河南省南阳市2017-2018学年高二下学期期中考试
数学（理）试题
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知i 为虚数单位，复数322i z i +=-，则以下为真命题的是（ ） A ．z 的共轭复数为7455i - B ．z 的虚部为85 C ．||3z = D ．z 在复平面内对应的点在第一象限
2.设a ，b ，c 都是正数，则三个数1a b +，1b c +，1c a
+（ ） A ．都大于2 B ．至少有一个大于2
C ．至少有一个不小于2
D ．至少有一个不大于2
3.当x 在(,)-∞+∞上变化时，导函数'()f x 的符号变化如下表： x (,1)-∞ 1 (1,4) 4 4+)∞（， '()f x
- 0 + 0 - 则函数()f x 的图像大致形状为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4.直线1y kx =+与曲线32y x bx c =++相切于点(1,2)M ，则b 的值为（ ）
A ．-1
B ．0 C.1 D ．2
5.已知函数322()7f x x ax bx a a =++--在1x =处取得极大值10，则
a b 的值为（ ） A ．12- B ．23- C.-2或23
- D ．-2 6.利用数学归纳法证明不等式1111()2321
n f n ++++<-L （2n ≥，*n N ∈）的过程中，由n k =变到
1n k =+时，左边增加了（ ）
A ．1项
B ．k 项 C.12k -项 D ．2k 项
7.若曲线()cos f x a x =与曲线()1g x x bx 2
=++在交点(0,)m 处由公切线，则a b +=（ ）
A ．-1
B ．0 C.2 D ．1 8.若函数2
()1ax f z x =-（1x >）有最大值-4，则a 的值是（ ） A ．1 B ．-1 C.4 D ．-4
9.函数3
()3f x x x =-在(,2)a 上有最小值，则实数a 的范围是（ ）
A ．(,1)-∞
B ．(1,1)- C.[2,1)- D ．[1,1)-
10.将正奇数1,3,5,7，…排成五列（如下表），按此表的排列规律，2019所在的位置是（ ）
A ．第一列
B ．第二列 C.第三列 D ．第四列
11.设定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数'()f x 满足'()1xf x >，则（ ）
A ．(2)(1)ln 2f f ->
B ．(2)(1)ln 2f f -<
C.(2)(1)1f f -> D ．(2)(1)1f f -<
12. 一个机器人每一秒钟前进一步或后退一步，程序设计师设计的程序是让机器人以先前进3步，然后再后退2步的规律移动.如果将机器人放在数轴的原点，面向正的方向在数轴上移动(1步的距离为1个单位长度).令()P n 表示第n 秒时机器人所在位置的坐标，且记(0)0P =,则下列结论中错误的是（ ）
A ．(3)3P =
B ．(5)1P =
C.(2017)(2016)P P > D ．(2018)(2021)P P <
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.12
(1(1))
x
x dx
---=
?．
14.我们知道，在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值
3
a，类比上述结论，在棱长为a 的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值．
15.已知函数2
3
()2ln
x
f x x x
a
=-+（0
a>），若函数()
f x在[1,2]上未单调函数，则a的取值范围
是．
16.定义：如果函数()
y f x
=在区间[,]
a b上存在
1
x，
2
x（
12
a x x b
<<<），满足
1
()()
'()
f b f a
f x
b a
-
=
-
，2
()()
'()
f b f a
f x
b a
-
=
-
，则称函数()
y f x
=在区间[,]
a b上市一个双中值函数，已知函数32
()
f x x x
=-是区间[0,1]上的双中值函数，则实数a的取值范围是．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知i是虚数单位，复数1z满足1(2)(1)1
z i i
-+=-.
（1）求
1
||
z；
（2）若复数
2
z的虚部为2，且2
1
z
z
是实数，求
2
z.
18. 设点P在曲线2
y x
=上，从原点向(2,4)
A移动，如果直线OP，曲线2
y x
=及直线2
x=所围成的两
个阴影部分的面积分别记为
1
S，
2
S，如图所示.
（1）当
12
S S
=时，求点P的坐标；
（2）当
12
S S
+有最小值时，求点P的坐标.
19. 已知函数32
()
f x x ax bx c
=+++在
2
3
x=-与1
x=时都取得极值.
（1）求a，b的值与函数()
f x的单调区间；
（2）若对[,1]x c ∈，不等式()2c f x <
恒成立，求c 的取值范围. 20. 已知数列228113??，22
8235??，…，228(21)(21)n n n -+g ，n S 为该数列的前n 项和. （1）计算1S ，2S ，3S ，4S ；
（2）根据计算结果，猜想n S 的表达式，并用数学归纳法证明.
21.已知函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--.
（1）证明'()2f x ≥；
（2）如果()f x ax ≥对[0,1)x ∈恒成立，求a 的范围.
22.已知函数1()x x f x e
+=（e 为自然对数的底数）. （1）求函数()f x 的单调区间；
（2）设函数1()()'()x
x xf x tf x e ?=++
，存在实数1x ，2x [01]∈，，使得122()()x x ??<成立，求实数t 的取值范围.
