不等式恒成立问题
“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。
一、判别式法
若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=,有
1）0)(>x f 对R x ∈恒成立?
???00a ; 2）0)( 0??? 例1．已知函数])1(lg[22a x a x y +-+=的定义域为R ，求实数a 的取值范围。 解：由题设可将问题转化为不等式0)1(22>+-+a x a x 对R x ∈恒成立，即有 04)1(22<--=?a a 解得3 11>- 1()1,(+∞--∞ 。 若二次不等式中x 的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。 例2．设22)(2+-=mx x x f ，当),1[+∞-∈x 时，m x f ≥)(恒成立，求实数m 的取值范围。 解：设m mx x x F -+-=22)(2，则当),1[+∞-∈x 时，0)(≥x F 恒成立 当120)2)(1(4<<-<+-=?m m m 即时，0)(>x F 显然成立； 当0≥?时，如图，0)(≥x F 恒成立的充要条件为： ??? ????-≤--≥-≥?1220)1(0m F 解得23-≤≤-m 。 综上可得实数m 的取值范围为)1,3[-。 二、最值法 将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有： 1）a x f >)(恒成立min )(x f a 2）a x f <)(恒成立max )(x f a >? 1．已知两个函数2()816f x x x k =+-， 32()254g x x x x =++，其中k 为实数. O x y x -1 (1)若对任意的[]33，-∈x ，都有)()(x g x f ≤成立，求k 的取值范围； (2)若对任意的[]3321，、-∈x x ，都有)()(21x g x f ≤，求k 的取值范围. (3)若对于任意1x []3,3∈-,总存在[]03,3x ∈-使得)()(10x f x g =成立，求k 的取值范围. 【分析及解】 (1) 令k x x x x f x g x F +--=-=1232)()()(23, 问题转化为0)(≥x F 在 []3,3-∈x 上恒成立,即0)(min ≥x F 即可 ∵)2(61266)(22'--=--=x x x x x F , 由0)('=x F , 得2=x 或 1-=x . ∵(3)45(3)9(1)7(2)20F k F k F k F k -=-=--=+=-，，，, ∴45)(min -=k x F , 由045≥-k , 解得 45≥k . (2)由题意可知当[]33， -∈x 时,都有min max )()(x g x f ≤. 由01616)('=+=x x f 得1-=x . ∵k f k f --=--=-8)1(24)3(，, k f -=120)3(, ∴120)(max +-=k x f . 由04106)(2'=++=x x x g 得3 21-=-=x x 或, ∵21)3(-=-g , 111)3(=g , 1)1(-=-g , 27 28)32(-=-g , ∴21)(min -=x g . 则21120-≤-k , 解得141≥k . (3) 若对于任意1x []3,3∈-,总存在[]03,3x ∈-使得)()(10x f x g =成立，等价于()f x 的值域是()g x 的值域的子集， 由(2)可知， 2()816f x x x k =+-在[]3,3-的值域为[]8,120k k ---+， 32()254g x x x x =++在[]3,3-的值域为[]21,111-， 于是，[][]8,12021,111k k ---+?-，即满足 821,120111. k k --≥-??-+≤?解得913k ≤≤ 2．已知x x x x g a x x x f 4042)(,287)(232-+=--=，当]3,3[-∈x 时，)()(x g x f ≤恒成立，求实数a 的取值范围。 解：设c x x x x g x f x F -++-=-=1232)()()(23， 则由题可知0)(≤x F 对任意]3,3[-∈x 恒成立 令01266)(2'=++-=x x x F ，得21=-=x x 或 而,20)2(,7)1(a F a F -=-=-,9)3(,45)3(a F a F -=-=- ∴045)(max ≤-=a x F ∴45≥a 即实数a 的取值范围为),45[+∞。 3．函数),1[,2)(2+∞∈++=x x a x x x f ，若对任意),1[+∞∈x ，0)(>x f 恒成立，求实数a 的取值范围。 解：若对任意),1[+∞∈x ，0)(>x f 恒成立， 即对),1[+∞∈x ，02)(2>++=x a x x x f 恒成立， 考虑到不等式的分母),1[+∞∈x ，只需022>++a x x 在),1[+∞∈x 时恒成立而得 而抛物线a x x x g ++=2)(2在),1[+∞∈x 的最小值03)1()(min >+==a g x g 得3->a 注：本题还可将)(x f 变形为2)(++=x a x x f ，讨论其单调性从而求出)(x f 最小4. 已知a ax x x f -++=3)(2，若2)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立，求a 的取值范围. 解析 本题可以化归为求函数f (x )在闭区间上的最值问题,只要对于任意2)(],2,2[min ≥-∈x f x .若2)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立?2)(],2,2[min ≥-∈?x f x ??????≥-=-=-≤-2 37)2()(22min a f x f a 或??? ????≥--=-=≤-≤-243)2()(2222min a a a f x f a 或?????≥+==>-27)2()(22min a f x f a ，即a 的取值范围为]222,5[+--. 值。 三、分离变量法 若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有： 1）为参数）a a g x f )(()(<恒成立max )()(x f a g >? 