18.2.3 正方形
原创不容易，为有更多动力，请【关注、关注、关注】，谢谢！
随风潜入夜，润物细无声。出自杜甫的《春夜喜雨》
原创不容易，为有更多动力，请【关注、关注、关注】，谢谢！
令公桃李满天下，何用堂前更种花。出自白居易的《奉和令公绿野堂种花》
第1课时正方形的性质
1．掌握正方形的概念、性质，并会用它们进行有关的论证和计算；(重点) 2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别．(难点)
一、情境导入
做一做：用一张长方形的纸片(如图所示)折出一个正方形．学生在动手中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．
问题：什么样的四边形是正方形？
二、合作探究
探究点一：正方形的性质
【类型一】特殊平行四边形的性质的综合
菱形，矩形，正方形都具有的性质是( )
A．对角线相等且互相平分
B．对角线相等且互相垂直平分
C．对角线互相平分
D．四条边相等，四个角相等
解析：选项A不正确，菱形的对角线不相等；选项B不正确，菱形的对角线不相等，矩形的对角线不互相垂直；选项C正确，三者均具有此性质；选项D不正确，矩形的四条边不相等，菱形的四个角不相等．故选C.
方法总结：正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的所有性质．
【类型二】利用正方形的性质解决线段的计算或证明问题
如图所示，正方形ABCD的边长为1，AC是对角线，AE平分∠BAC，EF ⊥AC于点F.
(1)求证：BE＝CF；
(2)求BE的长．
解析：(1)由角平分线的性质可得到BE＝EF，再证明△CEF为等腰直角三角形，即可证BE＝CF；(2)设BE＝x，在△CEF中可表示出CE.由BC＝1，可列出方程，即可求得BE.
(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝90°.∵EF⊥AC，∴∠EFA＝90°.∵AE平分∠BAC，∴BE＝EF.又∵AC是正方形ABCD的对角线，∴AC平分∠BCD，∴∠ACB＝45°，∴∠FEC＝∠FCE＝45°，∴E＝FC，∴BE＝CF；
(2)解：设BE＝x，则EF＝CF＝x，CE＝1－x.在Rt△CEF中，由勾股定理得CE＝2x.∴2x＝1－x，解得x＝2－1，即BE的长为2－1.
方法总结：正方形被每条对角线分成两个直角三角形，被两条对角线分成四个等腰直角三角形，因此正方形的计算问题可以转化到直角三角形和等腰直角三角形中去解决．
【类型三】利用正方形的性质解决角的计算或证明问题
在正方形ABCD中，点F是边AB上一点，连接DF，点E为DF的中点．连
接BE 、CE 、AE .
(1求证：△AEB ≌△DEC ；
(2)当EB ＝BC 时，求∠AFD 的度数．
解析：(1)根据“正方形的四条边都相等”可得AB ＝CD ，根据“正方形每一个角都是直角”可得∠BAD ＝∠ADC ＝90°，再根据“直角三角形斜边上的中线等
于斜边的一半”可得AE ＝EF ＝DE ＝12DF ，根“等边对等角”可得∠EAD ＝∠EDA ，再得出∠BAE ＝∠CDE ，然后利用“SAS ”证明即可；(2)根据全等三角形对边相等”可得EB ＝EC ，再得出△BCE 是等边三角形．根据等边三角形的性质可得∠EBC ＝60°，然后求∠ABE ＝30°.再根据“等腰三角形两底角相等”求出∠BAE ，然后根据“等边对等角”可得∠AFD ＝∠BAE .
