(2)命题“正弦函数不是分段函数”可写成若一个函数是正弦函数，则该函数不是分段函数，易知A 、B 、C 都是错误的，故选D.
【答案】 (1)A (2)D
判断四种命题间关系、真假的方法
(1)写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写，当一个命题有大前提时，写其他三个命题时，大前提需要保持不变；
(2)当一个命题直接判断真假不容易进行时，可转而判断其逆否命题的真假．
[通关练习]
1．命题“若x 2＋y 2＝0，x ，y ∈R ，则x ＝y ＝0”的逆否命题是( )
A ．若x ≠y ≠0，x ，y ∈R ，则x 2＋y 2＝0
B ．若x ＝y ≠0，x ，y ∈R ，则x 2＋y 2≠0
C ．若x ≠0且y ≠0，x ，y ∈R ，则x 2＋y 2≠0
D ．若x ≠0或y ≠0，x ，y ∈R ，则x 2＋y 2≠0
D [解析] 将原命题的条件和结论否定，并互换位置即可．由x ＝y ＝0知x ＝0且y ＝0，其否定是x ≠0或y ≠0.
2．有下列四个命题：
①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题；
②“面积相等的三角形全等”的否命题；
③“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0有实数解”的逆否命题；
④“若A ∩B ＝B ，则A ?B ”的逆否命题．
其中真命题为________(填写所有真命题的序号)．
[解析] ①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题是“若x ，y 互为倒数，则xy ＝1”，显然是真命题，故①正确；②“面积相等的三角形全等”的否命题是“面积不相等的三角形不全等”，显然是真命题，故②正确；③若x 2－2x ＋m ＝0有实数解，则Δ＝4－4m ≥0，解得m ≤1，所以“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0有实数解”是真命题，故其逆否命题是真命题，故③正确；④若A ∩B ＝B ，则B ?A ，故原命题错误，所以其逆否命题错误，故④错误．
[答案] ①②③
充分条件、必要条件的判断(高频考点)[学生用书P9]
充分条件、必要条件的判断是高考命题的热点，常以选择题的形式出现，作为一个重要载体，考查的知识面很广，几乎涉及数学知识的各个方面．
高考对充要条件的考查主要有以下三个命题角度：
(1)判断指定条件与结论之间的关系；
(2)探求某结论成立的充要条件、充分不必要条件或必要不充分条件；
(3)与命题的真假性相交汇命题．
[典例引领]
(1)(2016·高考四川卷)设p ：实数x ，y 满足x >1且y >1，q ：实数x ，y 满足x ＋y >2，则p 是q 的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
(2)给出下列命题：
①“数列{a n }为等比数列”是“数列{a n a n ＋1}为等比数列”的充分不必要条件；
②“a ＝2”是“函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件；
③“m ＝3”是“直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直”的充要条件； ④设a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，则“A ＝30°”是“B ＝60°”的必要不充分条件．
其中真命题的序号是________．
【解析】 (1)若x >1且y >1，则有x ＋y >2成立，所以p ?q ；反之由x ＋y >2不能得到x >1且y >1.所以p 是q 的充分不必要条件．
(2)对于①，当数列{a n }为等比数列时，易知数列{a n a n ＋1}是等比数列，但当数列{a n a n ＋1}为等比数列时，数列{a n }未必是等比数列，如数列1，3，2，6，4，12，8…显然不是等比数列，而相应的数列3，6，12，24，48，96…是等比数列，因此①正确；对于②，当a ≤2时，函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上是增函数，因此②不正确；对于③，当m ＝3时，相应的两条直线互相垂直，反之，这两条直线垂直时，不一定有m ＝3，也可能m ＝0.因此③不正
确；对于④，由题意得b a ＝sin B sin A ＝3，若B ＝60°，则sin A ＝12
，注意到b >a ，故A ＝30°，
反之，当A ＝30°时，有sin B ＝32
，由于b >a ，所以B ＝60°或B ＝120°，因此④正确．综上所述，真命题的序号是①④.
[答案] (1)A (2)①④
充要条件问题的常见类型及解题策略
(1)充要条件的三种判断方法有定义法、集合法、等价转化法(见本讲要点整合)．
(2)探究某结论成立的充要、充分、必要条件．解答此类题目，可先从结论出发，求出使结论成立的必要条件，然后再验证得到的必要条件是否满足充分性．
(3)充要条件与命题真假性的交汇问题．依据命题所述的充分必要性，判断是否成立即可． [题点通关]
角度一 判断指定条件与结论之间的关系
1．(2016·高考天津卷)设x ＞0，y ∈R ，则“x ＞y ”是“x ＞|y |”的( )
A ．充要条件
B ．充分而不必要条件
C ．必要而不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
C [解析] 由x ＞y 推不出x ＞|y |，由x ＞|y |能推出x ＞y ，所以“x ＞y ”是“x ＞|y |”的必要而不充分条件．
角度二 探求某结论成立的充要条件、充分不必要条件或必要不充分条件
2．命题“对任意x ∈[1，2)，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是( )
A ．a ≥1
B ．a >1
C ．a ≥4
D ．a >4
D [解析] 命题可化为?x ∈[1，2)，a ≥x 2恒成立．因为x ∈[1，2)，所以x 2∈[1，4)． 所以命题为真命题的充要条件为a ≥4.所以命题为真命题的一个充分不必要条件为a >4，故选D.
角度三 与命题的真假性相交汇命题
3．下列命题中真命题的个数是( )
①x ＝2是x 2－4x ＋4＝0的充要条件；
②α＝β是sin α＝sin β的充分条件；
③a >b 既不是a 2>b 2的充分条件也不是必要条件．
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
D [解析] ①真，②真，③真．故选D.
充分条件、必要条件的应用[学生用书P9]
[典例引领]
已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求m 的取值范围．
【解】 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，
所以P ＝{x |－2≤x ≤10}，
由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ?P .
则?????1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，
所以0≤m ≤3.
所以当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，
即所求m 的取值范围是[0，3]．
若本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．
[解] 若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，
所以?????1－m ＝－2，1＋m ＝10，所以?
????m ＝3，m ＝9， 即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．
根据充要条件求解参数范围的方法
(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．
(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．
(2017·常德一中月考)若“x 2－x －6>0”是“x >a ”的必要不充分条件，则a
的最小值为________．
[解析] 由x 2－x －6>0，
解得x <－2或x >3.
