自我小测
1．已知正方体OABC －O ′A ′B ′C ′的棱长为1，若以OA ，OC ，OO ' 为基底，则向量OB '
的坐标是__________．
2．已知A (1,2，－1)关于面xOy 的对称点为B ，而B 关于x 轴对称的点为C ，则BC ＝
__________.
3．下列向量中与m ＝(0,2，－4)共线的向量是__________．
(1)(2,0，－4)；(2)(3,6，－12)； (3)10,,12??- ???
；(4)(0，－2,4)．
4．设A (3,3,1)，B (1,0,5)，C (0,1,0)，则AB 的中点M 到C 的距离CM 的值为__________． 又C (0,1,0)，所以CM ＝12,,32?? ???
，故M 到C 的距离为CM ＝|CM |＝
2=. 5．已知OA ＝(2,4,1)，OB ＝(3,7,5)，OC ＝(k,10，k ＋5)，若A ，B ，C 三点共线，则k 的值为__________．
6．若四边形ABCD 为平行四边形，且点A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，－5)，则顶点D 的坐标为__________．
7．已知向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(2,3，－1)，则p 在基底{a ，a ＋b ，a ＋b ＋c }下的坐标为__________．
8．如图所示的空间直角坐标系O －xyz 中，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标是
1,02?????
，D 点在平面yOz 上，BC ＝2，∠BDC ＝90°
，∠DCB ＝30°.
(1)求向量OD 的坐标；
(2)求向量AD 的坐标． 9．如图所示，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知DC ＝DD 1＝2AD ＝2AB ，AD ⊥DC ，
AB∥DC.设E是DC的中点，求证：D1E∥平面A1BD.
参考答案
1.答案：(1,1,1) 解析：由于OB ' ＝OA ＋OC ＋OO ' ，所以OB ' ＝(1,1,1).
2.答案：(0，－4，－2) 解析：B (1,2,1)，C (1，－2，－1)，BC ＝(1，－2，－1)－(1,2,1)
＝(0，－4，－2).
3.答案：(3)(4) 解析：∵10,,12?
?- ???＝14
(0,2，－4)，(0，－2,4)＝－(0,2,4)，∴填(3)(4). 4.
答案：
解析：AB 中点M 32,,32?? ???
， 5.答案：4 解析：AB ＝OB －OA ＝(1,3,4)，
AC ＝OC －OA ＝(k －2,6，k ＋4)，
∵A ，B ，C 共线，且AB ≠0，∴AC ＝λAB . ∴k －2＝λ，6＝3λ，k ＋4＝4λ，
∴λ＝2，k ＝4.
6.答案：(5,13，－3) 解析：设D (x ，y ，z ).由AB ＝DC ，
得(2－4，－5－1,1－3)＝(3－x,7－y ，－5－z ).
∴x ＝5，y ＝13，z ＝－3.
7.答案：(－1,4，－1) 解析：由已知可知p ＝2a ＋3b －c ，
设p ＝x a ＋y (a ＋b )＋z (a ＋b ＋c )＝(x ＋y ＋z )a ＋(y ＋z )b ＋z c .
由向量分解的惟一性，
有2,3,1,x y z y z z ++=??+=??=-?解得1,4,1.x y z =-??=??=-?
∴p 在基底{a ，a ＋b ，a ＋b ＋c }下的坐标为(－1,4，－1).
8.答案：解：(1)如图，在平面yOz 上，过D 点作DH ⊥BC ，垂足为H ，在△DBC 中，
由∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，BC ＝2，
可知BD ＝12
BC ＝1，
DH ＝BD sin ∠DBH ＝1=∴BH ＝12BD ＝12，OH ＝12
.
∴D 点坐标为10,,22?
- ??
，
则OD ＝10,2?- ??
.
(2)由OA ＝1,02?????，OD ＝10,2?- ?
?，
∴AD ＝OD －OA ＝?- ??
.
9.答案：证明：以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．
设DA ＝a ，由题意知D (0,0,0)，A (a ,0,0)，B (a ，a ,0)，C (0,2a ,0)，C 1(0,2a ,2a )，A 1(a ,0,2a )，D 1(0,0,2a )，E (0，a ,0)．
∴1D E ＝(0，a ，－2a )，1A B ＝(0，a ，－2a )，
∴1D E ＝1A B ，∴D 1E ∥A 1B .
∵A 1B ?平面A 1BD ，D 1E ?平面A 1BD ，
∴D 1E ∥平面A 1BD .
