广义积分被积函数的极限
顾敏康 01830535
（徐州师范大学 数学系 徐州 221116）
摘 要 本文讨论了广义积分
?
+∞
a
dx x f )(的被积函数)(x f 当+∞→x 时的极限情况，这里我总结出了几个
0)(lim =+∞
→x f x 的条件.
关键词 广义积分; 被积函数 ; 极限
由文献[1]知无穷积分?
+∞a
dx x f )(收敛，则有当+∞→x 时0)(→x f 是否成立？反之是否
成立？结果答案都是否定的.例如2
sin lim x x +∞
→不存在，但dx x a
?
+∞
2
sin 收敛，而01lim
=+∞
→x
x ，
dx x
a
?
+∞
1发散.由此可见，这一结果和数项级数和函数项级数收敛时一般项趋于零是不一致的。广
义积分和级数之间有内在的联系，而在这一点上两者不一样，所以一个自然的问题就是广义积分的被积函数在什么样的条件下极限存在且当+∞→x 时为零.
引理1 若函数)(x f 在[)+∞,a 连续，且b x f x =+∞
→)(lim ，
则函数)(x f 在[)+∞,a 上一致连续.
证明 已知b x f x =+∞
→)(lim ，即0>?ε，a M >?，()+∞∈?,,21M x x ，有
ε<-)()(21x f x f .
已知)(x f 在]1,[+M a 上连续,根据一致连续性定理,则)(x f 在[]1,+M a 一致连续,即()(),:1,,,100,02121δδδε<-+∈?<<>?>?x x M a x x 有
ε<-)()(21x f x f .
于是 [),,,2121δ<-+∞∈?x x a x x 且 都有
ε<-)()(21x f x f .
故函数)(x f 在[)+∞,a 上一致连续.
引理2 若函数)(x f 在区间I 满足李普希茨条件，即I y x ∈?,，有y x k y f x f -≤-)()(，其中是常数，
则)(x f 在I 上一致连续.
证明 ,0>?ε,,I y x ∈?解不等式
,)()(ε<-≤-y x k y f x f
得
,k
y x ε
<
-
取(),0>=
δε
δk
于是 ,,0k
ε
δε=
>?取 则 ,,δ<-∈?y x I y x 及有
.)()(ε<-y f x f
故函数)(x f 在I 上一致连续.
引理3 若函数)(x f 在()+∞,a 上可导，且()+∞∈?,a x 有,)(M x f ≤’其中M 为常数，则)(x f 在()+∞,a 上一致连续.
证明 因为()+∞,a 在)(x f 上可导，对()+∞∈?,,21a x x ， 则 )(x f 在[]21,x x 上连续，在()21,x x 内可导， 所以
(),,),()
()(21'
2
121x x f x x x f x f ∈=--ξξ
从而
1221)(')()(x x f x f x f -=-ξ
12x x M -≤.
由引理2知 )(x f 在()+∞,a 上一致连续.
定理1 )(x f 在[)+∞,a 上连续，dx x f a
?+∞
)(收敛，则0)(lim =∞
→x f x 的充分必要条件是)
(x f 在[)+∞,a 上一致连续.
证明 由引理1必要性显然.
充分性 已知)(x f 在[)+∞,a 上一致连续，则0,0>?>?δε（不妨设εδ≤），对
[)+∞∈?,,"
'
a x x ，当δ<-"
'
x
x 时，有
2
)()("
'
ε
<
-x f x f .
又因为dx x f a
?
+∞
)(收敛，故对上述的δ，,0>?M 当M x x >"
'
,时有
,2
)(2
"
'
δ
<
?
x
x
dt t f
对,,,"'x x M x ?>?使M x x x >>≥'"且δ=-'"x x ，于是有
2
)(2
"
'δ
<
?
x
x
dt x f ，
从而
)(x f δ=?
"
'
)(x
x
dt x f
=
?
?
?
+
-
"
'
"
'
"
'
)()()(x
x
x
x
x
x
dt t f dt t f dt x f
?
?
+
-≤
"
'
"
'
)()()(x
x
x
x
dt t f dt t f x f
2
2
2
δ
δε+
<
，
即 εε
ε
δ
ε
=+
≤
+
<
2
2
2
2
)(x f .
于是 0,0>?>?M ε时有ε<)(x f , 所以 0)(l i m =+∞
→x f x .
例1 对定义在()+∞,0上的函数x
x x f s in )(=
,显然它在()+∞,0上连续,对无穷积分
dx x
x ?
+∞
1
sin ,已知函数x x f sin )(=在区间[]+∞,1连续,1>?p ,有
2cos 1cos sin 1
≤-=?
p x xdx p
,
所以无穷积分dx x
x ?+∞
1
sin 收敛()01>=λ.
于是dx x
x ?
+∞
sin 也收敛.
又显然 0s i n lim
=+∞
→x
x z ,
由引理1知 )(x f 在()+∞,0上一致连续.
推论1 若?+∞
a
dx x f )(收敛,)(x f 在[)+∞,a 上满足李普希茨条件，
则
0)(l i m =+∞
→x f x .
证明 因为)(x f [)+∞,a 在上满足李普希茨条件， 由引理2知 )(x f 在[)+∞,a 上一致连续. 又
?
+∞
a
dx x f )(收敛，
由定理1
0)(lim =+∞
→x f x .
推论2 若?
+∞
a
dx x f )(收敛，)(x f 在a x ≥时可导且存在0>M ，使得
M x f ≤)('
，
则
0)(lim =+∞
→x f x .
证明 由于函数)(x f 在[)+∞,a 上可导，且(),,+∞∈?a x 有
M x f ≤)('
（其中0>M 为常数）.
由引理3知 )(x f 在[)+∞,a 上一致连续. 又由无穷积分?+∞
a
dx x f )(收敛，
由定理1
0)(lim =+∞
→x f x .
