三角函数
一、任意角
1. 角的概念的推广 ⑴“旋转”形成角
⑵“正角”与“负角”“0角”
我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负
2. “象限角”
角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x 轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限） 3. 终边相同的角
所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合。{
}
Z k k S ∈?+==,360|ο
αββ
二、弧度制
1. 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角它的单位是rad ，读做弧度，
这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．
说明：（1）正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0
（2）角α 的弧度数的绝对值公式：l
r
α= （l 为弧长， r 为半径） 2. 角度制与弧度制的换算：
∵ 360?＝2π rad ∴180?＝π rad
∴ 1?＝
rad rad 01745.0180
≈π
'185730.571801ο
οο
=≈??
? ??=πrad
3. 两个公式
1）弧长公式：α?=r l 由公式：?=
r l α α?=r l 比公式180
r
n l π=
简单 弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积 2）扇形面积公式 lR S 2
1
=
其中l 是扇形弧长，R 是圆的半径
4. 一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住： 角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 弧度 0
π/6
π/4
π/3
π/2
2π/3 3π/4 5π/6
π 角度 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°
弧度
7π/6 5π/4 4π/3 3π/2 5π/3 7π/4
11π
/6
2π
5. 应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系
正角 零角 负角
正实数 零 负实数
任意角的集合 实数集R
三、任意角三角函数的定义
1. 设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x ，y ）
则P 与原点的距离0222
2>+=
+=y x y
x r
r
y)(x,α
（1）把比值r y
叫做α的正弦 记作： r
y =αsin （2）把比值r x
叫做α的余弦 记作： r
x =αcos
（3）把比值x y
叫做α的正切 记作： x
y =αtan
上述三个比值都不会随P 点在α的终边上的位置的改变而改变.当角α的终边在纵轴上
时，即Z)(2
∈+
=k k π
πα时，终边上任意一点P 的横坐标x 都为0，所以tan α无意义；
它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数.以上三种函数，统称为三角函数。
三角函数值的定义域：
r y
=
αsin R r
x
=αcos R
x y =
αtan ?
??
???∈+≠Z k k ,2|ππαα
2. 三角函数的符号
sin α
为正 全正
tan α
为正 cos α
为正
3. 终边相同的角的同一三角函数值相等
例如390°和－330°都与30°终边位置相同，由三角函数定义可知它们的三角函数值相同，即
sin390°＝sin30° cos390°＝cos30°
sin （－330°）＝sin30° cos （－330°）＝cos30° 诱导公式一（其中Z ∈k ）: 用弧度制可写成
ααsin )360sin(=??+k απαsin )2sin(=+k ααcos )360cos(=??+k απαcos )2cos(=+k ααtan )360tan(=??+k απαtan )2tan(=+k
这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题。
4. 三角函数的集合表示：
sin 1y y
y MP
r α====cos 1
x x
x OM r α=
===tan y MP AT
AT x OM OA
α=
===
例1. 在0到360度范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角
(1)120(2)640(3)95012'-?
?
-?
例2. 写出终边在y 轴上的角的集合（用0到360度的角表示）
例3. 用集合的形式表示象限角
第一象限的角表示为{α|k?360?<α 第二象限的角表示为 第三象限的角表示为 第四象限的角表示为 巩固练习 1. 下列命题中正确的是（） A. 终边在y轴非负半轴上的角是直角 B. 第二象限角一定是钝角 C. 第四象限角一定是负角 D. 若β＝α＋ｋ·360°（ｋ∈Ｚ），则α与β终边相同 2. 与120°角终边相同的角是（） A. －600°＋k·360°，ｋ∈Ｚ B.－120°＋k·360°，ｋ∈Ｚ C. 120°＋（2k＋1）·180°，ｋ∈Ｚ D. 660°＋k·360°，ｋ∈Ｚ 3. 角α的终边落在一、三象限角平分线上，则角α的集合是 4. 角α是第二象限角，则180°＋α是第象限角；－α是第象限角；180°－α是第________象限角． 5. 一个扇形OAB的面积是1平方厘米，它的周长是4厘米，求∠AOB和弦AB的长. 6. 确定下列各式的符号 （1）sin100°·cos240°（2）sin5+tan5 四、三角函数 （一）三角函数的几何表示 1、有向线段：规定了方向（即规定了起点与终点）的线段称为有向线段。 有向直线：规定了正方向的直线称为有向直线。 有向线段的数量：有向线段AB 与有向直线l 的方向相同或相反，分别把它的长度加上正号与负号，这样所得的数叫做有向线段的数量。记为AB 如图：AB ＝3，BC ＝2，CB ＝－2 2、三角函数线的定义： sin 1 y y y MP r α====cos 1 x x x OM r α= ===tan y MP AT AT x OM OA α= === 有向线段MP 、OM 、AT 都称为三角函数线 （二）同角三角函数的关系 1. 公式：1cos sin 22 =+αα αα α tan cos sin = 2. 采用定义证明： 1cos sin cos ,sin 1222 2 2 =+∴== =+ααααr x r y r y x 且Θο αααππαtan cos sin )(22==?=÷=∈+≠x y x r r y r x r y Z k k 时，当ο （三）诱导公式 1、诱导公式一： ααsin )360sin(=??+k ααcos )360cos(=??+k ααtan )360tan(=??+k （其中Z ∈k ） 用弧度制可写成 απαsin )2sin(=+k απαcos )2cos(=+k απαtan )2tan(=+k （其中Z ∈k ） 诱导公式（一）的作用：把任意角的正弦、余弦、正切化为0o―360o之间角的正弦、余弦、正切，其方法是先在0o―360o内找出与角α终边相同的角，再把它写成诱导公式（一）的形式，然后得出结果。 2、诱导公式二： 用弧度制可表示如下： αα-sin 180sin(=+?） ααπ-sin sin(=+） αα-cos 180cos(=+?） ααπ-cos cos(=+） ααtan 180tan(=+?） ααπtan tan(=+） 3、诱导公式三： αα-sin sin(=-） ααcos cos(=-） ααtan tan(-=-） 4、诱导公式四： 用弧度制可表示如下： ααsin 180sin(=-?） ααπsin sin(=-） αα-cos 180cos(=-?） ααπ-cos cos(=-） ααtan 180tan(-=-?） ααπtan tan(-=-） 5、诱导公式五： αα-sin 360sin(=-?） ααπ-sin 2sin(=-） ααcos 360cos(=-?） ααπcos 2cos(=-） ααtan 360tan(-=-?） ααπtan 2tan(-=-） 6、诱导公式六： sin （90? -α） = cos α cos （90? -α） = sin α. tan （90? -α） = cot α cot （90? -α） = tan α. sec （90? -α） = csc α csc （90? -α） = sec α 7、诱导公式七： sin （90? +α） = cos α cos （90? +α） = -sin α. tan （90? +α） = -cot α cot （90? +α） = -tan α. sec （90? +α） = -csc α csc （90?