专题19 三角恒等变换
【标题01】没有挖掘角α的隐含条件导致扩大了角的范围
【习题01】已知43
sin
cos
25
25
α
α
=-
=- ，则角α是第 象限的角.
【经典错解】24
sin 2sin cos 0.2225αααα==
>∴ 是第一、二象限的角 所以填“一、二”. 【详细正解】2247
sin 2sin cos 0cos 2cos 102225225
ααααα==
>=-=-< 所以α是第二象限的角，故填“二”.
【习题01针对训练】若θ是ABC ?的一个内角，且1sin cos 8
θθ=-，则sin cos θθ-的值为（ ）
A ．2-
B ．2
C ．2-．2
【标题02】三角函数选的不够合理解题方向不当
【习题02】已知,(0,)2
π
αβ∈，sin =αβαβ=
=-则 （ ） A.4
π
-
B.
34π C. 4π D. 4π-或4
π
【经典错解】002
2
2
2
π
π
π
π
αβαβ<<
-
<-<∴-
<-<
sin cos ,(0,)cos sin 5
10
2
5
10
παβαβαβ=
=
∈∴==
cos()cos cos sin sin 2
αβαβαβ∴-=+=
=
，4παβ∴-=± 故选D . 【详细正解】002
2
2
2
π
π
π
π
αβαβ<<
-
<-<∴-
<-<
sin cos ,(0,)cos sin 2
παβαβαβ=
=
∈∴==
sin()sin cos cos sin 2
αβαβαβ∴-=-=
=-
，4παβ∴-=- 故选A .
【习题02针对训练】已知,(0,)2
π
αβ∈，sin ,sin ,+=510
αβαβ=
=则 .
【标题03】对三角函数的隐含条件挖掘不够导致出现增解
【习题03】已知1
0,sin cos ,2
a p a a <<+=
则cos 2a = . 【经典错解】把三角方程平方得13
12sin cos sin 2044a a a a p +=
\=-<< 022a p \<<
cos 2a \=?=?，所以填±【详细正解】把三角方程平方1312sin cos 2sin cos 044a a a a a p
+=
\=-<<
13
sin 0cos 0sin cos 02
224
a p
p a a a p a a p
\>\<\
<<+=>\<<
322p a p \<< cos 2a \=-=-， 故填-.
【深度剖析】（1）经典错解错在对三角函数的隐含条件挖掘不够导致出现增解. （2）三角函数的化简求值时，如果出现多值，就要注意挖掘已知中的隐含条件，以免增解. （3）在同一个直角坐标系中作出正弦和余弦函数的图像观察得：当02
π
α<<
时，sin cos 0αα+>；当
32
4
π
π
α<<
时，sin cos 0αα+>；当34
π
απ<<时，sin cos 0αα+<. 【习题03针对训练】若sin ,cos θθ是关于x 的方程2
50x x a -+=（a 是常数）的两根，(0,)θπ∈，求
cos 2θ的值．
【标题04】解三角方程观察三角函数的图像不到位导致漏解
【习题04】方程sin x =
的解集为 . 【经典错解】由正弦函数的图像可知方程的解集为{|2,}4
x x k k z π
π=+∈. 【详细正解】由正弦函数的图像可知方程的解集为3{|22,}4
4
x x k k k z π
π
ππ=
++∈或
.
【习题04针对训练】已知函数4
4
()cos 2sin cos sin f x x x x x =--.
（1）若x 是某三角形的一个内角，且()f x =，求角x 的大小；（2）当0,2x π??∈????
时，求()f x 的最小值及取得最小值时x 的集合.
【标题05】没有发现已知中的,αβ的隐含范围所以导致出现增解
【习题05】已知,αβ均为锐角，且cos αβ=
=
，则αβ-= .
【经典错解】因为α为锐角，cos sin 5
αα=
∴==
因为β为锐角，cos sin 10ββ=
∴==
所以cos()cos cos sin sin 105102
αβαβαβ-=+=+=
因为0002
2
2
2
2
π
π
π
π
π
ββααβ<<
∴-
<-<<<
∴-
<-<
，所以αβ-=4
π
±
.
【详细正解】（前面同上）所以αβ-=4
π
±
.
因为,αβ
均为锐角，且cos 10
αβ=
=
cos cos αβαβ>∴<
002
π
αβαβ∴-<∴-
<-< 所以αβ-=4
π
-
. 故填4
π
-
.
【习题05针对训练】若3
1
sin cos ),,0(-
=+∈a a a 且π，则=a 2cos （ ） A.917 B.917± C.9
17- D.317
【标题06】在求角时忽略了隐含的角的范围 【习题06】已知,(0,)αβπ∈ ，且1
1
tan()tan 27
αββ-=
=- ，求2αβ- 的值.
