专题14 定积分求值问题
【高考地位】
定积分的求值在高考中多以选择题、填空题类型考查，属于中低档题，其试题难度考查相对较小，重点考查定积分的几何意义、基本性质和微积分基本定理，注重定积分与其他知识的结合如三角函数、立体几何、解析几何等. 【方法点评】
类型一 利用微积分基本定理求定积分
使用情景：一般函数类型
解题模板：第一步 计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'
()f x ；
第二步 求方程'
()0f x =的根；
第三步 判断'
()f x 在方程的根的左、右两侧值的符号； 第四步 利用结论写出极值.
例1 0
sin xdx π
?
的值为（ ）
A ．
2
π
B ．π
C ．1
D ．2 【答案】D
【变式演练1】下列计算错误的是 （ ） A ．π
πsin 0xdx -=? B ．2
3xdx =
?
C ．ππ22π0
2
cos 2cos xdx xdx -=??
D ．π
2π
sin 0xdx -=?
【答案】D 【解析】
试题分析：A 选项，
()
sin cos 0xdx x πππ
π--
=-=
?，所以A 正确；B 选项，1
31
20
022
33
xdx x ??== ????
，所以B
正确；C 选项，根据偶函数图象及定积分运算性质可知，C 正确；D 选项错误。 考点：定积分的计算。 【变式演练2】若2
2
221231
1
11
,,,x S x dx S dx S e dx x
===?
?
?则123S S S 的大小关系为（ ）
A ．123S S S <<
B ．213S S S <<
C ．231S S S <<
D ．321S S S <<
【答案】B 【解析】 试题分析：3222
211213117|,ln |ln 2,|33
x S x S x S e e e =
=====-∴213S S S << 考点：定积分运算 【变式演练3】
2
231
111dx x x
x ??
++= ????
（ ）
A ．7ln 28+
B ．7ln 22-
C ．5ln 28-
D ．17
ln 28
- 【答案】A
考点：定积分的应用. 【变式演练4】若1
1
(2)3ln 2(1)a
x dx a x
+=+>?
，则a 的值是___________．
【答案】2a = 【解析】 试题分析：由
22
11
1(2)(ln )|ln 13ln 2a
a x dx x x a a x +=+=+-=+?
，得213ln ln 2
a a ?-=?
=?，所以2a =． 考点：定积分的运算． 【变式演练5】
?
-=+2
2
1)(sin dx x _____________．
【答案】4 【解析】
试题分析：由题意得
2
222
(sin 1)(cos )|(cos 22)[cos(2)2]4x dx x x --+=+=+---=?
．
考点：定积分的计算．
【变式演练6】设20lg 0()30
a
x x f x x t dt x
>??
=?+??
?若((1))1f f =，则a
= ．
【答案】1
考点：1．函数的表示；2．定积分运算．
【变式演练7】如图，阴影部分的面积是（ ）
A ．23．53 C ．323 D ．35
3
【答案】C 【解析】
试题分析：面积为()31
2
213332
323|33x x x dx x x --??--=--+= ???
?． 考点：定积分．
类型二 利用定积分的几何意义求定积分
使用情景：被积函数的原函数不易求出 解题模板：第一步 画出被积函数的图像；
第二步 作出直线计算函数,,0x a x b y ===所围成的图形； 第三步 求曲边梯形的面积的代数和的方法求定积分.
例2 计算定积分
dx x ?
-1
24.
【答案】
2
33
+
π
. 考点：定积分的计算．
【变式演练8】设[]221,[1,1)
()1,1,2x x f x x x ?-∈-?=?-∈??
，则21()f x dx -?的值为（ ）
A ．4+23π
B ．32π
+
C ．443π+
D ．34
π
+
【答案】A 【解析】 试题分析：
2
1
222232
11
111()1(1)1()|23f x dx x dx x dx x x π--=-+-=?+-=?
?
?4+23
π,故选A ．
考点：定积分． 【变式演练9】定积分
20
9x dx -?
的值为（ ）
A ．9π
B ．3π
C ．94π
D ．9
2
π 【答案】C 【解析】
试题分析：令t x sin 3=,则]2
,
0[,cos 3,cos 392
π
∈==-t t dx t x ,则2
220
99cos x dx tdt π
-=?
?
201cos 29199sin 22222240t dt t π
πππ??
+ ?==+= ? ???
?,故应选C ．
考点：定积分及运算．
【变式演练10】=++-?
dx x x x )1(31
2______.
【答案】
4
3
+π
【解析】
试题分析：因为
1
1
3
3
0)()x x dx x x dx +=++?
?
?，1
30()x x dx +?24101
13|244x x ??=+= ???
，
?
dx 等于以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的四分之一，即为4
π
，所以=
++-?
dx x x x )1(31
24
3
+π，故答案为
4
3
+π.
考点：1、定积分的应用；2、定积分的几何意义.
【变式演练11】已知0>a ，6)x
-展开式的常数项为15，则2(a a
x x dx -+=?___________
【答案】
2233
π++【解析】
试题分析：由6)x
-的展开式的通项公式为()36
62161r r r r
r T C a x --+=-， 令
36
02
r -=，求得r=2，故常数项为44615C a =，可得a=1，
因此原式为((11221022233
x x dx x dx π-++==+??
考点：二项式定理；微积分基本定理
【变式演练12】已知数列{}n a 为等差数列，且201320150
a a +=?，则()20142012201420162a a a a ++的
值为（ ）
A ．π
B ．2π
C ．2π
D ．24π 【答案】
考点：等差数列性质及定积分．
类型三 导数与定积分的综合应用
例 3 如图所示，抛物线21y x =-与x 轴所围成的区域是一块等待开垦的土地，现计划在该区域内围出一块矩形地块ABCD 作为工业用地，其中A 、B 在抛物线上，C 、D 在x 轴上.已知工业用地每单位面积价值为3a 元(0)a >，其它的三个边角地块每单位面积价值a 元. （1）求等待开垦土地的面积；
（2）如何确定点C 的位置，才能使得整块土地总价值最大.
【答案】（1）
43；（2）点C 的坐标为)0,3
3
(.
考点：1.定积分；2.函数的最值.
【变式演练13】给定可导函数()y f x =，如果存在0[,]x a b ∈，使得0
()()b
a
f x dx f x b a
=
-?成立，则称0x 为
函数()f x 在区间[,]a b 上的“平均值点”.
