高二数学（选修
2-1 ）空间向量试题
宝鸡铁一中
司婷
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的
代号填在题后的括号内（每小题
5 分，共 60 分）．
1．在正三棱柱 ABC — A 1B 1C 1 中，若 AB ＝
2 BB 1，则 AB 1
与 C 1B 所成的角的大小为（
）
A ． 60 °
B ． 90 °
C ． 105 °
D ．75 °
．如图， ABCD — A 1B 1C 1D 1 是正方体， B 1 E 1＝ D 1 F 1 ＝ A 1B 1
，则 BE 1
2
4
与 DF 1 所成角的余弦值是（
）
15
A ．
B ．
17
C ．
8
D ．
17
1
2
图
3
2
3．如图， 1 1 1 —
是直三棱柱， ∠
=90 °，点 1 、 1 分别是
1 1
、
A B C
ABC
BCA
D
F
A B
A 1C 1 的中点，若 BC =CA =CC 1，则 BD 1 与 AF 1 所成角的余弦值是 （
）
30
1
A ．
B ．
10
2
图
30
15
C ．
D ．
15
10
4．正四棱锥
S ABCD 的高 SO 2 ，底边长 AB
2 ，则异面直线
BD 和 SC 之间的距离
（
）
．
15
．
5
C ．
2 5
5
A 1D ．
A
B
C 1
5
5
5
10 B 1
5．已知 ABC A 1 B 1 C 1 是各条棱长均等于 a 的正三棱柱， D 是侧 D
棱 CC 1的中点．点 C 1到平面 AB 1 D 的距离（）
A．
2
a B．
2
a A C 48
B图
3
C ．
2 a
D ．
2 a
4
2
6．在棱长为 1 的正方体 ABCD
A 1
B 1
C 1
D 1 中，则平面 AB 1 C 与平面 A 1 C 1 D 间的距离（ ）
A ． 3
B ． 3
2 3
D ．3
C ．
6
3
3
2
7．在三棱锥－ 中，
⊥ ， ＝
＝ 1
，点
、 分别是
、
的中点，⊥底
P ABC AB BC AB
BC 2 PA O D
AC PC
OP
面 ABC ，则直线 OD 与平面 PBC 所成角的正弦值（
）
8 3
A ． 21
B ．
C
210 D ．
210
6
3
60
30
8．在直三棱柱 ABC
A 1
B 1
C 1
中，底面是等腰直角三角形，
ACB
90 ，侧棱 AA 1
2 ，
D ，
E 分别是 CC 1 与 A 1 B 的中点，点 E 在平面 AB D 上的射影是 ABD 的重心 G ．则 A 1B
与平面 AB D 所成角的余弦值（
）
2
B ．
7
3
3
A ．
C ．
D ．
3
3
2
7
9．正三棱柱 ABC
A 1
B 1
C 1
的底面边长为
3，侧棱 AA 1
3
3 ， D 是 C B 延长线上一点，
2
且 BD
BC ，则二面角
B 1
AD B 的大小（
）
5
2
A ．
B ．
C
．
D ．
3
6
6
3
10 ．正四棱柱 ABCD A 1 B 1C 1D 1 中，底面边长为
2 2 ，侧棱长为
4， E ，F 分别为棱
AB ，
CD 的中点， EF
BD
G ．则三棱锥
B 1 EFD 1 的体积 V （
）
16
A ． 6
B ． 16 3
C ．
D ． 16
633
11 ．有以下命题：
①如果向量a, b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么a, b 的关系是不共线；
② O , A, B,C 为空间四点，且向量OA, OB, OC不构成空间的一个基底，则点 O, A, B,C
一定共面；
③已知向量a, b, c 是空间的一个基底，则向量 a b, a b, c 也是空间的一个基底。其中
正确的命题是： （
）
（ A ）①②
（ B ）①③
（ C ）②③ （ D ）①②③
12. 如图：在平行六面体
ABCD
A 1
B 1
C 1
D 1 中， M 为 A 1C 1
与 B 1D 1
的交点。 若 AB
a ，
AD
b ， AA 1
c 则下列向量中与
BM 相等的向量是（
）
D1
C1
1
b c
1
b c
M
（ A ）1 a
(B) 1 a
A1
B1
2
2
2
2
（ C ） 1
a
1
b c
（ D ）
1 a
1
b c
2
2
2
2
D
C
A
B
二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题
6 分，共 30 分）．
13 ．已知向量 a
(0,
1,1 ) ， b
(4,1
,0) ，|
a
b |
29 且
0 ，则
= ____________.
