全等三角形
知识框架：
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?）斜边直角边（））或角角边（角边角（）边角边（）边边边（全等三角形的判定全等三角形的性质：全等三角形：
定义：全等形HL AAS ASA SAS SSS
第一课 全等三角形的性质
图形全等：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。“全等”用?表示，读作“全等于”
全等三角形的定义：两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如DEF ABC ??和全等时，点A 和点D ，点B 和点E ，点C 和点F 是对应顶点，记作DEF ABC ???。
把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。
全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。
角平分线的性质：角平分线上的点到两边的距离相等；到两边的距离相等的点在角平分线上。
例1.已知：如图，AB AD =，AC AE =，BC DE =，30EAC ∠=?，则DAB ∠的大小为
例2.如图，在平面上将△ABC 绕B 点旋转到△A ’BC ’的位置时，AA ’∥BC ，∠ABC=70°，则∠CBC ’为________度
.
例3.如图，在△ABC 中，∠A:∠B:∠C=3:5:10，又△MNC ≌△ABC ，则∠BCM ：∠BCN 等于（ ） A ．1:2 B ．1:3 C ．2:3 D ．
1:4
例4.已知O 是△ABC 三条角平分线的交点，OD ⊥BC 于D ，若OD ＝5，△ABC 的周长等于20，则△ABC 的面积等于S △ABC ＝
课堂同步：
1.根据下列条件，能画出唯一ABC ?的是( )
A. 3AB =，4BC =，8CA =
B. 4AB =，3BC =，30A ∠=
C. 60C ∠=，45B ∠=，4AB =
D. 90C ∠=，6AB =
2.如图∠1＝∠2=200，AD=AB ， ∠D ＝∠B ，E 在线段BC 上，则∠AEC=（ ） A.200 B.700 C.500 D.800
3.如图所示，在△ABC 中，P 为BC 上一点，PR ⊥AB 于R ，PS ⊥AC 于S ，AQ ＝PQ ，PR ＝PS ，则下列三个结论中正确的是 ( ) ①AS ＝AR ②PQ ∥AR ③△BRP ≌△CSP
A ．①和②
B ．②和③
C ．①和③
D ．全对 4.如图，△ABC ≌△DEF ，A 与D ，B 与
E 分别是对应顶点，∠B=32，∠A=68，AB=13cm ，则∠F=______度，DE=______cm ．
5.已知△ABC ≌△DEF,∠A=52°,∠B=67°BC=15cm 则∠F=_____,FE=_____cm.
6.如图，P 是正△ABC 内的一点，若将△PAB 绕点A 逆时针旋转到△P ′AC ，则∠PAP ′的度数为________．
7.将一张正方形纸片按如图的方式折叠，,BC BD 为折痕，则CBD ∠的大小为_________
8.如图所示，A B C A D E △≌△，BC 的延长线交DA 于F ，交DE 于G ，
105ACB AED ∠=∠=，15CAD ∠=，30B D ∠=∠=，则1∠的度数为
9.如图，AB ∥CD ，O 是∠BAC 、∠ACD 的平分线的交点，OE ⊥AC 于E ，且OE ＝2，则AB 与CD 间的距离等于 。
课后练习：
1.下列说法：①全等图形的形状相同、大小相等；②全等三角形的对应边相等；③全等三
角形的对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等，其中正确的说法为（ ） A ．①②③④ B ．①③④ C ．①②④ D ．②③④ 2.如果D 是ABC △中BC 边上一点，并且ADB ADC △≌△，则ABC △是（ ）
A ．锐角三角形
B ．钝角三角形
C ．直角三角形
D ．等腰三角形 3.对于两个图形，给出下列结论：①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；③两个图形的周长和面积都相等；④两个图形的形状相同，大小也相等．其中能获得这两个图形全等的结论共有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
4.如图，AB ＝AC ，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ，BE 、CF 交于点D ，则①△ABE ≌△ACF ；②△BDF ≌△CDE ；③点D 在∠BAC 的平分线上，以上结论正确的是（ ）
A. ①②③
B. ①②
C. ①③
D. ②③
5.如图，已知点P 到BE 、BD 、AC 的距离恰好相等，则点P 的位置：①在∠B 的平分线上；②在∠DAC 的平分线上；③在∠EAC 的平分线上；④恰是∠B ，∠DAC ，∠EAC 三个角的平分线的交点。上述结论中，正确结论的个数有（ ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个 6.如图，已知AB=AC ，AD=AE ，∠BAD=25°，则∠CAE=
7.如图5在Rt ΔABC 中，∠C=90°，BD 是∠ABC 的平分线，交于点D ，若CD=n ，AB=m ，则ΔABD 的面积是_______
8.已知ΔABC 的周长是15，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点O ，过点O 作OD ⊥BC 与点D ，且OD=2，求ΔABC 的面积。
能力提高：
1.长为L 的一根绳,恰好可围成两个全等三角形,则其中一个三角形的最长边x 的取值范围为( )
A.6
4
l l x ≤< B.8
4
l l x ≤< C.64l l x << D.84
l l x <<
2.如图，ΔABD的三边AB、BC、CA的长分别是20、30、40、其中三条角平分线将ΔABD分
为三个三角形，则S
ABO
?：S
BCO
?