(1)函数3
()3f x x x =-在区间[2,2]-上的平均值点为； (2)如果函数
在区间[1,1]-上有两个“平均值点”，则实数m 的取值范围是.
【答案】(1)1；(2),44ππ??
-
???
?
结合图像不难得到,44m ππ??
∈-
????
. 考点：新定义、定积分的运用、直线与圆的位置关系 【变式演练14】已知函数()ln f x x =(0)x ≠,函数1
()()(0)()
g x af x x f x '=
+≠' （1）当0x ≠时,求函数()y g x =的表达式;
（2）若0a >,函数()y g x =在(0,)+∞上的最小值是2 ,求a 的值;
（3）在（2）的条件下,求直线27
36y x =
+与函数()y g x =的图象所围成图形的面积. 【答案】（1）()a y g x x x ==+；（2）1a =；（3）2ln 23ln 24
7
-+.
（2）∵由（1）知当0x >时,()a g x x x
=+
, ∴当0,0a x >>时, ()2≥g x a x a =.
∴函数()y g x =在(0,)+∞上的最小值是a , ∴依题意得22a =∴1a =.
（3）由27361y x y x x ?=+????=+??
解得2121322,5132
6x x y y ?==????
??=??=???
∴直线27
36
y x =
+与函数()y g x =的图象所围成图形的面积 232271()()3
6S x x dx x ??
=+-+?????=2ln 23ln 247-+ 考点：导数及函数单调性、定积分的应用.
【变式演练15】如下图，过曲线C ：x
y e =上一点0(0,1)P 作曲线C 的切线0l 交x 轴于点11(,0)Q x ，又过1Q 作 x 轴的垂线交曲线C 于点111(,)P x y ，然后再过111(,)P x y 作曲线C 的切线1l 交x 轴于点22(,0)Q x ，又过
2Q 作x 轴的垂线交曲线C 于点222(,)P x y ，，以此类推，过点n P 的切线n l 与x 轴相交于点
11(,0)n n Q x ++，再过点1n Q +作x 轴的垂线交曲线C 于点111(,)n n n P x y +++（n ∈N *）．
(1) 求1x 、2x 及数列{}n x 的通项公式；(2) 设曲线C 与切线n l 及直线11n n P Q ++所围成的图形面积为n S ，求
n S 的表达式； (3) 在满足(2)的条件下, 若数列{}n S 的前n 项和为n T
，求证：
11
n n n n
T x T x ++<(n ∈N *).
【答案】(1) 11x =-，22x =-，n x n =-；(2)
21
2n
e e e -?；(3)见解析.
证法1：（数学归纳法）
①当1n =时，显然2
2
2
(1)021(1)e e e e e e ->?>-?>-+成立； ②假设n k =时，1
(1)k e
e k e +>-+成立，则当1n k =+时，21[(1)]k k e e e e e k e ++=>-+，
而2
[(1)][(1)(1)](1)(1)0e e k e e k e e k -+--++=-+>，
(1)(1)(1)e e k e e k e ∴-+>-++，2(1)(1)k e e k e +∴>-++，
1n k =+时，也成立，由①②知不等式
11n n n n
T x T x ++<对一切*
n N ∈都成立. 证法2：1
101
11
111[1(1)](1)(1)
n n n n n n n e
e C C e C e +++++++=+-=+-+
+- 01
11(1)1(1)(1)(1)n n C C e n e e n e ++>+-=++-=-+.
所以不等式11n n n n
T x T x ++<对一切*
n N ∈都成立. 证法3:令()()11x f x e e x e +=---,则()()'11x f x e e +=--, 当0x >时, ()()'11x f x e e +=--()110e e >--=>,
∴函数()f x 在()0,+∞上单调递增. ∴当0x >时, ()()00f x f >=. ∵n ∈N *
, ∴()0f n >, 即()110n e e n e +--->.∴()11n e e n e +>-+.
∴不等式
11
n n n n
T x T x ++<对一切n ∈N *
都成立. 考点：1、利用导数求切线方程；2、数列的运算；3、定积分计算图形面积. 【高考再现】
1.【2015高考湖南，理11】2
0(1)x dx ?-= .
【答案】0.
2．【2015高考天津，理11】曲线2
y x = 与直线y x = 所围成的封闭图形的面积为 . 【答案】
1
6
【解析】在同一坐标系内作出两个函数的图象，解议程组2
y x y x
?=?=?得两曲线的交点坐标为(0,0),(1,1)，由
图可知峡谷曲线所围成的封闭图形的面积
()1
1
223001
112
36S x x dx x x ??=-=-= ????.
21.510.5
0.511.522.5
4
3
2
1
1
2
3
4
【考点定位】定积分几何意义与定积分运算.
【名师点睛】本题主要考查定积分几何意义与运算能力.定积分的几何意义体现数形结合的典型示范，既考查微积分的基本思想又考查了学生的作图、识图能力以及运算能力.
3.【2015高考陕西，理16】如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 ．
【答案】1.2
【考点定位】1、定积分；2、抛物线的方程；3、定积分的几何意义．
【名师点晴】本题主要考查的是定积分、抛物线的方程和定积分的几何意义，属于难题．解题时一定要抓住重要字眼“原始”和“当前”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是定积分的几何意义，即由直线x a =，x b =，0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积是()b
a
f x dx ?．
【反馈练习】
1．【安徽省阜阳市临泉县第一中学2018届高三上学期第二次模拟数学（理）试题】若
，
，
，则的大小关系（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
2．【2018届江西省高三年级阶段性检测考试（二）理科数学】（ ）
A. 7
B.
C.
D. 4
【答案】C
【解析】.
故选：C
3．【西藏自治区林芝市2016-2017学年高二下学期期末考试数学（理）试题】如图所示，正弦曲线sin y x =，余弦曲线cos y x =与两直线0x =， x π=所围成的阴影部分的面积为（ ）
2 C. 2 D. 22
【答案】D 【解析】
()()4
4
cos sin sin cos x
x x x d x x d π
ππ
-+-?? ()()sin cos cos sin 40
4
x x x x π
π
π=++-- 21+1222=-+= ，
选D.
4．【贵州省铜仁市第四中学2017年高三适应性测试（理）数学试题】已知等比数列
，且
，则
的值为（ ）
A. B. C.
D.
【答案】D
【解析】由定积分的几何意义，表示圆 在第一象限的部分与坐标轴所围成的扇形
的面积，即=4 ，所以
.又因为为等比数列，所以
.故选D.
