...
利用导数研究函数的单调性题型分析题型一：利用导数求函数的单调区
间
例：求下列函数的单调区间．
(1) y＝ 2x3－
3 x(2) f( x) ＝ 3x2－ 2ln x.
解： (1) 由题意得 y′＝6x2－
3.
2 2
令 y′＝6x2－ 3＞ 0 ，解得 x＜
－或 x＞，
2 2
当 x∈(－∞，
－
2 2
) 时，函数为增函数，当
x∈( ，＋∞)时，函数也为增函
数．
2 2
令 y′＝6x2－ 3＜ 0 ，
2 2 解得－＜ x＜，
2 2
当
x∈(－
2 2
，)时，函数为减函数．
2 2
2 2 2 2
故函数的递增区间为 (－∞，－)和
(，＋∞)，递减区间为 (－，)．
2 2 2 2
(2)函数的定义域为 (0 ，＋∞)，
2 3x2－ 1
f′(x)＝ 6x－＝ 2·.
x x
′(3
x2－
1
＞0.且
x
＞ 0，可解得
x
3
令
) ＞0，即
2·＞；
f x
x 3 3x2－ 1 3
令 f′(x) ＜0，即 2·＜ 0，由 x＞ 0 得， 0＜
x＜，
x 3
∴f(x)的增区间为
( 3 3 ，＋∞)，减区间为 (0 ，)．
3 3
规律总结：
1．在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义域内讨论，定义域为实数集 R 可以省略不写．
2．当求得的单调区间不止一个时，单调区间要用
“，”或“和”字等隔开，不要用符号“∪”连
接，
如(1) 题中的增区间．
变式训练：求下列函数的单调区间：
(1)求函数 f(x)＝ 2x3－ 9 x2＋ 12 x－ 3 的单调区间；
(2)求函数 y＝ x3－ 2 x2＋x 的单调区间．
【解】 (1) 此函数的定义域为R，f′(x)＝ 6x2－ 18x＋ 12＝ 6( x－ 1)( x－ 2) ．
令 6( x－ 1)( x－ 2) ＜ 0，解得 1＜ x＜ 2，
..
...
所以函数 f(x)的单调递减区间是(1,2) ．
令6( x－ 1)( x－ 2) ＞ 0，解得 x＞2 或 x＜1 ，
所以函数 f(x)的单调递增区间是(2 ，＋∞)， (－∞，1) ．
(2)此函数的定义域为 R.
y′＝3x2－ 4 x＋1 ，
1
令3x2－4 x＋ 1 ＞ 0，解得 x＞ 1 或
x
＜
.
3
因此 y＝ x3－ 2x2＋ x 的单调递增区
间为
1
(1，＋∞)， (－∞， )．
3
再令 3 x2－ 4x＋ 1＜ 0，
解得1
＜ x＜1. 3
因此 y＝ x3－ 2x2＋ x 的单调递减区
间为
1 ( ，1)．3
例：讨论函数 f(x)
＝bx
(－ 1＜x＜ 1 ，b≠0) 的单调性．
x2－ 1
【思路探究】(1) 函数的定义域是怎样的？函数是奇函数还是偶函
数？
(2) 若先讨论
x∈(0,1)
上的单调性，能否判
断′()在 (0,1) 上的正
负？
b
的取值对其有影响
吗？
f x
解：因 f(x) 的定义域为 ( －1,1) ；函数 f(x)是奇函数，∴只需讨
论函数在(0,1) 上的单调性．b( x21)
∵f′(x) ＝
1) 2
( x2
当 0＜ x＜1 时， x2＋ 1＞ 0， (x2－ 1) 2＞ 0，
∴(x21) 0
( x21) 2
∴当b＞ 0 时， f′(x)＜ 0.∴函数 f(x)在 (0,1) 上是减函数；
当b＜ 0 时， f′(x)＞ 0，∴函数 f(x)在 (0,1) 上是增函数；
又函数 f(x) 是奇函数，而奇函数的图象关于原点对称，从而可知：
当b＞ 0 时， f(x)在 (－1,1) 上是减函数；
当b＜ 0 时， f(x)在 (－1,1) 上是增函数．
规律方法：
1．利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式
f′(x)＞ 0( f′(x)＜ 0) 在给定区间上恒成立．一般步骤为：①求导数f′(x)；②判断 f′(x)的
符号；③
给出单调性结论．
2．导数的正负决定了函数的增减，当导函数中含有参数时，应注意对参数进行分类讨论．
变式训练：
b
求函数 y＝x＋ (b≠0) 的单调区间．
x
b b x2－ b 【解】函数 y＝ x＋ (b≠0) 的定义域为 {x|x≠0} ，y′＝1－＝.
x x2x2
..
...
①当 b＜ 0 时，在函数定义域
内y′＞0 恒成立，所以函数的单调递增区间为(－∞，0)
和
(0 ，＋∞)；
②当 b＞ 0 时，令 y′＞0，解得
x＞b或 x＜－b，所以函数的单调递增区间为 (－
∞，－
b
)
和( b，＋∞)；令 y′＜0，解
得－b＜ x＜ b且x≠0 ，
所以函数的单调递减区间
为(
－
b， 0) 和
(0 ，b).
题型二：利用函数单调性求参数
例： (2013 ·郑州模拟 ) 函数 f(x)＝ax＋ xln x，且图象在点 (1 , f (1)) 处的切线
斜率为 1(e 为自
ee
然对数的底数 )． (1) 求实数 a 的值； (2)
设 g( x)
f
( x)x，研究函数 g(x)的单调性x 1
解： (1) f(x)＝ ax＋xln x，f′(x)＝ a＋ 1＋ ln x，依题意 f ' ( 1) ＝ a＝1 ，所
以 a＝ 1.
e
(2) 因为
g( x) f (x) x
xln x
x－ 1－ ln
x
＝
，所以 g′(x)
＝.
x 1 x－ 1 x－ 1
2
1
设φ(x)＝x－ 1－ ln x，则φ′(x)＝ 1－.
x
1
当x>1 时，φ′(x)＝ 1 － >0 ，φ(x)是增函数，
x
对?x>1 ，φ(x)>φ(1) ＝ 0 ，即当 x>1 时， g′(x)>0 ，故 g(x)在 (1 ，＋∞)上为增函数；
1
当0< x<1 时，φ′(x)＝ 1－ <0 ，φ(x)是
减函数， x
对?x∈(0,1) ，φ(x)>φ(1) ＝ 0 ，即当 0< x<1 时， g′(x)>0 ，故 g(x)在 (0,1) 上为增函数．
方法规律： 1．导数法求函数单调区间的一般步骤
(1)确定函数 f(x)的定义域； (2) 求导数 f′(x)； (3) 在函数 f( x)的定义域内解不等式
f′(x)>0 和
f′(x)<0 ； (4) 根据 (3) 的结果确定函数f(x)的单调区间．
2．导数法证明函数 f(x)在 (a， b)内的单调性的步骤：(1) 求 f′(x)； (2) 确认 f′(x)在( a， b)内的符号； (3) 作出结论： f′(x)>0 时为增函数； f′(x)<0 时为减函数．
3．导数法求参数的取值范围：已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件 f′(x)≥0( 或
f′(x)≤0) ， x∈(a， b)，转化为不等式恒成立求解．
..