：S
CAO
?
等于______.
3.已知△ABC≌△A′B′C′，△ABC的三边为3、m、n，△A′B′C′的三边为5、p、q，若△ABC的各边都是整数，则m+n+p+q的最大值为__________
第二课全等三角形判定一
如果两个三角形满足上述六个条件中的一个或两个时有几种情形，能否保证两个三角形全等？
满足一个条件：①只有一条边对应相等；②只有一个角对应相等；
结论：
满足两个条件：①两角对应相等；②两边对应相等； 一边一角对应相等
结论：
如果两个三角形满足上述六个条件中的三个时，有几种可能的情况？
①两边一角对应相等
②两角一边对应相等
③三边对应相等
④三个角对应相等
如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等．简写成“边角边”或简记为（S.A.S.）
例1.如图，AE＝DB， BC＝EF， BC∥EF，求证：△ABC≌△DEF．
例2.已知：如图，BE、CF是△ABC的高，分别在射线BE与CF上取点P与Q，使BP=AC，CQ=AB。
求证：（1）AQ=AP （2）AP⊥AQ
例3.如图已知：ΔABC 和ΔBDE 是等边三角形，D 在AE 延长线上。 求证：BD + DC = AD
例4.如图，已知，等腰Rt △OAB 中，∠AOB=90o ，等腰Rt △EOF 中，∠EOF=90o ，连结AE 、
BF ．求证：（1）AE=BF ；（2）AE ⊥BF ．
课堂同步：
1.∠AOB 的平分线上一点M ，M 到 OA 的距离为1.5 cm ，则M 到OB 的距离为_________.
2.如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，试说明△ABD ≌△ACD.
3.如图，AB ＝AD ， AC ＝AE ， ∠BAE ＝∠DAC ，求证： △ABC ≌△ADE ．
4.已知在ABC ?中，C B ∠=∠2，AD 平分A ∠交BC 于D 点，求证：AC=AB+BD 。
A
B
C
D
5.已知C 为AB 上一点,△ACN 和 △BCM 是正三角形. (1)求证:AM=BN ；(2)求∠AFN 的度数.
