数学建模案例之多变量最
优化
数学建模案例之
多变量无约束最优化
问题1[1]：一家彩电制造商计划推出两种产品：一种19英寸立体声彩色电视机，制造商建议零售价（MSRP）为339美元。另一种21英寸立体声彩色电视机，零售价399美元。公司付出的成本为19英寸彩电195美元/台，21英寸彩电225美元/台，还要加上400000美元的固定成本。在竞争的销售市场中，每年售出的彩电数量会影响彩电的平均售价。据估计，对每种类型的彩电，每多售出一台，平均销售价格会下降1美分。而且19英寸彩电的销售量会影响21英寸彩电的销售量，反之也是如此。据估计，每售出一台21英寸彩电，19英寸的彩电平均售价会下降0.3美分，而每售出一台19英寸的彩电，21英寸彩电的平均售价会下降0.4美分。问题是：每种彩电应该各生产多少台？
清晰问题：问每种彩电应该各生产多少台，使得利润最大化？
1．问题分析、假设与符号说明
这里涉及较多的变量：
s：19英寸彩电的售出数量（台）；
t：21英寸彩电的售出数量（台）；
p：19英寸彩电的售出价格（美元/台）；
q：21英寸彩电的售出价格（美元/台）；
C：生产彩电的成本（美元）；
R：彩电销售的收入（美元）；
P：彩电销售的利润（美元）
两种彩电的初始定价分别为：339美元和399美元，成本分别为：195美元和225美元；每种彩电每多销售一台，平均售价下降系数a=0.01美元（称为价格弹性系数）；两种彩电之间的销售相互影响系数分别为0.04美元和0.03美元；固定成本400000美元。
变量之间的相互关系确定：
假设1：对每种类型的彩电，每多售出一台，平均销售价格会下降1美分。
假设2：据估计，每售出一台21英寸彩电，19英寸的彩电平均售价会下降0.3美分，而每售出一台19英寸的彩电，21英寸彩电的平均售价会下降0.4美分。
因此，19英寸彩电的销售价格为：
p=339-a×s-0.03×t，此处a=0.01
21英寸彩电的销售价格为：
q=399-0.01×t-0.04×s
因此，总的销售收入为：
R=p×s+q×t
生产成本为：
C=400000+195×s+225×t
净利润为：
P=R-C
因此，原问题转化为求s≥0和t≥0，使得P取得最大值。
2．建立数学模型
根据前面的分析，原问题的数学模型如下：
max (,)
..
(,)(3390.003)(3990.0040.01)(400000195225)
0,0
P s t s t P s t as t s s t t s t s t =--+---
++≥≥（1） 3．模型求解
3.1求解方法
（1）求出驻点（s 0，t 0），即解方程组
（2）判断是否在驻点处取得极值，方法如下：
1）先计算
2）若120,0D D >>，则（s 0，t 0）是极小值点；
若120,0D D <>，则（s 0，t 0）是极大值点；
若20D <，则（s 0，t 0）不是极值点；
若20D =，则不能肯定（s 0，t 0）是不是极值点，必须考察更高阶的偏导
数。
3.2计算结果
（1）利用Matlab 计算出驻点为：（4735.04，7042.7）,其中a=0.01；
（2）利用Matlab 计算出D 1=-0.02<0，D 2=0.000351>0，因此P(s,t)在（4735，
7043）处取得极大值：553641美元。
（3）辅助数据：p=270.52；q=309.63；C=2907950；利润率=0.190389。
3.3结果解释
简单地讲，这家公司可以通过生产4735台19英寸彩电和7043台21英寸彩电来获得最大利润，每年获得的净利润是553641美元。
19英寸彩电的平均售价为270.52美元/台；21英寸彩电的平均售价为309.63美元/台；生产的总成本为2907950美元；相应的利润率为19.0389%。
根据以上结果显示了是有利可图的，因此建议这家公司的推出新产品计划应该实行。
图形显示见下图。
图1彩电问题
4．灵敏性分析
在报告结论之前，应该对关于彩电市场和生产过程所作的假设进行
灵敏性分析，以保证结果具有稳定性。我们主要关心的是决策变量s 、t 的值，因为公司据此来确定生产量。在前面的计算中，我们假设a=0.01美元/台，下面考虑当19英寸的彩电的价格弹性系数a 发生微小的变化时，公司的生产量以及利润将如何变化。
4.1产量对a 的灵敏性分析
(,)(3390.003)(3990.0040.01)(400000195225)
P s t as t s s t t s t =--+---++（2）
它的驻点为：
1662000()4000049581700
()87004000049s a a t a a ?=??-??=-?-?
