2018年湖北省八市联考数学试题答案（理科）
一. 选择题：CDAAB D DDBC AB
二. 填空题： 13． 112 14. 261
15. 25a ≤≤
16.()
212326n n n +-+?-（或()
()21212126n n n n +++---） 三. 解答题：
17. 【解析】（1）
1151,2212122T πππω=-=∴=,又5sin(2)1123
ππ
???+=∴=- ()sin(2)3f x x π=-，???
?
?
+=∴64sin )(πx x g …………6分 （2）21222cos 222=-≥-+=
ac ac ac ac b c a x ，30π
≤<∴x 23646ππ
π≤
+
<∴
x ，由图像可得12
1
< 18.证明：Θ3==BC AB AB BC ⊥∴Θ//EF BC AB EF ⊥∴,翻折后垂直关系没变，仍有AE EF ⊥,BE EF ⊥ PBE EF 平面⊥∴PB EF ⊥∴ …………4分 (2) ΘAE EF ⊥,BE EF ⊥PEB ∠∴二面角P EF B --的平面角， ο60=∠∴PEB ，又1,2==BE PE ,由余弦定理得3=PB , 222PE EB PB =+∴,EB PB ⊥∴,EB BC PB ,,∴两两垂直。 以B 为原点，BC 所在直线为x 轴，BE 所在直线为y 轴，建立如图直角坐标系。 则),3,0,0(P ),0,0,3(C (0,1,0),E ),0,1,2(F (0,1,3),(2,1,3)PE PF =-=-u u u r u u u r ……8分 设平面PEF 的法向量),,,(z y x n = 由?????=?=?0 0PF n PE n 可得(0,3,1),n =r ),3,0,3(-=PC = ??= ∴PC n PC n θsin 4 1 故PC 与平面PEF 所成的角的正弦值为 1 4 …………12分 19.【解析】（Ⅰ）根据题意列出22?列联表如下： () 2 210491025 0.4 2.0725555 2525 K -?= = = 所以没有85%的理由认为“优质潜力城市”与“共享单车”品牌有关．……4分 （Ⅱ）①令事件C 为“城市I 被选中”；事件D 为“城市II 被选中”， 则12 34335533 (),()510 C C P C P C D C C ====, 所以()1 ()()2P CD P D C P C ==． …………7分 ② 随 机变量X 的所有可能取值为1,2,3, ()1232353 110C C P X C ?===；()12 233 5325 C C P X C ===； ()3 3351 310 C P X C ===．故X 的分布列为 ………………10分 ()331 123 1.810510 E X ∴=? +?+?= ………………12分 20. 【解析】（1）由题意可得2=p ，所以(0,1)S ,圆的半径为1，设),(11y x A ，),(22y x D ， 由???+==1 42kx y y x 得0 442 =--kx x ，k x x 421=+∴21212()242y y k x x k ∴+=++=+， 21212112424AB CD AS DS BC y y y y k ∴+=+-=+++-=+=+= k ∴= …………6分 (2) 124x x k +=Q 21212,()242y y k x x k +=++=+， 2(2,21)Q k k ∴+ 当0=k 时直线l 1与抛物线没有交点，所以0≠k 用k 1 -替换k 可得222(,1)P k k -+，k k k k PQ 22223 4+-=∴ 所以PQ 的直线方程为)2(222 2)12(342 k x k k k k y -+-= +-， 化简得21 3k y x k -=+，所以直线PQ 过定点（0,3）.…………12分 21. 【解析】（1）函数F （x ）的定义域为(,)(,)a a -∞+∞U ．当(,)x a ∈+∞时，1 0,0x e x a >>-，所以1 ()0x F x e x a =+ >-．即F （x ）在区间(,)a +∞上没有零点．当(,)x a ∈-∞时，1()1()x x e x a F x e x a x a -+=+=--，令h ()()1x x e x a =-+． ……2分 只要讨论h （x ）的零点即可．()(1),(1)0,x h x e x a h a ''=-+-=当(,1)x a ∈-∞-时， ()0h x '<，h （x ）是减函数；当(1,)x a a ∈-时，()0h x '>，h （x ）是增函数．所以h （x ） 在区间(,)a -∞最小值为1 (1)1a h a e --=-． …………4分 显然，当1a =时，(1)0h a -=,所以1x a =-是()f x 的唯一的零点；当1a <时， 1(1)10a h a e --=->，所以F （x ）没有零点；当1a >时，1(1)10a h a e --=-<，所以F （x ） 有两个零点． …………6分 （2）若2-=a ，0>x ，要证428 1)()(2+-++>?x x x x g x f ，即要证 () 42 1 122-+++>x x x e x ，12 1412+=++< +x x x x Θ 下证()42 11222 -+??? ??++>x x x e x ， …………8分 设()M x =()2242 112222 +--=+-??? ??++-x x e x x x e x x ()22x M x e x '=--，令22)(--=x e x x ? 2)(-='x e x ?，)(x ?∴在()2ln ,∞-上单调递减，在()+∞,2ln 上单调递增。 Θ0)0()1(,0)2()1(<- 02200=--x e x ，()M x ∴在()0,0x 上单调递减，在()+∞,0x 上单调递增。 ∴M()x 220200+--≥x x e x =042 0>-x ∴()42 11222-+??? ??++>x x x e x ，又 112+>+x x Θ ()42 1 122-+++>∴x x x e x ， 4 281)()(2+-++>?∴x x x x g x f ，即证。 …………12分 22．【解析】（1）在直角坐标系 中，曲线 ，曲线 22 2:(1)1C x y -+=， 所以曲线C 1,,C 2的极坐标方程分别为(sin cos )1ρθθ+=，2cos ρθ=……5分 (2) 设12(,),(,),4 2A b π π ραραα- << ， 211112cos (cos sin )(cos 2sin 21)2214444OB OA ρπααααααρ??? ?= =???+=++=-+ ???? ?? 8π α∴= 时，OB OA 有最大值 214 …………10分 23．解析：（1） ?? ?<++<+03)4(-04x x x 或???<++≥+0 3)4(0 4x x x 解得,72-- 所以原不等式的解集是() ()1,372,--?--∞- ………… 5分 （2）依题意，求|9|2||x x -+的最小值，318,9()18,09183,0x x f x x x x x -≥?? =-≤ 所以)(x f 最小值9. 9>∴a …………10分
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