V(x)=V(x)=
量子化学波函数的“节面”性质
ψ=
II
量子化学
∞
量子化学82
2ma
h E =
量子化学
38
50
一、是非题 1. “波函数平方有物理意义， 但波函数本身是没有物理意义的”。对否 解：不对 2. 有人认为，中子是相距为10-13 cm 的质子和电子依靠库仑力结合而成的。试用测不准关系判断该模型是否合理。 解：库仑吸引势能大大地小于电子的动能, 这意味着仅靠库仑力是无法将电子与质子结合成为中子的，这个模型是不正确的。 二、选择题 1. 一组正交、归一的波函数123,,,ψψψ。正交性的数学表达式为 a ，归一性的 表达式为 b 。 () 0,() 1i i i i a d i j b ψψτψψ** =≠=?? 2. 列哪些算符是线性算符------------------------------------------------------ (A, B, C, E ) (A) dx d (B) ?2 (C) 用常数乘 (D) (E) 积分 3. 下列算符哪些可以对易-------------------------------------------- (A, B, D ) (A) x ? 和 y ? (B) x ?? 和y ?? (C) ?x p 和x ? (D) ?x p 和y ? 4. 下列函数中 (A) cos kx (B) e -bx (C) e -ikx (D) 2 e kx - (1) 哪些是 dx d 的本征函数；-------------------------------- (B, C ) (2) 哪些是的22 dx d 本征函数；-------------------------------------- (A, B, C ) (3) 哪些是22dx d 和dx d 的共同本征函数。------------------------------ (B, C ) 5. 关于光电效应，下列叙述正确的是：(可多选) ------------------（C,D ） (A)光电流大小与入射光子能量成正比 (B)光电流大小与入射光子频率成正比 (C)光电流大小与入射光强度成正比 (D)入射光子能量越大，则光电子的动能越大 6. 提出实物粒子也有波粒二象性的科学家是：------------------------------（ A ）
第二章 1.波函数/平面波： （1）频率和波长都不随时间变化的波叫平面波。 （2）如果，粒子受到随时间或位置变化的力场作用，他的动量和能量不再是常量，这时的粒子就不能用平面波来描写。在一般情况下，我们用一个复函数表示描写粒子的波，并称这个函数为波函数 2.自由粒子/粒子的状态：不被位势束缚的粒子叫做自由粒子. 3.波函数的几率解释/波恩解释： （1）粒子衍射试验中，如果入射电子流的强度很大，则照片上很快就会出现衍射图样；如果入射电子流强度很小，电子一个一个的从晶体表面上反射，开始它们看起来是毫无规则的散布着，随时间变化在照片上同样出现了衍射图样。 由此可见，实验所显示的电子的波动性是许多电子在同一实验的统计结果，或者是一个电子在许多次相同试验中的统计结果。 （2）波恩提出了统计解释，即：波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和该点找到粒子的概率成比例，按照这种解释，描写粒子的波乃是概率波。 4.几率密度: 在t 时刻r 点，单位体积内找到粒子的几率是： ω(r,t) ={dW(r,t)/d τ}= C|Ψ(r,t)|2 5.平方可积： 由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况）， 所以在全空间找到粒子的几率应为一，即： C ∫∞|Ψ(r,t)|2 d τ= 1 而得常数C 之值为： C = 1/∫∞|Ψ(r,t)|2 d τ 若 ∫∞|Ψ(r , t)|2d τ→∞,则 C → 0, 这是没有意义的。故要求描写粒子量子状态的波函数Ψ必须是绝对值平方可积的函数。 7.归一化： C ∫∞|Φ(x,y,z,t)|2 d τ= 1 （波函数乘以一个常数以后，并不改变空间各点找到粒子的概率，不改变波函数的状态） C = 1/∫∞|Φ(x,y,z,t)|2 d τ 现把上式所确定的C 开平方后乘以Φ，并以Ψ表示所得函数： Ψ(x,y,z,t)=C ?Φ(x,y,z,t) 在t 时刻 在（x,y,z ）点附近单位体积内找到粒子的概率密度是： ω( x,y,z,t) = C|Φ(x,y,z,t)|2 故把（1）式改写成 ∫∞|Ψ(r , t)|2 d τ=1 把Φ换成Ψ的步骤称为归一化。 