定理1不仅告诉我们收敛的广义积分的极限()+∞→x 为零的充要条件，而且用它我们可以判定某些函数在无穷区间上不一致连续. 如?
+∞
a
dx x 2sin 收敛，但0sin lim 2
≠+∞
→x x ，则2
sin x 在
[)+∞,a 上不一致连续.若直接证明2
sin
x 在[)+∞,a 上不一致连续是很困难的.
定理2 若?+∞a
dx x f )(收敛，且,a A ≥?当A x ≥时，)(x f 非负单调递减，
则
0)(lim =+∞
→x f x
证明 因为,0)(≥x f 且单调递减，
由极限存在定理，当+∞→x 时)(x f 存在极限，不妨设,)(lim b x f x =+∞
→
则由极限的性质有,0≥b 若,0>b 有0'
>b 使得
,0'
>>b b
由极限的保号性有 ,0x ?当0x x >时
.0)('
>≥b x f
于是
dx x f a
?
+∞
)(.)(0
'
+∞=≥
≥
?
?
+∞
+∞
x x dx b dx x f
此与dx x f a
?+∞)(收敛矛盾，从而,0=b
即
.0)(lim =+∞
→x f x
例2 对定义在()+∞,0上的函数,)(x e x f -=显然x e -在()+∞,0上是非负单调递减的，由于
]
,1lim lim
=-=-+∞
→-+∞
→?
p
x
p p
x
p e
dx e
故 dx e
x
?
+∞
-0
收敛，
由定理2
.0lim =-+∞
→x
x e
和定理2对称的有下述结果： 推论3 若dx x f a
?+∞)(收敛，且存在,a A ≥当A x ≥时)(x f 非正单调递增，
则
dx x f a
?
+∞
)(.
证明方法与过程同上.
最后再给出收敛的广义积分被积函数趋于零的一个必要条件. 定理3 若函数)(x f 在[)+∞,a 上有连续的导数，dx x f a
?+∞
)(和dx x f a
?
+∞
)('
都收敛，
则
.0)(lim =+∞
→x f x
证明 由于)(x f 有连续的导数，则
),()()('
a f x f dt t f x
a
-=?
由dx x f a
?
+∞
)('
收敛知)(lim x f x +∞
→存在，
不妨设
,)(lim M x f x =+∞
→
若,0≠M 不妨设,0>M 取,0>>N M 则存在a A >，当A x ≥时，有
.)(N x f >
从而
,)(+∞=>
?
?
+∞
+∞
a
a
Ndx dx x f
这与dx x f a
?+∞)(收敛矛盾.
所以
.0)(lim =+∞
→x f x
例 3 对定义在()+∞,1上的函数,)(2-=x x f 显然在()+∞,1上有连续的导数，对无穷积分
,1
2
dx x
?
+∞
-
由于
[
]
p
p p
p x
dx x
1
3
1
2
2lim lim
-+∞
→-+∞
→-=?
(
)
.
212lim 3
=-=-∞
→p
p
所以
dx x
?
+∞
-1
2
收敛.
同样可以说明()dx x ?+∞
-1
'
2也收敛.
由定理3知
.0lim 2
=-+∞
→x
x
参考文献
[1] 刘玉链,傅沛仁.数学分析讲义[M].北京:高等教育出版社,1996:265-266.
[2] 吕凤,刘玉链.数学分析习题课讲义[M].东北师范大学出版社,1993:142-144.
[3] 华东师范大学数学系.数学分析（第二版上）[M].北京:高等教育出版社,2001:36-37.
The Limit of The Generalized Integral ’s integrand
Gu Minkang 01830535
（Department of Mathematics Xuzhou Normal Univesity, Xuzhou, 221116）
Abstract In this paper, the author discusses the limit of the integrand of generalized integral when the
variable tends to the infinity, and sums several conditions which make the limit be zero as variable tending to the infinity.
Key words generalized integral; integrand; limit
第十二章一般广义时变系统的时域有界 控制 在控制理论中，人们所关心的系统稳定性主要是Lyapunov稳定性。然而Lyapunov稳定性刻画的一个系统的整体稳态性能，但它并不能反映系统的暂态性能。所谓暂态性能是指短时间内的系统稳定性，绝非短时间内的Lyapunov稳定性。在工程中，一个整体稳定的系统，很有可能暂态性能很坏，在工程中会造成很坏的影响，甚至根本无法应用。因此，相对于系统的整体稳态性能，人们往往更关心的是系统的暂态性能。 时域有界是时域稳定的拓展概念，时域稳定是时域有界的特殊形式，它们相互联系，又互不相同。对于时域有界，我们也有了一些初步的研究成果。Zhao S，Sun J，Liu L（2008）研究了带脉冲的线性时变系统的时域有界问题，F. Amato，M. Ariola，C. Cosentino（2006）还给出了时域问题的动态补偿器的设计方法，在Amato F，AriolaMand Dorato P（2001）中，探讨了参数不确定带干扰的系统时域控制问题。综上所述，虽然学者们引进了时域稳定的定义，并且给出了关于广义时变系统的时域稳定的一些充要条件，但是对于广义时变系统，尤 E t是时变的时域稳定问题还没有什么可利用的研究成果，另外对于广义时变不确定其是() 系统时域稳定性的研究更是屈指可数。 本章的主要工作分为两部分，首先是广义时变系统的时域控制问题，对于函数矩阵) E是时变的系统给出了时域稳定和时域有界的充分必要条件，并通过状 (t 态反馈使不稳定的系统得到控制。其次是广义时变不确定系统的时域控制问题，给出了不确定系统时域有界状态反馈控制器的设计方法。