+α） = sec α 例1. 确定角α为何值时，下面的式子有意义。 （1）cos αtan α （2） α tan 1 例2. 已知17 8 cos -=α，求sin α、tan α的值。 例5. 求下列各式的值： （1）sin （－3 4π）；（2）cos （－60o）－sin （－210o） 巩固练习 1. 已知sin α＋cos α＝ 23 1-，且0＜α＜π，则tan α的值为（ ） A. 3 3- B. 3- C. 3 3 D. 3 2. 5 4cos 53cos 52cos 5 cos π πππ +++= 。 3. 求下列三角函数值： （1）45sin π； （2）6 19cos π；（3）)240sin(?-；（4）)1665cos(?- 五、三角函数的图象和性质 （一）三角函数的周期性 周期函数：一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f(x ＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。 说明： ①周期函数x 定义域M ，则必有x+T ∈ M ②T 往往是多值的（如y=sinx 2π ,4π ,…,-2π ,-4π ,…都是周期）周期T 中最小的正数叫做f (x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）；正弦函数、余弦函数都是周期函数，2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它的周期，最小正周期是2π 注：在本书中，如果不加以说明，周期都是指函数的最小正周期。 ③ 2sin()sin 3 3 23 2sin()sin 63 23x x x x x x π π π ππ π = + ≠=+=判断：（1）时则 一定不是函数y=sinx 的周期。 （2）时则一定是函数y=sinx 的周期。 （二）三角函数的性质 1. 几何法作图 第一步：列表。首先在单位圆中画出正弦线和余弦线。在直角坐标系的x 轴上任取一点 1O ，以1O 为圆心作单位圆，从这个圆与x 轴的交点A 起把圆分成几等份，过圆上的各分点 作x 轴的垂线，可以得到对应于角6 ,0π， 3π，2 π ,…，2π的正弦线及余弦线（这等价于描点法中的列表）。 第二步：描点。我们把x 轴上从0到2π这一段分成几等份，把角x 的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点。 第三步：连线。用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象。 -1 1 y x -6π -5π 6π5π -4π -3π -2π -π 4π 3π 2π π f x () = sin x () 将y=sinx 的图象向左平移 2 π 即得y=cosx 的图象 -1 1 y x -6π -5π 6π5π -4π -3π -2π -π 4π 3π 2π π f x () = cos x () 2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法） （1）正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是： (0,0) ( 2π,1) (π,0) (2 3π,-1) (2π,0) （2）余弦函数y=cosx x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是： (0,1) ( 2π,0) (π,-1) (2 3π,0) (2π,1) 3. 正弦函数的性质 （1）定义域： 正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R 分别记作： y ＝sin x ，x ∈R y ＝cos x ，x ∈R （2）值域 正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］。 其中正弦函数y =sin x ,x ∈R ①当且仅当x ＝ 2π ＋2k π，k ∈Z 时，取得最大值1。 ②当且仅当x ＝－2 π ＋2k π，k ∈Z 时，取得最小值－1。 而余弦函数y ＝cos x ，x ∈R ①当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1。 ②当且仅当x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，取得最小值－1。 （3）周期性 正弦函数、余弦函数都是周期函数，2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它的周期，最小正周期是2π。 函数R x ),x sin(A y ∈+=?ω 及函数R x ),x cos(A y ∈+=?ω （其中A ，ωφ为常数，且0,0A >≠ω）的周期 ω π 2T = （4）奇偶性 y ＝sin x 为奇函数，y ＝cos x 为偶函数 正弦曲线关于原点O 对称,余弦曲线关于y 轴对称 （5）单调性 正弦函数在每一个闭区间［－ 2π＋2k π，2 π ＋2k π］(k ∈Z )上都是增函数，其值从－1 增大到1；在每一个闭区间［2 π＋2k π，23π＋2k π］(k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小 到－1。 余弦函数在每一个闭区间［(2k －1)π，2k π］(k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2k π，(2k ＋1)π］(k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1。 例1、若钟摆的高度h(mm)与时间t(s)之间的函数关系如图所示 (1)求该函数的周期； （2）求t ＝10s 时钟摆的高度。 例2、利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x 的集合： 21 sin )1(≥ x 21 cos )2(≤ x h /mm 例3、求下列函数的定义域： (1)y ＝1 1sin x + (2)y ＝x cos 巩固练习 1. 函数y ＝2－sin x ，x ∈［0，π］的最大值为（ ） A. 0 B. 2 π －1 C. 2 D. 2 2 43- π 2. 直接写出下列函数的定义域、值域： y ＝x sin 11 + y ＝x cos 2- 3. 函数y ＝ksinx ＋b 的最大值为2，最小值为－4，求k ，b 的值。 4. 求cos()32 x y π =+的单调递增区间。 5. 求函数y ＝－cosx 的单调区间。 六、正切函数的图象和性质 1. 正切函数图象的作法 在?? ? ??- 2,2ππ的区间作出它的图象 R x x y ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠ ππ 2 的图象，称“正切曲线” 正切函数的性质： 1. 定义域：? ?? ? ??∈+≠z k k x x ,2|ππ 2. 值域：R 3. 当z k k k x ∈??? ? ? +∈2,πππ时0>y ，当z k k k x ∈?? ? ??-∈πππ,2时0 5. 奇偶性：()x x tan tan -=-奇函数 6. 单调性：在开区间z k k k ∈?? ? ??++-ππππ2,2内，函数单调递增 七、函数y=Asin （ωx+φ） （A>0且A ≠1，ω>0） 的图象 （一）函数图象的三种变换 1. 振幅变换y=Asinx ，x ∈R （A>0且A ≠1）的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标变为原来的A 倍而得到。A 称为振幅（物体振动时离开平衡位置的最大距离）。 2. 