...
训练：
1. 若函数
f
x x 2
1
ln x 1在其定义域内的一个子区
间 k 1,
k 1 内不是单调函
数，
2
则实数 k 的取值范围 _______________.
解：函数 f ( x) 的定义域为 (0, ) ， f
'( x)
2x
1 (
2 x)2
1 (2
x
1)(2 x 1)
2x 2x
，
2x
由 f '( x) 0 得 x 1 '(x ) 0得 0 x 1 ，由
f ，要使函数在定义域内的一个子区间
2 1 2 3
k 1, k 1 内不是单调函数，则有 0 k k 1，解得 1 k ，即 k 的取值范围
1 2 2 是 [1,3
)
. 2 2.(2013 ·湖北省八校高三第二次联考 )已知函数 f(x)＝ (x ＋ a)2
－ 7 bln x ＋1 ，其中 a ，
b 是常数且 a ≠0.(1) 若 b ＝1 时， f(x)在区间 (1 ，＋ ∞)上单调递增，求 a 的取值范围；
4
(2) 当 b ＝ a 2
时，讨论 f(x)的单调性．
7
7
【解】 (1) ∵b ＝ 1， ∴f(x)＝ (x ＋ a)2
－7ln x ＋1 ，∴f ′(x)＝ 2x ＋
2 a － .
x
7
∵当x>1 时， f(x)是增函数， ∴f ′(x)＝ 2x ＋ 2 a － ≥0 在 x>1 时恒成立．
x
7
即 a ≥ － x 在 x>1 时恒成立．
2x
7 x y 7 5 5
∵当 >1时，＝ － 是减函数，∴
当 >1 时， ＝ － < ，∴≥. x y 2x x 2x x 2 a
2
5
故 a 的取值范围是 [ ，＋
∞)． 2
4 (2) ∵b ＝ a 2，∴f(x)＝ (x ＋ a)2－4 a 2
ln x ＋ 1 ，
x ∈ (0 ，＋ ∞)． 7
2 x 2 ＋ 2ax － 4a 2
2（ x － a ）（ x ＋ 2a ） ∴f ′(x) ＝ ＝ .
x x
当 a>0 时， f ′(x)>0 ，得 x>a 或 x<－ 2 a ，故 f( x)的减区间为 (0 ，a)，增区间为 (a ，＋ ∞)；
当 a<0 时，f ′(x)>0 ，得 x>－ 2 a 或 x ＋ ∞)． a 3.设函数 f( x) ＝ax － －2ln x. x (1)若 f′(2) ＝0 ，求 f(x)的单调区间； (2) 若 f(x)在定义域上是增函数，求实数 a 的取值范围． .. ... a 2 解： (1) ∵f(x)的定义域为 (0 ，＋∞)， f ′(2) ＝ 0，且 f ′(x)＝ a ＋x2 － x ， a 4 ∴a ＋ －1 ＝ 0 ，∴a ＝ .3 分 4 5 4 4 2 2 x ∴′( )＝＋ －＝ (2 2 －5 ＋ 2)， f x 5 5x 2 x 5 x 2 x 1 由 f ′(x) ＞0 结合 x ＞ 0 ，得 0 ＜ x ＜ 或 x ＞ 2， 2 1 1 ∴f(x)的递增区间为 (0 ， ] 和[ 2 ，＋∞)，递减区间为 ( ，2).6 分 2 2 (2) 若 f(x)在定义域上是增函数，则 f ′(x)≥0 对 x ＞ 0 恒成立， 8 分 a 2 ax 2－ 2 x ＋ a 时 ax 2 － 2x ＋a ≥0 恒成立 10 分 ∵f ′(x) ＝a ＋ － ＝ ，∴需 x ＞0 x 2 x x 2 2 x 化为 a ≥ 对 x ＞ 0 恒成立， x 2 ＋ 1 2 x 2 ∵ ＝ ≤1 ，当且仅当 ＝ 1 时取等 号． x 2 ＋ 1 1 x x ＋ x ∴a ≥1 ，即 a ∈[1，＋∞).12 分 3 x 4.已知函数 f(x)＝ － 2 x 2 ＋ln x ，其中 a 为常数． (1) 若 a ＝ 1，求函数 f(x)的单调区间； (2) a 若函数 f(x) 在区间 [1,2] 上为单调函数，求 a 的取值范围． 解： (1) 若 a ＝ 1 时， f(x)＝3 x － 2x 2 ＋ ln x ，定义域为 (0 ，＋ ∞)， ′( )＝ 1 － 4 x ＋ 3＝ －4 x 2 ＋ 3x ＋ 1 ＝ (4 x 1)(x 1) ( >0) ． f x x x x x 当 f ′(x)>0 ， x ∈(0,1) 时，函数 f(x)＝ 3 x － 2x 2 ＋ ln x 单调递增． 当 f ′(x)<0 ， x ∈(1 ，＋ ∞)时，函数 f( x) ＝ 3x － 2 x 2 ＋ ln x 单调递减． 故函数 f(x) 的单调递增区间为 (0,1) ，单调递减区间 为 (1，＋ ∞)． 3 1 若函数 f(x)在区间 [1,2] 上为单调函数，即在 (2) f ′(x)＝ － 4x ＋ ， [1,2] 上， a x 3 1 3 1 f ′(x)＝ － 4x ＋ ≥ 或 ′ ＝ － 4 x ＋ ≤ ， a 0 f (x) a 0 x x .. ... 3 1 3 1 3 1 3 1 即 － 4 x ＋ ≥0 或 － 4 x ＋ ≤0 在 [1,2] 上恒成立．即 a ≥4 x － 或 ≤4 x － . a x a x x a x 1 3 3 令 h(x) ＝4x － ，因为函数 h(x)在 [1,2] 上单调递增，所以 ≥ (2)或 ≤ (1) ， x a h a h 3 15 3 或 2 即≥ 或≤，解得 a<0 0< a ≤ 或 a ≥1. a 2 a 3 5 题型三：利用导数解决不等 式 例： 定义在 R 上的函数 f ( x) 的导函数为 f '( x) ,已知 f ( x 1) 是偶函数且 ( x 1) f '( x) 0. 若 x 1 x 2 ,且 x 1 x 2 2 ,则 f (x 1 ) 与 f ( x 2 ) 的大小关系是 A. f (x 1) f (x 2 ) B. f (x 1) f ( x 2 ) C. f (x 1) f ( x 2 ) D. 不确定 解析： 由 ( x 1) f '(x) 0 可知 ,当 x 1 时 , f '(x) 0 函数递减 . 当 x 时 , f '( x) 0 函数递 1 增 .因为函 数 f (x 1) 是偶函数 ,所以 f ( x 1) f (1 x) , f (x) f (2 x) , 即函数的对称轴 为 x 1 .所以若 1 x 1 x 2 ,则 f ( x 1) f (x 2 ) .若 x 1 1 ,则必有 x 2 2 ,则 x 2 2 x 1 1 , 此 时由 f (x 2 ) f (2 x 1) ,即 f ( x 2 ) f (2 x 1) f ( x 1 ) ,综上 f (x 1) f (x 2) ,选 C. 变式训练： 1. 函 数 f (x) 在 定 义 域 R 内 可 导 ， 若 f (1 x ) f (1 x) ， 且 当 x ( ,1) 时 ， ( x 1) f (x) 0 ，设 a f (0) ， b f ( 1 ) ， c f (3) ，则（ D ） 2 A ． a b c B ． b c a C ． c b a D ． c a b 2.已知函数 f ( x) 对定义域 R 内的任意 x 都有 f ( x) = f (4 x) ,且当 x 2 时其导函数 f ( x) 满足 xf ( x) 2 f ( x), 若 2 a 4 则 A. f (2 a ) f (3) f (log 2 a) B. f (3) f (log 2 a) f (2 a ) C. f (log 2 a) f (3) f (2 a ) D. f (log 2 a) f (2 a ) f (3) 解： 由 f ( x) = f (4 x) ,可知函数关于 x 2 对称 . 