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2011年考研数学概率论真题与答案--WORD版

2011年概率论考研真题与答案

1. （2011年数学一、三）设1()F x 和2()F x 为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x 与

2()f x 是连续函数，则必为概率密度函数的是_________. 【D 】 A.12()()f x f x B.212()()f x F x C.12()()f x F x D.1221()()()()f x F x f x F x + 解：根据分布函数的性质，1221()()()()0f x F x f x F x +≥

1221[()()+()()]f x F x f x F x dx +∞

-∞

∴

12()()

F x F x +∞=-∞

2. （2011年数学一）设随机变量X 与Y 相互独立，且()E X 与()E Y 存在，记

{}max ,U X Y =，{}min ,V X Y =，则()E UV =_________. 【B 】

A. ()()E U E V

B. ()()E X E Y

C. ()()E U E Y

D. ()()E X E V 解：因为当X Y ≥时，,U X V Y ==；当X Y <时，,U Y V X ==.

所以，UV XY =，于是()()E UV E XY =

根据X 与Y 相互独立，所以()()()E UV E X E Y =.

3. （2011年数学三）设总体X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布，12,,,(2)n X X X n ≥ 是

来自该总体的简单随机样本，则对于统计量1=1

1n i i T X n =∑和12=111

1n i

n i T X X n n -=+-∑，有__________. 【D 】

A. 1212()(),()()E T E T D T D T >>

B. 1212()(),()()E T E T D T D T ><

C. 1212()(),()()E T E T D T D T <>

D. 1212()<(),()()E T E T D T D T < 解： ()X P λ

(),

()E X D X λλ∴

1=1=1

11()()()n n

i i i i E T E X E X n n λ∴

===∑∑

12=11111()()(1)11

n i n i E T E X X n n n n n n

λλλ-=+=?-?+?=+--∑ 12()()E T E T ∴

122=1=1111()()()n n i i i i D T E X D X n n n n n

λ===??=∑∑

11222

=1=1

1111

()()()()1(1)n n i n i n i i D T D X X D X D X n n n n --=+=+--∑∑ 222

111

(1)()(1)11n n n n n n n n n

λλλλλ=

?-?+?=+=+--- 21()()D T D T ∴

4. （2011年数学三）设(,)X Y 服从22(,,,,0)N μμσσ则2()E XY =____. 【22()μσμ+】

解：因为(,)X Y 服从二维正态分布，且相关系数为零，则X 与Y 相互独立.

22222()()()()[()()]()E XY E X E Y E X D Y E Y μσμ∴=?=?+=+

5. （2011年数学三）

且{}

1P X Y ==，求: (1) 二维随机变量(,)X Y 的概率分布；(2) Z XY =的概率分布；

(3) X 与Y 的相关系数XY ρ.

解：（1）由{}

1P X Y ==，可得：{}

220P X Y ≠=

{}{}{}0,10,11,00P X Y P X Y P X Y ∴

==-=======

因此，(,)X Y 的概率分布为

（2）显然，Z XY =的可能取值为-1,0,1，由(,)X Y 的概率分布可得：

（3）

(),(),()0,()393

E X D X E Y D Y ====

, ()0E XY = (,)()()()0Cov X Y E XY E X E Y ∴=-=

0XY ρ=

6. （2011年数学一）设12,,

,n X X X 是来自正态总体20(,)N μσ的简单随机样本，其中0

μ已知，2>0σ，未知. （1）求参数2

σ的最大似然估计 2

σ；（2

）计算 2()E σ和 2()D σ.

解：总体的概率密度为: 202

()22(;)x f x μσσ--

似然函数为

()2

()(;)n

i i x n

i i L f x μσσσ=-

-=∑=

=∏

两边取对数，得 2

()ln ()ln 2

i x

L n μσσσ=-=--∑

关于2

σ求导，得

()

ln ()+22()

i x d L n

d μσσσ

σ=--=∑

令22

ln ()0,d L d σσ=解得λ的最大似然估计值 2201

1()n

i i x n σμ==-∑ （2） 20(,)i X N μσ

(0,1)i X N μσ

-∴

220

(

)()()n

i i

i i X X

n μμχσσ

==-∴

-∑∑

[

()]n

i i E X

n μσ=∴

-=∑, 2

[

()]2n

i i D X

n μσ=-=∑

于是， 222

2220021111()[()]=[()]==n n

i i i i E E X E X n n n n

σσσμμσσ===--?∑∑ 4442220022211112()[()]=[()]=2=n n i i i i D D X D X n n n n n

σσσσμμσ===--?∑∑ 7. （2011年数学三）设二维随机变量(,)X Y 服从区域G 上的均匀分布，其中G 是由0,2x y x y -=+=以及0y =所围成的三角形区域. 求：（1）X 的概率密度()X f x ；（2）条件概率密度()X Y f x y .

解：（1）根据二维均匀分布的定义，(,)X Y 的概率密度为

(,)(,)0,

x y G f x y ∈?=?

?其它

X 的概率密度为

02-010101()(,)112=2-1<200x x X dy x x x f x f x y dy dy x x x +∞

-∞

?≤≤?≤≤???

==<≤≤?????????

?其他其他

（2） 2-2(1-y)01101()(,)=00

y y Y y dx y f y f x y dx +∞

-∞

?≤≤≤≤??