周期变换:函数y=sin ωx ，x ∈R （ω>0且ω≠1）的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标变到原来的 ω 1 倍（纵坐标不变）。ω决定了函数的周期。 3. 相位变换: 函数y ＝sin （x ＋?），x ∈R （其中?≠0）的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左（当?＞0时）或向右（当?＜0时）平行移动｜?｜个单位长度而得到。 例1. 比较??? ??-413tan π与?? ? ??-517tan π的大小 例2. 求函数?? ? ? ?-=33tan πx y 的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性 巩固练习 1. 判断正误 ①y ＝Asin ωx 的最大值是A ，最小值是－A ②y ＝Asin ωx 的周期是 ω π 2 ③y ＝-3sin4x 的振幅是3，最大值为3，最小值是-3 2. 函数y ＝tan （ax ＋ 6 π）（a ≠0）的最小正周期为（ ） a a a a ππππ D. ||C. ||2B. 2A. 3. 已知函数y ＝Asin （ωx ＋?）（A ＞0，ω＞0，0＜?＜2π＝图象的一个最高点是（2， 3），由这个最高点到相邻最低点的图象与x 轴交于点（6，0），试求函数的解析式。 4. 如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin （ωx+φ）+B 。 （1）求这段时间的最大温差； （2）写出这段曲线的函数解析式。 设向量)sin (cos 1αα=→=→， OP a )sin (cos 2ββ=→ =→，OP b 所以)cos()cos(||||β-α=β-α→ →=→⊥→b a b a 又βα+βα=→ ⊥→sin sin cos cos b a 所以 βα+βα=β-αsin sin cos cos )cos( 以-β代β得：βα-βα=β+αsin sin cos cos )cos( 两角和与差的余弦公式: βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- 九、两角和与差的正弦 sin(α+β)＝cos[ 2π-(α+β)]＝cos[(2π -α)-β] ＝cos(2π-α)cos β+sin(2 π -α)sin β ＝sin αcos β+cos αsin β 即：βα+βα=β+αsin cos cos sin )sin( S （α+β） 以-β代β得：βα-βα=β-αsin cos cos sin )sin( S （α-β） 两角和与差的正弦公式 βα+βα=β+αsin cos cos sin )sin( βα-βα=β-αsin cos cos sin )sin( tan(α+β)公式的推导 ∵cos (α+β)≠0 tan(α+β)＝ β αβαβ αβαβαβαsin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin(-+=++ 当cos αcos β≠0时, 分子分母同时除以cos αcos β得： β αβ αβαtan tan 1tan tan )tan(-+= + 以-β代β得：β αβ αβαtan tan 1tan tan )tan(+-= - 其中βαβαβα+∈∈,,,,R R 都不等于Z k k ∈+,2 π π 两角和与差的正切公式 小结：两角和与差的正、余弦、正切公式 βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- βα+βα=β+αsin cos cos sin )sin( βα-βα=β-αsin cos cos sin )sin( βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+= + β αβ αβαtan tan 1tan tan )tan(+-=- 例1. 计算① cos105? ②cos15? ③cos 5πcos 103π-sin 5 π sin 103π 例2. 已知sin(α+β)＝32,sin(α-β)＝5 2 求βαtan tan 的值 巩固练习 1. 已知??????π∈2,0x ，求函数)125cos()12cos(x x y +π --π=的值域 2. 求ο ο ο20 cos 20sin 10cos 2-的值 十一、二倍角公式的推导 在公式)(βα+S ，)(βα+C ，)(βα+T 中，当βα=时，得到相应的一组公式： αααcos sin 22sin =；)(2αS ααα22 sin cos 2cos -=；)(2αC α α α2 tan 1tan 22tan -= ；)(2αT 因为1cos sin 22 =+αα，所以公式)(2αC 可以变形为 1cos 22cos 2 -=αα或 αα2sin 212cos -=)(2 αC ' 公式)(2αS ，)(2αC ，)(2 αC '，)(2αT 统称为二倍角的三角函数公式，简称为二倍角公式。 二倍角公式 αααcos sin 22sin = α-=-α=α-α=α2 2 2 2 sin 211cos 2sin cos 2cos α α α2tan 1tan 22tan -= 注意： （1）二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三角函数之间的互化问题。 （2）二倍角公式为仅限于α2是α的二倍的形式，尤其是“倍角”的意义是相对的。 （3）二倍角公式是从两角和的三角函数公式中，取两角相等时推导出，记忆时可联想相应角的公式。 （4）熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角—降次，降角—升次） （5）特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形： 2 2cos 1sin ,2 2cos 1cos 22α -= αα += α 这两个形式今后常用。 几个三角恒等式 1、积化和差公式的推导 sin(α + β) + sin(α - β) ＝ 2sin αcos β ? sin αcos β ＝1 2[sin(α + β) + sin(α - β)] sin(α + β) - sin(α - β) ＝ 2cos αsin β ? cos αsin β ＝1 2[sin(α + β) - sin(α - β)] cos(α + β) + cos(α - β) ＝ 2cos αcos β ? cos αcos β ＝1 2[cos(α + β) + cos(α - β)] cos(α + β) - cos(α - β) ＝ - 2sin αsin β ? sin αsin β ＝ -1 2 [cos(α + β) - cos(α - β)] 第五单元测试题 姓名： 班别： 一、 选择题： 1.与角?-30终边相同的角的集合是( ); A.},36030|{Z k k x x ∈??+?= B.},18030-|{Z k k x x ∈??+?= C.},27030|{Z k k x x ∈??+?-= D.},36030|{Z k k x x ∈??+?-= 2.角 3 7π所在的象限为( ); A.一 B.二 C.三 D.四 - 3.设角α的终边经过点)1,3(-，则ααtan cos +等于( ); A.231+- B.231-- C.63 D.63- 4.已知角α的终边经过点),2(a ，且54 sin -=α，则a 的值为( ); A.38 B.38- C.83± D.83- 5.计算6tan 6cos 4tan 2cos 3tan 3sin π πππππ ?+?-?的结果为( ); A.1 B.1- C.2 D.2- 6.如果θsin 与θcos 同号，则角θ所在的象限为( ); A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第二、三象限 D.第二、四象限 （ 7.若角α是ABC ?的一个内角，且5 1cos =α，则αsin 等于( ); A.54 B.562 C. 562- D.562± 8.若角α第三象限角，则化简αα2sin 1tan -?的结果为( ); A.αsin - B.αsin C.αcos D.αcos - 9.若5tan -=α，且α第二象限角，则αsin 的值为( ); A.66 B.66- C. 630- D.630 10.