2）为参数）a a g x f )(()(>恒成立max )()(x f a g 实际上，上题就可利用此法解决。 略解：022>++a x x 在),1[+∞∈x 时恒成立，只要x x a 22-->在),1[+∞∈x 时恒成立。而易求得二次函数x x x h 2)(2--=在),1[+∞上的最大值为3-，所以3->a 。 1、已知函数()lg 2a f x x x ??=+- ??? ，若对任意[)2,x ∈+∞恒有()0f x >，试确定a 的取值范围。 解：根据题意得：21a x x +->在[)2,x ∈+∞上恒成立， 即：23a x x >-+在[)2,x ∈+∞上恒成立， 设()23f x x x =-+，则()2 3924f x x ??=--+ ?? ? 当2x =时，()max 2f x = 所以2a > 2、已知(],1x ∈-∞时，不等式()21240x x a a ++-?>恒成立，求a 的取值范围。 解：令2x t =，(],1x ∈-∞ (]0,2t ∴∈ 所以原不等式可化为：221t a a t +-<， 要使上式在(]0,2t ∈上恒成立，只须求出()21t f t t += 在(]0,2t ∈上的最小值即可。 ()22211111124 t f t t t t t +????==+=+- ? ????? 11,2t ??∈+∞???? ()()min 324f t f ∴== 234a a ∴-< 1322 a ∴-<< 3．已知函数]4,0(,4)(2∈--=x x x ax x f 时0)( 解： 将问题转化为x x x a 2 4-<对]4,0(∈x 恒成立。 令x x x x g 24)(-=，则min )(x g a < 由144)(2-=-=x x x x x g 可知)(x g 在]4,0(上为减函数，故0)4()(min ==g x g ∴0 注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。例4 已知函数|54|)(2--=x x x f ，若在区间]5,1[-上，k kx y 3+=的图象位于函数f (x )的上方，求k 的取值范围. 解析 本题等价于一个不等式恒成立问题,即对于543],5,1[2++->+-∈?x x k kx x 恒成立,式子中有两个变量,可以通过变量分离化归为 求函数的最值问题. 对于543],5,1[2 ++->+-∈?x x k kx x 恒成立3542+++->?x x x k 对于]5,1[-∈?x 恒成立,令]5,1[,3542-∈+++-=x x x x y ,设]8,2[,3∈=+t t x ,则],8,2[,10)16(∈++-=t t t y 4=∴t 当,即x =1时2max =y , ∴k 的取值范围是k >2. 变式 若本题中将k kx y 3+=改为2)3(+=x k y ，其余条件不变，则也可以用变量分离法解. 由题意得，对于54)3(],5,1[22++->+-∈?x x x k x 恒成立22)3(54+++-> ?x x x k 对于]5,1[-∈?x 恒成立,令]5,1[,)3(5 422-∈+++-=x x x x y ,设]8,2[,3∈=+t t x ,则 ,169)454(1101622 +--=-+-=t t t y ]8,2[∈t ， 时即当5 1,454==∴x t ,169max =y , ∴k 的取值范围是k >169. 4. 已知f (x )是定义在[-1,1]上的奇函数,且f (1)=1,若0)()(0],1,1[,>++≠+-∈n m n f m f n m n m 时，若12)(2+-≤at t x f 对于所有的]1,1[],1,1[-∈-∈a x 恒成立，求实数t 的取值范围. 解析 本题不等式中有三个变量，因此可以通过消元转化的策略，先消去一个变量，容易证明f (x )是定义在[-1,1]上的增函数,故 f (x )在[-1,1]上的最大值为f (1)=1,则12)(2+-≤at t x f 对于所有的]1,1[],1,1[-∈-∈a x 恒成立?1212+-≤at t 对于所有的]1,1[-∈a 恒成立，即022≤-t ta 对于所有的]1,1[-∈a 恒成立，令22)(t ta a g -=，只要? ? ?≤≤-0)1(0)1(g g ，022=≥-≤∴t t t 或或． 四、变换主元法 处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。 例1 已知对于任意的a ∈[-1,1]，函数f (x )=ax 2+(2a -4)x +3-a >0 恒成立，求x 的取值范围. 解析 本题按常规思路是分a =0时f (x )是一次函数，a ≠0时是二次函数两种 情况讨论，不容易求x 的取值范围。因此，我们不能总是把x 看成是变量，把a 看成常参数，我们可以通过变量转换，把a 看成变量，x 看成常参数，这就转化一次函数问题，问题就变得容易求解。令g (a )=(x 2+2x -1)a -4x+3在a ∈[-1,1]时，g (a )>0恒成立，则???>>-0 )1(0)1(g g ，得133133+-<<--x . 例2、若不等式()2211x m x ->-对满足2m ≤的所有m 都成立，求x 的取值范围。 解：设()()()2121f m m x x =---，对满足2m ≤的m ，()0f m <恒成立， ()()()()()()2221210202021210 x x f f x x ?----<--+-+a x a x 恒成立，求x 的取值范围。 分析：题中的不等式是关于x 的一元二次不等式，但若把a 看成主元，则问题可转化为一次不等式044)2(2>+-+-x x a x 在]1,1[-∈a 上恒成立的问题。 解：令44)2()(2+-+-=x x a x a f ，则原问题转化为0)(>a f 恒成立（]1,1[-∈a ）。 当2=x 时，可得0)(=a f ，不合题意。 当2≠x 时，应有???>->0 )1(0)1(f f 解之得31> 故x 的取值范围为),3()1,(+∞-∞ 。 注：一般地，一次函数)0()(≠+=k b kx x f 在],[βα上恒有0)(>x f 的充要条件为? ??>>0)(0)(βαf f 。 