随机信号分析
第一章
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
8. 设随机试验X 的分布律为
求X 的概率密度和分布函数，并给出图形。
解：()()()())0.210.520.33i i i
f x p x x x x x δ
δδδ=-=-+-+-∑（ ()()()())0.210.520.33i i i
F x p u x x u x u x u x =-=-+-+-∑（
9.
10. 设随机变量X 的概率密度函数为()x
f x ae
-=，
求:(1)
系数a ；（2）其分布函数。
解：（1）由
()1f x dx ∞
-∞
=?
()
()2x
x
x f x dx ae dx a
e dx e dx a ∞
∞
∞
---∞
-∞
-∞
==+=?
??
?
所以12a =
（2）()1()2
x
x
t
F x f t dt e dt --∞
-∞=
=?
?
所以X 的分布函数为
()1,02
11,02
x
x e x F x e x -?
?-≥?? 11. 12.
13. 若随机变量X 与Y 的联合分布律为
求：（1）X 与Y 的联合分布函数与密度函数；（2）X 与Y 的边缘分布律；（3）Z XY =的分布律；（4）X 与Y 的相
关系数。 解：（1）
()()
()()()()()()
,,0.07,10.18,0.15,10.081,10.321,0.201,1ij i j i
j
F x y p u x x y y u x y u x y u x y u x y u x y u x y =--=+++-+-++-+--∑∑
()()
()()()()()(),,0.07,10.18,0.15,10.081,10.321,0.201,1ij i j i
j
f x y p x x y y x y x y x y x y x y x y δδδδδδδ=--=+++-+-++-+--∑∑
（2）X 的分布律为（i ij j
P P ?=∑）
()()00.070.180.150.4010.080.320.200.60P X P X ==++===++=
Y 的分布律为
()()()10.070.080.1500.180.320.5010.150.200.35
P Y P Y P Y =-=+===+===+=
（3）Z XY =的分布律为
()()()()()
()()()()()111,10.080001,00.400.320.72111,10.20
P Z P XY P X Y P Z P XY P X P X Y P Z P XY P X Y =-==-===-======+===+======== （4）因为
()()()00.4010.600.60
10.1500.5010.350.20E X E Y =?+?==-?+?+?=
()()10.0800.7210.200.12E XY =-?+?+?=
则
()()()()
ov ,0.120.600.200
C X Y E XY E X E Y =-=-?=
X 与Y 的相关系数0XY ρ=，可见它们无关。
14.
15. 设随机变量()~0,1X N ，()~0,1Y N 且相互独立，
U X Y V X Y =+??=-?
。 （1） 随机变量(),U V 的联合概率密度(),UV f u v ； （2） 随机变量U 与V 是否相互独立？ 解：（1）随机变量(),X Y 的联合概率密度为
()()222
2
1,,,2x y XY f x y e
x y R
π
+-
=∈
由反函数 22u v x u v y +?=???-?=??， 1112211222J ==-
-
， ()()()222
4
1
,,,,4u v UV XY f u v f x y J e
u v R π
+-
=?=∈
由于,
（3）
22224
4
4
1114u v u v e
e e π
+-
--????=? ? ? ? ??
???
()()()()2
,,UV U V f u v f u f v u v R =∈
所以随机变量U 与V 相互独立。 16. 17. 18. 19.
20. 已知对随机变量X 与Y ，有1EX =，3EY =，
()4D X =，()16D Y =，0.5XY ρ=，又设 3U X Y =+，
2V X Y =-，试求EU ，EV ，()D U ，()D V 和
(,)Cov U V 。
（22
()()D U EU EU =-）
解：首先，
22
()()5EX D X EX =+=，
22()()25EY D Y EY =+=。
又因为
()(,)7XY E XY Cov X Y EX EY EX EY ρ=+?=+?=
于是
(3)36EU E X Y EX EY =+=+=
(2)25EV E X Y EX EY =-=-=-
()2
2
2
2
222
()()3()(96)()76
D U EU EU
E X Y EU E X XY Y EU =-=+-=++-=
()2
2
2
2
222()()2()(44)()52
D V EV EV
E X Y EV E X XY Y EV =-=--=-+-=
[]22()(3)(2)(352)70E UV E X Y X Y E X XY Y =+-=--=-
(,)()40Cov U V E UV EU EV =-?=-
21. 22.
23. 已知随机变量X 服从[0,]a 上的均匀分布。随机变量
Y 服从[,]X a 上的均匀分布，试求
（1） (),(0)E Y X X a ≤≤； （2） EY
解：（1）对[0,]x a ∈有，
()2a X
E Y X +=
（2）
/23
(())2
24a X
a a EY E E Y X E a ++??===
=
???
24.
25. 设太空梭飞行中，宇宙粒子进入其仪器舱的数目N 服从（参数为λ）泊松分布。进舱后每个粒子造成损坏的概率为p ，彼此独立。求：造成损坏的粒子平均数目。解：每个粒子是否造成损坏用i X 表示
1,1,2,,0i X i N
?==?
