习 题 二 解 答
1. 两个零和对策问题.两个儿童玩石头--剪刀--布的游戏，每人的出法只能在{石头--剪刀--布}选择一种，当他们各选定一个出法（亦称策略）时，就确定了一个“局势”，也就得出了各自的输赢.若规定胜者得1分，负者得-1分，平手各得零分，则对于各种可能的局势（每一局势得分之和为零即零和），试用赢得矩阵来表示的A 得分.
解
011101110B A
→-?? ?- ? ?-??↓
策略石头剪刀布石头策剪刀略布
删了2. 有6名选手参加乒乓球比赛，成绩如下：选手1胜选手2，4，5，6负于3；选手2胜选手4，5，6负于1，3；选手3胜选手1，2，4负于5，6；选手4胜选手5，6负于1，2，3；选手5胜选手3，6负于1，2，4；若胜一场得1分，负一场得零分试用矩阵表示输赢状况，并排序.
解 123456
11011120
011131
110040001150010160
0100??
?
? ? ?
? ?
? ???
，选手按胜多负少排序为1 2 3 4 5 6.
2. 某种物资以3个产地运往4个销地，两次调运方案分别为矩阵A 与矩阵B .且
357220430123A ?? ?= ? ???，132021570648B ?? ?= ? ???
试用矩阵表示各产地运往各销地两次的物资调运量.
解 357213202043215701230648A B ????
? ?
+=+ ? ? ? ?????
48924191007611?? ?= ? ???
3. 设111123111124111051A B ???? ? ?=-=-- ? ? ? ?-????，，求32AB A -与T
A B .
解 1111231113331111242111111051111AB A ??????
??? ?
-=----- ??? ? ??? ?--??????
21322217204292-?? ?=-- ? ?-??
058123056124290051T
T A B ???? ? ?=--- ? ? ? ?????
002123058559124056860051290?????? ??? ?=---=- ??? ? ??? ???????
4. 某厂研究三种生产方法，生产甲、乙、丙三种产品，每种生产方法的每种产品数量用如下矩阵表示：
234123241A ?? ?
= ? ???
甲乙丙方法一
方法二
方法三 若甲、乙、丙各种产品每单位的利润分别为10元，8元，7元，试用矩阵的乘法求出以何种方法获利
最多.
解 1072844759A ???? ? ?
= ? ? ? ?????
，方法一获利最多.
5. 设12101312A B ????
==
? ?????
，，问 （1）AB BA =吗？
（2）()2
2
2
2A B A AB B +=++吗？ （3）()()2
2
A B A B A B +-=-吗？
解 （１）AB BA ≠， 因为34124638AB BA ????==
? ?????
，，所以AB BA ≠． （２）()2
2
2
2A B A AB B +≠++
因为 2225A B ??
+= ???
()2
222281425251429A B ??????+== ??? ???????
但 2238681010162411812341527A AB B ????????
++=++=
? ? ? ?????????
所以
()
2
222A B A AB B +≠++
（３）()()22A B A B A B +-≠- 因为 22022501A B A B ????
+=-=
? ?????
，， ()()220206250109A B A B ??????
+-== ??? ???????
，
而 223810284113417A B ??????
-=-= ? ? ???????
， 故
()()22A B A B A B +-≠-
6. 举反例说明下列命题是错误的： （1） 若2
A O =，则A O =； （2）若2A A =，则A O =或A E =； （3）若AX AY =，且A O ≠，则X Y =. 解 （1）取1111A O ??=≠
?--??
，而2
A O =，
（2）取1000A ??=
???
，有A O A E ≠≠，，而2
A A =， （3）取101010000001A X Y ??????
===
? ? ???????
，，，有X Y ≠，而AX AY =.
7. 设101A λ??=
???
，求23
k A A A L ，，
，. 解 21010101121A AA λλλ??????
===
??? ???????
；
3210101021131A A A λλλ??????
=== ??? ???????；
由此推出 ()10231k
A k k λ??
== ???
L ，
， 下面利用数学归纳法证明这个结论．
当12k k ==，时，结论显然成立． 假设1k -时结论成立，即有 ()1
1
011k A
k λ-??= ?-??
则对于k 时，有 ()1
1
010101111k k A A
A k k λλλ-??????=== ? ? ?
-????
??，故结论成立． 8.增加设100100A λλλ?? ?
= ? ???
,求k A .
解 首先观察
2
101001010000A λλλλλλ???? ???= ???
???????2
2
2210200
λλ
λλλ??
?= ? ??
?
3
2
32
3
23330
300
A A A λλλλλλ?? ?=?= ? ??
?
由此推测 1
21(1)2
00
k
k k k
k
k k
k k k A k λλλλλλ----??
? ?
= ? ? ??
?
(2)k ≥
用数学归纳法证明:
当2k =时,显然成立.
假设k 时成立，则1k +时，
1
211(1)102
0100
00k k k k k k
k k k k k A A A k λλλλλλλλλ--+--??
?
??
? ?=?= ? ? ? ??
? ??
?
111111
(1)(1)2
0(1)00k k k k k k k k k k λλλλλλ+--+-++??
+ ? ?=+ ? ? ??
?
由数学归纳法原理知: 1
21
(1)2
00
k k k k
k
k k
k k k A k λλλλλλ----??
? ?= ? ? ??
?
8. 设A B 、都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB BA =. 证明 由已知：T A A = T
B B =
充分性：由AB BA =，得T
T
AB B A =，所以()T
AB AB =
即 AB 是对称矩阵. 必要性：由()T
AB AB =得，
T T B A AB =所以BA AB =.
删了9. 设A B 、为n 矩阵，且A 为对称矩阵，证明T B AB 也是对称矩阵. 证明 已知：T
A A =
则 (
)
()T
T
T
T T T T T B AB
B B AA B A B B AB ===
从而 T B AB 也是对称矩阵.
11. 求下列矩阵的逆阵（（1）、（3）用公式法和初等行变换法求解）：
()()12cos sin 125sin cos θθθθ-????
? ?????
，2，
()121342541-?? ?
- ? ?
-??
3 ()()1
2
120n n a a a a a a ?? ?
?≠ ? ?
?
?L O
4，改()123401230
0120
001??
?
?
?
?
??
4
解 (1) 公式法：
1225A ??= ???
1A =
112112225,2(1),2(1),1A A A A ==?-=?-=
11
2112
225221A
A A A A *-????== ? ?-??
?? 1
1A A A -*= 故 1
5221A --??
= ?-??
初等行变换法：
()12102501AE ??
=
???
21
212100121r r -??
???→ ?-??
12
210520121r r --?????→ ?-??
所以 1
5221A --??
= ?-??
．
(2) 10A =≠ 故1A -存在
11211222cos sin sin cos A A A A θθθθ===-=
从而 1cos sin sin cos A θθθθ-??
=
?-??
(3) 公式法;2A =, 故1A -存在 112131420A A A =-== 而 1222321361A A A =-==- 13233332
14
2A A A =-==-
故 1
1A A A -*=2101313221671-??
? ?=-- ?
?--??
初等行变换法：
()121100342010541001AE -??
?
=- ? ?-?? 21
31
351211000213100146501r r r r ---?? ?