因为“x 2－x －6>0”是“x >a ”的必要不充分条件，
所以{x |x >a }是{x |x <－2或x >3}的真子集，
即a ≥3，
故a 的最小值为3.
[答案] 3
, [学生用书P10])
——等价转化思想在充要条件中的应用
已知条件p ：x 2＋2x －3>0；条件q ：x >a ，且?q 的一个充分不必要条件是?p ，则a 的取值范围是( )
A ．[1，＋∞)
B ．(－∞，1]
C ．[－1，＋∞)
D ．(－∞，－3]
【解析】 由x 2＋2x －3>0，得x <－3或x >1，由?q 的一个充分不必要条件是?p ，
可知?p 是?q 的充分不必要条件，等价于q 是p 的充分不必要条件．
所以{x |x >a }
{x |x <－3或x >1}，所以a ≥1. 【答案】 A
本题将“?q 的一个充分不必要条件是?p ”转化为“q 是p 的充分不必要
条件”；将p 与q 之间的条件关系转化为相应集合间的包含关系，使抽象问题直观化、复杂问题简单化，体现了等价转化思想的应用．
1.给定两个命题p 、q .若?p 是q 的必要而不充分条件，则p 是?q 的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
A [解析] 由q ??p 且?p ?/q 可得p ??q 且?q ?/p ，所以p 是?q 的充分而不必要条件．
2．已知条件p ：x ＋y ≠－2，条件q ：x ，y 不都是－1，则p 是q 的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
A [解析] (等价法)因为p ：x ＋y ≠－2，q ：x ≠－1，或y ≠－1，
所以?p ：x ＋y ＝－2，?q ：x ＝－1，且y ＝－1，
因为?q ??p 但?p ?/?q ，所以?q 是?p 的充分不必要条件，即p 是q 的充分不必要条件．故选A.
, [学生用书P237(独立成册)])
1．下列命题中的真命题为( )
A ．若1x ＝1y
，则x ＝y B ．若x 2＝1，则x ＝1
C ．若x ＝y ，则x ＝y
D ．若x A [解析] 取x ＝－1，排除
B ；取x ＝y ＝－1，排除
C ；取x ＝－2，y ＝－1，排除
D.
2．命题“若a >b ，则a －1>b －1”的否命题是( )
A ．若a >b ，则a －1≤b －1
B ．若a >b ，则a －1
C ．若a ≤b ，则a －1≤b －1
D ．若a
C [解析] 根据否命题的定义可知，命题“若a >b ，则a －1>b －1”的否命题应为“若a ≤b ，则a －1≤b －1”．
3．(2017·陕西五校模拟)已知命题p ：“正数a 的平方不等于0”，命题q ：“若a 不是正数，则它的平方等于0”，则q 是p 的( )
A ．逆命题
B ．否命题
C ．逆否命题
D ．否定
B [解析] 命题p ：“正数a 的平方不等于0”可写成“若a 是正数，则它的平方不等于0”，从而q 是p 的否命题．
4．(2017·合肥模拟)“x >2”是“x 2＋2x －8>0”成立的( )
A ．必要不充分条件
B ．充要条件
C ．充分不必要条件
D ．既不充分也不必要条件
C [解析] 由x 2＋2x －8>0，可解得x <－4或x >2，所以“x >2”是“x 2＋2x －8>0”成立的充分不必要条件，故选C.
5．a <0，b <0的一个必要条件为( )
A ．a ＋b <0
B ．a －b >0
C ．a b >1
D ．a b
<－1 A [解析] 若a <0，b <0，则一定有a ＋b <0，故选A.
6．命题“若x 2＋3x －4＝0，则x ＝－4”的逆否命题及其真假性为( )
A ．“若x ＝－4，则x 2＋3x －4＝0”为真命题
B ．“若x ≠－4，则x 2＋3x －4≠0”为真命题
C ．“若x ≠－4，则x 2＋3x －4≠0”为假命题
D ．“若x ＝－4，则x 2＋3x －4＝0”为假命题
C [解析] 根据逆否命题的定义可以排除A ，
D ，因为x 2＋3x －4＝0，所以x ＝－4或1，故选C.
7．下列命题中为真命题的是( )
A ．命题“若x >1，则x 2>1”的否命题
B ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题
C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题
D ．命题“若x 2>1，则x >1”的逆否命题
B [解析] 对于选项A ，命题“若x >1，则x 2>1”的否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”，
易知当x ＝－2时，x 2＝4>1，故选项A 为假命题；对于选项B ，命题“若x >y ，则x >|y |”的
逆命题为“若x >|y |，则x >y ”，分析可知选项B 为真命题；对于选项C ，命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题为“若x ≠1，则x 2＋x －2≠0”，易知当x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，故选项C 为假命题；对于选项D ，命题“若x 2>1，则x >1”的逆否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”，易知当x ＝－2时，x 2＝4>1，故选项D 为假命题．
8．已知直线l ，m ，其中只有m 在平面α内，则“l ∥α”是“l ∥m ”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
B [解析] 当l ∥α时，直线l 与平面α内的直线m 平行、异面都有可能，所以l ∥m 不一定成立；当l ∥m 时，根据直线与平面平行的判定定理知直线l ∥α，即“l ∥α”是“l ∥m ”的必要不充分条件，故选B.