8.δ—函数 δ(x-x 0)= 0 x ≠x 0 ∞ x=x0 ∫+∞ -∞δ（x-x 0）dx=1 9.波函数的标准化条件： （1）单值、有限、连续 （2）正交 归一 完备 10.态叠加原理： 态叠加原理一般表述：若Ψ1 ，Ψ2 ……Ψn …… 是体系的一系列可能的状态，则这些态的线性叠加 Ψ= C 1Ψ1+ C 2Ψ2+……+C n Ψn 也是体系的一个可能状态。 11.能量算符/哈密顿算符 定态波函数满足下面两个方程： 两个方程的特点：都是以一 个算符作用于Ψ(r, t)等于E Ψ(r, t)。 →哈密顿算符 这两个算符都是能量算符 12.薛定谔方程: 13.几率流密度 单位时间内通过τ的封闭 表面S 流入（面积分前面的负号）τ内的几率，因而可以自然的把J 解释为概率密度矢量。 14.质量守恒定律： 15.电荷守恒定律：
第五组 冯正 200431020019 肖小彬 200431020030 2.4粒子处在势能 ()0 U x U ∞?? =≤≤≤≤???（当x<0和x>2a+b ）0（当0x a 和a+b x 2a+b ）（当a 2 2 111222331()sin ,0;(); ()sin[(2)],2. k x k x x A k x x a x A e B e a x a b x A k x a b a b x a b ψψψ-=≤≤=+<<+=--+≤≤+ 当, 当 当 由其它边界条件，又有 2222222211221112222()()3122()()3112222sin ,cos ;sin ,cos . k a k a k a k a k a b k a b k a b k a b A k a A e B e A k k a A k e B k e A k a A e B e A k k a A k e B k e --+-++-+=+=--=+=- 改写上式可得关于不全为0系数1223(,,,)A A B A 的线性方程组： 22222211221112222()()2231sin 0,cos 0, sin 0, k a k a k a k a k a b k a b A k a A e B e A k k a A k e B k e A e B e A k a --+-+--=-+=+++=22()()2222331 cos 0. k a b k a b A k e B k e A k k a +-+-++= 上式有解的条件是其行列式为0： 2222222211 12 2()()1()() 2 211sin 0 cos 0 det 0 0sin 0cos k a k a k a k a k a b k a b k a b k a b k a e e k k a k e k e e e k a k e k e k k a --+-++-+??-- ?- ?= ? ? ?-?? 即 ()()()()222222222 121121112111sin sin cos cos sin cos 0k b k b k b k b k b k b k b k b k a k k a e e k k k a e e k k a k k a e e k k a e e ----??--++--????----+-+=?? 亦即 量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)()(5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλ λρλρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ ? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=h v ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ 《结构化学基础》 讲稿 第一章 孟祥军 第一章 量子力学基础知识 （第一讲） 1.1 微观粒子的运动特征 ☆ 经典物理学遇到了难题： 19世纪末，物理学理论（经典物理学）已相当完善： ? Newton 力学 ? Maxwell 电磁场理论 ? Gibbs 热力学 ? Boltzmann 统计物理学 上述理论可解释当时常见物理现象，但也发现了解释不了的新现象。 1.1.1 黑体辐射与能量量子化 黑体：能全部吸收外来电磁波的物体。