小结 积分上限函数（或变上限定积分）()()x a F x f t dt =?的自变量是上限变量x ， 在求导时，是关于x 求导，但在求积分时，则把x 看作常数，积分变量t 在积分区间],[x a 上变动。弄清上限变量和积分变量的区别是对积分限函数进行正确运算的前提。 1．关于积分上限函数的理论 定理1 如果)(x f 在],[b a 上可积，则?=x a dt t f x F )()(在],[ b a 上连续. 定理 2 如果)(x f 在],[b a 上连续，则?=x a dt t f x F )()(在],[b a 上可导，且 ).(])([)(x f dt t f dx d x F x a == '? 注：（Ⅰ）从以上两个定理可看出，对)(x f 作变上限积分后得到的函数，性质比原来的函数改进了一步：可积改进为连续；连续改进为可导。这是积分上限函数的良好性质。而我们知道，可导函数)(x f 经过求导后，其导函数 )(x f '甚至不一定是连续的。 （Ⅱ）定理（2）也称为原函数存在定理。它说明：连续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。定理（2）把两者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义。 推论1 )(])([x f dt t f dx d b x -=? 推论2 )()]([])([) (x x f dt t f dx d x c ???'=? 推论3 )()]([)()]([])([) ()(x x f x x f dt t f dx d x x ??ψψψ?'-'=? 2．积分限函数的几种变式 （1） 比如 ?-=x dt t f t x x F 0)()()( (被积函数中含x , 但x 可提到积分号外面来.) 在求)(x F '时，先将右端化为????-=-x x x x dt t tf dt t f x dt t tf dt t xf 0 )()()()(的形 式，再对x 求导。 （2）比如 ?-=x dt x t tf x F 0)()(
几种特殊类型函数的积分 一、有理函数的不定积分 1.化有理函数为简单函数 两个多项式的商所表示的函数)(x R 称为有理函数，即 m m m m m n n n n n b x b x b x b x b a x a x a x a x a x Q x P x R ++++++++++= =------122110122110)()()( （1） 其中n 和m 是非负整数；n a a a a ,,,,210 及m b b b b ,,,,210 都是实数，并且 0,000≠≠b a ． 当（1）式的分子多项式的次数n 小于其分母多项式的次数m ，即m n <时，称为有理真分式；当m n ≥时，称为有理假分式． 对于任一假分式，我们总可以利用多项式的除法，将它化为一个多项式和一 个真分式之和的形式．例如 1 2)1(11222 4+++-=+++x x x x x x ． 多项式的积分容易求得，下面只讨论真分式的积分问题． 设有理函数（1）式中m n <，如果多项式)(x Q 在实数范围内能分解成一次因式和二次质因式的乘积： μλβα)()()()()(220s rx x q px x b x a x b x Q ++++--= ． 其中s r q p b a ,,,,,,, 为实数；042<-q p ，…，042<-s r ；,,,βα μλ,, 为正整数，那末根据代数理论可知，真分式) () (x Q x P 总可以分解成如下部分分式之和，即 β ααα)()()()() (1121b x B a x A a x A a x A x Q x P -++-++-+-=- λ ββ) ()(21 112q px x N x M b x B b x B ++++-++-+ - μλλλ)()(21121222s rx x S x R q px x N x M q px x N x M ++++ ++++++++++ - s rx x S x R s rx x S x R +++++++++ -2 122 2)(μμμ ． （2）
解析函数、共轭半解析函数及其影响 1983年王见定教授在世界上首次提出半解析函数理论，1988年又首次提出并系统建立了共轭解析函数理论；并将这两项理论成功地应用于电场.磁场.流体力学.弹性力学等领域。此两项理论受到众多专家.学者的引用和发展，并由此引发双解析函数.复调和函数.多解析函数（k阶解析函数）.半双解析函数.半共轭解析函数以及相应的边值问题.微分方程.积分方程等一系列新的数学分支的产生，而且这种发展势头强劲有力，不可阻挡。这是中国学者对发展世界数学作出的前所未有的大范围的原创工作。 微积分是解析函数的特例，解析函数是半解析函数的特例；共轭解析函数和解析函数是姐妹篇，在应用上共轭解析函数比解析函数更直观。 共轭作为一个符号早年早有，但作为一个“共轭解析函数类”，王见定教授世界首次提出。任何一个学过复变函数的人都知道，复
变函数的求导.积分都是仿实变函数的求导.积分形式推导出来的。解析函数之所以有价值，就在于它在电场.磁场.流体力学.弹性力学等方面的应用。但仔细考查，以上的应用都是共轭解析函数的直接应用，而非解析函数。共轭导数.共轭积分都有明确的物理.力学上直接含义（而解析函数没有）。仅这一点王见定教授使西方数学大家示弱。 共轭解析函数是和解析函数完全对称的一类函数，这使得复变函数变得完美，众人皆知对称是科学的一个普遍的美。再者由于有了共轭解析函数类的提出，解析函数与共轭解析函数的不同组合才形成了复调和函数.双解析函数.多解析函数...及相应的微分方程.积分方程等一系列新的数学分支的产生。这是王见定教授对世界数学作出的巨大贡献。 半解析函数.共轭解析函数此两项理论受到众多专家.学者的引用和发展，这也是中国学者对发展世界数学作出的前所未有的大范围的原创性工作。 1.中国专家技术网.