=???????

其他其他

在=(0y 1)Y y ≤≤时，X 的条件概率密度

2-(,)2(1-y)

()==()0

X Y Y y x y f x y f x y f y ?≤≤?

?其他

XX考研数学概率论重要考点总结

XX考研数学概率论重要考点总结第一章随机事件和概率一、本章的重点内容：四个关系：包含，相等，互斥，对立﹔ 五个运算：并，交，差﹔ 四个运算律：交换律，结合律，分配律，对偶律(德摩根律)﹔ 概率的基本性质：非负性，规范性，有限可加性，逆概率公式﹔ 五大公式：加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式﹔· 条件概率﹔利用独立性进行概率计算﹔·重伯努利概型的计算。近几年单独考查本章的考题相对较少，从考试的角度来说不是重点，但第一章是基础，大多数考题中将本章的内容作为基础知识来考核，都会用到第一章的知识。二、常见典型题型： 1.随机事件的关系运算﹔ 2.求随机事件的概率﹔ 3.综合利用五大公式解题，尤其是常用全概率公式与贝叶斯公式。第二章随机变量及其分布一、本章的重点内容：随机变量及其分布函数的概念和性质(充要条件)﹔

分布律和概率密度的性质(充要条件)﹔ 八大常见的分布：0-1分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布、均匀分布、正态分布、指数分布及它们的应用﹔ 会计算与随机变量相联系的任一事件的概率﹔ 随机变量简单函数的概率分布。近几年单独考核本章内容不太多，主要考一些常见分布及其应用、随机变量函数的分布二、常见典型题型： 1.求一维随机变量的分布律、分布密度或分布函数﹔ 2.一个函数为某一随机变量的分布函数或分布律或分布密度的判定﹔ 3.反求或判定分布中的参数﹔ 4.求一维随机变量在某一区间的概率﹔ 5.求一维随机变量函的分布。第三章二维随机变量及其分布一、本章的重点内容：二维随机变量及其分布的概念和性质，边缘分布，边缘密度，条件分布和条件密度，随机变量的独立性及不相关性，一些常见分布：二维均匀分布，二维正态分布，几个随机变量的简单函数的分布。

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考研数学备考：概率论各章节知识点梳理考研备考时间已然快要过半，还在为了备考方法焦灼？不用担心！老司机带你上车，下面由我为你精心准备了“考研数学备考：概率论各章节知识点梳理”，持续关注本站将可以持续获取更多的考试资讯！考研数学备考：概率论各章节知识点梳理众所周知，概率论的知识点又多又杂，需要我们系统的归类并掌握，这样才能获得高分。为此我整理了相关内容，希望对大家有所帮助。第一部分：随机事件和概率 (1)样本空间与随机事件 (2)概率的定义与性质(含古典概型、几何概型、加法公式) (3)条件概率与概率的乘法公式 (4)事件之间的关系与运算(含事件的独立性) (5)全概公式与贝叶斯公式 (6)伯努利概型其中：条件概率和独立为本章的重点，这也是后续章节的难点之一，请各位研友务必重视起来。第二部分：随机变量及其概率分布 (1)随机变量的概念及分类 (2)离散型随机变量概率分布及其性质 (3)连续型随机变量概率密度及其性质 (4)随机变量分布函数及其性质 (5)常见分布 (6)随机变量函数的分布

其中：要理解分布函数的定义，还有就是常见分布的分布律抑或密度函数必须记好且熟练。第三部分：二维随机变量及其概率分布 (1)多维随机变量的概念及分类 (2)二维离散型随机变量联合概率分布及其性质 (3)二维连续型随机变量联合概率密度及其性质 (4)二维随机变量联合分布函数及其性质 (5)二维随机变量的边缘分布和条件分布 (6)随机变量的独立性 (7)两个随机变量的简单函数的分布其中：本章是概率的重中之重，每年的解答题定会有一道与此知识点有关，每个知识点都是重点，务必重视! 第四部分：随机变量的数字特征 (1)随机变量的数字期望的概念与性质 (2)随机变量的方差的概念与性质 (3)常见分布的数字期望与方差 (4)随机变量矩、协方差和相关系数其中：本章只要清楚概念和运算性质，其实就会显得很简单，关键在于计算。第五部分：大数定律和中心极限定理 (1)切比雪夫不等式 (2)大数定律 (3)中心极限定理

考研数学概率论重要知识点梳理

2017考研数学：概率论重要知识点梳理来源：文都图书概率论在历年考研数学真题中特点比较明显。概率论与数理统计对计算技巧的要求低一些，一些题目，尤其是文字叙述题要求考生有比较强的分析问题的能力。所以考生应在这门中尽量做到那全分，这样才能保证数学的分数，下面我们整理了一些概率论的重要知识点：第一部分：随机事件和概率 (1)样本空间与随机事件 (2)概率的定义与性质(含古典概型、几何概型、加法公式) (3)条件概率与概率的乘法公式 (4)事件之间的关系与运算(含事件的独立性) (5)全概公式与贝叶斯公式 (6)伯努利概型其中：条件概率和独立为本章的重点，这也是后续章节的难点之一，考生务必引起重视，第二部分：随机变量及其概率分布 (1)随机变量的概念及分类 (2)离散型随机变量概率分布及其性质 (3)连续型随机变量概率密度及其性质 (4)随机变量分布函数及其性质 (5)常见分布 (6)随机变量函数的分布其中：要理解分布函数的定义，还有就是常见分布的分布律抑或密度函数必须记好且熟练。第三部分：二维随机变量及其概率分布 (1)多维随机变量的概念及分类 (2)二维离散型随机变量联合概率分布及其性质 (3)二维连续型随机变量联合概率密度及其性质