若角α是钝角三角形中的最大角，则化简ααααcos sin 1sin cos 122-+-的结果为 ( ); A.0 B.1 C.2 D.2- | 11.化简1)cos()cos()(sin 2+-?+-+ααπαπ的结果为( ); A.1 B.α2sin 2 C.0 D.2 12.已知21tan =α，则ααα αsin 4cos 3sin 4cos -+等于( ); A.3 B.12- C.3- D.21 13.函数x x x f cos ||)(+=是( ); A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 14.下列函数中是奇函数的是( ); A.1sin -=x y B.|sin |x y = C.x y sin -= D.1cos 3+=x y " 15.函数x y sin 3-=的最大、最小值分别是( ); A.2，4 B.4，2 C.3，1 D.4，2- 16.下列命题中正确的是( ). 任意角的三角函数 一、教学目标 1、知识目标：借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切) 的定义，根据定义探讨出三角函数值在各个象限的符号，掌握同一个角的不同三角函数之间的关系。 2、能力目标：能应用任意角的三角函数定义求任意角的三角函数值。 3、情感目标：培养数形结合的思想。 二、教材分析 1、教学重点：理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。 2、教学难点：从函数角度理解三角函数。 3、教学关键：利用数形结合的思想。 三、教学形式：讲练结合法 四、课时计划：2节课 五、教具：圆规、尺子 六、教学过程 (一)引入 我们已经学过锐角三角函数，知道他们都是以锐角为自变量，以比值 为函数值的函数，你能用直角坐标系中的终边上点的坐标来表示锐角 三角函数吗？ 设锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，那么它 的终边在第一象限，在α的终边上任取一点P （a,b ）,它与原点的距离 r=22b a +>0.根据初中学过的三角函数定义，我们有αsin =r b , r a αcos = a b αtan =,取r=1,则a b tan αa,cos αb,αsin ===，引入单位圆概念。 （二）新课 1、设α是以任意角，它的终边与单位圆交于P （x,y ）,那么： （1） y 叫做α的正弦，记作αsin , 即y αsin =； （2） x 叫做α的余弦，记作αcos ，即x αcos =； （3） x y 叫做α的正切，记作αtan ，即x y αtan =)0(≠x . 注：用单位圆定义的好处就在于r=1,点的横坐标表示余弦值，纵坐标 表示正弦值。 2、根据任意角的三角函数定义，得到三种函数值在各象限的符号。 通过观察发现：第一象限全为正，第二象限只有正弦为正，第三象限只有正切为正，第四象限只有余弦为正。总结出一条法则：一全正，二正弦，三正切，四余弦。 注：这有利于培养学生观察和思考的能力，以方便记忆。 3、利用勾股定理可以推出：1cos sin 22=+αα，根据三角函数定义，当)(2z k k ∈+≠π πα时，有αα αtan cos sin =。这就是说同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切。 4、例题 例1求 3 5π的正弦、余弦和正切值。 解:在直角坐标系中，作3π5=∠AOB ,易知AOB ∠的终边与单位圆的交点 坐标为)2 3,21 (-，所以 三角函数 一、任意角 1. 角的概念的推广 ⑴“旋转”形成角 A B α O ⑵“正角”与“负角”“0角” 我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA 为始边的角α＝210°，β＝－150°，γ＝660°。 2100 -1500 6600 。 特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫 做零角。记法：角α或α∠ 可以简记成α。 2. “象限角” 角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x 轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限） 3. 终边相同的角 所有与 终边相同的角连同 在内可以构成一个集合。 {} Z k k S ∈?+==,360| αββ 二、弧度制 1. 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角它的单位是rad ，读做弧度， 这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制． * 说明：（1）正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0 （2）角α 的弧度数的绝对值公式：l r α= （l 为弧长， r 为半径） 2. 角度制与弧度制的换算： ∵ 360 ＝2 rad ∴180＝ rad ∴ 1 ＝ rad rad 01745.0180 ≈π '185730.571801 =≈?? ? ??=πrad 3. 两个公式 1）弧长公式：α?=r l 】 由公式：?= r l α α?=r l 比公式180 r n l π=简单 弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积 2）扇形面积公式 lR S 2 1 = 其中l 是扇形弧长，R 是圆的半径 4. 一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住： 角度 0° 30° ! 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 弧度 > π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 } π 角度 210° 225° 240° 270° 300° 315° ? 330° 360° 弧度 7π/6 5π/4 4π/3 3π/2 ( 5π/3 7π/4 11π /6 2π 5. 应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系 高中数学三角函数教案 一、教学目标 1.掌握任意角的正弦、余弦、正切函数的定义包括定义域、正负符号判断;了解任意 角的余切、正割、余割函数的定义. 2.经历从锐角三角函数定义过度到任意角三角函数定义的推广过程,体验三角函数概 念的产生、发展过程. 领悟直角坐标系的工具功能,丰富数形结合的经验. 3.培养学生通过现象看本质的唯物主义认识论观点,渗透事物相互联系、相互转化的 辩证唯物主义世界观. 4.培养学生求真务实、实事求是的科学态度. 二、重点、难点、关键 重点:任意角的正弦、余弦、正切函数的定义、定义域、正负符号判断法. 难点:把三角函数理解为以实数为自变量的函数. 关键:如何想到建立直角坐标系;六个比值的确定性α确定,比值也随之确定与依赖性比值随着α的变化而变化. 三、教学理念和方法 教学中注意用新课程理念处理传统教材,学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模 仿和练习,而且要自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学,师生互动,教师发挥组织者、引导者、合作者的作用,引导学生主体参与、揭示本质、经历过程. 根据本节课内容、高一学生认知特点和我自己的教学风格,本节课采用“启发探索、 讲练结合”的方法组织教学. 四、教学过程 [执教线索: 回想再认:函数的概念、锐角三角函数定义锐角三角形边角关系——问题情境:能推广 到任意角吗?——它山之石:建立直角坐标系为何?——优化认知:用直角坐标系研究锐角三 角函数——探索发展:对任意角研究六个比值与角之间的关系:确定性、依赖性,满足函数 定义吗?——自主定义:任意角三角函数定义——登高望远:三角函数的要素分析对应法则、定义域、值域与正负符号判定——例题与练习——回顾小结——布置作业] 、任意角 1. 角的概念的推广 ⑴“旋转”形成角 我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角α＝210 °，β＝－150 °，γ＝660°。 2. “象限角” 限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限） 3. 