§3 可积条件 教学目的：掌握可积判别准则及可积函数类。 重点难点：重点为可积性判别,难点为可积函数类的证明。 教学方法：讲练结合。 一 可积的必要条件 定理9．2 若函数f 在[]b a ,上可积，则f 在[]b a ,上必定有界． 证 用反证法．若f 在[]b a ,上无界，则对于[]b a ,的任一分割T ，必存在属于T 的某个小区间k k x f x ??在,上无界．在k i ≠各个小区间i ?上任意取定i ξ，并记 ().i k i i x f G ?= ∑≠ξ 现对任意大的正数M ，由于f 在k ?上无界，故存在k k ?∈ξ，使得 ().k k x G M f ?+> ξ 于是有 ()()()i k i i k k i n i i x f x f x f ?- ?≥?∑∑≠=ξξξ1 M G x x G M k k =-???+ 由此可见，对于无论多小的T ，按上述方法选取点集{}i ξ时，总能使积分和的绝对值大于任何预先给出的正数，这与f 在[]b a ,上可积相矛盾． 口 注:有界函数不一定可积。 例1 证明狄利克雷函数 ()?? ?=x x x D ,0,1为无理数 为有理数 在[]10， 上有界但不可积． 证 显然()[].1,0,1∈≤x x D 对于[]10， 的任一分割T ，由有理数和无理数在实数中的稠密性，在属于T 的任一小区间i ?上，当取i ξ全为有理数时， ()11 1 =?=?∑∑==n i i i n i i x x D ξ；当取i ξ全为无理数时，
()01 =?∑=i n i i x D ξ．所以不论T 多么小，只要点集{}i ξ取法不同(全取有理数或全取无理数)， 积分和有不同极限，即()x D 在[]10，上不可积． 口 由此可见，有界是可积的必要条件．以后讨论函数的可积性时，总是假设函数是有界的． 二 可积的充要条件 要判断一个函数是否可积，固然可以根据定义，直接考察积分和是否能无限接近某一常数，但由于积分和的复杂性和那个常数不易预知，因此这是极其困难的．下面即将给出的可积准则只与被积函数本身有关，而不涉及定积分的值． 设{} n i T i ,,2,1 =?=为对[]b a ,的任一分割．由f 在[]b a ,上有界，它在每个i ?上存在上、下确界： ()().,,2,1,inf ,sup n i x f m x f M i i x i x i ===?∈?∈ 作和 ()(),,1 1 i n i n i i i i x m T s x M T S ?=?= ∑∑== 分别称为f 关于分割T 的上和与下和(或称达布上和与达布下和，统称达布和)．任给 ,,,2,1,n i i i =?∈ξ，显然有 ()()().1 ∑=≤?≤ n i i i T S x f T s ξ 与积分和相比较，达布和只与分割T 有关，而与点集{}i ξ无关．由不等式(1)，就能通过讨论上和与下和当0→T 时的极限来揭示f 在[]b a ,上是否可积．所以，可积性理论总是从讨论上和与下和的性质入手的． 定理9．3 (可积准则) 函数f 在[]b a ,上可积的充要条件是：任给0>ε,总存在相应的一个分割T ，使得 ()()ε<-T s T S 设i i i m M -=ω称为f 在i ?上的振幅，有必要时也记为f i ω。由于 S(T )－()= T s ∑=n i i 1 ω i χ?(或记为i T i x ?∑ω)， 因此可积准则又可改述如下： 定理3.9'， 函数f 在[]b a ,上可积的充要条件是：任给0>ε，总存在相应的某一
解析函数展开成幂级数的方法分析 姓名：媛媛 学号：201100171431 专业：物理教育 指导教师：莉莉
解析函数展开成幂级数的方法分析 姓名 某某大学物理与电气信息工程学院 摘要：将解析函数展开成幂级数的方法不一，且比较复杂。本论文着重介绍了将解析函数展开成幂级数的几种方法以及分析。 关键词：解析函数，幂级数，展开，奇点等。 一前言 解析函数的应用及现状：解析函数边值问题和广义解析函数边值问题在奇异积分方程方面有广泛的应用，它们在弹性力学、流体力学方面也有重要的应用。这些方面的理论及其应用，主要是由苏联学者建立和发展起来的。自20世纪60年代以来，中国的数学工作者在这些方面也做了不少工作。 关于解析函数的不同定义在20世纪初被证明是等价的。基于魏尔斯特拉斯的定义，区域上的解析函数可以看作是其内任一小圆邻域上幂级数的解析开拓，关于解析开拓的一般定义是，f（z）与g（z）分别是D与D*上的解析函数，若DÉD*，且在D*上f（z）=g（z）。则称f（z）是g（z）由D*到D的解析开拓。解析开拓的概念可以推广到这样的情形：f（z）与g（z)分别是两个圆盘D1与D2上的幂级数，在D1∩D2上f（z)=g（z)则也称f与g互为解析开拓，把可以互为解析开拓的（f（z），Δ）的解析圆盘Δ全连起来，作成一个链。它们的并记作Ω，得到了Ω上的一个解析函数，称它为魏尔斯特拉斯的完全解析函数，这里可能出现这样的情形，在连成一个链的圆盘中，有一些圆盘重叠在一起，但在这些重叠圆盘的每一个上的解析函数都是不一样的，它们的每一个都称为完全解析函数的分支。这样的完全解析函数实际是一个多值函数。黎曼提出将多值解析函数中的那些重叠的圆盘看作是不同的“叶”，不使他们在求并的过程中只留下一个代表，于是形成了一种称为黎曼面的几何模型。将多值函数看作是定义于其黎曼曲面上的解析函数，这样多值解析函数变成了单值解析函数。解析函数的基本性质：解析函数的导函数仍然是解析函数；单连通域内解析
§10.2 无界函数的广义积分 一 无界函数广义积分的概念 定义1 设()f x 在x b =的临近无界（我们称b 点为()f x 的奇点），但对于任意充分小的正数η，()f x 在[],a b η-上可积，即 lim ()b a f x dx η η+-→? 存在时，称这极限值I 为无界函数()f x 在[,]a b 上的广义积分。记作 ()0 lim ()b b a a f x dx f x dx η η+-→=? ? 。 如果上述的极限不存在，就称()b a f x dx ?发散。 类似可定义 ()b a f x dx ?（a 为奇点）. 如果()f x 在[,]a b 内部有一个奇点c ，a c b <<，当()c a f x d x ? 和()b c f x dx ?都收敛时， 就称 ()b a f x dx ?收敛，并且有 ()()()b c b a a c f x dx f x dx f x dx =+? ??。 如果上式右边的任何一个积分发散，就称()f x dx +∞ -∞ ? 发散。 例1：讨论积分 () 1 b p a dx x a -?()0p >的收敛性。 例2：讨论积分 1 ? 的收敛性。 二 无界函数积分的性质 性质1 定积分的一些性质包括分部积分法和换元积分法对无界函数的广义积分也成立。 柯西收敛原理 ()b a f x d x ?（ x a =是奇点）收敛的充分必要条件是：0ε?>，0δ?>，当0,'ηηδ<<时，总有 ()' a a f x d x ηη ε++
第六章 广义函数与Sobolev 空间简介 函数是经典分析中的基本概念之一，然而这样的一个基本概念，在近代科学技术的发展中逐渐不够用了。下面用几个例子加以说明。 例6.1（脉冲） 20世纪初，Heaviside 在解电路方程时，提出了一种运算方法，称之为算子演算。这套算法要求对如下函数 10 ()00x h x x ?≥?=?