(4)二维随机变量联合分布函数及其性质 (5)二维随机变量的边缘分布和条件分布 (6)随机变量的独立性 (7)两个随机变量的简单函数的分布其中：本章是概率的重中之重，每年的解答题定会有一道与此知识点有关，每个知识点都是重点，务必重视! 第四部分：随机变量的数字特征 (1)随机变量的数字期望的概念与性质 (2)随机变量的方差的概念与性质 (3)常见分布的数字期望与方差 (4)随机变量矩、协方差和相关系数其中：本章只要清楚概念和运算性质，其实就会显得很简单，关键在于计算第五部分：大数定律和中心极限定理 (1)切比雪夫不等式 (2)大数定律 (3)中心极限定理其中：其实本章考试的可能性不大，最多以选择填空的形式，但那也是十年前的事情了。第六部分：数理统计的基本概念 (1)总体与样本 (2)样本函数与统计量 (3)样本分布函数和样本矩其中：本章还是以概念为主，清楚概念后灵活运用解决此类问题不在话下第七部分：参数估计 (1)点估计 (2)估计量的优良性 (3)区间估计

考研数学概率论重要章节知识点总结

2018考研数学概率论重要章节知识点总结第一章、随机事件与概率本章需要掌握概率统计的基本概念，公式。其核心内容是概率的基本计算，以及五大公式的熟练应用，加法公式、乘法公式、条件概率公式、全概率公式以及贝叶斯公式。第二章、随机变量及其分布本章重点掌握分布函数的性质;离散型随机变量的分布律与分布函数及连续型随机变量的密度函数与分布函数;常见离散型及连续型随机变量的分布;一维随机变量函数的分布。第三章、多维随机变量的分布在涉及二维离散型随机变量的题中，往往用到“先求取值、在求概率”的做点步骤。二维连续型随机变量的相关计算，比如边缘分布、条件分布是考试的重点和难点，考生在复习时要总结出求解边缘分布、条件分布的解题步骤。掌握用随机变量的独立性的判断的充要条件。最后是要会计算二维随机变量简单函数的分布，包括两个离散变量的函数、两个连续变量的函数、一个离散和一个连续变量的函数、以及特殊函数的分布。第四章、随机变量的数字特征本章的复习，首先要记住常见分布的数字特征，考试中一定会间接地用到这些结论。另外，本章可以与数理统计的考点结合，综合后出大题，应该引起考生足够的重视。第五章、大数定律和中心极限定理本章考查的重点是一个切比雪夫不等式，以及三个大数定律，两个中心极限定理的条件和结论，考试需要记住。第六章、数理统计的基本概念重点在于“三大分布、八个定理”以及计算统计量的数字特征。第七章、参数估计本章的重点是矩估计和最大似然估计，经常以解答题的形式进行考查。对于数一来说，有时还会要求验证估计量的无偏性，这是和数字特征相结合。区间估计和假设检验只有数一的同学要求，考题中较少涉及到。考生要对每章的出题重点做到了如指掌，加以题目训练，相信会有好的成绩!

概率论历年考研真题(牛人总结)

考研概率论部分历年真题（总结）数学一： 1（87，2分）设在一次试验中A 发生的概率为p ，现进行n 次独立试验，则A 至少发生一次的概率为；而事件A 至多发生一次的概率为。 2（87，2）三个箱子，第一个箱子中有4个黑球1个白球，第二个箱子中有3个黑球3个白球，第三个箱子中有3个黑球5个白球。现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出1个球，这个球为白球的概率等于。已知取出的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为。 3（88，2分）设三次独立试验中，事件A 出现的概率相等，若已知A 至少出现一次的概率等于2719，则事件A 在一次试验中出现的概率为。 4（88，2分）在区间（0，1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于56”的概率为。 5（89，2分）已知随机事件A 的概率P （A ）=0.5，随机事件B 的概率P （B ）=0.6及条件概率P （B | A ）=0.8，则和事件A B 的概率P （A B ）= 。 6（89，2分）甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为。 7（90，2分）设随机事件A ，B 及其和事件A B 的概率分别是0.4, 0.3和0.6，若B 表示B 的对立事件，那么积事件A B 的概率P （A B ）= 。 8（91，3分）随机地向半圆0

[考研类试卷]考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷37.doc

[考研类试卷]考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷37 一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 1 设A，B，C为随机事件，A发生必导致B与C最多一个发生，则有 2 设随机事件A，B，C两两独立，且P(A)，P(B)，P(C)∈(0，1)，则必有（A）C与A—B独立．（B）C与A—B不独立．（C）A∪C与独立．（D）A∪C与不独立． 3 设A，B是两个随机事件，且0＜P(A)＜1，P(B)＞0，P(B|A)=P(B|A)，则必有（A）P(A|B)=．（B）P(A|B)≠．（C）P(AB)=P(A)P(B) （D）P(AB)≠P(A)P(B)． 4 设事件A与B满足条件则（A）A∪B=．（B）A∪B=Ω．