9．设四边形ABCD 的两条对角线为AC ，BD ，则“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
A [解析] 当四边形ABCD 为菱形时，必有对角线互相垂直，即AC ⊥BD ；当四边形ABCD 中AC ⊥BD 时，四边形ABCD 不一定是菱形，还需要AC 与BD 互相平分．综上知，“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的充分不必要条件．
10．(2017·太原模拟)已知命题p ：cos α≠12，命题q ：α≠π3
，则命题p 是命题q 的( ) A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
A [解析] 法一：若cos α≠12，则α≠2k π±π3(k ∈Z )，则α也必然不等于π3
，故p ?q ；若α≠π3，但α＝－π3时，依然有cos α＝12
，故q ?/p . 所以p 是q 的充分不必要条件．
法二：?p ：cos α＝12，?q ：α＝π3
，则有?p ?/?q ，?q ??p ，即?q 是?p 的充分不必要条件，根据原命题与逆否命题的等价性，可得p 是q 的充分不必要条件．
11．下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是( )
A ．p ：x ＝1，q ：x 2＝x
B ．p ：|a |>|b |，q ：a 2>b 2
C ．p ：x >a 2＋b 2，q ：x >2ab
D ．p ：a ＋c >b ＋d ，q ：a >b 且c >d
D [解析] A 中，x ＝1?x 2＝x ，x 2＝x ?x ＝0或x ＝1?/x ＝1，故p 是q 的充分不必要
条件；B 中，因为|a |>|b |，根据不等式的性质可得a 2>b 2，反之也成立，故p 是q 的充要条件；
C 中，因为a 2＋b 2≥2ab ，由x >a 2＋b 2，得x >2ab ，反之不成立，故p 是q 的充分不必要条件；
D 中，取a ＝－1，b ＝1，c ＝0，d ＝－3，满足a ＋c >b ＋d ，但是a d ，反之，由同向不等式可加性得a >b ，c >d ?a ＋c >b ＋d ，故p 是q 的必要不充分条件．综上所述，故选D.
12．已知p ：x ≥k ，q ：(x ＋1)(2－x )<0，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是( )
A ．[2，＋∞)
B ．(2，＋∞)
C ．[1，＋∞)
D ．(－∞，－1]
B [解析] 由q ：(x ＋1)(2－x )<0，得x <－1或x >2，又p 是q 的充分不必要条件，所以k >2，即实数k 的取值范围是(2，＋∞)，故选B.
13．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是________．
[解析] 原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数y ＝f (x )的图象不过第四象限，则函数y ＝f (x )是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题．因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个．
[答案] 1
14．在下列三个结论中，正确的是________．(写出所有正确结论的序号)
①若A 是B 的必要不充分条件，则?B 也是?A 的必要不充分条件；
②“?
????a >0Δ＝b 2－4ac ≤0”是“一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为R ”的充要条件； ③“x ≠1”是“x 2≠1”的充分不必要条件．
[解析] 易知①②正确．对于③，若x ＝－1，则x 2＝1，充分性不成立，故③错误．
[答案] ①②
15．若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________．
[解析] 由题意知ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，得?
????a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0，解得－3≤a <0，故－3≤a ≤0. [答案] [－3，0]
16．已知α：x ≥a ，β：|x －1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a 的取值范围为________．
[解析] α：x ≥a ，可看作集合A ＝{x |x ≥a }，
因为β：|x －1|<1，所以0所以β可看作集合B ＝{x |0又因为α是β的必要不充分条件．
所以B A ，所以a ≤0.
[答案] (－∞，0]
17．已知集合A ＝????
??x ??12<2x <8，x ∈R ，B ＝{x |－1[解析] 因为A ＝????
??x ??12<2x <8，x ∈R ＝{x |－1所以A B ，所以m ＋1>3，即m >2.
[答案] m ＞2
18．已知p ：－2≤x ≤10，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，且?p 是?q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围．
[解] 因为?p 是?q 的必要而不充分条件，
所以p 是q 的充分而不必要条件，
由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，
得1－m ≤x ≤1＋m ，
设q ：Q ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }，
p ：P ＝{x |－2≤x ≤10}，
因为p 是q 的充分而不必要条件，所以P
Q ， 所以?????m >0，1－m <－2，1＋m ≥10或?????m >0，1－m ≤－2，1＋m >10，
即m ≥9或m >9.所以m ≥9.
19．已知两个关于x 的一元二次方程mx 2－4x ＋4＝0和x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，求两方程的根都是整数的充要条件．
[解] 因为mx 2－4x ＋4＝0是一元二次方程，
所以m ≠0.
又另一方程为x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，且两方程都要有实根，
所以?
????Δ1＝16（1－m ）≥0，Δ2＝16m 2－4（4m 2－4m －5）≥0， 解得m ∈???
?－54，1. 因为两方程的根都是整数，
故其根的和与积也为整数，
所以?????4m
∈Z ，4m ∈Z ，4m 2
－4m －5∈Z . 所以m 为4的约数．
又因为m ∈???
?－54，1， 所以m ＝－1或1.
当m ＝－1时，第一个方程x 2＋4x －4＝0的根为非整数；
而当m ＝1时，两方程的根均为整数，
所以两方程的根均为整数的充要条件是m ＝1.