???→-- ? ?--??
32
71211000213100011671r r --?? ????→-- ? ?--??
23
13
120157102013610011671r r r r +---?? ?
???→-- ? ?--??
32
10021002013610011671r r +-?? ????→-- ? ?--??
21
2
2101001310103220011671r --?? ? ????→-- ?- ?-??
所以 1
2101313221671A --?? ? ?=-- ? ?--??
．
（４）由对角矩阵的性质知 12
1
1
0101n a a A a -?? ? ? ?=
? ? ? ??
?
O
改()12123410001
03412000123010001230100 2 00120010001200100001000100010001r r ???-?
?
?
? ?
- ? ?
? ?
? ?????
u u u u u u
u r 4
131423
24
34
322521
00212301
0001232
010501200
1000125 0012001000100
0120001000100010
01r r r r r r r r r
r -+-+-?---??--? ?
?
--- ? ?
???→???→ ? ?
- ? ?
? ????
?
11232012500120001A ---??
?-
?= ?- ???
10. 解下列矩阵方程： （1） 25465321X -????
=
? ?????
；
（2） 211113210432111X -??-??
?= ? ??
? ?-??；
（3）010100143100001201001010120X -?????? ? ? ?=- ? ? ? ? ? ?-??????
解 (1) 1
25461321X --????= ? ?????
35461221--????= ???-????22308-??= ???
(2) 1
211113210432111X --??
-?? ?
= ? ??? ?-??
10111312324323330??
-?? ?=-- ? ??? ?
-??
2218253
3-?? ?= ?-- ??? (3) 1
1
143120120111X --??????
= ? ???---??????
243110111011212-??????=
?????-??????
66101301212????= ???????
11104??
?= ???
删了13. 利用逆阵解下列线性方程组：
1231231
23231,
(1)2252,353;
x x x x x x x x x ++=??
++=??++=?
1231231
232,
(2)231,3250.
x x x x x x x x x --=??
--=??+-=?
解 (1) 方程组可表示为 123123122523513x x x ??????
??? ?
= ??? ? ??? ???????
故 1
123123112252035130x x x -????????
? ? ? ?
== ? ? ? ? ? ? ? ?????????
从而有 123
1
00x x x =??
=??=?
(2) 方程组可表示为 123111221313250x x x --?????? ??? ?
--= ??? ? ??? ?-??????
故 1
123111252131032503x x x ---????????
? ? ? ?
=--= ? ? ? ? ? ? ? ?-????????
故有 123
503x x x =??
=??=?
删了14. 把矩阵102120313043-?? ?
? ?-??化为行最简形矩阵
解 102120313043-?? ? ? ?-??213123r r r r --???→102100130020-?? ?
- ? ?-??
2
312
r r --???→102100130010-?? ?- ? ???32r r -???
→102100130003-?? ?
- ? ???
31
3
r ??→102100130001-?? ?- ? ???233r r +???→102100100001-?? ?
? ???
12
13
2r r r r -+???→100000100001?? ?
? ???
15. 设方阵A 满足2
2A A E O --=，证明A 与2A E +均可逆，并求其逆矩阵
证明 由2
2A A E O --=得2
2A A E -=
两端同时取行列式: 22A A -= 即 2A A E -=,故 0A ≠ 所以A 可逆,而2
2A E A +=
2
220A E A A +==≠ 故2A E +也可逆.
由2
2A A E O --=得
()2A A E E -=
所以 1
1
()2A A A E A E ---=，则1
1
()2
A A E -=
- 又由2
2A A E O --=(2)3(2)4A E A A E E +-+=-
(2)(3)4A E A E E +-=-
所以 1
1
(2)(2)(3)4(2)A E A E A E A E --++-=-+
则 1
1
(2)
(3)4
A E E A -+=- .改11.设方阵A 满足2
25A A E O +-=，证明3A E +可逆，并求其逆矩阵. 由2
25A A E O +-=得()()32A E A E E +-=，即()
()1
32
A E A E E +-=， 所以，()
()1
1
32
A E A E -+=
-. 12.已知对给定方阵A ，存在正整数k ，成立k
A O =，试证E A -可逆，并指出()1
E A --的表达式. 证明()()
1k k E A E A E A A --=-+++L ，而k
A O =，
所以()()
1k E A E A A E --+++=L ，则()1
E A --=1k E A A -+++L 13.设A 为3阶方阵，12
A =，求()125A A -*-. 解 因为1
1A
A A
-*
=
，所以1A A A *-=，代入，得 ()
1
1111111
2555222
A A A A A A A -*-----=
-=-?12A -=-， 又11,AA E -==1
2
A =
，故12A -=. ()
1
25A A -*-()3
11288216A A --=-=-=-?=-
14. 设方阵A 可逆，证明其伴随矩阵A *
也可逆，且()
()1
1A A -*
*-=.
证明 由1
1A
A A
-*
=
，得1A A A *-=， 所以 当A 可逆时，有1
10n
n A A
A A
-*
-==≠，从而A *也可逆.
因为1
A A A *
-=，所以()1
1
A A
A --*
=，又()()111
1A A A A A **
---=
=，所以 ()()()1
1
1
11A A
A A
A A A -*
*
--*--===
另外：1 辅导书中n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A *
的性质证明. (1) AA A A A E *
*
==P41.定理， (2) 当A 可逆时，1
A A A *
-= (证：由AA A E *
=左乘A 逆得出)；
(3) 当A 可逆时，()
()1
11A
A A A
-*
*-==
(证：由1A A A *-=左乘A 得,AA A E *=由定理推论，得()
1
1
A
A A
-*=
， 又()1
1
11A
A A E A E *
----==左乘A ，得()11
A A A
*
-=
)； (4) ()
()T
T A
A *
*=
(证：由,AA A E *=得(
)(),T
T
AA A E *=即()T
T A A A E *=，
同样()
T
T T A
A A E A E *
==，所以()()T
T A A *
*=)
(5) ()()
1
=1n A A *
-*--
(证：()()()()()()1
==1,=1.n
n A A A A A E A E A A A E *
*
*
------=--- 又,AA A E *=故()()1
=1,n A A AA *
-*--当A 可逆时，()()
1
=1n A A *
-*--).
(6) ()=AB B A *
*
*
(证：由()()=AB AB AB E A B E *
=和()()()
AB B A A BB A A B EA B AA B A E ******====，得()=AB B A *
*
*
)；
(7) ()
2
n A
A
A *
-*=
(证：AA A E *
=， n
AA A A A E A *
*
===，当A 可逆时，1
0n A A -*
=≠.
同样()1
n A
A A E A
E *-*
**==，左乘A ，得()1
n AA A A AE A
A *
-***==，
()1
n A E A A
A *
-*=，故()2
n A A
A *
-*=).
(8) ,AA A E *
=当A 可逆时，左乘1
A -，1
1
A AA A A -*
-=，即1
A A A *
-=， 故1
1
1n n A A A A A A
-*--===；
(9).
2..设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A *，证明：(1) 若0A =,则0A *=;(2) 1
n A A
-*
=.