四、数形结合法 数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系： 1）?>)()(x g x f 函数)(x f 图象恒在函数)(x g 图象上方； 2）?<)()(x g x f 函数)(x f 图象恒在函数)(x g 图象下上方。 例1、若不等式4 23log 0a x x -<在4 10,3x ??∈ ??? 内恒成立，求实数4 a 的取值范围。 解：由题意知：4 23log a x x <在4 10,3x ??∈ ??? 内恒成立， 在同一坐标系内，分别作出函数4 23y x =和4 log a y x = 观察两函数图象，当4 10,3x ??∈ ??? 时，若4 1a >函数4 log a y x =的图象显然在函数4 23y x =图象的下方，所以不成立； 当4 01a <<时，由图可知，4 log a y x =的图象必须过点4 11,33?? ??? 或在这个点的上方，则，4 11log 33a ≥ 4 127a ∴≥ 4 1127 a ∴>≥ 综上得：4 1127 a >≥ 例2．设x x x f 4)(2--= , a x x g -+=13 4)(,若恒有)()(x g x f ≤成立,求实数a 的取值范围. 分析：在同一直角坐标系中作出)(x f 及)(x g 的图象 如图所示，)(x f 的图象是半圆)0(4)2(22≥=++y y x )(x g 的图象是平行的直线系03334=-+-a y x 。 要使)()(x g x f ≤恒成立， 则圆心)0,2(-到直线03334=-+-a y x 的距离 满足 25 338≥-+-=a d 解得3 55≥-≤a a 或（舍去) 例3 .设函数x x a x f 4)(2+-+-=,a ax x g +=)(,若恒有)()(x g x f ≤成立,试求实数a 的取值范围. 解析 由题意得)()(x g x f ≤a ax x x 242+≤+-?,令 x x y 421+-=① ,a ax y 22+=②. ①可化为)0,40(4)2(1212≥≤≤=+-y x y x ，它表示以(2,0)为圆心，2 为半径的上半圆；②表示经过定点(-2,0)，以a 为斜率的直线，要使)()(x g x f ≤恒成立，只需①所表示的半圆在②所表示的直线下方就可以了(如图所 示)．当直线与半圆相切时就有 21|22|2=++a a a ，即3 3±=a ，由图可知，要使)()(x g x f ≤恒成立，实数a 的取值范围是33≥ a ． x -2 -4 y O -4 x y O 五.分类讨论 在给出的不等式中，如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边，则可利用分类讨论的思想来解决。 例1、若4 []2,2x ∈-时，不等式4 23x ax a ++≥恒成立，求4 a 的取值范围。 解：设4 ()23f x x ax a =++-，则问题转化为当4 []2,2x ∈-时，4 ()f x 的最小值非负。 （1） 当 4 22a - <-即：4 4a >时，4 ()()min 2730f x f a =-=-≥ 4 73 a ∴≤又4 4a >所以4 a 不存在； （2） 当4 222a -≤≤即：4 44a -≤≤时，4 ()2min 3024a a f x f a ??=-=--≥ ??? 4 62a ∴-≤≤ 又4 44a -≤≤ 4 42a ∴-≤≤ （3） 当 4 22 a -> 即：4 4a <-时，4 ()()min 270f x f a ==+≥ 4 7a ∴≥-又4 4a <- 4 74a ∴-≤<- 综上所得：4 72a -≤≤ 1．解关于x 的不等式 34422+>+-m m mx x 解：原不等式等价于 3|2|+>-m m x 当03>+m 即3->m 时， )3(232+-<-+>-m m x m m x 或 ∴333-<+>m x m x 或 当03=+m 即3-=m 时， 0|6|>+x ∴x ≠-6 当03<+m 即3- 2．设a R ∈，函数22()2.f x x ax a =-- 若()0f x >的解集为A ，{}|13,B x x A B φ=<<≠ ，求实数a 的取值范围。 点评：二次函数与二次不等式和集合知识有很多联系，不等式的解集、函数的值域成为集合运算的载体，对于含参数问题要确定好分类的标准，做到不重不漏。 3． 已知4 a 是实数，函数4 2()223f x ax x a =+--，如果函数4 ()y f x =在区间4 []11-，上有零点，求4 a 的取值范围． 解析：由函数4 ()f x 的解析式的形式，对其在定区间上零点问题的解决需要考虑它是一次函数，还是二次函数，因而需就4 0a =和4 0a ≠两类情况进行讨论。 答案：函数 4 ()y f x =在区间[-1，1]上有零点，即方程 4 2()223f x ax x a =+--=0在[-1，1]上有解， a=0时，不符合题意，所以a ≠0,方程f(x)=0在[-1，1]上有解<=>4 (1)(1)0f f -?≤或4 (1)0(1)048(3)01[ 1.1]af af a a a -≥??≥???=++≥???-∈-?? 4 15a ?≤≤或 4 372 a --≤或4 5a ≥ 4 ? 4 372 a --≤或a ≥1. 所以实数a 的取值范围是 4 372a --≤ 或a ≥1. 点评：本题主要考察二次函数及其性质、一元二次方程、函数应用、解不等式等基础知识，考察了数形结合、分类讨论的思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力。 4．已知 4 2()3(6)f x x a a x b =-+-+ （1）解关于a 的不等式4 (1)0f >． （2）当不等式f(x)>0的解集为（－1，3）时，求实数4 ,a b 的值． 4．解：（1）f(1)=4 -3+a(6-a)+b =4 263a a b -++- ∵ f(1)>0 ∴4 2630a a b -++-< ------------------- 2分 △ =24+4b 当b≤-6时，△≤0∴ f(1)>0的解集为φ；------------- 4分 当b>-6时，3636b a b -+<<++ ∴ f(1)>0的解集为{}|3636x b a b --<<++--------- 6分 （2）∵ 不等式4 2-3+(6-)+b>0x a a x 的解集为（-1，3） ∴ f(x)>0与不等式(x+1)(x-3)<0同解 ∵4 23(6-)-b<0x a a x 解集为（-1，3）----------------- 8 分 ∴ ???????