的原像()f t 乘以因子0t t e 表示.
例 2 已知()sin ()at f t e kt u t τ-=+-,求[()]L f t . 解 由拉氏变换的线性性质
[()][sin ][()]at L f t L e kt L u t τ-=+-,
而 22[sin ]k L kt s k =+, 1
[()]L u t s
=,
由位移的性质可知
22
[sin ]()at
k
L e
kt s a k -=
++,
及 1
[()]s L u t e s
ττ--=,
所以 22
1[()]()s k L f t e s a k s
τ
-=
+++. （4）微分性质[5]
① 像原函数的微分性质
若[]()()L f t F s =则'
()()(0).L f t sF s f ??=-??
证 根据拉氏变换的定义和分部积分法,得
'
' 0
[()]()()()()(0).
st st st L f t f t e dt
f t e
s f t e dt sF s f +∞
-+∞
+∞
--==+=-?
?
推论 若()()()1,2,
,k f t k n =为象原函数,则
()12'(1)[()]()(0)(0)(0),1,2,.n n n n n L f t s F s s f s f f n ---=----=
拉氏变换的这一推论可以用来求解微分方程（组）的初值问题. 例 3 求解微分方程 ''2'()()0,(0)0,(0).y t y t y y ωω+=== 解 对方程两边取拉氏变换,并利用线性性质及上面推论有
2'2()(0)(0)()0,s Y s sy y Y t ω--+=
其中()[()]Y s L y t =,代入初值即得
22
().Y s s ω
ω
=
+ 根据上边例题结果,有1()[()]sin .y t L Y s t ω-==
②像函数的微分性质
'()[()].F s L tf t =-
一般的有 ()[()()].n n F s L t f t =-
证 由 0
()()st F s f t e dt +∞-=?
有
' 0 0 0
()()[()]()[()].
st st
st d F s f t e dt f t e dt ds s tf t e dt L tf t +∞+∞--+∞-?=
=?=-=-???
（5）积分性质[3] ① 像原函数的积分性质
若 []()()L f t F s = 则 1 0()().t
L f t dt s F s -?
?=????
? 一般的有 0
0 0
1
[()]()t t
t
n
n L dt dt
f t dt F s s =
???
次
. ②像函数的积分性质
()
()[
].s
f t F s ds L t
∞
=?
一般的有 ()
()[
]n s
s s
n f t ds ds
F s ds L t
∞
∞
∞
=???
次
. 证 ①设 0
()(),t
h t f t dt =?则'()(),h t f t =(0)0.h =由微分性质
'
[()][()][()](0)[()],t
L h t L f t sL h t h sL f t dt ==-=?
从而 011
[()][()]().t
L f t dt L f t F s s s
==?
0()[()]()[]1()()()[][].
st st s
s
s
st st s
F s ds f t e dt ds f t e ds dt
f t f t f t e dt e dt L t t t ∞∞+∞
+∞
∞
--∞
+∞
+∞--===?-==???
?
??
?②
并且由 ()
()[
]s f t F s ds L t ∞
=?得 0()(),st s f t F s ds e dt t
∞+∞-=??两边取0s =,则有 00()().f t dt F s ds t +∞∞
=??
这是一个求形如 0()
f t dt t
+∞?的积分的一个重要方法.这种形式的积分用数学分析中的积分方法很难找到解,但用拉氏变换的方法就简单多了,我们来看下面的例子.
例 4 求 0
sin .t
dt t
+∞?
解 ()s i n
,f t t =而2
1
[sin ],1L t s =+因此 20
0 0sin 1arctan .12
t dt ds s t s π+∞∞∞
===+?? （6）延迟性质
若[]()()L f t F s =又0t <时,(0)0f =,则对于任一实数τ,有
[]()().st L f t e F s τ--=或()().st
L e F s f t τ--??=-??
证 由定义有
[()]()(),st st L f t f t e dt f t e dt τ
τττ+∞
+∞
---=-=-?
?
令 1t t τ=-, 有 1 ()11 0
[()]()().s t s L f t f t e dt e F s τττ+∞-+--==?
必须注意的是本性质中对()f t 的要求,即当0t <时(0)0f =.此时()f t τ-在t τ<时为零.
(7)卷积性质[3]
按照卷积的定义,两个函数的卷积是指
1212 ()()()().f t f t f f t d τττ+∞
-∞
*=-?
如果1()f t 与2()f t 满足当0t <时,12()()0,f t f t ==则有
121212 0
()()()()()().t
f f t d f f t d f f t d τττττττττ+∞
+∞
-∞
-=-=-?
?
?
所以在拉普拉斯变换中有
1212 0
()()()()(0).t
f t f t f f t d t τττ*=-≥?
显然,上式满足交换律,结合律,与对加法的分配律. 若设11[()]()L f t F s =,22[()]()L f t F s =,则12[()()]L f t f t *存在,且
121212[()()][()][()]()(),L f t f t L f t L f t F s F s *=?=?
或 11212[()()]()()L F s F s f t f t -?=*.
这个性质表明：两个函数卷积的拉氏变换等于这两个函数拉氏变换的乘积. 卷积性质可以推广到多个函数的情形.利用卷积性质可以求一些函数的逆变换.在拉氏变换中,卷积性质起着十分重要的作用.
例 5 已知2
22
()(1)s F s s =+,求1()[()]f t L F s -=. 解 由于22()11s s F s s s =
?++,1
2
[]cos 1
s L t s -=+,故有 1
0()[()]cos cos cos cos()1[cos cos(2)]21
(cos sin ).2
t
t
f t L F s t t t d t t d t t t τττ
ττ-==*=-=+-=+??
（8）初值定理与终值定理[4] ①初值定理
若[]()()L f t F s =,且lim ()s sF s →∞
存在,则
lim ()lim ()t s f t sF s →→∞
=或(0)lim ()s f sF s →∞
=.
②终值定理
若[]()()L f t F s =,且lim ()s sF s →∞
存在,则
lim ()lim ()t s f t sF s →→∞
=或0
()lim ()s f sF s →∞=.
由上面的这些性质及例题,我们可以看出,利用拉氏变换的这些基本性质,可使积分变得简单,从而使拉氏变换的应用更为广泛.
2.3 拉普拉斯逆变换与反演积分公式
我们知道运用拉氏变换求解具体实际问题时,常常需要由像函数求出像原函数.从前面的讨论,我们已经知道可以利用拉氏变换的性质并根据一些已知的变换来求像原函数,下面我们介绍一种更一般性的方法,它直接用像函数表示出像原函数,即所谓的反演积分,再利用留数求出像原函数.
由上文,若[()]()L f t F s =,则[()][()()]()()t L f t F f t u t e G F s βω-===,且s i βω=+,由拉氏逆变换的定义,1()[()]f t L F s -=,所以
1 1()()[()]()2
t i t
f t u t e L F s F s e βω+∞---∞==
?. 0t >时,解得 () 1
1()()()()22i t t i t
f t F s e e d F s e d i i
ωββωωβωπ
π+∞
+∞+-∞
-∞=
=
+?
?, 令s i βω=+,则有 1()()2st f t F s e ds i ββπ+∞
-∞
=?,0t >. 这就是求拉氏逆变换的一般公式,通常称作拉氏反演公式
[5]
. 右端的积分称作拉氏反
演积分. 拉氏反演积分是一个复变函数的积分,计算通常比较困难.但当()F s 满足一定条件,可以用留数来计算.
若()F s 有有限个奇点12,,,,n s s s 适当选取β,使得这些奇点全在Re()s β<的范围内,且
当s →∞时,()0F s →,则有
1
1()Re [(),]2n
i st
st k i k F s e ds s F s e s i ββπ+∞-∞==∑?, 即 1
()Re [(),]n
st k k f t s F s e s ==∑,0t >.