（C）A ∪ B=A．（D）A ∪ B=B． 5 设随机事件A与B互不相容，且P(A)＞0，P(B)＞0，则下列结论中一定成立的是（A）A，B为对立事件．（B）互不相容．（C）A，B不独立．（D）A，B相互独立． 6 设A，B是任意两个随机事件，又知，且P(A)＜P(B)＜1，则一定有（A）P(A∪B)=P(A)+P(B)．（B）P(A一B)=P(A)一P(B)．（C）P(AB)=P(A)P(B|A)．（D）P(A|B)≠P(A)． 7 将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A1={掷第一次出现正面}，A2={掷第二次出现正面}，A3={正、反面各出现一次}，A4={正面出现两次}，则（A）A1，A2，A3相互独立．（B）A2，A3，A4相互独立．（C）A1，A2，A3两两独立．（D）A2，A3，A4两两独立．

考研数学概率论公式背诵

概率论公式背诵
离散型随机变量： ⑴0-1 分布
pk p x k pkq1k (k 0,1)
EX p
DX pq
⑵二项分布 B(n, p)
pk p x k Cnk pkqnk (k 0,1, n)
EX np
DX npq
⑶泊本介分布 p()
pk
p x k ke (k 0,1,2,
k!
n)
EX
DX
连续型随机变量
⑴均匀分布U (a,b)
⑶正态分布
f (x)
1
e
(
x )2 2 2
2
E(x)
D(x) 2
⑷ 2 分布 x1 xn N(0,1)
2 x12 xn2
EX n DX 2n
正态分布【特殊】
若 X N(, 2)
一维
Z (X ) N(0,1)
F (x) px
p

x

(

)
f
(
x)
b
1
a
x
(a,b)
0
其他

b
EX x f (x)dx x
1
dx b a
a ba
2
DX b x2 1 dx (b a )2 b2 ab a2 b2 2ab a2 (b a )2
a ba
2
3
4
12
⑵指数分布
f
(
x)
e
x
0
x0 其他
EX
1
DX
1 2
二维正态分布
(X ,Y ) N(1, 2；12，22; ) ① X 、Y 独立 X ~ N(1,12)
0
Y
~
N
(2
,
2 2
)
(X ,Y ) N(1, 2;12,22;0)
② aX bY 仍服从正态分布
若 XY 0 X 与Y 不相关(只有在正态条件下，才能推独立)
Cov(X ,Y ) 0
EXY EXEY D(X Y ) DX DY
常用公式：
E(X Y ) EX EY EXY =EXEY DX =EX 2 (EX )2
X、Y独立
D(X Y ) DX DY 2Cov(X ,Y )
D(X C) DX
Cov(X ,Y ) EXY EXEY
Cov(X ,C) 0
Cov(aX ,bY ) abCov(X ,Y )
Cov(X Y , Z) Cov(X , Z) Cov(Y, Z)
XY
Cov(X ,Y ) DX DY
1/2

考研数学概率论与数理统计考点及解题思路分析

考研数学概率论与数理统计考点及解题思路分析考研数学概率论与数理统计考点及解题思路分析概率论与数理统计是考研数学重要组成部分。概率论与数理统计非常强调对基本概念、定理、公式的深入理解。重要基本知识要点如下：一、考点分析 1.随机事件和概率，包括样本空间与随机事件；概率的定义与性质（含古典概型、几何概型、加法公式）；条件概率与概率的乘法公式；事件之间的关系与运算（含事件的独立性）；全概公式与贝叶斯公式；伯努利概型。 2.随机变量及其概率分布，包括随机变量的概念及分类；离散型随机变量概率分布及其性质；连续型随机变量概率密度及其性质；随机变量分布函数及其性质；常见分布；随机变量函数的分布。 3.二维随机变量及其概率分布，包括多维随机变量的概念及分类；二维离散型随机变量联合概率分布及其性质；二维连续型随机变量联合概率密度及其性质；二维随机变量联合分布函数及其性质；二维随机变量的边缘分布和条件分布；随机变量的独立性；两个随机变量的简单函数的分布。

4.随机变量的数字特征，随机变量的数字期望的概念与性质；随机变量的方差的概念与性质；常见分布的数字期望与方差；随机变量矩、协方差和相关系数。 5.大数定律和中心极限定理，以及切比雪夫不等式。 6.数理统计基本概念，包括总体与样本；样本函数与统计量；样本分布函数和样本矩。 7.参数估计，包括点估计；估计量的优良性；区间估计。 8.假设检验，包括假设检验的基本概念；单正态总体和双正态总体的均值和方差的假设检验。二、解题思路 1.如果要求的是若干事件中“至少”有一个发生的概率，则马上联想到概率加法公式；当事件组相互独立时，用对立事件的概率公式。 2.若给出的试验可分解成（0－1）的n重独立重复试验，则马上联想到Bernoulli试验，及其概率计算公式。 3.若某事件是伴随着一个完备事件组的发生而发生，则马上联想到该事件的发生概率是用全概率公式计算。关键：寻找完备事件组。 4.若题设中给出随机变量X~N则马上联想到标准化~N（0，1）来处理有关问题。 5.求二维随机变量（X，Y）的边缘分布密度的问题，应该马上联想到先画出使联合分布密度的区域，然后定出X的变化区