黑色物体或开一小孔的空心金属球近似于黑体。 黑体辐射：加热时，黑体能辐射出各种波长电磁波的现象。 ★经典理论与实验事实间的矛盾： 经典电磁理论假定：黑体辐射是由黑体中带电粒子的振动发出的。 按经典热力学和统计力学理论，计算所得的黑体辐射能量随波长变化的分布曲线，与实验所得曲线明显不符。 按经典理论只能得出能量随波长单调变化的曲线： Rayleigh-Jeans 把分子物理学中能量按自由度均分原则用到电磁辐射上，按其公式计算所得结果在长波处比较接近实验曲线。 Wien 假定辐射波长的分布与Maxwell 分子速度分布类似，计算结果在短波处与实验较接近。 经典理论无论如何也得不出这种有极大值的曲线。 ? 1900年，Planck （普朗克）假定： 黑体中原子或分子辐射能量时作简谐振动，只能发射或吸收频率为ν, 能量为 ε=h ν 的整数倍的电磁能，即振动频率为 ν 的振子，发射的能量只能是 0h ν，1h ν，2h ν，……，nh ν（n 为整数）。 ? h 称为Planck 常数，h ＝6.626×10－34J ?S ? 按 Planck 假定，算出的辐射能 E ν 与实验观测到的黑体辐射能非常吻合： ●能量量子化：黑体只能辐射频率为 ν ，数值为 h ν 的整数倍的不连续的能量。 能量波长 黑体辐射能量分布曲线 () 1 /81 3 3 --= kt h c h e E ννπν 第一章 量子力学基础和原子结构 一、填空题 1、若用波函数ψ来定义电子云，则电子云即为_________________。 2、氢原子s ψ1在 r =a 0和 r =2a 0处的比值为_____________。 3、有两个氢原子，第一个氢原子的电子处于主量子数 n =1 的轨道， 第二个氢原子的电子处于n =4 的轨道。 (1)原子势能较低的是______， (2) 原子的电离能较高的是____。 4、设氢原子中电子处在激发态 2s 轨道时能量为E 1， 氦原子处在第一激发态 1s 12s 1时的2s电子能量为E 2，氦离子He + 激发态一个电子处于 2s 轨道时能量为E 3， 请写出E 1，E 2，E 3的从大到小顺序。_____________。 5、对氢原子 1s 态： (1) 2ψ在 r 为_______________处有最高值 (2) 径向分布函数 224ψr π在 r 为____________处有极大值； (3) 电子由 1s 态跃迁至 3d 态所需能量为_____________。 6、H 原子(气态)的电离能为 13.6 eV， He +(气态)的电离能为 _______ eV。 二、选择题 1、波长为662．6pm 的光子和自由电子，光子的能量与自由电子的动能比为何值? （A ）106：3663 （B ）273：1 （C ）1：C （D ）546：1 2、一电子被1000V 的电场所加速．打在靶上，若电子的动能可转化 为光能，则相应的光波应落在什么区域? （A） X光区(约10-10m) （B）紫外区（约10-7m） （C）可见光区（约10-6m）（D）红外区（约10-5m 3、普通阴极管管径为10-2m数量级．所加电压可使电子获得105ms-1速度，此时电子速度的不确定量为十万分之一，可用经典力学处理．若以上其它条件保持不变则阴极管的管径在哪个数量级时必须用量子力学处理? （A）约10-7m （B）约10-5m （C）约10-4m （D）约10-2m 4、下列条件不是品优函数的必备条件的是 （A）连续（B）单值（C）归一（D）有限或平方可积 5、己知一维谐振子的势能表达式为V＝kx2/2，则该体系的定态薛定谔方程应当为 6、粒子处于定态意味着 （A）粒子处于概率最大的状态 （B）粒子处于势能为0的状态 （C）粒子的力学量平均值及概率密度分布都与时间无关的状态 量子力学课后习题详解 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 183 3 -?=πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)() (5 -?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλ λλρλ ρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ ? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ §3、2 量子力学初步 3．2．