充要条件与四种命题
充要条件与四种命题 【考纲要求】（1）了解命题及其逆命题，否命题，逆否命题 （2）理解充分条件，必要条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系 【基础回顾】 1、四种命题的形式： 原命题：若P 则q ； 逆命题：____________；否命题：_________；逆否命题__________ (1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题； (2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题； (3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题． 2、四种命题之间的相互关系： 一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：(原命题?逆否命题) ①、原命题为真，它的逆命题是否为真？__________ ②、原命题为真，它的否命题是否为真？_________ ③、原命题为真，它的逆否命题是否为真？____________ 3、如果已知p ?q 那么我们说，p 是q 的_______条件，q 是p 的________条件。 若p ?q 且q ?p,则称p 是q 的_____________________，记为p ?q. 【基础自测】 1、（2010上海文）16.“()24x k k Z π π=+∈”是“tan 1x =”成立的 （ ） （A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件. （C ）充分条件. （D ）既不充分也不必要条件. 2、（2010山东文）(7)设{}n a 是首项大于零的等比数列，则“12a a <”是“数列{}n a 是递增数列”的 （A ）充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 3、（2010广东理）5. “14 m <”是“一元二次方程20x x m ++=”有实数解的 A ．充分非必要条件 B.充分必要条件 C ．必要非充分条件 D.非充分必要条件 4、（2010四川文）（5）函数2 ()1f x x mx =++的图像关于直线1x =对称的充要条件是 （A ）2m =- （B ）2m = （C ）1m =- （D ）1m =
第10讲 空间中的平行关系
高三新数学第一轮复习教案（讲座10） 空间中的平行关系 一．课标要求： 1．平面的基本性质与推论 借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理： ◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内； ◆公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面； ◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线； ◆公理4：平行于同一条直线的两条直线平行； ◆定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 2．空间中的平行关系 以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定。通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理： ◆平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行； ◆一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行； 通过直观感知、操作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明： ◆一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行； ◆两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行； ◆垂直于同一个平面的两条直线平行 能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。 二．命题走向 立体几何在高考中占据重要的地位，通过近几年的高考情况分析，考察的重点及难点稳定，高考始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的性质和判定作为考察重点。在难度上也始终以中等偏难为主，在新课标教材中将立体几何要求进行了降低，重点在对图形及几何体的认识上，实现平面到空间的转化，示知识深化和拓展的重点，因而在这部分知识点上命题，将是重中之重。 预测2007年高考将以多面体为载体直接考察线面位置关系： （1）考题将会出现一个选择题、一个填空题和一个解答题； （2）在考题上的特点为：热点问题为平面的基本性质，考察线线、线面和面面关系的论证，此类题目将以客观题和解答题的第一步为主。 三．要点精讲 1．平面概述 （1）平面的两个特征：①无限延展 ②平的（没有厚度） （2）平面的画法：通常画平行四边形来表示平面 （3）平面的表示：用一个小写的希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β；用表示平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面AC 。 2．三公理三推论: 公理1：若一条直线上有两个点在一个平面内，则该直线上所有的点都在这个平面内： A l ∈, B l ∈,A α∈,B α∈?α?l 公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。 公理3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。 推论一：经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。 推论二：经过两条相交直线,有且只有一个平面。
命题及其关系充分条件与必要条件教案
§1.2命题及其关系、充分条件与必要条件 2014高考会这样考 1.考查四种命题的意义及相互关系； 2.考查对充分条件、必要条件、充要条件等概念的理解，主要以客观题的形式出现； 3.在解答题中考查命题或充分条件与必要条件．
复习备考要这样做 1.在解与命题有关的问题时，要理解命题的含义，准确地分清命题的条件与结论； 2.注意条件之间关系的方向性、充分条件与必要条件方向正好相反； 3.注意等价命题的应用．
1．命题的概念 在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题． 2．四种命题及相互关系 3．四种命题的真假关系 (1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； (2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系． 4．充分条件与必要条件 (1)如果p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； (2)如果p?q，q?p，则p是q的充要条件． ，则p是q的充分不必要条件，p的必要不充分条件是q。注意对定义的理解:例如：若p?q，q p [难点正本疑点清源] 1．等价命题和等价转化
(1)逆命题与否命题互为逆否命题； (2)互为逆否命题的两个命题同真假； (3)当判断原命题的真假比较困难时，可以转化为判断它的逆否命题的真假． 2．集合与充要条件 设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有 ?，则p是q的充分不必要条件； (1)若A?B，则p是q的充分条件，若A B ?，则p是q的必要不充分条件； (2)若B?A，则p是q的必要条件，若B A (3)若A＝B，则p是q的充要条件； (4)若A?B，且B ?A，则p是q的既不充分也不必要条件． 题型一四种命题的关系及真假 例1已知命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是(D) A．否命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m>1”是真命题 B．逆命题“若m≤1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数”是假命题
命题及其关系
命题及其关系 知识点： 1. 命题： 1.1 概念：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句 1.2 分类： 真命题 假命题 1.3 关系： 原命题 逆命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则 这两个命题称为互逆命题。 若原命题为“若p ，则q”，它的逆命题为“若q ，则p” 否命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结 论的否定，则这两个命题称为互否命题 若原命题为“若p ，则q”，则它的否命题为“若 p ，则 q” 逆否命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和 条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题 若原命题为“若 ，则 ”，则它的逆否命题为“若 ，则 ” 1,4 四种命题的真假性：（有且仅有一下四种情况） 规律： 1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性 2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系 2. 充分必要条件： 2.1 概念： 若p q ?，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ?，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）． 全称量词：“?” 短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词 存在量词：“?” 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词 全称命题：含有全称量词的命题 “对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作“x ?∈M ，()p x ” 特称命题：含有特称量词的命题