证明(1) 用反证法证明．假设0A *
≠则有1
()
A A E *
*-=，由此得
11()()A AA A A E A O **-*-===A O *∴=，与0A *≠矛盾，故当0A =时，有0A *=.
(2) 由于1
1A
A A
-*=
, 则AA A E *=，取行列式得到: n
A A A *=. 若0A ≠ 则1
n A A
-*
=，
若0A =由(1)知0A *=此时命题也成立. 故有1
n A A
-*
=.
15. 设131020101A ?? ?
= ? ???
，2AB E A B +=+，求B .
解 由2AB E A B +=+得
()2A E B A E -=-
即
()()()A E B A E A E -=-+
因为 001
1010100
A E -==-≠，所以()A E -可逆，则
201030102B A E ?? ?
=+= ? ???
加了16.设三阶矩阵A B ，满足关系：1
6A BA A BA -=+，且
1
00210
04100
7A ?? ? ? ?= ? ? ? ??
?
, 求B .
加了17.设033110123A ?? ?
= ? ?-??，2AX A X =+，求X .
删了19. 设033110123A ?? ?
= ? ?-??
，2AB A B =+，求B .
解 由2AB A B =+可得(2)A E B A -=
故1
(2)B A E A -=-1
233033110110121123--???? ? ?=- ? ? ? ?--????033123110?? ?=- ?
???
删了21. 设1P AP -=Λ，其中14101102P ---????=Λ
? ?????
，=，求11
A .
解 因为1P AP -=Λ，故1A P P -=Λ 所以 11111A P P -=Λ
3P = 1411P *
??= ?-?? 1
141113P -??= ?--??
而 11
11
1110100202--????Λ== ? ?????
故 11
111
41410331102113
3A ?? ?---????= ? ??? ?????-- ?
??27312732683684??= ?--?? 删了22. 设AP P =Λ，其中111110211115P -???? ? ?
=-Λ ?
? ? ?-????
，=， 求()()
8256A A E A A ?=-+.
解 因为AP P =Λ，所以1
A P P -=Λ；
又 6P =-， 122213036121P -?? ?=- ? ?-??，88115?? ?Λ ? ???= 所以 1
11112221102130361115121A P P --?????? ?????=Λ=-- ??
??? ?????--??????
115222110103036115121-???? ???=--- ??? ???---???? 6120120112181223260126021--???? ? ?=--=-- ? ? ? ?--????
881811112221102130361115121A P P -?????? ?????
=Λ=-- ????? ?????--??????
888115222110253036115121????
? ?=-?- ? ? ? ?--???? 88888888
855225151225245225615
22555??
+-?-+
?
=-?+?-? ? ?-+-?+??
所以
()()()()828565A A E A A A E A E A ?=-+=--
又因为 100120020010232222001021020E A -??????
? ? ?
-=---=- ? ? ? ? ? ?-??????
10012042055010232222001021024E A -?????? ? ? ?
-=---= ? ? ? ? ? ?-??????
所以()8
888
8888
855225151225
245225615
22555A ???+-?-+ ?=-?+?-? ? ?-+-?+??020222020?? ?- ? ???420222024??
?
? ???
1114111111??
?= ? ???
加了18已知AP P =Λ，其中100100210000211001P ????
? ?=-Λ ? ? ? ?-????
，=，求A 及5
A
19. 设A B 、和A B +均可逆，证明1
1
A B --+也可逆，并求其逆矩阵. 解 因为(
)11
1
1A B
A E CA B
B B A ----+=+=+，由()()1
A B A B E -++=得
()()()()1
1
1111A B A A B B A B A B B ------++=++=
则
()()1
1
11A
B A A B B B B E ----++==
所以1
1
A B --+可逆，其逆为()1
A B A B -+. 解二 由()1
11111A
A B B B A A B ------+=+=+，又A B 、和A B +均可逆，故()11A A B B --+可逆，
所以，1
1
A B --+也可逆.
解三A B 、均可逆，11
,A A E BB
E --==，
()()111111111111A B A E EB A BB A AB A B A B A A B B ------------+=+=+=+=+，
所以，11A B --+也可逆，(
)()()()1
1
1
1
111A B
A A
B B B A B A -------+=+=+.
20. 将矩阵2131425442622140A -?? ?-
?= ?--- ?-??
化为行阶梯形矩阵，并求矩阵A 的一个最高阶非零子式.
解 21
3241221312131425400124262001221400011r r r r r r A -+---????
? ?--
? ?=???→ ? ?---- ? ?--???? 32
3442213121310012001200000001000
1000
0r r r r r r B -?+--????
?
?-- ? ?
???→
???→
= ?
?
? ?????
B 的秩为3，其一个3阶非零子式为1310
120
01--，对应于A 的3阶非零子式为131
254262
----. 故213
100120001
00
00-??
?
-
?
?
?
??
即为矩阵A 的行阶梯形矩阵，矩阵A 的一个最高阶非零子式为13125
4262----. ，
21.用初等变换法求下列矩阵的逆：
（1）111211120?? ?- ? ???； （2）321315323?? ? ? ???；
（3）3201022112320121--?? ? ? ?--- ???； （4）1357012300120
001-??
?
?
?
?
??.
22. 求方阵A 的秩.
10013103120114
57A ??
?- ?
=
?
-
???
解 21
3141
3100
110
131
0301001201020214570456r r r r r r A ---????
? ?--
?
?
=???→ ?
?--
? ????? 32
3442
24100
110
01010001
000002005600
5600
02r r r r r r -?-???? ?
?--
? ?
???→???→ ? ?-
? ?-????
所以 ()4R A =.
23.设A 为n 阶矩阵，且2A A =,证明()()R A R A E n +-=. 增加 矩阵秩的性质
1. (){}0min ,m n R A m n ?≤≤P57；
2. ()()R A R kA =其中0k ≠；
3. ()
()T R A R A =，即 行秩=列秩P57； 4. 若,A B 等价，则()()R A R B =；P58
5. 若,P Q 是可逆矩阵，则()()()()R A R PA R AQ R PAQ ===；
6. ()(){}
()()()max ,R A R B R A B R A R B ≤≤，+；
注： 证明()()()R A B R A R B ≤+，，特别地，当B b =为列向量时，有
()()1R A b R A ≤+，
证明 设12r αααL ，，
，为A 的列向量极大线性无关组， 12t βββL ，，，为B 的列向量极大线性无关组，则()A B ，的列向量均可由
()1212r t αααβββL L ，，
，，，，，线性表出，而1212r t αααβββL L ，，，，，，，中线性无关的向量一定不超过r t +个，所以()()()R A B R A R B ≤+，.
特别地，当B b =为列向量时，有()()1R A b R A ≤+，. 为A 的列均可由
()
A B ，线性表出，B 的列均可由
()
A B ，线性表出，所以
()()()()R A R A B R B R A B ≤≤，，，，于是()()()()max R A R B R A B ≤，，.
7. ()()()R A B R A R B +≤+；
证明一 因为()A B B R A B R B B +??+≤
???，对于方阵A B B B
B +??
???作初等变换，有 1212r Er c Ec A B B A O A O B B B B O B --+??????
???→???→ ? ? ???????
，
即E E A B B E O A O O E B
B E E O B -+????????