例 1 已知2
1()(2)(1)
F s s s =
--,求1
()[()]f t L F s -=. 解法一 利用部分分式求解. 对()F s 进行分解可得2
111()21(1)
F s s s s =
-----,由于 11[]at
L e s a -=-, 1
2
1
[
](1)
t L te s -=- ,故2()t t t f t e e te =--. 解法二 利用卷积求解.
设
11()2
F s s =
-,
22
1()(1)F s s =
-,则
12()()()
F s F s F s =?.又由于
1211()[()]t f t L F s e -==,122()[()]t f t L F s te -==,根据卷积性质有
2()12 0 22 0
2()()()(1).
t
t t
t t t t t t t f t f t f t e e d e e d e e te e e te τττττ
ττ----=*=?==--=--??
解法三 利用留数求解.
由于12s =,21s =分别为像函数()F s 的简单极点与二阶极点,应用留数定理及留数计算法则有
'22
1
()Re [(),2]Re [(),1]
().(1)2st st st st t t t
s f t s F s e s F s e e e e e te s s ==+=
+=---- 求解函数像函数或者像原函数的方法可能很多,例如利用卷积定理,部分分式反演积分还有留数定理等,这几种方法都各自有各自的优缺点,我们要根据实际情况,选择合适的拉氏变换或性质定理.有时还可以利用拉氏变换的基本性质.以上的这些方法除了留数理论的情况外,都需要知道一些最基本的拉氏变换的象函数的象想函数.此外还可以用查表的方法,简化计算. 3 拉氏变换的应用
3.1 利用拉普拉斯变换解微分方程积分方程（组）
许多工程实际问题可以用微分方程来描述,拉氏变换对求解微分方程非常有效,这是拉普拉斯变换的一个最基本的应用.含有未知数()f t 及其各阶导数方程称为微分方程.如果未知数()f t 及其各阶导数都是一次的,则称之为线性微分方程.线性微分方程常常被用来描述各种各样的动态系统,这个我们下文会提到[6].
应用拉普拉斯变换求解常系数微分方程,其求解方法大致为以下二个步骤： （1）和利用傅氏变换求解微分方程一样,根据拉氏变换的线性性质和微分性质等,对原微分方程两端取拉普拉斯变换,同时结合其初始条件,将原常系数微分方程通过拉普拉斯变换转化为关于象函数的代数方程.
（2）求解象函数满足的代数方程,得到象函数.再对求得的象函数做拉氏逆变换,得原方程之解.
例 1 求方程''''''331x x x x +++=的满足初始条件'''(0)(0)(0)0x x x ===的解.
解 对方程两边施行拉普拉斯变换得321(331)()s s s X s s +++=,由此得3
1
()(1)X s s s =+,
把上式右端分解成部分
323
11111
(1)(1)(1)(1)
s s s s s s =---++++,对上式右端各项分别求出(查表)其原函数,则它们的和就是x(s)的原函数1
()12
t t x t e te t --=---,这就是所要求的解
应用拉普拉斯变换求积分方程.
例 2 解积分方程 0()sin 2()cos()t
y t t y t d τττ=--?.
解 解此方程要用到拉普拉斯变换的卷积性质.令[]()()Y s L y t =,则
[][][]22
12()sin 2()cos ()11s
Y s L t L y t L t Y s s s
=-=
-++, 故2
1()(1)
Y s s =
+,于是[]()()t
y t L Y s te --==. 例 3 求解微分方程组
''()()(),
(0)(0) 1.()3()2()2,
t t
x t x t y t e x y y t x t y t e ?+-=?==?+-=?? 解 令()[()],()[()],X s L x t Y s L y t ==对方程两边取拉式变换,并应用初始条件得
1()1()(),1
1()13()2()2.
1sX s X s Y s s sY s X s Y s s ?-+-=??-?
?-+-=?-?
求解得 1
()()1
X t Y t s ==-, 取拉氏逆变换得原方程组的解为
()().t x t y t e ==
综上,我们可以得到用拉普拉斯变换法解微分或者积分方程的以下几个优点：求解过程规范,便于在工程技术中使用；当初始条件全部为0时(这在工程中常遇到),用拉普拉斯变换求解就会变得简单,而用经典的方法求解不会那么简单；当方程中的非齐次项(在工程中称为输入函数)具有跳跃点而不可微时,用经典的方法求解是很困难的,而用拉普拉斯变
换不会带来任何困难；在实际计算中可以用拉普拉斯变换表来求一些函数的像函数,这就使得求解方程变得更加方便 [7].
3.2 利用拉普拉斯变换求解实变量的广义积分
对于一些含参变量的广义积分, 一些通行的《数学分析》教材中很难甚至无法求出它们的解.但是我们可以通过引进参变量L,使其成为t 的函数,再利用取拉普拉斯变换的方法,并使参变量t 取某些特殊值,确定出积分的值. 该方法简便易行,能够顺利的求解. 如对于某些含参变量的广义积分而言,像 0
sin x
dx x
+∞?
(前面已经求解过的)等,在一般的《数学分析》教材中,利用积分号下求导以及交换积分次序来计算含参变量的广义积分,对此该方法很难求解,但如果把含参变量的广义积分取拉普拉斯变换,再通过拉普拉斯逆变换,就可以较方便地解决此类问题[8].
例 1 计算积分 2 0sin 1
x x
dx x +∞
+?
. 解 设 2 0sin ()1
x tx
f t dx x +∞=+?取拉普拉斯变换并交换积分次序,得 22 0 0 0 0
2 22222222 0 0222sin ()[()]sin 11111()111111()21121st st x tx x F s L f t dxe dt txe dtdx x x x x s dx dx x x s x s s x s s s s s
ππ+∞
+∞
+∞+∞
--+∞+∞===++=?=?+?+++--+=+=?--+?????? 取拉斯逆变换,
1()[()]2f t L F s e
π
-==
,
即 2 0
sin (1)12x x dx f x e
π
+∞
==+?
. 3.3 拉普拉斯变换在复杂线性动态电路的应用
线性动态电路是包含线性动态元件的线性电路.因为线性动态元件的元件约束方程是电压或电流变量与它们的导数或微分间的关系式,一般采用拉普拉斯变换法来分析复杂的线性动态电路.复杂线性动态电路是指动态元件多,动态元件具有初始储能,激励复杂的线性动态电路.复杂线性动态电路的电压电流关系是用高阶微分方程描述的.拉氏变换将高阶线性常微分方程变换为容易处理的线性多项式方程,并将电压和电流变量的初始值自动
引入到多项式方程中,这样,在变换过程中,初始条件的处理就成为变换的一部分,因此拉普拉斯变换是求解高阶微分方程,分析复杂线性动态电路的有效工具[9].
应用拉普拉斯变换法分析复杂线性动态电路,并不是简单的应用拉氏变换求解高阶线性常微分方程,而是把拉氏变换溶入到动态电路的分析方法中.图(1)所示是一个RLC 串联电路,图中,R=800Ω,L=200H,C=lO00F μ,u(t)= ε(t)V,(0)C u - =1V,i(0-)=2mA,求C u (t)电压.根据电路的元件约束和结构约束,即在RLC 电路中,根据基尔霍夫定理
()C R L u u u t ++=ε,其中 ()R u Ri t =,()c du i t C
dt =,()L d
u L i t dt
=,则响应()C u t 与激励()t ε的关系为22()c c c d u du
LC RC u t dt dt ++=ε.本题可以写出描述出图(1)所示电路电压电流关系的二阶
微分方程22455C C C d u du
u dt dt
ε++=(t)…(3).对(3)式进行拉普拉斯变换可以得到对应的复
频域方程25
(45)()6c s s U s S S
++=
++…(4).通过(4)式可以解得待求响应的象函数,此象函数的反拉普拉斯变换就是图(1)所示电路的待求响应C u (t)
[]
10.