“存在M 中的一个x ，使()p x 成立”，记作“x ?∈M ，()p x ”． 2.2 命题之间关系： 1）“且” p q ∧ 当p 、q 都是真命题时，p q ∧是真命题； 当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题． 2）“或” p q ∨ 当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题； 当p 、q 两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题 3）“非” p ? 若p 是真命题，则p ?必是假命题 若p 是假命题，则p ?必是真命题 2.3 全称命题的否定 全称命题p ：x ?∈M ，()p x ，它的否定p ?：x ?∈M ，()p x ?． 全称命题的否定是特称命题． 练习： 1. 给出命题：若函数y =f (x )是幂函数，则函数y =f (x )的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是 (A)3 (B)2 (C)1 (D)0 2. 设m∈R,命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是?( ) A.若方程x2+x-m=0有实根,则m>0 B.若方程x2+x-m=0有实根,则m≤0 C.若方程x2+x-m=0没有实根,则m>0 D.若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0 3. 已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4. 设x∈R,则“2-x≥0”是“|x -1|≤1”的?( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
第二节_命题和关系、充分条件与必要条件(有答案)
第二节命题及其关系、充分条件与必要条件【考纲下载】 1．理解命题的概念． 2．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系． 3．理解必要条件、充分条件与充要条件的含义． 1．命题的概念 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题． 2．四种命题及其关系 (1)四种命题间的相互关系 (2)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； ②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系． 3．充分条件与必要条件 (1)若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2)若p?q，则p与q互为充要条件． (3)若p?/ q，且q?/ p，则p是q的既不充分也不必要条件． 1．一个命题的否命题与这个命题的否定是同一个命题吗？ 提示：不是，一个命题的否命题是既否定该命题的条件，又否定该命题的结论，而这个命题的否定仅是否定它的结论． 2．“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”两者的说法相同吗？ 提示：两者说法不相同．“p的一个充分不必要条件是q”等价于“q是p的充分不必
要条件”，显然这与“p是q的充分不必要条件”是截然不同的． 1．(2013·福建高考)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A?B”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A 当a＝3时，A＝{1,3}，A?B；反之，当A?B时，a＝2或3，所以“a＝3”是“A?B”的充分而不必要条件． 2．命题“若x2＞y2，则x＞y”的逆否命题是( ) A．“若x＜y，则x2＜y2” B．“若x＞y，则x2＞y2” C．“若x≤y，则x2≤y2” D．“若x≥y，则x2≥y2” 解析：选C 根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2＞y2，则x＞y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”． 3．(教材习题改编)命题“如果b2－4ac＞0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实根”的否命题、逆命题和逆否命题中，真命题的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选D 原命题为真，则它的逆否命题为真，逆命题为“若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实根，则b2－4ac＞0”，为真命题，则它的否命题也为真．4．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是( ) A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数 B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数 C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数 D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数 解析：选B 原命题的否命题是既否定题设又否定结论，故“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是B选项． 5．下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是( ) A．a＞b＋1 B．a＞b－1 C．a2＞b2 D．a3＞b3 解析：选A 由a＞b＋1，且b＋1＞b，得a＞b；反之不成立. [例1] A．若x＞1，则x≤0 B．若x≤1，则x＞0 C．若x≤1，则x≤0
数学高考总复习：四种命题、充要条件
数学高考总复习：四种命题、充要条件 【考纲要求】 1、理解命题的概念. 2、了解“若p ，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系。 3、理解必要条件、充分条件与充要条件的意义. 【知识网络】 【考点梳理】 一、命题：可以判断真假的语句。 二、四种命题 原命题：若p 则q ； 原命题的逆命题：若q 则p ； 原命题的否命题：若p ?，则q ?； 原命题的逆否命题：若q ?，则p ? 三、四种命题的相互关系及其等价性 1、四种命题的相互关系 2、互为逆否关系的命题同真同假，即原命题与逆否命题的真假性相同，原命题的逆命题和否命题的真假性相同。所以，如果某些命题（特别是含有否定概念的命题）的真假性难以判断，一般可以判断它的逆否命题的真假性。 四、充分条件、必要条件和充要条件 1、判断充要条件，首先必须分清谁是条件，谁是结论，然后利用定义法、转换法和集合法来判断。 如：命题p 是命题q 成立的××条件，则命题p 是条件，命题q 是结论。 又如：命题p 成立的××条件是命题q ，则命题q 是条件，命题p 是结论。 又如：记条件,p q 对应的集合分别为A,B 则A B ?,则p 是q 的充分不必要条件；A B ?,则p 是q 的必要不充分条件。 2、“?”读作“推出”、“等价于”。p q ?，即p 成立，则q 一定成立。 3、充要条件 互逆 ??否命题若p 则q 原命题若p 则q 逆命题若q 则p ??逆否命题 若q 则p 互 逆 互 逆否 为 互 逆否为否否互 互 四种命题、充要条件 充要条件 四种命题及其关系 互为逆否关系的命题等价 充分、必要、充要、既不充分也不必要
高二第3讲 空间的平行关系(教师版)
第3讲空间的平行关系（教师版） 一．学习目标 1．理解直线与平面平行、平面与平面平行判定定理的含义． 2．会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用． 3．能运用直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题． 4．理解并掌握直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理，并且会灵活运用． 5．会用文字、符号、图形三种语言准确地描述线面平行和面面平行的性质定理，并能判断由数学符号给出条件的线线、线面、面面间的位置关系． 二．重点难点 1．能应用直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理判断或证明线面平行，面面平行．(重点、易错点) 2．理解直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理的含义并能应用定理解决有关问题．(重点) 3．理解两个定理的含义，并会应用．(难点) 三．知识梳理 1.线面平行、面面平行的判定定理
2.线面平行、面面平行的性质定理 线面平行?线线平行面面平行?线面平行四．典例剖析 题型一线面、面面平行判断题 例1（1）1．以下说法(其中a，b表示直线，α表示平面)