【经典错解】1
242tan 2()1314
αβ?
-=
=- 所以tan(2)tan[2()]αβαββ-=-+ 41371411()37
-==-?- 002200απαπβππβ<<∴<<<<∴-<-< 所以35222,.444ππ
παβπαβπ-<-<∴-=-或
【详细正解】1242tan 2()1314
αβ?
-=
=- 所以tan(2)tan[2()]αβαββ-=-+ 41371411()37
-
==-?- 1330tan 1tan 744βπβππβπ<<=->-=∴<<
113127tan tan[()]=10114341(27
ππβπααββα-
∴-<-<-=-+=<∴<<-?- ）
所以3
02222
44
π
π
απαβαβπ<<
∴-<-<-
∴-=-
【习题06针对训练】）在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边,锐角α的终边与单位圆在第一象限交于点A ，且点A 的纵坐标为
10
10
，锐角β的终边与射线70x y -= （0x ≥）重合． （1）求tan tan αβ和的值； （2）求2αβ+的值．
【标题07】三角函数的周期公式中的w 理解错误 【习题07】已知函数()4cos sin()(0)4
f x wx wx w π
=?+
>的最小正周期为π，求w 的值.
【经典错解】()4cos sin()4cos cos )4
2
f x wx wx wx wx wx π
=?+
=?
+
21cos 2cos 2
wx
wx wx wx wx wx +=+=+=
2)4
wx wx π
+=++
因为()f x 的最小正周期为π，且w ＞0w ＝2.
【详细正解】()4cos sin()4cos cos )4
f x wx wx wx wx wx π
=?+
=+
21cos 2cos 2
wx
wx wx wx wx wx +=+=+=
2)4
wx wx π
+=++
因为()f x 的最小正周期为π，且w ＞0w ＝1.
【习题07针对训练】设函数2()sin cos f x x x x ωωω=-(0)w >,且()y f x =的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4π,（1）求w 的值；（2）求()f x 在区间3[,]2
ππ上的最大值和最小值.
【标题08】求单调区间时忽略了函数的定义域 【习题08】设函数(sin cos )sin 2().sin x x x
f x x
-=
（1）求()f x 的定义域及最小正周期；（2）求()f x 的单调递增区间． 【经典错解】（1）由sin 0x ≠，得()x k k Z π≠∈，故()f x 的定义域为{}|,,.x x R x k k Z π∈≠∈
∵(sin cos )sin 2()sin x x x
f x x
-=
2cos (sin cos )x x x =-2sin 22cos x x =-
sin 2cos 21x x =--)14x π=-- ∴函数()f x 的最小正周期2.2
T π
π==
（2）∵函数()sin f x x =的单调递增区间为[2,2]22
k k k z p p
p p -+? 由222242
k x k k z p p p
p p -
???，得38
8
k x k k z p p
p p -
＃+
?
∴函数()f x 的单调递增区间为3[,]88
k k k z p p
p p -+? 【详细正解】（1）同上.
（2）∵函数()sin f x x =的单调递增区间为[2,2]22
k k k z p p
p p -+? 由222242
k x k k z p p p
p p -
???得38
8
k x k k z p p
p p -
＃+
?.
∴函数()f x 的单调递增区间为3[,]88
k k k z p p
p p -
+? 因为()f x 的定义域为{}|,,.x x R x k k Z π∈≠∈
∴函数()f x 的单调递增区间为3[,k ),(k ,]88
k k k z p p
p p p p -
+?
【习题08针对训练】已知函数22()2sin()cos sin cos f x x x x x =π-?+-，x ∈R ． （1）求()2
f π
的值及函数()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 在[]0,π上的单调减区间．
【标题09】没有挖掘出已知的重要条件 【习题09
】已知函数2()2cos cos()sin cos 6
f x x x x x x π
=--+．
（1）求()f x 的最小正周期；
（2）把()f x 的图象向右平移m 个单位后，在[0,]2
π
是增函数，当||m 最小时，求m 的值．
【经典错解】
(1)2()2cos cos()sin cos 6
f x x x x x x π
=-
+
22cos (cos cos
sin sin )sin cos 66
x x x x x x π
π
=++
22sin cos sin cos x x x x x x ++
22sin )2sin cos x x x x =-+
2sin 22sin(2)3x x x π=+=+ ∴T =22
π
π=
（2）()2sin(22)3
g x x m π
=-+
由2222232k x m k πππ
ππ-
≤-+
≤-
得单调递增区间为51
[,]1212
m k m k ππππ-
++++.
∵()g x 在[0,]2π是增函数，所以当0k =时，函数的增区间是5[,]1212
m m p
p -++ 所以5
55512
121212122
m m m m p p p p p p ì-+???\＃\=í
?+???