《空间向量运算的坐标表示》——说课稿 各位评委、老师：大家好！ 今天我说课的内容是《空间向量运算的坐标表示》的第一课时，我将从教材分析、教学目标、学生情况、教法学法分析、教学过程、教学效果及反思六个方面来介绍： 一、教材分析 （一）地位和作用 本节课内容选自人教数学选修2-1第三章，这节课是在学生学习了空间向量几何形式及其运算、空间向量基本定理的基础上进一步学习的知识内容，是在学生已经学过的二维的平面直角坐标系的基础上的推广，是《空间向量运算的坐标表示》的第一课时，是以后学习“立体几何中的向量方法”等内容的基础。它将数与形紧密地结合起来。这节课学完后，如把几何体放入空间直角坐标系中来研究，几何体上的点就有了坐标表示，一些题目如两点间距离、异面直线成的角等就可借助于空间向量来解答，所以，这节课对于沟通高中各部分知识，完善学生的认知结构，起到了很重要的作用。 （二）目标的确定及分析 根据新课标和我对教材的理解，结合学生实际水平，从知识与技能；过程和方法；情感态度价值观三个层面出发，我将本课的目标定位以下三个：（1）知识与技能：通过与平面向量类比学习并掌握空间向量加法、减法、数乘、数量积运算的坐标表示以及向量的长度、夹角公式的坐标表示，并能初步应用这些知识解决简单的立体几何问题。（2）过程与方法：①通过将空间向量运算与熟悉的平面向量的运算进行类比，使学生掌握空间向量运算的坐标表示，渗透类比的数学方法；②会用空间向量运算的坐标表示解决简单的立体几何问题，体会向量方法在研究空间图形中的作用，培养学生的空间想象能力和几何直观能力。（3）情感态度价值观：通过提问、讨论、合作、探究等主动参与教学的活动，培养学生主人翁意识、集体主义精神。 （三）重难点的确定及分析 本节课的重点是：空间向量运算的坐标表示，应用向量法求两条异面直线所
第三章空间向量与立体几何 1.空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）向量一般用有向线段表示.同向等长的有向线段表示同一或相等的 向量。 （2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。 空间向量的运算。 定义：与平面向量运算一 样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。 ⑵加法结合律：（a b ） c ⑶数乘分配律：（a b ） 3. 共线向量。 （1） 如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量 也叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作a 〃b 。 当我们说向量a 、b 共线（或a// b ）时，表示a 、b 的有向线段所在的直线 可能是同一直线，也可能是平行直线。 （2） 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （ b 工0 ），a// b 存在实数入， 使a =入b 。 4. 共面向量 （1） 定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。r r （2） 共面向量定理：如果两个向量a,b 不共线，P 与向量a,b 共面的条件是 存在实数x, y 使p xa yb 。 5. 空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c 不共面，那么对空间任一向量P ， 存在一个唯一的有序实数组x, y,z ，使p xa yb zc 。 若三向量ab,c 不共面，我们把｛a,b,c ｝叫做空间的一个基底，a,b,c 叫做基向 2. uuu r OB a b a (b c) b a
量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 推论：设O,代B,C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个 uuu uuu uuu uuur 有序实数x, y,z，使OP xOA yOB zOC。
高中数学 - 空间向量及向量的应用 空间直角坐标系的原则： 规定：一切空间向量的起点都是坐标系原点，于是，空间任意一个向量与它的终点坐标一一对应 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 设 ， ， 空间向量的直角坐标运算： 空间两点间距离： ； 1：利用空间向量证明空间位置关系（同平面向量） 2：利用空间向量求线线角、线面角 1 ）异面直线所成角 设 分别为异面直线 的方向向量，则 则： 空间线段 的中点 M （x ，y ，z ）的坐标：
2 ）线面角 设 是直线 l 的方向向量， n 是平面的法向量，则 3 ：利用空间向量求二面角 其计算公式为：设 分别为平面 的法向量，则 与 互补或相等， 操作方法： 1．空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。 ①棱上一点双垂线法：②面上一点三垂线法：③空间一点垂面法： 斜面面积和射影面积的关系公式： S S cos （ S 为原斜面面积 , S 为射影面积 , 为斜面与射影所成二面 角的平面角 ）这个公式对于斜面为三角 形 , 任意多边形都成立 . 是求二面角的好方法 .当作二面角的平面角有困难时 如果能找得斜面面积的射影面积 ,可直接应用公式 ,求出二面角的大小。 2．空间的距离 点线距，点面距，线线距，线面距，面面距都是对应图形上两点间的最短距离 3．空间向量的应用 （1）用法向量求异面直线间的距离 2）直线与平面所成的角的范围是 [0, ] 。射影转化法 2 方法 3）二面角的范围一般是指 （0, ]，解题时要注意图形的位置和题目的要求。作二面角的平面角常有三种 1）异面直线所成的角的范围 是 b F