=-=3 b 33) a 6(a 2------------------ 11分 解之得?????=±=9 b 3 3a ----------------------- 1２分 不等式恒成立问题 一、 教学目标 1、 知识目标；掌握不等式恒成立问题求参数的范围的求解方法并会运用 2、 能力目标；培养学生分析问题解决问题的能力 3、 情感目标；优化学生的思维品质 二、 教学重难点 1、教学的重点；不等式恒成立问题求参数的范围的求解方法并会运用 2、教学的难点；不等式恒成立问题求参数的范围的求解方法的选择 三、 教学方法：高三复习探究课：学生研讨探究----学生归纳小结-----学生巩 固练习----学生变式探究---学生总结 四、 教学过程 1、 引人 高三数学复习中的不等式恒成立问题，涉及到函数的性质、图象, 渗透着换元、化归、数形结合、函数方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，因此备受命题者的青睐，也成为历年高考的一个热点。我们今天这堂课来研究不等式恒成立求参数的取值范围问题的求解方法。引入课题 2、新课 下面我们来看例1例1、对一切实数x ]1,1[-∈，不等式 a x a x 24)4(2-+-+＞0恒成立，求实数a 的取值范围（由学生完成） 由一个基本题得到不等式恒成立问题求参数的范围的求解方法 解法一；分离参数 由原不等式可得：a(x-2) > -x 2+4x-4 ， 又因为x ∈[-1，1] ，x-2∈[-3，-1] a<2-x 又因为x ∈[-1，1]，所以 a<1. 解法二；分类讨论、解不等式 （x-2）[x-(2-a)]>0 当a=0时不等式恒成立 当a<0 时x>2-a 或x<2 不等式恒成立 当a>0时x>2 或x<2-a 所以2-a>1 即a<1 所以a<1时不等式恒成立 解法三；构造函数求最值 设f(x)=x2+(a-4)x+4-2a 当(4-a)/2∈[-1，1]，即a∈[2，6]时 -a2<0 不成立，舍弃； 当a>6时，f(-1)=1-a+4+4-2a>0 a<3 不成立，舍弃； 当a<2时，f(1)=1+a-4+4-2a=1-a>0 a<1 综上得：a<1 解法四；构造方程用判别式韦达定理根的分布 设x2+(a-4)x+4-2a=0 方程无实根或有两实根两根小于-1或两根大于1 △=(a-4)2-4(4-2a)=a2≥0 所以1-(a-4)+4-2a>0且(4-a)/2<-1 或1+(a-4)+4-2a>0 且(4-a)/2>16且a<3 或a<1且a<2, 所以a<1 解法五；数形结合（用动画来演示 a(x-2)>-x2+4x-4 设y=a(x-2) 和y=-x2+4x-4 分别作两函数的图象 函数、不等式恒成立问题解法（老师用） 恒成立问题的基本类型： 类型1：设)0()(2 ≠++=a c bx ax x f ，(对于任意实数R 上恒成立) （1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00?且a ； （2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立?????>>-?????<- ?0 )(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或， ],[0)(βα∈ 不等式恒成立问题基本类型及常用解法 类型1：设f(x)=ax+b f(x) ＞0在x ∈[]n m ,上恒成立? ???0 )(0)( n f m f f(x) ＜0在x ∈[]n m ,上恒成立??? ?0)(0)( n f m f . 例1. 设y=(log 2x)2+(t-2)log 2x-t+1,若t 在[-2,2]上变化，y 恒取正值，求实数x 的取值范围。 例2. 对于 -1≤a ≤1,求使不等式(21)ax x +2<(2 1)12-+a x 恒成立的x 的取值范围。 类型2：设f(x)=ax 2+bx+c (a ≠0) f(x) ＞0在x ∈R 上恒成立?a ＞0 且△＜0; f(x) ＜0在x ∈R 上恒成立?a ＜0 且△＜0. 说明：①.只适用于一元二次不等式 ②.若未指明二次项系数不等于0，注意分类讨论. 例3.不等式3 642222++++x x m mx x ＜1对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围。 类型3：设f(x)=ax 2+bx+c (a ≠0) （1） 当a ＞0时 ① f(x) ＞0在x ∈[]n m ,上恒成立 ??????≤-0)(2 m f m a b 或??????-o n a b m 2或?????≥-0)(2 n f n a b ??????≤-0)(2 m f m a b 或△＜0或?????≥-0 )(2 n f n a b . ② f(x) ＜0在x ∈[]n m ,上恒成立?? ??0)(0)( n f m f . （2） 当a ＜0时 ① f(x) ＞0在x ∈[]n m ,上恒成立? ? ? ?0)(0)( n f m f ② f(x) ＜0在x ∈[]n m ,上恒成立 ??????≤-0)(2 m f m a b 或??????-o n a b m 2或?????≥-0)(2 n f n a b ??????≤-0)(2 m f m a b 或△＜0或?????≥-0 )(2 n f n a b . 说明：只适用于一元二次不等式. 类型4：a ＞f(x) 恒成立对x ∈D 恒成立?a ＞f(x)m ax ， a ＜f(x)对x ∈D 恒成立? a ＜f(x)m in . 说明：①. f(x) 可以是任意函数 ②.这种思路是：首先是---分离变量，其次用---极端值原理。把问题转化为求函数的最值，若f(x)不存 在最值，可求出f(x)的范围，问题同样可以解出。 例4.（2000.上海）已知f(x)=x a x x ++22 ＞0在x ∈[)+∞,1上恒成立，求实数a 的取值范围。 学习过程 一、复习预习 考纲要求： 1．