=
????? ?-????????，
所以A B B A O R R B B O B +????=
? ?????
从而()()()A O R A B R R A R B O B ??
+≤=+ ???
.
证明二 ()()()E R A B R AE BE R A B E ??
??+=+=??
?????
， ()()()()min R A B n R A B R A R B ≤≤≤+????，，，.
证明三 因为A B +的列均可由()A B ，的列线性表出，所以 ()()()()R A B R A B R A R B +≤≤+，. 8.()()(){}
min R AB R A R B ≤，；.
证明 设()()m l l n A B R A r R B s ??==，，，.因为()R A r =，所以存在可逆矩阵 P Q 、，使得
E O PAQ O O ??
= ???
，于是
()()()1
E O R AB R PAB R PAQQ B R C O O -??
=== ???
，
其中 ()
1ij C Q B c -==
所以 ()1111 0
0 00n r rn b b E O b b R AB R C R O O ?? ? ? ?
??
==
? ??? ? ? ? ??
?
L M M L L M M L
（※） 显然最右边一个矩阵的秩不超过它的非
0行数（=r ），也不超过C 的秩（=s ），所以
()()(){}min R AB R A R B ≤，.
9.若m n n l A B O ??=，则()()R A R B n ≤+；证明P146.
24.设34432022O A O ??
?
- ?= ? ?
?
?，求84A A ，. 解 34432022O A O ?? ?
- ?= ? ?
??
，令13443A ??= ?-?? 22022A ??= ??? 则1
2A O A O A ??=
???
故8
18
2A O A O A ??=
???8
182A O O
A ??
= ???
8
8
888
16121210A A A A A ===
4444
14426450052022O A O
A O
A O ?? ?
?? ?==
? ?
?? ? ???
5.设0A ≠，证明()()R AB R B =.
证明 因为0A ≠，故A 可逆，则存在有限个初等矩阵12l P P P L ，，，，使12l A PP P =L ，
于是 12l
AB PP PB =L 由于初等矩阵左乘某一矩阵相当于对该矩阵进行了一次初等行变换，这个矩阵的秩不改变，从而
()()()()()()12122l l l l R AB R PP PB R P P PB R P PB
R PB R B ======????L L L L 即 ()()R AB R B =.
2.设A 为n 阶方阵（2n ≥），A *
为其伴随矩阵，证明
()()()()1101n R A n R A R A n R A n *=??
==-??<-?
，当时，
，当时，，当时.
证明 当()R A n =时，A 为满秩矩阵，故0A ≠.由AA A E *
=，得
n AA A A A E A **===，于是有1
0n A A
-*=≠，则()R A n *=.
当()1R A n =-时，由矩阵秩的定义知，A 中至少有一个1n -阶子式不为0，从而A *
至少有一个元素不为0，所以()1R A
*
≥，另一方面，因()1R A n =-，故0A =，所以AA
A E O *
==
根据秩的性质，有若A B ，为n 阶矩阵，且AB O =，则
()()R A R B n +≤，有()()R A R A n *+≤，从而()()11R A n n *≤--=，故 ()1R A *=；
当()1R A n <-时，由矩阵秩的定义知，A 的所有1n -阶子式全为0，从而A O *
=，故()
0R A *=.
27.设n 阶方阵A 和s 阶方阵B 均可逆，求1
A O C
B -??
???
，利用这个结果求矩阵
1
1000120021301
214-??
?
?
? ?
??
的逆矩阵.
解 n n s n
s s A O E O C B O
E ???
??? 11
1n n
A r n s n
s s E O A O C B O
E --??????→
???
()
2111
r Cr n
n
s n n
s E O
A O O
B C A E ---????????→ ?-??
左乘 ()
12111
1s s B r n
n
s n n
s
A O E O
B
C A B O E -----???????→
? ?-?
?
左乘 1
1
111s
s n s n n A O A O B C A B C B -----???
??
= ? ? ?-????
利用这个结果取103021121412A B C ??????
=== ? ? ???????
，，，
则由1
1111s
s n s n n
A O A O
B
C A B C B -----???
??
= ? ? ?-????
得 11
2040111113212A B --????== ? ?--????，，
114021201241111312113512224B CA ----????????
=-
?= ??? ? ?---????????
-， 则 11
24080111212262424A B --????=
= ? ?--????
，
故 1
10002400
01
20012120
0121301248
024*******
6-????
?
?-
? ?=
? ?-- ?
?--????
改25.设矩阵A 和B 均可逆，求分块矩阵O A B O ?? ???
的逆矩阵，并利用所得结果求矩阵0052002183005
200??
?
? ?
?
??
的逆矩阵.
*26. 证明 AB A B =（A B 、为n 阶方阵）.
证明 设()()
ij ij A a B b ==，. 记2n 阶行列式为
111111110
1
1n n nn
n n nn
a a a a A O D A B
b b E
B
b b =
==---L M M L L M M L
而在D 中以1j b 乘第1列，2j b 乘第2列，…，nj b 乘第n 列，都加到第n j +列上()12j n =L ，，，，有
A C
D E O
=
-，
其中()()1122ij ij
i j i j in nj n
C c c
a b a b a b ==+++L ，，故C AB =，再对D 的行作()12i n j r r j n +?=L ，，，，
有
()
1n
E O D A
C
-=-
从而由第一章的例题结果有
()()()111n n n
D E C D C AB =--==--=
于是 AB A B =
线性代数（A 卷） 一﹑选择题(每小题3分,共15分) 1. 设A ﹑B 是任意n 阶方阵,那么下列等式必成立的是( ) (A)AB BA = (B)222()AB A B = (C)222()2A B A AB B +=++ (D)A B B A +=+ 2. 如果n 元齐次线性方程组0AX =有基础解系并且基础解系含有()s s n <个解向量,那么矩阵A 的秩为( ) (A) n (B) s (C) n s - (D) 以上答案都不正确 3.如果三阶方阵33()ij A a ?=的特征值为1,2,5,那么112233a a a ++及A 分别等于( ) (A) 10, 8 (B) 8, 10 (C) 10, 8-- (D) 10, 8-- 4. 设实二次型11212222(,)(,)41x f x x x x x ?? ??= ? ?-???? 的矩阵为A ,那么( ) (A) 2331A ??= ?-?? (B) 2241A ??= ?-?? (C) 2121A ??= ? -?? (D) 1001A ?? = ??? 5. 若方阵A 的行列式0A =，则( ) (A) A 的行向量组和列向量组均线性相关 (B)A 的行向量组线性相关,列向量组线性无关 (C) A 的行向量组和列向量组均线性无关 (D)A 的列向量组线性相关,行向量组线性无关 二﹑填空题(每小题3分,共30分) 1 如果行列式D 有两列的元对应成比例,那么该行列式等于 ； 2. 设100210341A -?? ? =- ? ?-?? ，*A 是A 的伴随矩阵，则*1()A -= ； 3. 设α,β是非齐次线性方程组AX b =的解,若λαμβ+也是它的解, 那么λμ+= ； 4. 设向量(1,1,1)T α=-与向量(2,5,)T t β=正交,则t = ； 5. 设A 为正交矩阵,则A = ；
第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有 一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n，则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λ s αs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r，则A中（） A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（） A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.1 2 η1+ 1 2 η2是Ax=b的一个解 C.η1-η2是Ax=0的一个解 D.2η1-η2是Ax=b的一个解 9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）
线性代数 第一章 行列式 典型例题 一、利用行列式性质计算行列式 二、按行（列）展开公式求代数余子式 已知行列式412343 344 615671 12 2 D = =-，试求4142A A +与4344A A +. 三、利用多项式分解因式计算行列式 1．计算221 1231223131 5 1319x D x -= -. 2．设()x b c d b x c d f x b c x d b c d x = ，则方程()0f x =有根_______.x = 四、抽象行列式的计算或证明 1.设四阶矩阵234234[2,3,4,],[,2,3,4]A B αγγγβγγγ==，其中234,,,,αβγγγ均为四维列向量，且已知行列式||2,||3A B ==-,试计算行列式||.A B + 2.设A 为三阶方阵，*A 为A 的伴随矩阵，且1 ||2 A = ，试计算行列式1*(3)22.A A O O A -??-??? ?