考研——积分上限的函数（变上限积分）知识点 ()()x a F x f t dt =? 形如上式的积分，叫做变限积分。 注意点： 1、在求导时，是关于x 求导，用课本上的求导公式直接计算。 2、在求积分时，则把x 看作常数，积分变量t 在积分区间],[x a 上变动。 （即在积分内的x 作为常数，可以提到积分之外。） 关于积分上限函数的理论 定理1如果)(x f 在],[b a 上连续，则)(x f 在（a ，b ）上可积，而)(x f 可积，则?=x a dt t f x F )()(在],[b a 上连续。 定理2如果)(x f 在],[b a 上有界，且只有有限个间断点，则)(x f 在（a ，b ）上可积。 定理3如果)(x f 在],[b a 上连续，则?=x a dt t f x F )()(在],[ b a 上可导，而且有 ).(])([)(x f dt t f dx d x F x a == '? ========================================== 注：（Ⅰ）从以上定理可看出，对)(x f 作变上限积分后得到的函数，性质比原来的函数改进了一步：可积改进为连续；连续改进为可导。这是积分上限函数的良好性质。而我们知道，可导函数)(x f 经过求导后，其导函数)(x f '甚至不一定是连续的。 （Ⅱ）定理（3）也称为原函数存在定理。它说明：连续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。定理（3）把两者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义。
毕业论文开题报告 信息与计算科学 无界函数广义积分的数值计算 一、选题的背景、意义 微积分从20世纪初开始进入中学，他作为人类文化的宝贵财富，正在武装一代又一代的新人，终将成为世人皆知的常识[1].通常谈到积分，最先想到的往往是定积分.研究函数的定积分，常常有两个比较重要的约束条件，即积分区间的有界性和被积函数的有界性[2].但在很多实际问题中往往需要突破这两个条件，考虑无穷区间上的积分或是无界函数的积分，通常也称他们为广义积分.通过以往对定积分学习，发现它可以使很多复杂的问题简单化，但是实际生活广义积分的应用更加具有实际意义.因此关于它的计算自然而然地成了很重要的研究课题，这也是本论文的研究中心. 广义积分的敛散性的判定是分析学的重要内容，有不少人对其研究，已得出了许多判定方法.有学者认为，由于积分与级数在理论上是统一的，因此有关正项级数的根式判别法可被推广以判别无穷限积分和 [3] .也有学者认为，将无穷积分及无界函数积分的被积函数运用 无穷小和无穷大比较的方法进行比较，得到了相应的反常积分敛散性极限审敛法的等价定理 [4] ，从而可运用等价定理灵活的判断反常积分的敛散性.总之，广义积分目前已有多种判别 收敛性的方法，但每个判别法都有其应用的局限性[5] ，随着广义积分理论的逐渐发展，相 信这些局限性会日趋减弱。 广义积分的敛散性的判别方法固然是很重要的问题，对于广义积分的计算的研究具有很重要的现实意义.在解析方法中，收敛的广义积分是通过用非奇异点（或有限点）代替奇异点（无穷点）并对其取极限的方法处理的 [6] .通常的积分计算直接利用公式 ()()()b a f x dx F b F a =-? 进行，但是，在实际问题中，这样往往是有困难的，有些被积函 数()f x 的原函数不能用初等函数表示成有限的形式；有些被积函数表达式很复杂；有些没有具体的解析表达式.而且，广义积分是指把积分扩展为函数在积分区间上无界或积分区间
欧阳光中《数学分析》笔记和考研真题详解 第22章广义重积分 22.1复习笔记 一、无界集上的广义重积分 1．无界集上的广义重积分的定义 （1）定义 假设 ①D是边界为（二维）零集的无界集； ②f（x，y）于D上几乎处处连续且f（x，y）于D的任一有界子集上保持有界， 则定义广义二重积分为 特别约定，这里的D R使常义积分存在，即若某D R，使不存在，则放弃这个D R． （2）敛散性 若 等式右端极限存在且有限，则称广义二重积分收敛，反之，称为发散． 2．非负函数的广义二重积分
（1）设f（x，y）≥0且满足条件 ①D是边界为（二维）零集的无界集； ②f（x，y）于D上几乎处处连续且f（x，y）于D的任一有界子集上保持有界，若存在一串 使得极限 存在且有限，则广义重积分必收敛，且 3．绝对可积（收敛）性 （1）绝对收敛 若积分与同时收敛，则称积分绝对收敛（或绝对可积）． （2）条件收敛 若积分收敛但绝对值积分发散，则称积分为条件收敛（或条件可积）．（3）结论 当函数f非负时，可积必绝对可积． （4）定理 设f（x，y）满足条件 ①D是边界为（二维）零集的无界集； ②f（x，y）于D上几乎处处连续且f（x，y）于D的任一有界子集上保持有界，
则广义积分收敛必绝对收敛． 二、无界函数的重积分 1．无界函数积分的定义 （1）定义 设D为有界集，它的边界是（二维）零集，f（x，y）于集D上是几乎处处连续的 且有惟一奇点，即f于点P无界．又设，f于有界． 表示在δ邻域中，以点P为内点的集，并要求积分存在．定义无界函数的广义二重积分为 （2）敛散性 若 右端极限存在且有限，则称收敛（或称可积），反之称为发散（不可积）．2．无界函数积分定理 （1）设D为有界集，它的边界是（二维）零集，f（x，y）于集D上是几乎处处 连续的且有惟一奇点，即f于点P无界．又设，f于有 界．表示在δ邻域中，以点P为内点的集，并要求积分存在．又设f非负，