考研数学《概率论与数理统计》知识点总结

第一章概率论的基本概念定义：随机试验E的每个结果样本点组成样本空间S，S的子集为E的随机事件，单个样本点为基本事件．事件关系：1．A?B，A发生必导致B 发生． 2．A Y B和事件，A，B至少一个发生，A Y B发生．3．A I B记AB积事件，A， B同时发生，AB发生． 4．A－B差事件，A发生， B不发生，A－B发生．5．A I B=?，A与B互不相容(互斥)，A与B不能同时发生，基本事件两两互不相容． 6．A Y B=S且A I B=?，A与 B互为逆事件或对立事件，A 与B中必有且仅有一个发生，记B=A S A- =．事件运算：交换律、结合律、分配率略．德摩根律：B A B A I Y=，B A B A Y I=．概率：概率就是n趋向无穷时的频率，记P(A)．概率性质: 1．P(?)= 0． 2．(有限可加性)P(A1Y A2Y… Y A n)=P(A1)+P(A2)+…+P(A n)，A i互不相容．3．若A?B，则P(B －A)=P(B)－P(A)． 4．对任意事件A，有)A( 1 ) A (P P- =．5．P(A Y B)=P(A)+P( B)－P(AB)．

泊松分布：记X~π（λ）， ! } { k e k X P kλ λ- = =，Λ,2,1,0=k．泊松定理： ! ) 1( lim k e p p C k k n k k n n λ λ- - ∞ → = -，其中λ= np．当20≥n，05.0≤p应用泊松定理近似效果颇佳．随机变量分布函数： } { ) (x X P x F≤ =，+∞ < < ∞ -x．)( ) ( } { 1 2 2 1 x F x F x X x P- = ≤ <．连续型随机变量： ?∞-=x t t f x F d)( ) (，X为连续型随机变量，)(x f为X的概率密度函数，简称概率密度．概率密度性质：1．0 ) (≥ x f；2．1 d) (= ?+∞∞-x x f；3．?= - = ≤ <2 1 d) ( ) ( ) ( } { 1 2 2 1 x x x x f x F x F x X x P； 4．)( ) (x f x F= '，f(x)在x点连续；5．P{X=a}=0．均匀分布：记X~U(a，b)； ?? ? ? ? < < - = 其它，， 1 ) ( b x a a b x f； ? ? ? ? ? ≥ < ≤ - - < = b x b x a a b a x a x x F ，，， 1 ) (．性质：对 a≤c = - 其它，， 1 ) ( x e x f xθ θ ； ? ? ?> - = - 其它，， 1 ) ( x e x F xθ．无记忆性： } { } {t X P s X t s X P> = > + >．

考研数学公式(高数-线代-概率)40923

高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π

考研数学概率论与数理统计常用公式

考研数学概率论与数理统计常用公式 1．随机事件及其概率吸收律：A AB A A A A =?=??Ω=Ω?)(A B A A A A A =??? =??=Ω?)() (AB A B A B A -==- 2P P P P 3P 乘法公式 ()) 0)(()()(>=A P A B P A P AB P ()() ) 0)(()()(12112112121>=--n n n n A A A P A A A A P A A P A P A A A P 全概率公式 ∑==n i i AB P A P 1)()() ()(1 i n i i B A P B P ?=∑=

Bayes 公式 )(A B P k )()(A P AB P k =∑==i i i k k B A P B P B A P B P 1 ) ()()()(4．随机变量及其分布分布函数计算 P ≤-≤=≤<5P P *P 6(1)均匀分布) ,(b a U ?? ???<<-=其他,0,1)(b x a a b x f ???????--=1,,0)(a b a x x F (2)指数分布) (λE

?????>=-其他,00,)(x e x f x λλ???≥-<=-0 ,10,0)(x e x x F x λ(3)正态分布 N (μ,σ2)+∞<<∞-=--x e x f x 22 2)(21)(σμσπ?∞---=x t t e x F d 21 )(222)(σμσπ*N (0,1)—标准正态分布 27.F F f F f Y 8.?其他, 0f (2)二维正态分布 +∞ <<-∞+∞<<∞-?-=????????????-+------y x e y x f y y x x ,121 ),(2222212121212)())((2)()1(21221σμσσμμρσμρρσπσ

考研数学三必背知识点：概率论与数理统计

概率论与数理统计必考知识点一、随机事件和概率 1、随机事件及其概率运算律名称表达式交换律 A B B A +=+ BA AB = 结合律 C B A C B A C B A ++=++=++)()( ABC BC A C AB ==)()( 分配律 AC AB C B A ±=±)( ))(()(C A B A BC A ++=+ 德摩根律 B A B A =+ B A AB += 2、概率的定义及其计算公式名称公式表达式求逆公式 )(1)(A P A P -= 加法公式 )()()()(AB P B P A P B A P -+=+ 条件概率公式 ) () ()(A P AB P A B P = 乘法公式 ) ()()(A B P A P AB P = ) ()()(B A P B P AB P = 全概率公式 ∑== n i i i A B P A P B P 1 )()()(