5．【陕西省西安市长安区2018届高三上学期质量检测大联考（一）数学理试题】曲线1
2y x
=
+，直线1,x x e ==和x 轴所围成的区域的面积是____________
【答案】2e ﹣1．
6．【2018届江西省高三年级阶段性检测考试（二）理科数学】由曲线
所围成图形的面
积是，则__________．
【答案】1
【解析】由，得图象的交点坐标为，
所以曲线所围成图形的面积是
，所以
故答案为：1
点睛：用定积分处理面积问题的方法：牛顿-莱布尼茨定理，几何意义，奇偶性.
7．【河北省武邑中学2018届高三上学期第二次调研数学（理）试题】已知函数
()[](]
2213,3,03{ 9
,0,3x x f x x x -+∈-=-∈，则()33
f x dx -=?__________.
【答案】964
π+
【解析】由题意结合定积分的法则可得：
()()()3
3
3
3
302
3
113|39496.
4
f x dx f x dx f x dx
x x ππ---=+??=-++?? ???=+???. 8．【2017—2018学年河北省石家庄二中八月高三模拟数学（理科）】()3
211
12x dx x ??+--= ????__________． 【答案】ln32
π
+
9．【江西省赣州市2017届高三第二次模拟考试理科数学试题】如图所示，由直线,1(0)x a x a a ==+>，
2y x =及x 轴围成的曲边梯形的面积介于小矩形与大矩形的面积之间，即()1
2
2
2
1a a
a x dx a +<
<+?．类比之，若对n N +?∈，不等式1412
2k k
k n n n n +++
<++ 1
21
k k k
n n n <+++
+-恒成立，则实数k 等于__________．
【答案】2
一、选择填空题 1.易错点归纳 九大模块易混淆难记忆考点分析，如概率和频率概念混淆、数列求和公式记忆错误等，强化基础知识点记忆，避开因为知识点失误造成的客观性解题错误。 针对审题、解题思路不严谨如集合题型未考虑空集情况、函数问题未考虑定义域等主观性因素造成的失误进行专项训练。 2.答题方法 选择题十大速解方法：排除法、增加条件法、以小见大法、极限法、关键点法、对称法、小结论法、归纳法、感觉法、分析选项法。 填空题四大速解方法：直接法、特殊化法、数形结合法、等价转化法。 二、解答题 专题一、三角变换与三角函数的性质问题 1.解题路线图 ①不同角化同角②降幂扩角 ③化f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋h④结合性质求解。 2.构建答题模板 ①化简：三角函数式的化简，一般化成y＝Asin(ωx＋φ)＋h的形式，即化为“一角、一次、一函数”的形式。 ②整体代换：将ωx＋φ看作一个整体，利用y＝sin x，y＝cos x的性质确定条件。
③求解：利用ωx＋φ的范围求条件解得函数y＝Asin(ωx＋φ)＋h的性质，写出结果。 ④反思：反思回顾，查看关键点，易错点，对结果进行估算，检查规范性。 专题二、解三角形问题 1.解题路线图 (1) ①化简变形；②用余弦定理转化为边的关系；③变形证明。 (2) ①用余弦定理表示角；②用基本不等式求范围；③确定角的取值范围。 2.构建答题模板 ①定条件：即确定三角形中的已知和所求，在图形中标注出来，然后确定转化的方向。 ②定工具：即根据条件和所求，合理选择转化的工具，实施边角之间的互化。 ③求结果。 ④再反思：在实施边角互化的时候应注意转化的方向，一般有两种思路：一是全部转化为边之间的关系；二是全部转化为角之间的关系，然后进行恒等变形。 专题三、数列的通项、求和问题 1.解题路线图 ①先求某一项，或者找到数列的关系式。 ②求通项公式。③求数列和通式。
高中数学公式口诀大全 一、《集合与函数》 内容子交并补集，还有幂指对函数。性质奇偶与增减，观察图象最明显。复合函数式出现，性质乘法法则辨，若要详细证明它，还须将那定义抓。指数与对数函数，两者互为反函数。底数非1的正数，1两边增减变故。函数定义域好求。分母不能等于0，偶次方根须非负，零和负数无对数；正切函数角不直，余切函数角不平；其余函数实数集，多种情况求交集。两个互为反函数，单调性质都相同；图象互为轴对称，Y＝X是对称轴；求解非常有规律，反解换元定义域；反函数的定义域，原来函数的值域。幂函数性质易记，指数化既约分数；函数性质看指数，奇母奇子奇函数，奇母偶子偶函数，偶母非奇偶函数；图象第一象限内，函数增减看正负。 二、《三角函数》 三角函数是函数，象限符号坐标注。函数图象单位圆，周期奇偶增减现。同角关系很重要，化简证明都需要。正六边形顶点处，从上到下弦切割；中心记上数字1，连结顶点三角形；向下三角平方和，倒数关系是对角，顶点任庖缓扔诤竺媪礁Ｓ盏脊骄褪呛茫夯蟠蠡。?nbsp; 变成税角好查表，化简证明少不了。二的一半整数倍，奇数化余偶不变，将其后者视锐角，符号原来函数判。两角和的余弦值，化为单角好求值，余弦积减正弦积，换角变形众公式。和差化积须同名，互余角度变名称。计算证明角先行，注意结构函数名，保持基本量不变，繁难向着简易变。逆反原则作指导，升幂降次和差积。条件等式的证明，方程思想指路明。万能公式不一般，化为有理式居先。公式顺用和逆用，变形运用加巧用；1加余弦想余弦，1 减余弦想正弦，幂升一次角减半，升幂降次它为范；三角函数反函数，实质就是求角度，先求三角函数值，再判角取值范围；利用直角三角形，形象直观好换名，简单三角的方程，化为最简求解集； 三、《不等式》 解不等式的途径，利用函数的性质。对指无理不等式，化为有理不等式。高次向着低次代，步步转化要等价。数形之间互转化，帮助解答作用大。证不等式的方法，实数性质威力大。求差与0比大小，作商和1争高下。直接困难分析好，思路清晰综合法。非负常用基本式，正面难则反证法。还有重要不等式，以及数学归纳法。图形函数来帮助，画图建模构造法。 四、《数列》 等差等比两数列，通项公式N项和。两个有限求极限，四则运算顺序换。数列问题多变幻，方程化归整体算。数列求和比较难，错位相消巧转换，取长补短高斯法，裂项求和公式算。归纳思想非常好，编个程序好思考：一算二看三联想，猜测证明不可少。还有数学归纳法，证明步骤程序化：首先验证再假定，从 K向着K加1，推论过程须详尽，归纳原理来肯定。 五、《复数》 虚数单位i一出，数集扩大到复数。一个复数一对数，横纵坐标实虚部。对应复平面上点，原点与它连成箭。箭杆与X轴正向，所成便是辐角度。箭杆的长即是模，常将数形来结合。代数几何三角式，相互转化试一试。代数运算的实质，有i多项式运算。i的正整数次慕，四个数值周期现。一些重要的结论，熟记巧用得结果。虚实互化本领大，复数相等来转化。利用方程思想解，注意整体代换术。几何运算图上看，加法平行四边形，减法三角法则判；乘法除法的运算，逆向顺向做旋转，伸缩全年模长短。