1、 物质的二象性 ①光的二象性： 众所周知，光在许多情况下（干涉、偏振、衍射等）表现为波动性，但在有些情况下（如光电效应、黑体辐射等）又表现为粒子字。因而对光完整的认识应是光具有波粒二象性。 一个光子的能量： E=hv v 是光的频率，h 是普朗克常数 光子质量： 22c hv c E m == 秒焦??=-341063.6h 光子动量： c hv mc P = = ②德布罗意波 德布罗意把光的波粒二象性推广到实物粒子。他认为，波粒二象性是一切微观粒子共有的特性。第一个实物粒子在自由运动时所具有的能量为E 、动量为p ，这样的自由粒子必定对应一个振动频率为v 、波长为λ的平面简谐波。这两组特征量之间的关系仍是 λh p hv E =?= 自由的实物粒子所对应的平面简谐波常称为物质波或德布罗意波，它的客观真实性已为许多实验所证实。 物质波的物理意义究竟是什么？波是振动状态在空间传播形成的，波在空间某处振动状态的强弱可用该处振幅的平方米来表征。对于光波，若某处振幅平方较大，则该处的光较强，光子数较多，这也意味着光子在该处出现的可能性较大，物质波也是如此。物质波若在某处振幅的平方较大， 则实物粒子在该处出现的可能性较大，可能性的大小可定量地用数学上的概率大来表述，物质波各处振幅的平方便与粒子在该处出现的概率联系起来，这就是物质波的物理意义。 例1、试估算热中子的德布罗意波长。（中子的质量 kg m n 271067.1-?=）热中子是指在室温下（T=300K ）与周围处于热平衡的中子，它的平均动能 eV J kT 038.01021.63001038.123232123=?=???==--ερ 它的方均根速率 s m m v n 32721107.21067.11021.622?≈???==--ε，相应的德布罗 意波长 nm v m h n 15.027001067.11063.62734 =???==--λ 这一波长与X 射线的波长同数量级，与晶体的晶面距离也有相同的数量级，所以也可以产生中子衍射。 3．2．2、海森伯测不准原理 设一束自由粒子朝z 轴方向运动，每一个粒子的质量为m ，速度为v ，沿z 轴方向的动量P=mv 。这一束自由粒子对应一个平面简谐波，在与z 轴垂直的波阵面上沿任何一个方向（记为x 方向）的动量取0=x p 精确值。波阵面上各处振幅相同，每一个粒子在各处出现的概率相同，这意味着粒子的x 位置坐标可取任意值，或者说粒子的x 位置坐标不确定范围为∞→?x 。为了在波阵面的某个x 位置“抓”到一个粒子，设想用镊子去夹粒子。实验上可等效地这样去做：在波阵面的前方平行地放置一块挡板，板上开一条与x 轴垂直的狭缝，狭缝相当于一个并合不够严实的镊子。如果狭缝的宽度为△x ，那么对于通过狭缝的粒子可以判定它的x 位置不确定范围为△ 第一章 量子力学基础与原子结构 一、单项选择题（每小题1分） 1．一维势箱解的量子化由来（ ） ① 人为假定 ② 求解微分方程的结果 ③ 由势能函数决定的 ④ 由微分方程的边界条件决定的。 2．下列算符哪个是线性算符（ ） ① exp ② ▽2 ③ sin ④ 3．指出下列哪个是合格的波函数(粒子的运动空间为 0+)（ ） ① sinx ② e -x ③ 1/(x-1) ④ f(x) = e x ( 0 x 1); f(x) = 1 ( x 1) 4．基态氢原子径向分布函数D(r) ~ r 图表示（ ） ① 几率随r 的变化 ② 几率密度随r 的变化 ③ 单位厚度球壳内电子出现的几率随r 的变化 ④ 表示在给定方向角度上，波函数随r 的变化 5.首先提出微观粒子的运动满足测不准原理的科学家是（ ） ①薛定谔 ② 狄拉克 ③ 海森堡 ③波恩 6．立方势箱中22 810m a h E <时有多少种状态（ ） ① 11 ② 3 ③ 7 ④ 2 7.立方势箱在22 812m a h E ≤的能量范围内，能级数和状态数为（ ） ①5，20 ② 6，6 ③ 5，11 ④ 6，17 8．下列函数哪个是22 dx d 的本征函数（ ） ① mx e ② sin 2x ③ x 2+y 2 ④ (a-x)e -x 9．立方势箱中22 87m a h E <时有多少种状态（ ） ① 11 ② 3 ③ 4 ④ 2 10．立方势箱中22 89m a h E <时有多少种状态（ ） ① 11 ② 3 ③ 4 ④ 2 11.已知x e 2是算符x P ?的本征函数，相应的本征值为（ ） ① i h 2 ② i h 4 ③ 4ih ④ πi h 量子力学课后习题详解 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 183 3 -?=πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)() (5 -?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλ λλρλ ρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 '=???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλπρ ? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m = λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2 c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 6 1051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ 量子力学课后习题详解 第一章 量子理论基础 1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 183 3 -?=πρ， （1） 以及 λνc =， （2） ||λνρρλd d v =， （3） 有 (),1 18)(| )(| |5 2-?=?===kT hc v v e hc c d c d d dv λνλ λ πλλρλ λλρλ ρρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86=??? ? ? ?? -?+--?=-kT hc kT hc e kT hc e hc d d λλλλλ πλρ ? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??≈-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 第一章 量子力学基础知识 一、概念题 1、几率波：空间一点上波的强度和粒子出现的几率成正比，即，微粒波的强度 反映粒子出现几率的大小，故称微观粒子波为几率波。 2、测不准关系：一个粒子不能同时具有确定的坐标和动量 3、若一个力学量A 的算符A ?作用于某一状态函数ψ后，等于某一常数a 乘以ψ，即，ψψa A =?，那么对ψ所描述的这个微观体系的状态，其力学量A 具有确定的数值a ，a 称为力学量算符A ?的本征值，ψ称为A ?的本征态或本征波函数，式ψψa A =?称为A ?的本征方程。 4、态叠加原理：若n ψψψψ,,,,321????为某一微观体系的可能状态，由它们线性组 合所得的ψ也是该体系可能存在的状态。其中： ∑=+??????+++=i i i n n c c c c c ψψψψψψ332211，式中n c c c c ,,,,321???为任意常 数。 5、Pauli 原理：在同一原子轨道或分子轨道上，至多只能容纳两个电子，这两个 电子的自旋状态必须相反。或者说两个自旋相同的电子不能占据相同的轨道。 6、零点能：按经典力学模型，箱中粒子能量最小值为0，但是按照量子力学箱中粒子能量的最小值大于0，最小的能量为228/ml h ，叫做零点能。 二、选择题 1、下列哪一项不是经典物理学的组成部分？ ( ) a. 牛顿(Newton)力学 b. 麦克斯韦(Maxwell)的电磁场理论 c. 玻尔兹曼(Boltzmann)的统计物理学 d. 海森堡(Heisenberg)的测不准关系 2、下面哪种判断是错误的？( ) a. 只有当照射光的频率超过某个最小频率时，金属才能发身光电子 第二章（一维）算符理论 本章提要：本章从线性变换和微分算子出发，建立算符理论统一它们来处理「观测行为」，引入观测公设。接着，从观测值=本征值为实数的要求出发，找到了符合条件的厄米矩阵来描述力学量，引入算符公设。之后介绍了运算法则、基本的位置和动量算符、复合算符的对易子、哈密顿算符等。最后，作为对上述内容的综合应用，讨论了不确定性原理。 1.算符：每一个可观测量，在态空间中被抽象成算符。在态空间中，观测行为被抽象为，某可测量对应的算符「作用」在态矢量上 ①线性变换：线性代数告诉我们，一个线性变换「作用」到n 维向量上会获得一个新的n 维向量，这等价于一个n 阶方阵「作用」在n 行1列矩阵上得到新的n 行1列矩阵，用数学语言可表示为()Ta b T =?