6.在△ABC 中，AB=AC,∠A=1000，BE 平分∠ABC ，求证：BC=AE+BE 。
课后练习：
1.如图，在ABC △和DEF △中，已知AB DE =，BC EF =，根据（SAS ）判定 ABC DEF △≌△，还需的条件是（ ）
A ．A D ∠=∠
B ．B E ∠=∠
C ．C F ∠=∠
D ．以上三个均可以
2.下面各条件中，能使△ABC ≌△DEF 的条件的是（ ）
A ．A
B ＝DE ，∠A ＝∠D ，B
C ＝EF B ．AB ＝BC ，∠B ＝∠E ，DE ＝EF C ．AB ＝EF ，∠A ＝∠
D ，AC ＝DF D ．BC ＝EF ，∠C ＝∠F ，AC ＝DF
3.如图，AD BC ，相交于点O ，OA OD =，OB OC =．下列结论正确的是（ ）
A.AOB DOC △≌△
B.ABO DOC △≌△
C.A C ∠=∠
D.B D ∠=∠ 4.如图，已知AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠．下列结论不正确的有（ ）．
A.BAD CAE ∠=∠
B.ABD ACE △≌△
C.AB=BC
D.BD CE =
5.如图所示,△ABC 与△BDE 都是等边三角形,AB A.AE=CD B.AE>CD C.AE D.无法确定 6.如图，已知△ABC 的六个元素,则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC 全等的 图形是 。 7.如图，AD 是△ABC 的中线，AB AC =。1∠与2∠相等吗？请说明理由。 8.如图，AD ＝BC ， ∠ADC ＝∠BCD ．求证： ∠BAC ＝∠ABD ． 9.如右图，已知DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，AE=CF ，DC ∥AB ，（1）试证明：DE=BF ； （2）连接DF 、BE ，猜想DF 与BE 的关系？并证明你的猜想的正确性． 能力提高： 1.如图，ABC ?为等边三角形，点,M N 分别在,BC AC 上，且BM CN =，AM 与BN 交于Q 点。求AQN ∠的度数。 2.已知：如图，在△ABC 中，∠B ＝60°，△ABC 的角平分线AD 、CE 相交于点O 。 求证：AE ＋CD ＝AC 3.已知在ABC ?中，作A ECB FBC ∠= ∠=∠2 1 ，求证：BE=CF 。 A B C E F G 4.如图，已知ABC ?的边长为1的正三角形，BDC ?是顶角?=∠120BDC 的等腰三角形，以D 为顶点作一个?60角，角的两边分别交AB 于M ，交AC 于N ，连MN 形成AMN ?，求证：AMN ?的周长等于2。 A B C D M N 第三课 全等三角形 判定二 定义：如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等．简记为“角边角”或简记为(A.S.A.)。 问题：一块三角形玻璃碎成如图形状4块，配一块与原来一样的三角形玻璃 （1）要不要4块都带去？ （2）带哪一块呢？ （3）带D 块，带去了三角形的几个元素？另外几快呢？ D B C A 例1.如图在ΔABC中,AD⊥BC于D,BE⊥AC于E,AD交BE于F,若BF=AC,那么∠ABC的大小是 例 2.已知:如图，AD=DC,∠ADC=∠DEB=∠B=90°,四边形ABCD的面积为16,则DE的长为（） A、5 B、4 C、3 D、2 例3.如图，在△ABC中，AB AC =，12 ∠=∠，试说明△AED是等腰三角形。 例4.如图，∠BDA＝∠CEA， AE＝AD．求证： AB＝AC． 例5.如图，90 ACB ∠=，AC BC ⊥，交CD延长 =，D为AB上一点，AE CD ⊥，BF CD 线于F点。求证：BF CE =。 ?中，AD是角平分线，CF⊥AD交AB于F，垂足为M，CE∥AD交BA 例6.如图，已知在ABC 的延长线于E，求证：AC=AE=AF。 课堂同步： 1.如图，点,,,D E F B 在同一条直线上，AB //CD ，AE //CF ，且AE CF =，若10BD =，2BF =，则EF =___________ 2.如图，ABC DCB ∠=∠，ACB DCB ∠=∠，试说明△ABC ≌△DCB. 3.如图，AB AC ⊥，BD DC ⊥，AC 、BD 交于点ACB DBC ∠=∠，图中共有几对长度相等的线段，你是通过什么办法找到的？ 4.如图，AD ＝BE ， AC ∥DF ， BC ∥EF ，求证： △ABC ≌△DEF ． 5.已知：在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，CE ⊥AD ，BF ⊥AD 。求证：CE=BF 。 6.在等边三角形ABC中，AE=CD，AD，BE交于P点，BQ⊥AD于Q．求证：BP=2PQ． 课后练习： 1.如图，AB∥CD，AD∥BC，AC、BD相交于点O。 （1）由AD∥BC，可得∠ =∠，由AB∥CD，可得∠ =∠，又由，于是△ABD≌△CDB； （2）由，可得AD=CB，由，可得△AOD≌△COB； （3）图中全等三角形共有对。 2.如图，∠1＝∠2，∠B＝∠D，求证：△ABC≌△ADC． 3.如图，∠C＝∠D， CE＝DE．求证：∠BAD＝∠ABC． 4.如图，已知点B、C、E在一条直线上，AB=CD，AC=BD，DE∥AC，试说明∠E=∠DBC。 5.已知：如图，在△ABC 中，∠A=90°，AB = AC ，BD 平分∠ABC ． 求证： BC = AB + AD 6.如图已知ABC ?中，?=∠60B ，A ∠、C ∠ 的平分线 AD 、CE 交于F ，求证：AC=AE+CD 。 B D E C A F 能力提高： 1.三角形ABC 中，AB=AC ，在AB 上取一点D ，在AC 的延长线上取一点E ，使CE=BD ，连结DE 交BC 于G ，求证：DG=GE. 2.设AT 为ABC ?的内角A 的平分线，M 为BC 的中点，ME ∥AT 交AB ，AC 或其延长线于D 、E 。求证：BD=EC A B C D E M T 3.已知：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，E 、F 分别是AB 、AC 上的点， 且∠EDF ＋∠EAF ＝180°。求证：DE ＝DF 。 4.正三角形ABC中，P，Q，R分别为AB，AC，BC的中点，M为BC上任意一点(不同于R)，且△PMS为正三角形．求证：RM=QS． 5.如图，△ABC是等腰直角三角形，其中CA=CB，四边形CDEF是正方形，连接AF、BD. (1)观察图形，猜想AF与BD之间有怎样的关系，并证明你的猜想； (2)若将正方形CDEF绕点C按顺时针方向旋转，使正方形CDEF的一边落在△ABC的内部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题(1)中猜想的结论是否仍然成立？若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由. 第四课全等三角形判定三 定义：如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等．简写为“边边边”，或简记为（S.S.S.）。 课堂同步： 1.如图，已知AB=DC，AD=BC，E、F是DB上两点且BF=DE，若∠AEB=120°，∠ADB=30°，则∠BCF= ° 2.如图，四边形ABCD中，AD＝BC，A B＝DC，试说明△ABC≌△CDA. 课后练习： 1.若△ABC ≌△BAD ，A 和B 、C 和D 是对应顶点，如果6AB cm =， 5.5BD cm =，3AD cm =，则BC 的长是（ ） A.6cm B.5.5cm C.3cm D.无法确定 2.如图，已知AB DC =，AD BC =，,E F 是BD 上的两点，且BE DF =，若100AEB ∠=，30ADB ∠=，则BCF ∠=____________； 3.如图，AC=BC ，AD=BD ，AE=BE ，AF=BF ，则图中共有 对全等三角形， 4.已知：如图：BE=CF ，AB=DE ，AC=DF ，求证：△ABC ≌△DEF 5.如图，AC ＝BD ， BC ＝AD ，求证： △ABC ≌△BAD ． 6.如图，点D 、B 分别在∠A 的两边上，C 是∠A 内一点，AB = AD ，BC = CD ，CE ⊥AD 于E ， CF ⊥AF 于F ．求证：CE = CF 7.已知如图（18），B 是CE 的中点，AD=BC ，AB=DC ．DE 交AB 于F 点。 求证：（1）AD ∥BC （2）AF=BF ． 能力提高： 1.已知在ABC ?中，?=∠90ACB ，AC=BC ，以BC 为边的等边BCD ?，CE 是中线交AD 于F ， 求证：AC EF 2 1 =。 A B C D E F 1 2 第五课 全等三角形判定四 定义：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等．简记为H ．L ．（或斜边直角边）． 例1.如图，有一个直角△ABC ，∠C=90°，AC=10，BC=5，一条线段PQ=AB ，P.Q 两点分别在 AC 和过点A 且垂直于AC 的射线AX 上运动，当AP= 时,才能使ΔABC ≌ΔPQA. 例2.证明:在直角三角形中，300所对的直角边等于斜边的一半。 例3.如图，⊿ABC 中，AC=BC,∠ACB=1200,D 是AB 的中点，DE ⊥AC 于点E ，则CE:AE=_____ 例4.已知：如图，AD 为△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于F ，且有BF=AC ，FD=CD ，求证：BE ⊥AC 。
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