【高考地位】 探究性问题常常是条件不完备的情况下探讨某些结论能否成立，立体几何中的探究性问题既能够考查学生的空间想象能力，又可以考查学生的意志力及探究的能力．近几年高考中立体几何试题不断出现了一些具有探索性、开放性的试题．内容涉及异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角，平行与垂直等方面，对于这类问题一般可用综合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法来解决．一般此类立体几何问题描述的是动态的过程，结果具有不唯一性或者隐藏性，往往需要耐心尝试及等价转化，因此，对于常见的探究方法的总结和探究能力的锻炼是必不可少的． 【方法点评】 方法一 直接法 使用情景：立体几何中的探索问题 解题模板：第一步 首先假设求解的结果存在，寻找使这个结论成立的充分条件； 第二步 然后运用方程的思想或向量的方法转化为代数的问题解决； 第三步 得出结论，如果找到了符合题目结果要求的条件，则存在；如果找不到符合题目结果 要求的条件，或出现了矛盾，则不存在．. 例1．如图甲， O e 的直径2AB =，圆上两点C 、D 在直径AB 的两侧，使C 4 π ∠AB = ， D 3 π ∠AB = ．沿直径AB 折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），F 为C B 的中点， E 为AO 的中点．根据图乙解答下列各题： （1）求证：C D B ⊥E ； （2）在BD 弧上是否存在一点G ，使得FG//平面CD A ？若存在，试确定点G 的位置；若不存在，请说明理由．
思路分析：（1）利用等边三角形的性质可得DE ⊥AO ，再利用面面垂直的性质定理即可得到DE ⊥平面ABC ，进而得出结论． （2）要满足FG ∥平面ACD ，可过直线FG 做一平面使其与平面ACD 平行，找到所做平面与BD 弧的交点． 点评：本题考查了直线与平面垂直的判定和直线与平面平行的判定. 这类探索性题型通常是找命题成立的一个充分条件，所以解这类题采用下列二种方法：⑴通过各种探索尝试给出条件;⑵找出命题成立的必要条件，也证明充分性． 【变式演练1】如图，在四棱锥E ABCD -中，AE DE ⊥，CD ⊥平面ADE ，AB ⊥平面ADE ，6CD DA ==，2AB =，3DE =． （Ⅰ）求棱锥C ADE -的体积； （Ⅱ）求证：平面ACE ⊥平面CDE ； （Ⅲ）在线段DE 上是否存在一点F ，使//AF 平面BCE ？若存在，求出EF ED 的值；若不存在， 说明理由．
学习界的007 5 5 ?x 2 + 4x +1, ? ? ( ) = 专题 07 分类讨论思想在分段函数中的应用 【高考地位】 分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，它在人类的思维发展中起着重要的作用. 分类讨论思想实际上是一种化整为零、化繁为简、分别对待、各个击破的思维策略在数学解题中的运用. 主要涉及分段函数的求值、单调性和含参数的函数的单调性和最值问题.分类讨论思想，可培养逻辑思维能力和抽象思维能力和严密的思考问题的能力。 类型一 分段函数 万能模板 内 容 使用场景 分段函数 解题模板 第一步 通过观察分析，决定如何对自变量进行分类； 第二步 通过运算、变形，利用常见基本初等函数，将问题转化为几段加以求解； 第三步 得出结论. 例 1 函数 f (x ) = ?log 2 x , ? x > 0 x ≤ 0 ，若实数 a 满足 f ( f (a )) =1，则实数 a 的所有取值的和为（ ） A ．1 B ． 17 - C ． - 15 - D ． -2 16 16 ?x + 2, x ≤ -1 【变式演练 1】在函数 y = ?x 2 , - 1 < x < 2 ?2x , x ≥ 2 中，若 f (x ) = 1 ，则 x 的值是（ ） A ．1 B ．1或3 2 ??x 2 , x ∈[0, +∞) 例 2 已知函数 f x ? C ． ±1 D ． 在区间(-∞, +∞) 上是增函数,则常数 a 的取值范围是 ?? x 3 + a 2 - 3a + 2, x ∈ (-∞, 0 ) （ ） A ． (1, 2) B ． (-∞,1] [2, +∞) C ． [1, 2] D ． (-∞,1) (2, +∞ ) 3
导数的简单运算 一、基本导数公式 ①x x cos 'sin =）（；x x sin )'(cos -= ②）＞（01 )'(ln x x x =，） ，且＞，＞（）（100ln 1 'log ≠= a a x a x x α ③x x e e ='）（，），且＞（）（10ln '≠=a a a a a x x 二、导数的四则运算法则 ①） （）（）（）（）（）（）（x f x f x f x f x f x f v u v u n n ''']'['''2121+??++=+??++?+=± ②为常数）（）（）（c cv cv v c cv u v vu uv '''''''=+=?+= ③） （）（0'''2 ≠-=v v u v vu v u 解三角函数的步骤 步骤一、化简 1.处理像x 2 cos 或） （6 sin 2 π - x 这样的部分 (倍半，降升幂） 2.处理）（），（x x --ππ sin 2 sin 这种形式的东西 （诱导公式） 3.特殊角意识 4.和差公式 步骤二、答题
空间位置关系的证明方法 （1）线面平行：α∥αα∥a a b b a ????????，α∥ββ∥αa a ??? ??，α∥αββαa a a ??? ? ?? ?⊥⊥. （2）线线平行：b a b a a ∥βαβα∥???? ?? =? ，b a b a ∥αα????⊥⊥， b a b a ∥γβγαβ ∥α??? ? ?? == ，b c c a b a ∥∥∥?? ??. （3）面面平行：β∥αβ∥β，∥αα，??? ? ?? =??b a O b a b a ，β∥α βα????⊥⊥a a ， γ∥α β∥γβ∥α?? ?? . （4）线线垂直： b a b a ⊥?? ?? ?⊥αα.
