第五节合情推理与演绎推理
[知识能否忆起]
一、合情推理
二、演绎推理
1．定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．
2．特点：演绎推理是由一般到特殊的推理．
3．模式：三段论．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
[小题能否全取]
1．(教材习题改编)命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是()
A ．使用了归纳推理
B ．使用了类比推理
C ．使用了“三段论”，但推理形式错误
D ．使用了“三段论”，但小前提错误
解析：选C 由条件知使用了三段论，但推理形式是错误的． 2．数列2,5,11,20，x,47，…中的x 等于( ) A ．28 B ．32 C ．33
D ．27
解析：选B 由5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9. 则x －20＝12，因此x ＝32.
3．(教材习题改编)给出下列三个类比结论． ①(ab )n ＝a n b n 与(a ＋b )n 类比，则有(a ＋b )n ＝a n ＋b n ；
②log a (xy )＝log a x ＋log a y 与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β； ③(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2与(a ＋b )2类比，则有(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. 其中结论正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2
D ．3
解析：选B 只有③正确．
4．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．
解析：V 1V 2＝1
3S 1h
113S 2h 2＝????S 1S 2·h 1h 2＝14
×12＝18.
答案：1∶8
5．(2012·陕西高考)观察下列不等式 1＋122<32， 1＋122＋132<53， 1＋122＋132＋142<74 ……
照此规律，第五个不等式为___________________________________________________． 解析：观察得出规律，左边为项数个连续自然数平方的倒数和，右边为项数的2倍减1的差除以项数，即1＋122＋132＋142＋152＋…＋1n 2<2n －1n
(n ∈N *，n ≥2)，
所以第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162<11
6.
答案：1＋122＋132＋142＋152＋162<11
6
1.合情推理主要包括归纳推理和类比推理，合情推理具有猜测和发现结论，探索和提供思路的作用．合情推理的结论可能为真，也可能为假，结论的正确性有待于进一步的证明．
2．应用三段论解决问题时，应首先明确什么是大前提，什么是小前提，如果大前提、小前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的．如果大前提错误，尽管推理形式是正确的，所得结论也是错误的．
典题导入
[例1] (2012·河南调研)已知函数f (x )＝x
x ＋2(x ＞0)．如下定义一列函数：f 1(x )＝f (x )，f 2(x )
＝f (f 1(x ))，f 3(x )＝f (f 2(x ))，…，f n (x )＝f (f n －1(x ))，…，n ∈N *，那么由归纳推理可得函数f n (x )的解析式是f n (x )＝________.
[自主解答] 依题意得，f 1(x )＝x
x ＋2，
f 2(x )＝x x ＋2x x ＋2
＋2＝x 3x ＋4＝x
(22－1)x ＋22
，
f 3(x )＝x 3x ＋4x 3x ＋4＋2＝x 7x ＋8＝x (23－1)x ＋23，…，由此归纳可得f n (x )＝x
(2n
－1)x ＋2n
(
x ＞0)． [答案]
x
(2n
－1)
x ＋2n
(x ＞0)
由题悟法
1．归纳是依据特殊现象推断出一般现象，因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围．
2．归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的． [注意] 归纳推理所得结论未必正确，有待进一步证明，但对数学结论和科学的发现很有用．
以题试法
1．(2012·枣庄模拟)将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为( )
13 5 7
9 11 13 15 17
19 21 23 25 27 29 31… … …
A ．809
B ．852
C ．786
D ．893
解析：选A 前20行共有正奇数1＋3＋5＋…＋39＝202＝400个，则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，所以这个数是2×405－1＝809.
典题导入
[例2] 在平面几何里，有“若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c 内切圆半径为r ，则三角形面积为S △ABC ＝1
2(a ＋b ＋c )r ”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体 ABCD 的四个
面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球的半径为r ，则四面体的体积为________________”．
[自主解答] 三角形的面积类比为四面体的体积，三角形的边长类比为四面体四个面的面积，内切圆半径类比为内切球的半径．二维图形中12类比为三维图形中的1
3，得V 四面体ABCD
＝1
3
(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r . [
答案] V 四面体ABCD ＝1
3(S 1＋S 2＋S 3＋S
4)r
由题悟法
1．类比推理是由特殊到特殊的推理，命题有其特点和求解规律，可以从以下几个方面考虑类比：类比定义、类比性质、类比方法、类比结构．
2．类比推理的一般步骤：
(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；
(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．
以题试法
2．若{a n }是等差数列，m 、n 、p 是互不相等的正整数，则有：(m －n )a p ＋(n －p )a m ＋(p －m )a n ＝0，类比上述性质，相应地，对等比数列{b n }，有__________________．
解析：设{b n }的首项为b 1，公比为q ，则b m －
n p
·b n －
p m ·b p －
m
n ＝(b 1q p －
1)m －
n ·(b 1q m －
1)n －
p ·(b 1q n －
1)p
－m
＝b 01·
q 0＝1. 答案：b m －
n p
·b n －
p m ·b p －m
n ＝1
典题导入
[例3] 数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝
n ＋2
n
S n (n ∈N *)．证明： (1)数列????
??