3..连续型随机变量分布名称密度函数分布函数均匀分布),(b a U ?? ?? ?<<-=其他 ,0,1)(b x a a b x f ?? ? ????≥<≤--<=b x b x a a b a x a x x F ,1,,0)( 指数分布)(λE ???? ?>=-其他, 00 ,)(x e x f x λλ ???≥-<=-0 ,10, 0)(x e x x F x λ 正态分布 ) ,(2σμN +∞ <<∞-= -- x e x f x 2 22)(21)(σμσ π ?∞ --- = x t t e x F d 21 )(222)(σμσπ 标准正态分布)1,0(N +∞ <<∞-= - x e x x 2 221)(π ? ?∞ --- = x t t e x F d 21)(222)(σμσπ 三、多维随机变量及其分布 1、离散型二维随机变量边缘分布 ∑∑======? j j ij j i i i p y Y x X P x X P p ),()( ∑∑======?i i ij j i j j p y Y x X P y Y P p ),()( 2、离散型二维随机变量条件分布 Λ 2,1,) () ,()(====== ===?i P p y Y P y Y x X P y Y x X P p j ij j j i j i j i Λ 2,1,) () ,()(== ==== ===? j P p x X P y Y x X P x X y Y P p i ij i j i i j i j 3、连续型二维随机变量( X ,Y )的分布函数 ?? ∞-∞ -= x y dvdu v u f y x F ),(),( 4、连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密度函数分布函数：?? ∞-+∞ ∞ -= x X dvdu v u f x F ),()( 密度函数：? +∞ ∞ -= dv v x f x f X ),()(

2011年考研数学概率论真题与答案--WORD版

2011年概率论考研真题与答案 1. （2011年数学一、三）设1()F x 和2()F x 为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x 与 2()f x 是连续函数，则必为概率密度函数的是_________. 【D 】 A.12()()f x f x B.212()()f x F x C.12()()f x F x D.1221()()()()f x F x f x F x + 解：根据分布函数的性质，1221()()()()0f x F x f x F x +≥ 1221[()()+()()]f x F x f x F x dx +∞ -∞ ∴ ? 12()() F x F x +∞=-∞ 1= 2. （2011年数学一）设随机变量X 与Y 相互独立，且()E X 与()E Y 存在，记 {}max ,U X Y =，{}min ,V X Y =，则()E UV =_________. 【B 】 A. ()()E U E V B. ()()E X E Y C. ()()E U E Y D. ()()E X E V 解：因为当X Y ≥时，,U X V Y ==；当X Y <时，,U Y V X ==. 所以，UV XY =，于是()()E UV E XY = 根据X 与Y 相互独立，所以()()()E UV E X E Y =. 3. （2011年数学三）设总体X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布，12,,,(2)n X X X n ≥ 是来自该总体的简单随机样本，则对于统计量1=1 1n i i T X n =∑和12=111 1n i n i T X X n n -=+-∑，有__________. 【D 】 A. 1212()(),()()E T E T D T D T >> B. 1212()(),()()E T E T D T D T >< C. 1212()(),()()E T E T D T D T <> D. 1212()<(),()()E T E T D T D T < 解： ()X P λ (), ()E X D X λλ∴ == 1=1=1 11()()()n n i i i i E T E X E X n n λ∴ ===∑∑ 12=11111()()(1)11 n i n i E T E X X n n n n n n λ λλλ-=+=?-?+?=+--∑ 12()()E T E T ∴ <

考研数学三必背知识点概率论与数理统计

概率论与数理统计必考知识点一、随机事件和概率 1、随机事件及其概率 2、概率的定义及其计算

二、随机变量及其分布 1、分布函数性质 F b F (a b a < ≤ = P- X ) (b ( ) ( ) b F X ( ) P= ≤) 2、离散型随机变量 3..连续型随机变量

三、多维随机变量及其分布 1、离散型二维随机变量边缘分布 ∑∑==== ==?j j ij j i i i p y Y x X P x X P p ),()( ∑∑==== ==?i i ij j i j j p y Y x X P y Y P p ),()( 2、离散型二维随机变量条件分布 Λ2,1,) () ,()(====== ===?i P p y Y P y Y x X P y Y x X P p j ij j j i j i j i Λ2,1,) () ,()(== ==== ===? j P p x X P y Y x X P x X y Y P p i ij i j i i j i j 3、连续型二维随机变量( X ,Y )的分布函数?? ∞-∞ -= x y dvdu v u f y x F ),(),( 4、连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密度函数分布函数：??∞-+∞ ∞ -=x X dvdu v u f x F ),()( 密度函数：?+∞ ∞ -=dv v x f x f X ),()( ?? ∞-+∞ ∞-= y Y dudv v u f y F ),()( ? +∞ ∞ -= du y u f y f Y ),()( 5、二维随机变量的条件分布 +∞<<-∞= y x f y x f x y f X X Y ,)(),()( +∞<<-∞=x y f y x f y x f Y Y X ,) () ,()( 四、随机变量的数字特征 1、数学期望离散型随机变量：∑ +∞ ==1 )(k k k p x X E 连续型随机变量：? +∞ ∞ -= dx x xf X E )()( 2、数学期望的性质 (1)为常数C ,)(C C E = )()]([X E X E E = )()(X CE CX E = (2))()()(Y E X E Y X E ±=± b X aE b aX E ±=±)()( )()()(1111n n n n X E C X E C X C X C E ΛΛ+=+ (3)若XY 相互独立则：)()()(Y E X E XY E = (4))()()]([222Y E X E XY E ≤ 3、方差：)()()(22X E X E X D -= 4、方差的性质 (1)0)(=C D 0)]([=X D D )()(2X D a b aX D =± 2)()(C X E X D -< (2)),(2)()()(Y X Cov Y D X D Y X D ±+=± 若XY 相互独立则：)()()(Y D X D Y X D +=± 5、协方差：)()(),(),(Y E X E Y X E Y X Cov -= 若XY 相互独立则：0),(=Y X Cov