第九章 广义积分习题课 一、主要内容 1、基本概念 无穷限广义积分和无界函数广义积分敛散性的定义、绝对收敛、条件收敛。 2、敛散性判别法 Cauchy 收敛准则、比较判别法、Cauchy 判别法、Abel 判别法、Dirichlet 判别法。 3、广义积分的计算 4、广义积分与数项级数的关系 5、广义积分敛散性的判别原则和程序 包括定义在内的广义积分的各种判别法都有特定的作用对象和原则，定义既是定性的――用于判断简单的具体广义积分的敛散性，也是定量的――用于计算广义积分，其它判别法都是定性的，只能用于判断敛散性，Cauchy 判别法可以用于抽象、半抽象及简单的具体广义积分的敛散性，比较判别法和Cauchy 判别法用于不变号函数的具体广义积分和抽象广义积分判别法，Abel 判别法和Dirichlet 判别法处理的广义积分结构更复杂、更一般。 对具体广义积分敛散性判别的程序： 1、比较法。 2、Cauchy 法。 3、Abel 判别法和Dirichlet 判别法。 4、临界情况的定义法。 5、发散性判别的Cauchy 收敛准则。 注、对一个具体的广义积分敛散性的判别，比较法和Cauchy 法所起作用基本相同。 注、在判断广义积分敛散性时要求： 1、根据具体题型结构，分析特点，灵活选择方法。 2、处理问题的主要思想：简化矛盾，集中统一，重点处理。 3、重点要掌握的技巧：阶的分析方法。 二、典型例子 下述一系列例子，都是要求讨论其敛散性。注意判别法使用的顺序。 例1 判断广义积分?+∞+=0q p x x dx I 的敛散性。 分析 从结构看，主要是分析分母中两个因子的作用。 解、记?+=101q p x x dx I ，?+∞+=12q p x x dx I
定积分的基本概念与可 积函数类 黎曼积分 一，摘要：本文先是从微积分的发展史开始讨论，从开普特第二定律到牛顿的变化量累积量再到莱布尼茨的特征三角，研究微积分思想的形成过程包括牛顿和莱布尼茨的积分思想与方法进而引出完整的以柯西，威尔斯特拉斯的极限ε-δ语言定义的定积分基本概念。再着重分析了在黎曼积分定义前提下的可积函数类。在讨论可积函数类的过程中主要分析了原函数（不定积分）与可积的关系，两类间断点与可积函数的关系以及间断点的个数与可积的关系。在讨论的过程中我主要是通过举例说明,比如前者是通过证明连续函数有原函数，再证明教材中的牛顿莱布尼茨公式，引出了原函数存在是个比连续还强的条件。即原函数存在一定可积，但可积不一定有原函数，比如黎曼函数。再通过单调函数的（第一类间断点）可积性与黎曼函数（第一类间断点）的可积性与的函数f(x)=sin(1/x)（第二类间断点）的比较得出可积性对间断点的类别提出的要求。即第一类间断点和第二类有穷间断点可能可积，对于无限间断点，无界肯定不可积。再通过狄利克函数说明间断点的个数与可积性的关系，有限个间断点可积无限个间断点不可积。当然上面说的所有的前提是在有界这个必要条件下的最后再补述了勒贝克积分与黎曼积分的关系，扩充可积条件。
在此处键入公式。二，关于牛顿和莱姆尼茨的积分思想 讲到定积分的基本概念就不得不说到微积分的发展历程，淡到微积分大家一定会想到两位数学界的伟人--------他们是英国的牛顿和德国的莱姆尼茨。他们两分别独立从不同的角度思考终于发明了微积分，牛顿是从力学的运动的角度（物理学方面的求变化过程中的积累量。例如，变速运动在一段时间【α,b】内行进的路程,变力使物体运动一段路程【α,b】所作的功等等。），而莱姆尼茨则是从几何图形的角度着入研究的（主要是利用“特征三角形”从作曲线上任一点的切线进而求面积）。虽然他们的积分思想有所差别，但他们的最终问题的根源却殊途同归回到了同一个问题上来了即蕴含在定积分概念中的基本思想----------有限逼近无限，以致促进了以后的极限方法的发展。所以极限方法就成为建立积分学严格理论的基本方法。下面我们来分别介绍他们的积分思想 1牛顿与他的微积分 （艾萨克·牛顿（Isaac Newton）是英国伟大的数学家、物理学家、天文学家和自然哲学家，其研究领域包括了物理学、数学、天文学、神学、自然哲学和炼金术。牛顿的主要贡献有发明了微积分，发现了万有引力定律和经典力学，设计并实际制造了第一架反射式望远镜等等，被誉为人类历史上最伟大，最有影响力的科学家。为了纪念牛顿在经典力学方面的杰出成就，“牛顿”后来成为衡量力的大小的物理单位。） 说到牛顿人们可能会想到他的三大发明：微积分，万有引力，和光的分析。他不仅是个伟大的数学家而且还是物理学家，这就是为什么他的微积分思想的起源于力学的原因，牛顿对物理学的深刻思考而导致了他在数学方面的成就，他都嫌思考的是开普勒第二定律：对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积。 由于万有引力的作用，在离太阳不同距离的地方受力不一样，所以加速度也在在变化，也就是说速度V（t）是个变化的，求这个变化过程的积累量即面积。牛顿让速度这个变化过程量为一个连续的函数，行驶的路程就是该函数下面的面
变限积分确定的函数的性质及应用 摘要 由变限定积分和变限反常积分定义的一类函数，有重要的理论价值和应用价值。本文给出了变限积分的定义及其性质，主要讨论变限积分的求导问题以及奇偶性周期性等方面问题，较系统地讨论了这类函数的性质,得到若干结果，并简要介绍了它们的几点应用。 关键词：变限积分；函数；可积；连续；收敛。
ABSTRACT Limited by the variable and variable limit integral improper integral defined a class of functions, there are important theoretical and practical value. In this paper, changing the definition and nature of limit points, discuss the derivation of integral limits change issues and other aspects of the periodic parity, more systematic discussion of the nature of such functions, by a number of results, and a brief introduction Some of their applications. Key word: variable limit integral, function, integral, continuity, convergence.