理解导数和切线方程的概念。 2．能在具体的数学环境中，会求导，会求切线方程。 3．特别是没有具体点处的切线方程，如何去设点，如何利用点线式建立直线方程。4．灵活应用建立切线方程与其它数学知识之间的内在联系。 5. 灵活应用导数研究函数的单调性问题 二、知识讲解 1.导数的计算公式和运算法则 几种常见函数的导数：0'=C (C 为常数)；1 )'(-=n n nx x (Q n ∈)； x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -=；1(ln )x x '= ； 1(log )log a a x e x '=， ()x x e e '= ； ()ln x x a a a '= 求导法则：法则1 [()()]()()u x v x u x v x ±'='±'． 法则2 [()()]()()()()u x v x u x v x u x v x '='+', [()]'()Cu x Cu x '= 法则3： ' 2 '' (0)u u v uv v v v -??=≠ ??? 复合函数的导数：设函数()u x ?=在点x 处有导数()x u x ?'='，函数()y f u =在点x 的对应点u 处有导 数()u y f u '='，则复合函数(())y f x ?=在点x 处也有导数，且x u x u y y '''?= 或(())()()x f x f u x ??'='?' 2.求直线斜率的方法（高中范围内三种） (1) tan k α=（α为倾斜角）； (2) 1212 ()() f x f x k x x -= -，两点1122(,()),(,())x f x x f x ； (3)0()k f x '= （在0x x =处的切线的斜率）； 3.求切线的方程的步骤：（三步走） （1）求函数()f x 的导函数()f x '； （2）0()k f x '= （在0x x =处的切线的斜率）； （3）点斜式求切线方程00()()y f x k x x -=-； 4.用导数求函数的单调性： （1）求函数()f x 的导函数()f x '； （2）()0f x '>，求单调递增区间； （3）()0f x '<，求单调递减区间； （4）()0f x '=，是极值点。 考点一 函数的在区间上的最值 【例题1】：求曲线29623-+-=x x x y 在)5,2(上的最值 。 【答案】：最大值为18，最小值为-2. 【解析】:∵根据题意09123'2=+-=x x y ，∴3,121==x x ,由函数的单调性，当11=x ，2=y ， 取得极大值；当32=x ，2-=y ，取得极小值；当5=x ，18=y 。所以最大值为18，最小值为-2. 不等式中恒成立问题的解法 一、判别式法 若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数 ),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=,有 1）0)(>x f 对R x ∈恒成立? ???00 a ; 2）0)( 一元二次不等式恒成立问题专项练习 例题：设函数f (x )＝mx 2－mx －1. (1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围； (2)对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围. (3)对于任意m ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求实数x 的取值范围. 解： (1)要使mx 2－mx －1<0恒成立， 若m ＝0，显然－1<0，满足题意； 若m ≠0，则??? m <0， Δ＝m 2＋4m <0，即－4 不等式恒成立问题 “含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。 一、判别式法 若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=,有 1）0)(>x f 对R x ∈恒成立? ???00a ; 2）0)( 不等式有解和恒成立问题 Prepared on 24 November 2020 不等式有解和恒成立问题 知识点的罗列，文字不宜太多，简洁明了最好） ? 知识点一：不等式恒成立问题 ? 知识点二：不等式有解问题 分析该知识点在中高考中的体现，包含但不仅限于：考察分值、考察题型（单选、填空、解答题）、考察方式：考场难度、和哪些知识点在一起考察，参考中高考真题) 含参不等式的恒成立与有解问题是高考与会考考察不等式的一个重点内容，也是常考的内容，难度中等偏上，考察综合性较强，该知识点在填空选择解答题里都有涉及，经常和函数的最值问题在一起考察，需要同学对典型函数的值域求法有熟悉的掌握。 注意题目的答案，不要展示给学生看，这里答案和解析是帮助老师自己分析的) 一、不等式有解问题 例题：当m 为何值时，2211223 x mx x x +-<-+对任意的x ∈R 都成立 解法1：二次函数法： 移项、通分得： 又22230x x -+>恒成立，故知：2(2)40x m x -++>恒成立。 所以：2(2)160m ?=+-<，得到62m -<< 解法2：分离参数法： 注意到2(2)40x m x -++>恒成立，从而有：224mx x x <-+恒成立，那么： 注意到，在上式中我们用到了这样一个性质： 总结：解决恒成立问题的方法:二次函数法和分离参数法 变式练习：（初三或者高三学生必须选取学生错题或者学生所在地区的中高考真题或者当地的统考题目） 【试题来源】（上海2016杨浦二模卷） 【题目】设函数x x g 3)(=，x x h 9)(=，若b x g a x g x f +++=)()1()(是实数集R 上的奇函数，且0))(2()1)((>?-+-x g k f x h f 对任意实数x 恒成立，求实数k 的取值范围. 【答案】：因为b x g a x g x f +++= )()1()(是实数集上的奇函数，所以1,3=-=b a . )1 321(3)(+-=x x f ，)(x f 在实数集上单调递增. } 11 |{1)5(1)4(} 1 1|{10)3(} 1|{0)2(}1,1 |{0)1(<<>Φ =<<<<>=>< 例谈不等式恒成立问题和能成立问题的解题策略 ——谈2008年江苏高考数学试卷第14题 摘要：所有问题均可分成三类：恒成立问题、能成立问题和不成立问题。