高中数学的空间向量知识 基本内容 空间向量作为新加入的内容，在处理空间问题中具有相当的优越性，比原来处理空间问题的方法更有灵活性。 如把立体几何中的线面关系问题及求角求距离问题转化为用向量解决，如何取向量或建立空间坐标系，找到所论证的平行垂直等关系，所求的角和距离用向量怎样来表达是问题的关键．立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。这里比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，起到一个抛砖引玉的作用。 以下用向量法求解的简单常识： 1、空间一点P位于平面MAB的充要条件是存在唯一的有序实数对x、y，使得PM=xPA+yPB(其中PM等为向量，由于图不方便做就如此代替，下同） 2、对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，若：OP=xOA+yOB+zOC （其中x＋y＋z=1），则四点P、A、B、C共面． 3、利用向量证a‖b，就是分别在a，b上取向量（k∈R）． 4、利用向量证在线a⊥b，就是分别在a，b上取向量． 5、利用向量求两直线a与b的夹角，就是分别在a，b上取，求：的问题． 6、利用向量求距离就是转化成求向量的模问题：． 7、利用坐标法研究线面关系或求角和距离，关键是建立正确的空间直角坐标系，正确表达已知点的坐标． 首先该图形能建坐标系 如果能建 则先要会求面的法向量 求面的法向量的方法是 1。尽量在空中找到与面垂直的向量 2。如果找不到，那么就设n=（x,y,z） 然后因为法向量垂直于面 所以n垂直于面内两相交直线
第三章空间向量与立体几何 空间向量及其运算（一） 教学目标： ㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律； ㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法； ⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； ⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． ㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物． 教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律． 教学难点：应用向量解决立体几何问题． 教学方法：讨论式． 教学过程： Ⅰ.复习引入 ［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量向量是怎样表示的呢 ［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有： ①用有向线段表示； ②用字母a、b等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：AB． ［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量. ［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向
量运算： ⒈向量的加法： ⒉向量的减法： ⒊实数与向量的积： 实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a| (2)当λ＞0时，λa与a同向； 当λ＜0时，λa与a反向； 当λ＝0时，λa＝0. ［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢 ［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律 加法交换律：a＋b＝b＋a 加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c） 数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb ［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本P26～P27． Ⅱ.新课讲授 ［师］如同平面向量的概念，我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量．例如空间的一个平移就是一个向量．那么我们怎样表示空间向量呢相等的向量又是怎样表示的呢［生］与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量． ［师］由以上知识可知，向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的．
高中数学空间向量训练题（含解析） 一．选择题 1．已知M、N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，点P在线MN上，且MP=2PN，设向量=，=，=，则=（） A．++B．++C．++D．++ 2．已知=（2，﹣1，2），=（﹣1，3，﹣3），=（13，6，λ），若向量，，共面，则λ=（） A．2 B．3 C．4 D．6 3．空间中，与向量同向共线的单位向量为（） A．B．或 C． D．或 4．已知向量，且，则x的值为（） A．12 B．10 C．﹣14 D．14 5．若A，B，C不共线，对于空间任意一点O都有=++，则P，A，B，C四点（） A．不共面B．共面C．共线D．不共线 6．已知平面α的法向量是（2，3，﹣1），平面β的法向量是（4，λ，﹣2），若α∥β，则λ的值是（）
A．B．﹣6 C．6 D． 7．已知，则的最小值是（）A．B．C．D． 8．有四个命题：①若=x+y，则与、共面；②若与、共面，则=x+y；③若=x+y，则P，M，A，B共面；④若P，M，A，B共面，则=x+y．其中真命题的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 9．已知向量=（2，﹣1，1），=（1，2，1），则以，为邻边的平行四边形的面积为（）A．B．C．4 D．8 10．如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（） A．B． C．D． 11．正方体ABCDA1B1C1D1中，直线DD1与平面A1BC1所成角的正弦值为（） A． B． C．D． 二．填空题（共5小题） 12．已知向量=（k，12，1），=（4，5，1），=（﹣k，10，1），且A、B、C三点共线，则k= ． 13．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，MN是正方体内切球的直径，P为正方体表面上的动点，则?的最大值为． 14．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果=（2，﹣1，﹣4），=（4，