终边相同的角 所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合。S | k 360 ,k Z 二、弧度制 1. 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为 1 弧度的角它的单位是rad ，读做弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制． 说明：（1）正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0 （2）角的弧度数的绝对值公式：l（l 为弧长，r 为半径） 2. 角度制与弧度制的换算： 三角函数 ⑵“正角”与“负角”“0 角” 210 0 210 -150 0 660 特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角。记法：角或可以简记成 角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x 轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象 ∴ 1 ＝rad0.01745rad 180 1rad 18057.305718' 3. 两个公式 1）弧长公 式： l r 由公式：l l r比公式l nr 简 r180 弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积 1 2）扇形面积公式S lR 其中l 是扇形弧长，R 是圆的半径 2 角度 0°30°45°60°90°120°135°150°180° 弧度 π/6π /4π/3π/22π/33π/45π/6π 角度 210°225°240°270°300°315°330°360° 弧度7π/65π/44π/33π/25π/37π/411π /6 2π 5. 实数的集合之间建立一种一一对应的关系 、任意角三角函数的定义 1. 设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x，y） 360 ＝2 rad ∴180 ＝rad 任意角的集合实数集R 练习5.1.1 1、一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O ，按逆时针（或顺时针）方向旋转到另一位置OB 就形成角α．旋转开始位置的射线OA 叫角α的 ，终止位置的射线OB 叫做角α的 ，端点O 叫做角α的 ． 2、按逆时针方向旋转所形成的角叫做 ，按顺时针方向旋转所形成的角叫做 ．当射线没有作任何旋转时，也认为形成了一个角，这个角叫做 ． 3、数学中经常在平面直角坐标系中研究角．将角的顶点与坐标原点重合，角的始边在x 轴的正半轴，此时，角的终边在第几象限，就把这个角叫做 。终边在坐标轴上的角叫做 4、—1950角的终边在 （ ） A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 答案： 1、始边 终边 顶点 2、正角 负角 零角 3、第几象限的角 界限角 4、B 练习5.1.2 1、 与角α终边相同的角有无限多个，它们所组成的集合为 2、 写出终边在x 轴上的角的集合 3、 在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是哪个象限的角： ⑴—50°； ⑵1650°； （3） -3300°． 答案： 1、S =｛β︱360,k k βα=+?∈Z o ｝． 2、},180|{0 Z n n ∈?=ββ 3、 （1） 3100 第四象限角 （2）2100 第三象限角 （3）3000 第四象限 练习5.2.1 1、将等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 ，记作 ．以弧度为单位 来度量角的单位制叫做 ． 2、 把下列各角从角度化为弧度： ⑴ 150°； ⑵305°； ⑶ —75°； 3、 把下列各角从弧度化为角度： ⑴π3 2-； ⑵π65； ⑶π125； 答案： 1、1弧度的角 1弧度或1rad 弧度制 2、 （1）π65 （2） π3661 （3）—π125 3、 （1） —1200 （2）1500 （3） 750 练习5.2.2 1．填空： ⑴ 若扇形的半径为5cm ，圆心角为30°，则该扇形的弧长l = ，扇形面 积S = ． ⑵ 已知10°的圆心角所对的弧长为2m ，那么这个圆的半径是 m ． 2．自行车行进时，车轮在1min 内转过了50圈．若车轮的半径为0.4m ，则自行车1小时前进了多少米？ 答案： 1、（1）π6 5 cm π1225 cm 2 （2）π 36 2、π2400米 练习5.3.1 已知角α的终边上的点P 的座标如下，分别求出角α的正弦、余弦、正切值： ⑴)2,5(-P ； ⑵)4,3(P ； ⑶)23,21(- P ． 答案： (1) 52tan ,29295cos ,29292sin -=-== ααα (2)3 4tan ,53cos ,54sin ===ααa (3)3tan ,21cos ,23sin -=-==a a a 高一数学三角函数教案 高一数学《三角函数》教案如下： 已知三角函数值求角反正弦，反余弦函数 目的：要求学生初步了解理解反正弦、反余弦函数的意义，会由已知角的正弦值、余弦值求出范围内的角，并能用反正弦，反余弦的符号表示角或角的集合。 过程： 一、简单理解反正弦，反余弦函数的意义。 由 1在R上无反函数。 2在上， x与y是一一对应的，且区间比较简单 在上，的反函数称作反正弦函数， 记作，奇函数。 同理，由 在上，的反函数称作反余弦函数， 记作 二、已知三角函数求角 首先应弄清：已知角求三角函数值是单值的。 已知三角函数值求角是多值的。 例一、1、已知，求x 解：在上正弦函数是单调递增的，且符合条件的角只有一个 ∴ 即 2、已知 解：，是第一或第二象限角。 即。 3、已知 解： x是第三或第四象限角。 即或 这里用到是奇函数。 例二、1、已知，求 解：在上余弦函数是单调递减的， 且符合条件的角只有一个 2、已知，且，求x的值。 解：， x是第二或第三象限角。 3、已知，求x的值。 解：由上题：。 介绍：∵ ∴上题 例三、见课本P74-P75略。 三、小结：求角的多值性 法则：1、先决定角的象限。 2、如果函数值是正值，则先求出对应的锐角x; 如果函数值是负值，则先求出与其绝对值对应的锐角x， 3、由诱导公式，求出符合条件的其它象限的角。 四、作业：P76-77 练习 3 习题4.11 1，2，3，4中有关部分。 高一数学《三角函数的周期性》教案如下： 一、学习目标与自我评估 1 掌握利用单位圆的几何方法作函数的图象 2 结合的图象及函数周期性的定义了解三角函数的周期性，及最小正周期 3 会用代数方法求等函数的周期 三角函数 一、任意角 1、角得概念得推广 ⑴“旋转”形成角 ⑵“正角”与“负角”“０角” 我们把按逆时针方向旋转所形成得角叫做正角,把按顺时针方向旋转所形成得角叫做负角, 2、“象限角” 角得顶点合于坐标原点,角得始边合于轴得正半轴，这样一来,角得终边落在第几象限,我们就说这个角就是第几象限得角(角得终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限) ３、终边相同得角 所有与α终边相同得角连同α在内可以构成一个集合。 二、弧度制 1、定义:长度等于半径长得弧所对得圆心角称为1弧度得角它得单位就是ｒad，读做弧度,这种用“弧度”做单位来度量角得制度叫做弧度制． 说明：(1）正角得弧度数就是正数,负角得弧度数就是负数,零角得弧度数就是0 (２)角得弧度数得绝对值公式: （l 为弧长, r为半径) 2、角度制与弧度制得换算: ∵3６0?＝2πｒaｄ∴180?=πｒaｄ ∴1?＝ 3、两个公式 1)弧长公式： 由公式：比公式简单 弧长等于弧所对得圆心角(得弧度数)得绝对值与半径得积 2）扇形面积公式其中就是扇形弧长,就是圆得半径 ４、一些特殊角得度数与弧度数得对应值应该记住： 5、应确立如下得概念：角得概念推广之后,无论用角度制还就是弧度制都能在角得集合与实数得集合之间建立一种一一对应得关系 任意角得集合实数集R 三、任意角三角函数得定义 1、设就是一个任意角,在得终边上任取（异于原点得)一点P(x,y) 则Ｐ与原点得距离 (1)把比值叫做得正弦记作： (２)把比值叫做得余弦记作： （3）把比值叫做得正切记作: 上述三个比值都不会随P点在得终边上得位置得改变而改变、当角得终边在纵轴上时,即时,终边上任意一点P得横坐标x都为0,所以tan无意义; 初中数学 三角函数 1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。 