（3） 由（2）可得，19英寸彩电的价格弹性系数a 的增加，会导致19英寸彩电的最优生产量s(a)的下降，而21英寸彩电的最优生产量t(a)会增加，见图2。
图2s 和t 关于a 的变化的灵敏性曲线
我们计算得到灵敏性的具体数值（其中a=0.01,s=s(a),t=t(a)）：
因此，如果19英寸彩电的价格弹性系数增加10%，则应该将19英寸
彩电的生产量减少11%，21英寸彩电的生产量增加2.7%。
4.2利润对a的灵敏性分析
为了得到利润P(s,t)对于a的灵敏性，将（3）带入（2）,可得
P(a):
灵敏性计算结果为（其中a=0.01,P=P(a)）：
因此，19英寸彩电的价格弹性系数增加10%，会使利润下降约4%，见图3。
图3利润P关于a的灵敏性曲线
5．参考资料
[1]MarkM.Meerschaert.数学建模方法与分析，北京：机械工业出版社，2005
6．附录
1．模型求解结果
symsst;
P=(339-0.01*s-0.003*t)*s+(399-0.004*s-0.01*t)*t-
(400000+195*s+225*t);
Ps=diff(P,s);
Pt=diff(P,t);
A=solve(Ps,Pt);
s0=double(A.s);
t0=double(A.t);
Pss=diff(Ps,s);
Pst=diff(Ps,t);
Pts=diff(Pt,s);
Ptt=diff(Pt,t);
Jd=[PssPst;PtsPtt];
D1=subs(subs(Pss,s,s0),t,t0);
D2=double(det(Jd));
Pmax=subs(subs(P,s,s0),t,t0);
%
%绘制利润函数的图形
%
h1=figure
[X,Y]=meshgrid(0:10:10000,0:10:10000);
Z=(339-0.01*X-0.003*Y).*X+(399-0.004*X-0.01*Y).*Y-(400000+195*X+225*Y);
mesh(X,Y,Z)
XLabel('19英寸彩电数量（台）')
YLabel('21英寸彩电数量（台）')
ZLabel('利润(元)')
boxon
gridon
%
%绘制等值线
%
h2=figure
contour(X,Y,Z)
XLabel('19英寸彩电数量（台）')
YLabel('21英寸彩电数量（台）')
2.灵敏性程序
%
%第3讲案例1:灵敏性分析
%
%
syms ast;
P=(339-a*s-0.003*t)*s+(399-0.004*s-0.01*t)*t-(400000+195*s+225*t);
dPs=diff(P,s);
dPt=diff(P,t);
A=solve(dPs,dPt,s,t);%求驻点
sa=A.s
ta=A.t
Pa=subs(subs(P,s,sa),t,ta);
dsa=diff(sa,a);
dta=diff(ta,a);
dPa=diff(Pa,a);
%
%灵敏性值
%
Ssa=subs(dsa,a,0.01)*0.01/subs(sa,a,0.01)
Sta=subs(dta,a,0.01)*0.01/subs(ta,a,0.01)
SPa=subs(dPa,a,0.01)*0.01/subs(Pa,a,0.01)
%
%绘制s,t对a的灵敏性曲线
%拷贝sa,st到函数fplot中
%
h1=figure
grid on
hold on
fplot('1662000/(-49+40000*a)',[0.0050.02],'ro-');
fplot('48000*(-21+7250*a)/(-49+40000*a)',[0.0050.02],'b*-'); legend('sa：19寸彩电产量变化','ta：21寸彩电产量变化',1) XLabel('参数a的变化：[0.0050.02](单位：元/台)')
YLabel('产量sa,ta(单位：台)')
title('产量s和t关于参数a的灵敏性曲线')
hold off
%gridoff
%
%计算并绘制利润率对参数a的灵敏性曲线
%拷贝Pa到函数fplot中
%
h2=figure
grid on
fplot('16000*(892250*a+3223)/(-49+40000*a)',[0.0050.02],'r-') XLabel('参数a的变化：[0.0050.02](单位：元/台)')
YLabel('利润Pa(单位：元)')
title('利润Pa关于参数a的灵敏性曲线')