由 xf (x) 2 f ( x), 得 (x 2) f (x) 0 , 所以当 x 2 时 , f (x) 0 , 函数递 增 , 所以当 x 2 时,函数递减.当 .. ... 2 a 4 , 1 log 2 a 2, 22 2a 24,即4 2a 16 .所以 f (log 2 a) f (4 log 2 a) ,所 以 2 4 log 2 a 3 , 即 2 4 log 2 a 3 2a , 所 以 f (4 log 2 a ) f (3) f (2a ) , 即 f (lo g 2 a) f (3) f (2 a ) ,选 C. 3.已知函数 f (x)=x 2 - cos x ，则 f (0.6),f (0),f (-0.5) 的大小关 系是 A 、 f (0)< f (0.6)< f (-0.5) B 、 C 、 f (0.6)< f (-0.5)< f (0) D 、 f (0)< f (-0.5)< f (0.6) f (-0.5)< f (0)< f (0.6) 解：因为函数 f (x)=x 2 cos x 为偶函数，所以 f ( 0.5) f (0.5) ， f ' (x)=2 x sin x ，当 0 x 时 ， f '( x) = 2x s i n ， 所 以 函 数 在 0 x 递增，所以有 2 x0 2 f (0)< f (0.5)< f (0.6) ，即 f (0)< f ( 0.5)< f (0.6) ，选 B. 4． [2013 ·太原 三模 ] 已知函数 f(x ＋ 1) 是偶函数，且 x>1 时， f ′(x)<0 恒成 立， 又 (4)＝ 0， 则( ＋3) ( ＋4)<0 的解集为 ( ) f x f x A ．( －∞，－ 2)∪ (4，＋ ∞) B ．(－6，－ 3)∪(0，4) C ． (－ ∞，－ 6)∪ (4，＋ ∞) D ． (－6，－ 3)∪(0，＋ ∞) 解：函数 f(x ＋ 1) 是偶函数，其图象关于 y 轴对称，这个函数图象向右平 移 1 个单位得函数 y ＝ f(x)的图象，可得函数 y ＝ f(x)的图象关于直线 x ＝ 1 对称， x>1 时， f ′(x)<0 恒成立，说明 函数在 (1 ，＋ ∞)上单调递减，根据对称性可得函数在 (－ ∞，1) 上单调递增．根据 f(4) ＝ 0 可 得当 x>4 时，f( x)<0 ，根据对称性可得当 x<－ 2 时，f(x)<0 ，当－ 2< x<1 或 1< x<4 时， f(x)>0. 不 等 式 ( x ＋ 3) f(x ＋ 4)<0 x ＋ 3>0 ， x ＋ 3<0 ， x ＋3>0 ， 等 价 于 或 当 时 ， f （ x ＋4 ） <0 f （ x ＋4） >0. f （ x ＋ 4） <0 x>－ 3 ， 解得 x>0 ；当 x ＋ 3<0 ， x< －3， x ＋ 4> 4 或 x ＋ 4< － 2 ， 时， f （ x ＋ 4 ）>0 － 2< x ＋ 4<1 或 1< x ＋ 4<4 ， 解得－ 6< x <－ 3.故不等式 ( ＋3) ( ＋ 4)<0 的解集为 (－ 6，－ 3)∪ (0，＋ ∞)． x f x 5.设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x 0 时， f '( x) 0 ，且 f ( 1 ) 0 ，则不等式 2 f ( x) 0的解集为 ____． 解：因为函数 f (x) 为奇函数。当 x 0 时 ， f ' (x ) ，函数单调递增，所以 f ( 1 )f ( 1 ) 0 ，由图象可知不等 式 f ( x) 0 的解为 x 1 或 0 x 1 ，即不等式的 2 2 2 2 解集为 ( , 1) (0, 1) 。 2 2 .. ... 6. 函数 f x x nx ax 2 x a R 。（ I ）若函数 f (x) 在 x 1处取得极值，求 a 的值； ( ) 1 （II ）若函数 f (x) 的图象在直线 y x 图象的下方，求 a 的取值范围； 7.已知函 数 f (x) ax 2 bx( a, b R) ，函数 g( x) ln x ． ⑴当 a 0 时，函数 f ( x) 的图象与函数 g( x) 的图象有公共点， 求实数 b 的最大值； ⑵当 b 0 时，试判断函数 f ( x) 的图象与函数 g( x) 的图象的公共点的个数； ⑶函数 f (x) 的图象能否恒在函数 y bg ( x) 的图象的上方？若 能，求出 a, b 的取值范 围； 若不能，请说明理由． 解：⑴ a 0 f ( x) bx , 由一次函数与对数函数图象可知两图象相切 时 b 取最大值， ??1 分 设切点横坐标为 x0 ， f ( x ) b, g (x) 1 ， x b 1 1 1 x 0 , x 0 e, b , 即实数 b 的最大值为 b ； ??4 分 bx 0 ln x 0 e e ⑵ b 0, x 0, f ( x) g ( x) a ln x x 2 ， 即原题等价于直 线 与函数 ln x y a r (x) 的图象的公共点的个数， ??5 分 .. ... r ' ( x) x 2x ln x 1 2ln x ， x 4 x 3 1 1 r ( x) 在 (0, e) 递增且 r ( x) ( ) 递减且 r (x) (0, , ) ， r ( x) 在 ( e, ) ， 2e 2e a ( 1 , ) 时，无公共点， 2e a ( ,0] { 1 } 时，有一个公共点， 2e a (0, 1 ) 时，有两个公共点； ??9 分 2e ⑶函数 f ( x) 的图象恒在函数 y bg (x) 的上方， 即 f ( x) bg ( x) 在 x 0 时恒成立， ??10 分 ① a 0 时 f ( x) 图象开口向下，即 f (x) bg ( x) 在 x 0 时不可能恒成立， ② a 0 时 bx b ln x ，由⑴可得 x ln x ， b 0 时 f (x) bg(x) 恒成立， b 0 时 f ( x) bg (x) 不成立， ③ a 0 时， 若 b 0 则 a ln x x ，由⑵可得 ln x x 无最小值，故 f ( x) bg ( x) 不可能恒成 立， b x 2 x 2 若 b 0 则 ax 2 0 ，故 f ( x) bg( x) 恒成立， 若 b 0 则 ax 2 b( x ln x) 0 ，故 f (x) bg (x) 恒成立， ??15 分 综上， a 0, b 0 或 a 0, b 0 时 函数 f (x) 的图象恒在函数 y bg ( x) 的图象的上方． ??16 分 【思路点拨】（ 1 ）由 a=0 ，可得 f （ x ） =bx ，由一次函数与对数函数图象可知两图象相切 时 b 取最大值，利用导数的几何意义即可得出； （2 ）由于 b=0 ， x ＞0，可得 ，即原题等价于直线 y=a 与函数 r （x ） = 的图象的公共点的个数，利用导数研究函数 r （ x ）的单调性即可得出； （3 ）函数 f （ x ）的图象恒在函数 y=bg （ x ）的上方，即 f （ x ）＞ bg （ x ）在 x ＞ 0时恒成 立．对 a， b 分类讨论，再利用（1）（ 2 ）的结论即可得出． .. ... 【典型总结】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、导数的几何意义，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力． .. 1.函数的单调性：在某个区间( a,b )内，如果f (x) . 