重庆两江育才中学高2020级高一（上）第一次月考 数学试题答题卡 座号 ________________________ 准考证号 考生禁填： 缺考考生由监考员填涂右 边的缺考标记． 填 涂 样 例 注意事项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码； 2．选择题必须用2B 铅笔填涂，解答题必须用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整，笔迹清楚； 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 正确填涂 错误填涂 √ × ○ ● 一、选择题（每小题5分，共60分） A B C D 1 A B C D 2 A B C D 3 A B C D 4 A B C D 5 A B C D 6 A C D B 7 A C D B 8 A C D B 9 A C D B 10 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 13、______ ___ __ ___ 14、_______ _______ 15、______ __ ______ 16、 二、填空题（每小题5分，共20分） 三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） A C D B 11 A C D B 12 考 生 条 形 码 粘 贴 处 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18、（本小题满分12分） 19、（本小题满分12分） 17、（本小题满分12分） 班级 姓名 考场号 座位号 …………………………………………密…………………………………封…………………………………………请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
【高考地位】 圆锥曲线的离心率是近年高考的一个热点,有关离心率的试题,究其原因,一是贯彻高考命题“以能力立意”的指导思想,离心率问题综合性较强,灵活多变,能较好反映考生对知识的熟练掌握和灵活运用的能力,能有效地反映考生对数学思想和方法的掌握程度;二是圆锥曲线是高中数学的重要内容,具有数学的实用性和美学价值,也是以后进一步学习的基础. 【方法点评】 方法1 定义法 解题模板：第一步 根据题目条件求出,a c 的值 第二步 代入公式c e a = ，求出离心率e . 例1. 在平面直角坐标系xOy 中, 若双曲线22 214 x y m m -=+5则m 的值 为 ． 【变式演练1】点P （-3，1）在椭圆122 22=+b y a x （0>>b a ）的左准线上，过点P 且方向 为()5,2-=a 的光线，经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ） A 33 B 31 C 22 D 2 1 方法2 方程法 解题模板：第一步 设出相关未知量； 第二步 根据题目条件列出关于,,a b c 的方程； 第三步 化简，求解方程，得到离心率. 例2. 若圆2 2 (3)(1)3x y +-=与双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线相切，则 此双曲线的离心率为（ ）
A ． 233 B ．7 2 C ．2 D ．7 例3. 如图，1F ，2F 是双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右两个焦点，若直线y x =与双曲线C 交于P 、Q 两点，且四边形12PFQF 为矩形，则双曲线的离心率为（ ） A ．26+ B 26+ C ．22+ D 22+ 【变式演练2】焦点在x 轴上的椭圆方程为 ()22 2210x y a b a b +=>>，短轴的一个端点和两个 焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为 3 b ，则椭圆的离心率为（ ） A ．14 B ．13 C ．12 D ．23 【变式演练3】【吉林省吉林市第一中学20XX 届高三3月“教与学”质检（理）试题】已知椭 圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>，21F ,F 为其左、右焦点，P 为椭圆C 上任一点，12F PF ?的重 心为G ，内心I ，且有→ → =21F F IG λ（其中λ为实数），椭圆C 的离心率=e （ ） A ． 1 2 B ． 13 C ． 23 D 3 方法3 借助平面几何图形中的不等关系 解题模板：第一步 根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等 于直线段、对称的性质中的最值等得到不等关系， 第二步 将这些量结合曲线的几何性质用,,a b c 进行表示，进而得到不等式，
学 海 无 涯 数学·答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B 铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂[×] [√] [／] 1 ．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔 或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超 出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上 答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 一、选择题（每小题5分，共60分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 12 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题5分，共20分） 13．____________________ 14．____________________ 15．____________________ 16． ____________________ 三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（12分） 18．（12分） 19．（12分）
试题 数学（文）答题卡 座位号：一、选择题（每小题5分，共60分）13、 14、15、 16、二、填空题（每小题5分，共20分）三、解答题（70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效18、（本小题满分12分）19、（本小题满分12分）17、（本小题满分12分）班级姓名考号………………………………… ………密………… … ……………………封…… … ………………………………… 1 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 12 [A] [B] [C] [D]请在答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答请在答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 20、（本小题满分12分）21、（本小题满分12分）22、（本小题满分10分）（从22题、23题中任选一题作答，若两 题都做解，按第一题给分） 请在答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 22题23题