图（1）
我们还可以根据拉氏变换的线性性质直接写出电路KVL 方程的复频域形式
()()()()R L c U s U s U s U s =++…(5).将电阻、电感、电容元件约束方程的复频域形式
()()R U s RI s =、()()(0)L U s sLI s Li -=-、(0)1
()()C C u U s I s sC s
-=
+代入(5)式得(0)(0)
()()1()(0)11C C C C C u u U s U s s s U s R sL Li s
sC sC
--
-
-
-=++- （6） 整理(4)式得方程25
(45)()6c s s U s S S ++=++…(7),(7)式与(4)式是同一复频域方程,
可见这种方法同样可以应用于分析复杂线性动态电路.
拉普拉斯变换法是数学工具在电路分析中的应用.对分析动态电路具有重要意义,它的变换域法思想对分析其它问题也具有重要意义.
3.4 拉普拉斯变换在动力系统中的应用
从文章上部分我们看到,用拉普拉斯变换求解常系数线性微分方程初值问题的解非常简便,对于向量函数的拉普拉斯变换,当一般的自治系统
()dX
F X dt
=…（9）为常系数线性系统时,运用拉普拉斯变换求解该问题．它无需先求出已知系统的通解,而是先通过拉普拉斯变换将已知系统化为代数系统,求出代数系统的解,再通过拉普拉斯逆变换,便可得到所求初值问题的解．
然而,根据拉普拉斯变换的定义及其性质,我们仅能求得初始条件为0t =0时的初值问题的解．在此,我们给出利用拉普拉斯变换求解常系数线性自治系统
dX
AX dt
=... (10) (其中,,,det 0n n n X R A R A ?∈∈≠)满足在任意点的初值条件0010200()(,,,)T n X t X x x x == (11)
的解的方法以及利用拉普拉斯变换求其通解的方法．
定义[11] 设向量函数()12((),(),
,()),T n n X t x t x t x t R =∈它的每个分量()i x t 都满足拉普
拉斯变换存在性定理的条件(i=l,2,…,n ．),定义：
12[()]([()],[()],
[()],)T n L X t L x t L x t L x t =
引理1[11] 自治系统(1)的解(积分曲线)具有平移不变性．即：若X=X(t)为系统(1)的一个解,则对于任意常数τ,函数X=X(t+τ)也是系统(1)的解．
另外,将自治系统(1)的满足初值条件(2)的解记为0(,,)o X t t X ,我们有下面的结论： 引理2 [11] 自治系统(1)的解0(,,)o X t t X 的一个平移0(,0,)o X t t X -也是系统(1)的解,并且二者恒等．
事实上,由引理1,两者皆为系统(1)的解,又满足同样的初值条件,由初值问题解的存在与唯一性定理知上面两个解为同一个解.
利用拉普拉斯变换求解常系数数线性自治系统在零点的初值问题考虑初值问题
00
,()dX
AX dt
X t X ?=?
??=?其中,0010200,0,(,,,),det 0.T n n n n t X x x x R A R A ?≥=∈∈≠设系统(1)的解为
0(,,)o X t t X ,由引理,0(,,)o X t t X =0(,0,)o X t t X -,这样,我们便将初值点平移到了00t t -=点,于是可用拉普拉斯变换求解该初值问题如下：
令00()(,0,)X X t t X τ=-（其中0t t τ=-,）则0(0)()X X t =,系统两边同时取拉普拉斯变
换,得到关于[()]L X τ,即以121[()],[()],,[()],n L x L x L x τττ为自变量的方程组,从中可以解出
121[()],[()],,[()],n L x L x L x τττ再取拉普拉斯逆变换,便得到所求系统初值问题的解()X τ．
看一个简单的例子．
例 1 求解系统x y y x =-??=?的满足初始条件()12
()02
x y π
π?=-????=??的解．
解 首先转化初值条件,设系统满足初始条件的解为(,
,(10))2
X t π
-,由引理,
(,
,(1,0))2
X t π
-,(,0,(1,0))2
X t π
-
-,令()(,0,(1,0))2
X X t π
τ=-
-,（其中2
t π
τ=-
）,
在系统(6)的两边同时取拉普拉斯变换,得[]1[],[][].sL x L y sL y L x +=-??=? 解之得 22[],1
1[].
1s L x s L y s ?
=-??+??=-?+?
再
取拉普拉斯的逆变换,得()()cos ,
sin .
x y ττττ=-???=-??
变量还原,得所求系统初值问题的解为()()cos()sin ,2
sin()cos .2x t t t y t t t ππ?
=--=-????=--=??
4.小结
本文先介绍了拉普拉斯变换的概念,定理等基础理论知识,概括了它的基本性质用法等,并简单讨论了拉氏变换在求解常系数线性微分方程及在一些线性系统的应用.拉普拉斯变换是高等数学及一些物理系统研究中的一个非常重要的变换.作为一种数学工具可以使有关运算得以简化,同时也是研究工程实际问题中线性系统的有力工具.在物理学中有很多线性系统,如电路系统、动力系统等的研究,可以归结为求常系数线性微分方程的初值问题.而拉氏变换提供了求解初值问题的一种简便方法,因此拉氏变换在各种线性系统理论分析中的应用十分广泛.本文仅从数学角度简单分析了拉氏变换在求解微分方程,信号系统,动力系统,分析高阶动态电路的应用.总之,拉普拉斯变换是进行线性系统分析的一种方便、快捷的有效方法．另外,拉氏变换的最重要贡献之一,则是从理论上建立了微积分算子的基础,在此就不详述了.
参考文献
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1.前言 1.1背景 利用变换可简化运算，比如对数变换，极坐标变换等。类似的，变换也存在于工程，技术领域，它就是积分变换。积分变换的使用，可以 使求解微分方程的过程得到简化，比如乘积可以转化为卷积。什么是积 分变换呢？即为利用含参变量积分，把一个属于A函数类的函数转化属 于B函数类的一个函数。傅里叶变换和拉普拉斯变换是两种重要积分变 换。分析信号的一种方法是傅立叶变换，傅里叶变换能够分析信号的成 分，也能够利用成分合成信号。可以当做信号的成分的波形有很多，例 如锯齿波，正弦波，方波等等。傅立叶变换是利用正弦波来作为信号的拉普拉斯变换最早由法国数学家天文学家 成分。Pierre Simon Laplace （拉普拉斯）（1749-1827）在他的与概率论相关科学研究中引入，在他 的一些基本的关于拉普拉斯变换的结果写在他的著名作品《概率分析理 论》之中。即使在19世纪初，拉普拉斯变换已经发现，但是关于拉普拉 斯变换的相关研究却一直没什么太大进展，直至一个英国数学家，物理 学家，同时也是一位电气工程师的Oliver Heaviside奥利弗·亥维赛 （1850-1925）在电学相关问题之中引入了算子运算，而且得到了不少方 法与结果，对于解决现实问题很有好处，这才引起了数学家对算子理论 的严格化的兴趣。之后才创立了现代算子理论。算子理论最初的理论依 据就是拉普拉斯变换的相关理论，拉普拉斯变换相关理论的继续发展也 是得益于算理理论的更进一步发展。这篇文章就是针对傅里叶变换和拉 普拉斯变换的相关定义，相关性质，以及相关应用做一下简要讨论，并 且分析傅里叶变换和拉普拉斯变换的区别与联系。 1.2预备知识 定理1.2.1（傅里叶积分定理）
电路设计中拉普拉斯变换的应用 拉普拉斯变换是工程数学中常用的一种积分变换，又名拉氏变换。拉氏变换是一个线性变换，可将一个有引数实数t（t≥ 0）的函数转换为一个引数为复数s的函数。拉氏变换英文名为Laplace Transform，为法国著名数学家拉普拉斯 （Laplace,Pierre-Simon,marquisde）创立。主要运用于现代控制领域，和傅氏变换并称为控制理论中的两大变换。 拉氏变换里的S是复变函数里最为基础的一个符号，数学题做了这么多，考分也不低，但如果在多年的电路设计中用不上的话，岂不是对不起宝贵的青春了。 要用好拉氏变换，先了解S的物理含义和其用途。信号分析有时域分析、频域分析两种，时域是指时间变化时，信号的幅值和相位随时间变化的关系；频域则是指频率变化时，信号的幅值和相位随时间变化的关系；而S则是连接时域与频域分析的一座桥梁。 在电路中，用到的阻性用R表示；用到的感性特性和容性特性，分别用SL和1/SC表示，然后将其看成一个纯粹的电阻，只不过其阻值为SL（电感）和1/SC（电容）； 其他特性（如开关特性）则均可通过画出等效电路的方式，将一个复杂的特性分解成一系列阻性、感性、容性相结合的方式。并将其中的感性和容性分别用SL和1/SC表示。