=αβ 。总之，方阵与线性变换一一对应。由于方阵性质比矩阵更丰富，我们将只研究方阵。 ②微分算子：在微积分中2222,,,i i x f x f dx f d dx df ???? 也可简写成f f f D Df 22,,,??。前两种在解 欧拉方程和高阶方程式时常用，后两种则经常出现在矢量分析中。简写法可看作是微分算子「作用」在函数上，我们知道它遵守加法和数乘法则，是一种线性运算 ③本征值和本征矢：在矩阵方程x Ax λ=中，把λ称为矩阵本征值，x 称为矩阵的本征矢 ④本征值和本征函数：在微分方程f f D mix μ=中，把μ称为问题本征值，f 称为本征函数 ⑤线性算符：现在把上述概念统一为线性算符理论。 考虑一个可测量Q ，定义它的对应算符为Q ?，它的本征方程是ψ=ψλQ ?或λψψ=Q ?，把λ称为算符的「本征值」，λ的取值集合称为算符的「谱」， ψ称为算符的「本征态」 （或本征矢），ψ称为算符的「本征函数」 （注意：有时也把ψ记作本征值的对应本征态λ， 如后面将遇到的坐标算符本征态x 、动量算符本征态p ） ⑥第三公设——观测公设：对于量子系统测量某个量Q ，这过程可以抽象为对应的算符Q ?作用于系统粒子的态矢量ψ，测量值只能为算符Q ?的本征值i λ。在这次测量后，假设得到 福师《结构化学》第一章量子力学基础和原子结构课堂笔记 ◆主要知识点掌握程度 了解测不准关系，掌握和的物理意义；掌握一维势箱模型Schrodinger方程的求解以及该模型在共轭分子体系中的应用；理解量子数n，l，m的取值及物理意义；掌握波函数和电子云的径向分布图，原子轨道等值线图和原子轨道轮廓图；难点是薛定谔方程的求解。 ◆知识点整理 一、波粒二象性和薛定谔方程 1．物质波的证明 德布罗意假设：光和微观实物粒子（电子、原子、分子、中子、质子等）都具有波动性和微粒性两重性质，即波粒二象性，其基本公式为： 对于低速运动，质量为m的粒子： 其中能量E和动量P反映光和微粒的粒性，而频率ν和波长λ反映光和微粒的波性，它们之间通过Plank 常数h联系起来，普朗克常数焦尔·秒。 实物微粒运动时产生物质波波长λ可由粒子的质量m和运动度ν按如下公式计算。 λ=h/P=h/mν 量子化是指物质运动时，它的某些物理量数值的变化是不连续的，只能为某些特定的数值。如微观体系的能量和角动量等物理量就是量子化的，能量的改变为E=hν的整数倍。 2．测不准关系： 内容：海森保指出：具有波粒二象性的微观离子（如电子、中子、质子等），不能同时具有确定的坐标和动量，它们遵循“测不准关系”： （y、z方向上的分量也有同样关系式） ΔX是物质位置不确定度，ΔPx为动量不确定度。该关系是微观粒子波动性的必然结果，亦是宏观物体和微观物体的判别标准。对于可以把h看作O的体系，表示可同时具有确定的坐标和动量，是可用牛顿力学描述的宏观物体，对于h不能看作O的微观粒子，没有同时确定的坐标和动量，需要用量子力学来处理。 3．波函数的物理意义——几率波 实物微粒具有波动性，其运动状态可用一个坐标和时间的函数来描述，称为波函数或状态函数。 1926年波恩对波函数的物理意义提出了统计解释：由电子衍射实验证明，电子的波动性是和微粒的行为的统计性联系在一起的，波函数正是反映了微粒行为的统计规律。这规律表明：对大量电子而言，在衍射强度大 的地方，电子出现的数目多，强度小的地方电子出现的数目少，即波函数的模的平方与电子在空间分布的密度成正比。 第二章 波函数与Schr?dinger 方程 2.1设质量为m 的粒子在势场)(r V 中运动。 （a ）证明粒子的能量平均值为 ω?= ?r d E 3 ， ψψψψωV m * * 2 2+?= （能量密度） （b ）证明能量守恒公式 0=??+??s t w ??? ? ? ????+???- =* *2 2ψψ ψψt t m s （能流密度） 证：（a ）粒子的能量平均值为（设ψ已归一化） V T r d V m E +=??? ? ? ?+?-=?32 2* 2ψψ （1） ?= ψψV r d V * 3 （势能平均值） （2） ( )( )()[] ?????-???- =???? ???-=ψψ ψψψψ* * 3 2 22* 3 2) (2动能平均值r d m m r d T 其中T 的第一项可化为面积分，而在无穷远处归一化的波函数必然为0。因此 ψψ ???= ?* 3 2 2r d m T （3） 结合式（1）、（2）和（3），可知能量密度,2* *2 ψψψψωV m +???