《例谈不等式恒成立问题和能成立问题》介绍了解决不等式恒成立问题和不等式能成立问题常用的直接法、分离参数法、分类讨论法、数形结合法等，采用了等价转化的处理策略。 关键词：分离参数、分类讨论、数形结合、等价转化，换元，求最值。 2008年江苏高考数学试卷第14题是一道很好的恒成立问题：设函数3()31()f x ax x x R =-+∈若对于任意[]1,1x ∈-都有()0f x ≥成立，则实数a 的值为 。解析如下： 析：将()0f x ≥中的,a x 分离，然后求函数的最值。 解：函数3()31()f x ax x x R =-+∈若对于任意[]1,1x ∈-都有()0f x ≥成立，函数3()31()f x ax x x R =-+∈对于任意[)(]1,0,0,10x x x ∈-∈=及其有()0f x ≥都成立。 若[)1,0x ∈-，33213()310f x ax x a x x =-+≥?≤- +，设1t x =则1t ≤- 3232133(1)t t t x x ∴-+=-+≤-，令323(1)y t t t =-+≤-，则'2360y t t =-+< 323(1)y t t t ∴=-+≤-单调递减，32min 1(1)3(1)4t y y =-==--+-=，4a ∴≤（1） 若(]0,1x ∈，33213()310f x ax x a x x =-+≥?≥- +，设1t x =，则1t ≥ 3232133(1)t t t x x ∴-+=-+≥，令323(1)y t t t =-+≥，则'2363(2)y t t t t =-+=--，当12t ≤≤时'0y ≥，323(1)y t t t =-+≥单调递增；当2t >时'0y <，323(1)y t t t =-+≥单调递减，32max 22324t y y ===-+?=，4a ∴≥（2） 若0x =则a R ∈，()0f x ≥成立（3） 由题意知（1）（2）（3）应同时成立4a ∴= 解题中采取了不等式恒成立问题的处理策略: 1、若f(x)≥a 对x ∈D 恒成立，只须f(x)min (x ∈D)≥a 即可。 2、若f(x)≤a 对x ∈D 恒成立，只须f(x)max (x ∈D)≤a 即可。 恒成立问题常见类型及解法 恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：（1）一次函数型；（2）二次函数型；（3）变量分离型；（4）利用函数的性质求解；（5）直接根据函数的图象求解；（6）反证法求解。 一、一次函数型 给定一次函数()==+y f x kx b (k ≠0),若()=y f x 在[m,n]内恒有()f x >0，则根据函数的 图象（线段）可得①0()0>??>?k f m 或②0()0?k f n ，也可合并成f (m)0f (n)0>??>?， 同理，若在[,]m n 内恒有()0 及二次函数的图象求解。 典例2关于x 的方程9x +(4+a )3x +4=0恒有解，求a 的取值范围。 【解析】方法1（利用韦达定理） 设3x =t,则t>0.那么原方程有解即方程t 2 +(4+a )t+4=0有正根。 1212 Δ0 (4)040 ≥?? ∴+=-+>??=>?g x x a x x ，即2(4a)160a 4?+-≥?<-?，a 0a 8a 4≥≤-?∴?<-?或，解得a ≤-8. 方法2（利用根与系数的分布知识） 即要求t 2 +(4+a )t+4=0有正根。设f(t)= t 2 +(4+a )t+4. 当?=0时，即（4+a ）2 -16=0,∴a =0或a =-8. 当a =0时，f(t)=(t+2)2=0,得t=－2<0，不合题意； 当a =－8时，f(t)=(t-2)2 =0,得t=2>0,符合题意。∴a =-8。 当?>0，即a <-8或a >0时， ∵f(0)=4>0,故只需对称轴4a 02 +->，即a <－4.∴a <－8. 综上可得a ≤－8. 三、变量分离型 若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。 典例3设函数2 ()1f x x =-，对任意2,3x ??∈+∞????，2 4()(1)4()x f m f x f x f m m ??-≤-+ ??? 恒成立，则实数m 的取值范围是 【解析】依据题意得2 2222214(1)(1)14(1)---≤--+-x m x x m m 在3[,)2∈+∞x 上恒定成 立，即2 2213241-≤--+m m x x 在3[,)2∈+∞x 上恒成立。 当32=x 时函数2321=--+y x x 取得最小值53 -， 所以 221543-≤-m m ，即22(31)(43)0+-≥m m ，解得2≤-m 或2 ≥m 。 四、利用函数的性质解决恒成立问题 若函数f(x)是奇(偶)函数，则对一切定义域中的x,f(-x)= －f(x)，(f(-x)=f(x))恒成立；若函数y=f(x)的周期为T ，则对一切定义域中的x,有f(x)=f(x+T)恒成立；若函数 高中数学不等式的恒成立问题不等式恒成立的问题既含参数又含变量，往往与函数、数列、方程、几何有机结合起来，具有形式灵活、思维性强、不同知识交汇等特点. 考题通常有两种设计方式：一是证明某个不等式恒成立，二是已知某个不等式恒成立，求其中的参数的取值范围.解决这类问题的方法关键是转化化归，通过等价转化可以把问题顺利解决，下面我就结合自己记得教学经验谈谈不等式的恒成立问题的处理方法。 一、构造函数法 在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，即构造函数法，然后利用相关函数的图象和性质解决问题，同时注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更加面目更加清晰明了，一般来说，已知存在范围的量视为变量，而待求范围的量视为参数. 例1 已知不等式对任意的都成立，求的取值范围. 解：由移项得:.不等式左侧与二次函数非常相似，于是我们可以设则不等式对满足的 一切实数恒成立对恒成立.当时， 即 解得故的取值范围是. 