然后，就可以用初中学过的电阻串、并联阻抗计算的方式来进行分压、分流的计算，这当然很简单了。计算完后，最后一定会成一个如下四种之一的函数： Vo=Vi（s）-------------------（1） Io=Vi（s）--------------------（2） Vo=Ii（s）--------------------（3） Io=Ii（s） --------------------（4） 下一步，如果是做时域分析，则将S=d/dt代入上述1-4其中之一的式子中，随后做微分方程的求解，则可求出其增益对时间的变化式 G（t）； 而如果做的是频域分析，则将S=jw代入上述1-4其中之一的式子中，随后做复变函数方程的求解，则可求出其增益对时间的变化式 G （w）、和相位对频率的变化式 θ（w）； 至于求出来时域和频域的特性之后，您再想把数据用于什么用途，那就不是我能关心得了的了。 下面举一简单例子说明。
复变函数的发展史及laplace变换在自控领域中的应用 摘要：复变函数经历了150多年的发展历程，在不断发展和更新的过程中愈来愈完善并不断向各个领域延伸，特别是在自动控制领域的作用愈来愈重要。复变函数中的Laplace变换是近一世纪来迅速发展起来的一种有效的数学方法。借助于Laplace变换可把微积分的运算转化复平面的代数运算，因此，可利用它解常微分方程、偏微分方程、积分方程及差分方程，简化了求解过程，是解线性系统的重要工具，。通过在自动控制理论中建立系统的动态数学模型，根据拉普拉斯变换及其反变换的定义式，求解得到系统的动态过程，从而阐明其计算具有快速、简洁和方便的特点，在现代自控理论中得到广泛的应用。 关键词：复变函数拉普拉斯变换原函数象函数传递函数 Abstract : Complex function has experienced 150 years of development,and it became be more perfect and constantly to the various fields in the process of developing and updating, especially it palys a more and more important role in the field of automatic https://www.doczj.com/doc/7b8223731.html,place transform is nearly a century to rapidly develop an effective mathematical method. Using Laplace transform can turn calculus operations in the plane of the transformation of complex arithmetic, therefore, can use it to solution of differential equation, partial differential equations and integral equations and difference equation, simplified the solving process, is an important tool for solving linear system, in the modern theory of automatic widely applied. These contents in relevant tutorial or monographs, already common occurance. This paper will give out Laplace transform another new applications, namely using Laplace transform calculating generalized integrals, thus obtains the calculation kind of generalized integrals of new methods. Keywords: Complex function ,Laplace transform, Primary function,image function,Transform function
拉普拉斯变换的应用 一?拉普拉斯变换的应用 拉普拉斯变换在许多领域中都有着重要的作用，在工程学上应用拉普拉斯变换解常变量齐次微分方程，可以将微分方程化为代数方程，使问题得以解决。在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（S域）上来表示；在线性系统，控制自动化上都有广泛的应用。在计算机图像处理方面，拉普拉斯变换在MatIab上的拉普拉斯算子在图像处理上有很强的应用性，例如：在图像的边缘检测、对图像进行拉普拉斯锐化、对图像进行滤波等。 二?拉普拉斯变换在图像处理方面的应用 计算机进行图像处理一般有两个目的：（1）产生更适合人观察和识别的图像。⑵ 希望能由计算机自动识别和理解图像。数字图像的边缘检测是图像分害IJ、目标区域的识别、区域形状提取等图像分析领域的重要基础，图像处理和分析的第一步往往就是边缘检测。 物体的边缘是以图像的局部特征不连续的形式出现的，也就是指图像局部亮 度变化最显著的部分，例如灰度值的突变、颜色的突变、纹理结构的突变等， 同时物体的边缘也是不同区域的分界处。图像边缘有方向和幅度两个特性，通常沿边缘的走向灰度变化平缓，垂直于边缘走向的像素灰度变化剧烈。根据灰度变化的特点，图像边缘可分为阶跃型、房顶型和凸缘型。 首先要研究图像边缘检测，就要先研究图像去噪和图像锐化。前者是为了得到飞更真实的图像，排除外界的干扰，后者则是为我们的边缘检测提供图像特征更加明显的图片，即加大图像特征。早期的经典算法有边缘算子法、曲面拟合法、模版匹配法等。经典的边缘检测算法是对原始图像中像素的某小领域米构造边缘检测算子，常用的边缘检测算子有RObertS算子、Sobel算子、LaPlaCian算子、Canny算子等。 三?应!步骤 用拉普拉斯变换进行数字图像处理，需要借用计算机上的MatIab软件去进行程序编码和运行来实现。下边是应用步骤:
拉普拉斯变换在电路中的应用 10071051朱海云 应用拉普拉斯变换求解线性电路的方法称为运算法。运算法的思想是：首先找出电压、电流的像函数表示式，而后找出R、L、C单个元件的电压电流关系的像函数表示式，以及基尔霍夫定律的像函数表示式，得到用像函数和运算阻抗表示的运算电路图，列出复频域的代数方程，最后求解出电路变量的象函数形式，通过拉普拉斯反变换，得到所求电路变量的时域形式。显然运算法与相量法的基本思想类似，因此，用相量法分析计算正弦稳态电路的那些方法和定理在形式上均可用于运算法。 1.电路定律的运算形式 基尔霍夫定律的时域表示： 把时间函数变换为对应的象函数： 得基尔霍夫定律的运算形式： 2.电路元件的运算形式 根据元件电压、电流的时域关系，可以 推导出各元件电压电流关系的运算形式。 图1（a） 1)电阻R的运算形式
图1(a)所示电阻元件的电压电流关系为： u =Ri ，两边取拉普拉斯变换，得电阻元件VCR 的运算形式： 或 根据上式得电阻R 的运算电路如图（b ）所示。 图1（b ） 2)电感L 的运算形式 图2(a)所示电感元件的电压电 流关系为 两边取拉普拉斯变换并根据 拉氏变换的微分性质，得电感元件VCR 的运算形式： 或 根据上式得电感L 的运算电路如图(b)和图(c) 所示。图中 表示附加电压源的电压，表示附加电流源的电流。 式中 图2（a ） 图2（b ） 图2（c ）