备战2018高考数学黄金解题模板 含参不等式的存在性与恒成立问题 【高考地位】 含参不等式的恒成立问题越来越受到高考命题者的青睐，由于新课标高考对导数应用的加强，这些不等式的恒成立问题往往与导数问题交织在一起，这在近年的高考试题中不难看出这个基本的命题趋势. 解决这类问题的关键是揭开量词隐含的神秘面纱还函数问题本来面目，在高考中各种题型多以选择题、填空题和解答题等出现，其试题难度属高档题. 【方法点评】 方法一 判别式法 使用情景：含参数的二次不等式 解题模板：第一步 首先将所求问题转化为二次不等式； 第二步 运用二次函数的判别式对其进行研究讨论； 第三步 得出结论. 例1 设22)(2+-=mx x x f ，当),1[+∞-∈x 时，m x f ≥)(恒成立，求实数m 的取值范围 . ??? ????-≤--≥-≥?1220)1(0m F 解得23-≤≤-m 。 综上可得实数m 的取值范围为)1,3[-. 【点评】一般地，对于二次函数),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=,有1）0)(>x f 对R x ∈恒成立 ????00a ；2）0)( （1）求()f x 的解析式； （2）若在区间[]1,1-上，不等式()2f x x m >+有解，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）()21f x x x =-+；（2）(),5m ∈-∞. （2）∵在区间[]1,1-上，不等式()2f x x m >+有解， ∴2 31m x x <-+在区间[]1,1-上有解， 故只需m 小于函数()231g x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值， 由二次函数可知当1x =-时，函数()g x 取最大值5, ∴实数m 的取值范围为()5-∞， 考点：1、求二次函数解析式；2、不等式能成立问题. 【方法点睛】本题首先考查二次函数解析式，已知函数类型求解析式时，可以采用待定系数法，第二问考 2020年高考数学各大题型答题模板 数学是高中生学习的最重要科目之一，数学的学习对于学生而言至关重要，数学 成绩的好坏直接决定着你的总成绩的排名。以下是小编搜索整理的关于2020年高考 数学各大题型的答题模板，供参考借鉴，希望对大家有所帮助! 【选择题十大万能解题方法】 1.特值检验法：对于具有一般性的数学问题，我们在解题过程中，可以将问题特 殊化，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下不真这一原理，达到去伪 存真的目的。 2.极端性原则：将所要研究的问题向极端状态进行分析，使因果关系变得更加明显，从而达到迅速解决问题的目的。极端性多数应用在求极值、取值范围、解析几何 上面，很多计算步骤繁琐、计算量大的题，一但采用极端性去分析，那么就能瞬间解 决问题。 3.剔除法：利用已知条件和选择支所提供的信息，从四个选项中剔除掉三个错误 的答案，从而达到正确选择的目的。这是一种常用的方法，尤其是答案为定值，或者 有数值范围时，取特殊点代入验证即可排除。 4.数形结合法：由题目条件，作出符合题意的图形或图象，借助图形或图象的直 观性，经过简单的推理或计算，从而得出答案的方法。数形结合的好处就是直观，甚 至可以用量角尺直接量出结果来。 5.递推归纳法：通过题目条件进行推理，寻找规律，从而归纳出正确答案的方法。 6.顺推破解法：利用数学定理、公式、法则、定义和题意，通过直接演算推理得 出结果的方法。 7.逆推验证法(代答案入题干验证法)：将选择支代入题干进行验证，从而否定错误选择支而得出正确选择支的方法。 8.正难则反法：从题的正面解决比较难时，可从选择支出发逐步逆推找出符合条 件的结论，或从反面出发得出结论。 9.特征分析法：对题设和选择支的特点进行分析，发现规律，归纳得出正确判断 的方法。 【高考地位】 三角形中的范围与最值问题，是学生学习解三角形的过程中比较害怕的问题，它不仅仅需要用到三角变换、正余弦定理，往往还需要涉及基本不等式以及求函数值域. 在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中高档题. 【方法点评】 类型一 求三角形面积的最值问题 使用情景：一般三角形中 解题模板：第一步 通过观察分析，决定选用合适的公式； 第二步 通过运算、变形，利用三角函数的诱导公式、恒等变换以及边角转化、正弦余弦 定理等，将问题转化为三角变换、基本不等式、函数值域等类型加以解决； 第三步 得出结论. 例1 求满足2,AB AC ==的ABC 的面积的最大值. 【答案】. 【点评】本题结合函数的知识，以学生熟悉的三角形为载体，考察了面积公式、余弦定理等知识，是一道考察解三角形的好题. 例 2 已知ABC ?的三个内角A B C ，，的对边依次为a b c ，，，外接圆半径为1，且满足 tan 2tan A c b B b -= ，则ABC ?面积的最大值为___________. 【解析】 试 题 分 析 : 由 tan 2tan A c b B b -=可得B B C A B B A s i n s i n s i n 2c o s s i n c o s s i n -= ,即1 sin sin 2cos cos sin B C A B A -=,也即A B A C B A c o s s i n c o s s i n 2c o s s i n -=,故 A C B A cos sin 2)sin(=+,也即1cos 2=A ,则060=A ,由正弦定理可得3sin 2==A a , 再由余弦定理可得cb b c 3)(32 -+=,即cb b c cb 4)(332 ≥+=+,所以3≤cb ,故 43343sin 21≤== ?bc A bc S ABC ,应填4 . 考点：三角变换基本不等式正弦定理余弦定理等有关知识的综合运用． 【点评】正弦定理和余弦定理是高中数学中较为重要的知识点和考点.本题以三角形的外接圆的半径及 tan 2tan A c b B b -= 条件为背景精心设置了一道求三角形面积最大值的综合问题.求解时充分借助题设条件中的有效信息,综合运用正弦定理求出0 60=A ,再借助余弦定理和基本不等式求得3≤cb .从而求得4 3 343sin 21≤==?bc A bc S ABC ,进而使得问题获解. 【变式演练1】已知 ABC 外接圆的半径为，若面积22()ABC S a b c =--且 4 sin sin 3B C +=，则sin A = ，ABC S 的最大值为 【答案】8sin 17A =，256 17 . 考点：1．正弦定理；2．解斜三角形． 【变式演练2】在ABC ?中，角A ，B ，C 的对边分别为，，，已知cos (2)cos c B a b C =-． 专题一：函数图像的变换与解答技巧 【高考地位】 函数图像作为高中数学的一个“重头戏”，是研究函数性质、方程、不等式的重要武器，已经成为各省市高考命题的一个热点。在高考中经常以几类初等函数的图像为基础，结合函数的性质综合考查，多以选择、填空题的形式出现。 【方法点评】 方法一 特值法 使用情景：函数()f x 的解析式已知的情况下 解题模板：第一步 将自变量或者函数值赋以特殊值； 第二步 分别一一验证选项是否符合要求； 第三步 得出结论. 例1 函数x x x y sin cos +=的图象大致为（ ） 【答案】C 考点：函数的图像 【点评】特值法是解决复杂函数的图像问题的方法之一，其将复杂问题简单化，且操作性简单可行。 【变式演练1】函数()2ln y x x =+的图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】A 试题分析：解:令()2ln y x x =+0=,解得1,1,2--=x ,∴该函数有三个零点,故排除B ；当2- 【答案】D 【解析】 考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象. 【变式演练3】现有四个函数：① ② ③ ④ 的图象（部分）如下，则按照从左 到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是（ ） A ．④①②③ B ．①④③② C ．①④②③ D ．③④②① 【答案】C 【解析】 试题分析：因为 ，所以 是偶函数，图象关于轴对称，即与左1图 对应，故排除选项A 、D ， 因为当 时， ，故函数 的图象与左3图对应，故排除选项B ；故选C ． 