空间向量的坐标运算 第一课时空间直角坐标系 教学目标： ㈠知识目标： ⒈空间直角坐标系； ⒉空间向量的坐标表示； ⒊空间向量的坐标运算； ⒋平行向量、垂直向量坐标之间的关系； 5.中点公式。 ㈡能力目标： ⒈掌握空间右手直角坐标系的概念，会确定一些简单几何体（正方体、长方体）的顶点坐标； ⒉掌握空间向量坐标运算的规律； 3.会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直； 4.会用中点坐标公式解决有关问题。 教学重点：空间右手直角坐标系，向量的坐标运算 教学难点：向量坐标的确定 教学方法：讨论法． 教具准备：多媒体投影． 教学过程： 复习回顾 空间向量基本定理 探索研究 1、空间右手直角坐标系的概念 ⑴单位正交基底如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用{i,j,k}表示。 ⑵空间直角坐标系O－xyz 在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k}，以点O 为原点，分别以i、j、k的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们说建立了一个直角坐标系O－xyz，点O叫做原点，向量i,j,k叫做坐标向 量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz平面，zOx平面。 ⑶空间直角坐标系的画法作空间直角坐标系O－xyz 时，一般使∠xOy＝135°(或45°),∠yOz＝90°。 注：在空间直角坐标系O－xyz中，让右手拇指指向x轴 的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指能指向z轴的正 方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。 ⑷空间向量的坐标表示给定一空间直角坐标系和向
向量的直角坐标运算设a=(a 1,a 2,a 3),b=(b 1,b 2,b 3)，则a+b=(a 1+b 1,a 2+b 2,a 3+b 3) a －b=(a 1－ b 1,a 2－b 2,a 3－b 3)λa=(λa 1,λa 2,λa 3) a ?b=a 1 b 1+a 2b 2+a 2b 2 a//b a 1=λb 1,a 2=λb 2,a 3=λb 3(λ∈R)a ⊥b a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0设A(x 1,y 1,z 1),B(x 2,y 2,z 2)，则 AB ＝OB －OA ＝(x 2－x 1,y 2－y 1,z 2－z 1) 量a ，且设i,j,k 为坐标向量（如图），由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（a 1,a 2,a 3）叫做向量a 在此直角坐标系中的坐标，可简记作a ＝（a 1,a 2,a 3）。 在空间直角坐标系O －xyz 中，对于空间任一点A ，对应一个向量OA ，若 ,k z j y i x OA ++=则有序数组(x,y,z)叫做点A 在 此空间直角坐标系中的坐标，记为A(x,y,z)，其中x 叫做A 的横坐标，y 叫做点A 的纵坐标，z 叫做点A 的竖坐标，写点的坐标时，三个坐标间的顺序不能变。 ⑸空间任一点P 的坐标的确定 过P 分别作三个与坐标平面平行的平面（或垂面），分别交坐标轴于A 、B 、C 三点，|x|=|OA|,|y|=|OB|,|z|=|OC|,当OA 与i 方向相同时，x ＞0，反之x ＜0，同理可确定y 、z （如图） 例1已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为2的正方体，E 、F 分别是BB 1和DC 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出图中各点的坐标。 分析：要求点E 的坐标，过点E 与x 轴、y 轴垂直的平面已存在，只要过E 作平面垂直于z 轴交E ‘ 点，此时|x|＝|,|DA |y|＝|,|DC |z|＝||'DE ，当DA 的方向与x 轴正向相同时，x ＞0，反之x ＜0，同理确定y 、z 的符号，这样可求得点E 的坐标。 解：D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2)， A 1(2,0,2)， B 1(2,2,2)， C 1(0,2,2)，, D 1(0,0,2)，E(2,2,1)，F(0,1,0) 2、向量的直角坐标运算 注：3 32 21 1i 321321b a b a b a b //a 1,2,3),0(i b ),b ,b ,(b b ),a ,a ,(a a = = ? =≠==则若
3.1.5 空间向量的数量积 课时目标 1.掌握空间向量的夹角及空间向量数量积的概念.2.掌握空间向量的运算律及其坐标运算.3.掌握空间向量数量积的应用． 1．两向量的夹角 如图所示，a,b 是空间两个非零向量，过空间任意一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则__________ 叫做向量a 与向量b 的夹角，记作__________． 如果〈a ，b 〉＝π2 ，那么向量a ，b ______________，记作__________． 2．数量积的定义 已知两个非零向量a ，b ，则____________叫做向量a ，b 的数量积，记作a·b . 即a·b ＝__________. 零向量与任一向量的数量积为0. 特别地，a·a ＝|a|·|a|cos 〈a ，a 〉＝________. 3．