(1)证明：在正方形ABCD 中，AB ＝CD ，∠BAD ∠ADC ＝90°.∵E 为DF 中点，
∴AE ＝EF ＝DE ＝12
DF ，∴∠EAD ＝EDA .∵∠BAE ＝BAD －∠EAD ，∠CDE ＝∠ADC －∠EDA ，∴∠BAE ＝∠CDE .在△AEB 和△DEC 中，???AB ＝CD ，
∠BAE ＝∠CDE ，AE ＝DE ，
∴△AEB ≌△DEC (SAS)；
(2)解：∵△AEB ≌△EC ，∴EB ＝EC .∵EB ＝BC ，∴EB ＝BC ＝EC ，∴△BCE 是等边三角形，∴∠EBC ＝60，∴∠ABE ＝90°－60°＝30°.∵EB ＝BC ＝AB ，∴∠
BAE ＝12
×(180°－30°)＝75°.又∵AE ＝EF ，∴∠AFD ＝∠BAE ＝75°. 方法总结：正方形是最特殊的平行四边形，在正方形中进行计算时，要注意计算出相关的角的度数，要注意分析图形中有哪些相等的线段等．
探究点二：正方形性质的综合应用
【类型一】 利用正方形的性质解决线段的倍、分、和、差关系
如图，AE 是正方形ABCD 中∠BAC 的平分线，AE 分别交BD 、BC 于F 、E ，AC 、BD 相交于O .求证：
(1)BE ＝BF ；
(2)OF ＝12CE . 解析：(1)根据正方形的性质可求得∠ABE ＝∠AOF ＝90°.由于AE 是正方形ABCD 中∠BAC 的平分线，根据“等角的余角相等”即可求得∠AFO ＝∠AEB .根据“对顶角相等”即可求得∠BFE ＝∠AEB ，BE ＝BF ；(2)连接O 和AE 的中点G .根
据三角形的中位线的性质即可证得OG ∥BC ，OG ＝12
CE .根据平行线的性质即可求得∠OGF ＝∠FEB ，从而证得∠OGF ＝∠AFO ，OG ＝OF ，进而证得OF ＝12
CE . 证明：(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，∴∠ABE ＝∠AOF ＝90°，∴∠BAE ＋∠AEB ＝∠CAE ＋∠AFO ＝90°.∵AE 是∠BAC 的平分线，∴∠CAE ＝∠BAE ，∴∠AFO ＝∠AEB .又∵∠AFO ＝∠BFE ，∴∠BFE ＝∠AEB ，∴BE ＝BF ；
(2)连接O 和AE 的中点G .∵AO ＝CO ，AG ＝EG ，∴OG ∥BC ，OG ＝12
CE ，∴∠OGF ＝∠FEB .∵∠AFO ＝∠AEB ，∴∠OGF ＝∠AFO ，∴OG ＝OF ，∴OF ＝12
CE . 方法总结：在正方形的条件下证明线段的关系，通常的方法是连接对角线构造垂直平分线，利用垂直平分线的性质、中位线定理、角平分线、等腰三角形等知识来证明，有时也利用全等三角形来解决．
【类型二】 有关正方形性质的综合应用题
如图，正方形AFCE 中，D 是边CE 上一点，B 是CF 延长线上一点，且
AB ＝AD ，若四边形ABCD 的面积是24cm2.则AC 长是________cm.
解析：∵四边形AFCE 是正方形，∴AF ＝AE ，∠E ＝∠AFC ＝∠AFB ＝90°.在
Rt △AED 和Rt △AFB 中，???AD ＝AB ，AE ＝AF ，
∴Rt △AED ≌Rt △AFB (HL)，∴S △AED ＝S △AFB .∵S 四边形ABCD ＝24cm2，∴S 正方形AFCE ＝24cm2，∴AE ＝EC ＝26cm.根据勾股定理得AC ＝（26）2＋（26）2＝43(cm)．故答案为4 3.
方法总结：在解决与面积相关的问题时，可通过证三角形全等实现转化，使不规则图形的面积转变成我们熟悉的图形面积，从而解决问题．
三、板书设计
1．正方形的定义和性质
四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形．
对边平行，四条边都相等；四个角都是直角；对角线互相垂直、平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角．
2．正方形性质的综合应用
通过学生动手操作得出的结论归纳矩形和菱形的性质，继而得到正方形的性质，激起了学生的学习热情和兴趣．创设有意义的数学活动，使枯燥乏味的数学变得生动活泼．让学生觉得学习数学是快乐的，使学生保持一颗健康、好学、进取的心及一份浓厚的学习兴趣．
【素材积累】
1、2019年，文野31岁那年，买房后第二年，完成了人生中最重要的一次转变。这一年，他摘心里对自己的定位，从穷人变成了有钱人。一些人哪怕有钱了，心里也永远甩不脱穷的影子。
２、10月19 日下战书，草埠湖镇核心学校组织全镇小学老师收看了江苏省泰安市洋思中学校长秦培元摘宜昌所作的教训呈文录象。秦校长的讲演时光长达两
个多小时，题为《打造高效课堂实现减负增效全面提高学生素质》。
【素材积累】
不停地工作，即使慢，也一定会获得成功。大部分人往往对已经失去的机遇捶胸顿足，却对眼前的机遇熟视无睹。这个世界不符合所有人的梦想、只是有人学会遗忘，有人却一直坚持。如果你盼望明天，那必须先脚踏现实；如果你希望辉煌，那么你须脚不停步。