第九章广义积分习题课 一、主要容 1、基本概念 无穷限广义积分和无界函数广义积分敛散性的定义、绝对收敛、条件收敛。 2、敛散性判别法 Cauchy收敛准则、比较判别法、Cauchy判别法、Abel判别法、Dirichlet 判别法。 3、广义积分的计算 4、广义积分与数项级数的关系 5、广义积分敛散性的判别原则和程序 包括定义在的广义积分的各种判别法都有特定的作用对象和原则，定义既是定性的――用于判断简单的具体广义积分的敛散性，也是定量的――用于计算广义积分，其它判别法都是定性的，只能用于判断敛散性，Cauchy判别法可以用于抽象、半抽象及简单的具体广义积分的敛散性，比较判别法和Cauchy 判别法用于不变号函数的具体广义积分和抽象广义积分判别法，Abel判别法和Dirichlet判别法处理的广义积分结构更复杂、更一般。 对具体广义积分敛散性判别的程序： 1、比较法。 2、Cauchy法。
3、Abel 判别法和Dirichlet 判别法。 4、临界情况的定义法。 5、发散性判别的Cauchy 收敛准则。 注、对一个具体的广义积分敛散性的判别，比较法和Cauchy 法所起作用基本相同。 注、在判断广义积分敛散性时要求： 1、根据具体题型结构，分析特点，灵活选择方法。 2、处理问题的主要思想：简化矛盾，集中统一，重点处理。 3、重点要掌握的技巧：阶的分析方法。 二、典型例子 下述一系列例子，都是要求讨论其敛散性。注意判别法使用的顺序。 例1 判断广义积分?+∞ +=0q p x x dx I 的敛散性。 分析 从结构看，主要是分析分母中两个因子的作用。 解、记?+=1 01q p x x dx I ，?+∞+=12q p x x dx I 对1I ，先讨论简单情形。 q p =时，1
p 时，由于
高等数学教案 变上限定积分函数及其导数 教学内容：变上限定积分函数及其导数。 知识目标：使学生掌握变上限定积分函数的定义； 使学生了解原函数存在定理的证明； 使学生会熟练运用原函数存在定理求导数。 情感目标：通过原函数存在定理体会积分和微分之间的联系。 教学重点：通过对变上限定积分的掌握和原函数存在定理的结论会求 变上限定积分函数的导数。 教学难点：原函数存在定理的证明。 教学设计：对高职生来说，原函数存在定理的证明过程是本节课的难点，所以采用提前给出储备知识减弱学生负担，同时又辅以数形结合 来形象展示。对变上限积分函数的导数采用讲练结合来强化重点。 教学方法：讲练结合+任务驱动 教学过程： 一课程导入 在前面我们通过两个实例曲边梯形的面积和变速直线运动的路程引入了定积分的概念。求定积分的过程实际上是求和式的极限一般来说，根据定义求定积分计算是很复杂的，所以，必须寻求一种简单而有效的方法。牛顿-莱布尼兹在创建微积分时，就发现定积分和不定积分有密切的联系。我们第二讲要讲的牛顿-莱布尼兹公式，从而把求定积分的问题转化为求不定积分（既原函数）的问题，为人们计算定积分提供了简便的方法。本节课所要讲的原函数存在定理，在微分
和积分之间建立了关系，牛顿和莱布尼兹利用这种关系用来计算计算定积分，得出了著名的牛顿-莱布尼兹公式。 二 储备知识 引导学生复习下面一些知识点，为后面的知识做准备。 1 原函数：若)()(x f x =Φ'，则)(x Φ是)(x f 的一个原函数。 2 可导的概念：若x x f x ??→?)(lim 0存在 ，则)(x f 可导。 3 复合函数求导：)()())(((x u u f x u f dx d '?'= 4 定积分的积分区间可加性：dx x f dx x f dx x f b c b ???+=c a a )()()(。 5 定积分积分中值定理 ：)())(()(b a a b f dx x f b a ≤≤-=?ξξ。 三 给出课堂任务目标 给出本节课的任务目标，以便让学生明白本节课的主要任务。 本堂课主要有三个任务目标 ：1 掌握变上限积分函数的概念； 2 了解原函数存在定理的证明； 3 会熟练运用原函数存在定理求导数。 四 课程内容 1变上限定积分函数的概念 设)(x f 在],[b a 上连续，],[b a x ∈，则)(x f 在],[x a ，即定积分?x a dx x f )(存在，这样很容易混淆，又定积分的值与积分变量无关，我们把积分变量换成t,即得?x a dt f )t (。若固定积分下限a ，则对任意一个],[ b a x ∈，定积分?x a dt f )t (都有唯一的值与x 对应，所以?x a dt f )t (是上限变量x 的函数，称它为变上限定积分函数， 记作?=Φx a dt f x )t ()(。 从定积分的几何意义来解释变上限积分是x 的函数。
反常积分与定积分有何区别和联系 要想得出定积分和广义积分的区别与联系，我们需要先明确两者的定义。从定义的角度出发，对其进行讨论 定积分：设函数f(x)在区间[a,b]上有界，在[a,b]任意插入n-1个分点， a=x 0 平方可积函数的认识 1、平方可积函数的来源与定义平方可积函数是连续物理过程，而连续是由离散情况变化而来，因此这里将首先引入离散情况。 现在考虑一个问题：要测量某个物理量在不同条件下的值，设有个温度N 值，第一次测量结果是：(1)(1)(1)12,,,N a a a 第二次测量结果是：(2)(2)(2)12,,,N a a a 评估两次测量的偏差，最直接的设想是计算每个温度下测量偏差之和：(1)(2)11()N k k k a a N =-∑其实就是平均值，但是这并不能反映真实情况，因为各项有正有负可能抵消，在极端的情况下，平均值可以为0，而实际上两次测量可以存在很大误差。