2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)： 3 4 5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要) A 90 B 90∠-?=∠? =∠+∠得由B A 对边 邻边 C A 90 B 90∠-?=∠? =∠+∠得由B A 6、正弦、余弦的增减性： 当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。 7、正切、余切的增减性： 当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，cot α随α的增大而减小。 1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。 依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法) 2、应用举例： (1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。 (2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。用字母i 表示，即h i l =。坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。 把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan h i l α= =。 3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。 4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30°（东北方向） ， 南偏东45°（东南方向）， 南偏西60°（西南方向）， 北偏西60°（西北方向）。 :i h l =h l α 三角函数 、任意角 1.角的概念的推广 ⑴“旋转”形成角 ⑵“正角”与“负角”“0 角” 我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角α＝210°，β＝－150°，γ＝660°。 特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角。记法：角或可以简记成。 2.“象限角” 角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限） 3.终边相同的角 所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合。S =| =+k360,k Z 二、弧度制 1.定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为 1弧度的角王奎新新屯疆敞它的单位是 rad，读做弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制． 说明：（1）正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是 0王新奎新疆屯敞 （2）角的弧度数的绝对值公式： = l（l 为弧长， r 为半径） ∵ 360 ＝ 2 rad ∴ 180 ＝rad r 2.角度制与弧度制的换算： ∴ 1 ＝ rad 0.01745rad 180 3. 两个公式 1）弧长公式： l = r 由公式： = l l =r 比公式l = n r 简单 r 180 弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积 2）扇形面积公式 S = 1lR 其中l 是扇形弧长， R 是圆的半径 2 角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 弧度 0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π 角度 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° 弧度 7π/6 5π/4 4π/3 3π/2 5π/3 7π/4 11π /6 2π 实数的集合之间建立一种一一对应的关系 王奎新新屯疆敞 三、任意角三角函数的定义 1. 设 是一个任意角，在 的终边上任取（异于原点的）一点 P （x ，y ） 1rad = 57.30 = 5718' 任意角的集合 实数集 R 人教版高中数学三角函数 全部教案 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020 三角函数 第一教时 教材：角的概念的推广 目的：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，并进而理解“正角”“负角”“象限角” “终边相同的角”的含义。 过程：一、提出课题：“三角函数” 回忆初中学过的“锐角三角函数”——它是利用直角三角形中两边的比值来定义 的。相对于现在，我们研究的三角函数是“任意角的三角函数”，它对我们今后的学习和研究都起着十分重要的作用，并且在各门学科技术中都有广泛应用。 二、角的概念的推广 1．回忆：初中是任何定义角的（从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘” 2．讲解：“旋转”形成角（P4） 突出“旋转”注意：“顶点”“始边”“终边” “始边”往往合于x轴正半轴 3．“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。 记法：角α或α ∠可以简记成α 4．由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。 1角有正负之分如：=210=150=660 2角可以任意大 实例：体操动作：旋转2周（360×2=720）3周（360×3=1080） 3还有零角一条射线，没有旋转 三、关于“象限角” 为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角 角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限） 例如：是第Ⅰ象限角30060是第Ⅳ象限角 5851180是第Ⅲ象限角2000是第Ⅱ象限角等 四、关于终边相同的角 1．观察：390，330角，它们的终边都与30角的终边相同 2．终边相同的角都可以表示成一个0到360的角与) k∈个周角的和 k (Z 390=30+360)1 k (= 330=30360)1 (= k = (- k30=30+0×360)0 5.3任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数 【教学目标】 1、掌握任意角的三角函数的定义. 2、理解终边相同的角的三角函数值相等. 【教学重点】 任意角的三角函数的定义. 【教学难点】 任意角的三角函数的定义及其运算. 【教学过程】 (一) 复习提问 1.角的概念。 2.终边相同的角。（??+=360k αβ)(Z k ∈） 3.锐角三角函数的定义： AB BC A ==斜边对边sin ， AB AC A ==斜边邻边cos ， AC BC A == 邻边对边tan . （二）讲授新课 1.任意角的三角函数的定义 问题（1）：如何将上述的三角形放入直角坐标系中？ 学生回答：将A ∠的顶点即点A 与坐标原点重合，将其始边AC 与坐标系中 轴的非负半轴重合. 问题（2）：原有的线段AC 、BC 、AB 将如何改写？ 要求并引导学生将这三个距离用坐标x 和 y 表示.此时可根据学生的情况采用分小组讨 论的方法进行。 学生根据现有的图形，将刚才的定义进行改写： x AC =，y BC =，r y x AB =+=22(勾股定理)。 把这三个式子带入原始的定义中去可以得到： sin y r α= , cos x r α= , tan y x α= 给学生两分钟时间记忆公式并由教师提问以加深记忆效果。 问题（3）：若角的终边落在其他象限，如何求呢？ 