数量积的运算律 空间向量的数量积满足如下的运算律： (λa )·b ＝λ(a·b ) (λ∈R )； a·b ＝b·a ； a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c . 4．数量积的坐标运算 若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则 (1)a·b ＝________________； (2)a ⊥b ?__________?____________________________； (3)|a |＝a·a ＝______________； (4)cos 〈a ，b 〉＝____________＝_________________________________________. 一、填空题 1．若a ，b 均为非零向量，则a·b ＝|a||b |是a 与b 共线的____________条件． 2．已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a ＋3b |＝________. 3．已知向量a ＝(0，－1,1)，b ＝(4,1,0)，|λa ＋b |＝29且λ>0，则λ＝________. 4．若a 、b 、c 为任意向量，下列命题是真命题的是____．(写出所有符合要求的序号) ①若|a |＝|b |，则a ＝b ； ②若a·b ＝a·c ，则b ＝c ； ③(a·b )·c ＝(b·c )·a ＝(c·a )·b ； ④若|a |＝2|b |，且a 与b 夹角为45°，则(a －b )⊥b . 5．已知向量a ＝(2，－3,0)，b ＝(k,0,3)，若a 与b 成120°角，则k ＝________. 6.设O 为坐标原点，向量OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运 动，则当QA →·QB →取得最小值时，点Q 的坐标为________． 7．向量(a ＋3b )⊥(7a －5b )，(a －4b )⊥(7a －2b )，则a 和b 的夹角为____________． 8．若向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为π3 ，则|a ＋b |＝________. 二、解答题
高中数学-空间向量及向量的应用 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 设血勺乃召），氓叫?乃w ）， AB = OB-OA=（^y 2l 切—（吊丹 丑）=（乃—咛乃—丹 勺一匂） 空间向量的直角坐标运算： 设Q = 2],砌，色3 $ =1鹉毎妇则； ① 口+ b= P],曲，电 宀|俎,给禺 ?=I 角十知鬥 +為、屯 +鸟I ? ② a-b = \ a^a 2,a 21■ 诲.场岛i =（业一％ 气-如 码一為 帀 ③ 加=兄I 曲卫2，? ' = I 現珂"久卷 '（/i e 7?）； ④ 总■&= |气命4 片妇任 | = &占 + 逐血 +&並： ⑤ 口0Fe 鱼二 空三生=左或。『舌寻口[三碣‘ - 冊节 处二赵; 对? $ ⑥ 7丄匸q 口血十口曲十m 禺=0 ； 空间两点间距离:丄“ 「 1 :利用空间向量证明空间位置关系（同平面向量） 2:利用空间向量求线线角、线面角 （1）异面直线所成角Z ? gw 设Q”分别为异面直线讥的方向向量，则 则: 空间线段 的中点M （x ，y ，z ）的坐标: 空间直角坐标系的原则: 规定：一切空间向量的起点都是坐标系原点，于是，空间任意一个向量与它的终点坐标一一对应
(2) 线面角凰打殳《是直线l 的方向向量，n 是平面的法向量，则 3 :利用空间向量求二面角 其计算公式为：设 加“分别为平面G 8的法向量，则 与，剤7 互补或相等, - ? ? . m * n |( csfl i = | A>| = I 忘I * I 云I 操作方法： 1 ?空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。 ①棱上一点双垂线法：②面上一点三垂线法：③空间一点垂面法: 斜面面积和射影面积的关系公式： S S cos (S 为原斜面面积，S 为射影面积，为斜面与射影所成二面 角的平面角)这个公式对于斜面为三角形 ,任意多边形都成立.是求二面角的好方法.当作二面角的平面角有困难时 如果能找得斜面面积的射影面积 ，可直接应用公式，求岀二面角的大小。 2 ?空间的距离 点线距，点面距，线线距，线面距，面面距都是对应图形上两点间的最短距离 3 ?空间向量的应用 (1 )用法向量求异面直线间的距离 CQS P rris-：欧 * b (1)异面直线所成的角的范围是 (2 )直线与平面所成的角的范围是 ［0,—］。射影转 化法 2 方法 (3 )二面角的范围一般是指 (0,］，解题时要注意图形的位置和题目的要求。作二面角的平面角常有三种 b F
空间向量知识点归纳总结 知识要点。 1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 （2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。 2. 空间向量的运算。 3. 共线向量。 （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量， a 平行于 b ，记作b a //。 》 （2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a b a b 共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。 （2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使 p xa yb =+。 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组 ,,x y z ，使p xa yb zc =++。 若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使 OP xOA yOB zOC =++。 6. 空间向量的直角坐标系： ~ （1）空间直角坐标系中的坐标： （2）空间向量的直角坐标运算律： ①若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++， 112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈， 112233a b a b a b a b ?=++， 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ?===∈， 1122330a b a b a b a b ⊥?++=。 ②若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---。 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 》