【方法点睛】本题考查通过函数的解析式和性质确定函数的图象，属于中档题；已知函数的解析式确定函数的图象，往往从以下几方面考虑：定义域（确定图象是否连续），奇偶性（确定图象的对称性），单调性（确定图象的变化趋势），最值（确定图象的最高点或最低点），特殊点的函数值（通过特殊函数值排除选项），其主要方法是排除法． 考点：1．函数的奇偶性；2．函数的图象． 【变式演练4】函数x e x y )1(2 -=的图象大致是（ ） 【答案】C 【解析】 【高考地位】 基本不等式是《不等式》一章重要内容之一，是求函数最值的一个重要工具，也是高考常考的一个重要知识点。应用基本不等式求最值时，要把握基本不等式成立的三个条件“一正二定三相等”，忽略理任何一个条件，就会导致解题失败，因此熟练掌握基本不等式求解一些函数的最值问题的解题策略是至关重要的。【方法点评】 方法一凑项法 使用情景：某一类函数的最值问题 解题模板：第一步根据观察已知函数的表达式，通常不符合基本不等式成立的三个条件“一正二定三相等”，将其配凑（凑项、凑系数等）成符合其条件； 第二步使用基本不等式对其进行求解即可； 第三步得出结论. 例1已知 5 4 x<，求函数1 42 45 y x x =-+ - 的最大值。 【答案】 max 1 y=. 第三步，得出结论： 故当1x =时，max 1y =。学#科网 点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 【变式演练1】【江苏省盐城市阜宁中学2017-2018学年高二上学期第一次学情调研数学（文）试题】函数 4 2(0)y x x x =-->的最大值为________. 【答案】-2 【解析】4422242y x x x x ?? =---+≤-- ??? ＝２＝， 当且仅当4 x x ＝ ，即x ＝２时，“＝”成立 【变式演练2】【2018届山西高三上期中数学（理）试卷】当1x >时，不等式1 1 x a x + ≥-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,2]-∞ B ．[2,)+∞ C ．[3,)+∞ D ．(,3]-∞ 【答案】D 【解析】 考点：均值不等式． 方法二 分离法 使用情景：某一类函数的最值问题 解题模板：第一步 首先观察已知函数的表达式的特征，如分子（或分母）是二次形式且分母（或分子）是一次形式； 第二步 把分母或分子的一次形式当成一个整体，并将分子或分母的二次形式配凑成一次形式的二次函数形式； 第三步 将其化简即可得到基本不等式的形式，并运用基本不等式对其进行求解即可得出所求的结果. 【高考地位】 含参不等式的恒成立问题越来越受到高考命题者的青睐，由于新课标高考对导数应用的加强，这些不等式的恒成立问题往往与导数问题交织在一起，这在近年的高考试题中不难看出这个基本的命题趋势. 解决这类问题的关键是揭开量词隐含的神秘面纱还函数问题本来面目，在高考中各种题型多以选择题、填空题和解答题等出现，其试题难度属高档题. 【方法点评】 方法一 分离参数法 使用情景：对于变量和参数可分离的不等式 解题模板：第一步 首先对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可 以根据不等式 的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式； 第二步 先求出含变量一边的式子的最值； 第三步 由此推出参数的取值范围即可得出结论. 例1 已知函数()2 ln f x kx x =-，若()0f x >在函数定义域内恒成立，则的取值范围是（ ） A ．1,e e ?? ??? B ．11,2e e ?? ??? C ．1,2e ??-∞ ??? D ．1,2e ??+∞ ??? 【答案】D 【解析】 考点：函数的恒成立问题． 【方法点晴】本题主要考查了函数的恒成立问题，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值与最值、恒成立的分离参数构造新函数等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想，试题有一定的思维深度， 属于中档试题，解答中根据函数的恒成立，利用分离参数法构造新函数，利用新函数的性质是解答的关键．含参不等式分离参数后的形式因题、因分法而异，因此解决含参不等式恒成立问题需把握住下述结论：（1）()()f x g a <恒成立?max ()()f x g a <；（2）()()f x g a ≤恒成立?max ()()f x g a ≤；（3）()()f x g a >恒成立?min ()()f x g a >。（4）()()f x g a ≥恒成立?min ()()f x g a ≥. 【变式演练1】已知函数()124x x f x a =++在(,1]-∞上有意义，则的取值范围是 . 【答案】3[,)4 -+∞． 【解析】函数()f x 在(,1]-∞上有意义，等价于1240x x a ++≥在(,1]-∞上恒成立，即11(),x (,1]42x x a ≥-+∈-∞恒成立，记11()(),x (,1]42 x x g x =-+∈-∞，即等价于max (),x (,1]a g x ≥∈-∞.因为()g x 在(,1]-∞上是增函数，因此()g x 的最大值为(1)g . 所以 max 3()(1)4a g x g ≥==-，于是的取值范围是34a ≥-，故应填3[,)4 -+∞． 【变式演练2】若关于的不等式243x a a x +≥-对任意实数0x >恒成立，则实数的取值范围为（ ） A ．[1,4]- B ．(,2][5,)-∞-?+∞ C. (,1][4,)-∞-?+∞ D ．[2,5]- 【答案】A 【解析】 考点：基本不等式的应用；不等式的恒成立问题. 方法二 函数性质法 使用情景：对于不能分离参数或分离参数后求最值较困难的类型 专题19 三角恒等变换 【高考地位】 三角函数学习中，有关求值、化简、证明以及解三角方程与解几何问题等，都经常涉及到运用三角变换的解题方法与技巧，而三角变换主要为三角恒等变换，是常用的解题工具. 但由于三角公式众多，方法灵活多变，若能熟练掌握三角恒等变换的技巧，不但能加深对三角公式的记忆与内在联系的理解，而且对发展数学逻辑思维能力，提高数学知识的综合运用能力都大有益处. 在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中档题. 方法一 运用转化与化归思想 例1 已知1sin 33x π?? += ?? ?，则5sin 233x cos x ππ????--- ? ???? ?的值为__________． 【答案】 4 9 【解析】第一步，利用各种角之间的数值关系，将它们互相表示，改变原角的形式： ππππππ-??? ? ? +=-??? ??+-=-3232,3235x x x x 第二步，运用有关公式进行变形，主要是角的拆变： 5cos 22cos 23333sin x x sin x x ππππππ????????????---=-+-+- ? ? ? ????? ???????????? 2cos212sin 3333sin x x sin x x ππππ??????? ?=-+++=-++-+ ? ? ? ? ??????? ? 第三步，得出结论: 5sin 233x cos x ππ??? ?--- ? ???? ? 1241399=-+-=，故答案为49. 【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换，属于基础试题，本题的解答中注意角的整体性和配凑． 【变式演练1】【吉林省梅河口市第五中学2020届高三第五次模拟】已知,02πθ?? ∈- ??? ，且cos2sin 0θθ+=，则sin 4πθ?? + = ?? ? （ ） A ． 22- B ． 4 C ． 4 D ． 24 + 【答案】B 【解析】 【分析】 首先利用二倍角公式求出sin θ，再根据同角三角函数的基本关系求出cos θ，最后利用两角和的正弦公式计算可得； 【详解】 解：因为cos2sin 0θθ+=，所以212sin sin 0θθ-+=，解得sin 1θ=或1sin 2θ=- ，因为,02πθ?? ∈- ??? ， 所以1sin 2θ=- ，cos 2 θ== 所以1sin sin cos cos sin 4442πππθθθ?? +=+=-= ? ? ? 