考研数学概率论基础复习必备复习方法

考研数学概率论基础复习必备复习方法考研将第一时间整理发布考研相关信息，希望对2016考研考生有所帮助。 2015年考研基础阶段复习已经开始，本文为考研朋友们分享了考研数学概率论基础复习必备复习方法，预祝各位复习顺利! 问题一、概率的公式、概念比较多，怎么记? 答：我们看这样一个模型，这是概率里经常见到的，从实际产品里面我们每次取一个产品，而且取后不放回去，就是日常生活中抽签抓阄的模型。现在我说四句话，大家看看有什么不同，第一句话“求一下第三次取到十件产品有七件正品三件次品，我们每次取一件，取后不放回”，下面我们来求四个类型，第一问我们求第三次取得次品的概率。第二问我们求第三次才取得次品的概率。第三问已知前两次没有取得次品第三次取到次品。第四问不超过三次取到次品。大家看到这四问的话我想是容易糊涂的，这是四个完全不同的概率，但是你看完以后可能有很多考生认为有的就是一个类型，但实际上是不一样的。先看第一个“第三次取得次品”，这个概率与前面取得什么和后面取得什么都没有关系，所以这个我们叫绝对概率。第一个概率我想很多考生都知道，这个概率应该是等于十分之三，用古代概率公式或者全概率公式求出来都是十分之三。这个概率改成第四次、第五次取到都是十分之三，就是说这个概率与次数是没有关系的。所以在这里我们可以看出，日常生活中抽签、抓阄从数学上来说是公平的。拿这个模型来说，第一次取到和第十次取到次品的概率都是十分之三。下面我们再看看第二个概率，第三次才取到次品的概率，这个事件描述的是绩事件，这是概率里重要的概念，改变表示同时发生的概率。但是这个与第三次的概率是容易混淆的，如果表示的可以这样表述，如果用A1表示第一次取到次品，A2表示第二次取到次品，A3是第三次取到次品。如果A表示第一次不取到次品，B表示第二次不取到次品，C表示第三次不取到次品，求ABC绩事件发生的概率。第三问表示条件概率，已知前两次没有取到次品，第三次取到次品P(C|AB)，第三问求的就是一个条件概率。我们看第四问，不超过三次取得次品，这是一个和事件的概率，就是P(A+B+C)。从这个例子大家可以看出，概率论确实对题意的理解非常重要，要把握准确，否则就得不到准确的答案。问题二、概率的数理统计要怎么复习?什么叫几何型概率? 答：几何型概率原则上只有理工科考，是数学一考察的对象，最近两年经济类的大纲也加进来了，但还没有考过，数学三、数学四的话虽然明确写在大纲里，还没有考。明年是否可能考呢?几何概率是一个考点，但不是一个考察的重点。我个人认为一是它考的可能性很小，如果考也是考一个小题，或者是选择题或者是填空题或者在大题里运用一下概率的模式，就是一个事件发生的概率是等于这个事件的度量或者整个样本空间度量的比。这个度量的话指的是面积，一维空间指的是长度，二维空间指的是面积，三维空间指的是体积。所以几何概率指的是长度的比、面积的比和体积的比。重点是面积的比，是二维的情况。何概率其实很简单，是一个程序化的过程，按这四个步骤你肯定能做出来。第一步把样本空间和让你求概率的事件用几何表示出来。第二步既然是几何概率那就是图形，第二步把几何图形画出来。第三步你就把样本空间和让你求概率的事件所在的几何图形的度量，就是刚才所说的面积或者体积求出来。第三步代公式。以前考过的几何概率的题度量的计算都是用初等的方法做，我推测下次考的话，可能会难一点的。比如说用意项，面积可能用到定积分或者重积分计算，把概率和高等数学联系起来。关于第二个问题，概率统计怎么复习，今年的考试分配很不正常，明年不会是这样的情

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，则可作图长方形内的点的范围。这样一来即易看出事件包含关系的定义

可作图，则，对于这个大图形中的任意一点来说，不是属于至少有一个发生”的定义；同理，事件可以借助右图表示公式左端的三个圆形各自互不相交的三部分再加上a 代表的区域包括、)(C P A B ，比左端多加了一次)22d c +