当角的终边在第二、第三、第四象限的时候，其三个三角函数值的计算公式与上述的完全相同，但符号发生了变化： 第一象限：0>x ，0>y ，0>r ； 第二象限：0 三角函数 一、任意角 1. 角的概念的推广 ⑴“旋转”形成角 A B α O ⑵“正角”与“负角”“0角” 我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA 为始边的角α＝210°，β＝－150°，γ＝660°。 2100 -1500 6600 特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角。记法：角α或α∠ 可以简记成α。 2. “象限角” 角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x 轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限） 3. 终边相同的角 所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合。{ } Z k k S ∈?+==,360| αββ 二、弧度制 1. 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角它的单位是rad ，读做弧度， 这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制． 说明：（1）正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0 （2）角α 的弧度数的绝对值公式：l r α= （l 为弧长， r 为半径） 2. 角度制与弧度制的换算： ∵ 360?＝2π rad ∴180?＝π rad ∴ 1?＝ rad rad 01745.0180 ≈π '185730.571801 =≈?? ? ??=πrad 3. 两个公式 1）弧长公式：α?=r l 由公式：?= r l α α?=r l 比公式180 r n l π= 简单 弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积 2）扇形面积公式 lR S 2 1 = 其中l 是扇形弧长，R 是圆的半径 4. 一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住： 角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 弧度 0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π 角度 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° 弧度 7π/6 5π/4 4π/3 3π/2 5π/3 7π/4 11π /6 2π 5. 应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系 正角 零角 负角 正实数 零 负实数 任意角的集合 实数集R 5.6三角函数的图像和性质 创设情景兴趣导入 观察钟表，如果当前的时间是2点，那么时针走过12个小时后，显示的时间是多少呢？再经过12个小时后，显示的时间是多少呢？ ． 每间隔12小时，当前时间2点重复出现． 类似这样的周期现象还有哪些？ 动脑思考探索新知 对于函数()y f x = ，如果存在一个不为零的常数T ，当x 取定义域D 内的每一个值时,都有x T D +∈,并且等式()()f x T f x += 成立，那么，函数 ()y f x =叫做周期函数，常数T 叫做这个函数的一个周期． 由于正弦函数的定义域是实数集R ，对α∈R ，恒有2π()k k α+∈∈R Z ， 并且sin(2π)=sin ()k k αα+∈Z ，因此正弦函数是周期函数，并且2π， 4π，6π，及2π-，4π-，都是它的周期． 通常把周期中最小的正数叫做最小正周期，简称周期，仍用T 表示．今后我们所研究的函数周期，都是指最小正周期．因此，正弦函数的周期是2π． 构建问题探寻解决 由周期性的定义可知,在长度为2π的区间（如[]0,2π，[]2,0-π,[]2,4ππ）上，正弦函数的图像相同，可以通过平移[]0,2π上的图像得到．因此，重点研究正弦函数在一个周期内，即在[]0,2π上的图像． 用“描点法”作函数x y sin =在[]0,2π上的图像． 把区间[]0,2π分成12等份，并且分别求得函数x y sin =在各分点及区间端点的函数值，列表如下：（见教材） 以表中的y x ,值为坐标，描出点(,)x y ，用光滑曲线依次联结各点，得到[]sin 0,2y x =π在上的图像．（见教材） 将函数sin y x =在[]0,2π上的图像向左或向右平移2π，4π，，就得到sin ,y x =∞+∞在（-）上的图像，这个图像叫做正弦曲线．（见教材） 动脑思考探索新知 正弦曲线夹在两条直线1y =-和1y =之间，即对任意的角x ，都有 sin 1x …成立，函数的这种性质叫做有界性． 一般地，设函数)(x f y =在区间),(b a 上有定义，如果存在一个正数M ，对任意的),(b a x ∈都有 ()f x M …，那么函数)(x f y =叫做区间),(b a 内 的有界函数．如果这样的M 不存在，函数)(x f y =叫做区间),(b a 上的无界函数． 显然，正弦函数是R 内的有界函数． 中等职业技术学校 数学基础模块上册《三角函数》试卷 班级 姓名 座号 评分 一、选择题.（每小题4分，共40分.） 1、已知α是锐角，则2α是( ) A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 小于180°的正角 D. 不大于直角的正角 2、下列各角中，与330°角终边相同的角是( ) A. 510° B. 150° C. －150° D. －390° 3、角326 π是第（ ）象限角 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 4、若α是△ABC 的一个内角，且53 cos -=α，则=αsin ( ) A. 54 B. 53 - C. 54- D. 53 5、已知=αsin 54 ，且α∈( 0 ，π)，则=αtan ( ) A. 34 B. 43 C. ±34 D. ±43 6、?600sin 等于( ) A.21 B. －21 C. 23 D. －23 7、若,0cos sin >?θθ 则角θ属于( ) A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、三象限 D. 第三、四象限 8、在△ABC 中，已知21 sin =A ，则∠A =( ) A. 30° B. 60° C. 60°或120° D. 30°或150° 9、下列四个命题中正确的是( ) ①x sin y =在［－π,π］上是增函数 ②x sin y =在第一象限上是减函数 ③x cos y =在［－π，0］上是增函数④x cos y =在第一象限上是减函数 A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④ 10、计算：=?-?+?-?0cos 270sin 180cos 90sin ( ) A. 1 B. －1 C. －2 D. 0 二．填空题.（每小题4分，共28分） 1、与－45°角终边相同的角的集合S= . 任意角的三角函数 一、教学内容分析： 新知识的发生是可能的，自然的。 三、设计思想 五、教学重点和难点： 1.教学重点：任意角三角函数的定义. 2.教学难点：正弦、余弦、正切函数的定义域. 六、教学过程 第一部分——情景引入 问题1:如图是一个摩天轮，假设它的中心离地面的高度为o h ，它的直径为2R ，逆时针方向匀速转动，转动一周需要360秒，若现在你坐在座舱中，从初始位置OA 出发（如图1所示）， 过了30秒后，你离地面的高度h 为多少？过了45秒呢？过了t 秒呢？ 【设计意图】：高中学生已经具有丰富的生活经验和一定的科学知识，因此选择感兴趣的、与其生活实际密切相关的素材，此情景设计应该有助于学生对知识的发生发展的理解。 图1 第二部分——复习回顾锐角三角函数 让学生自主思考如何解决问题：“过了30秒后，你离地面的高度为多少？” 【分析】：作图如图2很容易知道：从起始位置OA 运动30秒后到达P 点位置，由题意知030=∠AOP ，作PH 垂直地面交OA 于M ，又知MH ＝o h ，所以本问题转变成求PH 再次转变为求PM 。 要求PM 就是回到初中所学的解直角三角形的问题即锐角的三角函数。 