河南省南阳市2017-2018学年高二下学期期中考试
数学（理）试题
一、选择题
1-5:DCCAB 6-10:DDBCC 11、12：AD
二、填空题 13. 142π
- 14. a 36 15. 20,5?? ???
∪[1，＋∞) 16. 112?? ???，
三、解答题
17. 解：（1）11221i z i i
-=+=-+
．1z = （2）设()22z a i a R =+∈, 则
212224255z a i a a i i z ++-+==++, 21
z z Q 是实数∴40,4a a -+=?=． ∴242z i =+．
18. 解：（1）设点P 的横坐标为t （0＜t ＜2），则P 点的坐标为（t ，t 2
），
直线OP 的方程为y=tx S 1=∫0t
（tx ﹣x 2
）dx=63t ，S 2=∫t 2（x 2﹣tx ）dx=62383
t t +-， 因为S 1=S 2，，所以34=t ，点P 的坐标为41639?? ???
， （2）S=S 1+S 2=3
82362386333+-=+-+t t t t t S ′=t 2﹣2，令S'=0得t 2
﹣2=0，t=2 因为0＜t ＜2时，S'＜0；2＜t ＜2时，S'＞0
所以，当t=2时，S 1＋S 2有最小值，P
点的坐标为
)2． 19. 解：（1）32'2(),()32f x x ax bx c f x x ax b =+++=++ 由'2
124()0393f a b -=-+=，'(1)320f a b =++=得1,22
a b =-=- '2()32(32)(1)f x x x x x =--=+-，
随着x 变化时，()()f x f x ’
，的变化情况如下表：
所以函数()f x 的递增区间是2(,)3-∞-与(1,)+∞,递减区间是2(,1)3-
； （2）321()22f x x x x c =-
-+， 当32-≤c 时，由（1）知)(x f 在[]1,c 上的最大值为222()327
f c -=+ 所以只需要222()3272c f c -=+<，得4427
c <-https://www.doczj.com/doc/7d2951125.html,/ 当132<<-c 时，由（1）知)(x f 在[]1,c 上的最大值为323211()222
f c c c c c c c c =--+=-- 所以只需要321()22c f c c c c =--<，解得3102
c c <-<<或https://www.doczj.com/doc/7d2951125.html,/ 所以01c <<
综上所述，c 的取值范围为()1,02744,Y ??? ??-
∞- 20. （1）12348244880,,,9254981
S S S S ====． （2）猜想()()
()2*221121n n S n n +-=∈+N ， 用数学归纳法证明如下：
①当1n =时，()()
222118921n S +-==+，猜想成立； ② 假设当n k =时，猜想成立，即()()
2221121k k S k +-=+， 当1n k =+时，()()()122812123k k k S S k k ++=+
+?+ ()()2221121k k +-=+()()()
22812123k k k +++?+ ()()()()()
222221123812123k k k k k ??+-+++?
?=+?+ ()()()
()()222222123212123k k k k k ++-+=+?+()()()()2
222211123123211k k k k ++-??+-??==+++???? 故当1n k =+时，猜想成立．
由①②可知，对于任意的*n ∈N ，()()
2221121n n S n +-=+都成立． 21. 解：（1）证明：()2112'111f x x x x
=+=+-- 11<<-x Θ 故1102≤- ()2'≥∴x f （2）由题意知()001f x ax x -≥≤<对恒成立， 设()(),01g x f x ax x =-≤<，则()22'()'1g x f x a a x =-=-- ()恒成立时，当0'2≥≤x g a ，[)()0,1g x 在上单调递增 ()()0g x g ≥=0,符合题意 ()得 时，当0'2=>x g a a x =-212， 即212x a -=a x a x 21,212-=-=∴即 (),0'210<-<<∴x g a x 时，)(x g 单调递减 ()()0g x g <=0,不合题意 综上，a 的取值范围为(],2-∞ 22. 解:(1)∵函数的定义域为R ，f ′(x )＝－x e x ， ∴当x <0时， f ′(x )>0，当x >0时，f ′(x )<0， ∴f (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减． (2)存在x 1，x 2∈[0,1]，使得2φ(x 1)<φ(x 2)成立， 则2[φ(x )]min <[φ(x )]max . ∵φ(x )＝xf (x )＋tf ′(x )＋e －x ＝x e x t x 1)1(2+-+， ∴()()()x x e x t x e t x t x x 1)1('2---=-++-=?. ①当t ≥1时，φ′(x )≤0，φ(x )在[0,1]上单调递减，∴2φ(1)<φ(0)，即t >3－e 2 >1； ②当t ≤0时，φ′(x )>0，φ(x )在[0,1]上单调递增， ∴2φ(0)<φ(1)，即t <3－2e<0； ③当0 若t∈(t,1]，φ′(x)>0，φ(x)在(t,1)上单调递增，∴2φ(t) 即2·t＋1 e t 3－t e }．(*) 由(1)知，g(t)＝2·t＋1 e t 在[0,1]上单调递减， 故4 e ≤2· t＋1 e t ≤2，而 2 e ≤ 3－t e ≤ 3 e ，∴不等式(*)无解． 综上所述，存在t∈(－∞，3－2e)∪(3－e 2 ，＋∞)，使得命题成立．
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