分别称为电感的运算阻抗和运算导纳。 3)电容C的运算形式 图3(a)所示电容元件的电压电流关系为： 两边取拉普拉斯变换并根据拉氏变换的微分性质，得电容元件VCR的运算形式： 或 根据上式得电容C的运算电路如图(b)和图(c)所示。 图中表示附加电流源的电 流，表示附加电压源的电压。 式中分别为电容的运算阻抗和运算导纳。 图3（a） 图3（b） 图3（c） 4)耦合电感的运算形式 图4（a）所示耦合电感的电压电流关系为： 图4（a）
拉普拉斯变换 Prepared on 22 November 2020
§13拉普拉斯变换 重点：1.拉普拉斯反变换部分分式展开 2.基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳、运算电路 3.应用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤 难点： 1.拉普拉斯反变换的部分分式展开法 2.电路分析方法及定理在拉普拉斯变换中的应用 本章与其它章节的联系： 是后续各章的基础，是前几章基于变换思想的延续。 预习知识： 积分变换 §13－1拉普拉斯变换的定义 1.拉普拉斯变换法 拉普拉斯变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数f(t)与复变函数F(s)联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程，在求出待求的复变函数后，再作相反的变换得到待求的时间函数。由于解复变函数的代数方程比解时域微分方程较有规律且有效，所以拉普拉斯变换在线性电路分析中得到广泛应用。 2.拉普拉斯变换的定义 一个定义在[0,+∞)区间的函数f(t)，它的拉普拉斯变换式F(s)定义为 式中s=σ+jω为复数，被称为复频率；F(s)为f(t)的象函数，f(t)为F(s)的原函数。 由F(s)到f(t)的变换称为拉普拉斯反变换，它定义为 式中c为正的有限常数。 注意： 1）定义中拉氏变换的积分从t=0-开始，即： 它计及t=0-至0+，f(t)包含的冲激和电路动态变量的初始值，从而为电路的计算带来方便。 2）象函数F(s)一般用大写字母表示,如I(s)，U(s)，原函数f(t)用小写字母表示，如 i(t),u(t)。 3）象函数F(s)存在的条件： 3.典型函数的拉氏变换 1)单位阶跃函数的象函数
拉普拉斯变换的应用 一·拉普拉斯变换的应用 拉普拉斯变换在许多领域中都有着重要的作用，在工程学上应用拉普 拉斯变换解常变量齐次微分方程，可以将微分方程化为代数方程，使问题得以解决。在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（s域）上来表示；在线性系统，控制自动化上都有广泛的应用。在计算机图像处理方面，拉普拉斯变换在Matlab上的拉普拉斯算子在图像处理上有很强的应用性，例如：在图像的边缘检测、对图像进行拉普拉斯锐化、对图像进行滤波等。 二·拉普拉斯变换在图像处理方面的应用 计算机进行图像处理一般有两个目的: (1)产生更适合人观察和识别的图像。 (2)希望能由计算机自动识别和理解图像。数字图像的边缘检测是图像分割、目标区域的识别、区域形状提取等图像分析领域的重要基础，图像处理和分析的第一步往往就是边缘检测。 物体的边缘是以图像的局部特征不连续的形式出现的，也就是指图像局部亮度变化最显著的部分，例如灰度值的突变、颜色的突变、纹理结构的突变等，同时物体的边缘也是不同区域的分界处。图像边缘有方向和幅度两个特性，通常沿边缘的走向灰度变化平缓，垂直于边缘走向的像素灰度变化剧烈。根据灰度变化的特点，图像边缘可分为阶跃型、房顶型和凸缘型。 首先要研究图像边缘检测，就要先研究图像去噪和图像锐化。前者是为了得到飞更真实的图像，排除外界的干扰，后者则是为我们的边缘检测提供图像特征更加明显的图片，即加大图像特征。早期的经典算法有边缘算子法、曲面拟合法、模版匹配法等。经典的边缘检测算法是对原始图像中像素的某小领域米构造边缘检测算子，常用的边缘检测算子有Roberts算子、Sobel算子、Laplacian算子、Canny算子等。 三·应用步骤 用拉普拉斯变换进行数字图像处理，需要借用计算机上的Matlab软件去进行程序编码和运行来实现。下边是应用步骤：
成绩评定表
课程设计任务书
目录 1.Matlab介绍.............. 错误！未定义书签。 2.利用Matlab实现信号的复频域分析—拉普拉斯变化和拉普拉斯逆变换的设计 (5) 2.1.拉普拉斯变换曲面图的绘制 (5) 2.2.拉普拉斯变化编程设计及实现 (7) 2.3.拉普拉斯逆变化编程设计及实现 (8) 3.总结 (14) 4.参考文献 (15)
1．Matlab介绍 MATLAB语言是当今国际上在科学界和教育界中最具影响力、也最具活力的软件；它起源于矩阵运算，现已发展成一种高度集成的计算机语言；它提供了强大的科学运算、灵活的程序设计流程、高质量的图形可视化与界面设计、丰富的交互式仿真集成环境，以及与其他程序和语言便捷接口的功能。 经过多年的开发运用和改进，MATLAB已成为国内外高校在科学计算、自动控制及其他领域的高级研究工具。典型的用途包括以下几个方面： 1）数学计算； 2）新算法研究开发； 3）建模、仿真及样机开发； 4）数据分析、探索及可视化； 5）科技与工程的图形功能； 6）友好图形界面的应用程序开发。 1.1Matlab入门 Matlab7.0介绍 Matlab7.0比Matlab的老版本提供了更多更强的新功能和更全面、更方便的联机帮助信息。当然也比以前的版本对于软件、硬件提出了更高的要求。 在国内外Matlab已经经受了多年的考验。Matlab7.0功能强大，适用范围很广。其可以用来线性代数里的向量、数组、矩阵运算，复数运算，高次方程求根，插值与数值微商运算，数值积分运算，常微分方程的数值积分运算、数值逼近、最优化方法等，即差不多所有科学研究与工程技术应用需要的各方面的计算，均可用Matlab来解决。 MATLAB7.0提供了丰富的库函数（称为M文件），既有常用的基本库函数，又有种类齐全、功能丰富多样的的专用工具箱Toolbox函数。函数即是预先编制好的子程序。在编制程序时，这些库函数都可以被直接调用。无疑，这会大大提高编程效率。MATLAB7.0的基本数据编程单元是不需要指定维数的复数矩阵，所以在MATLAB环境下，数组的操作都如数的操作一样简单方便。而且，MATLAB7.0界面友好，用户使用方便。首先，MATLAB具有友好的用户
. 拉普拉斯变换的应用一·拉普拉斯变换的应用在工程学上应用拉普拉拉 普拉斯变换在许多领域中都有着重要的作用，使问题得以解决。可以将微分方程化为代数方程，斯变换解常变量齐次微分方程，转换为复频拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，在工程学上，域）上来表示；在线性系统，控 制自动化上都有广泛的应用。在计算机图域（s上的拉普拉斯算子在图像处理上有很强的像处理方面，拉普拉斯变换在Matlab应用性，例如：在图像的边缘检 测、对图像进行拉普拉斯锐化、对图像进行滤波等。 二·拉普拉斯变换在图像处理方面的应用 计算机进行图像处理一般有两个目的: (1)产生更适合人观察和识别的图像。(2)希 望能由计算机自动识别和理解图像。数字图像的边缘检测是图像分割、目标区域的识别、区域形状提取等图像分析领域的重要基础，图像处理和分析的第一步往往就是边缘检测。 物体的边缘是以图像的局部特征不连续的形式出现的，也就是指图像局部亮度变化最显著的部分，例如灰度值的突变、颜色的突变、纹理结构的突变等，同时物体的边缘也是不同区域的分界处。图像边缘有方向和幅度两个特性，通常沿边缘的走向灰度变化平缓，垂直于边缘走向的像素灰度变化剧烈。根据灰度变化的特点，图像边缘可分为阶跃型、房顶型和凸缘型。 首先要研究图像边缘检测，就要先研究图像去噪和图像锐化。前者是为了得到飞更真实的图像，排除外界的干扰，后者则是为我们的边缘检测提供图像特征更加明显的图片，即加大图像特征。早期的经典算法有边缘算子法、曲面拟合法、 . . 模版匹配法等。经典的边缘检测算法是对原始图像中像素的某小领域米构造边 缘检测算子，常用的边缘检测算子有Roberts算子、Sobel算子、Laplacian算子、Canny算子等。 三·应用步骤 用拉普拉斯变换进行数字图像处理，需要借用计算机上的Matlab软件去进行程 序编码和运行来实现。下边是应用步骤：