问题2：锐角α的正弦函数如何定义？ 【学生自主探究】：学生很容易得到 R MP OP MP | |||||sin = = α?αsin ||R MP =?αsin ||0R h PH += ?h αsin 0R h += 所以学生很自然得到“过了30秒后，过了45秒,你离地面的高度h 为多少？” 00130sin R h h += 00245sin R h h += 【教师总结】：0t 在锐角的范围中，0 0sin t R h h += 第三部分——引入新课 问题3：请问t 的范围呢？随着时间的推移，你离地面的高度h 为多少？能不能猜想 00sin t R h h +=？ 【分析】：若想做到这一点，就得把锐角的正弦推广到任意角的正弦。今天我们就要来学习任意角的三函数角函数。 问题4：大家根据第一象限角的正弦函数的定义，能否也给出第二象限角的定义呢？ 【学生自主探究】：学生通过上面已知知识得到 | |||sin OP MP = αR y P = 学生定义好第二象限角后，让学生自己算出摩天 H 图2 中职数学第五章《三角函数》单元检测 （满分100分，时间：90分钟） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．?-60角的终边在( ).A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 2．?150= ( ). A 、 43π B 、 32π C 、65π D 、2 3π 3．与角?30终边相同的角是 ( ).A 、?-60 B 、?390 C 、?-300 D 、?-390 4.下列各角中不是轴限角的是（ ）.A 、?-180 B 、?280 C 、?90 D 、?360 5．如果α是第四象限的角，则角α-是第几象限的角 ( ) A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 6．求值=-+-????270sin 60tan 290sin 3180cos 5( ) A 、-2 B 、2 C 、3 D 、-3 7．角α终边上一点P(-3,4)则αsin =（ ）.A 、53- B 、 54 C 、43- D 、3 4 - 8．与?75角终边相同的角的集合是（ ）. A 、{z k k ∈?+=??,36075ββ} B 、},18075{z k k ∈?+=??ββ C 、},9075{z k k ∈?+=??ββ D 、},27075{z k k ∈?+=??ββ 9．已知sin 0<θ且0tan >θ则角θ为第( )象限角。 A 、一 B 、二 C 、三 D 、四 10．下列各选项中正确的是( ) A 、终边相同的角一定相等 B 、第一象限的角都是锐角 C 、锐角都是第一象限的角 D 、小于?90的角都是锐角 11．下列等式中正确的是（ ） A.ααsin )720sin(-=+? B.απαcos )2cos(=+ 附件：教学设计模板 （一）创设问题情境 师生活动：教师提问，学生思考、回答，学生口述的同时，教师加以引导并用幻灯片展示． 问题1： （1）各象限内三角函数值的符号是什么？（只讨论正弦、余弦、正切）（2）任意角的三角函数的定义是什么？ （3）公式一的内容与作用是什么？ 问题2:已知如何求的值. 教师引导：能否再把0°～360°间的角的三角函数，化为我们熟悉的 0°～90°间的角的三角函数问题呢？这节课我们就来学习和研究这样的问题. 【设计意图】通过复习旧知，为新知识的学习打下基础.特别是各象限三角函数的符号，对于诱导公式记忆起关键作用.提出的新问题，引导学生进一步思考，激起学生们的兴趣. (二)探索开发新结论 教师引导：为了解决以上问题，我们采用各个击破的方法.首先看，如果我们知道一个任意角与(＋)三角函数值的关系，问题就解决了. 探究一：任意角与(＋)三角函数值的关系. 问题3： ①(＋)角的终边关系如何？（互为反向延长线或关于原点对称） ②与(＋)角的终边分别交单位圆于点P1，P2，则点P1与P2位置关系如何？ （关于原点对称） ③点P1(x，y)，那么点P2的坐标怎样表示？（P2(－x，－y)） ④sin与sin(＋)，cos与cos(＋)，tan与tan(＋)的关系如何？ 经过探索，归纳成公式 -----公式二 【设计意图】公式二的三个式子中，是第一个解决的问题，由于方法及思路都是未知的，所以采取教师引导，师生合作共同完成办法．通过脚手架式的层层提问，引导学生自主推导诱导公式二，让学生体验证明猜想的乐趣，凸显学生学习的主体地位.同时，试图通过环环相扣的问题给学生传递“由宏观到微观考虑问题”的思维习惯，从而达到“授人以渔”的目的.后两个均由学生类比讨论完成． 学生活动：小组讨论，代表发言交流． 问题4：公式中的角仅是锐角吗？ 【设计意图】课前提问的问题是以引入的，之后的讨论只是用代数方法换成了一般形式的角，有些同学肯定会有这样的疑问，所以这个问题的解决好，就是突破难点的关键.引导学生互相讨论，交流可以使学生记忆更深刻. 师生活动：演示几何画板课件，首先作出第一象限的任意角，之后得到相应的三角函数值，拖动其终边上任意点，再让学生观察每一象限内三角函数值的符号和它们之间存在的对称关系，从而验证了猜想，使学生更好的理解了这个公式． 【设计意图】通过多媒体演示，发现变化规律，从而总结出三角函数的诱导公式． 类比第一个问题的解决方法，我们再来解决后面的两个问题.观察，由公式一知的终边与的终边相同，所以我们必须知道一个任意角与(-)三角函数值的关系. 探究二：任意角与(-)三角函数值的关系. 问题5： ①(-)角的终边位置关系如何？(关于x轴对称) ②设与(-)角的终边分别交单位圆于点P1，P2点P1与P2位置关系如何(关于 三角函数的图像和性质 【教学目标】 知识目标： (1) 理解正弦函数的图像和性质； (2) 理解用“五点法”画正弦函数的简图的方法； (3) 了解余弦函数的图像和性质． 能力目标： (1) 认识周期现象，以正弦函数、余弦函数为载体，理解周期函数； (2) 会用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图； (3) 通过对照学习研究，使学生体验类比的方法，从而培养数学思维能力．【教学重点】 （1）正弦函数的图像及性质； （2）用“五点法”作出函数y=sin x在[] 0,2π上的简图． 【教学难点】 周期性的理解． 【教学设计】 （1）结合生活实例，认识周期现象，介绍周期函数； （2）利用诱导公式，认识正弦函数的周期； （3）利用“描点法”及“周期性”作出正弦函数图像； （4）观察图像认识有界函数，认识正弦函数的性质； （5）观察类比得到余弦函数的性质． 【教学备品】 课件，实物投影仪，三角板，常规教具． 【课时安排】 2课时．(90分钟) 【教学过程】 ． ，及， 一般地，设函数y M，对任意的 叫做区间(a如果这样的M 无界函数． 过 程 行为 行为 意图 间 数,其函数值由?1增大到1；在每一个区间 3(2,222k k ππ +π+π)(k ∈Z )上都是减函数，其函数值由1减小到?1． 30 *动脑思考 探索新知 观察发现，正弦函数x y sin =在[]0,2π上的图像中有五个关键点：(0,0), ,12π?? ???, (),0π, 3,12π?? - ??? , ()2,0π． 描出这五个点后，正弦函数x y sin =,[]0,2π在上的图像的形状就基本上确定了．因此，在精确度要求不高时，经常首先描出这关键的五个点，然后用光滑的曲线把它们联结起来，从而得到正弦函数在[]0,2π上的简图．这种作图方法叫做“五点法”． 质疑 引领 总结 观察 思考 体会 五点 可以 教给 学生 自我 发现 总结 35 *巩固知识 典型例题 例1 利用“五点法”作函数x y sin 1+=在[]0,2π上的图像． 分析 x y sin =图像中的五个关键点的横坐标分别是0，2 π ，π，23π ，2π，这里要求出x y sin 1+=在五个相应的函数值， 从而得到五个点的坐标，最后用光滑的曲线联结这五个点，得到图像． 解 列表 x 0 π 2 π 3π2 2π x sin 1 0 ?1 0 x y sin 1+= 1 2 1 1 以表5-6中每组对应的x ,y 值为坐标，描出点),(y x ，用光滑的曲线顺次联结各点,得到函数 x y sin 1+=在[]0,2π上的图像． 说明 讲解 引领 质疑 分析 观察 思考 主动 求解 理解 讨论 安排 与知 识点 对应 例题 巩固 新知 注重 画图 时对 细节 的强 调和 引领 不等中职数学三角函数练习题
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