注：此类问题常因思维定势，学生易把它看成关于的不等式讨论，从而因计算繁琐出错或者中途夭折；若转换一下思路，把待求的x为参数，以为变量，令 则问题转化为求一次函数（或常数函数）的值在内恒为负的问题，再来求解参数应满足的条件这样问题就轻而易举的得到解决了。 二、分离参数法 在不等式中求含参数范围过程中，当不等式中的参数（或关于参数的代数式）能够与其它变量完全分离出来并，且分离后不等式其中一边的函数（或代数式）的最值或范围可求时，常用分离参数法. 例2已知函数（为常数）是实数集上的奇函数，函数 在区间上是减函数. （Ⅰ）若对（Ⅰ）中的任意实数都有在上恒成立，求实数的取值范围. 解：由题意知，函数在区间上是减函数. 在上恒成立 注：此类问题可把要求的参变量分离出来，单独放在不等式的一侧，将另一侧看成新函数，于是将问题转化成新函数的最值问题：若对于取值范围内的任一个数 都有恒成立，则；若对于取值范围内的任一个数都有 恒成立，则. 三、数形结合法 如果不等式中涉及的函数、代数式对应的图象、图形较易画出时，可通过图象、图形的位置关系建立不等式求得参数范围. 例 3 已知函数若不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 常见不等式恒成立问题的几种求解策略 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 常见不等式恒成立问题的几种求解策略 不等式恒成立问题是近几年高考以及各种考试中经常出现，它综合考查函数、方程和不等式的主要内容，并且与函数的最值、方程的解和参数的取值范围紧密相连，本文结合解题教学实践举例说明几种常见不等式恒成立问题的求解策略，以抛砖引玉。 1 变量转换策略 例1 已知对于任意的a ∈[-1,1]，函数f (x )=ax 2+(2a -4)x +3-a >0 恒成立，求x 的取值范围. 解析 本题按常规思路是分a =0时f (x )是一次函数，a ≠0时是二次函数两种情况讨论，不容易求x 的取值范围。因此，我们不能总是把x 看成是变量，把a 看成常参数，我们可以通过变量转换，把a 看成变量，x 看成常参数，这就转化一次函数问题，问题就变得容易求解。令g (a )=(x 2+2x -1)a -4x+3在a ∈[-1,1]时，g (a )>0恒成立，则? ??>>-0)1(0)1(g g ，得133133+-<<--x . 点评 对于含有两个参数，且已知一参数的取值范围，可以通过变量转换，构造以该参数为自变量的函数，利用函数图象求另一参数的取值范围。 2 零点分布策略 例2 已知a ax x x f -++=3)(2，若0)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立，求a 的取值范围. 解析 本题可以考虑f (x )的零点分布情况进行分类讨论，分无零点、零点在区间的左侧、零点在区间 的右侧三种情况，即Δ≤0或?????????≥≥--≤->?0)2(0)2(220f f a 或?????????≥≥-≥->?0 )2(0)2(220f f a ，即a 的取值范围为[-7，2]. 点评 对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于零的问题,可以考虑函数的零点分布情况,要求对应闭区间上函数图象在x 轴的上方或在x 轴上就行了. 3 函数最值策略 例3 已知a ax x x f -++=3)(2，若2)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立，求a 的取值范围. 解析 本题可以化归为求函数f (x )在闭区间上的最值问题,只要对于任意2)(],2,2[m in ≥-∈x f x .若 基本不等式以及恒成立 【教学目标】 一、基本不等式 基本不等式：如果,a b R ∈，那么2 22 22a b a b ab ++??≤≤ ??? （当且仅当a b =时取“=”号） 当0,0a b >>时，2 2 +≥即a b +≥a b =时取“=”号） 【例题讲解】 二、基本不等式的构造 （一）分式分离 【知识点】 分式函数求最值，二次比一次型，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为()(0,0)() A y mg x B A B g x =++>>，()g x 恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。 【例题讲解】 ★☆☆例题1．已知0x >，求函数254x x y x ++= 的最小值； 答案：9 ★☆☆练习1．函数241 x x y x ?+= ?在1x >的条件下的最小值为_________；此时x =_________． 答案：5,3 ★☆☆练习2．已知0x >，则 24 x x x ?+的最小值是 答案：3 解：由于0x >， 41213x x ?=，当且仅当2x =时取等号，此时取得最小值3． ★★☆练习3． 求2 710(1)1 x x y x x ++=>?+的最小值。 答案：9 解析：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有(1)x +的项，再将其分离。 知识点要点总结： 关键点在于对分式不等式的分离，明确对于分式不等式以低次幂的为主导来进行配凑，并且注意对于正负的讨论。 （二）整式凑分式分母形式 【知识点】 对整式加分式的形式求最值，使用配凑法。需要调整项的符号，配凑项的系数，使其积为定值，从而利用基本不等式求解最值。 【例题讲解】 ★☆☆例题1．已知54 x < ，求函数14245y x x =?+?的最大值。 答案：1 1 2)45 x ?不是常数，所以对拆、凑项， 5,4x <∴1?当且仅当5备注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 ★☆☆练习1．若1 1,1 a a a >+ ?则的最小值是( ) A ．2 B ．a C. 1 a ? D ．3 答案：D 解析：由题意知10a ?>， ★☆☆练习2．若5x >?，则4 5 x x + +的最小值为（ ） 一题多解专题一：一元二次不等式恒成立问题 一元二次不等式恒成立问题的两种解法 (1)分离参数法.把所求参数与自变量分离,转化为求具体函数的最值问题. (2)不等式组法.借助二次函数的图象性质,列不等式组求解. 例1. 