①若a∥b，b?α，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b； ③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b?α，则a∥b． 其中正确说法的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 答：A （2）(课本习题改编)下面命题中正确的是( ) ①若一个平面内有两条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行； ②若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行； ③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行； ④若一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行，则这两个平面平行． A．①③B．②④C．②③④D．③④ 解析：①②中两个平面可以相交，③是两个平面平行的定义，④是两个平面平行的判定定理．答案：D （3）(2013·浙江高三调研)已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线l的直线( )A．只有一条，不在平面α内B．有无数条，不一定在平面α内 C．只有一条，且在平面α内D．有无数条，一定在平面α内 解析：选C 由直线l与点P可确定一个平面β，且平面α，β有公共点，因此它们有一条公共直线，设该公共直线为m，因为l∥α，所以l∥m，故过点P且平行于直线l的直线只有一条，且在平面α内． 课堂小结：线面平行、面面平行的基本问题多以小题出现，处理方法是数形结合，先画图，再确定线与面的位置关系． 课堂练习1：（一）判断题： (1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．( ) (2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线．( ) (3)若平面外一条直线上有两个点到平面的距离相等，则直线和平面平行．( ) (4)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.( ) (5)若直线a∥α，P∈α，则过点P且平行于a的直线有无数条．( )
考点3 命题和充分必要条件(学生版)
考点3 命题和充分必要条件 [玩前必备] 1．命题的概念 在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题． 2．充分条件与必要条件 (1)如果p ?q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件； (2)如果p ?q ，q ?p ，则p 是q 的充要条件． 3.全称量词和存在量词 4. 5. [玩转典例] 题型一 充分条件与必要条件的判定 例1（2019?天津）设x R ∈，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 例2（2019?上海）已知a 、b R ∈，则“22a b >”是“||||a b >”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 例3（2018?天津）设x R ∈，则“11 ||22 x -<”是“31x <”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件
C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 例4（北京高考）设,a b ∈R ，“0a =”是“复数i a b +是纯虚数”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 [玩转跟踪] 1.（2020届山东省济宁市高三3月月考）“0x y >>”是“()()ln 1ln 1x y +>+”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．即不充分也不必要条件 2.（2020届山东省泰安市肥城市一模）若集合{}{}1234|05P Q x x x R ==<<∈，，，，，，则“x P ∈”是“x Q ∈”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也非不必要条件 3.(2015·湖南，2)设A ，B 是两个集合，则“A ∩B ＝A ”是“A ?B ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 题型二 含一个量词的命题的否定和真假命题 例5（2020?四川模拟）设x Z ∈，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题:p x A ?∈，2x B ∈，则( ) A ．:p x A ??∈，2x B ? B ．:p x A ???，2x B ? C ．:p x A ???，2x B ∈ D ．:p x A ??∈，2x B ? 例6已知命题p ：?x 0∈R ，log 2(03x ＋1)≤0，则( ) A ．p 是假命题；綈p ：?x ∈R ，log 2(3x ＋1)≤0 B ．p 是假命题；綈p ：?x ∈R ，log 2(3x ＋1)>0 C ．p 是真命题；綈p ：?x ∈R ，log 2(3x ＋1)≤0 D ．p 是真命题；綈p ：?x ∈R ，log 2(3x ＋1)>0 例7(1)(2020·沈阳模拟)下列四个命题中真命题是( ) A ．?n ∈R ，n 2≥n B ．?n 0∈R ，?m ∈R ，m ·n 0＝m C ．?n ∈R ，?m 0∈R ，m 2014年高考 数学 基础+突破 第3讲 命题及其关系、充分条件、必要条件 (2)
课时作业(三) [第3讲命题及其关系、充分条件、必要条件] (时间：35分钟分值：80分) 基础热身 1．[2012·重庆卷] 命题“若p，则q”的逆命题是( ) A．若q，则p B．若綈p，则綈q C．若綈q，则綈p D．若p，则綈q 2．[2012·佛山模拟] 已知非零向量a，b，则“a＋b＝0”是“a∥b”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 3．下列命题中为真命题的是( ) A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题 B．命题“若x>1，则x2>1”的否命题 C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题 D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题 4．[2013·扬州中学月考] 已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2
＋b2＋c2≥3”的否命题是________________________．能力提升 5．“a＝2”是“函数f(x)＝x a－1 2 为偶函数”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．下列有关命题的说法中，正确的是( ) A．命题“若x2>1，则x>1”的否命题为“若x2>1，则x≤1” B．“x>1”是“x2＋x－2>0”的充分不必要条件 C．命题“?x0∈R，使得x20＋x0＋1<0”的否定是“?x∈R，都有x2＋x＋1>0”D．命题“若α>β，则tanα>tanβ”的逆命题为真命题 7．下列命题中，真命题的个数是( ) ①x，y∈R，“若x2＋y2＝0，则x，y全为0”的逆命题； ②“若a＋b是偶数，则a，b都是偶数”的否命题； ③“若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0”的逆否命题． A．0 B．1
第10讲 空间中的平行关系
普通高中课程标准实验教科书—数学[人教版] 高三新数学第一轮复习教案（讲座10）—空间中的平行关系 一．课标要求： 1．平面的基本性质与推论 借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理： ◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内； ◆公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面； ◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线； ◆公理4：平行于同一条直线的两条直线平行； ◆定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 2．空间中的平行关系 以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定。通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理： ◆平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行； ◆一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行； 通过直观感知、操作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明： ◆一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行； ◆两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行； ◆垂直于同一个平面的两条直线平行 能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。 二．命题走向 立体几何在高考中占据重要的地位，通过近几年的高考情况分析，考察的重点及难点稳定，高考始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的性质和判定作为考察重点。在难度上也始终以中等偏难为主，在新课标教材中将立体几何要求进行了降低，重点在对图形及几何体的认识上，实现平面到空间的转化，示知识深化和拓展的重点，因而在这部分知识点上命题，将是重中之重。 预测2007年高考将以多面体为载体直接考察线面位置关系： （1）考题将会出现一个选择题、一个填空题和一个解答题； （2）在考题上的特点为：热点问题为平面的基本性质，考察线线、线面和面面关系的论证，此类题目将以客观题和解答题的第一步为主。 三．要点精讲 1．平面概述 （1）平面的两个特征：①无限延展②平的（没有厚度） （2）平面的画法：通常画平行四边形来表示平面 （3）平面的表示：用一个小写的希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β；