14 ．在正方体
ABCD A 1 B 1C 1 D 1 中， E 为 A 1B 1 的中点，则异面直线
D 1
E 和 BC 1
间的距
离
．
15 ． 在棱长为 1的正方体 ABCD A 1 B 1C 1D 1 中， E 、 F 分别是 A 1B 1
、 CD 的中点，求点 B 到 截面 AEC 1 F 的距离 ．
16 ．已知棱长为
1 的正方体 AB CD － AB CD 中， E 、F 分别是 B C 和 CD 的中点，点 A 到平
1
1
1 1
1
1
1
1
1
面 D B EF 的距离
．
17 ．已知棱长为
1 的正方体 AB CD －A 1 B 1C 1 D 1 中， E 是 A 1B 1 的中点，求直线
A E 与平面 A
B
C 1
D 1
所成角的正弦值
．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共 60 分）．
18 ．（ 15 分）已知棱长为 1 的正方体 AB CD － A 1B 1 C 1D 1，求平面 A 1B C 1 与平面 AB CD 所成的 二
面角的大小
19 ．（ 15 分）已知棱长为 1 的正方体 AB CD － A 1 B 1 C 1D 1 中， E 、 F 、 M 分别是 A 1C 1、A 1D 和 B 1A 上任一点，求证：平面 A 1EF ∥平面 B 1MC ．
20 ．（ 15 分）在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD =90 °，AD∥BC，AB =BC =a， AD =2 a，且 PA ⊥底面 ABCD ， PD 与底面成30°角．
（ 1）若AE⊥PD，E为垂足，求证：BE ⊥ PD ；
（ 2）求异面直线AE 与 CD 所成角的余弦值．
21 ．（ 15 分）已知棱长为 1 的正方体A C1，E、F分别是B1C1、C1D的中点．
（1）求证： E、 F、 D、B共面；
（2）求点A1到平面的B DEF 的距离；
（3）求直线A1D 与平面B DEF 所成的角．
参考答案
一、 1 ． C ； 2． A ； 3． B ；4． A ；5． A ； 6 ． C ； 7 ． A ； 8 ． B ； 9 ．D ； 10 ． B； 11 ．A；
12． C；
二、 13 ． 3 14 ．2
6 15． 6 16．1；17．10
335
三、
18 ．解：如图建立空间直角坐标系，A1C1＝（－1，1，0）， A1B ＝（0，1，－1）
设 n1、 n2分别是平面A1B1AB z
n1 A1 B n
D1C1 1 11 A 1
由0可解得 1 ＝（，，）
B1 n AC 0C
111
D
易知 n2＝（ 0， 0， 1），A y
B
n1n23x
所以， cos n 1, n2n＝
n
1
23
3
所以平面 A 1B C1与平面AB CD所成的二面角大小为 a rccos或－a rccos 3 ．
33
19 ．证明：如图建立空间直角坐标系，
z
D 1C1
则 A1C1＝（－1，1，0）， B1 C ＝（－1，0，－1）E
A 1B1
A1D ＝（1，0，1）， B1 A ＝（0，－1，－1）
F M y
设 A1E A1C1，A1 F A1D ，B1 M B1A（、、D C
R ，且均不为
A B 0）x
设 n1、 n2分别是平面 A EF与平面 B MC的法向量，
11
由n
1A1 E 0 可得n1 A1C10即
n1 1 1
A C
n1A1 F 0n1A1D 0n1 A 1D0解得：1
n＝（ 1， 1，－ 1）
由n2 1
0可得n2B1A 0即n2 B 1 A 0
B M
n2B1C 0n2B1 C 0n2 B 1C0
解得 n2＝（－1，1，－1），所以 n1＝－ n2， n1∥ n2，
所以平面 A 1EF∥平面 B 1MC．
20．（ 1）证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，又AB⊥AD．∴AB⊥平面PAD．又∵AE⊥PD，∴PD ⊥平面 ABE ，故 BE ⊥ PD ．
（ 2）解：以为原点，、、所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则点、
的坐标分别为（A AB AD AP C D
a，a， 0），（ 0 ， 2 ， 0 ）．
a
∵ PA ⊥平面 ABCD ，∠ PDA 是 PD 与底面 ABCD 所成的角，∴∠PDA =30°．
于是，在 Rt △AED中，由AD =2a，得AE =a．过E作EF⊥AD，垂足为F，在Rt△AFE 中，由
AE=a，∠ EAF =60°，得 AF =a
， EF=3a，∴ E（0， 1 a, 3a）2222
于是， AE13a}, CD ={－a，a，0}
{ 0,a,
2 2
设AE 与 CD 的夹角为θ，则由
AE CD
0 (
a)
1
a a
3
a
2
2
2
cos θ =
1
a)
2
4
|AE| |CD |
( 3 a) 2
( a)
2
a
2
02
(
2
2
2
与
所成角的余弦值为
2 ．
AE CD
4
21 ．解：（ 1）略．
（ 2）如图，建立空间直角坐标系 D —xyz ,
则知 B （ 1， 1， 0）， E(
1
,1,1), F (0,
1
,1).
2
2
设 n ( x, y, z) 是平面 BDEF 的法向量 .
由 n
DB, n DF ,DB
(1,1,0), DF (0,
1
,1)
n
DB
2
得
x
y 0
则
x
y
n DF
1 y z 0 z
1
y.
2
1
2
令 y
1,得 n (
1,1,
) ．
设点 A 在平面
B DFE 上的射影为
2
H ，连结 A D ，知 A D 是平面 B DFE 的斜线段．
1
1
1
A D
( 1,0, 1), AD n
1
又 | A 1 D|
( 1) 2 O
2
( 1)
2
cos A 1D, A 1 H
A 1D
n
| A 1D | | n |
| A 1 H | | A 1D | cos
A 1D, A 1 H
( 1)( 1)
1 ( 1)( 1
) 3
.
2
2
2 ,| n |
( 1)
2
1
2
( 1 ) 2
3 ,
2
2
3
2 2 . 2 3
2
2
2
2 1.
2
即点
1
到平面 DFE 的距离为 1 ．
A
B
2 ，则△ AHD 为等腰直角三角形，
（ 3）由（ 2）知， A H=1 ，又 A D=
1
1
1
A1 DH DA1 H45
A1 H平面 BDFE , HD是 A1 D 在平面 BDFE 上的射影 , A1DH就是直线 A1 D 与平面 BDFE 所成的角 ,
A1DH 45 .