设函数22)(2+-=x ax x f ，对于满足1 复合函数的单调性与不等式恒成立问题 班级 学号 姓名 1、对于（0，3）上的一切实数x ,不等式()122-<-x m x 恒成立，则实数m 的取值范围是 。 2、不等式a 220x ax ++≥对任意x ∈R 恒成立，则a 的取值范围为 ． 3、不等式022 ≥-+ax ax 的解集为φ，则a 的取值范围为 ． 4、当[]1,3x ∈时，不等式220x ax ++>恒成立，则a 的范围为 ． 5、当[]1,3a ∈时，不等式220x ax ++>恒成立，则x 的范围为 ． 6、已知函数36,2(),63,2x x y f x x x +≥-?==?--<-? 若不等式()2f x x m ≥-恒成立，则实数m 的取值范围是 . 6．若二次函数()()22 42221f x x p x p p =----+在区间[－1，1]内至少存在一实数c ，使f(c)＞0，则实数p 的取值范围 （ ） A ．121<<-p B ．233<<-p C ．3-≤p D ．2 13-<<-p 8．若满足不等式08603422<+-<+-x x x x 和同时成立的x 的值，使关于x 的不等式0 922<+-a x x 也成立，则 （ ） A ．9>a B ．9=a C ．90≤+p x px x 恒成立的x 的取值范围是 ． 7、已知a ax x x f -++=3)(2 ，若2)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立，求a 的取值范围. 例1.若函数bx x a x f 1)1()(2++=，且3)1(=f ，2 9)2(=f ⑴求b a ,的值，写出)(x f 的表达式 ； ⑵判断)(x f 在),1[+∞上的增减性，并加以证明。 例4.已知f(x)=x a x x ++22 ＞0在x ∈[)+∞,1上恒成立，求实数a 的取值范围。 函数、不等式恒成立问题完整解法 恒成立问题的基本类型： 类型1：设)0()(2 ≠++=a c bx ax x f ，（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00?且a ； （2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00a 时， ] ,[0)(βα∈>x x f 在上恒成立 ?????>>-?????<- ?0 )(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或， ],[0)(βα∈ 不等式中恒成立问题 在不等式的综合题中，经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题。 恒成立问题的基本类型： 类型1：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00?且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立 ?????>>-?????<-?0 )(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或， ],[0)(βα∈ 基础梳理 1?一元二次不等式的解法 ⑴将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2+ bx+ c> 0(a> 0)或ax2 + bx+ c v 0(a> 0). ⑵求出相应的一元二次方程的根. (3)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集. 2. 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 如下表： 肋摩擞烁----- 一个技巧 一元二.次.不.等式…ax2+一bx+ c v 0(a壬.0)的解集.的确定愛…一 a.的符号.、…b2—4ac .的符号的影响，且与 相应的.二.次函数……一.元二次方程有密切联系,….可结合相应旳函数.…y亍.ax2.+. .bx+. c(a. 0).的图象， 数形结合求得不等式的解集，…若一元二次不等式经过不等式的同解变形后，化为... ax2+ bx+ c > 0(或v .0).(其中..a> .0)的形式，其对应的方程…a^+bx+c三0 一有.两个丕等实根…x i,.x2,(x i v x2)(此 时.b2—4ac> 0).,则可根据.“大于取两边，小于夹中间”求解集. ..... 两个防范 ⑴二.次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的解集；不要忘了二次项系数是否为零一. 的情况.；.. (2)解含参数的一元二次不等式.，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论;.若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论,.分类要不重不漏:……… 二次不等式恒成立问题 不等式ax2+ bx+ c>0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a= 0时，b = 0, c>0;当 a> 0, r a^ 0时，不等式ax2+ bx+ c v 0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a= 0时，b △v 0； a v 0, =0, c v 0；当a^0 时， △V 0. 、恒成立问题的基本类型: 类型1 :设f (x) 2 ax bx c(a 0)，(1) f (x) 0在x R上恒成立 a 0且0 ； (2) f(x) 0在x R上恒成立 a 0且0。 类型 设f(x) 2 ax bx c(a 0) 2 : (1) 当a 0时，f(x) 0在x [ ,］上恒成立 b b b 2a 或2a 或2a f( ) 0 0 f() 0 f() 0 f(x) 0在x [ ,］上恒成立 f() 0 f() 0 (2) 当a 0时，f(x) 0在x [ ,］上恒成立 f() 0不等式恒成立问题
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