2021年四种命题与充要条件
常用逻辑用语与充要条件 欧阳光明（2021.03.07） 【高考考情解读】 1.本讲在高考中主要考查集合的运算、充要条件的判定、含有一个量词的命题的真假判断与否定，常与函数、不等式、三角函数、立体几何、解析几何、数列等知识综合在一起考查.2.试题以选择题、填空题方式呈现，考查的基础知识和基本技能，题目难度中等偏下． 1．命题的定义 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题． 2．四种命题及其关系 (1)原命题为“若p则q”，则它的逆命题为若q则p ；否命题为若┐p 则┐q ；逆否命题为若┐q则┐p . (2)原命题与它的逆否命题等价；逆命题与它的否命题等价．四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，遇到复杂问题正面解决困难的，采用转化为反面情况处理，即，可以转化为判断它的逆否命题的真假． 命题真假判断的方法： (1)对于一些简单命题，若判断其为真命题需推理证明．若判断其为假命题只需举出一个反例． (2)对于复合命题的真假判断应利用真值表． (3)也可以利用“互为逆否命题”的等价性，判断其逆否命题的真假．3．充分条件与必要条件的定义
(1)若p?q且q p，则p是q的充分非必要条件． (2)若q?p且p q，则p是q的必要非充分条件． (3)若p?q且q?p，则p是q的充要条件． (4)若p q且q p，则p是q的非充分非必要条件． 设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有 (1)若A?B，则p是q的充分条件，若A?B，则p是q的充分不必要条件； (2)若B?A，则p是q的必要条件，若B?A，则p是q的必要不充分条件； (3)若A＝B，则p是q的充要条件； (4)若A?B，且B?A，则p是q的既不充分也不必要条件． 2．充分、必要条件的判定方法 (1)定义法，直接判断若p则q、若q则p的真假． (2)传递法． (3)集合法：若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则①若A?B，则p是q的充分条件；②若B?A，则p是q的必要条件；③若A＝B，则p是q的充要条件． (4)等价命题法：利用A?B与┐B?┐A，B?A与┐A?┐B，A?B与┐B?┐A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法，利用原命题和逆否命题是等价的这个结论，有时可以准确快捷地得出结果，是反证法的理论基础． 1．简单的逻辑联结词 (1)命题中的“且”、“或”、“非”叫作逻辑联结词． (2)简单复合命题的真值表：
命题及其关系教学讲义
命题及其关系、充分条件与必要条件教学讲义 1．命题 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的__陈述句__叫做命题，其中__判断为真__的语句叫做真命题，__判断为假__的语句叫做假命题． 2．四种命题及其关系 (1)四种命题间的相互关系 (2)四种命题的真假关系 ①若两个命题互为逆否命题，则它们有__相同__的真假性； ②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性__没有关系__. 3．充分条件、必要条件与充要条件 若p?q，则p是q的__充分__条件，q是p的__必要__条件 p是q的__充分不必要__条件p?q且q p p是q的__必要不充分__条件p q且q?p p是q的__充要__条件p?q p是q的__既不充分又不必要__条件p q且q p 1．若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则 (1)若A?B，则p是q的充分条件； (2)若A?B，则p是q的必要条件； (3)若A＝B，则p是q的充要条件；
(4)若A B，则p是q的充分不必要条件； (5)若A B，则p是q的必要不充分条件； (6)若A B且A?B，则p是q的既不充分也不必要条件． 2．充分条件与必要条件的两个特征： (1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p?q”?“q?p”． (2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p?q且q?r”?“p?r”(“p?q且q?r”?“p?r”)． 注意：不能将“若p，则q”与“p?q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p ?q”，即“p?q”?“若p，则q”为真命题． 1．下列语句为命题的是(D) A．对角线相等的四边形 B．a<5 C．x2－x＋1＝0 D．有一个内角是90°的三角形是直角三角形 [解析]只有选项D是可以判断真假的陈述句，故选D． 2．命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆否命题是(A) A．对角线不互相平分的四边形不是平行四边形 B．不是平行四边形的四边形对角线不互相平分 C．对角线不互相平分的四边形是平行四边形 D．不是平行四边形的四边形对角线互相平分 [解析]原命题即“若四边形是平行四边形，则其对角线互相平分”，故其逆否命题“若四边形的对角线不互相平分，则其不是平行四边形”，即“对角线不互相平分的四边形不是平行四边形”． 3．(教材改编题)“x＝2”是“x2－4＝0”的(A) A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 [解析]x2－4＝0，则x＝±2，故是充分不必要条件．故选A． 4．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的(A) A．逆否命题B．逆命题 C．否命题D．原命题
四种命题与充要条件
常用逻辑用语与充要条件 【高考考情解读】 1.本讲在高考中主要考查集合的运算、充要条件的判定、含有一个量词的命题的真假判断与否定，常与函数、不等式、三角函数、立体几何、解析几何、数列等知识综合在一起考查.2.试题以选择题、填空题方式呈现，考查的基础知识和基本技能，题目难度中等偏下． 1．命题的定义 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题． 2．四种命题及其关系 (1)原命题为“若p则q”，则它的逆命题为若q则p ；否命题为若┐p则┐q ；逆否命题为若┐q则┐p . (2)原命题与它的逆否命题等价；逆命题与它的否命题等价．四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，遇到复杂问题正面解决困难的，采用转化为反面情况处理，即，可以转化为判断它的逆否命题的真假． 命题真假判断的方法： (1)对于一些简单命题，若判断其为真命题需推理证明．若判断其为假命题只需举出一个反例． (2)对于复合命题的真假判断应利用真值表． (3)也可以利用“互为逆否命题”的等价性，判断其逆否命题的真假． 3．充分条件与必要条件的定义 (1)若p?q且q p，则p是q的充分非必要条件． (2)若q?p且p q，则p是q的必要非充分条件． (3)若p?q且q?p，则p是q的充要条件． (4)若p q且q p，则p是q的非充分非必要条件． 设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有
(1)若A?B，则p是q的充分条件，若A?B，则p是q的充分不必要条件； (2)若B?A，则p是q的必要条件，若B?A，则p是q的必要不充分条件； (3)若A＝B，则p是q的充要条件； (4)若A B，且B A，则p是q的既不充分也不必要条件． 2．充分、必要条件的判定方法 (1)定义法，直接判断若p则q、若q则p的真假． (2)传递法． (3)集合法：若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则①若A?B，则p是q的充分条件；②若B?A，则p是q的必要条件；③若A＝B，则p是q 的充要条件． (4)等价命题法：利用A?B与┐B?┐A，B?A与┐A?┐B，A?B与┐B?┐A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法，利用原命题和逆否命题是等价的这个结论，有时可以准确快捷地得出结果，是反证法的理论基础． 1．简单的逻辑联结词 (1)命题中的“且”、“或”、“非”叫作逻辑联结词． (2)简单复合命题的真值表： p q ┐p ┐q p或q p且 q ┐(p或q) ┐(p且 q) ┐p或 ┐q ┐p且 ┐q 真真假假真真假假假假 真假假真真假假真真假 假真真假真假假真真假 假假真真假假真真真真 2. 全称量词与存在量词 (1)常见的全称量词有“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等． (2)常见的存在量词有“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有 的”等． 3．全称命题与特称命题 (1)含有全称量词的命题叫全称命题． (2)含有存在量词的命题叫特称命题． 4．命题的否定 (1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．