3.设A 是n 阶(2)n ≥非零实矩阵，元素ij a 与其代数余子式ij A 相等，求行列式||.A 4.设矩阵210120001A ?? ??=?? ????,矩阵B 满足**2ABA BA E =+,则||_____.B = 5.设123,,ααα均为3维列向量，记矩阵 123123123123(,,),(,24,39)A B αααααααααααα==+++++ 如果||1A =，那么||_____.B = 五、n 阶行列式的计算 六、利用特征值计算行列式 1.若四阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为 1111 ,,,2345 ，则行列式1||________.B E --= 2.设A 为四阶矩阵，且满足|2|0E A +=,又已知A 的三个特征值分别为1,1,2-，试计算行列式*|23|.A E + 第二章 矩阵 典型例题 一、求逆矩阵 1.设,,A B A B +都是可逆矩阵，求：111().A B ---+
《线性代数》习题集（含答案） 第一章 【1】填空题 （1） 二阶行列式 2a ab b b =___________。 （2） 二阶行列式 cos sin sin cos αα α α -=___________。 （3） 二阶行列式 2a bi b a a bi +-=___________。 （4） 三阶行列式x y z z x y y z x =___________。 （5） 三阶行列式 a b c c a b c a b b c a +++=___________。 答案：1.ab(a-b)；2.1；3.()2 a b -；4.3 3 3 3x y z xyz ++-；5.4abc 。 【2】选择题 （1）若行列式12 5 1 3225x -=0，则x=（）。 A -3； B -2； C 2； D 3。 （2）若行列式11 1 1011x x x =，则x=（）。 A -1 ， B 0 ， C 1 ， D 2 ，
（3）三阶行列式2 31 503 2012985 23 -=（）。 A -70； B -63； C 70； D 82。 （4）行列式 000 000 a b a b b a b a =()。 A 4 4 a b -；B () 2 2 2a b -；C 4 4 b a -；D 44 a b 。 （5）n 阶行列式0100 0020 0001000 n n - =（）。 A 0； B n ！； C （-1）·n ！； D () 1 1!n n +-?。 答案：1.D ；2.C ；3.A ；4.B ；5.D 。 【3】证明 33()by az bz ax bx ay x y z bx ay by az bz ax a b z x y bz ax bx ay by az y z x ++++++=++++ 答案：提示利用行列式性质将左边行列式“拆项”成八个三阶行列式之和，即得结果。 【4】计算下列9级排列的逆序数，从而确定他们的奇偶性： （1）134782695；（2）217986354；（3）987654321。 答案：（1）τ（134782695）=10，此排列为偶排列。 （2）τ（217986354）=18，此排列为偶排列。 （3）τ（987654321）=36，此排列为偶排列。 【5】计算下列的逆序数： （1）135 （2n-1）246 （2n ）；（2）246 （2n ）135 （2n-1）。 答案：（1） 12n （n-1）；（2）1 2 n （n+1） 【6】确定六阶行列式中，下列各项的符号：
线性代数考试题库及答案 第一部分 客观题（共30分） 一、单项选择题（共 10小题，每小题2分，共20分） 1. 若行列式11 121321 222331 32 33 a a a a a a d a a a =，则212223 11 121331 32 33 232323a a a a a a a a a 等于 ( ) (A) 2d (B) 3d (C) 6d (D) 6d - 2. 设123010111A ?? ? =- ? ??? ，ij M 是A 中元素ij a 的余子式，则313233M M M -+=（ ） (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 3. 设A 为n 阶可逆矩阵，则下列各式恒成立的是（ ） (A) |2|2||T A A = (B) 11(2)2A A --= (C) *1A A -= (D) 11[()][()]T T T T A A --= 4. 初等矩阵满足（ ） (A) 任两个之乘积仍是初等矩阵 (B) 任两个之和仍是初等矩阵 (C) 都是可逆矩阵 (D) 所对应的行列式的值为1 5. 下列不是．．n 阶矩阵A 可逆的充要条件为（ ） (A) 0≠A (B) A 可以表示成有限个初等阵的乘积 (C) 伴随矩阵存在 (D) A 的等价标准型为单位矩阵 6. 设A 为m n ?矩阵，C 为n 阶可逆矩阵，B AC =，则 ( )。 (A) 秩(A )> 秩(B ) (B) 秩(A )= 秩(B )
(C) 秩(A )< 秩(B ) (D) 秩(A )与秩(B )的关系依C 而定 7. 如果向量β可由向量组12,, ,s ααα线性表示,则下列结论中正确的是（ ） (A) 存在一组不全为零的数12,,s k k k ，使得1122s s k k k βααα=+++ 成立 (B) 存在一组全为零的数12,,s k k k ，使得1122s s k k k βααα=++ + 成立 (C) 存在一组数12,, s k k k ，使得1122s s k k k βααα=+++ 成立 (D) 对β的线性表达式唯一 8. 设12,ξξ是齐次线性方程组0AX =的解，12,ηη是非齐次线性方程组AX b =的解，则（ ） (A) 112ξη+为0AX =的解 (B) 12ηη+为AX b =的解 (C) 12ξξ+为0AX =的解 (D) 12ηη-为AX b =的解 9. 设110101011A ?? ? = ? ??? ,则A 的特征值是( )。 (A) 0,1,1 (B) 1,1,2 (C) 1,1,2- (D) 1,1,1- 10. 若n 阶方阵A 与某对角阵相似，则 ( )。 (A) ()r A n = (B) A 有n 个互不相同的特征值 (C) A 有n 个线性无关的特征向量 (D) A 必为对称矩阵 二、判断题（共 10小题，每小题1分，共10分 ）注：正确选择A,错误选择B. 11. 设A 和B 为n 阶方阵，则有22()()A B A B A B +-=-。（ ） 12. 当n 为奇数时，n 阶反对称矩阵A 是奇异矩阵。（ ）
诚实考试吾心不虚 ，公平竞争方显实力， 考试失败尚有机会 ，考试舞弊前功尽弃。 上海财经大学《 线性代数 》课程考试卷（B ）闭卷 课程代码 105208 课程序号 姓名 学号 班级 一、单选题(每小题2分，共计20分) 1. 当=t 3 时，311244s t a a a a 是四阶行列式中符号为负的项。 2. 设A 为三阶方阵，3A = ，则* 2A -=__-72__。 3. 设矩阵01000 01000010 00 0A ????? ?=?????? ，4k ≥,k 是正整数，则=k P 0 。 4. 设A 是n 阶矩阵，I 是n 阶单位矩阵,若满足等式2 26A A I +=，则 () 1 4A I -+= 2 2A I - 。 5. 向量组()()()1,2,6,1,,3,1,1,4a a a +---的秩为1，则 a 的取值为__1___。 6. 方程组1243400x x x x x ++=??+=? 的一个基础解系是 ???? ? ? ? ??--??????? ??-1101,0011 。 7. 设矩阵12422421A k --?? ?=-- ? ?--??，500050004A ?? ? = ? ?-?? ，且A 与B 相似，则=k 4 。 …………………………………………………………… 装 订 线…………………………………………………