目录 拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用 物理系0801班学生岳艳林 指导老师韩新华 摘要：拉普拉斯变换在求解微分方程中有非常重要的作用，本文首先介绍拉普拉斯变换的定义及性质； 其次给出拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤；然后重点举例拉普拉斯变换在求解常微分方程（初值问题与边 函数的常微分方程、常微分方程组、拉普拉斯变换在求解微分方程值问题、常系数与变系数常微分方程、含 特解中的应用、拉普拉斯变换在求解高阶微分方程的推广）与典型偏微分方程（齐次与非齐次偏微分方程、有界 与无界问题）中的应用举例；最后综合比较、归纳总结拉普拉斯变换在求解微分方程中的优势以及局限性。 关键词：拉普拉斯变换；拉普拉斯逆变换；常微分方程；偏微分方程；特解
引言 傅里叶变换和拉普拉斯变换是常用的积分变换，但对函数进行傅里叶变换时必须满足狄里希利和在+∞<<∞-t 内绝对可积，但是在物理、无线电技术等实际应用中，许多以时间t 为自变量的函数通常在0t <时不需要考虑或者没有意义，像这样的函数不能取傅里叶变换。为避免上述两个缺点，将函数进行适当改造，便产生了拉普拉斯变换[1]。 1 拉普拉斯变换以及性质 拉普拉斯变换的定义 设函数()f t 当0t ≥时有定义，而且积分 ()st f t e dt +∞ -? (s 是一个复参量)在s 的某一区域内收 敛，则此积分所确定的函数可写为0 ()()st F s f t e dt +∞ -= ? .我们称上式为函数()f t 的Laplace 变换 式.记为()[()]F s L f t =,()F s 称为()f t 的Laplace 变换（或称为象函数）. 若()F s 是()f t 的Laplace 变换，则称()f t 为()F s 的Laplace 逆变换（或称为象原函数），记为1()[()]f t L F s -=[2]. Laplace 变换的存在定理 若函数()f t 满足下列条件: 1?在0t ≥的任一有限区间上分段连续； 2?当t →+∞时，()f t 的增长速度不超过某一指数函数，亦即存在常数0M >及0c ≥，使得c ()0f t Me t ≤≤<+∞ｔ，成立（满足此条件的函数，称它的增大是不超过指数级的，c 为它的增长指数）. 则()f t 的Laplace 变换0 ()st F f t e dt +∞ -?（s ）=在半平面Re()s c >上一定存在，右端的积分在1Re()s c c ≥>的半平面内,()F s 为解析函数[2]. 拉普拉斯变换的性质 ⑴线性性质 若αβ，是常数，11[()]()L f t F s =, 22[()]()L f t F s =, 则有1212[()()][(t)]+[()]L f t f t L f L f t αβαβ+=, 1111212[()()][(s)]+[()]L F s F s L F L F s αβαβ---+=. ⑵微分性质 若[()]()L f t F s =,则有'[()]()(0)L f t sF s f =-. 高阶推广 若[()]()L f t F s =,则有2'[()]()(0)(0)L f t s F s sf f ''=--.
傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量）。 傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。 傅里叶变换是一种解决问题的方法，一种工具，一种看待问题的角度。理解的关键是：一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加，从时域叠加与从频域叠加都可以组成原来的信号，将信号这么分解后有助于处理。 我们原来对一个信号其实是从时间的角度去理解的，不知不觉中，其实是按照时间把信号进行分割，每一部分只是一个时间点对应一个信号值，一个信号是一组这样的分量的叠加。傅里叶变换后，其实还是个叠加问题，只不过是从频率的角度去叠加，只不过每个小信号是一个时间域上覆盖整个区间的信号，但他确有固定的周期，或者说，给了一个周期，我们就能画出一个整个区间上的分信号，那么给定一组周期值（或频率值），我们就可以画出其对应的曲线，就像给出时域上每一点的信号值一样，不过如果信号是周期的话，频域的更简单，只需要几个甚至一个就可以了，时域则需要整个时间轴上每一点都映射出一个函数值。 傅里叶变换就是将一个信号的时域表示形式映射到一个频域表示形式；逆傅里叶变换恰好相反。这都是一个信号的不同表示形式。它的公式会用就可以，当然把证明看懂了更好。 对一个信号做傅里叶变换，可以得到其频域特性，包括幅度和相位两个方面。幅度是表示这个频率分量的大小，那么相位呢，它有什么物理意义？频域的相位与时域的相位有关系吗？信号前一段的相位（频域）与后一段的相位的变化是否与信号的频率成正比关系。 傅里叶变换就是把一个信号，分解成无数的正弦波（或者余弦波）信号。也就是说，用无数的正弦波，可以合成任何你所需要的信号。
本科生毕业论文 拉普拉斯变换及在线性系统的应用 院系数学与统计学院 专业数学与应用数学 班级 2007级本科3班 学号 0501070310 学生姓名 联系方式 指导教师职称讲师助教 2011年 4月
独创性声明 本人郑重声明：所呈交的毕业论文是本人在指导老师指导下取得的研究成果.除了文中特别加以注释和致谢的地方外,论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果.与本研究成果相关的所有人所做出的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意. 签名： 年月日 授权声明 本人完全了解许昌学院有关保留、使用本科生毕业论文的规定,即：有权保留并向国家有关部门或机构送交毕业论文的复印件和磁盘,允许毕业论文被查阅和借阅.本人授权许昌学院可以将毕业论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索,可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编论文. 本人论文中有原创性数据需要保密的部分为（无） 签名： 年月日 指导教师签名： 年月日
本文由拉普拉斯变换的一些基础知识入手,介绍了拉普拉斯变换的概念,定理.归纳总结了它的一些性质及关于各性质的证明和用法.重点讨论了如何用拉普拉斯变换解常系数线性微分方程（组）,总结出象原函数的几种求解方法,以及不同的方法适合使用的情况等.另外还简单介绍了拉普拉斯变换在工程学中的一些线性系统的应用,其中包括在动态电路系统和电力系统的应用. 关键词：拉普拉斯变换；常系数微分方程；线性系统 ABSTRACT This paper is about the basic knowledge of the Laplace Transform. It contains the concept of Laplace Transform, theorems,summarizes some of its properties and the nature of the proof and usage.It discusses hou to use the Laplace Transform to solve Linear Differential Equations (group). And it sums up a variety of solutions of the original function, what’s more,the different methods are used in different situations. And it also introduces the Laplace transform of some linear systems engineering applications, including dynamic circuit system and electrical system. Keywords: Laplace transform; Constant coefficient differential equations; Linear system