0 ,那么函数y = f (x)在这个区间内单调递增；如果f (x) ：：：0，那么函数y = f(x)在这个区间内单调递减?如果f(x)=0,那么函数y = f(x)在这个区间上是常数函数? 注：函数y = f (x)在(a,b )内单调递增，贝U f (x)亠0，f (x) . 0是y = f (x)在(a,b )内单调递增的充分不必要条件? 2.函数的极值：曲线在极值点处切线的斜率为0,并且，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为 负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正. 一般地，当函数 y = f(x)在点沧处连续时，判断f(X。)是极大(小)值的方法是： (1)如果在X。附近的左侧f ' (x) 0 ，右侧f'(x)：：： ，那么f(X0)是极大值. (2)如果在X o附近的左侧f '(X)：：：0 ,右侧f'(x) 0，那么f(X0)是极小值. 注：导数为0的点不一定是极值点 知识点一：导数与函数的单调性 方法归纳： 在某个区间(a,b )内，如果f (x) ?0,那么函数y = f (x)在这个区间内单调递增；如果「(x) ：：：0，那 么函数y二f(x)在这个区间内单调递减?如果f (x) =0，那么函数y二f(x)在这个区间上是常数函数?注：函数y = f (x)在(a,b )内单调递增，贝U f (x) _ 0 , f (x) 0是y = f (x)在(a,b )内单调递增的 充分不必要条件? 例1】(B类)已知函数f(x)=x3 bx2 cx d的图象过点P(0, 2)，且在点M(-1, f(-1))处的切线方程为6x「y ?7 = 0 ? (I)求函数y = f(x)的解析式；(n)求函数y=f(x)的单调区间? 【解题思路】注意切点既在切线上，又原曲线上?函数f(x)在区间［a,b］上递增可得：f'(x)_0 ；函数 f (x)在区间［a,b］上递减可得：f'(x) E0. 3 【例2】(A类)若f(x)二ax x在区间［—1,1］上单调递增，求a的取值范围? 【解题思路】利用函数 f (x)在区间［a,b］上递增可得：f'(x)_0;函数f(x)在区间［a,b］上递减可得： f '(x)岂0.得出恒成立的条件，再利用处理不等式恒成立的方法获解 a 【例 3 】(B 类)已知函数f(x)=l nx,g(x) (a 0),设F(x^ f (x) - g(x). x (I)求函数F(x)的单调区间； 函数的单调性 知识梳理 1. 单调性概念 一般地，设函数()f x 的定义域为I ： （1）如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数； （2）如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数. 2. 单调性的判定方法 （1）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。 （2）定义法步骤； ①取值：设12,x x 是给定区间内的两个任意值，且12x x < (或12x x >)； ②作差：作差12()()f x f x -，并将此差式变形（注意变形到能判断整个差式符号为止）； ③定号：判断12()()f x f x -的正负（要注意说理的充分性），必要时要讨论； ④下结论：根据定义得出其单调性. （3）复合函数的单调性： 当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的单调性相反时则复合函数为减函数。也就是说：同增异减（类似于“负负得正”） 3. 单调区间的定义 如果函数()y f x =，在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数在这个区间上具有单调性，区间D 叫做()y f x =的单调区间． 例题精讲 【例1】下图为某地区24小时内的气温变化图． (1)从左向右看，图形是如何变化的？ (2)在哪些区间上升哪些区间下降？ 解：（1）从左向右看，图形先下降，后上升，再下降； （2）在区间[0,4]和[14,24]下降，在区间[4,14]下降。 【例2】画出下列函数的图象，观察其变化规律： （1）f (x )=x ; ①从左至右图象上升还是下降 ②在区间(-∞，+∞)上，随着x 的增大，f (x )的值随着怎么变化？ 2.2.1导数与函数的单调性 基础巩固题： 1.函数f(x)= 21 ++x ax 在区间（-2，+∞）上为增函数，那么实数a 的取值范围为（ ） A.0 单调性与最大（小）值 要点一、函数的单调性 1．增函数、减函数的概念 一般地，设函数f(x)的定义域为A ，区间D A ?： 如果对于D 内的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1 利用导数研究函数的单调性 一、选择题 1.函数f (x )＝x ln x ，则( ) A.在(0，＋∞)上递增 B.在(0，＋∞)上递减 C.在? ? ???0，1e 上递增 D.在? ? ???0，1e 上递减 解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1，令f ′(x )>0得x >1 e ， 令f ′(x )<0得0 解析由y＝f′(x)的图象知，y＝f(x)在[－1，1]上为增函数，且在区间(－1，0)上增长速度越来越快，而在区间(0，1)上增长速度越来越慢. 答案 B 5.设函数f(x)＝1 2 x2－9ln x在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值 范围是( ) A.(1，2] B.(4，＋∞] C.[－∞，2) D.(0，3] 解析∵f(x)＝1 2 x2－9ln x，∴f′(x)＝x－ 9 x (x>0)， 当x－9 x ≤0时，有0 利用导数求函数的单调区间 一学习目标： 1结合实例，找出函数的单调性与导数的关系； 2会利用导数研究函数的单调性，会求简单函数的单调区间。 二重点、难点： 重点：求函数的单调区间. 难点：求含参数函数的单调区间。. 三教材分析 本节课主要对函数单调性求法的学习； 它是在学习导数的概念的基础上进行学习的，同时又为导数的应用学习奠定了基础，所以他在教材中起着承前启后的重要作用；（可以看看这一课题的前后章节来写） 它是历年高考的热点、难点问题 四教学方法 开放式探究法、启发式引导法、小组合作讨论法、反馈式评价法 五教学过程 预习学案: 1.函数单调性的定义是什么？函数的单调区间怎样求？ 2.讨论以下问题 （1）求函数y=x的导数，判断其导数的符号； （2）求函数y=x2的导数，判断其导数的符号. 3.根据上述问题，思考导数的符号与函数的单调性之间的关系，并加以总结： 设函数y=f(x)在区间（a,b）内可导： 如果在(a,b)内，______________,则f(x)在此区间是增函数； 如果在(a,b)内，______________,则f(x)在此区间是减函数. 4.根据上述总结，思考一下，函数在某个区间上是单调递增函数，是不是其导数就一定大于零呢？如果函数在某个区间上是单调递减函数，是不是其导数就一定小于零?能否举个例子说明一下？ 小测验： 1.当0>x 时，()x x x f 4+ =的单调减区间 2.