高二数学（选修2-1 ）空间向量试题 宝鸡铁一中司婷 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的 代号填在题后的括号内（每小题 5 分，共 60 分）． 1．在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB＝2BB1，则 AB1与 C1B 所成的角的大小为（）A． 60°B． 90°C． 105°D．75° 2．如图，ABCD—A1B1C1D1是正方体，B1E1＝D1F1＝A 1 B 1 ，则 BE1 4 与 DF1所成角的余弦值是（） A．15 B． 1 172 图 8 D．3 C． 2 17 3．如图， 1 1 1—是直三棱柱，∠=90°，点1、 1 分别是 1 1、 A B C ABC BCA D F A B A1C1的中点，若 BC=CA=CC1，则 BD1与 AF1所成角的余弦值是（） A．C． 301 10 B． 2 30图 15 15 D． 10 4．正四棱锥S ABCD 的高 SO 2 ，底边长AB 2 ，则异面直线BD 和 SC 之间的距离（） ．15．5C． 2 5 A5B55 5．已知ABC A1 B1 C1是各条棱长均等于 a 的正三棱柱， D 是侧棱 CC1的中点．点 C1到平面 AB1 D 的距离（） A． 2 a B． 2 a 48A 1D． 5 C1 10B1 D A C B图
C．3 2 a D． 2 a 42 6．在棱长为 1 的正方体ABCD A1 B1C1D1中，则平面 AB1C 与平面 A1 C1 D 间的距离（） A．3B．3C．2 3 D．3 6332 7．在三棱锥－中，⊥，＝＝1，点、 D 分别是、的中点，⊥底 P ABC AB BC AB BC2PA O AC PC OP 面 ABC，则直线 OD与平面 PBC所成角的正弦值（） A．21B．8 3 C210 D ．210 636030 8．在直三棱柱ABC A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB 90，侧棱 AA1 2 ，D，E 分别是CC1与A1B的中点，点 E 在平面AB D 上的射影是ABD 的重心G．则A1B 与平面 AB D所成角的余弦值（） A． 2 B． 7 C． 3 D． 3 3327 9．正三棱柱ABC A1 B1C1的底面边长为3，侧棱AA13 3 ，D是C B延长线上一点，2 且 BD BC ，则二面角B1AD B 的大小（） A． 3B． 6 C． 5 D． 2 63 10．正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，底面边长为 2 2 ，侧棱长为4， E，F 分别为棱AB，CD的中点，EF BD G ．则三棱锥B1EFD1的体积V（） A．6B．16 3C．16 D．16 633 11．有以下命题： ①如果向量 a, b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么a, b 的关系是不共线； ② O , A, B,C 为空间四点，且向量OA, OB, OC不构成空间的一个基底，则点 O, A, B,C 一定共面； ③已知向量 a, b, c 是空间的一个基底，则向量 a b, a b, c 也是空间的一个基底。其中
第35讲 空间坐标系与空间向量 一、 考情分析 1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置； 2.借助特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式； 3.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示； 4.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示； 5.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直. 二、 知识梳理 1.空间向量的有关概念 2.空间向量的有关定理 (1)共线向量定理：两个空间向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在唯一的实数x ，使a ＝x b . (2)共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，则向量c 与向量a ，b 共面的充要条件是，存在唯一的一对实数x ，y ，使c ＝x a ＋y b . (3)空间向量分解定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使p ＝x a ＋y b ＋z c . 3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角：已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是[0，π]，若〈a ，b 〉＝π 2，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b . ②非零向量a ，b 的数量积a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉.