很多题利用这三个公式间的相互转化关系很容易求得答案。这三个公式的含义从直观上就能理解：公式（1）表示事件、同时发生的概率等于发生的概率减去发生而A B A A 不发生的概率；（2）式表示事件、同时发生的概率等于发生的概率乘以在B A B A 发生的条件下也发生的概率；当、相互独立时，也就是指事件与事件A B A B A 的发生互不影响，此时应该有、所以B )()|(B P A B P =)()|(A P B A P =由（2）式即可得出（3）式。出题人)()()|()()(B P A P A B P A P AB P ==从这三个公式意义上的相通性出发可以很灵活地构造题目，在后面的评题中会对这个知识点作更具体的讨论。 1.3第二章《随机变量及其分布》、第三章《随机变量的数字特征》、第四章《大数定律和中心极限定理》对于这一部分的复习可说的东西不多，因为在考试中出现的概率题目其实有相当大一部分难度是被解题所用的繁杂公式“分走”了，既然理解、掌握和牢记公式本身就不容易，那么题目的结构相对而言就要简单一些，我们甚至会发现历年真题中的有的题就像是课本上的例题一样。这种情况有点像我们在英语考试中作阅读理解题，问题本身的含义并不复杂，难就难在文章中的单词“似曾相识”和句子看不懂上。而英国学生考“语文”时做的阅读理解问题肯定要比我们遇到的题目要复杂深入的多——因为考察的重点不一样。所以对于概率部分的复习，有两个步骤即可：首先是牢记公式，然后是把题做熟,在练习过程中透彻理解概念公式和性质定理。陈文灯复习指南概率第二、三章把知识点列成了大表格，所有东西一目了然，复习时用来记忆和对比很方便。对于第二章的大表格也可以利用各部分之间的联系来对照复习，比如说二维分布的性质基本上与一维分布的性质一一对应（类似于二重积分和定积分性质之间的关系），二维边沿分布的内容与一维分布本质上也是相通的，离散型和连续型分布的各知识点也可互相对比、区别记忆。也就是“一维和二维相联系、离散和连续相对比、随机变量分布和随机变量函数的分布相区别”。同时对于重要分布如二项、泊松、正态、均匀、指数分布必需记得非常牢，因为考试时会直接拿这些分布做题干来考察各章知识点，万一出现“由于题干中的分布函数不会写或写错而导致整道大题知道怎么做也没法做”的情况将是非常可惜的。本章的一维连续分布和二维离散分布在历年真题中出现频率最高，最常考分布是均匀、指数和正态分布。对于一维连续型分布的性质可借助图像理解

考研数学：概率论与数理统计考试大纲的深度解析

考研数学：概率论与数理统计考试大纲的深度解析 2015年9月18日由教育部考试中心的发布的2016年硕士研究生入学统一考试大纲已经与大家见面，考生最关心的考试大纲当中的概率论与数理统计部分考试内容与考试要求没有任何变化。基本包含随机事件与概率、一维随机变量及其分布、二维随机变量及其分布、随机变量的数字特征、大数定律与中心极限定理、数理统计的基本概念、参数估计和假设检验等七章内容。概率与数理统计这门课程从试卷本身的难度的话，在三门课程中应该算最低的，但是从每年得分的角度来说，这门课程是三门课中得分率最低的。这主要是由三方面造成的：一方面是时间不充裕，概率解答题位于试卷的最后，学生即使会，也来不及解答；另一方面是概率本身学科的特点，导致很多学生觉得概率非常难，第三方面是学生对概率统计这门学科不够重视，给予的复习时间少。一概率与数理统计学科的特点： 1、研究对象是随机现象。高数是研究确定的现象，而概率研究的是不确定的，是随机现象。对于不确定的，大家感觉比较头疼。 2、题型比较固定，解法比较单一，数学三计算技巧要求低一些，数学一稍微高一点点。比如概率的解答题基本上就围绕在随机变量函数的分布，二维随机变量，随机变量的数字特征，特别是统计量的数字特征包括几个重要的感念，例如无偏性，有效性，相合性等，参数的矩估计和最大似然估计这几块。 3、高数和概率相结合。求随机变量的分布和数字特征运用到高数的理论与方法，这也是考研所要求考生所具备的解决问题的综合能力。很多考生因为积分计算不过关，导致概率失分。所以考生应该加强自己的积分计算能力。在复习概率与数理统计的过程中，把握住这门课程的特点，并且能够结合历年考试试题规律，概率一定能取得好成绩。下面，我通过各章节来给大家具体分析。二概率与数理统计学科的命题特点： 1、随机事件和概率 “随机事件”与“概率”是概率论中两个最基本的概念。“独立性”与“条件概率”是概率论中特有的概念。条件概率在不具有独立性的场合扮演了一个重要角色，它是一种概率。正确地理解并会应用这4个概念是学好概率论的基础。对于公式，家要熟练掌握并能准确运算。而大家比较头疼的古典概型与几何概型的计算问题，考纲只要求掌握一些简单的概率计算，特别是抽样问题。事件、概率与独立性是本章给出的概率论中最基本、最重要的三个概念。事件关系及其运算是本章的重点和难点，概率计算是本章的重点。注意事件与概率之间的关系。本章主要考查随机事件的关系和运算，概率的性质、条件概率和五大公式，注意事件的独立性。近几年单独考查本章的试题相对较少，但是大多数考题中将本章的内容作为基本知识点来考查。相当一部分考生对本章中的古典概型感到困难。大纲只要求对古典概率和几何概率会计算一般难度的题型就可以。考生不必可以去做这方面的难题，因为古典型概率和几何型概率毕竟不是重点。应该将本章重点中的有关基本概念、基本理论和基本方法彻底理解和熟练掌握。

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