?L 造成损坏没有造成损害
,
造成损坏的粒子数
1
N
i
i Y X ==∑ ，于是
()
1
1
(|)(|)
|n
i i n
i i E Y N n E X N n E X N n =======∑∑
可合理地认为N 和i X 是独立的，于是
()1
(|)n
i i E Y N n E X np
====∑
()()()()(|)E Y E E Y N E Np pE N p λ====
27． 若随机变量X 的概率特性如下，求其相应的特征函数：
（1）X 为常数c ，即{}1P X c ==；
（2）参数为2的泊松分布； （3）（－1，1）伯努利分布：
()0.4(1)0.6(1)f x x x δδ=-++
（4）指数分布：
30
3(),
x
x e f x -≥?=??其他
解：（1）()jvX jvc jvc X v E e E e e φ????===????
， 如果c=0，则()1X v φ=。
（2）
{}
()()0
00
1()!!jv jv jvX jvk X k k
jv k jvk k k e e
v E e e P X k e e e e k k e e e λλ
λλλφλλ∞
=∞
∞--==--??===??====∑∑∑
（3）()11()0.40.60.40.6jv jvX jv jv jv
X v E e e e e e φ--??==?+?=+??
（4）3(3)003
()333jvX
jvx x
jv x
X v E e e e dx e
dx jv φ+∞
+∞
--??==?==
??-??
28. 随机变量123,,X X X 彼此独立；且特征函数分别为
123(),(),()v v v φφφ，求下列随机变量的特征函数：
（1）12X X X =+； （2）123X X X X =++； （3）12323X X X X =++； （4）1232410X X X X =+++；
解：（1）12X X X =+
12()()()jvX
X v E e v v φφφ??==??
（2）123X X X X =++
同（1），123()()()()X v v v v φφφφ= （3）12323X X X X =++
123()()(2)(3)X v v v v φφφφ=
（4）1232410X X X X =+++
10
123()(2)()(4)jv X v e v v v φφφφ=
29. 随机变量X 具有下列特征函数，求其概率密度函数、均值、均方值与方差。
（1）2424()0.20.30.20.20.1j v j v j v j v v e e e e φ--=++++；
（2）()
0.30.7jv jv
v e e
φ-=+； （3）()4/(4)v jv φ=-
；
（4）()(sin5)/(5)v v v φ=；
解：（1）1()i
k
j v x i i v p e
φ==∑
()()1
k
i i i f x p x x δ==-∑
2424()0.20.30.20.20.1j v j v j v j v v e e e e φ--=++++
()()()()()()0.20.320.240.220.14f x x x x x x δδδδδ=+-+-++++
()()()(0)/20.340.220.240.10.6E X j
φ'==?+?+-?+-?=
()()()()22
2
2
2
2
(0)
20.340.220.240.1 6.8
E X
j φ''=-=?+?+-?+-?=
()()()22 6.80.36 6.44Var X E X E X =-=-=
（2）()
11
()
0.30.7jv jv v e
e
φ??-=+
()()()0.310.71f x x x δδ=-++
()()(0)/10.310.70.4E X j φ'==?+-?=-
()()()
2
2
2
2
(0)10.310.71E X
j φ''=-=?+-?=
()()()2210.160.84Var X E X E X =-=-= （3）()4/(4)v jv φ=-
()4/(4)v jv φ-=+
利用傅里叶变换公式，可知这是指数分布，
()44()x
f x e u x -=
()4/(4)v jv φ=-
()()(0)k k k E X j φ??=-??
()2
1
(0)/4(4)
4
v E X j jv φ-='==-= ()2
3
1(0)8(4)
8
v E X
jv φ-=''=-=-= ()()2
2
111
()81616
Var X E X E X =-=-=。
（4）()
()sin /2()2
/2x t p t sa τωτωτ
ττωτ??=?=
???
sin 51sin10/2()10()51010/2v v v v v v φφ??
==??=-???? ，利用傅里叶变换公式，可知这是均匀分布，
()1
,5510
0,x f x ?-<
()0E X =, ()2
1025123Var X ==,
()()()2
2
25
3E X Var X E X =+=
。
30. 利用傅立叶变换推导均匀分布的特征函数。
解：由于()f x 是宽度为b a -，高度为1b a -，中心在2
a b
+
处的矩形函数。即()1()2b a a b f x p x b a -+?
?=- ?-?? 其傅立叶变换为
[]()2sin ()/21
()()()/2jv a b v b a F v b a e b a v b a -+??-=?-???--??
()()X v F v φ-=Q
[]
[]
()2
sin ()2()()()2()jvb jva
jv a b X v b a e e v F v e v b a jv b a φ+--=-=
=
--
31. 32.
33. 设有高斯随机变量
2
~(,)X N μσ，试利用随机变量的矩发生特性（()
()(0)k k k E X j φ??=-??
）证明： (1) EX μ= (2) 222
EX σμ=+
(3) 323
3EX μσμ=+
解：特征函数为22
()exp(2)X v j v v φμσ=-
由矩发生性质，
222
2
()(0)()()e
X
j v v v EX j j j v μσφμσμ
-='=-=--=
222222
2
2
2
2
2
2
22
()(0)()()e e
X
j v v j v v v EX j j j v μσμσφμσσσμ
--=''=-??=---?
?=+22
22333
232
22
2
23
()(0)()()e 3()e
3X
j v v j v v v EX j j j v j v μσμσφμσσμσμσμ--='''=-??=----?
?=+