8. 123,,ααα是R 3 的一个基,则基312,,ααα到基12,αα,3α的过渡矩阵为 ???? ? ??001100010 。 9. 已知413 1 210,32111 a A B A A I -===-+-, 则B 的一个特征值是 2 。 10. 设二次型222 12312132526f x x x tx x x x =++++为正定, 则t 为 5 4||< t 。 二．选择题（每题3分，共15分） 1. 设A 为n 阶正交方阵，则下列等式中 C 成立。 (A) *A A =; (B)1*A A -= (C)()1T A A -=; (D) *T A A = 2. 矩阵 B 合同于145-?? ? - ? ??? (A) 151-?? ? ? ??? ; （B ）????? ??--321;（C ）???? ? ??112;（D ）121-?? ? - ? ?-?? 3. 齐次线性方程组AX O =有唯一零解是线性方程组B AX =有唯一解的（ C ）。 （A ）充分必要条件； （B ）充分条件； （C ）必要条件； （D ）无关条件。 4．设,A B 都是n 阶非零矩阵，且AB O =，则A 和B 的秩（ B ）。 （A ）必有一个等于零；（B ）都小于n ；（C ）必有一个等于n ；（D ）有一个小于n 。 5．123,,ααα是齐次线性方程组AX O =的基础解系，则__B___也可作为齐次线性方程组 AX O =的基础解系。 (A) 1231231222,24,2αααααααα-+-+--+ （B ）1231212322,2,263αααααααα-+-+-+
大学-----行列式经典例题 例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式. 解 方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =- ，故 01110212 n n n D n n --= -- 1,1,,2 i i r r i n n --=-= 01 1111 111 n ---- 1,,1 j n c c j n +=-= 121 1 021 (1)2(1)020 1 n n n n n n ------=---- 其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列． 方法2 01110 212 0n n n D n n --= -- 1 1,2,,111 1111 120 i i r r i n n n +-=----=-- 1 2,,100120 1231 j c c j n n n n +=---= --- =12(1)2(1) n n n ---- 例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察范德蒙行列式:
= 行列式 即为y 2前的系数. 于是 = 所以 的充要条件是a + b + c = 0. 例3计算D n = 121 100010n n n x x a a a x a ----+ 解： 方法1 递推法 按第1列展开，有 D n = x D 1-n +（－1） 1 +n a n 1 1111n x x x ----- = x D 1-n + a n 由于D 1= x + a 1，221 1x D a x a -=+，于是D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2 D 2-n + a 1-n x + a n = = x 1 -n D 1+ a 2x 2 -n + + a 1-n x + a n =111n n n n x a x a x a --++++ 方法2 第2列的x 倍，第3列的x 2 倍， ，第n 列的x 1 -n 倍分别加到第1列上 12 c xc n D += 21121 10010000n n n n x x x a xa a a x a -----++
线性代数（试卷一) 一、 填空题(本题总计2０分,每小题2分） 1. 排列76２３451的逆序数是_______。 2． 若 122 21 12 11 =a a a a ,则=1 6 030322211211 a a a a 3。 已知n 阶矩阵A 、B 和C 满足E ABC =,其中E 为n 阶单位矩阵，则CA B =-1。 4. 若A 为n m ?矩阵,则非齐次线性方程组AX b =有唯一解的充分要条件是 ＿＿＿__＿_＿_ 5. 设A 为86?的矩阵，已知它的秩为４，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为_ ＿2__＿__＿____＿． ６. 设Ａ为三阶可逆阵,??? ? ? ??=-1230120011 A ，则=*A ７。若Ａ为n m ?矩阵,则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是 ８．已知五阶行列式1 23453 2011 11111 2 1403 54321=D ,则=++++4544434241A A A A A 9。 向量α=(2,1,0,2)T -的模（范数)______________ 。 1０。若()T k 11=α与()T 121-=β正交,则=k
二、选择题（本题总计10分,每小题2分） 1。 向量组r ααα,,,21 线性相关且秩为s ，则（D) Ａ.s r = B.s r ≤ C.r s ≤ ? D ．r s < 2. 若A 为三阶方阵,且043,02,02=-=+=+E A E A E A ，则=A (A) Ａ.8? B.8- Ｃ． 34?? Ｄ.3 4- 3.设向量组A 能由向量组B 线性表示，则( ｄ ) Ａ．)()(A R B R ≤ Ｂ．)()(A R B R < C.)()(A R B R = Ｄ．)()(A R B R ≥ ４. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ，则 () * kA 等于_____。c )(A *kA )(B *A k n )(C *-A k n 1)(D *A 5。 设n 阶矩阵A ，B 和C ，则下列说法正确的是_____. )(A AC AB = 则 C B =)(B 0=AB ,则0=A 或0=B )(C T T T B A AB =)()(D 22))((B A B A B A -=-+ 三、计算题(本题总计60分.１-3每小题８分，4-7每小题９分） １。 计算n 阶行列式22221 =D 22222 22322 2 12 2 2-n n 2 222 ． 2．设A 为三阶矩阵,* A 为A 的伴随矩阵，且2 1= A ，求* A A 2)3(1--. ３．求矩阵的逆 111211120A ?? ?=- ? ???