(2)空间向量数量积的运算律： ①结合律：(λa )·b ＝λ(a·b )； ②交换律：a·b ＝b·a ； ③分配律：a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c . 4.空间向量的坐标表示及其应用 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3). [微点提醒] 1.在平面中A ，B ，C 三点共线的充要条件是：OA →＝xOB →＋yOC →(其中x ＋y ＝1)，O 为平面内任意一点. 2.在空间中P ，A ，B ，C 四点共面的充要条件是：OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ＋y ＋z ＝1)，O 为空间任意一点. 3.向量的数量积满足交换律、分配律，即a ·b ＝b ·a ，a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c 成立，但不满足结合律，即(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )不一定成立. 4.若向量α的投影向量是γ，则向量α－γ与向量γ垂直，当向量γ与向量α起点相同时，终点间的距离最小. 三、 经典例题 考点一 空间向量的线性运算
空间向量及其运算 【高考导航】 本节内容是高中教材新增加的内容，在近两年的高考考查中多作为解题的方法进行考查，主要是解题的方法上因引入向量得以扩展.例如2001上海5分，2002上海5分. 【学法点拨】 本节共有4个知识点：空间向量及其线性运算、共线向量与共面向量、空间向量的分解定理、两个向量的数量积.这一节是空间向量的重点，在学习本节内容时要与平面向量的知识结合起来，认识到研究的范围已由平面扩大到空间.一个向量是空间的一个平移，两个不平行向量确定的是一个平行平面集，在此基础上，把平行向量基本定理和平面向量基本定理推广到空间，得出空间直线与平面的表达式，有了这两个表达式，我们可以很方便地解决空间的共线和共面问题.空间向量基本定理是空间几何研究代数化的基础，有了这个定理，整个空间被3个不共面的基向量所确定，空间一个点或一个向量和实数组（x ，y ，z ）建立起一一对应关系，空间向量的数量积一节中，由于空间任一向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义、取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同. 【基础知识必备】 一、必记知识精选 1.空间向量的定义 (1)向量：在空间中具有大小和方向的量叫作向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量. (2)向量的表示有三种形式：a ,AB ，有向线段. 2.空间向量的加法、减法及数乘运算. (1)空间向量的加法.满足三角形法则和平行四边形法则，可简记为:首尾相连，由首到尾.求空间若干个向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量.首尾相接的若干个向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0，即21A A +32A A +…1A A n =0. (2)空间向量的减法.减法满足三角形法则,让减数向量与被减数向量的起点相同,差向量由减数向量的终点指向被减数向量的终点,可简记为“起点相同,指向一定”,另外要注意 -=的逆应用. (3)空间向量的数量积.注意其结果仍为一向量. 3.共线向量与共面向量的定义. (1)如果表示空间向量的有向线段在直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共线向量或平行向量.对于空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b ?a=λb ,若A 、B 、P 三点共线,则对空间任意一点O ,存在实数t,使得OP =(1-t)OA +t OB ,当t=2 1 时,P 是线段AB 的中点,则中点公式为OP = 2 1 (OA +). (2)如果向量a 所在直线O A 平行于平面α或a 在α内,则记为a ∥α,平行于同一个平面的
空间向量单元测试（一） 本试卷分第Ⅰ卷和第II 卷两部分.共150分. 第Ⅰ卷（选择题，共50分） 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的） 1．在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异 面直线，则、一定不共面；③若、、三向量两两共面，则、、三向量一定 也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为 z y x ++=．其中正确命题的个数为 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量1D A 、1D C 、11C A 是 （ ） A ．有相同起点的向量 B ．等长向量 C ．共面向量 D ．不共面向量 3．若向量λμλμλ且向量和垂直向量R b a n b a m ∈+=,(,、则)0≠μ （ ） A ．// B ．⊥ C ．也不垂直于不平行于, D ．以上三种情况都可能 4．已知＝（2，－1，3），＝（－1，4，－2），＝（7，5，λ），若、、三向量共 面，则实数λ等于 （ ） A ．627 B ．637 C ．647 D ．65 7 5．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CC ===1,,， 则1A B = （ ） A ．a +b －c B ．a －b +c C ．－a +b +c D ．－a +b －c 6．已知++＝，||＝2，||＝3，||＝19，则向量与之间的夹角>数学选修2-1 3.1空间向量及其运算教案
第三章空间向量与立体几何 §3.1空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算 师：这节课我们学习空间向量及其加减运算，请看学习目标。 学习目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法； ⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； ⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 师：在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了平面向量的一些知识，现在我们一起来复习。（不要翻书） （在黑板或背投上呈现或边说边写） 1、在平面中，我们把具有__________________的量叫做平面向量； 2、平面向量的表示方法：
① 几何表示法：_________________________ ② 字母表示法：_________________________ （注意：向量手写体一定要带箭头） 3、平面向量的模表示_________________，记作____________ 4、一些特殊的平面向量： ① 零向量：__________________________，记作___（零向量的方向具有任意性） ② 单位向量：______________________________ （强调：都只限制了大小，不确定方向） ③ 相等向量：____________________________ ④ 相反向量：____________________________ 5、平面向量的加法： 6、平面向量的减法： 7、平面向量的数乘：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，其长度和方向规定如下： (1)|λa |＝|λ||a | (2)当λ＞0时，λa 与a 同向； 当λ＜0时，λa 与a 反向； 当λ＝0时，λa ＝0. 8、向量加法和数乘向量满足以下运算律 加法交换律：a ＋b ＝b ＋a 加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋（b ＋c ） 数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb 数乘结合律：λ（a μ）=a )(λμ [师]：刚才我们复习了平面向量，那空间向量会是怎样，与平面向量有怎样的区别和联系呢?请同学们阅读书P84-P86.（5分钟） [师]：对比平面向量，我们得到空间向量的相关概念。（在刚复习的黑板或幻灯片上，只需将平面改成空间） [师]：空间向量与平面向量有什么联系？ [生]：向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的．所以凡涉及 空间两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。