故选：B 【点睛】 本题考查同角三角函数的基本关系的应用，两角和的正弦公式及二倍角公式的应用，属于基础题. 【变式演练2】【2020届吉林省高三第二次模拟】设1tan 2 α= ，4 cos()((0,))5πββπ+=-∈，则 tan 2()αβ-的值为（ ） A ．7 24- B ．524- C ．524 D ．724 【答案】D 【解析】 高考理科数学答题模板 在高考数学复习固然是一个逐渐积累的过程，但掌握一定的数学答 题公式和模板将在考试中事半功倍，学会一定的数学答题技巧才能快速提高 数学分数，可以说数学万能答题公式模板是考高分的捷径。下面小编为大家 分享一下2017年高考数学答题模板，希望对你有所帮助。 ?选择填空题答题模板1、易错点归纳：九大模块易混淆难记忆考点分析， 如概率和频率概念混淆、数列求和公式记忆错误等，强化基础知识点记忆， 避开因为知识点失误造成的客观性解题错误。针对审题、解题思路不严谨如 集合题型未考虑空集情况、函数问题未考虑定义域等主观性因素造成的失误 进行专项训练。2、答题方法：选择题十大速解方法：(十大解题技巧你会了没)排除法、增加条件法、以小见大法、极限法、关键点法、对称法、小结论法、归纳法、感觉法、分析选项法;填空题四大速解方法：直接法、特殊化法、数形结合法、等价转化法。解答题答题模板专题一、三角变换与三角函数的 性质问题1、解题路线图①不同角化同角②降幂扩角③化f(x)=Asin(ωx+φ) +h④结合性质求解。2、构建答题模板①化简：三角函数式的化简，一般化成y=Asin(ωx+φ)+h的形式，即化为“一角、一次、一函数”的形式。②整体代换：将ωx+φ看作一个整体，利用y=sin x，y=cos x的性质确定条件。③求解：利用ωx+φ的范围求条件解得函数y=Asin(ωx+φ)+h的性质，写出结果。④反思：反思回顾，查看关键点，易错点，对结果进行估算，检查规范性。专题二、 解三角形问题1、解题路线图(1) ①化简变形;②用余弦定理转化为边的关系; ③变形证明。(2) ①用余弦定理表示角;②用基本不等式求范围;③确定角的取值范围。2、构建答题模板①定条件：即确定三角形中的已知和所求，在图形中标注出来，然后确定转化的方向。②定工具：即根据条件和所求，合理选 【高考地位】 应用题是指利用数学知识解决一些非数学领域中的问题，在近几年全国各地高考中经常出现。数学的高度抽象性决定了数学应用的广泛性，因而应用题的非数学背景是多种多样的，解应用题往往需要在陌生的情景中去理解、分析给出的有关问题，并舍弃与数学无关的非本质因素，通过抽象转化成相应的数学问题，或许正是这个原因让学生比较惧怕数学应用题。在高考中要处理好函数应用题，学会数学建模分析的步骤和掌握数学建模的具体方法是关键. 【方法点评】 类型 解函数应用题的一般步骤 使用情景：函数的实际应用问题 解题模板：第一步 审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系； 第二步 建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模 型； 第三步 解模——求解数学模型，得到数学结论； 第四步 还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义； 第五步 反思——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理 性. 例1 为了迎接世博会，某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自行车出租．该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x （元）只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y （元）表示出租自行车的日净收入（即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得）。 （1）求函数()y f x =的解析式及其定义域； （2）试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？ 【答案】（1）* 2* 50115(36,)368115(620,) x x x N y x x x x N ?-≤≤∈?=?-+-<≤∈??，定义域为* {|320,}x x x N ≤≤∈； （2）11元． 典例1 (12分)已知m ＝(cos ωx ，3cos(ωx ＋π))，n ＝(sin ωx ，cos ωx )，其中ω>0，f (x )＝m·n ，且f (x )相邻两条对称轴之间的距离为π2. (1)若f (α2)＝－34，α∈(0，π 2 )，求cos α的值； (2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然后向左平移π 6个 单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数y ＝g (x )的单调递增区间． 审题路线图 (1)f (x )＝m·n ――――→数量积运算 辅助角公式得f (x ) ――→对称性 周期性求出ω()2f α????和差公式 cos α (2)y ＝f (x )―――→图象变换 y ＝g (x )―――→整体思想g (x )的递增区间 评分细则 1.化简f (x )的过程中，诱导公式和二倍角公式的使用各给1分；如果只有最后结果没有过程，则给1分；最后结果正确，但缺少上面的某一步过程，不扣分； 2．计算cos α时，算对cos(α－π3)给1分；由cos(α－π3)计算sin(α－π 3)时没有考虑范围扣1分； 3．第(2)问直接写出x 的不等式没有过程扣1分；最后结果不用区间表示不给分；区间表示式中不标出k ∈Z 不扣分；没有2k π的不给分． 跟踪演练1 已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12(ω>0)，其最小正周期为π 2. (1)求f (x )的表达式； (2)将函数f (x )的图象向右平移π 8个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵 坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间[0，π 2]上有且只有一 个实数解，求实数k 的取值范围． 解 (1)f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －1 2 ＝ 32sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋12－12＝sin(2ωx ＋π 6 )， 由题意知f (x )的最小正周期T ＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2， 所以ω＝2，所以f (x )＝sin(4x ＋π 6 )． (2)将f (x )的图象向右平移π8个单位长度后，得到y ＝sin(4x －π 3)的图象；再将所得图象上所有点 的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin(2x －π3)的图象，所以g (x )＝sin(2x －π 3)， 因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π 3， 所以g (x )∈[－ 3 2 ，1]． 又g (x )＋k ＝0在区间[0，π2]上有且只有一个实数解，即函数y ＝g (x )与y ＝－k 在区间[0，π 2]上 有且只有一个交点，由正弦函数的图象可知－32≤－k <3 2 或－k ＝1， 解得－ 322020年高考数学各大题型答题模板
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