函数53 123++-=x x y 的单调增区间为_______________,单调减区间为______________. 利用导数求函数的单调区间（讲授学案）——冯秀转 题型：求函数的单调区间 例1、求下列函数的单调区间; (1)x x y 23+= (2)()221 ln x x x f -= 注意：求函数单调区间时必须先考虑函数的定义域. （小结）求函数单调区间的步骤： 练习：求()x e x x f 2=的单调区间。 1.3.1函数的单调性 题型一、利用函数的图象确定函数的单调区间 例1.作出下列函数的图象，并写出函数的单调区间 （1）12-=x y ; （2）322++-=x x y ; （3）2 )2(1-++=x x y ; （4）969622++++-=x x x x y 相应作业1：课本P32第3题. 题型二、用定义法证明函数的单调性 用定义法证明函数的单调性步骤：取值 作差变形 定号 下结论 ?取值，即_____________________________； ?作差变形,作差____________,变形手段有__________、_____、_____、_______等； ?定号，即____________________________________________________________; ④下结论，即______________________________________________________。 例2.用定义法证明下列函数的单调性 （1）证明：1)(3 +-=x x f 在()+∞∞-,上是减函数. ▲定义法证明单调性的等价形式： 设[]b a x x ,21∈、，21x x ≠,那么 [])(0) ()(0)()()(2 1212121x f x x x f x f x f x f x x ?>--? >--在[]b a ,上是增函数； [])(0) ()(0)()()(2 1212121x f x x x f x f x f x f x x ?<--? <--在[]b a ,上是减函数. (2)证明：x x x f -+=1)(2在其定义域内是减函数； （3）证明：21 )(x x f = 在()0,∞-上是增函数； 法一： 作差 法二：作商 3.3.1《函数的单调性与导数》教学案 教学目标： 1．了解可导函数的单调性与其导数的关系； 2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次； 教学重点： 利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间 教学难点： 利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间 教学过程： 一．创设情景 函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用． 二．新课讲授 1．问题：图3.3-1(1)，它表示跳水运动中高度h 随时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像，图3.3-1(2)表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数'()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图像． 运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？ 通过观察图像，我们可以发现： (1)运动员从起点到最高点，离水面的高度h 随时间t 的增加而增加，即()h t 是增函数．相应地，'()()0v t h t =>． (2) 从最高点到入水，运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而减少，即()h t 是减 函数．相应地，'()()0v t h t =<． 2．函数的单调性与导数的关系 观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系． 如图3.3-3，导数'0()f x 表示函数()f x 在 点00(,)x y 处的切线的斜率． 在0x x =处，'0()0f x >，切线是“左下右上”式的， 用导数求函数的单调性 南江县第四中学 何其孝 指导老师：范永德 一、第一段：点明课题、展示目标、自主学习 1、展示学习目标 （1）理解)0(0(x)f <>'时，f(x)在0x x =附近单调性； （2）掌握用导数求函数的单调区间。 2、板书课题：用导数求函数的单调性 3、学生围绕学习目标看教材第89-93页，进行自主学习。（约10分钟） 二、第二段：合作探究、启发点拨 1、探究1：怎样从导数的几何意义，判断)0(0(x)f <>'时，f(x)在0x x =附近单调性？点拨：以直代曲 探究2：用导数求函数单调性的步骤 点拨：(1)求定义域 (2)求导函数(x)f ' (3)求)0(0(x)f <>'，判断函数的单调性 (4)写出f(x)的单调区间 2、应用举例 例 判断下列函数的单调性，写出f(x)区间 (1) )(0,x x,-sinx f(x)π∈= (2) 12432f(x)23+-+=x x x 解：f′(x)=6x2 + 6x -24 当f′(x)＞0，解得：2 1712171+->-- 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义． 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质. ★备考知考情 1.函数的单调性是函数的一个重要性质，是高考的热点，常见问题有：求单调区间，判断函数的单调性，求参数的取值，利用函数单调性比较数的大小，以及解不等式等．客观题主要考查函数的单调性，最值的确定与简单应用． 2.题型多以选择题、填空题的形式出现，若与导数交汇命题，则以解答题的形式出现. 一、知识梳理《名师一号》P15 注意： 研究函数单调性必须先求函数的定义域， 函数的单调区间是定义域的子集 单调区间不能并！ 知识点一函数的单调性 1.单调函数的定义 1 2 2.单调性、单调区间的定义 若函数f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做f (x )的单调区间. 注意： 1、《名师一号》P16 问题探究 问题1 关于函数单调性的定义应注意哪些问题？ (1)定义中x 1，x 2具有任意性，不能是规定的特定值． (2)函数的单调区间必须是定义域的子集； (3)定义的两种变式： 设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1 3 1212 ()() 0-<-f x f x x x ? f (x )在[a ，b ]上是减函数． ②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0?f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0?f (x )在[a ，b ]上是减函数． 2、《名师一号》P16 问题探究 问题2 单调区间的表示注意哪些问题？ 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示； 如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结． 