S n n 是等比数列；
(2)S n ＋1＝4a n .
[自主解答] (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2
n S n ，
∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . 故
S n ＋1n ＋1
＝2·S n
n ，(小前提)
故?
???
??
S n n 是以2为公比，1为首项的等比数列．(结论)
(大前提是等比数列的定义，这里省略了) (2)由(1)可知
S n ＋1n ＋1＝4·S n －1
n －1
(n ≥2)， ∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2
n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)．(小前提)
又∵a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)
由题悟法
演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略．
以题试法
3.如图所示，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 上的点，∠BFD ＝∠
A ，且DE ∥BA .求证：ED ＝AF (要求注明每一步推理的大前提、小前提和结论，并最终把推理过程用简略的形式表示出来)．
证明：(1)同位角相等，两条直线平行，(大前提) ∠BFD 与∠A 是同位角，且∠BFD ＝∠A ，(小前提) 所以DF ∥EA .(结论)
(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提) DE ∥BA 且DF ∥EA ，(小前提)
所以四边形AFDE 为平行四边形．(结论) (3)平行四边形的对边相等，(大前提) ED 和AF 为平行四边形的对边，(小前提) 所以ED ＝AF .(结论) 上面的证明可简略地写成：
?
???
?∠BFD ＝∠A ?DF ∥EA DE ∥BA ?四边形AFDE 是平行四边形?ED ＝AF .
1．推理“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③三角形不是矩形”中的小前提是( )
A ．①
B ．②
C ．③
D ．①和②
解析：选B 由演绎推理三段论可知，①是大前提；②是小前提；③是结论．故选B. 2．(2012·合肥模拟)正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2
＋1)是奇函数，以上推理( )
A ．结论正确
B ．大前提不正确
C ．小前提不正确
D ．全不正确
解析：选C 因为f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确.
3．(2012·泰兴模拟)在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝1
4，推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体P －ABC 的内切球体
积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1
V 2
＝( )
A.18
B.19
C.1
64
D.127
解析：选D 正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故V 1V 2＝1
27
.
4．(2012·德州模拟)给出下面类比推理(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)： ①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0?a ＝b ”类比推出“a ，c ∈C ，则a －c ＝0?a ＝c ”； ②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋b i ＝c ＋d i ?a ＝c ，b ＝d ”类比推出“a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2?a ＝c ，b ＝d ”；
③“a ，b ∈R ，则a －b ＞0?a ＞b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＞0?a ＞b ”； ④“若x ∈R ，则|x |＜1?－1＜x ＜1”类比推出“若z ∈C ，则|z |＜1?－1＜z ＜1”． 其中类比结论正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
解析：选B 类比结论正确的有①②.
5．观察如图所示的正方形图案，每条边(包括两个端点)有n (n ≥2，n ∈N *)个圆点，第n 个图案中圆点的总数是S n .按此规律推断出S n 与n 的关系式为( )
A ．S n ＝2n
B ．S n ＝4n
C ．S n ＝2n
D ．S n ＝4n －4
解析：选D 由n ＝2，n ＝3，n ＝4的图案，推断第n 个图案是这样构成的：各个圆点排成正方形的四条边，每条边上有n 个圆点，则圆点的个数为S n ＝4n －4.
6．(2012·武汉市适应性训练)下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )
A ．设数列{a n }的前n 项和为S n .由a n ＝2n －1，求出S 1＝12，S 2＝22，S 3＝32，…，推断：S n ＝n 2
B ．由f (x )＝x cos x 满足f (－x )＝－f (x )对? x ∈R 都成立，推断：f (x )＝x cos x 为奇函数
C ．由圆x 2
＋y 2
＝r 2
的面积S ＝πr 2
，推断：椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的面积S ＝πab
D ．由(1＋1)2＞21，(2＋1)2＞22，(3＋1)2＞23，…，推断：对一切n ∈N *，(n ＋1)2＞2n 解析：选A 选项A 由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{a n }是等差数列，其前n 项和等于S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2
，选项D 中的推理属于归纳推理，但结论不正确．因
此选A.
7．(2013·杭州模拟)设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>5
2，
f (16)>3，观察上述结果，可推测一般的结论为________．
解析：由前四个式子可得，第n 个不等式的左边应当为f (2n )，右边应当为n ＋2
2，即可得
一般的结论为f (2n )≥n ＋2
2
.
答案：f (2n )≥n ＋2
2
8．(2011·陕西高考)观察下列等式
1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49
……
照此规律，第n 个等式为________．
解析：每行最左侧数分别为1、2、3、…，所以第n 行最左侧的数为n ；每行数的个数分别为1、3、5、…，则第n 行的个数为2n －1.所以第n 行数依次是n 、n ＋1、n ＋2、…、3n －2.其和为n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2.
答案：n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2
9．(2012·杭州模拟)在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c 2＝a 2＋b 2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O －LMN ，如果用S 1，S 2，S 3表示三个侧面面积，S 4表示截面面积，那么类比得到的结论是________．
解析：将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可
得S 21＋S 22＋S 23＝S 2
4.
