教学过程
一、复习预习
1.导数的概念
2.导数与函数单调性、极值、最值的关系
二、知识讲解
考点1 定积分的概念
在∫b a f(x)d x中,a,b分别叫做积分下限与积分上限,区间[a,b]叫做积分区间,f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)d x叫做被积式.
①当函数f(x)在区间[a,b]上恒为正时,定积分∫b a f(x)d x的几何意义是由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y =f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分).
②一般情况下,定积分∫b a f(x)d x的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x=a,x=b之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示),其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值,在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数.
①∫b a kf(x)d x=k∫b a f(x)d x.
②∫b a[f1(x)±f2(x)]d x=∫b a f1(x)d x±∫b a f2(x)d x.
③∫b a f(x)d x=∫c a f(x)d x+∫b c f(x)d x.
如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且F′(x)=f(x),那么∫b a f(x)d x=F(b)-F(a),这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿—莱布尼兹公式.
为了方便,常把F(b)-F(a)记成F(x)|b a,即
∫b
a f(x)d x=F(x)|b
a
=F(b)-F(a).
三、例题精析
【例题1】
【题干】求下列定积分:
(1)∫2
0|x -1|d x ; (2) 20π?
1-sin 2x d x .
【解析】
(1)|x -1|=??? 1-x , x ∈[0,1
x -1, x ∈[1,2]
故∫20|x -1|d x =∫10(1-x )d x +∫2
1(x -1)d x
=? ????x -x 22 |1
0+? ????x
22-x |2
1
=12+12=1. (2) 20π?1-sin 2x d x =20π?|sin x -cos x |d x =40π? (cos x -sin x )d x +24
π
π
? (sin
x -cos x )d x =(sin x +cos x )40π+(-cos x -sin x ) 24
π
π =2-1+(-1+2)=22-2.
【例题2】
【题干】已知函数f(x)=∫x0(cos t-sin t)d t(x>0),则f(x)的最大值为________.【答案】
2-1
【解析】因为f (x )=∫x 02sin ? ??
??π4-t d t =2cos ? ????π4-t |x 0=2cos ? ??
??π4-x -2cos π4 =sin x +cos x -1=2sin ?
????x +π4-1≤2-1, 当且仅当sin ?
????x +π4=1时,等号成立.
【例题3】
【题干】
如图,曲线y =x 2和直线x =0,x =1,y =14所围成的图形(阴影部分)的面积为( )
A.23
B.13
C.12
D.14
【答案】
D
【解析】由??? y =14,y =x 2?x =12
或 x =-12
(舍),所以阴影部分面积 S =1
20?? ????14-x 2d x +112
?? ????x 2-14d x =? ??
??14x -13x 31
20+? ????13x 3-14x 112=14
.
【例题4】
【题干】 一物体在力F (x )=??? 10 0≤x ≤23x +4 x >2(单位:N)的作用下沿与力F (x )相同的方向运动了4米,力F (x )
做功为( )
A .44 J
B .46 J
C .48 J
D .50 J
【答案】B
【解析】力F (x )做功为∫2
010d x +∫42(3x +4)d x
=10x |20+? ??
?? ???32
x 2+4x 42 =20+26=46.
四、课堂运用
【基础】
1.∫e 11+ln x x d x =( )
A .ln x +12ln 2x
B.2e -1
C.32
D.12
解析:选C
定积分与微积分基本定理(理) 基础巩固强化 1.求曲线y =x 2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =?? ?0 1(x 2-x )d x B .S =?? ?0 1 (x -x 2)d x C .S =?? ?0 1 (y 2-y )d y D .S =??? 1 (y - y )d y [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x ≥x 2,故函数y =x 2与y =x 所围成图 形的面积S =?? ?0 1 (x -x 2)d x . 2.如图,阴影部分面积等于( ) A .2 3 B .2-3 [答案] C [解析] 图中阴影部分面积为
S =??? -3 1 (3-x 2 -2x )d x =(3x -1 3x 3-x 2)|1 -3=32 3. 4-x 2d x =( ) A .4π B .2π C .π [答案] C [解析] 令y =4-x 2,则x 2+y 2=4(y ≥0),由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积, ∴S =1 4×π×22=π. 4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示).那么对于图中给定的t 0和t 1,下列判断中一定正确的是( ) A .在t 1时刻,甲车在乙车前面 B .在t 1时刻,甲车在乙车后面 C .在t 0时刻,两车的位置相同 D .t 0时刻后,乙车在甲车前面 [答案] A [解析] 判断甲、乙两车谁在前,谁在后的问题,实际上是判断在t 0,t 1时刻,甲、乙两车行驶路程的大小问题.根据定积分的几何意义知:车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积
定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y =x2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =??01(x2-x)dx B .S =??01(x -x2)dx C .S =??01(y2-y)dy D .S =??01(y -y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x≥x2,故函数y =x2与y =x 所围成图形的面积S =??0 1(x -x2)dx. 2.(2010·山东日照模考)a =??02xdx ,b =??02exdx ,c =??02sinxdx ,则a 、b 、c 的大小关系 是( ) A .a 1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·一中月考)求曲线y =x2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =??01(x2-x)dx B .S =??01(x -x2)dx C .S =??01(y2-y)dy D .S =??01(y -y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x ≥x2,故函数y =x2与y =x 所围成图形的面积S =??0 1(x -x2)dx. 2.(2010·日照模考)a =??02xdx ,b =??02exdx ,c =??02sinxdx ,则a 、b 、c 的大小关系是 ( ) A .a 7、微积分基本定理 一、选择题 1.??0 1(x 2 +2x )d x 等于( ) A.13 B.23 C .1 D.43 2.∫2π π(sin x -cos x )d x 等于( ) A .-3 B .-2 C .-1 D .0 3.自由落体的速率v =gt ,则落体从t =0到t =t 0所走的路程为( ) A.13gt 20 B .gt 2 0 C.12gt 20 D.16gt 20 4.曲线y =cos x ? ????0≤x ≤3π2与坐标轴所围图形的面积是( ) A .4 B .2 C.5 2 D .3 5.如图,阴影部分的面积是( ) A .2 3 B .2- 3 C.323 D.35 3 6.??0 3|x 2-4|d x =( ) A.213 B.223 C.233 D.25 3 7.??241 x d x 等于( ) A .-2ln2 B .2ln2 C .-ln2 D .ln2 8.若??1a ? ?? ??2x +1x d x =3+ln2,则a 等于( ) A .6 B .4 C .3 D .2 9.(2010·山东理,7)由曲线y =x 2 ,y =x 3 围成的封闭图形面积为( ) A.112 B.14 C.13 D.7 12 10.设f (x )=??? ?? x 2 0≤x <12-x 1定积分及微积分基本定理练习题及答案
7.微积分基本定理练习题