知识点二 单调性的证明方法：定义法及导数法 《名师一号》P16 高频考点 例1 规律方法 (1) 定义法: 利用定义证明函数单调性的一般步骤是： ①任取x 1、x 2∈D ，且x 1 小题快练 1．(2013全国Ⅰ卷理)设曲线1 1 x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ D ） A ．2 B ．12 C ．1 2 - D ．2- 2．(2013全国Ⅰ卷改编)设函数2 )1()(x e x x f x --=，则函数()f x 的单调递增区间 为 ,单调递减区间为 . 【解析】(Ⅰ) 当1k =时, ()()21x f x x e x =--,()()()1222x x x x f x e x e x xe x x e '=+--=-=- 令()0f x '=,得10x =,2ln 2x = 当x 变化时,()(),f x f x '的变化如下表: 右表可知,函数f x 的递减区间为0,ln 2,递增区间为,0-∞,ln 2,+∞. 3.(2013湖北理)若f(x)=2 1ln(2)2 x b x - ++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是（C ） A.[-1，+∞] B.（-1，+∞） C.（-∞，-1） D.（-∞，-1） 4.已知函数x bx ax x f 3)(2 3 -+=在1±=x 处取得极值. （1）讨论)1(f 和)1(-f 是函数f (x )的极大值还是极小值； （2）过点)16,0(A 作曲线y= f (x )的切线，求此切线方程. （1）解：323)(2-+='bx ax x f ，依题意，0)1()1(=-'='f f ，即 ?? ?=--=-+. 0323, 0323b a b a 解得0,1==b a . ∴)1)(1(333)(,3)(2 3 -+=-='-=x x x x f x x x f . 令0)(='x f ，得1,1=-=x x . 若),1()1,(∞+--∞∈Y x ，则0)(>'x f ，故 f (x )在)1,(--∞上是增函数， f (x )在),1(∞+上是增函数. 若)1,1(-∈x ，则0)(<'x f ，故f (x )在)1,1(-上是减函数. 所以，2)1(=-f 是极大值；2)1(-=f 是极小值. （2）解：曲线方程为x x y 33 -=，点)16,0(A 不在曲线上. 设切点为),(00y x M ，则点M 的坐标满足03 003x x y -=. 因)1(3)(2 00-='x x f ，故切线的方程为))(1(3020 0x x x y y --=- 注意到点A （0，16）在切线上，有 )0)(1(3)3(16020030x x x x --=-- 化简得83 0-=x ，解得20-=x . 所以，切点为)2,2(--M ，切线方程为0169=+-y x . 1.3.1函数的单调性与导数 [学习目标] 1.结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式.3.会求函数的单调区间(其中多项式函数的最高次数一般不超过三次). 知识点一函数的单调性与其导数的关系 在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系： 思考以前，我们用定义来判断函数的单调性，在假设x1＜x2的前提下，比较f(x1)与f(x2)的大小，在函数y＝f(x)比较复杂的情况下，比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易，如何利用导数来判断函数的单调性？ 答案根据导数的几何意义，可以用曲线切线的斜率来解释导数与单调性的关系，如果切线的斜率大于零，则其倾斜角是锐角，函数曲线呈上升的状态，即函数单调递增；如果切线的斜率小于零，则其倾斜角是钝角，函数曲线呈下降的状态，即函数单调递减. 知识点二利用导数求函数的单调区间 利用导数确定函数的单调区间的步骤： (1)确定函数f(x)的定义域. (2)求出函数的导数f′(x). (3)解不等式f′(x)＞0，得函数的单调递增区间；解不等式f′(x)＜0，得函数的单调递减区间. 知识点三导数绝对值的大小与函数图象的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化较快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就“平缓”一些.也就是说导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度. 如图，函数y ＝f (x )在(a,0)和(0，b )内的图象“陡峭”，在(－∞，a )和(b ，＋∞)内的图象“平缓”. 题型一 利用导数确定函数的单调区间 例1 求下列函数的单调区间. (1)f (x )＝3x 2－2ln x ；(2)f (x )＝x 2·e － x ； (3)f (x )＝x ＋1x . 解 (1)函数的定义域为D ＝(0，＋∞).∵f ′(x )＝6x －2x ，令f ′(x )＝0，得x 1＝33，x 2＝－ 3 3(舍去)，用x 1分割定义域D ，得下表： ∴函数f (x )的单调递减区间为? ???0， 33，单调递增区间为??? ?3 3，＋∞. (2)函数的定义域为D ＝(－∞，＋∞).∵f ′(x )＝(x 2)′e － x ＋x 2(e － x )′＝2x e － x －x 2e － x ＝e － x (2x －x 2)，令f ′(x )＝0，由于e － x ＞0，∴x 1＝0，x 2＝2，用x 1，x 2分割定义域D ，得下表： ∴f (x )的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递增区间为(0,2). (3)函数的定义域为D ＝(－∞，0)∪(0，＋∞). ∵f ′(x )＝1－1 x 2，令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝1，用x 1，x 2分割定义域D ，得下表： 高考压轴题：导数题型及解题方法 （自己总结供参考） 一．切线问题 题型1 求曲线)(x f y =在0x x =处的切线方程。 方法：)(0x f '为在0x x =处的切线的斜率。 题型2 过点),(b a 的直线与曲线)(x f y =的相切问题。 方法：设曲线)(x f y =的切点))(,(00x f x ，由b x f x f a x -='-)()()(000求出0x ，进而解决相关问题。 注意：曲线在某点处的切线若有则只有一，曲线过某点的切线往往不止一条。 例 已知函数f （x ）=x 3﹣3x ． （1）求曲线y=f （x ）在点x=2处的切线方程；（答案：0169=--y x ） （2）若过点A )2)(,1(-≠m m A 可作曲线)(x f y =的三条切线，求实数m 的取值范围、 （提示：设曲线)(x f y =上的切点（)(,00x f x ）；建立)(,00x f x 的等式关系。将问题转化为关于m x ,0的方程有三个不同实数根问题。（答案：m 的范围是()2,3--） 练习 1. 已知曲线x x y 33 -= （1）求过点（1，-3）与曲线x x y 33-=相切的直线方程。答案：（03=+y x 或027415=--y x ） （2）证明：过点（-2,5）与曲线x x y 33-=相切的直线有三条。 