第三章 空间向量与立体几何 1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 （2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。 2. 空间向量的运算。 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。 OB OA AB a b =+=+u u u r u u u r u u u r v r ;BA OA OB a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r ;()OP a R λλ=∈u u u r r 运算律：⑴加法交换律：a b b a ? ??ρ+=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ? ???ρ?++=++ ⑶数乘分配律：b a b a ? ???λλλ+=+)( 3. 共线向量。 （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量 也叫做共线向量或平行向量，a ρ平行于b ρ，记作b a ρ ?//。 当我们说向量a ρ、b ρ共线（或a ρ//b ρ）时，表示a ρ、b ρ 的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。 （2）共线向量定理：空间任意两个向量a ρ、b ρ（b ρ≠0ρ），a ρ//b ρ 存在实数λ， 使a ρ ＝λb ρ。 4. 共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。 （2）共面向量定理：如果两个向量,a b r r 不共线，p r 与向量,a b r r 共面的条件是 存在实数,x y 使p xa yb =+r r r 。 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c r r r 不共面，那么对空间任一向量p r ， 存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++r r r r 。 若三向量,,a b c r r r 不共面，我们把{,,}a b c r r r 叫做空间的一个基底，,,a b c r r r 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个 有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r 。
高中数学空间向量之--平面法向量的求法及其应用 一、 平面的法向量 1、定义：如果α⊥→ a ，那么向量→ a 叫做平面α的法向量。平面α的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。 2、平面法向量的求法 方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面α的法向量(,,1)n x y =[或(,1,)n x z =，或( 1,,)n y z =]，在平面α内任找两个不共线的向量,a b 。由n α⊥，得0n a ?=且0n b ?=，由此得到关于,x y 的方程组，解此方程组即可得到n 。 方法二：任何一个z y x ,,的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是z y x ,,的一次方程。 0=+++D Cz By Ax )0,,(不同时为C B A ，称为平面的一般方程。其法向量),,(C B A n =→ ;若平面与3个坐 标轴的交点为),0,0(),0,,0(),0,0,(321c P b P a P ,如图所示,则平面方程为:1=++c z b y a x ,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。 方法三(外积法): 设 , 为空间中两个不平行的非零向量，其外积→ → ?b a 为一长度等于θsin ||||→ → b a ，（θ 为 ,两者交角，且πθ<<0），而与 , 皆垂直的向量。通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由 的方向转为 的方向时，大拇指所指的方向规定为→→?b a 的方向,→ →→→?-=?a b b a 。 :),,,(),,,(222111则设z y x b z y x a ==→ → ??=?→ → 21y y b a ,2 1z z 21x x - ,21z z 21x x ???? 21y y （注：1、二阶行列式:c a M = cb ad d b -=；2、适合右手定则。 ） 例1、 已知，)1,2,1(),0,1,2(-==→ → b a ， 试求（1）：;→ → ?b a （2）：.→ →?a b Key: (1) )5,2,1(-=?→ → b a ;)5,2,1()2(-=?→ → a b 例2、如图1-1,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中， 求平面AEF 的一个法向量n 。 )2,2,1(:=?=→ →→AE AF n key 法向量
空间向量与立体几何 一、知识网络： 二．考纲要求： （1）空间向量及其运算 ①经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； ②了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示； ③掌握空间向量的线性运算及其坐标表示； ④掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 （2）空间向量的应用 ①理解直线的方向向量与平面的法向量； ②能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系； ③能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）； ④能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。 三、命题走向 本章内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本章是立体几何的核心内容，高考对本章的考查形式为：以客观题形式考查空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。 预测10年高考对本章内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教材上淡化了利
用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。 第一课时 空间向量及其运算 一、复习目标：1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2．了解空间向量的基本定理； 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 二、重难点：理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 三、教学方法：探析类比归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、谈最新考纲要求及新课标高考命题考查情况，促使积极参与。 学生阅读复资P128页，教师点评，增强目标和参与意识。 （二）、知识梳理，方法定位。（学生完成复资P128页填空题，教师准对问题讲评）。 1．空间向量的概念 向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。 说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。 说明：①引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。 3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量 叫做共线向量或平行向量。a 平行于b 记作a ∥b 。 注意：当我们说a 、b 共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当 我们说a 、b 平行时，也具有同样的意义。 共线向量定理：对空间任意两个向量a （a ≠0）、b ，a ∥b 的充要条件是存在实数 使b ＝ a