第十二章 拉普拉斯变换及逆变换 拉普拉斯(Laplace)变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法，而且在自动控制系统的分析和综合中也起着重要的作用。我们经常应用拉普拉斯变换进行电路的复频域分析。本章将扼要地介绍拉普拉斯变换（以下简称拉氏变换）的基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用。 第一节 拉普拉斯变换 在代数中，直接计算 是很复杂的，而引用对数后，可先把上式变换为 然后通过查常用对数表和反对数表，就可算得原来要求的数N 。 这是一种把复杂运算转化为简单运算的做法，而拉氏变换则是另一种化繁为简的做法。 一、拉氏变换的基本概念 定义12.1 设函数()f t 当0t ≥时有定义，若广义积分0 ()pt f t e dt +∞ -? 在P 的某一区域内收敛，则 此积分就确定了一个参量为P 的函数，记作()F P ，即 dt e t f P F pt ? ∞ +-= )()( （12.1） 称（12.1）式为函数()f t 的拉氏变换式，用记号[()]()L f t F P =表示。函数()F P 称为()f t 的拉氏变 换(Laplace) (或称为()f t 的象函数)。函数()f t 称为()F P 的拉氏逆变换（或称为()F P 象原函数），记作 )()]([1t f P F L =-，即)]([)(1P F L t f -=。 关于拉氏变换的定义，在这里做两点说明： （1）在定义中，只要求()f t 在0t ≥时有定义。为了研究拉氏变换性质的方便，以后总假定在0t <时，()0f t =。 （2）在较为深入的讨论中，拉氏变换式中的参数P 是在复数范围内取值。为了方便起见，本章我们把P 作为实数来讨论，这并不影响对拉氏变换性质的研究和应用。 （3）拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数，它是一种积分变换。一般来说，在科学技术中遇到的函数，它的拉氏变换总是存在的。 例12.1 求斜坡函数()f t at = （0t ≥，a 为常数）的拉氏变换。 解：00 00 []()[]pt pt pt pt a a a L at ate dt td e e e dt p p p +∞ +∞+∞---+∞-= =-=-+? ?? 二、单位脉冲函数及其拉氏变换 在研究线性电路在脉冲电动势作用后所产生的电流时，要涉及到我们要介绍的脉冲函数，在原来电 流为零的电路中，某一瞬时(设为0t =)进入一单位电量的脉冲，现要确定电路上的电流()i t ，以()Q t 表示上述电路中的电量，则 由于电流强度是电量对时间的变化率，即 t t Q t t Q dt t dQ t i t ???) ()(lim )()(0-+== →，
拉普拉斯变换的实际应用 在工程学上的应用 应用拉普拉斯变换解常变量齐次微分方程，可以将微分方程化为代数方程，使问题得以解决。在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（s 域）上来表示；在线性系统，控制自动化上都有广泛的应用。 拉氏变换在微分方程(组)初值问题中的应用 1．1 利用拉氏变换解常系数线性微分方程的初值问题 例1 求初值问题Y”一2y +2y=e～，y(O)=0，Y (0)=1． 例2求解初值问题 用拉氏变换求常系数线性微分方程(组)，是把关于Y(t)的微分方程(组) 转化成关于象函数l，(s)的代数方程，从而容易确定l，(s)．从象函数l，(s)求其拉氏逆变换即得原函数 Y(t)．由于在求解过程中同时利用了初值条件，因此用拉氏变换求得的解是初值问题的解．如果把初值视为任意常数，则用拉氏变换求得的解就是通解． 2 利用拉氏变换求积分方程 用拉氏变换求解相关问题既方便又简洁． 答案补充：应用拉普拉斯变换分析RLC电路,不需要确定积分常数 拉普拉斯变换的数值逆在偏微分方程中的应用ut(t,x)-∫0^t(t-s)^-1/2uxx(s,x)ds=f(t,x)的数值解。该方法选择适当的n可以达到相当高的精度。 用拉氏变换引入网络函数的概念，网络函数是分析电路正弦稳态响应的工具，最后，希望以系统的方式将电路的时域特性与频域特性联系起来，拉氏变换加深对电路功能的理解。答案补充拉氏反变换：有理真分式、有理假分式、部分分式展开法、具有独立实根的有理真分式的拉氏反变换、具有共轭复根的有理真分式的拉氏反变换、具有实重根的有理真分式的拉氏反变换、具有多重复根的有理真分式的拉氏反变换、假分式的拉氏反变换（整理为一个多项式和有理真分式之和，然后分别求其拉氏反变换）、F（s）的零点极点、初值定理和终值定理、初值定理终值定理的应用。 s域电路分析 拉氏变换用于电路分析具有两个特点：第一，拉氏变换将线性常系数微分方程转化为容易处理的线性多项式方程，第二，拉氏变换将电流和电压变量的初始值自动引入到多项式方程中，这样在变换处理过程中，初始条件就成为变换的一部分。 s称为复频率、复频域分析方法（又称运算法）、动态元件的初始储能问题、s域欧姆定律V=ZL、拉氏变换的线性特性决定了线性电路理论在s域同样适用、这些线性电路理论包括：KCL、KVL、节点电压法、网孔电流法、戴维南等效、诺顿等效、叠加定理等。答案补充我自己的经历，就只有在信息系统里，用到，主要是求初值问题，积分问题
铜陵学院 论文题目：拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系 院部：电气工程学院 班级：电气工程及其自动化(1)班学号：1109141054 姓名：吴旭照 指导老师: 董德智 2013.6
拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系 傅里叶变换（Transformée de Fourier）在物理学、数论、组合数学、信号处理、 概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量）。 傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。 傅里叶变换是一种解决问题的方法，一种工具，一种看待问题的角度。理解的关键是：一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加，从时域叠加与从频域叠加都可以组成原来的信号，将信号这么分解后有助于处理。 我们原来对一个信号其实是从时间的角度去理解的，不知不觉中，其实是按照时间把信号进行分割，每一部分只是一个时间点对应一个信号值，一个信号是一组这样的分量的叠加。傅里叶变换后，其实还是个叠加问题，只不过是从频率的角度去叠加，只不过每个小信号是一个时间域上覆盖整个区间的信号，但他确有固定的周期，或者说，给了一个周期，我们就能画出一个整个区间上的分信号，那么给定一组周期值（或频率值），我们就可以画出其对应的曲线，就像给出时域上每一点的信号值一样，不过如果信号是周期的话，频域的更简单，只需要几个甚至一个就可以了，时域则需要整个时间轴上每一点都映射出一个函数值。 傅里叶变换就是将一个信号的时域表示形式映射到一个频域表示形式；逆傅里叶变换恰好相反。这都是一个信号的不同表示形式。它的公式会用就可以，当然把证明看懂了更好。 对一个信号做傅立叶变换，可以得到其频域特性，包括幅度和相位两个方面。幅度是表示这个频率分量的大小，那么相位呢，它有什么物理意义？频域的相位与时域的相位有关系吗？信号前一段的相位（频域）与后一段的相位的变化是否与信号的频率成正比关系。 傅立叶变换就是把一个信号，分解成无数的正弦波（或者余弦波）信号。也就是说，用无数的正弦波，可以合成任何你所需要的信号。 想一想这个问题：给你很多正弦信号，你怎样才能合成你需要的信号呢？答案是要两个条件，一个是每个正弦波的幅度，另一个就是每个正弦波之间的相位差。所以现在应该明白了吧，频域上的相位，就是每个正弦波之间的相位。 傅立叶变换用于信号的频率域分析，一般我们把电信号描述成时间域的数学模型，而数字信号处理对信号的频率特性更感兴趣，而通过傅立叶变换很容易得到信号的频率域特性傅里叶变换简单通俗理解就是把看似杂乱无章的信号考虑成由一定振幅、相位、频率的基本正弦（余弦）信号组合而成，傅里叶变换的目的就是找出这些基本正弦（余弦）信号中振幅较大（能量较高）信号对应的频率，从而找出杂乱无章的信号中的主要振动频率特点。如减速机故障时，通过傅里叶变换做频谱分析，根据各级齿轮转速、齿数与杂音频谱中振幅大的对比，可以快速判断哪级齿轮损伤。 拉普拉斯变换（Laplace Transform)，是工程数学中常用的一种积分变换。 它是为简化计算而建立的实变量函数和复变量函数间的一种函数变换。对一个实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多。拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效，它可把微分方程化为容易求解的代数方程