2.若直线0122=--+e y x e 与曲线x ae y -=1相切，求a 的值. （答案：1） 题型3 求两个曲线)(x f y =、)(x g y =的公切线。 方法：设曲线)(x f y =、)(x g y =的切点分别为（)(,11x f x ）。（)(,22x f x ）； 利用导数研究函数的单调性问题 浙江省湖州中学 李连方 一．学情分析 本人任教的两个班级均侧文，数学基础较薄弱．学生已基本掌握利用导数对常系数的单调区间求解，但是对含参数单调性问题常常一筹莫展，找不到分类的标准或者分类不合理、不完整． 二．教学目标 用导数讨论函数的单调性，是运用导数解决函数的极值、函数的最值的基础，所以本节复习课首先要让学生理解函数单调性和导数的关系，会用导数讨论含参函数的单调性，让学生理解含参函数单调性问题实质是解不等式问题，而解不等式问题实质是根的问题．其次，逐步使学生意识到要合理准确地分类讨论问题，体会到分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要地对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出结论，然后综合各类结果得到整个问题的解答，其实质是“化整为零，各个击破，再积零为整”．在分类讨论时，时刻注意：一要分类对象确定，标准统一；二要不重复，不遗漏；三要分层次，不越级讨论． 三．教学重点和难点 本节课的教学重点是能使学生明确产生分类讨论的标准，能合理、准确和完整地进行分类讨论．本节课的教学难点是分类标准难以把握，本节课试图从方程的根的角度来突破难点． 四．教学设计 【例1】（《创计新设》第42页）已知函数2()ax f x x e -=?，a R ∈． （Ⅰ）当=1a 时，求函数()y f x =的图象在点()()1,1f --处的切线方程； （Ⅱ）讨论函数()y f x =的单调性． 分析：（Ⅰ）略；（Ⅱ）由题意得() 2()2ax f x x ax e -'=-?， 其中22=0x ax -根为0x =或2x a = ()0a ≠． ①当=0a 时，若0x <，则()0f x '<；若0x >，则()0f x '>． 所以当=0a 时，函数f (x )在区间()0-∞，上为减函数，在区间()0+∞，上为增函数． ②当0a >时，当0x <或2x a >时，()f x '；当20x a <<时，()f x '． 所以函数()y f x =在区间()0-∞，与2 +a ??∞ ???，上为减函数，在20a ?? ???，上为增函数． 【设计意图】1．让学会认识到函数的单调性、函数的单调区间和极值等问题，最终归结到判断()f x '的符号问题上，而()0f x '>或()0f x '<，最终可转化为解不等式问题．若含参数，则含参数的不等式的解法常常涉及到参数的讨论问题； 2．让学生体会解不等式实质在解不等式对应的方程的根． 【例2】（2008年浙江省高考试题改编）已知a 是实数，函数())f x x a = -． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间； 分析：函数的定义域为[0)+∞，， 导数题型分类解析（中等难度） 一、变化率与导数 函数)(0x f y =在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即)('0x f =0 lim →?x x y ??=0 lim →?x x x f x x f Δ)()Δ(00-+，表 示函数)(0x f y =在x 0点的斜率。注意增量的意义。 例1：若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000 ()() lim h f x h f x h h →+-- 的值为（ ） A ．'0()f x B ．'02()f x C ．' 02()f x - D ．0 例2：若' 0()3f x =-，则000 ()(3) lim h f x h f x h h →+--=（ ） A.3- B ．6- C ．9- D ．12- 例3：求0lim →h h x f h x f ) ()(020-+ 二、“隐函数”的求值 将)('0x f 当作一个常数对)(0x f 进行求导，代入0x 进行求值。 例1：已知()()232 f x x x f '+=，则()='2f 例2：已知函数()x x f x f sin cos 4+?? ? ??'=π，则??? ??4πf 的值为 . 例3：已知函数)(x f 在R 上满足88)2(2)(2 -+--=x x x f x f ，则曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为（ ） A. 12-=x y B. x y = C. 23-=x y D. 32+-=x y 三、导数的物理应用 如果物体运动的规律是s=s （t ），那么该物体在时刻t 的瞬间速度v=s ′（t ）。 如果物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v （t ），则该物体在时刻t 的加速度a=v′（t ）。 例1：一个物体的运动方程为2 1t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，求物体在3秒末的瞬时速度。 例2：汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（ ） 《导数在研究函数中的应用—函数的单调性与导数》说课稿 周国会 一、教材分析 1教材的地位和作用 “函数的单调性和导数”这节新知识是在教材选修1—1，第三章《导数及其应用》的函数的单调性与导数.本节计划两个课时完成。在练习解二次不等式、含参数二次不等式的问题后，结合导数的几何意义回忆函数的单调性与函数的关系。例题精讲强化函数单调性的判断方法，例题的选择有梯度，由无参数的一般问题转化为解关于导函数的不等式，再解关于含参数的问题，最后提出函数单调性与导数关系逆推成立。培养学生数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想。能利用导数研究函数的单调性；会求函数的单调区间.在高考中常利用导数研究函数的单调性，并求单调区间、极值、最值、以及利用导数解决生活中的优化问题。其中利用导数判断单调性起着基础性的作用，形成初步的知识体系，培养学生掌握一定的分析问题和解决问题的能力。 （一）知识与技能目标： 1、能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间； 2、能解决含参数函数的单调性问题以及函数单调性与导数关系逆推。 （二）过程与方法目标： 1、通过本节的学习，掌握用导数研究函数单调性的方法。 2、培养学生的观察、比较、分析、概括的能力，数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想。 （三）情感、态度与价值观目标： 1、通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结， 2、培养学生的探索精神，渗透辩证唯物主义的方法论和认识论教育。激发学生独立思考和创新的意识，让学生有创新的机会，充分体验成功的喜悦，开发了学生的自我潜能。