东 北 大 学 考 试 试 卷（A 卷） 2010 — 2011学年 第二学期 课程名称：线性代数 （共2页） ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ (15分) 设三阶矩阵()321,,ααα=A ， ()3323214,3,32αααααα+-+=B ， 且A 的行列式1||=A ，求矩阵B 的行列式||B . 解 因为()3323214,3,32αααααα+-+=B ＝? ???? ??-413031002),,(321ααα， 所以，24413031002||||=-=A B 分) 设向量组????? ??-=2111α，????? ??=1122α，????? ??=a 213α线性相关，向量 ???? ? ??=b 13β可由向量组321,,ααα线性表示，求b a ,的值。 解 由于 ????? ??-=b a 1212113121),,,(321βααα????? ??---→62304330312 1b a ? ???? ??-+→210043303121b a 所以，.2,1=-=b a 三分) 证明所有二阶实对称矩阵组成的集合V 是R 2? 2 的子空间，试在 V 上定义内积运算，使V 成为欧几里得空间，并给出V 的一组正交基. 解 由于任意两个二阶实对称矩阵的和还是二阶实对称矩阵，数乘二阶实对称矩阵还是 二阶实对称矩阵，即V 对线性运算封闭，所以V 是R 2? 2 的子空间。 对任意V b b b b B a a a a A ∈??? ? ??=???? ??=2212121122121211,,定义内积：[A,B]=222212121111b a b a b a ++， 显然满足：[A,B]=[B,A], [kA,B]=k[A,B], [A,A]≥0且[A,A]=0当且仅当A=0. ???? ??=00011A ,???? ??=01102A ,???? ??=10003A 就是V 的一组正交基. 注：内积和正交基都是不唯一的. 2－1
线性代数习题和答案 第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出の四个选项中只有 一个是符合题目要求の，请将其代码填在题后の括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n，则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ，A*是Aの伴随矩阵，则A *中位于（1，2）の元素是（） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵Aの行向量组线性无关，则秩（A T）等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs和不全为0の数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+ λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵Aの秩为r，则A中（） A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误の是（） A.η1+η2是Ax=0の一个解 B.1 2 η1+ 1 2 η2是Ax=bの一个解
×××大学线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，， ， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。 ① s ααα，， ， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，， ， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，， ， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示
线性代数知识点总结 第一章 行列式 二三阶行列式 N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n n n nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121) ..(∑-= τ （奇偶）排列、逆序数、对换 行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。（转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。 推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。 ③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。 推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零； 推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。 ④行列式具有分行（列）可加性 ⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变 行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。 克莱姆法则： 非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j D D x j j ??==、 齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零 特殊行列式： ①转置行列式：33 23133222123121 11333231232221 131211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a = ③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零 ④三线性行列式:33 31 2221 13 1211 0a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。。化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式:
线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1 A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ） 。 ① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示
《经济数学》线性代数学习辅导及典型例题解析 第1-2章行列式和矩阵 ⒈了解矩阵的概念，熟练掌握矩阵的运算。 矩阵的运算满足以下性质 ⒉了解矩阵行列式的递归定义，掌握计算行列式（三、四阶）的方法；掌握方阵乘积行列式定理。 是同阶方阵，则有： 若是阶行列式，为常数，则有： ⒊了解零矩阵，单位矩阵，数量矩阵，对角矩阵，上（下）三角矩阵，对称矩阵，初等矩阵的定义及性质。
⒋理解可逆矩阵和逆矩阵的概念及性质，掌握矩阵可逆的充分必要条件。 若为阶方阵，则下列结论等价 可逆满秩存在阶方阵使得 ⒌熟练掌握求逆矩阵的初等行变换法，会用伴随矩阵法求逆矩阵，会解简单的矩阵方程。 用初等行变换法求逆矩阵： 用伴随矩阵法求逆矩阵：（其中是的伴随矩阵） 可逆矩阵具有以下性质： ⒍了解矩阵秩的概念，会求矩阵的秩。 将矩阵用初等行变换化为阶梯形后，所含有的非零行的个数称为矩阵的秩。 典型例题解析 例1 设均为3阶矩阵，且，则。 解：答案：72 因为，且
所以 例2设为矩阵，为矩阵，则矩阵运算（）有意义。 解：答案：A 因为，所以A可进行。 关于B，因为矩阵的列数不等于矩阵的行数，所以错误。 关于C，因为矩阵与矩阵不是同形矩阵，所以错误。 关于D，因为矩阵与矩阵不是同形矩阵，所以错误。 例3 已知 求。 分析：利用矩阵相乘和矩阵相等求解。 解：因为 得。
例4 设矩阵 求。 解：方法一：伴随矩阵法 可逆。 且由 得伴随矩阵 则=
方法二：初等行变换法 注意：矩阵的逆矩阵是唯一的，若两种结果不相同，则必有一个结果是错误的或两个都是错误的。 例4 设矩阵 求的秩。 分析：利用矩阵初等行变换求矩阵的秩。 解： 。
珠海校区2009年度第一学期《线性代数》期中考试卷 姓名：专业：学号：成绩： 一，填空题（每题3分，共24分） 1.在5 阶行列式中，含有a13a34a51且带有负号的项是________________ 2.设A是3阶方阵，| A |= 1/3 ，则|（3A）-1 + 2A*| = 1 1 0 0 1 1 1 1 3. 5 2 0 0 = ： 4 . x c b a = ; 0 0 3 6 x2c2b2a2 0 0 1 4 x3c3b3a3 5 . 已知矩阵 A = 1 1 , B = 1 0 , 则AB – BA T = ; 0 -1 1 1 1 0 2 6. 已知矩阵 A = 1 k 0 的秩为 2 ,则k = ; 1 1 1 2 1 1 1 7. 1 2 1 1 = ; 8. 若A = diag( 1 ,2 ,3 ,4 ) , 则A-1= ; 1 1 2 1 1 1 1 2 二. 判断题（每题2分，共10分） 1. 任一n 阶对角阵必可与同阶的方阵交换。（） 2. n 阶行列式中副对角线上元素的乘积a n1a n-1,2…a1n总是带负号的（） 3. 若A为n 阶方阵，则（A*）T = ( A T )* （） 4. 设A , B 为n 阶方阵，则有（AB）3= A3B3（） 5. 设A与B 为同型矩阵，则 A ~ B的充要条件是R（A）=R ( B ) ( ) 三,计算下列行列式( 每题8 分,共16 分) -2 -1 1 -1 0 1 0 …0 0 D4 = -2 2 4 8 1 0 1 …0 0 -2 1 1 1 D n = 0 1 0 …0 0 -2 -2 4 8 . . . . . 0 0 0 …0 1 0 0 0 … 1 0 -1 -1 0 四. 已知 A = -1 0 1 且AB = A – 2B , 求 B . 2 2 1