【详细正解】（1）同上. （2）()2sin(22)3
g x x m π
=-+
由2222232k x m k πππ
ππ-
≤-+
≤-
得单调递增区间为51
[,]1212
m k m k ππππ-
++++.
∵()g x 在[0,]2π是增函数，而函数的最小正周期恰好是p ，所以[0,]2
p
刚好是半个周期，∴
5012m k ππ-++=，512m k ππ=-，∴当||m 最小时，m =512
π
.
【习题09针对训练】已知函数2sin y wx = 在区间[,]34
p p
-上为增函数，则正实数w 的取值范围是 .
【标题10】使用韦达定理时漏了0?≥
【习题10】已知sin α、cos α 是关于x 的方程2
86210x kx k +++=的两个根，求实数k 的值.
【经典错解】由根与系数的关系，得23sin cos 9214
1221
168sin cos 8k k k k αααα?
+=-?+?∴=+?+?=?? 10
29
k ∴=或- 【详细正解】由根与系数的关系，得223648(21)0392110sin cos 1224168921sin cos 8k k k k k k k αααα?
??=-+≥?
+?
+=-∴=+∴=??
+?
=??
或-
把2k =代入0?≥ 检验得不成立 ，所以10
9
k =-
.
【习题10针对训练】设A 是三角形的内角，且sin A 和cos A 是关于x 方程2255x ax - 120a -=的两个根．
（1）求a 的值； （2）求tan A 的值．
【标题11】审题不清忽略了题目中的已知条件导致出现双解
【习题11】已知
324π
πβα<<<
，12cos()13αβ-=，3sin()5αβ+=-，求cos 2α的值.
【经典错解】332442
ππ
βππβ<<∴-<-<-
3125
cos()sin()24441313
π
ππαπαβαβαβ<<∴-<-<-=∴-==±
3333
sin()24
2425
π
π
απβππαβπαβ<<<<∴<+<+=-
4
cos()5
αβ∴+==- cos 2cos[()()]cos()cos()sin()sin()ααβαβαβαβαβαβ∴=-++=-+--+
1245333
()()13513565
=
---=- 或cos 2cos[()()]cos()cos()sin()sin()ααβαβαβαβαβαβ∴=-++=-+--+
1245363()()13513565=
-+-=- 3363cos 26565
α∴=-或- 【详细正解】332442
ππ
βππβ<<∴-<-<-
310024444πππαππαβαβαβαβ<<∴-<-<>∴->∴<-<
125
cos()sin()1313
αβαβ-=
∴-== 3
333
sin()24
2425
π
π
απβππαβπαβ<<<<∴<+<+=-
4
cos()5
αβ∴+==- cos 2cos[()()]cos()cos()sin()sin()ααβαβαβαβαβαβ∴=-++=-+--+
1245333
()()13513565
=
---=-
π
αβ
<<<，且
4
c o s c o s s i n s i n
5
αααβ
+=，
4
tan
3
β=，则t a nα= ．
【习题11针对训练】已知0
2
高中数学经典错题深度剖析及针对训练 第19讲：三角恒等变换参考答案
【习题01针对训练答案】D
sin sin ,(0,)cos cos 2
παβαβαβ=
=
∈∴==
cos()cos cos sin sin 2
αβαβαβ∴+=+=
=
，4παβ∴+= 故填4π . 【习题03针对训练答案】7
25
-
【习题03针对训练解析】由题意知，1sin cos 5θθ+=
， ∴21(sin cos )25
θθ+= , 即12412sin cos 2sin cos 02525θθθθ+=∴=-<， 即sin θ与cos θ异号，
1
sin cos 5
θθ+= ＞0，∴332242
πθππθπ<<∴<< ,
则cos2θ=
725
==-，所以7
cos 225θ=-.
【习题04针对训练答案】（1）524x π=
或1324x π=；（2）()f x
的最小值为，此时x 的取值集合为38π??????
. 【习题04针对训练解析】（1）2
2
2
2
()(cos sin )(cos sin )sin 2f x x x x x x =-+-
cos 2sin 2)4
x x x π
=-=-
由)4
x π
-=，即1sin(2)42x π-=，
所以224
6
x k π
π
π-
=+
，k Z ∈，或5224
6
x k π
π
π-
=+
，k Z ∈ 解得524x k ππ=+，k Z ∈，或1324
x k π
π=+，k Z ∈，
因为0x π<<， 所以524x π=
，或1324
x π= （2）由（1
）知())4f x x π
=-
，因为0,2x π??
∈????， 所以32,444x πππ??-∈-????
所以()1f x ≤，所以当且仅当242
x π
π
-=
，即38
x π
=
时，()f x
取得最小值()f x 的最小
值为x 的取值集合为38π??
?
???