（四）教学重点，难点 教学重点：利用导数研究函数的单调性、求函数的单调区间。 教学难点：探求含参数函数的单调性的问题。 二、教法分析 针对本知识点在高考中的地位、作用，以及学生前期预备基础，应注重理解函数单调性与导数的关系，进行合理的推理，引导学生明确求可导函数单调区间的一般步骤和方法，无参数的一般问题转化为解关于导函数的不等式。解关于含参数的问题，注意分类讨论点的确认，灵活应用已知函数的单调性求参数的取值范围。采用启发式教学，强调数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想的应用，培养学生的探究精神，提高语言表达和概括能力， 导数讨论含参函数的单调性 【思想方法】 上为常函数 在区间时上为减函数在区间时上为增函数在区间时和增区间为和增区间为D x f x f D x D x f x f D x D x f x f D x D C x f D C x x f B A x f B A x x f )(0)(')(0)(')(0)('...,)(...0)('...,)(...0)('?=∈?<∈?>∈?∈? 讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论。 【典例讲解】 例1 讨论x a x x f +=)(的单调性，求其单调区间 解：x a x x f + =)(的定义域为),0()0,(+∞-∞ )0(1)('2 22≠-=-=x x a x x a x f (它与a x x g -=2 )(同号)I ）当0≤a 时，)0(0)('≠>x x f 恒成立，此时)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是单调增函数，即)(x f 的增区间是)0,(-∞和),0(+∞; II) 当0>a 时 a x a x x x f > -或)0(0)('， a x x a x x f <<<<-?≠<00)0(0)('或，此时)(x f 在),(a --∞和),(+∞a 都是单调 增函数，)(x f 在)0,(a -和),0(a 都是单调减函数，即)(x f 的增区间为),(a --∞和 ),(+∞a ;)(x f 的减区间为)0,(a -和),0(a . 步骤小结：1、先求函数的定义域， 2、求导函数（化为乘除分解式，便于讨论正负）， 3、先讨论只有一种单调区间的（导函数同号的）情况， 4、再讨论有增有减的情况（导函数有正有负，以其零点分界）， 5、注意函数的断点，不连续的同类单调区间不要合并。 变式练习1 : 讨论x a x x f ln )(+=的单调性，求其单调区间 解：x a x x f ln )(+=的定义域为),0(+∞ )0(1)('>+=+ =x x a x x a x f (它与a x x g +=)(同号) I ）当0≥a 时，)0(0)('>>x x f 恒成立，此时)(x f 在),0(+∞为单调增函数， 即)(x f 的增区间为),0(+∞，不存在减区间; II) 当0?>>)0(0)(';a x x x f -<<0)0(0)(' 此时)(x f 在),(+∞-a 为单调增函数，)(x f 在),0(a -是单调减函数， 即)(x f 的增区间为),(+∞-a ;)(x f 的减区间为),0(a -. 例2．讨论x ax x f ln )(+=的单调性 解：x ax x f ln )(+=的定义域为),0(+∞ )0(11)('>+=+ =x x ax x a x f (它与1)(+=ax x g 同号) 函数的单调性 一、教学目标：理解函数单调性的定义，会用函数单调性解决一些问题． 二、教学重点：函数单调性的判断和函数单调性的应用． 三、教学过程： （一）主要知识： 1、函数单调性的定义； 2、判断函数单调性（求单调区间）的方法： （1）从定义入手（2）从导数入手（3）从图象入手（4）从熟悉的函数入手 （5）从复合函数的单调性规律入手注：先求函数的定义域 3、函数单调性的证明：定义法；导数法。 4、一般规律 （1）若f(x),g(x)均为增函数，则f(x)+g(x)仍为增函数； （2）若f(x)为增函数，则-f(x)为减函数； （3）互为反函数的两个函数有相同的单调性； （4）设()[]x g f y =是定义在M 上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则()[]x g f y =在M 上是 减函数；若f(x)与g(x)的单调性相同，则()[]x g f y =在M 上是增函数。 （二）主要方法： 1．讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集； 2．判断函数的单调性的方法有：（1）用定义；（2）用已知函数的单调性；（3）利用函数的导数． 3．注意函数的单调性的应用；4．注意分类讨论与数形结合的应用． （三）例题分析： 例1．（1）求函数2 0.7log (32)y x x =-+的单调区间； （2）已知2()82,f x x x =+-若2()(2)g x f x =-试确定()g x 的单调区间和单调性． 解：（1）单调增区间为：(2,),+∞单调减区间为(,1)-∞， （2）2 2 2 ()82(2)(2)g x x x =+---4228x x =-++，3 ()44g x x x '=-+， 令 ()0g x '>，得1x <-或01x <<，令 ()0g x '<，1x >或10x -<< ∴单调增区间为(,1),(0,1)-∞-；单调减区间为(1,),(1,0)+∞-． 例2．设0a >，()x x e a f x a e = + 是R 上的偶函数． （1）求a 的值；（2）证明()f x 在(0,)+∞上为增函数． 例3．若()f x 为奇函数，且在(,0)-∞上是减函数，又(2)0f -=，则()0x f x ?<的解集为 (,2)(2,) -∞-+∞ ． 例4．已知函数()f x 的定义域是0x ≠的一切实数，对定义域内的任意12,x x 都有 1 21 2()()()f x x f x f x ?=+，且当 1x >时()0,(2)1f x f >=， （1）求证：()f x 是偶函数；（2）()f x 在(0,)+∞上是增函数；（3）解不等式2 (21)2f x -<． 解：（1）令121x x ==，得(1)2(1)f f =，∴(1)0f =，令121x x ==-，得∴(1)0f -=， ∴()(1)(1)()()f x f x f f x f x -=-?=-+=，∴()f x 是偶函数． （2）设210x x >>，则221111 ()()()()x f x f x f x f x x -=? -22111 1 ()( )()( )x x f x f f x f x x =+-=知识点一-导数与函数的单调性
函数的单调性知识点总结与题型归纳
导数与函数的单调性练习题
函数的单调性和奇偶性知识归纳和典型题型
利用导数研究函数的单调性
利用导数求函数的单调区间
1.3.1函数的单调性例题
《3.3.1函数的单调性与导数》教学案
用导数求函数的单调性
函数的单调性 知识点与题型归纳
利用导数研究函数的单调性和极值(答案)
高中数学选修2-2函数的单调性与导数
(完整word版)高考导数题型归纳
利用导数研究函数的单调性问题
高二数学选修2-2导数12种题型归纳(中等难度)
《导数在研究函数中的应用—函数的单调性与导数》说课稿
导数讨论含参函数的单调性
函数的单调性题型归纳
相关主题
文本预览