答案：S 21＋S 22＋S 23＝S 2
4
10．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S ＝1
2×底×高；(3)三角形的中位线平行于第三
边且等于第三边的1
2
；……
请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论． 解：由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为： (1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；
(2)四面体的体积V ＝1
3
×底面积×高；
(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的1
4
.
11．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5.
(1)求a 18的值；
(2)求该数列的前n 项和S n .
解：(1)由等和数列的定义，数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5，易知a 2n －1＝2，a 2n ＝3(n ＝1,2…)，故a 18＝3.
(2)当n 为偶数时，
S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(a 1＋a 3＋…＋a n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a n ) ＝2＋2＋…＋2n 2个2＋3＋3＋…＋3n 2个3＝52n ；
当n 为奇数时，
S n ＝S n －1＋a n ＝52(n －1)＋2＝52n －1
2
.
综上所述：S n
＝???
5
2
n ，n 为偶数，52n －1
2，n 为奇数.
12．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．
(1)求出f (5)的值；
(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f (n ＋1)与f (n )之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f (n )的表达式；
(3)求
1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1
的值． 解：(1)f (5)＝41.
(2)因为f (2)－f (1)＝4＝4×1， f (3)－f (2)＝8＝4×2，
f (4)－f (3)＝12＝4×3， f (5)－f (4)＝16＝4×4， …
由上式规律，所以得出f (n ＋1)－f (n )＝4n . 因为f (n ＋1)－f (n )＝4n ， 所以f (n ＋1)＝f (n )＋4n ， f (n )＝f (n －1)＋4(n －1) ＝f (n －2)＋4(n －1)＋4(n －2)
＝f (n －3)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3) ＝…
＝f (1)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＋…＋4 ＝2n 2－2n ＋1. (3)当n ≥2时，
1f (n )－1＝12n (n －1)＝12(1n －1－1
n )， ∴
1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1
＝1＋1
2????1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n
＝1＋1
2????1－1n ＝32－1
2n
.
1．(2012·江西高考)观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( )
A ．28
B ．76
C ．123
D ．199
解析：选C 记a n ＋b n ＝f (n )，则f (3)＝f (1)＋f (2)＝1＋3＝4；f (4)＝f (2)＋f (3)＝3＋4＝7；f (5)＝f (3)＋f (4)＝11.通过观察不难发现f (n )＝f (n －1)＋f (n －2)(n ∈N *，n ≥3)，则f (6)＝f (4)＋f (5)＝18；f (7)＝f (5)＋f (6)＝29；f (8)＝f (6)＋f (7)＝47；f (9)＝f (7)＋f (8)＝76；f (10)＝f (8)＋f (9)＝123.所以a 10＋b 10＝123.
2．对于命题：若O 是线段AB 上一点，则有|OB |·
OA ＋|OA |·OB
＝0. 将它类比到平面的情形是：
若O 是△ABC 内一点，则有S △OBC ·
OA ＋S △OCA ·OB ＋S △OBA ·OC
＝0，将它类比到空间
情形应该是：若O 是四面体ABCD 内一点，则有________．
解析：将平面中的相关结论类比到空间，通常是将平面中的图形的面积类比为空间中的
几何体的体积，因此依题意可知若O 为四面体ABCD 内一点，则有V O －BCD ·OA ＋V O －ACD ·OB
＋V O －ABD ·OC ＋V O －ABC ·OD
＝0.
答案：V O －BCD ·OA ＋V O －ACD ·OB ＋V O －ABD ·OC ＋V O －ABC ·OD
＝0
3．(2012·福建高考)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
(1)sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； (2)sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； (3)sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； (4)sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； (5)sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解：(1)选择(2)式，计算如下：
sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°
＝1－14＝34
.
(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝3
4.
证明如下：
法一：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α) ＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－1
2sin 2α
＝34sin 2α＋3
4cos 2α ＝34
. 法二：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝
1－cos 2α2＋1＋cos (60°－2α)
2
－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－1
4
(1－cos 2α)
＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34
.
1．(2012·江西高考)观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为( )
A ．76
B ．80
C ．86
D ．92
解析：选B 由特殊到一般，先分别计算|x |＋|y |的值为1,2,3时，对应的(x ，y )的不同整数解的个数，再猜想|x |＋|y |＝n 时，对应的不同整数解的个数．通过观察可以发现|x |＋|y |的值为1,2,3时，对应的(x ，y )的不同整数解的个数为4,8,12，可推出当|x |＋|y |＝n 时，对应的不同整数解(x ，y )的个数为4n ，所以|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为80.
2．(2012·豫东、豫北名校测试)已知如下等式： 3－4＝1
7(32－42)，
32－3×4＋42＝1
7(33＋43)，
33－32×4＋3×42－43＝1
7(34－44)，
34－33×4＋32×42－3×43＋44＝1
7
(35＋45)，
则由上述等式可归纳得到3n －3n －
1×4＋3n －
2×42－…＋(－1)n 4n ＝________(n ∈N *)．
解析：依题意及不完全归纳法得，3n －3n －1×4＋3n －
2×42－…＋(－1)n 4n ＝17
[3n ＋1－(－4)n
＋1
]．
答案：17
[3n ＋1－(－4)n ＋
1]