= （4） 且能量平均值 ??= ωr d E 3 。 （b ）由（4）式，得 ... 2 ** .. . . . 2*22**. . 2 2 2 2 * 2222V V t m t t t t V V m t t t t t t s V V t m t m s E ωψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψ?? ??*??*???=???+???++????????? ?? ?????*??*??*??? ? ?=???+?-?+?++? ? ? ???????? ?? ?? ????? ?*?=-??+- ?++- ?+ ? ????? ?? =-??+ .. *t t ψψψψ???*? ? + ????? 目次 第二章：波函数与波动方程………………1——25 第三章：一维定态问题……………………26——80 第四章：力学量用符表达…………………80——168 第五章：对称性与守衡定律………………168——199 第六章：中心力场…………………………200——272 第七章：粒子在电磁场中的运动…………273——289 第八章：自旋………………………………290——340 * * * * * 参考用书 1．曾谨言编著：量子力学上册 科学。1981 2．周世勋编：量子力学教程 人教。1979 3．L ．I ．席夫著，李淑娴，陈崇光译：量子力学 人教。1982 4．D ．特哈尔编，王正清，刘弘度译：量子力学习题集 人教。1981 5．列维奇著，李平译：量子力学教程习题集 高教。1958 6．原岛鲜著：初等量子力学（日文） 裳华房。1972 7．N.F.Mott.I.N.Sneddon:Wave Mechanics and its Applications 西联影印。1948 8．L.Pauling.E.B.Wilson:Introduction to Quantum- Mechanics (有中译本：陈洪生译。科学) 1951 9. A.S.Davydov: Quantum Mechanics Pergamon Press 1965 10. SIEGFRIED.Fluegge:Practical Quantum- Mechanics （英译本） Springer V erlag 1973 11. A.Messian:Quantum Mechanics V ol I.North.Holland Pubs 1961 https://www.doczj.com/doc/7f17190172.html,ndau,E.Lifshitz:Quantum-Mechanics1958 量子力学常用积分公式 (1) dx e x a n e x a dx e x ax n ax n ax n ?? -- = 1 1 )0(>n (2) )cos sin (sin 2 2 bx b bx a b a e bxdx e ax ax -+= ? (3) = ?axdx e ax cos )sin cos (2 2 bx b bx a b a e ax ++ (4) ax x a ax a axdx x cos 1sin 1sin 2 -=? (5) = ?axdx x sin 2 ax a x a ax a x cos )2( sin 22 2 2 - + (6) ax a x ax a axdx x sin cos 1cos 2 +=? (7ax a a x ax a x axdx x sin )2( cos 2cos 3 2 2 2 - += ?) 第二章习题解答 p.52 2.1.证明在定态中，几率流与时间无关。 证：对于定态，可令 )] r ()r ()r ()r ([m 2i ] e )r (e )r (e )r (e )r ([m 2i ) (m 2i J e )r ( ) t (f )r ()t r (**Et i Et i **Et i Et i **Et i ψψψψψψψψψψψψψψψ?-?=?-?=?-?===-----）（）（， 可见t J 与 无关。 2.2 由下列定态波函数计算几率流密度： i k r i k r e r e r -==1)2( 1)1(21ψψ 从所得结果说明1ψ表示向外传播的球面波，2ψ表示向内(即向原点) 传播的球面波。 解：分量只有和r J J 21 在球坐标中 ? θθ?θ?? +??+??