于是，采用：(1)(2)11N k k k a a N =-∑这虽然避免了正负相消，但是绝对值是很不方便运算的，因此考虑更常见的 (1)(2)211()N k k k a a N =?=-∑但是的量纲很明显的不对，于是对上式进行开方得到：?1(1)(2)2211[()]N k k k a a N δ==-∑的量纲显然与测量值、一致，因此它是合理的。 δ(1)k a (2)k a 称为方差，称为标准差。上述考虑的是离散情况下，如果观测的物理?δ量对温度的变化是连续进行的，则相应的会有两个函数和。类似(1)()f x (2)()f x 于上式，存在函数平方的积分。总之，经过发现可以得出 (1)(2)2[()()]b a f x f x dx -?把一个函数平方再积分，用这个量来刻画函数性质在种种物理过程中是十分有效的。 由于已知黎曼积分本质上是适用于连续函数的积分，但是由于统计思想的深入，不得不考虑连续函数或不光滑函数。因此，这里的积分考虑的是勒贝格积分理论。定义1设是上的可测函数，而且在上可积，这种函数 ()f x E R ?2 ()f x E 电气课件中管壁薄、接口不严等问题，合理程中高中资料试卷电气设备进行调试工作并停机。因此，电力高中资料试卷保护装置调 变上限定积分求导法则： 例如：原函数存在定理：()( )()0x f t dt f x ' =? 如果该函数()f t 再添一个变量x ，那么公式就变为 ()() ()()0 x x xf t dt f t dt xf x '=+? ? 相当于：x 是一个常数，提取在变上限定积分()0x f t dt ?的前面。 举例：（2008年高职升本试卷） 若()f x 在(),-∞+∞内连续，()()()02x F x x t f t dt =-? 证明：（1）若()f x 为奇函数，则()F x 为奇函数。 （2）若()f x 非增，则()F x 非减。 证明：（1）若()f x 为奇函数，则证明()()F x F x -+=0即可。 ()()()()002x x F x x t f t dt xf t dt ''????'=-=-??????????()02x tf t dt '?????? ? =()()()()()002x x f t dt xf x xf x f t dt xf x +-=-?? ()()()()00 2()x x F x x t f t dt x f t dt --''????'-=--=--????? ?????()02x tf t dt -'??????? =()()()()()0 ()(1)2()(1)x x f t dt x f x x f x f t dt xf x ---+-------=---?? 故：()()()()()()00 x x F x F x f t dt xf x f t dt xf x -''+-=----?? ()()()0 0 0x x x x f t dt f t dt f t dt --=+==??? 由拉格朗日定理，可知：()() F x F x C ''+-≡（C 为常数） 当0x =时代入，可得：()()F x F x -+=0。 （2）若()f x 非增，则证明()0F x '>。 由()F x '= ()()0 x f t dt xf x -? 可积准则 一可积的必要条件 定理9-2 若函数)(x f 在],[b a 上可积，则)(x f 在],[b a 上必有界。注：该定理指出任何可积函数一定是有界，但要注意的是：有界函数不一定可积。 证明狄利克雷函数???=为无理数 当为有理数当x ，，x x D 0,1)(在]10[，上有界但不可积。二可积的的充要条件 要判断一个函数是否可积，由定义，可直接考察积分和是否能无限接近某一常数，但由于积分和的复杂性和那个常数不可预知，因此这是极其困难的。下面即将出的可积准则只与被积函数本身有关，而不涉及定积分的值。 设T={i x ?n i ,,2,1 =}为对[a ,b]的任一分割。由)(x f 在[a ,b]上有界知，它在每个i x ?上存在上、下确界：i x x i x f M ?∈=)(sup ,i x x i x f m ?∈=)(inf ,n i ,,2,1 =.作和∑=?=n i i i x M T S 1 )(， ∑=?=n i i i x m T s 1)(，分别称为)(x f 关于分割T 的上和与下和（或称达布上和与达布下和，统称 达布和）任给i i x ?∈ξ，n i ,2,1 =，显然有)()()(T S x f T s i i ≤?≤∑ξ。 说明：与积分和相比，达布和只与分割T 有关，而与点i ξ的取法无关。 定理：分割加细后，达布大和不增，小和不减，进而有振幅和不增。 在此要介绍达布定理的内容，和给出可积准则的思路，给出教材上的两个可积准则，并分析他们的不同： 定理9-3（可积准则）函数)(x f 在],[b a 上可积?对0>?ε，T ?，使得ε<-)()(T s T S 。设i i i m M -=ω，并称为)(x f 在i x ?上的振幅，有必要时记为f i ω。则有 i n i i x T s T S ?=-∑=1)()(ω. 定理9-3'函数)(x f 在],[b a 上可积?对0>?ε，T ?，使得εω
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变上限积分求导
数学分析可积准则与可积函数类
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