专题二 第1讲空间中的平行与垂直关系
第1讲空间中的平行与垂直关系 A组基础达标 1. 能保证直线a与平面α平行的条件是________．(填序号) ①b?α，a∥b； ②b?α，c∥α，a∥b，a∥c； ③b?α，A，B∈a，C，D∈b且AC＝BD； ④a?α，bα，a∥b. 2. 若平面α⊥平面β，平面α∩平面β＝直线l，则下列说法中错误的是________．(填序号) ①垂直于平面β的平面一定平行于平面α； ②垂直于直线l的直线一定垂直于平面α； ③垂直于平面β的平面一定平行于直线l； ④垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直． 3. 已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，lβ，给出以下四个命题： ①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l； ③若m⊥l，则α⊥β；④若m∥l，则α⊥β. 其中正确的命题是________．(填序号) 4. 已知l，m是平面α外两条不同的直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：____________． 5. 将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”．给出下列四个命题：①垂直于同一平面的两直线平行；②垂直于同一平面的两平面平行；③平行于同一直线的两直线平行；④平行于同一平面的两直线平行．其中的“可换命题”是________．(填序号) 6. (2019·南方凤凰台密题)如图，在三棱锥P－ABC中，△P AB和△CAB都是以AB为底 边的等腰三角形，D，E，F分别是PC，AC，BC的中点． (1) 求证：平面DEF∥平面P AB； (2) 求证：AB⊥PC. (第6题) 7. (2019·南通最后一卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，E，F分别
第一轮复习 命题及其关系、充分条件与必要条件
命题及其关系、充分条件与必要条件 1．了解命题的概念． 2．了解“若p ，则q ”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系． 3．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义． 一、基础知识 A ．命题 1．命题 可以判断 真假 的陈述句，叫做命题． 注：（1）数学命题的表达形式有：语言、符号、式子等． （2）判断一个语句是否是命题，一看“陈述句”，二看“可判断真假”仅此两点． 例如，①今天天气不错；②两直线平行，内错角相等；③213x +=；④若a b =，c d =，则a c b d +=+． 以上四个句子中，①虽是陈述句，但不能判断其真假．“天气不错”的标准不明确．②是陈述句，且能判断正确，因此是命题．对于③，当1x =时，为真；当1x ≠时，为假．这句话虽是陈述句，但无真假可言，因此不是命题. ④显然是命题． 2．假命题、真命题 真命题：可以判断为 真 的命题，即当题设成立时，结论一定成立，叫做真命题． 假命题：可以判断为 假 的命题，即当题设成立时，结论不一定成立或一定不成立，叫做假命题． 注:判断一个命题的真假时，如果说一个命题是真命题，那么必须证明它的正确性；而判断一个命题是假命题时，只要举出一个反例，它符合命题的题设，但不满足结论就可以了． 延伸阅读: 开句、命题函数、开句的取真集（内容不要求掌握） （1）开句、命题函数 形如“213x +=”、“32x +>”等单独的方程、不等式语句，都不是命题，因为它们也对也不对，即无真假可言．这些语句在数理逻辑上叫做开句．开句又叫做命题函数，意思是当变元（这里的x ）取不同的个体的时候，就得到不同的命题． 开句常记作()P x 、()Q y ，其中变元,x y 是在一定范围里变化.当x 取某个个体a 时，开句()P x 就变成了命题()P a （与开句相对，有的书上把命题叫做句）．如：对于“32x +>”而言，当1x >-时，为真；当1x ≤-时，为假． （2）开句的取真集 对于开句，最为关心的是，哪些个体使句子为真，哪些个体使句子为假．例如，对于“32x +>”而言，“”时为真，“”时为假.使开句()P x 取真的x 的范围叫做的取真集，记作{|()}x P x ．对开句来说，取真集为{|32}{|1}x x x x +>=>-． 解方程，解不等式，本质上是找开句的取真集． （3）将命题函数()P x 变成命题 命题函数()P x 变成命题的方法有两个． 方法一：将命题函数()P x 中的x 用特殊个体a 代入，从而得到对特殊个体a 进行判断的命题，这种命题叫做单称命题()P a ． 例如“张三是共产党员”，其中“张三”是被判断的个体，“是共产党员”是谓词，“是”是判断词． 再如，命题函数():32P x x +>，对x 赋值1,3-，可得到命题(1)P 和(3)P -，即(1):132P +>，和(3):(3)32P --+>． 当然(1)P 是真命题，(3)P -是假命题． 方法二：利用量词来限制个体的范围
人教版高数必修二第5讲：空间中的平行关系(学生版)
空间中的平行关系 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 了解直线和平面的三种位置关系； 理解并掌握直线与平面平行的判定定理； 理解并掌握直线与平面平行的性质定理； 理解并掌握平面与平面平行的性质定理． 一、直线与平面的位置关系 位置关系 交点个数 图形语言 符号语言 直线在平面内 a α? 直线在平面外 直线与平面相交 a A α=I 直线与平面平行 //a α 二、直线和平面平行 1.定义：如果一条直线和一个平面________，那么这条直线与这个平面平行． 2.判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 推理模式：////a b a a b ααα?? ? ????? 特别说明： 1、定理中的三个条件缺一不可． 2、该定理的作用：证明线面平行． a α A a α a α
3、该定理可简记为“线线平行，则线面平行．” 3.性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这______________． 推理模式 // // a a a b b α β αβ ? ? ?? ? ? =? I 特别说明： 1、定理中的三个条件缺一不可． 2、该定理的作用：证明线线平行． 3、该定理可简记为“线面平行，则线线平行．” 三、平面和平面的位置关系 四、平面与平面平行 1.两平面互相平行的定义 如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行． 2.两平面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行． 推理模式： ,// ,//// a a b b a b A αβ αβαβ ?? ? ?? ? ? =? I ．简言之：线面平行?面面平行 推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行． 3.两个平面平行的性质 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么____________________． 推理模式： // // a a b b αβ γα γβ ? ? =? ? ? =? I I ．简言之：面面平行?线线平行 特别说明：
命题及其关系练习题
1.1 命题及其关系 校本作业 一、选择题： 1.（基础题）已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10=8，则a100=（） A. 100 B. 99 C. 98 D. 97 2.（基础题）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=，c=2，cos A=， 则b=（） A. B. C. 2 D. 3 3.（中档题）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（） A. B. C. D. 4.（中档题）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积 为（） A. B. C. D. 5.（提高题）已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调递增，则满足f（2x-1）＜f（） 的x取值范围是（） A. B. C. D. 6.（提高题）已知是奇函数，当时，当时，等 于 A. B. C. D. 二、填空题： 7.（基础题）若命题“?t∈R，t2－2t－a<0”是假命题，则实数a的取值范围是________． 8.（中档题）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（-∞，0）时，f（x）=2x3+x2， 则f（2）=______． 9.（提高题）已知y=f（x）是一次函数，且有f[f（x）]=16x-15，则f（x）的解析式 为______ ． 三、解答题： 10.（基础题）设p：实数x满足x2+2ax-3a2＜0（a＞0），q：实数x满足x2+2x-8＜0， 且p是q的必要不充分条件，求a的取值范围．
11.（中档题）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C（a cos B+b cos A） =c． （Ⅰ）求C； （Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长． 12.（提高题）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方 形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°． （Ⅰ）证明平面ABEF⊥平面EFDC； （Ⅱ）求二面角E-BC-A的余弦值．