线性代数行列式经典例题 例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式. 解 方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =- ，故 01110212 n n n D n n --= -- 1,1,,2 i i r r i n n --=-= 01 1111 111 n ---- 1,,1 j n c c j n +=-= 121 1 021 (1)2(1)020 1 n n n n n n ------=---- 其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列． 方法2 01110 212 0n n n D n n --= -- 1 1,2,,111 1111 120 i i r r i n n n +-=----=-- 1 2,,100120 1231 j c c j n n n n +=---= --- =12(1)2(1) n n n ---- 例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察范德蒙行列式:
= 行列式 即为y 2前的系数. 于是 = 所以 的充要条件是a + b + c = 0. 例3计算D n = 121 100010n n n x x a a a x a ----+ 解： 方法1 递推法 按第1列展开，有 D n = x D 1-n +（－1） 1 +n a n 1 1111n x x x ----- = x D 1-n + a n 由于D 1= x + a 1，221 1x D a x a -=+，于是D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2 D 2-n + a 1-n x + a n = = x 1 -n D 1+ a 2x 2 -n + + a 1-n x + a n =111n n n n x a x a x a --++++ 方法2 第2列的x 倍，第3列的x 2 倍， ，第n 列的x 1 -n 倍分别加到第1列上 12 c xc n D += 21121 10010000n n n n x x x a xa a a x a -----++
江西理工大学《线性代数》考题 一、 填空题（每空3分，共15分） 1. 设矩阵??????????=333222 111 c b a c b a c b a A ,??????????=333 222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的，则t 的取值范围__________ 3. A 为3阶方阵，且2 1=A ，则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是___________ 5. 设A 为n 阶方阵，n βββ ,,21为A 的n 个列向量，若方程组0=AX 只有零解，则向量组(n βββ ,,21)的秩为 _____ 二、选择题（每题3分，共15分） 6. 设线性方程组?????=+=+--=-032231 3221ax cx bc bx cx ab ax bx ，则下列结论正确的是（ ） (A)当c b a ,,取任意实数时，方程组均有解 (B)当a ＝0时，方程组无解 (C) 当b ＝0时，方程组无解 (D)当c ＝0时，方程组无解 7. A.B 同为n 阶方阵，则（ ）成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A 8. 设??????????=333231232221 131211 a a a a a a a a a A ，??????????+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,??????????=1000010101P , ???? ??????=1010100012P 则（ ）成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵，则AB 的伴随矩阵=*)(AB （ ） (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ?矩阵，r A r =)(＜n ，那么A 的n 个列向量中（ ） （A ）任意r 个列向量线性无关
《 线性代数A 》试题（A 卷） 试卷类别：闭卷 考试时间：120分钟 考试科目：线性代数 考试时间： 学号： 姓名： 题号 一 二 三 四 五 六 七 总 分 得分 阅卷人 一．单项选择题（每小题3分，共30分） 1．设A 经过初等行变换变为B ，则（ ）.(下面的(),()r A r B 分别表示矩阵,A B 的秩)。 () A ()()r A r B <； () B ()()r A r B =； ()C ()()r A r B >； () D 无法判定()r A 与()r B 之间的关系。 2．设A 为 (2)n n ≥阶方阵且||0A =，则（ ）。 () A A 中有一行元素全为零； () B A 有两行（列）元素对应成比例； () C A 中必有一行为其余行的线性组合； () D A 的任一行为其余行的线性组合。 3. 设,A B 是n 阶矩阵(2n ≥), AB O =,则下列结论一定正确的是: ( ) () ;A A O B O ==或 ()AX B B 的每个行向量都是齐次线性方程组=O 的解. ();C BA O = ()()().D R A R B n +≤ 4．下列不是n 维向量组12,,...,s ααα线性无关的充分必要条件是（ ） () A 存在一组不全为零的数12,,...,s k k k 使得1122...s s k k k O ααα+++≠；
() B 不存在一组不全为零的数12,,...,s k k k 使得1122...s s k k k O ααα+++= 12(),,...,s C ααα的秩等于s ； 12(),,...,s D ααα中任意一个向量都不能用其余向量线性表示 5．设n 阶矩阵(3)n ≥1...1................1a a a a a a A a a a ?? ? ? ?= ? ? ???，若矩阵A 的秩为1n -，则a 必为（ ）。 ()A 1； () B 11n -； () C 1-； () D 11 n -. 6．四阶行列式 1 1 2 2334 4 0000 000 a b a b b a b a 的值等于（ ）。 ()A 12341234a a a a b b b b -； ()B 12341234a a a a b b b b +； () C 12123434()()a a b b a a b b --； () D 23231414()()a a b b a a b b --. 7．设A 为四阶矩阵且A b =，则A 的伴随矩阵* A 的行列式为（ ）。 ()A b ； () B 2b ； () C 3b ； () D 4b 8．设A 为n 阶矩阵满足23n A A I O ++=，n I 为n 阶单位矩阵,则1 A -=（ ） () n A I ； ()3n B A I +； ()3n C A I --； ()D 3n A I + 9．设A ，B 是两个相似的矩阵，则下列结论不正确的是（ ）。 ()A A 与B 的秩相同； ()B A 与B 的特征值相同； () C A 与B 的特征矩阵相同； () D A 与B 的行列式相同；
考研线性代数重点内容和典型题型 线性代数在考研数学中占有重要地位，必须予以高度重视.线性代数试题的特点比较突出，以计算题为主，证明题为辅，因此，专家们提醒广大的xx年的考生们必须注重计算能力.线性代数在数学一、二、三中均占22%，所以考生要想取得高分，学好线代也是必要的。下面，就将线代中重点内容和典型题型做了总结，希望对xx年考研的同学们学习有帮助。 行列式在整张试卷中所占比例不是很大，一般以填空题、选择题为主，它是必考内容，不只是考察行列式的概念、性质、运算，与行列式有关的考题也不少，例如方阵的行列式、逆矩阵、向量组的线性相关性、矩阵的秩、线性方程组、特征值、正定二次型与正定矩阵等问题中都会涉及到行列式.如果试卷中没有独立的行列式的试题，必然会在其他章、节的试题中得以体现.行列式的重点内容是掌握计算行列式的方法，计算行列式的主要方法是降阶法，用按行、按列展开公式将行列式降阶.但在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进行恒等变形，化简之后再展开.另外，一些特殊的行列式（行和或列和相等的行列式、三对角行列式、爪型行列式等等）的计算方法也应掌握.常见题型有：数字型行列式的计算、抽象行列式的计算、含参数的行列式的计算.关于每个重要题型的具体方法以及例题见《xx 年全国硕士研究生入学统一考试数学120种常考题型精解》。 矩阵是线性代数的核心，是后续各章的基础.矩阵的概念、运算及理论贯穿线性代数的始终.这部分考点较多，重点考点有逆矩阵、
伴随矩阵及矩阵方程.涉及伴随矩阵的定义、性质、行列式、逆矩阵、秩及包含伴随矩阵的矩阵方程是矩阵试题中的一类常见试题.这几年还经常出现有关初等变换与初等矩阵的命题.常见题型有以下几种：计算方阵的幂、与伴随矩阵相关联的命题、有关初等变换的命题、有关逆矩阵的计算与证明、解矩阵方程。 向量组的线性相关性是线性代数的重点，也是考研的重点。xx 年的考生一定要吃透向量组线性相关性的概念，熟练掌握有关性质及判定法并能灵活应用，还应与线性表出、向量组的秩及线性方程组等相联系，从各个侧面加强对线性相关性的理解.常见题型有：判定向量组的线性相关性、向量组线性相关性的证明、判定一个向量能否由一向量组线性表出、向量组的秩和极大无关组的求法、有关秩的证明、有关矩阵与向量组等价的命题、与向量空间有关的命题。 往年考题中，方程组出现的频率较高，几乎每年都有考题，也是线性代数部分考查的重点内容.本章的重点内容有：齐次线性方程组有非零解和非齐次线性方程组有解的判定及解的结构、齐次线性方程组基础解系的求解与证明、齐次（非齐次）线性方程组的求解（含对参数取值的讨论）.主要题型有：线性方程组的求解、方程组解向量的判别及解的性质、齐次线性方程组的基础解系、非齐次线性方程组的通解结构、两个方程组的公共解、同解问题。 特征值、特征向量是线性代数的重点内容，是考研的重点之一，题多分值大，共有三部分重点内容：特征值和特征向量的概念及计算、