=?s i n r 1e r 1e r r 0 r mr k r mr k r r ik r r r ik r r m i r e r r e r e r r e r m i m i J ikr ikr ikr ikr 3 020 220 1* 1*111 )]11(1)11(1[2 )]1(1)1(1[2 ) (2 )1(==+----=??-??=?-?=--ψψψψ r J 1 与同向。表示向外传播的球面波。 r mr k r mr k r )]r 1ik r 1(r 1)r 1ik r 1(r 1[m 2i r )]e r 1(r e r 1)e r 1(r e r 1[m 2i ) (m 2i J )2(3020 220 ik r ik r ik r ik r * 2*222 -=-=---+-=??-??=?-?=--ψψψψ 可见，r J 与2反向。表示向内(即向原点) 传播的球面波。 补充：设ikx e x =)(ψ，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？ ∞==? ? ∞ ∞ dx dx ψψ* ∴波函数不能按1) (2 =? dx x ψ方式归一化。 其相对位置几率分布函数为 12 ==ψω表示粒子在空间各处出现的几率相同。 2.3 一粒子在一维势场 ??? ??>∞≤≤<∞=a x a x x x U ，， ，0 00)( 中运动，求粒子的能级和对应的波函数。 解：t x U 与)(无关，是定态问题。其定态S —方程 )()()()(22 2 2x E x x U x dx d m ψψψ=+- 在各区域的具体形式为 Ⅰ： )()()()(2 011122 2x E x x U x dx d m x ψψψ=+- < ① Ⅱ： )()(2 0 222 2 2x E x dx d m a x ψψ=-≤≤ ② Ⅲ： )()()()(2 3332 2 2x E x x U x dx d m a x ψψψ=+- > ③ 由于(1)、(3)方程中，由于∞=)(x U ，要等式成立，必须 0)(1=x ψ 1.1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律：C m b b T m 03109.2 ,??==-λ。 证明：由普朗克黑体辐射公式： ννπνρννd e c h d kT h 1 1833-=， 及λνc =、λλ νd c d 2-=得 1 185-=kT hc e hc λλλπρ， 令kT hc x λ=，再由0=λ ρλd d ，得λ.所满足的超越方程为 1 5-=x x e xe 用图解法求得97.4=x ，即得97.4=kT hc m λ，将数据代入求得C m 109.2 ,03??==-b b T m λ 1.2．在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV,求de Broglie 波长. 解：010A 7.09m 1009.72=?≈==-mE h p h λ # 1.3. 氦原子的动能为kT E 2 3=，求K T 1=时氦原子的de Broglie 波长。 解：010A 63.12m 1063.1232=?≈===-mkT h mE h p h λ 其中kg 1066.1003.427-??=m ，123K J 1038.1--??=k # 1.4利用玻尔—索末菲量子化条件，求： （1）一维谐振子的能量。 （2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。 已知外磁场T 10=B ，玻尔磁子123T J 10923.0--??=B μ，求动能的量子化间隔E ?，并与K 4=T 及K 100=T 的热运动能量相比较。 解：（1）方法1：谐振子的能量2222 12q p E μωμ+= 可以化为() 122222 22=???? ??+μωμE q E p 的平面运动，轨道为椭圆，两半轴分别为22,2μωμE b E a ==，相空间面积为 ,2,1,0,2=====?n nh E E ab pdq νωππ 所以，能量 ,2,1,0,==n nh E ν 方法2：一维谐振子的运动方程为02=+''q q ω，其解为 ()?ω+=t A q sin 速度为 ( )?ωω+='t A q c o s ，动量为()?ωμωμ+='=t A q p cos ，则相积分为量子力学教程课后习题答案
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