第八章拉普拉斯变换（10学时） 教学目的： 掌握拉普拉斯变换的定义、性质和反变换的应用，主要掌握运算电路图的画法，熟练掌握用拉普拉斯变换分析电路；掌握跃变的概念，了解卷积和网络函数的应用。 教学重点： 拉普拉斯变换的定义、性质和反变换的应用；运算电路图的画法；用拉普拉斯变换分析线性电路；网络函数（加冲激函数）和卷积的概念。 教学难点： 拉普拉斯反变换（单根、复根、重根）；运算电路图；复频域分析法；卷积。 8-1拉普拉斯变换定义和性质（2学时）（教材第215页） 教学目的：拉普拉斯变换的定义，基本性质及9个性质的应用。 教学重点：拉普拉斯正变换，拉普拉斯变换存在的条件，拉普拉斯反变换，9个性质的证明及应用。 教学难点：线性性质，微分性质。积分性质，延时性质的证明及应用。 教学方法：1、板书讲述拉普拉斯变换的定义，交代复频域的概念。2、拉普拉斯变换存在的条件。3、拉普拉斯反变换。4、9个性质的推导、证明及应用举例。 5、例题和练习题，见备课笔记。 教具：《电路》CAI课件，网络课件中的拉普拉斯变换部分，邱关源第四版教材及其他参考书。 教学过程：基本性质，拉普拉斯正变换，拉普拉斯变换存在的条件，拉普拉斯反变换，9个性质的证明及应用，部分举例、练习题见备课笔记。 拉普拉斯拉斯变换的基本性质 引言 拉普拉斯拉斯变换可用于求解常系数线性微分方程，是研究线性系统的一种有效而重要的工具。 拉普拉斯拉斯变换是一种积分变换，它把时域中的常系数线性微分方程变换为复频域中的常系数线性代数方程。因此，进行计算比较简单，这正是拉普拉斯拉斯变换（简称：拉氏变换）法的优点所在。 拉普拉斯拉斯变换的定义 一个定义在区间的函数,其拉氏变换定义为 L[f(t)]=F(s)= 式中：s=б+jω为复数，有时称变量S为复频域。 应用拉普拉斯拉斯变换进行电路分析有称为电路的复频域分析，有时称为运算法 F(s)又称为f(t)的象函数，而f(t)称为F(s)的原函数。通常用“L[ ]”表示对方括号内的函数作拉氏变换。 拉普拉斯变换的基本性质 本节将介绍拉氏变换的一些基本性质，利用这些基本性质，可以很容易的求得一些较复杂的原函数的象函数，同时，这些基本性质对于分析线性非时变网络也是非常必要的。 一、唯一性
§2-3拉普拉斯变换及其应用 时域的函数可以通过线性变换的方法在变换域中表示，变换域的表示有时更为简捷、方便。例如控制理论中常用的拉普拉斯变换，简称拉氏变换，就是其中的一种。 一、拉氏变换的定义 已知时域函数，如果满足相应的收敛条件，可以定义其拉氏变换为 (2-45) 式中，称为原函数，称为象函数，变量为复变量，表示为 (2-46) 因为是复自变量的函数，所以是复变函数。 有时，拉氏变换还经常写为 (2-47) 拉氏变换有其逆运算，称为拉氏反变换，表示为 (2-48) 上式为复变函数积分，积分围线为由到的闭曲线。 二、常用信号的拉氏变换 系统分析中常用的时域信号有脉冲信号、阶跃信号、正弦信号等。现复习一些基本时域信号拉氏变换的求取。 (1)单位脉冲信号
理想单位脉冲信号的数学表达式为 (2-49) 且 (2-50) 所以 (2-51) 说明： 单位脉冲函数可以通过极限方法得到。设单个方波脉冲如图2-13所示，脉冲的宽度为，脉冲的高度为，面积为1。当保持面积不变，方波脉冲的宽度趋于无穷小时，高度趋于无穷大，单个方波脉冲演变成理想的单位脉冲函数。 在坐标图上经常将单位脉冲函数 表示成单位高度的带有箭头的线段。 由单位脉冲函数的定义可知，其面积积分的上下限是从到的。因此在求它的拉氏变换时，拉氏变换的积分下限也必须是。由此，特别指明拉氏变换定义式中的积分下限是,是有实际意义的。所以，关于拉氏变换的积分下限根据应用的实际情况有，，三种情况。为不丢掉信号中位于处可能存在的脉冲函数，积分下限应该为。
(2)单位阶跃信号 单位阶跃信号的数学表示为 (2-52) 又经常写为 (2-53) 由拉氏变换的定义式，求得拉氏变换为 (2-54) 因为 阶跃信号的导数在处有脉冲函数存在，所以单位阶跃信号的拉氏变换，其积分下限规定为。 (3)单位斜坡信号 单位斜坡信号的数学表示为 (2-55) 图2-15单位斜坡信号 另外，为了表示信号的起始时刻，有时也经常写为 (2-56)
1.前言 背景 利用变换可简化运算，比如对数变换，极坐标变换等。类似的，变 换也存在于工程，技术领域，它就是积分变换。积分变换的使用，可以 使求解微分方程的过程得到简化，比如乘积可以转化为卷积。什么是积 分变换呢即为利用含参变量积分，把一个属于A函数类的函数转化属于 B函数类的一个函数。傅里叶变换和拉普拉斯变换是两种重要积分变换。 分析信号的一种方法是傅立叶变换，傅里叶变换能够分析信号的成分， 也能够利用成分合成信号。可以当做信号的成分的波形有很多，例如锯 齿波，正弦波，方波等等。傅立叶变换是利用正弦波来作为信号的成 拉普拉斯变换最早由法国数学家天文学家（拉分。Pierre Simon Laplace 普拉斯）（1749-1827）在他的与概率论相关科学研究中引入，在他的一 些基本的关于拉普拉斯变换的结果写在他的著名作品《概率分析理论》 之中。即使在19世纪初，拉普拉斯变换已经发现，但是关于拉普拉斯变 换的相关研究却一直没什么太大进展，直至一个英国数学家，物理学家， 同时也是一位电气工程师的Oliver Heaviside奥利弗·亥维赛（1850-1925） 在电学相关问题之中引入了算子运算，而且得到了不少方法与结果，对 于解决现实问题很有好处，这才引起了数学家对算子理论的严格化的兴 趣。之后才创立了现代算子理论。算子理论最初的理论依据就是拉普拉 斯变换的相关理论，拉普拉斯变换相关理论的继续发展也是得益于算理 理论的更进一步发展。这篇文章就是针对傅里叶变换和拉普拉斯变换的 相关定义，相关性质，以及相关应用做一下简要讨论，并且分析傅里叶 变换和拉普拉斯变换的区别与联系。 预备知识 定理（傅里叶积分定理）
拉普拉斯变换的应用拉普拉斯变换的实际应用拉普拉斯变换的实际应用 在工程学上的应用 应用拉普拉斯变换解常变量齐次微分方程，可以将微分方程化为代数方程，使问题得以解决。在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（s域）上来表示；在线性系统，控制自动化上都有广泛的应用。 拉氏变换在微分方程(组)初值问题中的应用 1．1 利用拉氏变换解常系数线性微分方程的初值问题 例1 求初值问题Y”一2y +2y=e～，y(O)=0，Y (0)=1． 例2求解初值问题 用拉氏变换求常系数线性微分方程(组)，是把关于Y(t)的微分方程(组)
转化成关于象函数l，(s)的代数方程，从而容易确定l，(s)．从象函数l，(s)求其拉氏逆变换即得原函数 Y(t)．由于在求解过程中同时利用了初值条件，因此用拉氏变换求得的解是初值问题的解．如果把初值视为任意常数，则用拉氏变换求得的解就是通解． 2 利用拉氏变换求积分方程 用拉氏变换求解相关问题既方便又简洁． 答案补充：应用拉普拉斯变换分析RLC电路,不需要确定积分常数 拉普拉斯变换的数值逆在偏微分方程中的应用ut(t,x)-∫ 0^t(t-s)^-1/2uxx(s,x)ds=f(t,x)的数值解。该方法选择适当的n可以达到相当高的精度。 用拉氏变换引入网络函数的概念，网络函数是分析电路正弦稳态响应的工具，最后，希望以系统的方式将电路的时域特性与频域特性联系起来，拉氏变换加深对电路功能的理解。答案补充拉氏反变换：有理真分式、有理假分式、部分分式展开法、具有独立实根的有理真分式的拉氏反变换、具有共轭复根的有理真分式的拉氏反变换、具有